中考数学总复习第十一章解答题第53讲第1课时课堂本课件
人教版数学八上第十一章三角形复习课件共34张PPT
2
。
（3，3，1；2，2，3）
1、如图，求△ABC各内角的度数。 A
解：3x + 2x + x = 180
35xx
6x=180
X=30
23xx
B
xx C
∴三角形各内角的度数分别为：30°，60°，90°
2、已知三角形三个内角的度数比为1：3：5， 求解这：三设个三内个角内的角度分数别。为x，3x，5x
B A
小莉的设计方案：先在池塘旁取一个能
直接到达A和B处的点C，连结AC并延长至
D点，使AC=DC，连结BC并延长至E点，
使BC=EC，连结CD，用米尺测出DE的长，
这个长度就等于A，B两点的距离。请你说
明理由。
解： AC=DC
∠ACB=∠DCE
A
B
BC=EC
C
△ACB≌△DCE(SAS)
E
D
AB=DE
则x + 3x + 5x = 180 x=20
∴三角形三个内角分别为：20°，60°，100°
题型考查
1.符合条件∠A+∠B=62°的三角形是( C )
A、锐角三角形 C、钝角三角形
B、直角三角形 D、不能确定
2.在下列长度的四根木棒中，能与4㎝，9㎝ 两根木棒围成三角形的是( C )
A、4㎝ B、5㎝ C、9㎝ D、14㎝ 3.如图，在△ABC中，∠A=70° A
点，∠1=∠2，AE=DE，
试求AB=DC。
AD
12
BEC
简解：∵E是BC的中点， ∴BE=EC。又∴ ∠1=∠2，AE=DE， △ABE≌△DCE(SAS)，∴AB=DC 。
3.如图，已知BE⊥AD， CF⊥AD，且BE=CF，请你 判断AD是△ABC的中线还是
中考数学复习 第11讲 反比例函数课件
4
∴反比例函数 y= 的表达式为 y=- .
第二十二页，共二十八页。
(2)∵直线与反比例函数(hánshù)相交于点D,
4
= 4, = -1,
∴联立
得
或
= - + 3, = -1 = 4,
∵点 D 在第二象限,
∴D(-1,4).
1
3
∴S△AOD= ×3×1= .
考点四
考点二反比例函数的图象和性质
1.图象
(1)反比例函数的图象是双曲线
,它有两 个分支.
(2)反比例函数y= (k≠0)
中,因为x≠0,y≠0,故图象不经过原点
.
(3)双曲线关于原点 对称.
(4)反比例函数的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形.
2.性质
当k>0时,反比例函数y= (k≠0)的图象分别位于第一、三 象限,同一个
方法点拨本题主要考查了反比例函数的性质.有两种做法:(1)作出草
图(cǎotú),根据图象找出正确信息;(2)直接利用反比例函数的增减性分析得出
答案.
第十页，共二十八页。
考法1
考法2
考法3
考法4
考法5
考法6
反比例函数中系数k的几何意义
由于y= 也可变形为xy=k,由此可知,过双曲线上任意一点作x轴、y轴
图象上一点
,作
.
分析:过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作
垂线所围成的直角三角形面积S是个定值,即S= |k|.
1
2
答案:4
解析(jiě xī):∵点A是反比例函数y= 图象上一点,作AB⊥x轴,垂足为点B,
2024中考数学总复习第11讲 反比例函数 课件(共49张PPT)
A. B. C. D.
4.（北师大九上P155随堂练习第1题改编）若点 ， 在反比例函数 的图象上，则 ___ .（填“ ”“ ”或“ ”）
2
3
3
B
A.2 B. C.1 D.
知识点二 反比例函数的图象与性质
表达式
为常数，且
的取值范围
图象
பைடு நூலகம்
图象特征
由分别位于两个象限的曲线组成，图象无限接近坐标轴，但都不会与坐标轴相交
所在象限
第一、三象限
第二、四象限
增减性
在每个象限内，函数 的值随 的增大而______
（1）分别求出图中 段、 段和 段所对应的函数解析式.
解：停止加热时，设 .由题意得 ，解得 . .当 时，解得 . 点 的坐标为 . 点 的坐标为 .
轴、 轴
回归教材：1.（人教九下P3练习第1题改编）近视眼镜的度数 （度）与镜片焦距 成反比例.已知400度近视眼镜镜片的焦距为 ，则 关于 的函数解析式为( )
C
A. B. C. D.
2.（北师大九上P150“做一做”第3题改编）已知 是 的反比例函数，下表给出了 与 的一些值，表中“ ”处的数为( )
在每个象限内，函数 的值随 的增大而______
对称性
图象既是轴对称图形，对称轴为直线 ，又是中心对称图形，对称中心为原点
易错警示：反比例函数的图象不是连续曲线，而是两条分布在不同象限的曲线，讨论反比例函数的增减性时，要结合函数图象所在的象限.
减小
增大
续表
回归教材：3.（人教九下P9习题26.1第8题改编）在同一直角坐标系中，函数 和 的图象大致是( )
方法指导 此题考查了反比例函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键.解答时要仔细观察表格中的数据，得出函数类型，从而得出函数解析式，进而解决问题.
九年级数学中考复习第十一周 全等三角形 答案版
九数学中考复习（第十一周）全等三角形谜题：最高峰(数学名词) （顶点）【考点梳理】考点一、基本概念1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.2.全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等.要点诠释：全等三角形的周长、面积相等；对应的高线，中线，角平分线相等.3.全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等(SSS)；（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)；（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)；（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL).考点二、灵活运用定理三角形全等是证明线段相等，角相等的最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．应用三角形全等的判别方法注意以下几点：1. 条件充足时直接应用判定定理要点诠释：在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等.这种情况证明两个三角形全等的条件比较充分，只要认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．2. 条件不足，会增加条件用判定定理要点诠释：此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，即从求证入手，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．3. 条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判定定理要点诠释：在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．常见的几种辅助线添加：①遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”；②遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的“旋转”；③遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理；④过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；⑤截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分之类的题目．【巩固练习】一、选择题1．如图，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D、E为两个顶点画位置不同的三角形，使所画的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可画出( ) .A.2个B.4个C.6个D.8个2．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为AC 的中点，AE⊥BD交BC于E，若∠BDE=，∠ADB的大小是（）．A ．B ．C ．D ．3．如图，△ABC中，∠C为钝角，CF为AB上的中线，BE为AC上的高，若CF=BE，则∠ACF的大小是（）.A．45° B．60° C．30° D．不确定4．如图，△ABC中，∠BAC=90° AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=2∠C，∠DAE的度数是( ) .A. 45°B. 20°C. 30°D. 15°5．（2014春•安岳县校级期中）如图，六边形ABCDEF中，每一个内角都是120°，AB=12，BC=30，CD=8，DE=28．求这个六边形的周长为（）A．125 B．126 C．116 D．108【典型例题】类型一、全等三角形1．如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB．求证：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ．【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题．【答案与解析】证明：（1）∵BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，∴∠1+∠CAE=90°，∠2+∠CAE=90°．∴∠1=∠2,∵在△AQC和△PAB中，∴△AQC≌△PAB．∴ AP=AQ.(2)∵ AP=AQ，∠QAC=∠P，∵∠PAD+∠P=90°，∴∠PAD+∠QAC=90°，即∠PAQ=90°．∴AP⊥AQ．【总结升华】在确定全等条件时，注意隐含条件的寻找.举一反三：【变式】（2015•永州）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延长AD到E点，使DE=AB．（1）求证：∠ABC=∠EDC；（2）求证：△ABC≌△EDC．【答案与解析】（1）证明：在四边形ABCD中，∵∠BAD=∠BCD=90°，∴90°+∠B+90°+∠ADC=360°，∴∠B+∠ADC=180°，又∵∠CDE+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠CDE，（2）连接AC，由（1）证得∠ABC=∠CDE，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（SAS）．类型二、灵活运用定理2．如图，已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE＋CF＞EF.【思路点拨】将所求的线段转移到同一个或相关联的三角形中进行求解．【答案与解析】证明：延长ED至M，使DM=DE，连接 CM，MF,在△BDE和△CDM中，∴△BDE≌△CDM（SAS）．∴BE=CM.又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4 ，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴∠3＋∠2=90°，即∠EDF＝90°，∴∠FDM＝∠EDF ＝90°．在△EDF和△MDF中∴△EDF≌△MDF（SAS）,∴EF＝MF （全等三角形对应边相等）,∵在△CMF中，CF＋CM＞MF（三角形两边之和大于第三边）,∴BE＋CF＞EF.【总结升华】当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中.举一反三：【变式】如图所示，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF. 求证：AC=BF.【答案】证明：延长AD到H，使得DH=AD，连结BH，∵ D为BC中点，∴ BD=DC，在△ADC和△HDB中，∴△ADC≌△HDB(SAS)，∴ AC=BH, ∠H=∠HAC，∵ EA=EF，∴∠HAE=∠AFE，又∵∠BFH=∠AFE，∴ BH=BF，∴ BF=AC．3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞AD，试判断AB-AD与CD-CB的大小关系，并证明你的结论．【思路点拨】解答本题的关键是熟练运用三角形中大边对应大角的关系．【答案与解析】AB-AD＞CD-CB；证明：在AB上取一点E，使得AE=AD，连结CE．∵AC平分∠BAD，∴∠1=∠2．∵在△ACE和△ACD中，∴△ACE≌△ACD．∴CD=CE．∵在△BCE中，BE＞CE-CB，即AB-AE＞CE-CB，∴AB-AD＞CD-CB．【总结升华】本题也可以延长AD到E，使得AE=AB，连结CE．涉及几条线段的大小关系时，用“截长补短”法构造全等三角形是常用的方法．举一反三：【变式】如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC．【答案】证明：∵AB＞AC，在AB上截取AE＝AC，连接ME．在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形两边之差小于第三边）．在△AMC和△AME中，∴△AMC≌△AME（SAS）．∴MC＝ME（全等三角形的对应边相等）．又∵BE＝AB－AE，∴BE＝AB－AC，∴MB－MC＜AB－AC．4．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC=AE+CD．【思路点拨】在AC上取AF=AE，连接OF，即可证得△AEO≌△AFO，得∠AOE=∠AOF；再证得∠COF=∠COD，则根据全等三角形的判定方法AAS即可证△FOC≌△DOC，可得DC=FC，即可得结论．【答案与解析】在AC上取AF=AE，连接OF，∵AD平分∠BAC、∴∠EAO=∠FAO，在△AEO与△AFO中，∵AE AFEAO FAOAO AO=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△AEO≌△AFO（SAS），∴∠AOE=∠AOF；∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∴∠ECA+∠DAC=12（180°-∠B）=60°则∠AOC=180°-∠ECA-∠DAC=120°；∴∠AOC=∠DOE=120°，∠AOE=∠COD=∠AOF=60°，（对顶角相等）则∠COF=60°，∴∠COD=∠COF，又∵∠FCO=∠DCO，CO=CO，∴△FOC≌△DOC（ASA），∴DC=FC，∵AC=AF+FC，∴AC=AE+CD．【总结升华】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．类型三、综合运用5 （2015•泰安）如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：（1）DF=AE；（2）DF⊥AC．【思路点拨】（1）由等边三角形的性质可写出结论．（2）要证明以上结论，需创造一些条件，首先可从△ABC中分出一部分使得与△ACF的面积相等，则过A作AM∥FC交BC于M，连接DM、EM，就可创造出这样的条件，然后再证其它的面积也相等即可．【答案与解析】证明：（1）延长DE交AB于点G，连接AD．∵四边形BCDE是平行四边形，∴ED∥BC，ED=BC．∵点E是AC的中点，∠ABC=90°，∴AG=BG，DG⊥AB．∴AD=BD，∴∠BAD=∠ABD．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠BAD=45°，即∠BDE=∠ADE=45°．又BF=BC，∴BF=DE．∴在△AED与△DFB中，，∴△AED≌△DFB（SAS），∴AE=DF，即DF=AE；（2）设AC与FD交于点O．∵由（1）知，△AED≌△DFB，∴∠AED=∠DFB，∴∠DEO=∠DFG．∵∠DFG+∠FDG=90°，∴∠DEO+∠EDO=90°，∴∠EOD=90°，即DF⊥AC．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．举一反三：【变式】如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°,四边形ACDE是平行四边形，连结CE 交AD于点F，连结BD交CE于点G，连结BE. 下列结论中：① CE=BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；④CD·AE=EF·CG；一定正确的结论有( ) ．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个AB【答案】D.6．如图，已知△ABC.（1）请你在BC边上分别取两点D、E(BC的中点除外)，连结AD、AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；（2）请你根据使(1)成立的相应条件，证明AB+AC＞AD+AE．【思路点拨】考查了三角形面积的求法，全等三角形的判定以及三角形三边的关系．本题（2）中通过构建全等三角形将已知和所求条件转化到相关的三角形中是解题的关键．【答案与解析】（1）令BD=CE≠DE,有△ABD和△ACE，△ABE和△ACD 面积相等.（2）取DE的中点O，连结AO并延长到F点，使得FO=AO，连结EF，CF．在△AD0和△FEO中，又∠AOD=∠FOE，DO=EO,可证△ADO≌△FEO．所以AD=FE．因为BD=CE，DO=EO，所以BO=CO.同理可证△ABD≌△FCO，所以AB=FC.延长AE交CF于G点,在△ACG中，AC+CG＞AE+EG，在△EFG中，EG+FG＞EF,可推得AC+CG+EG+FG＞AE+EG+EF,即AC+CF＞AE+EF,所以AB+AC＞AD+AE.【总结升华】正确构造全等和利用三角形的任意两边之和大于第三边的结论是关键.举一反三：【变式】在△ABC中，,∠ACB=90°，AC=BC ，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE；(3)当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证明．【答案】(1)证明：∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE．又AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，∴△ADC≌△CEB．∴CD=BE，AD=CE．∴DE=CE+CD=AD+BE．（2）证明：∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE．又AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，∴△ADC≌△CEB．∴CD=BE，AD=CE．∴DE=AD-BE．（3）证明：∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE．又AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，∴△ADC≌△CEB．∴CD=BE，AD=CE．∴DE=BE-AD．。
2025年贵州九年级中考数学一轮复习课件：第11节反比例函数及其应用
常见类型
_x001A_阴影 = _x001B_
_x001A_阴影=||
_x001A_阴影=||
2.反比例函数解析式的确定（1）待定系数法①设反比例函数的解析式为；②找出反比例函数图象上的一点代入解析式；③确定反比例函数的解析式为（2）利用<m></m>的几何意义求解①若面积已知，可考虑用的几何意义;②由面积得，再结合图象所在象限判断的正负，从而得出的值，最后代入解析式即可
第11节
反比例函数及其应用
01
核心考点 精讲练
考点
1
反比例函数的图象与性质（重点）
例1 已知反比例函数 .
（1）该反比例函数的图象在第________象限,且在每一个象限内, 的值随 的增大而______（填“增大”或“减小”）；（2）若点,在该反比例函数的图象上,则的值为_____, 的值为____；（3）若点在该反比例函数图象上，则点 ____该反比例函数图象上（填“在”或“不在”）;
（4）线段上有一动点，连接，则 的面积为_____.
变式2图
变式2 （2020黔西南州9题）如图，在菱形 中，， ，菱形的一个顶点 在反比例函数 的图象上，则反比例函数的解析式为( )
A. B. C. D.
√
1.反比例函数中的几何意义
的几何意义
过反比例函数图象上一点，分别作轴、 轴的垂线，，则
解：将代入，解得 ， 反比例函数的表达式为 .
（2）点，，都在反比例函数的图象上，比较，， 的大小，并说明理由.
解：，理由如下：将点，，分别代入 ，解得，，， .
命题点
2
反比例函数 的几何意义及解析式的确定（贵阳2020.12）
第5题图
中考数学总复习 第十一章 解答题 第53讲 第1课时(课堂本)课件
(1)求证：四边形 OCED 是菱形； (2)连接 AE，若 AB＝6 cm，BC＝ 5 cm. ①求 sin∠EAD 的值； ②若点 P 为线段 AE 上一动点(不与点 A 重合)，连接 OP.一动 点 Q 从点 O 出发，以 1 cm/s 的速度沿线段 OP 匀速运动到点 P，再以 1.5 cm/s 的速度沿线段 PA 匀速运动到点 A，到达点 A 后停止运动．当点 Q 沿上述路线运动到点 A 所需要的时间最 短时，求 AP 的长和点 Q 走完全程所需要的时间．
第二十二页，共五十三页。
(1)填空：AD＝ 2 6 (cm)，DC＝ 2 2 (cm)； (2)点 M，N 分别从 A 点，C 点同时以每秒 1 cm 的速度等速出 发，且分别在 AD，CB 上沿 A→D，C→B 的方向运动，当 N 点运动到 B 点时，M，N 两点同时停止运动，连接 MN，求当 点 M，N 运动了 x 秒时，点 N 到 AD 的距离(用含 x 的式子表 示)；
第八页，共五十三页。
②当38＜x≤4 时，M 在 BC 上运动，N 在 OB 上运动．如图 2，
作 MH⊥OB 于 H，则 BM＝8－1.5x，MH＝BM·sin 60°＝ 23(8－1.5x)，∴y＝21ON·MH＝－383x2＋2 3x.当 x＝83时，y 取最大值，y＜833.
第九页，共五十三页。
第十五页，共五十三页。
①如图①，当 E 在线段 OC 上时，△ DEC 是等腰三角形，观 察图象可知，只有 ED＝EC， ∴∠DBE ＝ ∠DCE ＝ ∠EDC ＝ ∠EBC ＝ 30°， ∴∠DBC ＝ ∠BCD＝60°，
第十六页，共五十三页。
∴△DBC 是等边三角形，∴DC＝BC＝2，在 Rt△ AOC 中， ∵∠ACO＝30°，OA＝2， ∴AC＝2AO＝4，∴AD＝AC－CD＝4－2＝2，∴当 AD＝2 时， △ DEC 是等腰三角形．
中考数学总复习 第十一章 解答题 第50讲 第1课时(课堂本)课件
∴点 B 的坐标为(2,1)．
第二十页，共三十七页。
(3)如图，作点 B 作关于 x 轴的对称点 D，交 x 轴于点 C，连 接 AD，交 x 轴于点 P，此时 PA＋PB 的值最小，连接 PB.
第二十一页，共三十七页。
∵点 B，D 关于 x 轴对称，点 B 的坐标为(2,1)，∴点 D 的坐 标为(2，－1)． 设直线 AD 的解析式为 y＝mx＋n， 把 A，D 两点代入得m2m＋＋nn＝＝2－1 ，解得mn＝＝5－3 ，
第二十八页，共三十七页。
(3)在第三象限的反比例图象上是否存在一个点 P，使得 S△ODP ＝2S△OCA？若存在，请求出来 P 的坐标；若不存在，请说明理 由．
第二十九页，共三十七页。
解：(1)∵点 A，B 的横坐标分别为 1，－2， ∴y＝2，或 y＝－1，∴A(1,2)，B(－2，－1)． ∵点 A，B 在一次函数 y＝kx＋b 的图象上， ∴2－＝1k＝＋－b，2k＋b， ∴kb＝＝11，， ∴一次函数的解析式为 y＝x＋1.
第二十二页，共三十七页。
∴直线 AD 的解析式为 y＝－3x＋5.令 y＝－3x＋5 中 y＝0， 则－3x＋5＝0，解得 x＝53，∴点 P 的坐标为35，0.
第二十三页，共三十七页。
5．如图，在平面直角坐标系中，O 为点 B，反比例函数 y＝xk(x＞0)的图象经 过 AO 的中点 C，且与 AB 相交于点 D，OB＝4，AD＝3. (1)求反比例函数 y＝kx的解析式； (2)求 cos∠OAB 的值； (3)求经过 C，D 两点的一次函数解析式．
一次函数与反比例函数
23 9分 函数综合题
一次函数与反比例函数
23 9分 函数综合题
二次函数
中考一轮复习讲义第十一章全等三角形
第十一章全等三角形本章小结小结1本章概述本章的主要内容是全等三角形，主要学习全等三角形的性质及各种三角形全等的判定 方法，同时学习如何利用全等三角形进行证明•学习利用三角形全等推导出角平分线的性 质及判定•全等三角形是研究图形的重要工具，是几何学习中最基础的知识，为今后学习 四边形、圆等内容打下基础. 小结2本章学习重难点【本章重点】1 •全等三角形的性质及各种判定三角形全等的方法. 2 •角平分线的性质及判定.3 •理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式.【本章难点】 1 •根据不同的条件合理选用三角形全等的判定方法，特别是对于 “ SSA ”不能判定三角形全等的认识.2•角平分线的性质和判定的正确运用. 3 •用综合法证明的格式. 小结3学法指导 1.注意在探究中掌握结论.2 •三角形全等的判定方法较多，注重在对比中掌握这些结论.3•注重推理能力的培养，推理时前因后果写清楚，过程书写要严密，有理有据. 4 •注重联系实际.5•注意分类讨论思想、转化思想、数学建模思想等的应用，掌握作辅助线的技巧.知识网络结构图「全等形「能够完全国令的两个图形f 巨込匚能够完全重合的两个三角形（2）性质「全尊三角形的对应边相等'对应角相等OTSSS"定理②^SAS*1定理（3）判定§③^ASA**定理④tt AAS"定理，⑤对于直角三角形还有“HI 广定理（?）判定’角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 ① 已知三边作三角形 ② 已知两边和夹角柞三角形③ 已知两角和夹边作三角形⑤已知直角边和斜边作直角三角形［⑥作角的平分线（包括平角）全等三角形«全等三角形〈（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等专题总结及应用一、知识性专题专题1三角形全等的判定与性质的综合应用【专题解读】三角形的全等的判定要根据题目的具体情况确定采用SAS, ASA，AAS, SSS HL中的哪个定理，而且这几个判定方法往往要结合其性质综合解题.例1如图11-113所示，BD , CE分别是△ ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延线上，BP= AC,点Q在CE 上, CQ = AB.（1）求证AP= AQ;（2）求证AP I AQ.分析（1）欲证AP = AQ，只需证对应的两个三角形全等，即证△ ABPQCA即可.（2）在（1）的基础上证明/ PAQ= 90°.证明：（1）v BD , CE分别是△ ABC的边AC , AB上的高，•••/ ADB = Z AEC = 90°在Rt A AEC 和Rt A ADB 中，/ ABP = 90° - Z BAD，/ ACE= 90。
中考数学复习 第11讲 反比例函数课件
8
解:(1)将点 A(2,4)代入 y= ,得 m=8,则反比例函数解析式为 y= ,
当 x=-4 时,y=-2,则点 B(-4,-2),将点 A(2,4),B(-4,-2)代入 y=kx+b,
2 + = 4,
= 1,
得
解得
则一次函数解析式为 y=x+2.
=
2,
-4 + = -2,
考点四
k
(k≠0)
x 中k的几何意义
1.如图,过双曲线上任意一点P分别作x轴、y轴的垂线PM,PN,所得的矩形
PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|.
又xy=k,∴S=|k|,即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线,所得的矩形面
积为|k| .
2.如上图,过双曲线上的任意一点E作EF垂直于其中一坐标轴,垂足为F,连接
D.第二、四象限
2021/12/8
第十八页，共二十八页。
B )
1
3.(2016 甘肃天水)反比例函数 y=- 的图象上有两点
P1(x1,y1),P2(x2,y2),若x1<0<x2,则下列结论(jiélùn)正确的是(
A.y1<y2<0
B.y1<0<y2
C.y1>y2>0
D.y1>0>y2
1
解析:∵y=- ,∴xy=-1.∴x,y 异号.
考法4
考法6
考法5
例2(2018湖南怀化)函数y=kx-3与y= (k≠0)在同一坐标系内的图象可能
是(
)
分析:根据(gēnjù)当k>0或k<0时,y=kx-3和y= (k≠0)经过的象限,二者一致的
中考一轮复习讲义第十一章全等三角形
第十一章全等三角形本章小结小结1 本章概述本章的主要内容是全等三角形，主要学习全等三角形的性质及各种三角形全等的判定方法，同时学习如何利用全等三角形进行证明．学习利用三角形全等推导出角平分线的性质及判定．全等三角形是研究图形的重要工具，是几何学习中最基础的知识，为今后学习四边形、圆等内容打下基础．小结2 本章学习重难点【本章重点】 1．全等三角形的性质及各种判定三角形全等的方法．2．角平分线的性质及判定．3．理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式．【本章难点】 1．根据不同的条件合理选用三角形全等的判定方法，特别是对于“SSA”不能判定三角形全等的认识．2．角平分线的性质和判定的正确运用．3．用综合法证明的格式．小结3 学法指导1．注意在探究中掌握结论．2．三角形全等的判定方法较多，注重在对比中掌握这些结论．3．注重推理能力的培养，推理时前因后果写清楚，过程书写要严密，有理有据．4．注重联系实际．5．注意分类讨论思想、转化思想、数学建模思想等的应用，掌握作辅助线的技巧．知识网络结构图专题总结及应用一、知识性专题专题1 三角形全等的判定与性质的综合应用【专题解读】三角形的全等的判定要根据题目的具体情况确定采用SAS，ASA，AAS，SSS，HL中的哪个定理，而且这几个判定方法往往要结合其性质综合解题．例1 如图11-113所示，BD，CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延线上，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB．（1）求证AP＝AQ；（2）求证AP⊥AQ．分析（1）欲证AP＝AQ，只需证对应的两个三角形全等，即证△ABP≌△QCA即可．（2）在（1）的基础上证明∠PAQ＝90°．证明：（1）∵BD，CE分别是△ABC的边AC，AB上的高，∴∠ADB＝∠AEC＝90°．在Rt△AEC和Rt△ADB中，∠ABP＝90°－∠BAD，∠ACE＝90°一∠DAB，∴∠ABP＝∠ACE．在△ABP和△QCA中，BP＝CA（已知），∠ABP＝∠ACE（已证），AB＝QC（已知），∴△ABP≌△QCA（SAS）．∴AP＝AQ（全等三角形的对应边相等）．（2）∵△ABP≌△QCA，∴∠P＝∠CAQ（全等三角形的对应角相等）．又∵∠P＋∠PAD＝90°，∴∠CAQ＋∠PAD＝90°，即∠QAP＝90°，∴AP⊥AQ．例2 若两个锐角三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等．试判断这两个三角形的第三边所对的角之间的关系，并说明理由．分析运用全等三角形的判定和性质，探讨两角之间的关系，题中没给图形，需自己根据题意画出符合题意的图形，结合图形写出已知、结论．已知：如图11-114所示，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，AD，A′D′分别是BC，B′C′上的高，且AD ＝A′D′．判断∠B和∠B′的关系．解：∠B＝∠B′．理由如下：∵AD，A′D′分别是BC，B′C′边上的高，∴∠ADB＝∠A′D′B′＝90°．在Rt△ADB和Rt△A′D′B′中，,, AB A B AD AD''=⎧⎨=⎩∴Rt△ADB≌Rt△A′D′B′（ HL）．∴∠B＝∠B′（全等三角形的对应角相等）．规律·方法边、角、中线、角平分线、高是三角形的基本元素，从以上诸元素中选取三个条件组合，可以得到关于三角形全等判定的若干命题．例3 如图11-115所示，已知四边形纸片ABCD中，AD∥BC，将∠ABC，∠DAB分别对折，如果两条折痕恰好相交于DC上一点E，点C，D都落在AB边上的F处，你能获得哪些结论?分析对折前后重合的部分是全等的，从线段关系、角的关系、面积关系等不同方面进行探索，以获得更多的结论，这是一道开放性试卷．解：①AD＝AF，ED＝EF＝EC，BC＝BF．②AD十BC＝AB，DE＋EC＝2EF．③∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠D＝∠AFE，∠C＝∠EFB，∠DEA＝∠FEA，∠CEB＝∠FEB．④∠AEB＝90°或EA⊥EB．⑤S△DAE＝S△EAF，S△ECB＝S△EFB.【解题策略】本题融操作、观察、猜想、推理于一体，需要具有一定的综合能力．推理论证既是说明道理，也是探索、发现的途径．善于在复杂的图形中发现、分解、构造基本的全等三角形是解题的关键．需要注意的是，通常面临以下情况时，我们才考虑构造全等三角形：（1）给出的图形中没有全等三角形，而证明结论需要全等三角形．（2）从题设条件中无法证明图形中的三角形全等，证明需要另行构造全等三角形．专题2全等三角形的性质及判定的实际应用【专题解读】全等三角形的知识在实际问题中的应用是常见的一种类型题，解题的是键是将实际问题抽象成几何问题来解决，一般难度不大．例4 如图11-116所示，太阳光线AC与A′C′是平行的，同一时刻两根高度相同的木杆在太阳光照射下的影子一样长吗?说说你的理由．分析本题欲确定影子一样长，实际就是证明BC与B′C′相等，而要证明两条线段相等，常常证明它们所在的两个三角形全等．解：影子一样长．理由如下：因为AB⊥BC，A′B⊥B′C′，所以∠ABC＝∠A′B′C′＝90°．因为AC∥A′C′，所以∠ACB＝∠A′C′B′．在△ABC和△A′B′C′中，∠ABC＝∠A′B′C′,∠ACB＝∠A′C′B′,AB＝A′B′,所以△ABC≌△A′B′C′（AAS），所以BC＝B′C′（全等三角形的对应边相等）．专题3 角平分线的性质及判定的应用【专题解读】此部分内容单独考查时难度不大，要注意角平分线的性质及判定的区别与联系．例5 如图11-117所示．P是∠AOB的平分线上的一点，PC⊥AO于 C，PD⊥OB于D，写出图中一组相等的线段（只需写出一组即可）．分析本题主要运用角平分线的性质定理来解决，同时本题是一道开放性试卷，答案不唯一．故填PD＝PC（或OD＝OC）．【解题策略】OC与OD相等可通过三角形全等来得到．例6 如图11-118所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC 且平分BC．交BC于G，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC交AC的延长线于F．（1）说明BE＝CF的理由；（2）如果AB＝a，AC＝b，求AE．BE的长．分析本题综合考查了角平分线与全等三角形的性质及判定，难度中等．解：（1）连接BD，CD，∵AD是∠BAC的平分线，且DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF．又∵DG⊥BC且BG＝GC，∴△DBG≌△DCG，∴DB＝DC．∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE＝CF．（2）∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠DEA ＝∠DFA ＝90°．在Rt △ADE 和Rt △ADF 中，Rt △ADF 中,,AD AD DE DF =⎧⎨=⎩ ∴Rt △ADE ≌Rt △ADF （HL ）．∴AE ＝AF ．又∵BE ＝CF ，∴a －BE ＝6＋BE ．∴2BE ＝a －b ，即BE ＝2a b - ∴AE ＝AB －BE ＝a －2a b -=2a b +． 专题4 利用尺规作图，作一个三角形与另一个三角形全等或作一个角的平分线【专题解读】 尺规作图是数学的重要知识之一，作一个角的平分线和作一个三角形全等于另一个三角形是尺规作图中的基本作图．很多复杂的图形都是通过这些简单的基本图形作出来的．例7 如图11-119所示，已知△ABC ，在△ABC 内求作一点P ，使它到△ABC 三边的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）分析 到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点，其实只需作出两个角的平分线，即可确定P 点的位置，作图痕迹指的是确定点P 的过程．解：如图11-120所示．二、思想方法专题专题5分类讨论思想【专题解读】对于三角形全等的有些性质及判定的问题，由于已知条件的不确定或开放性问题．常用到分类讨论思想．例8如图11- 121所示，在△ABD和△ACE中，有下列四个论断：①AB＝AC②AD＝AE；③∠B＝∠C；①BD＝CE．请以其中三个论断作为条件．余下一个作为结论，写出一个正确的数学命题（用序号⊗⊗⊗⇒⊗的形式写出）：．分析解决本题一方面用分类讨论的数学思想来考虑问题，另一方面需熟练应用全等三角形的性质及判定方法．具体分析如下：（1）以①为结论．②③④为条件：在△ABD和△ACE中，,AD AEB C=∠=∠⇒BD CE⎧⎪⎨⎪=⎩△ABD≌△ACE⇒AB＝AC．∴不能以②③④为条件，①为结论．（2）以②为结论，①③④为条件：在△ABD和△ACE中，,,,AB ACB CBD CE=⎧⎪∠=∠⇒⎨⎪=⎩△ABD≌△ACE（SAS）⇒AD＝AE．∴能以①③④为条件，②为结论．（3）以③为结论，①②④为条件：在△ABD 和△ACE 中，AB AC AD AE BD CE =⎧⎪=⇒⎨⎪=⎩△ABD ≌△ACE （SSS ）⇒∠B ＝∠C ．∴能以①②④为条件，③为结论．（4）以④为结论，①②③为条件：在△ABD 和△ACE 中，AB AC AD AE ==⇒B C ⎧⎪⎨⎪∠=∠⎩△ABD ≌△ACEC ⇒BD ＝CE ．∴不能以①②③为条件，④为结论．∴正确的结果有两种：其一：①③④⇒②；其二：①②④⇒③．两者任选其一即可．故填①③④⇒②或①②④⇒③．专题6转化思想【专题解读】 三角形全等是证明线段相等、角相等最常用的方法．证线段（或角）相等往往转化为证线段（或角）所在的两个三角形全等．当需证的两个全等的三角形不明显时，还要添加辅助线，构造全等三角形．例9 如图11-122所示，已知AB ＝CD ，AD ＝BC ，求证∠B ＝∠D ，∠A ＝∠C ．分析 本题是证明四边形的对角相等，需构造全等三角形，转化为证三角形全等．为此，需作辅助线AC ，把四边形ABCD 分成△ACD 和△CBA ．证明：连接AC ，在△ADC 和△CBA 中，,,,AD BC DC BA AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△CBA （SSS ）．∴∠D ＝∠B ．同理∠DAB ＝∠DCB ．例10 如图11-123所示．△ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，且DE ＝2㎝，AB ＝9㎝，BC ＝6㎝，你能求出△ABC 的面积吗?分析 要求△ABC 的面积，只需分别求出△ABD 和△BCD 的面积即可．在△ABD 中．底AB ．高DE 都知道在△BCD 中，底BC 知道，高没画出来，所以问题就转化为求△BCD 的高，这里可以作辅助线DF ⊥BC 于F ．解：作DF ⊥BC 于F ．因为BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，所以DE ＝DF ． 由DE ＝2 cm ，可知DF ＝2 cm ．所以S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ＝ 12AB ·DE ＋12BC ·DF ＝12×9×2＋12×6×2＝15（㎝2）．专题7数学建模思想【专题解读】 全等三角形在实际生活中有很多的应用．比如，测量工具内槽宽的工具——卡钳，测量不能直接测量的两点间的距离等．对于这些实际问题，往往是根据实际情况，建立数学模型，利用数学原理解决问题．例11 如图11-124所示的是人民公园中的荷花池，现要测量此荷花池两旁A，B两棵树之间的距离，但无法直接测量，请你运用所学知识，以卷尺和测角仪为测量工具设计一种测量方案．要求：（1）画出你设计的测量平面图；（2）简述测量方法，并写出测量数据（长度用a，b，c，…表示，角度用α,β,γ，…表示）；（3）根据你测量的数据，计算A,B两棵树之间的距离．分析依题意．结合图形解题，我们可以用SAS，ASA，AAS等方法构造出两个全等三角形，即可用卷尺测出与AB相等的边的长度，从而得到A，B间的距离．解法1：如图11-125所示，在平面内选取一个可以直接到达A，B的点C，连接AC并延长至D，使AC＝CD，连接BC并延长至E，使BC＝CE．连接ED，用卷尺分别测出AC＝CD＝b，BC＝CE＝a，ED＝c，则A，B两点间的距离AB＝ED＝c．解法2：作射线BM，如图11-126所示，在射线BM上取一点C，使点C能达到点A.在BM上取一点E，使BC＝CE＝a．过点E作∠BED ＝∠ABC＝a，连接AC并延长，与ED相交于D点，这样易知△ABC≌△DEC（ASA），所以AB＝DE，用卷尺可测出ED的长为b，则A，B间的距离为b．【解题策略】事实上，用测量的方法获得两个不能直接测量的两地之间的距离，除了用三角形全等的方法外，在学习了相似三角形后，也可通过相似的方法获得测量方法和结果．专题8类比思想【专题解读】对于几何图形的运动问题（如平移、旋转等）以及一些规律探究题，常常会出现一个基本图形，无论从图形上还是从解题方法上都比较简单，而其他的较复杂的图形，都是由基本图形通过变化得到的，它和基本图形有很多类似的条件和结论．类比基本图形，可以解决复杂图形的问题，主要考查观察能力和推理、猜测能力．例12 （规律探究题）如图11-127（1）所示，AB＝CD，AD＝BC，O为AC的中点，过O点的直线分别与AD，BC相交于M，N，那∠1和∠2有什么关系?请证明；将过O点的直线旋转至图11-127（2）（3）的位置时，其他条件不变，那∠图（1）中的∠1和∠2的关系还成立吗?请证明．分析图（1）是基本的图形，在图（1）中证∠1＝∠2不难，在图（2）（3）中证∠1＝∠2，可以类比在图（1）中证明时的方法．解：∠1＝∠2．证明：在△ABC 和△CDA 中，,,,AB CD BC DA AC CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△ABC ≌△CDA（SSS ）．所以∠BCA ＝∠DAC ．所以AD ∥BC ．所以∠1＝∠2．当直线旋转到图（2）（3）的位置时，仍有∠1＝∠2，证明方法同上．例13（动手操作题）正方形通过剪切可以拼成一个三角形，如图11－128所示．仿照图（1）所示的方法，解答下列问题，操作设计（在原图上画出即可）．（1）如图11-128（2）所示，对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的长方形；（2）如图11-128（3）所示，对于任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原图形面积相等的长方形；（3）如图11-128（4）所示．对于任意四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原图形面积相等的长方形．分析本题考查观察能力、动手操作能力．剪下来的图形和拼上去的图形实际上是一个图形．拼图的关键在于使剪切下的图形和拼接的图形的全等．普通三角形可以类比直角三角形，四边形可以类比普通三角形．解：（1）如图11-129所示．（2）如图11-130所示．（3）如图11-131所示．【解题策略】（1）第（2）题中任意三角形的剪切、拼接，可以先把它转化为两个直角形，再按照（1）中直角三角形的拼接方法完成．对于任意四边形，则是通过连接对角线，把四边形转化为两个三角形．本题体现了数学中的类比、转化思想．（2）针对图形而言，本题中实质上是构造全等三角形：利用线段中点把线段分成两条相等的线段的条件，再添加一些合适的条件，就可以构造出全等三角形，从而达到转化线段、角以及三角形位置的目的．综合验收评估测试卷（时间：1 20分钟满分：120分）一、选择题（每小题3分，共30分）1．如图11-132所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，∠A ＝80°∠ACB＝60°，那么∠BDC等于（）A．80°B．90°C．100°D．110°2．如图11-133所示，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，则下列结论：①EM＝FN；②CD＝DN；③∠FAN＝∠EAM；④△CAN≌△BAM．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．已知如图11-134所示的两个三角形全等，则∠a的度数是（）A．72°B．60°C．58°D．50°4．如图11-135所示，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC，AC，BD交于点O，则图中全等三角形共有（）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对5．如图11-136所示，给出下列四组条件：①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；②AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；③∠B＝∠E，BC＝EF，∠C ＝∠F；④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组6．如图11-137所示，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A．CB＝CDB．∠BAC＝∠DACC．∠BCA＝∠DCAD．∠B＝∠D＝90°7．如图11-138所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AD＝3，则点D到BC的距离是（）A．3 B．4 C．5 D．68．如图11-139所示，尺规作图作∠AOB的平分线的方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，再分别CD长为半径画弧，两弧交于点以点C，D为圆心，以大于12P，作射线OP．连接CP，DP，由作法得△OCP≌△ODP的根据是（）A．SASB．ASAC．AASD．SSS9．如图11-140所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D．E，F分别是CD，AD上的点，且CE＝AF如果∠AED＝62°，那么∠DBF等于（）A．62°B．38°C．28°D．26°10．如图11-141所示，已知AC⊥BD于点P，AP＝CP，请增加一个条件，使△APB≌△CPD（不能添加辅助线），增加的条件不能是（）A．BP＝DPB．AB＝CDC．AB∥CDD．∠A＝∠D二、填空题（每小题3分，共30分）11．如图11-142所示，若△ABC≌△A1B1C1，且∠A＝110°，∠B＝40°，则∠C1＝．12．如图11-143所示，点D，E在△ABC的BC边上，且BD＝CE，∠BAD＝∠CAE，要推理得出△ABE≌△ACD，可以补充的一个条件是（不添加辅助线，写出一个即可）．13．如图11-144所示，点B在∠DAC的平分线AE上，请添加一个适当的条件：，使△ABD≌△ABC（只填一个即可）．14．如图11-145所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，AC ＝2．按以下步骤作图．①以A为圆心，以小于AC长为半径画弧，分别交AC，AB于点E，D；②分别以D，E为圆心，以大于1DE长为半径画弧，两弧相交于2点P；③连接AP交BC于点F．那么：（1）AB的长等于（直接填写答案）；（2）∠CAF＝（直接填写答案）．15．如图11-146所示，已知CD＝AB，若运用“SAS”判定△ADC≌△CBA，从图中可以得到的条件是，需要补充的直接条件是．16．如图11-147所示，已知BF⊥AC，DE⊥AC，垂足分别为F，E，且BF＝DE，又AE＝CF，则AB与CD的位置关系是．17．如图11-148所示，∠1＝∠2，∠3＝∠4，且AB＝6，则CD ＝．18．如图11-149所示，在△ABE和△ACD中，给出以下四个论断：①AB＝AC；②AD＝AE；③AM＝AN；④AD⊥DC，AE⊥BE．以其中三个论断为题设，填入下面的“已知”栏中，一个论断为结论，填入下面的“求证”栏中，使其组成一个正确的命题．已知：．求证：．19．如图11-150所示，DA⊥AB，EA⊥AC，AB＝AD，AC＝AE，BE 和CD相交于O，AB和CD相交于P，则∠DOE的度数是．20．如图11-151所示，已知AE平分∠BAC，BF⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE＝36°，那么∠BED＝．三、解答题（每小题10分，共60分）21. 如图11-152所示，已知点B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，∠A＝∠D，AC∥DF．（1）求证△ABC≌△DEF；（2）求证BE＝CF．22.如图11-153所示，点B，F，C，E在同一条直线上，点A，D在直线BE的两侧，AB∥DE，AC∥DF，BF＝CE．求证AC＝DF．23.如图11-154所示，点A．B，C．D在同一条直线上，EA⊥AD，FD⊥AD，AE＝DF．AB＝DC．求证∠ACE＝∠DBF．24．如图11-155所示，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC．CE⊥BE，CE与AB相交于点F，AD⊥CF于点D，且 AD平分∠FAC．请写出图中的两对全等三角形，并选择其中一对加以证明．25.如图11-156所示．在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB，ED．（1）求证△BEC≌△DEC；（2）延长BE交AD 于F，当∠BED＝120°时，求∠EFD的度数．26.（1）如图11-157所示，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B，C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN＝90°，求证AM＝MN．下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．证明：在边AB上截取AE＝MC，连接ME．在正方形ABCD中，∠B＝∠BCD＝90°∴∠NMC＝180°－∠AMN－∠AMB＝180°－∠B－∠AMB＝∠MAB．下面请你完成余下的证明过程．（在同一三角形中，等边对等角）（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图11-158所示），N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN ＝60°时，结论AM＝MN是否还成立?请说明理由．（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X”，请你作出猜想：当∠AMN＝时，结论AM＝MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）参考答案1．D[提示：由CD是∠ACB的平分线，∠ACB＝60°，得∠ACD＝30°，又因为∠A＝80°，所以∠BDC＝∠ACD＋∠A＝30°＋80°＝110°．]2．C[提示：由∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF可得出△ACF≌△ABE，从而得出∠EAB＝∠FAC，然后推出△AEM≌△AFN，所以EM＝FN，①成立；由条件可证△CAN≌△BAM，④成立；同时易推出∠FAN＝∠EAM，③成立；只有CD＝DN不一定成立．]3．D[提示：全等三角形中相等边所对的角是对应角，∠a是边b所对的角．]4．B[提示：△ABO≌△DCO，△ABC≌△DCB，△ABD≌△DCA．] 5．C[提示：条件①满足SSS，条件②满足SAS，条件③满足ASA，都能判定△ABC≌△DEF．只有条件④满足SSA，不能判定△ABC≌△DEF．]6．C[提示：添加选项A满足SSS，添加选项B满足SAS，添加选项D满足HL，都能判定△ABC≌△ADC，添加选项C满足SSA，不能判定△ABC≌△ADC．]7．A[提示：由角平分线的性质可知D到BC的距离等于D到AB 的距离．]8．D9．C[提示：由AB＝AC，∠BAC＝90°，可得△ABC是等腰直角三角形，∠C＝45°，由AD⊥BC，可得△ABD是等腰直角三角形，∴∠BAD＝45°．从而推出△ABF≌△CAE，∴∠ABF＝∠CAE．由∠AED＝62°可知∠CAE＝17°，∴∠ABF＝17°.∴∠DBF＝45°－17°＝28°．]10．D[提示：添加BP＝DP或AB＝CD或∠A＝∠C或∠B＝∠D或AB∥CD均可．]11．30°[提示：由∠A＝110°，∠B＝40°，可得∠C＝30°，由△ABC≌△A1B1C1，可得∠C1＝∠C＝30°．]12．∠B＝∠C（答案不唯一）13．AC＝AD[提示：答案不唯一，填∠C＝∠D，∠ABC＝∠ABD 也可．]14．（1）4 （2）30°[提示：由∠BAC＝60°，可得∠B＝AB，AB ＝4．]30°，所以AC＝1215．CA＝AC∠DCA＝∠BAC[提示：根据SAS所需要的条件及题设和图形，不难得到结论．]16．平行[提示：由AE＝CF知AF＝CE，又BF＝DE，∠BFA＝∠DEC＝90°，从而知△ABF≌△CDE，从而∠A＝∠C．故AB∥CD．]17．6[提示：由条件易知△ADC ≌△CBA ，故CD ＝AB ＝6．]18．②③④（或①②④或①③④）①（或③或②）[提示：用分类讨论思想来研究．如果以②③④为题设，①为结论，那么命题正确．∵AD ⊥DC ，AE ⊥BE ，∴∠D ＝∠E ＝90°．在Rt △ADM 和Rt △AEN 中，,,AD AE AM AN =⎧⎨=⎩∴Rt △ADM ≌Rt △AEN （HL ）．∴∠DAM ＝∠EAN （全等三角形的对应角相等）．∴∠DAM ＋∠BAC ＝∠EAN ＋∠BAC ，即∠DAC ＝∠EAB ．在△ADC 和△AEB 中，,,,DAC EAB AD AE D E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADC ≌△AEB （ASA ）∴AC＝AB ．如果以①③④为题设，②为结论，那么命题正确．如果以①②④为题设，③为结论，那么命题正确．如果以①②③为题设，④为结论，那么命题不正确．]19．90°[提示：利用三角形全等来求解．∵DA ⊥AB ，EA ⊥AC ．∴∠DAB ＝∠EAC ＝ 90°. ∴∠DAB ＋∠BAC ＝∠EAC ＋∠BAC ，即∠DAC ＝ ∠EAB ． 在△DAC 和△BAE 中,,,AD AB DAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAC ≌△BAE（SAS ）．∴∠D ＝∠ABE （全等三角形的对应角相等）．又∵∠DPA ＝∠BPO （对顶角相等）．∴∠BOD ＝∠DAP ＝90°∴∠DOE ＝ 90°．]20．126°[提示：如图11-159所示，延长BE 交AC 于F ，∵AE 是∠BAF 的平分线，且∠BAE ＝36°∴∠EAF ＝∠BAE ＝36°．又∵BE ⊥AE ，∴∠AEB ＝∠AEF ＝90°．在△AEB 和△AEF 中，,,,BAE FAE AE AE AEB AEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABE ≌△AFE （ASA ）．∴∠ABE ＝∠AFE ．又∵∠AEF ＝90°，∠FAE ＝36°，∴∠AFE ＝54°∴∠EFC ＝126°．又∵ED ∥AC （已知）∴∠BED ＝∠EFC ＝126°（两直线平行，同位角相等）．]21．证明：（1）∵AC ∥DF ，∴∠ACB ＝∠DFE ．又∵∠A ＝∠D ，AB ＝DE ，∴△ABC ≌△DEF （AAS ）． （2）由△ABC ≌△DEF ，得BC ＝EF ，∴BC —CE ＝EF －CE ，即BE ＝CF ．22．证明：∵AB ∥DE ，∴∠B ＝∠E ．∵AC ∥DF ，∴∠ACB ＝∠DFE ．∵BF ＝CE ．∴BC ＝EF ．在△ABC 和△DEF 中，,,,B E BC EF ACB DEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABC ≌△DEF （ASA ），∴AC ＝DF ．23．证明：∵AB ＝CD ，∴AC ＝BD ．∵AE ⊥AD ，FD ⊥AD ，∴∠A ＝∠D ＝90°．在△ACE 和△DBF 中，,,,AC BD A D AE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE ≌△DBF （SAS ）．∴∠ACE ＝∠DBF ．24．解：△ADC ≌△ADF ，△ADC ≌△CEB ，△ADF ≌△CEB （写出其中两对即可）．对△ADC ≌△ADF 的证明如下：∵AD 平分∠FAC ．∴∠CAD ＝∠FAD ．∵AD ⊥CF ，∴∠ADC ＝∠ADF ＝90°．又∵AD ＝AD ，∴△ADC ≌△ADF （ASA ）．25．（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝CD ，∠ECB ＝∠ECD ＝45°．又 ∵EC ＝EC ，∴△BEC ≌△DEC ．（2）解：∵△BEC ≌△DEC ，∴∠BEC ＝∠DEC ＝12∠BED ．∵∠BED ＝120° ∴∠BEC ＝60°＝∠AEF ∴∠EFD ＝∠AEF ＋∠CAD ＝60°＋45°＝105°．26．（1）证明：∵AB ＝BC ，AE ＝CM ，∴BE ＝BM ．又∠B ＝90°∴△BME 是等腰直角三角形，∠BEM ＝45°∴∠AEM ＝135°．∵CN 是∠DCP 的平分线°∴∠NCP ＝45°∴∠MCN ＝135°∴∠AEM ＝∠MCN ．在△AEM 和△MCN 中，,,,MAE NMC AE MC AEM MCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AEM ≌△MCN （ASA ），∴AM ＝MN ．（2）解：成立．如图11－160所示．在AB 上截取AE ＝MC ，连接ME.∵△ABC 为等边三角形，∴∠B ＝∠ACB ＝60°，AB ＝BC ．又∵AF ＝MC.∴BM ＝BE ．∴∠BEM ＝°°2180-60＝60°，∴∠AEM ＝120°．∵CN 平分∠ACP ，∴∠PCN ＝°2ACB ∠180-= 60°，∴∠MCN ＝120°∴∠AEM ＝∠MCN ．∵∠EAM ＋∠AMB ＝120°，∠CMN ＋∠AMB ＝180°－∠AMN ＝180°－60°＝120°，∴∠EAM ＝∠CMN ．在△AEM 和△MCN 中，,,,EAC CMN AE MC AEM MCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AEM ≌△MCN （ASA ）．∴AM ＝MN ． （3）°(2)180n n-⨯附：2011中考真题精选1. （2011•江苏宿迁，7，3）如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD ≌△ACD 的条件是（ ）A 、AB=ACB 、BD=CDC 、∠B=∠CD 、∠BDA=∠CDA考点：全等三角形的判定。