高二文科数学必备--数列问题的题型与方法

水平测试复习（数列问题的题型与方法）
一、等差数列、等比数列定义及性质
二、方法技巧。

三、注意事项
．
四、例题解析
例1、根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1) 3, 5, 9, 17, 33,……； (2)
3
2,
15
4,
35
6,
63
8,
99
10, ……；
(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……；
(5) 2, －6, 12, －20, 30, －42,…….
例2．（1）已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是 （ ）
A ．15
B ．30
C ．31
D ．64
（2）、在等比数列{}n a 中，3412,18a a ==，则n a = ，n S = 。

例3 ．已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+== ，
⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列； ⑵设数列),2,1(,2
==
n a c n
n n ，求证：数列{}n c 是等差数列；⑶求数列{}n a 的通项公式及前n 项和。

解：
(1)由S 1
n +=4a 2n +，S 2
n +=4a 1n ++2，两式相减，得S 2
n +-S 1
n +=4(a 1
n +-a n
)，即a 2
n +=4a 1
n +-4a n ．(根据b n
的构造，如何把该式表示成b 1n +与b n
的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)
a 2n +-2a 1n +=2(a 1n +-2a n )，又
b n =a 1n +-2a n ，所以b 1n +=2b n
①
已知S 2=4a 1+2，a 1=1，a 1+a 2=4a 1+2，解得a 2
=5，b 1=a 2-2a 1
=3 ② 由①和②得，数列{b n
}是首项为3，公比为2的等比数列，故b n
=3·21
n -．
当n ≥2时，S n =4a 1n -+2=2
1
n -(3n-4)+2；当n=1时，S 1=a 1=1也适合上式．
例4．在直角坐标平面上有一点列 ),(,),(),,(222111n n n y x P y x P y x P ，对一切正整数n ，点n P 位于函数4
133+=x y 的图象上，且n P 的横坐标构成以2
5-为首项，1-为公差的等差数列{}n x 。

⑴求点n P 的坐标；
解：（1）2
3)1()1(2
5-
-=-⨯-+-
=n n x n 1353533,(,3)4
4
2
4
n n n y x n P n n ∴=⋅+
=--
∴--
--
11．设数列{a n }的前项的和S n =3
1（a n -1） (n ∈N +),（1）求a 1;a 2; (2)求证数列{a n }为等比数列。

解: (Ⅰ)由)1(3
111-=
a S ,得)1(3111-=
a a ∴=1a 2
1- 又)1(3
122-=
a S ,即)1(3
1221-=
+a a a ,得4
12=
a .
(Ⅱ)当n >1时,),1(3
1)1(3
1
11--
-=-=--n n n n n a a S S a 得
,2
11
-
=-n n a a 所以{}n a 是首项2
1-
,公比为2
1-
的等比数列.
12．设a 1=1,a 2=
3
5,a n +2=
3
5a n +1-
3
2a n (n =1,2,---),令b n =a n +1-a n (n =1,2---)
（1）求数列{b n }的通项公式，(2)求数列{na n }的前n 项和S n 。

解：（I ）因121+++-=n n n a a b 1115222()3
3
3
3
n n n n n n a a a a a b +++=
-
-=
-=
故{b n }是公比为3
2的等比数列，且故,32
121=
-=a a b ),2,1()3
2( ==n b n
n
（II ）由得n n n n a a b )3
2(1=-=+
)()()(121111a a a a a a a a n n n n n -++-+-=--++
])3
2(1[232)32()32()32(21n
n n -=++++=-
注意到,11=a 可得),2,1(3
231
=-
=-n a n n
n 记数列}3
2{
1
1
--n n n 的前n 项和为T n ，则
122
2222212(),2()()333333n n
n n T n T n -=+⋅
++⋅=+⋅++⋅ 2112222221()()()3[1()](),3333333
n n n n
n T n n -=++++-=-- 两式相减得
1
1
121
2
2
(3)29[1()]3()933
3
3(3)2
23(12)2(1)18
2
3
n
n
n
n n n n n n n n T n n S a a na n T n n -+-+=--=-+=+++=+++-=
++
- 故从而
13．数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122 *
N n ∈
⑴求数列{}n a 的通项公式；
⑵设||||||21n n a a a S +++= ，求n S ； ⑶设n b =)
12(1n a n -)(),(*21*N n b b b T N n n n ∈+++=∈ ，是否存在最大的整数m ，使得对任意*
N n ∈，
均有>
n T 32
m 成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由。

解：（1）由题意，n n n n a a a a -=-+++112，}{n a ∴为等差数列，设公差为d ， 由题意得2382-=⇒+=d d ，n n a n 210)1(28-=--=∴. （2）若50210≤≥-n n 则，||||||,521n n a a a S n +++=≤ 时
2
1281029,2
n n
a a a n n n +-=+++=
⨯=-
6n ≥时，n n a a a a a a S ---+++= 76521
4092)(2
555+-=-=--=n n S S S S S n n
故=n S
40
992
2
+--n n n
n
65
≥≤n n
（3）)1
1
1(21)1(21)12(1+-=+=-=
n n n n a n b n n
∴n T )]1
11(
)11
1()4
13
1(
)3
12
1(
)2
11[(21+-
+-
-++-
+-
+-
=
n n
n
n .)
1(2+=
n n
若32
m
T n >
对任意*N n ∈成立，即
16
1m
n n
>+对任意*N n ∈成立，
)(1*
N n n n ∈+ 的最小值是21，,2
116<∴m m ∴的最大整数值是7。

即存在最大整数,7=m 使对任意*N n ∈，均有.32
m
T n >
说明：本例复习数列通项，数列求和以及有关数列与不等式的综合问题。

.。