高中数学:3.2.1 对数及其运算 _2
课件2:3.2.1 对数及其运算 第2课时
整理得 4(lga)2-3lga-1=0, 解得 lga=1,lga=-14.
4
∵lga<0,故取 lga=-14.∴a=10-14=
1000 10 .
方法感悟
方法技巧 1.对于同底的对数的化简要用的方法是: (1)“收”,将同底的两对数的和(差)收成积 (商)的对数;(2)“拆”,将积(商)的对数拆成 两对数的和(差).
a b log3 21 log7 21 lg 21 lg 21 lg3 lg7
=lgl3g+2l1g7=21llgg2211=2.
(2)∵4a=5b=m,∴a=log4m,b=log5m. 又1a+2b=1, ∴log14m+log25m=1. 即 logm4+2logm5=1,∴llggm4 +llgg5m2=1,
的 对
logaMn= __n_lo_g_a_M__(n∈R)
幂指数乘以同一底
数幂的底数的对数
数
对数的运算法则
例1 计算下列各式的值: (1)log2 478+log212-12log242;
(2)lg52+23lg8+lg5·lg20+lg22;
(3)lglg2943;
lg 27+lg8-3lg 10
【解】 由已知可得:lgMN=lg(M-2N)2, (2分) 故得MN=(M-2N)2,整理得M2-5MN+ 4N2=0. 即(M-N)(M-4N)=0.(4分) 解得M=N或M=4N.(5分) 又∵M>0,N>0,M-2N>0,∴M>2N>0.(7分)
∴M=N 应舍去,∴M=4N,即MN=4.(9 分)
解:(1)原式=1+lglg40+.6l+g3lg2 =lg(10×lg102.6×2)=llgg1122=1. (2)原式=12lg( 3+ 5+ 3- 5)2 =12lg[3+ 5+3- 5+ 2 (3+ 5)(3- 5)] =12lg(6+2 4)=12lg10=12.
高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ)3.2.1 对数及其运算 第2课时 积、商、幂的对数与换底公式
4.3log72-log79+2log7
2
3 2
=
.
解析:原式=log78-log79+log7 9 8
=log7 8 +log7 9
9
8
=log7
8 9
9 8
=log71=0.
答案:0
课堂探究·素养提升
类型一 对数运算性质的应用
【例 1】 计算下列各式的值.
(1) 1 lg 32 - 4 lg 8 +lg 245 ; 2 49 3
=(lg 5)2+(1-lg 5)(1+lg 5)=(lg 5)2+1-(lg 5)2=1.
类型二 换底公式 【例2】 计算:(log2125+log425+log85)·(log52+log254+log1258).
思路点拨:由于所给对数的底数不同,无法直接进行计算,可利用换底公 式计算. 解:法一
原式=(log253+ log2 25 + log2 5 )(log52+ log5 4 + log5 8 )
log2 4 log2 8
log5 25 log5125
=(3log25+ 2 log2 5 + log2 5 )(log52+ 2 log5 2 + 3log5 2 )
2 log2 2 3log2 2
=
lg1.8
=1 .
lg1.8
2lg1.8 2 lg1.8 2
方法技巧 利用对数的运算法则解答问题一般有两种思路: (1)正用公式:将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则化为对 数的和、差、积、商,然后化简求值. (2)逆用公式:将式中对数的和、差、积、商运用对数的运算法则化为真数 的积、商、幂、方根,然后化简求值.
高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ) 3.2.1 对数及其运算 第2课时 对数式的运算学案 新人教B
第2课时 对数式的运算1.了解自然对数的概念及表示. 2.理解对数的运算性质. 3.掌握换底公式及对数的运算.1.对数的运算法则若a >0,a ≠1,M >0,N >0自然语言数学表达式积的对数log a (MN )=log a M +log a N ,log a (N 1·N 2·…·N k )=log a N 1+log a N 2+…+log a N k (N i >0,i =1,2,…,k )正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和 商的对数log a M N=log a M -log a N两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数幂的对数 log a M n=n log a M (n ∈R )正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数2.换底公式一般地,log b N =log a Nlog a b ,其中 b >0,b ≠1,N >0,a >0,a ≠1,这个公式称为对数的换底公式.换底公式两个重要的推论: (1)log a m b n=n mlog a b ; (2)log a b =1log b a. 3.自然对数(1)以e 为底的对数叫做自然对数,log e N 通常记作ln_N . (2)自然对数与常用对数的关系:ln N ≈2.302 6lg N .1.下列各式中均有意义,结论正确的是( )A .log a y =2log a yB .log a x n=n log a x C .-log a x =1log a xD .log a (x +y )=log a x +log a y 答案:B2.已知lg 2=a ,lg 3=b ,用a ,b 表示log 125=______. 解析:log 125=lg 5lg 12=1-lg 22lg 2+lg 3=1-a2a +b .答案:1-a2a +b3.若M 、N 同号,则式子log a (M ·N )=log a M +log a N 成立吗? 解:只有M 、N 同为正数时才成立.对数的运算法则计算下列各式的值: (1)log 2748+log 212-12log 242; (2)lg 52+23lg 8+lg 5·lg 20+lg 22;(3)lg 243lg 9; (4)lg 27+lg 8-3lg 10lg 1.2.【解】 (1)原式=log 27×1248×42=log 212=-12.(2)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5·(1+lg 2)+lg 22 =2(lg 5+lg 2)+lg 5+lg 2(lg 5+lg 2) =2+lg 5+lg 2=2+1=3. (3)原式=lg 35lg 32=5lg 32lg 3=52. (4)原式=lg (33)12+lg 23-3lg 1012lg3×2210=32(lg 3+2lg 2-1)lg 3+2lg 2-1=32.(1)利用对数的运算法则,可以把乘、除、乘方的运算转化为对数的加、减、乘运算,反之亦然.这种运算的互化可简化计算方法,加快计算速度.(2)要熟练掌握公式的正用和逆用.(3)在使用公式的过程中,要注意公式成立的条件. (4)对于同底的对数的化简,常用方法是:计算下列各式的值:(1)2lg 2+lg 31+12lg 0.36+13lg 8;(2)lg(3+5+ 3-5); (3)log 28+43+log 28-48. 解:(1)原式=lg 4+lg 31+lg 0.6+lg 2=lg 12lg (10×0.6×2)=lg 12lg 12=1.(2)原式=12lg(3+5+ 3-5)2=12lg[3+5+3-5+2(3+5)(3-5)] =12lg(6+24)=12lg 10=12. (3)原式=log 2(8+43·8-43) =log 282-48=log 24=2.换底公式的应用计算:(1)log 1627·log 8132;(2)(log 32+log 92)(log 43+log 83). 【解】 (1)log 1627·log 8132=lg 27lg 16×lg 32lg 81=lg 33lg 24×lg 25lg 34=3lg 34lg 2×5lg 24lg 3=1516. (2)(log 32+log 92)(log 43+log 83) =(log 32+log 32log 39)⎝ ⎛⎭⎪⎫log 23log 24+log 23log 28=(log 32+12log 32)⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23+13log 23 =32log 32×56log 23 =54×lg 2lg 3×lg 3lg 2=54.应用换底公式的技巧及注意事项(1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式,将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式来运算.要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.(2)题目中有指数式和对数式时,要注意将指数式与对数式进行互化,统一成一种形式.1.log 89log 23的值是( )A .23 B .32 C .1D .2解析:选A .法一:将分子、分母利用换底公式转化为常用对数,即log 89log 23=lg 9lg 8lg 3lg 2=2lg 33lg 2·lg 2lg 3=23. 法二:将分子利用换底公式转化为以2为底的对数, 即log 89log 23=log 29log 28log 23=2log 233log 23=23.2.计算:log 52·log 79log 513·log 734.解:原式=log 52log 513·log 79log 734=log 132·log 349=log 13212·3log 2232=-12·log 32·3log 23=-32.对数运算中的综合问题若a ,b 是方程2(lg x )2-lg x 4+1=0的两个实根,求lg(ab )·(log a b +log b a )的值.【解】 原方程可化为2(lg x )2-4lg x +1=0, 设t =lg x ,则原方程可化为2t 2-4t +1=0. 所以t 1+t 2=2,t 1t 2=12.由已知a ,b 是原方程的两个根, 则t 1=lg a ,t 2=lg b ,即lg a +lg b =2,lg a ·lg b =12,所以lg(ab )·(log a b +log b a ) =(lg a +lg b )⎝⎛⎭⎪⎫lg b lg a +lg a lg b=(lg a +lg b )[(lg b )2+(lg a )2]lg a lg b=(lg a +lg b )·(lg b +lg a )2-2lg a lg blg a lg b=2×22-2×1212=12.即lg(ab )·(log a b +log b a )=12.应用对数的运算性质解对数方程的三种方法(1)定义法:解形如b =log a f (x )(a >0,a ≠1)的方程时,常借助对数函数的定义等价转化为f (x )=a b求解.(2)转化法:形如log a f (x )=log a g (x )(a >0,a ≠1)的方程,等价转化为f (x )=g (x ),且⎩⎪⎨⎪⎧f (x )>0,g (x )>0求解. (3)换元法:适用于f (log a x )=0(a >0,a ≠1)形式的方程的求解问题,这类方程一般可通过设中间变量的方法(换元法)来解.1.方程log 4(3x -1)=log 4(x -1)+log 4(x +3)的解为________.解析:原方程可化为3x -1=(x -1)(x +3), 即x 2-x -2=0, 解得x =2或x =-1,而x =-1使真数3x -1和x -1小于0, 故方程的解是x =2. 答案:x =22.已知lg(x +2y )+lg(x -y )=lg 2+lg x +lg y ,求xy的值. 解:由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧x +2y >0,x -y >0,x >0,y >0,(x +2y )(x -y )=2xy ,即⎩⎪⎨⎪⎧x >y ,y >0,(x +2y )(x -y )=2xy , 整理得⎩⎪⎨⎪⎧x >y ,y >0,(x -2y )(x +y )=0,所以x -2y =0,所以xy=2.1.对于同底的对数的化简要用的方法是:(1)“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数;(2)“拆”,将积(商)的对数拆成两对数的和(差).2.对于常用对数的化简要创设情境充分利用“lg 5+lg 2=1”来解题. 3.对于多重对数符号对数的化简,应从内向外逐层化简求值.4.要充分运用“1”的对数等于0,底的对数等于“1”等对数的运算性质.1.在运算过程中避免出现以下错误: log a (MN )=log a M ·log a N .log a M N =log a M log a N.log a N n=(log a N )n.log a M ±log a N =log a (M ±N ).2.要特别注意它的前提条件:a >0,a ≠1,M >0,N >0,尤其是 M ,N 都是正数这一条件,否则 M ,N 中有一个小于或等于 0,就导致 log a M 或 log a N 无意义,另外还要注意,M >0,N >0 与 M ·N >0 并不等价.1.若a >0,a ≠1,x >0,y >0,x >y ,则下列式子中正确的个数是( ) ①log a x +log a y =log a (x +y ); ②log a x -log a y =log a (x -y ); ③log a x y=log a x ÷log a y ; ④log a (xy )=log a x ·log a y . A .0 B .1 C .2 D .3答案:A2.lg 8+3lg 5的值为( ) A .-3 B .-1 C .1D .3 解析:选D .lg 8+3lg 5=3(lg 2+lg 5)=3. 3.log 327=________. 答案:64.设2a =5b=10,则1a +1b=________.解析:因为2a=10, 所以a =log 210, 所以1a=lg 2,又因为5b=10,所以b =log 510, 所以1b=lg 5,所以1a +1b=lg 2+lg 5=lg(2×5)=lg 10=1. 答案:1[A 基础达标]1.计算log 225·log 322·log 59的结果为( ) A .3 B .4 C .5D .6解析:选D .原式=lg 25lg 2·lg 22lg 3·lg 9lg 5=2lg 5lg 2·32lg 2lg 3·2lg 3lg 5=6. 2.设a >0,a ≠1,x ∈R ,下列结论错误的是( ) A .log a 1=0 B .log a x 2=2log a x C .log a a x=xD .log a a =1解析:选B .当x ≤0时,log a x 无意义,故选B . 3.如果lg 2=a ,lg 3=b ,则lg 12lg 15等于( )A .2a +b 1+a +bB .a +2b 1+a +bC .2a +b 1-a +bD .a +2b 1-a +b解析:选C .因为lg 2=a ,lg 3=b , 所以lg 12lg 15=lg 3+lg 4lg 3+lg 5=lg 3+2lg 2lg 3+1-lg 2=2a +b1+b -a.4.若lg x -lg y =a ,则lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23-lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 23=( ) A .3a B .32a C .aD .a2解析:选A .原式=3lg x 2-3lg y2=3(lg x -lg 2)-3(lg y -lg 2) =3(lg x -lg y )=3a .5.已知2x=3,log 483=y ,则x +2y 等于( )A .3B .8C .4D .log 48解析:选A .因为2x=3, 所以x =log 23. 又log 483=y ,所以x +2y =log 23+2log 483=log 23+2(log 48-log 43) =log 23+2⎝ ⎛⎭⎪⎫32log 22-12log 23 =log 23+3-log 23=3.故选A .6.log 535-2log 573+log 57-log 51.8=________.解析:原式=(log 55+log 57)-2(log 57-log 53)+log 57-(log 59-log 55) =1+log 57-2log 57+2log 53+log 57-2log 53+1 =2. 答案:27.设10a=2,10b=3,则log 1815=________(用a ,b 表示). 解析:由10a=2,10b=3得a =lg 2,b =lg 3.所以log 1815=lg 15lg 18=lg 3+lg 5lg 2+lg 9=lg 3+1-lg 2lg 2+2lg 3=b +1-aa +2b. 答案:b +1-aa +2b8.已知m >0,且10x=lg(10m )+lg 1m,则x =__________. 解析:lg(10m )+lg 1m =lg 10+lg m +lg 1m=1,所以10x =1=100, 所以x =0. 答案:0 9.计算:(1)(log 43+log 83)(log 32+log 92)-log 12432;(2)(log 25+log 40.2)(log 52+log 250.5).解:(1)原式=⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23+13log 23·(log 32+12log 32)+log 2254 =⎝ ⎛⎭⎪⎫56log 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫32log 32+54=56×32×lg 3lg 2×lg 2lg 3+54 =54+54=52. (2)原式=(log 25+12log 215)(log 52+12log 512)=(log 25+12log 25-1)(log 52+12log 52-1)=(log 25-12log 25)(log 52-12log 52)=14·log 25·log 52=14. 10.解下列关于x 的方程: (1)lg x -1=lg(x -1);(2)log 4(3-x )+log 0.25(3+x )=log 4(1-x )+log 0.25(2x +1). 解:(1)原方程等价于⎩⎨⎧x -1=x -1,x -1>0.解之得x =2.经检验x =2是原方程的解,所以原方程的解为x =2.(2)原方程可化为log 4(3-x )-log 4(3+x )=log 4(1-x )-log 4(2x +1). 即log 43-x 3+x =log 41-x2x +1.整理得3-x x +3=1-x2x +1,解之得x =7或x =0.当x =7时,3-x <0,不满足真数大于0的条件,故舍去. x =0满足,所以原方程的解为x =0.[B 能力提升]11.若 lg a ,lg b 是方程 2x 2-4x +1=0 的两个根,则 (lg a b )2的值等于() A .2 B .12C .4D .14解析:选A .由根与系数的关系,得 lg a +lg b =2,lg a ·lg b =12,所以(lg a b )2=(lg a -lg b )2=(lg a +lg b )2-4lg a ·lg b=22-4×12=2.12.若集合{x ,xy ,lg(xy )}={0,|x |,y },则log 2(x 2+y 2)=________.解析:由{x ,xy ,lg(xy )}={0,|x |,y }知:xy =1,此时两集合为{x ,1,0}={0,|x |,y },所以⎩⎪⎨⎪⎧y =-1x =-1, 从而log 2(x 2+y 2)=log 22=1.答案:113.已知log 89=m ,log 35=n ,试用m ,n 表示log 512.解:因为m =log 89=23log 23=23·lg 3lg 2, 所以lg 2=23mlg 3, 又n =log 35=lg 5lg 3,所以lg 5=n lg 3. 则log 512=lg 12lg 5=lg 3+lg 4lg 5=lg 3+43m lg 3n lg 3=1+43m n =3m +43mn. 14.(选做题)设a >0,a ≠1,x ,y 满足log a x +3log x a -log x y =3,用log a x 表示log a y ,并求当x 取何值时,log a y 取得最小值.解:由换底公式得log a x +3log a x -log a y log a x=3, 整理得:(log a x )2+3-log a y =3log a x , 所以log a y =(log a x )2-3log a x +3=(log a x -32)2+34. 所以当log a x =32,即x =a 32时,log a y 取得最小值34.。
数学:3.2.1《对数及其运算》课件(新人教B版必修1)
变式训练 5 (1)log2
求下列各式的值:
1 1 +log212- log26; 24 2
(2)log9 2· 43+log83). (log
分析:(1)由于24,12,6都可分解成2和3的 这两个质因子的积或幂,所以可运用对数运 算性质直接将原式转化为含log23的式子再化 简即可.或利用题中各对数均为同底的对数, 可逆用运算性质将之化为一个对数的计算问 题. (2)所含对数底数不同,因此可考虑用对 数换底公式化为同底对数的运算.
(1)解法一:log2
1 1 +log212- log26 24 2
分析:根据对数式的定义求解.
1 解:(1)log3 =x; 27 1 1 (3)log5 =- ; 2 5 (5)10-3=0.001; (4)( 2)4=4; (6)( 2-1)-1= 2+1.
评析:明确对数的定义是解题的关 键.指数式与对数式是互逆的,二者能够相 互转化,熟练掌握二者的互化,能够加深对 指数式和对数式的理解,为后面学习对数函 数打下坚实的基础.
分析:利用对数的性质求值,首先要明 确解题目标是化异为同,先使各项底数相同, 才能使用性质,再找真数间的联系,对于复 杂的真数,可以先化简再计算.
解:(1)原式=2log32-(log332-log39)+3log32-3 =2log32-5log32+2+3log32-3=-1. 10 (2)原式=2lg5+2lg2+lg · lg(2×10)+(lg2)2 2 =2lg(5×2)+(1-lg2)· (lg2+1)+(lg2)2 =2+1-(lg2)2+(lg2)2=3. 1 log 2· 73 2log log5 2· 79 2 5 log (3)∵ = 1 1 3 log5 · 7 4 -log53·log74 log 3 3 lg2 lg3 · lg5 lg7 3 =- =- , lg3 1lg4 2 · lg5 3lg7
高中学案数学(苏教版必修一)配套课时作业:3.2.1第1课时 -含答案
§3.2 对数函数3.2.1 对数(一)课时目标 1.理解对数的概念,能进行指数式与对数式的互化.2.了解常用对数与自然对数的意义.3.掌握对数的基本性质,会用对数恒等式进行运算.1.对数的概念如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N,即________,那么就称b是以a为底N的对数,记作__________.其中a叫做__________,N叫做______.2.常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做________,以e为底的对数叫做________,log10N可简记为________,loge N简记为________.3.对数与指数的关系若a>0,且a≠1,则a x=N⇔log a N=____.a=____;log a a x=____(a>0,且a≠1).对数恒等式:log a N4.对数的性质(1)1的对数为____;(2)底的对数为____;(3)零和负数________.一、填空题1.有下列说法:①零和负数没有对数;②任何一个指数式都可以化成对数式; ③以10为底的对数叫做常用对数; ④以e 为底的对数叫做自然对数. 其中正确命题的个数为________.2.有以下四个结论:①lg(lg 10)=0;②ln(ln e)=0;③若10=lg x ,则x =100;④若e =ln x ,则x =e 2.其中正确的是________.(填序号)3.在b =log (a -2)(5-a )中,实数a 的取值范围是_____________________________. 4.方程3log 2x=14的解集是________. 5.若log a 5b =c ,则下列关系式中正确的是________. ①b =a 5c;②b 5=a c ;③b =5a c ;④b =c 5a.6.0.51log 412-+⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为________.7.已知log 7[log 3(log 2x )]=0,那么12x-=________.8.若log 2(log x 9)=1,则x =________.9.已知lg a =2.431 0,lg b =1.431 0,则b a=________. 二、解答题10.(1)将下列指数式写成对数式:①10-3=11 000;②0.53=0.125;③(2-1)-1=2+1.(2)将下列对数式写成指数式:①log 26=2.585 0;②log 30.8=-0.203 1; ③lg 3=0.477 1.11.已知log a x=4,log a y=5,求A=12x⎡⎢⎢⎢⎣的值.能力提升12.若log a 3=m ,log a 5=n ,则a2m +n的值是________.13.(1)先将下列式子改写成指数式,再求各式中x 的值: ①log 2x =-25;②log x 3=-13.(2)已知6a=8,试用a 表示下列各式: ①log 68;②log 62;③log 26.1.对数概念与指数概念有关,指数式和对数式是互逆的,即a b=N ⇔log a N =b (a >0,且a ≠1),据此可得两个常用恒等式:(1)log a ab =b ;(2)log a Na=N .2.在关系式a x=N 中,已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算;而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运算,两个式子实质相同而形式不同,互为逆运算. 3.指数式与对数式的互化§2.3 对数函数 2.3.1 对 数 第1课时 对数的概念知识梳理1.a b=N log a N =b 对数的底数 真数 2.常用对数 自然对数 lg N ln N 3.x N x 4.(1)零 (2)1 (3)没有对数 作业设计 1.3解析 ①、③、④正确,②不正确,只有a >0,且a ≠1时,a x=N 才能化为对数式. 2.①②解析 ∵lg 10=1,∴lg(lg 10)=0,故①正确; ∵ln e =1,∴ln(ln e)=0,故②正确; 由lg x =10,得1010=x ,故x ≠100,故③错误; 由e =ln x ,得e e=x ,故x ≠e 2,所以④错误. 3.2<a <3或3<a <5解析 由对数的定义知⎩⎪⎨⎪⎧ 5-a >0,a -2>0,a -2≠1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <5,a >2,a ≠3⇒2<a <3或3<a <5. 4.{x |x =19}解析 ∵3log 2x=2-2,∴log 3x =-2,∴x =3-2=19.5.①解析 由log a 5b =c ,得a c=5b , ∴b =(a c )5=a 5c. 6.8解析 0.51log 412-+⎛⎫ ⎪⎝⎭=(12)-1·12log 412⎛⎫ ⎪⎝⎭=2×4=8.7.24解析 由题意得:log 3(log 2x )=1,即log 2x =3, 转化为指数式则有x =23=8, ∴128-=1218=18=122=24. 8.3解析 由题意得:log x 9=2,∴x 2=9,∴x =±3, 又∵x >0,∴x =3. 9.110解析 依据a x=N ⇔log a N =x (a >0且a ≠1), 有a =102.431 0,b =101.431 0,∴b a =101.431 0102.431 0=101.431 0-2.431 0=10-1=110. 10.解 (1)①lg 11 000=-3;②log 0.50.125=3;③log 2-1(2+1)=-1. (2)①22.585 0=6;②3-0.203 1=0.8;③100.477 1=3.11.解 A =12x ·11622xy -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=51213x y .又∵x =a 4,y =a 5,∴A =5353a a=1.12.45解析 由log a 3=m ,得a m=3, 由log a 5=n ,得a n=5. ∴a2m +n=(a m )2·a n =32×5=45.13.解 (1)①因为log 2x =-25,所以x =252-=582.②因为log x 3=-13,所以x -13=3,所以x =3-3=127.(2)①log 68=a .②由6a=8得6a=23,即36a =2,所以log 62=a3.③由36a =2得32a=6,所以log 26=3a.。
高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数3.2对数函数3.2.1对数名师导航学案苏教版必修1
3.2.1 对数名师导航知识梳理一、对数与对数运算 1.对数的定义一般地,如果a x=N(a>0,a ≠1),那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作__________,其中a 叫做对数的__________,N 叫做对数的__________.对数恒等式为________________________________________. 2.对数的运算法则指数的运算法则: 对数的运算法则:(1)a m ·a n =a m+n;→ (1)______________;(2)n m aa =a m ·a -n =a m-n;→ (2)______________;(3)(a m )n=a mn;→ (3)_______________. 二、对数运算法则的证明 (学会证明方法)1.正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的_______________; log a (MN)=log a M+log a N. 设log a M=p,log a N=q,则a p =M,a q=N,∴MN=a p ·a q =a p+q.∴log a (MN)=p+q=log a M+log a N.2.两个正数的商的对数等于被除数的对数___________除数的对数;log a N M =log a M-log a N.∵N M =q p aa =a p-q,∴log aNM=p-q=log a M-log a N. 3.正数的幂的对数等于幂的底数的对数____________幂指数;log a (N n)=n ·log a N. 根据对数恒等式:Na a log =N,∴N n=(aalog N)n=Nn a alog •.∴log a (N n)=n ·log a N.4.正数的正的方根的对数等于被开方数的对数______________根指数. log anN n1=·log a N.∵n N =n N 1,∴由法则3得log a n N =log a nN 1=n1·log a N. 三、对数的性质1.__________和__________没有对数.因为a >0,所以不论b 是什么数,都有a b >0,即不论b 是什么数,N=a b永远是正数,这说明在相应的对数式 b=log a N 中真数N 永远是正数,换句话说负数和零没有对数. 2.1的对数是__________.因为a 0=1(a >0,且a ≠1),所以根据对数的定义可得log a 1=0. 3.底数的对数等于__________.因为a 1=a ,根据对数的定义知log a a=1. 四、一组重要的对数公式——换底公式 1.log a b=abc c log log ,即有log c a ·log a b=log c b;2.log b a=ba log 1,即有log a b ·log b a=1;3.nmb a log =mnlog a b. 疑难突破如何将给出的对数式换成指定底数的对数?《考试大纲》要求知道用换底公式将一般对数转化成指定底数的对数.对数换底公式:log b N=bNa a log log (a >0且a ≠1,b >0且b ≠1,N >0),推论:log a b=a b log 1,mn b a nm =log log a b.更特别地有log a a n=n.问题探究问题1 对数式与指数式有何关系?在对数符号log a N 中,为什么规定a >0,a ≠1,N >0呢?探究思路:对数的概念是这么说的:一般地,如果a(a >0且a ≠1)的b 次幂等于N ,即a b=N ,那么就称b 是以a 为底N 的对数,记作log a N=b ,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数.从定义不难发现无论是指数式a b=N ,还是对数式log a N=b 都反映的是a 、b 、N 三数之间的关系. 在对数符号log a N 中,若a <0,则N 为某些值时,log a N 不存在,如log (-2)8不存在. 若a=0,则N 不为0时,log a N 不存在;N 为0时,log a N 可以为任何正数,不唯一.若a=1,则N 不为1时,log a N 不存在;N 为1时,log a N 可以为任何实数,不唯一.因此规定a >0且a ≠1.因为log a N=b ⇔a b=N ,在实数范围内,正数的任何次幂都是正数,因此N >0. 问题2 对于对数,除了对数的定义,还有对数的性质,你能说说这些相关的内容吗? 探究思路:对数部分,我们首先应当掌握对数的意义,即对数式与指数式之间的对应关系.另外对于对数我们应该掌握一些常用的性质:如(1)log a 1=0(1的对数是0); (2)log a a=1(底数的对数是1); (3)aalog N=N(对数恒等式);(4)log a N=aNb b log log (b >0且b ≠1)(换底公式);(5)log a M+log a N=log a MN ; (6)log a M-log a N=log a NM ; (7)nlog a N=log a N n; (8)mn log a N=log a m N n. 以上各式均有条件a >0且a ≠1.问题3 初学对数运算性质,容易犯下面的错误:log a (M ±N)=log a M ±log a N ,log a (M ×N)=log a M ×log a N ,log aN M =NM a a log log ,log a N n =(log a N)n.应该如何解决呢?探究思路:首先应把握对数运算的本质特征,运算性质是把真数的乘、除、乘方降级为对数的加、减、乘运算,是降级运算;其次,对数记号log a N 整体上才有意义,不能误把对数符号当作表示数的字母进行运算. 典题精讲例1 (1)将下列指数式写成对数式: ①210=1 024;②10-3=10001; ③0.33=0.027;④e 0=1.(2)将下列对数式写成指数式: ①log 0.46.25=-2;②lg2=0.301 0; ③log 310=2.095 9;④ln23.14=x.思路解析 应用指数式与对数式的等价关系求解. 答案:(1)①log 21 024=10;②lg 10001=-3;③log 0.30.027=3;④ln1=0. (2)①0.4-2=6.25;②100.301 0=2;③32.095 9=10;④e x=23.14.例2 计算:log 2487+log 212-21log 242.思路解析 这是几个对数式的加减运算,注意到每个对数式是同底的,则可以利用同底数的对数的运算公式化为一个对数式.当然也可以反其道而行之,即把每个对数的真数写成积或商的形式,再利用积或商的对数的运算性质化为同底对数的和与差,然后进行约简.解法一:原式=21(log 27-log 248)+log 23+2log 22-21(log 27+log 22+log 23) =21log 27-21log 23-21log 216+21log 23+2-21log 27-21=-21. 解法二:原式=log 2(347×12×671⨯)=-21. 例3 求下列各式的值: (1)3log 3128-;(2)7lg20×(21)lg0.7; (3)log 2(1+32+)+log 2(1+32-); (4)lg(5353-++).思路解析 (1)由幂的运算法则把其化成同底,用对数恒等式aalog N=N 化简计算.(2)通过取对数,先算出对数值,再求值.(3)运用对数运算法则化成一个对数,然后利用底数与真数的特殊关系求解. (4)运用对数运算法则巧去根号. 解答:(1)2722222)2(827log 27log 13log 31)3log 31(33log 3122222=====----. (2)设x=7lg20×(21)lg0.7,则lgx=lg20×lg7+lg0.7×lg(21)=(lg2+1)×lg7+(lg7-1)×(-lg2)=lg7+lg2=lg14, ∴x=14,即7lg20×(21)lg0.7=14. (3)log 2(1+32+)+log 2(1+32-)=log 2[(1+2)2-(3)2]=log 222=log 2232=23. (4)lg(5353-++)=21lg(5353-++)2=21lg(3+5+3-5+259-)=21lg10=21. 例4 已知11.2a=1 000,0.011 2b=1 000,那么a 1-b1等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 思路解析 本题有两种解题方法.解法一:用指数解.由题意11.2=a 11000,0.011 2=b11000, ∴两式相除得ba 111000-=0112.02.11=1 000.∴a 1-b1=1. 解法二:用对数解.由题意,得a ×lg11.2=3,b ×lg0.011 2=3, ∴a 1-b 1=31(lg11.2-lg0.011 2)=1. 答案:A例5 方程lg(4x +2)=lg2x+lg3的解是_____________.思路解析 把方程两边化为同底的对数式,然后比较真数得含有求知数的方程,解之即可.解:把两边化成同底的对数式为lg(4x +2)=lg(2x×3),比较真数,得方程4x +2=2x×3,利用换元法,解得2x =1或2x=2. 所以x=0或x=1. 答案:x 1=0,x 2=1 知识导学 1.对数的概念在实际应用中,一定要注意指数式与对数式的等价性,即log a N=b a b=N. 2.换底公式一般地,我们称log a N=aNb b log log 为对数的换底公式.换底公式是对数中一个非常重要的公式,这是因为它是对一个对数进行变形运算的主要依据之一,是对数的运算性质.对数运算性质应用的前提是式子中对数的底相同.若底不同则需要利用换底公式化为底相同的.我们在应用换底公式时,一方面要证明它和它的几个推论;另一方面要结合构成式子的各对数的特点选择一个恰当的数作为对数的底,不要盲目地换底,以简化我们的解题过程. 3.常用对数与自然对数的概念有了对数的概念后,要求log 0.840.5的值,我们需要引入两个常用的对数:常用对数和自然对数.常用对数是指以10为底的对数;自然对数是指以e(e=2.718 28…,是一个无理数)为底的对数.有了常用对数和自然对数再利用对数的运算性质,我们就可以求log 0.840.5的值了. 4.对数恒等式 对数恒等式:Na alog =N.它的证明也很简单,只要紧扣对数式的定义即可证明. ∵a b=N , ∴b=log a N. ∴a b=Na alog =N ,即Na a log =N.如5log 33=5、6log 44=6等.要熟记对数恒等式的形式,会使用这一公式化简对数式.疑难导析对数换底公式口诀:换底公式真神奇,换成新底可任意, 原底加底变分母,真数加底变分子. 问题导思指数式与对数式之间可以相互转化,它们之间可以理解为就像加法与减法一样的关系.后面我们会学习反函数,指数式与对数式之间的转化可以通过反函数进行. 这些常用的性质在指数运算中非常有用,需要记牢.有的性质可以用口诀来帮助记忆,比如,性质(5)(6)(7)可以这样来记: 积的对数变为加, 商的对数变为减,幂的乘方取对数, 要把指数提到前. 典题导考绿色通道 指数式与对数式之间的换算,就是利用log a N=b ⇔a b=N. 典题变式已知log a 2=m ,log a 3=n ,则a 2m-n=____________. 解答:∵log a 2=m ,log a 3=n , ∴a m =2,a n=3.∴a 2m-n=3432)(222===nm n m a a a a . 绿色通道 解决求值问题一般有两种解法:一是将式中的真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则化为对数的和、差、积、商,即“化整为零”,然后合并、消项、化简求值;二是将式中的对数的和、差、积、商运用对数运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根,即“化零为整”,然后“相约”,化简求值. 典题变式计算2log 525+3log 264-8log 71的值为( )A.14B.8C.22D.27 答案:C绿色通道 有关对数式的运算,除了要用到对数运算性质外,还要注意代数运算的其他性质的运用.如遇到不能直接运用对数运算法则进行运算的问题,有两种解决办法:一是取对数,先求出对数值,再求出真数的值,即为原式的值;二是运用对数恒等式aalog N=N 把任何正数N 化成含所需要的正数为底数的对数的一个幂,即可转化为用幂的运算法则和对数运算法则解决问题. 典题变式1.lg5lg8 000+(lg 32)2+lg0.06-lg6=______________.解答:原式=lg5(3+3lg2)+3lg 22+lg 606.0=3(1-lg2)(1+lg2)+3lg 22-2=3-2=1. 2.计算2lg5+32lg8+lg5·lg20+lg 22的值. 解答:原式=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+lg 22 =lg 25+2lg2·lg5+lg 22+2(lg5+lg2)=(lg5+lg2)2+2(lg5+lg2) =lg 210+2lg10 =1+2=3.绿色通道 因为指数与对数存在着互逆的运算关系,因而反映在具体问题中就一定从指数式、对数式两条思路分别运用幂的运算法则和对数运算法则解决问题.这就是对立统一的原则在具体思路上的指导和体现. 典题变式 已知a=lg(1+71),b=lg(1+491),试用a 、b 的式子表示lg1.4.答案:lg1.4=71(a-4b+1). 黑色陷阱 如果误以为原方程lg(4x+2)=lg2x+lg3可化为lg4x+lg2=lg2x+lg3,将导致解题错误.这也说明数学思维的严密性,如果百密一疏,则后悔莫及! 典题变式已知函数f(x)=⎩⎨⎧≤>,0,3,0,log 3x x x x 则f [f(91)]的值是( )A.9B.91C.-9D.-91答案:B。
(统编版)2020高中数学第三章Ⅰ3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算同步训练新人教B版必修2
3.2.1 对数及其运算5分钟训练1.对数式x=ln2化为指数式是( ) A.x e =2 B.e x=2 C.x 2=e D.2x=e 答案:B2.以下说法不正确的是( )A.0和负数没有对数B.对数值可以是任意实数C.以a(a >0,a≠1)为底1的对数等于0D.以3为底9的对数等于±2 答案:D3.有以下四个结论:①lg(lg10)=0;②ln(lne)=0;③若10=lgx,则x=100;④若e=lnx,则x=e 2.其中正确的是( )A.①③B.②④C.①②D.③④ 答案:C 4.log 2487+log 212-21log 242=_____________.答案:21- 解法一:487log 2+log 212-21log 242 =21(log 27-log 248)+log 24+log 23-21log 26-21log 27 =21-log 21621-log 23+2+log 23-2121-log 23=21-.解法二:原式=log 2(21)67112347(-=⨯⨯⨯.10分钟训练 1.式子)5log 211(22+的值为( )A.52+B.52C.2+25 D.1+25答案:B 解析:原式=5222)52(log )5log 1(22==+.2.下列四个命题中,真命题是( )A.lg2lg3=lg5B.lg 23=lg9C.若log a M+N=b ,则M+N=a bD.若log 2M+log 3N=log 2N+log 3M ,则M=N 答案:D解析:在对数运算的性质中,与A 类似的一个正确等式是lg2+lg3=lg6;B 中的lg 23表示(lg3)2,它与lg32=lg9不是同一个意义;C 中的log a M+N 表示(log a M)+N ,它与log a (M+N)不是同一意义;D 中等式可化为log 2M-log 2N=log 3M-log 3N ,即log 2NMN M 3log =,所以M=N. 3.已知11.2a=1 000,0.011 2b=1 000,那么ba 11-等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案:A解法一:用指数解.由题意11.2=a 11000,0.011 2=b11000, ∴两式相除得0112.02.11100011=-ba =1 000.∴ba 11-=1. 解法二:用对数解.由题意,得a×lg11.2=3,b×lg0.011 2=3,∴b a 11-=31(lg11.2-lg0.011 2)=1. 4.若lnx-lny=a,则ln(2x )3-ln(2y )3等于( )A.2aB.aC.23aD.3a答案:D 解析:ln(2x )3-ln(2y )3=3(ln 2x -ln 2y)=3(lnx-ln2-lny+ln2)=3a. 5.已知lg6=0.778 2,则102.778 2=______________.答案:600解析:∵lg6=0.778 2,∴100.778 2=6.∴102.778 2=102·100.778 2=100×6=600.6.(1)已知3a=2,用a 表示log 34-log 36; (2)已知log 32=a,3b=5,用a 、b 表示log 330. 解:(1)∵3a=2,∴a=log 32. ∴log 34-log 36=log 332=log 32-1=a-1. (2)∵3b=5, ∴b=log 35. 又∵log 32=a,∴log 330=21log 3(2×3×5) =21(log 32+log 33+log 35)=21(a+b+1). 30分钟训练1.已知a 、b 、c 为非零实数,且3a =4b =6c,那么( ) A.b ac 111+= B.ba c 122+=C.b ac 221+= D.ba c 212+= 答案:B解析:设3a=4b=6c=k ,则a=log 3k ,b=log 4k ,c=log 6k ,得a 1=log k 3,b1=log k 4,c 1=log k 6.所以ba c 122+=. 2.设x 、y 为非零实数,a>0且a≠1,则下列各式中不一定成立的个数是( )①log a x 2=2log a x ②log a 3>log a 2 ③log a |x·y|=log a |x|·log a |y| ④log a x 2=2log a |x| A.1 B.2 C.3 D.4 答案:C解析:①②③不一定成立,④一定成立.3.(探究题)已知f(x 6)=log 2x,那么f(8)的值为( ) A.34 B.8 C.18 D.21 答案:D解析:设t=x 6,则x=61t ,所以f(t)=log 261t ,f(8)=log 2212log 821261==. 4.已知函数f (x )=⎩⎨⎧≤>,0,3,0,log 3x x x x 则f [f (91)]的值是( )A.9B.91C.-9D.91- 答案:B 解析:f(91)=log 391=-2,f(-2)=3-2=91.5.(创新题)已知集合M={(x,y)|xy=1,x >1},在映射f:M→N 作用下,点(x,y)与点(log 2x,log 2y)相对应,设u=log 2x,v=log 2y,则N 的集合为( ) A.{(u,v)|u+v=0} B.{(u,v)|u+v=0,u >0} C.{(u,v)|u+v=1} D.{(u,v)|u+v=1,v >0} 答案:B解析:∵x>1,∴log 2x >0. 又∵xy=1,∴x=y1. 于是log 2x=log 2y1=-log 2y, 从而log 2x+log 2y=0.6.已知log 23=a,log 37=b,则log 1456=_________________. 答案:abab++13解析:由log 23=a,log 37=b,得log 27=ab.log 1456=abab++=++=⨯⨯=137log 17log 3)72(log )87(log 14log 56log 222222.7.式子n a n ana aa a 1log 1log log ++(a >0,a≠1)的化简结果是_______________. 答案:-n解析:原式=n aaa na na na 1log log log 11=++--log a a-nlog a a-n 1log a a=n 1-n-n1=-n. 8.已知a 、b 均为正实数,且a 2+b 2=7ab,试证明213lg =+b a (lga+lgb). 证明:∵a 2+b 2=7ab,∴(a+b)2=9ab.∵a>0,b >0,∴ab ba =+3. ∴21lg 3lg ==+ab b a (lga+lgb).9.已知二次函数f(x)=(lga)x 2+2x+4lga 的最大值为3,求a 的值.解:∵二次函数f(x)有最大值,∴lga<0.又[f(x)]max =aa a a lg 1lg 4lg 44lg 162-=-=3,∴4lg 2a-3lga-1=0. ∴lga=1或lga=41-. ∵lga<0, ∴lga=41-. ∴a=4110-.10.2005年3月28日在印度尼西亚苏门答腊岛附近发生里氏8.2级地震,日本气象厅测得为里氏8.5级.科学家常以里氏震级为度量地震的强度.若设N 为地震时所散发出来的相对能量程度,那么里氏震级m 可以定义为m=lgN ,试比较8.2级和8.5级地震的相对能量程度. 解:设8.2级和8.5级地震的相对能量程度分别为N 1和N 2,由题意得⎩⎨⎧==,lg 5.8,lg 2.821N N 因此lgN 2-lgN 1=0.3, 即12lgN N =0.3,∴12N N =100.3≈2. 因此,8.5级地震的相对能量程度约为8.2级地震的相对能量程度的2倍.。
2019-2020人教B版数学必修1 第3章 3.2 3.2.1 第2课时 对数的运算
第2课时对数的运算1.对数的运算法则如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:(1)log a(M·N)=log a M+log a N;log a(N1·N2·…·N k)=log a N1+log a N2+…+log a N k(N i>0,i=1,2,…,k);(2)log a MN=log a M-log a N;(3)log a M n=n log a M__(n∈R).2.换底公式与自然对数(1)对数换底公式log a b=log c blog c a(a>0,且a≠1,b>0,c>0,且c≠1).特别地:log a b·log b a=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1).(2)自然对数以e为底的对数叫自然对数,log e N通常记作ln_N.思考:如何准确的应用换底公式?[提示](1)在使用换底公式时,底数的取值不唯一,应根据实际情况选择.(2)换底公式的意义就在于把对数式的底数改变,把不同底问题转化为同底问题.如:在化简求值过程中,出现不同底数的对数不能运用运算法则时,可统一化成以同一个实数为底的对数,再根据运算法则进行化简与求值.(3)要注意换底公式的两个重要推论的应用.①log a b =1log ba ;②log amb n =nm log a b ,其中a >0且a ≠1,b >0且b ≠1,m ,n ∈R .1.计算lg 4+lg 25=( ) A .2 B .3 C .4D .10A [lg 4+lg 25=lg(4×25)=lg 100=2.] 2.计算log 916·log 881的值为( ) A .18 B.118 C .83 D .38 C [原式=log 3224·log 2334=42log 32·43log 23=83.]3.下列结论正确的是( ) A .log a (x -y )=log a x -log a y B .log a xlog ay =log a x -log a yC .log a xy =log a x -log a y D .log a x y =log a xlog ayC [由对数的运算性质,知A ,B ,D 错误,C 正确.] 4.若3a =2,则2log 36-log 38=________.2-a [∵3a =2,∴a =log 32,∴2log 36-log 38=2(log 32+log 33)-3log 32=-log 32+2=2-a .]【例1】 (1)计算8-23+2lg 2-lg 125的值为________. (2)计算:log 327+lg 4+lg 25+⎝ ⎛⎭⎪⎫-180=________.(3)计算:①lg 5 100;②log2(47×25);③(lg 2)2+lg 20×lg 5.(1)94(2)92[(1)原式=(23) -23+lg 4-(lg 1-lg 25)=14+lg(4×25)=14+2=9 4.(2)原式=32+lg 102+1=32+2+1=92.](3)解:①lg 5100=15lg 102=25lg 10=25.②log2(47×25)=log247+log225=log222×7+log225=2×7+5=19.③(lg 2)2+lg 20×lg 5=(lg 2)2+(1+lg 2)(1-lg 2)=(lg 2)2+1-(lg 2)2=1.1.利用对数性质求值的解题关键是化异为同,先使各项底数相同,再找真数间的联系.2.对于复杂的运算式,可先化简再计算;化简问题的常用方法:①“拆”:将积(商)的对数拆成两对数之和(差);②“收”:将同底对数的和(差)收成积(商)的对数.提醒:对数式的化简求值一般是正用或逆用公式,对真数进行处理,选哪种策略化简,取决于问题的实际情况,一般本着便于真数化简的原则进行.计算下列各式的值:(1)12lg3249-43lg8+lg245;(2)lg 52+23lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2)2.[解] (1)原式=12(lg 25-lg 72)-43lg 232+lg(72×5)12=52lg 2-lg 7-2lg 2+lg 7+12lg 5=12lg 2+12lg 5=12(lg 2+lg 5) =12.(2)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2 =2lg 10+(lg 5+lg 2)2=2+(lg 10)2 =2+1=3.33(2)设a =lg 2,b =lg 3,试用a ,b 表示lg 108. [思路探究] 对数运算⇒对数运算法则的应用. [解] (1)log 312=log 3(3×4)=1+2log 32=a , 所以log 32=a -12,log 324=log 3(8×3) =1+3log 32=1+3×a -12=3a -12.(2)因为108=4×27=22×33,所以 lg 108=12lg 108=12lg(22×33) =12lg 22+12lg 33=lg 2+32lg 3=a +32b .1.(变结论)本例(2)中的条件不变,如何用a ,b 表示lg 95? [解] lg 95=lg 9-lg 5=2lg 3-(1-lg 2) =2b +a -1.2.(变条件)将本例(2)中的条件改为“lg 6=a ,lg 15=b ”,结果如何? [解] 由已知得⎩⎨⎧ lg 2+lg 3=a ,lg 3+lg 5=b ,即⎩⎨⎧lg 2+lg 3=a ,lg 3+1-lg 2=b ,解得⎩⎪⎨⎪⎧lg 2=a -b +12,lg 3=a +b -12,所以lg 108=12lg 108 =12lg(22×33)=12(2lg 2+3lg 3)=lg 2+32lg 3 =a -b +12+32×a +b -12 =2a -2b +2+3a +3b -34=5a +b -14.对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式,要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯,“lg 2+lg 5=1”在计算对数值时会经常用到,同时注意各部分变形要化到最简形式.[探究问题]1.假设log 25log 23=x ,则log 25=x log 23,即log 25=log 23x ,从而有3x =5,进一步可以得到什么结论?提示:进一步可以得到x =log 35,即log 35=log 25log 23.2.由探究1,你能猜测log c blog c a 与哪个对数相等吗?如何证明你的结论?提示:log c b log ca =log ab .假设logc blog ca =x ,则log cb =x logc a ,即log c b =log c a x ,所以b =a x ,则x =log a b ,所以logc blog ca =log ab .【例3】 已知3a =4b =c ,且1a +1b =2,求实数c 的值.[思路探究] 先把指数式化为对数式,再利用换底公式转化为同底的对数运算.[解] 由3a =4b =c ,得:a =log 3c ,b =log 4c , 所以1a =1log 3c =log c 3,1b =1log 4c =log c 4.又1a +1b =2,所以logc 3+log c 4=log c 12=2, 即c 2=12,又3a =4b =c >0,所以c =2 3.3.(变条件)将本例中的条件“1a +1b =2”改为“1a -1b =2”,则实数c 又为多少?[解] 由3a =4b =c 得: a =log 3c ,b =log 4c ,所以1a =1log 3c =log c 3,1b =1log 4c =log c 4.又1a -1b =2,所以log c 3-log c 4=log c 34=2, 即c 2=34,又3a =4b =c >0,所以c =32.4.(变结论)将本例条件改为“已知正数a ,b ,c ,满足3a =4b =6c ”,求证:1c -1a =12b .证明:设3a =4b =6c =k (k >1), 则a =log 3k ,b =log 4k ,c =log 6k ,所以1c-1a=1log6k-1log3k=log k6-log k3=log k 63=log k2,12b=12log4k=12log k4=log k2,所以1c-1a=12b.应用换底公式应注意的两个方面(1)利用换底公式可以把不同底的对数化成同底的对数,要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用.(2)题目中有指数式和对数式时,要注意将指数式与对数式统一成一种形式.1.本节课的重点是掌握对数运算性质、对数换底公式,难点是对数运算性质的应用.2.本节课要重点掌握的规律方法(1)掌握对数运算性质的应用技巧.(2)弄清对数换底公式在求值中的应用.3.本节课的易错点是应用对数运算性质、对数换底公式时忽略条件或将公式记忆错误.1.思考辨析(1)积、商的对数可以化为对数的和、差.()(2)log a xy=log a x·log a y. ()(3)log a(-2)3=3log a(-2).()[解析](1)√.根据对数的运算性质可知(1)正确;(2)×.根据对数的运算性质可知log a xy=log a x+log a y;(3)×.公式log a M n=n log a M(n∈R)中的M应为大于0的数.[答案](1)√(2)×(3)×2.有以下四个结论:①lg(lg 10)=0;②ln(ln e)=0;③若10=lg x ,则x =10;④若e =ln x ,则x =e 2.其中正确的是( )A .①③B .②④C .①②D .③④C [lg(lg 10)=lg 1=0,故①正确;ln(ln e)=ln 1=0,故②正确;若10=lg x ,则x =1010,则③错误;若e =ln x ,则x =e e ,则④错误.]3.若a >0,a 23=49,则log 23a =________. 3 [因为a 23=49, 所以log23a 23=log 2349,所以23log23a =log23⎝ ⎛⎭⎪⎫232=2,所以log23a =3.] 4.计算下列各式的值: (1)lg 2+lg 5-lg 8lg 50-lg 40;(2)3log 72-log 79+2log 7⎝⎛⎭⎪⎫322. [解] (1)原式=1-3lg 2lg 5-2lg 2=1-3lg 2lg 5+lg 2-3lg 2=1-3lg 21-3lg 2=1.(2)原式=log 723-log 79+log 7⎝⎛⎭⎪⎫3222=log 78×989=log 71=0.。
高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)32对数与对数函数321对数及其运算同步测控新人教B版1
3.2.1 对数及其运算同步测控我夯基,我达标1.式子2)5log 211(2+的值为( ) A.2+5 B.25 C.2+25 D.1+25 解析:原式=)5log 1(2+=2)52(log 2=25.答案:B2.下列各式中成立的是( )A.log a x 2=2log a xB.log a |xy|=log a |x|+log a |y|C.log a 3>log a 2D.log a yx =log a x-log a y 解析:A 、D 的错误在于不能保证真数为正,C 的错误在于a 值不定.答案:B3.已知f (x 5)=lgx ,则f (2)等于( ) A.lg2 B.lg32 C.lg321 D.51lg2 解析:令x 5=t ,则x=5t =t 51. ∴f(t )=lgt 51=51lgt. ∴f(2)=51lg2. 答案:D4.下列四个命题中,真命题是( )A.lg2lg3=lg5B.lg 23=lg9C.若log a M+N=b ,则M+N=a bD.若log 2M+log 3N=log 2N+log 3M ,则M=N解析:本题易错选A 或B 或C.主要问题是对函数的运算性质不清,在对数运算的性质中,与A 类似的一个错误的等式是lg2+lg3=lg5;B 中的lg 23表示(lg3)2,它与lg32=lg9意义不同;C 中的log a M+N 表示(log a M )+N ,它与log a (M+N )意义不同;D 中等式可化为log 2M-log 2N=log 3M-log 3N ,即log 2N M =log 3NM ,所以M =N. 答案:D5.求下列各式的值:(1)设log b x-log b y =a ,则log b 5x 3-log b 5y 3=____________;(2)设log a (x +y)=3,log a x =1,则log a y =____________;(3)3|91|log 3=_____________.解析:(1)∵log b x-log b y =a,∴log b y x=a.∴log b 5x 3-log b 5y 3=log b 3355y x=log b (y x )3=3log b y x=3a.(2)∵log a (x +y)=3, ∴a 33=x +y.又log a x =1,∴x=a.∴y=a 3-a.从而log a y =log a (a 3-a). (3)3|91|log 3=3|3log 23|-=3|3log 2|3-=32=9.答案:(1)3a (2)log a (a 3-a) (3)96.已知函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x 则f (log 23)的值为__________.解析:∵1<log 23<2,∴3+log 23>4.∴f(3+log 23)=(21)3log 32+ =(21)24log 2=(21)241log 21=241.又∵当x<4时,f(x+1)=f(x),∴f(log 23)=f(1+log 23)=f(2+log 23)=f(3+log 23)=241. 答案:2417.求下列各式中的x :(1)log 54x =21-;(2)log x 5=23; (3)log (x-1)(x 2-8x +7)=1.分析:根据式中未知数的位置或直接转化成指数式计算或利用对数性质进行计算.解:(1)原式转化为(54)21-=x ,所以x=25. (2)原式转化为x 23=5,所以x=325. (3)由对数性质,得⎪⎩⎪⎨⎧>+-≠->--=+-,078,11,01,17822x x x x x x x 解得x =8.8.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求lg 45.分析:解本题的关键是设法将45的常用对数分解为2、3的常用对数代入计算. 解:lg 45=21lg45=21lg 290 =21(lg9+lg10-lg2) =21(2lg3+1-lg2) =lg3+2121-lg2 =0.477 1+0.5-0.150 5=0.826 6.我综合,我发展9.对于a>0,a≠1,下列说法中正确的是( )①若M=N ,则log a M=log a N ②若log a M=log a N ,则M=N ③若log a M 2=log a N 2,则M=N ④若M=N ,则log a M 2=log a N 2A.①③B.②④C.②D.①②③④ 解析:在①中,当M=N≤0时,log a M 与log a N 均无意义,因此log a M=log a N 不成立. 在②中,当log a M=log a N 时,必有M >0,N >0,且M=N ,因此M=N 成立.在③中,当log a M 2=log a N 2时,有M≠0,N≠0,且M 2=N 2,即|M|=|N|,但未必有M=N ,例如,M=2,N=-2时,也有log a M 2=log a N 2,但M≠N.在④中,若M=N=0,则log a M 2与log a N 2均无意义,因此log a M 2=log a N 2不成立.∴只有②正确.答案:C10.设log a c 、log b c 是方程x 2-3x+1=0的两根,则log b a c=__________.解析:依题意,得⎩⎨⎧=∙=+,1log log ,3log log c c c c b a b a即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∙=+,1log log 1,3log 1log 1ba b a c c c c 即⎩⎨⎧=∙=+.1log log ,3log log b a b a c c c c ∴(log c a-log c b)2=(log c a+log c b)2-4log c a·log c b=32-4=5.∴log c a-log c b=±5. 故log b a =5551log log 1log 1±=±=-=b a b a c c c . 答案:±55 11.已知log 189=a ,18b =5,则log 3645=_______.(用a,b 表示)解析:∵log 189=a ,∴log 18218=1-log 182=a. ∴log 182=1-a.又∵18b =5,∴log 185=b.∴log 3645=ab a -+=++=22log 15log 9log 36log 45log 1818181818. 答案:ab a -+2 12.若26x =33y =62z ,求证:3xy-2xz-yz=0.分析:由已知条件到结论,本质就是把指数式化为对数式,要把指数位置上的字母拿下来,唯一的方法就是取对数,通常我们两边同时取常用对数,也可以根据题目的具体情况取其他数字(条件中已有的底数)为底数,总之要同底,然后利用对数的性质和运算法则化简计算.证法一:设t=26x =33y =62z ,两边取常用对数,则x=2lg 6lg t ,y=3lg 3lg t ,z=6lg 2lg t . ∴3xy -2xz-yz=6lg 3lg 6lg 6lg 2lg 6lg 3lg 2lg 6lg 222t t t -- =)]3lg 12lg 1(6lg 13lg 2lg 1[6lg 2+-t =)3lg 2lg 13lg 2lg 1(6lg 2-t =0.证法二:∵26x =33y =62z ,∴两边取以3为底的对数,有6xlog 32=3y=2zlog 36,由前面的等式,得yz=2xzlog 32,由后面的等式,得3xy=2xzlog 36.∴3xy -2xz-yz=2xzlog 36-2xz-2xzlog 32=2xz(log 36-1-log 32)=2xz (log 36-log 33-log 32)=0. 科学是实事求是的学问。
课件6: 3.2.1 对数及其运算(二)
跟踪训练 3 (1)已知 lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1,求 lg 45;
探究点二 换底公式与自然对数
导引 在实际应用中,常常碰到底数不为 10 的对数,如何求这
类对数呢?如何求 log35?
问题 1
假设lloogg2253=x,则 log25=xlog23,即 log25=log23x,从而
有 3x=5,进一步可得到什么结论?
答 把 3x=5 化为对数式为:log35=x, 又因 x=lloogg2253,所以得出 log35=lloogg2253的结论.
小结 在问题 3 中的第(2)题中,我们得到 loga(MN)=m+n,又由 logaM=m,logaN=n,进行 m,n 的代换后就得到对数的一条运算性质, 即:loga(MN)=logaM+logaN.因为同底数幂相乘,不论有多少因数,都 是把指数相加,所以这个性质可推广到若干个正因数的 积:loga(N1N2…Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk.
( C)
13 2.log3 27+lg 25+lg 4+7 log72+(-9.8)0=_____2_____.
解析 原式=12log333+lg(25×4)+2+1=32+2+3=123.
3.求证:(1)logxylogyz=logxz;(2)logan bn=logab. 证明 (1)因为 logxylogyz=logxyllooggxxyz=logxz, 所以 logxylogyz=logxz. (2)logan bn=llooggaabann=nnllooggaaba=logab.
高中数学第三章Ⅰ3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算学习导航学案新人教B版必修6.doc
3.2.1 对数及其运算自主整理1.对数的概念(1)如果a(a>0,且a≠1)的b 次幂等于N ,就是a b =N ,那么数b 称为以a 为底N 的对数,记作log a N=b ,其中a 称为对数的底,N 称为真数;(2)以10为底的对数称为常用对数,log 10N 记作lgN ;(3)以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数称为自然对数,log e N 记作lnN.2.对数的性质(1)真数N 为正数(负数和零无对数).(2)log a 1=0.(3)log a a=1.(4)对数恒等式:a N a log =N.(5)运算性质:如果a >0,a≠1,M>0,N>0,则①log a (MN)=log a M+log a N;②log a NM =log a M-log a N; ③log a M n =nlog a M(n∈R ).3.对数的换底公式一般地,我们有log a N=aN m m log log (a>0,a≠1,m>0,m≠1,N>0), 这个公式称为对数的换底公式.通过换底公式可推导:(1)log a b·log b a=1;(2)log n a b m =mn log a b. 高手笔记1.对数的运算法则助记口诀:积的对数变为加,商的对数变为减,幂的乘方取对数,要把指数提到前.2.对数换底公式口诀:换底公式真神奇,换成新底可任意,原底加底变分母,真数加底变分子.3.证明对数恒等式,一要注意指数与对数式的互化,二要紧扣对数的定义.4.使用对数的运算法则时,要注意各个字母的取值范围,只有各个对数式都存在时,等式才成立.例如:lg (-2)(-3)存在,但lg (-2),lg (-3)不存在,lg (-10)2存在,但lg(-10)不存在等.因此不能得出lg (-2)(-3)=lg (-2)+lg (-3),lg (-10)2=2lg (-10).5.换底公式的证明要紧扣对数的定义,证明的依据是:若M >0,N >0,M=N ,则log a M=log a N. 名师解惑1.对数式与指数式有何关系?在对数符号log a N 中,为什么规定a >0,a≠1,N >0呢? 我们的口号是:渴望找到真理就是功绩,即使在这条道路上会迷路。
高中数学三章基本初等函数Ⅰ3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算
3.2.1 对数及其运算整体设计教学分析我们在前面的学习过程中,已学习了指数函数的概念和性质,从本节开始我们学习对数及其运算.使学生认识引进对数的必要性,理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.教材注重从现实生活的事例中引出对数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系一些熟悉的事例,以丰富教学的情境创设.教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能,教材安排了“阅读与欣赏”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持.三维目标1.理解对数的概念,了解对数与指数的关系,理解和掌握对数的性质.2.掌握对数式与指数式的关系,通过实例推导对数的运算性质.3.准确地运用对数运算性质进行运算,并掌握化简求值的技能,运用对数运算性质解决有关问题.4.通过与指数式的比较,引出对数的定义与性质,让学生经历并推理出对数的运算性质,并归纳整理本节所学的知识.5.学会对数式与指数式的互化,从而培养学生的类比、分析、归纳能力;通过对数的运算法则的学习,培养学生严谨的思维品质;在学习过程中培养学生探究的意识;让学生感受对数运算性质的重要性,增加学生的成功感,增强学习的积极性. 重点难点教学重点:对数式与指数式的互化及对数的性质,对数运算的性质与对数知识的应用.教学难点:对数概念的理解,对数运算性质的推导及应用. 课时安排3课时教学过程第1课时 对数概念导入新课思路1.(1)庄子:一尺之棰,日取其半,万世不竭.①取4次,还有多长?②取多少次,还有0.125尺?(2)假设2002年我国国民生产总值为a 亿元,如果每年平均增长8%,那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍? 抽象出:①(12)4=?(12)x=0.125 x =?②(1+8%)x=2 x=?都是已知底数和幂的值,求指数.你能看得出来吗?怎样求呢?像上面的式子,已知底数和幂的值,求指数,这就是我们这节课所要学习的对数〔引出对数的概念,教师板书课题〕.思路 2.我们前面学习了指数函数及其性质,同时也会利用性质解决问题,但仅仅有指数函数还不够,为了解决某些实际问题,还要学习对数函数,为此我们先学习对数〔引出对数的概念,教师板书课题〕.推进新课新知探究提出问题错误!活动:学生讨论并作图,教师适时提示、点拨.对问题①,回忆计算机作函数图象的方法,抓住关键点.对问题②,图象类似于人的照片,从照片上能看出人的特点,当然从函数图象上就能看出函数的某些点的坐标.对问题③,定义一种新的运算.对问题④,借助③,类比到一般的情形.讨论结果:①如下图.②在所作的图象上,取点P,测出点P的坐标,移动点P,使其纵坐标分别接近18、20、30,观察这时的横坐标,大约分别为32.72、43.29、84.04,这就是说,如果保持年增长率为1个百分点,那么大约经过33年、43年、84年,我国人口分别约为18亿、20亿、30亿.③1813=1.01x ,2013=1.01x ,3013=1.01x,在这几个式子中,要求x 分别等于多少,目前我们没学这种运算,可以定义一种新运算,用符号“log”表示对数,即若1813=1.01x,则x 总以1.01为底的1813的对数就可写成x =log 1.011813.其他的可类似得到,x =log 1.012013,x =log 1.013013,这种运算叫做对数运算.④一般性的结论就是对数的定义:一般地,对于指数式a b=N ,我们把“以a 为底N 的对数b”记作log a N ,即b =log a N(a>0,且a≠1).其中,数a 叫做对数的底数,N 叫做真数,读作“b 等于以a 为底N 的对数”.实质上,上述对数表达式,不过是指数式N =a b的另一种表达形式. 由此得到对数和指数幂之间的关系:a Nb 指数式a b=N 底数 幂 指数 对数式log a N =b对数的底数真数对数例如:42=16⇔2=log 416;102=100⇔2=log 10100;214=2⇔12=log 42;10-2=0.01-2=log 100.01.提出问题①为什么在对数定义中规定a>0,且a≠1?②根据对数定义求log a 1和log a a a>0,且a≠1的值.③负数与零有没有对数?④alogaN=N 与log a a b=ba>0,且a≠1是否成立?⑤什么是常用对数?讨论结果:①这是因为若a <0,则N 为某些值时,b 不存在,如log (-2)12;若a =0,N 不为0时,b 不存在,如log 03,N 为0时,b 可为任意正数,是不唯一的,即log 00有无数个值;若a =1,N 不为1时,b 不存在,如log 12,N 为1时,b 可为任意数,是不唯一的,即log 11有无数个值.综之,就规定了:a >0,且a≠1.②log a 1=0,log a a =1.因为对任意a >0,且a≠1,都有a 0=1,所以log a 1=0. 同样易知:log a a =1.即1的对数等于0,底的对数等于1.③因为底数a >0,且a≠1,由指数函数的性质可知,对任意的b∈R ,a b>0恒成立,即只有正数才有对数,零和负数没有对数. ④因为a b=N ,所以b =log a N ,a b=alogaN=N ,即alogaN=N.因为a b=a b,所以log a a b=b.故两个式子都成立.(alog a N =N 叫对数恒等式)常用对数:我们通常将以10为底的对数叫做常用对数.为了简便,N 的常用对数log 10N 简记作lgN.例如:log 105简记作lg5;log 103.5简记作lg3.5.例如:loge3简记作ln3;loge10简记作ln10.应用示例思路1例1求log 22,log 21,log 216,log 212.解:因为21=2,所以log 22=1; 因为20=1,所以log 21=0; 因为24=16,所以log 216=4; 因为2-1=12,所以log 212=-1.点评:本题要注意方根的运算,同时也可借助对数恒等式来解.例2求lg10,lg100,lg0.01. 解:因为101=10,所以lg10=1; 因为102=100,所以lg100=2; 因为10-2=0.01,所以lg0.01=-2.例3利用科学计算器求对数(精确到0.000 1):lg2 001;lg0.061 8;lg0.004 5;lg396.5. 解:用科学计算器计算:所以lg2 001≈3.301 2,lg0.061 8≈-1.209 0, lg0.004 5≈-2.346 8,lg395.6≈2.598 2.思路2例1以下四个命题中,属于真命题的是( )(1)若log 5x =3,则x =15 (2)若log 25x =12,则x =5 (3)若log x 5=0,则x = 5 (4)若log 5x =-3,则x =1125A .(2)(3)B .(1)(3)C .(2)(4)D .(3)(4)活动:学生观察,教师引导学生考虑对数的定义.解析:对数式化为指数式,根据指数幂的运算性质算出结果. 对于(1),因为log 5x =3,所以x =53=125,错误; 对于(2),因为log 25x =12,所以x =2512=5,正确;对于(3),因为log x 5=0,所以x 0=5,无解,错误; 对于(4),因为log 5x =-3,所以x =5-3=1125,正确.总之(2)(4)正确.答案:C点评:对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据.例2计算:(1)log 927;(2) 43log 81;(3)log (2+3)(2-3);(4) 345log625.活动:教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,学生展示自己的解题过程,教师及时评价学生.利用对数的定义或对数恒等式来解.求式子的值,首先设成对数式,再转化成指数式或指数方程求解.另外利用对数恒等式可直接求解,所以有两种解法. 解法一:(1)设x =log 927,则9x =27,32x =33,所以x =32.(2)设x =43log 81,则(43)x=81,43x =34,所以x =16.(3)令x =log (2+3)(2-3)=log (2+3)(2+3)-1,所以(2+3)x=(2+3)-1,x =-1. (4)令x =345log625,所以(354)x=625,x 345=54,x =3.解法二:(1)log 927=log 933=log 9932=32.(2) 43log 81=43log (43)16=16.(3)log (2+3)(2-3)=log (2+3)(2+3)-1=-1.(4) 345log625=345log(354)3=3.点评:首先将其转化为指数式,进一步根据指数幂的运算性质算出结果,对数的定义是转化和对数恒等式的依据.知能训练1.把下列各题的指数式写成对数式:(1)42=16;(2)30=1;(3)4x=2;(4)2x=0.5;(5)54=625;(6)3-2=19;(7)(14)-2=16. 解:(1)2=log 416;(2)0=log 31;(3)x =log 42;(4)x =log 20.5;(5)4=log 5625;(6)-2=log 319;(7)-2=log 1416.2.把下列各题的对数式写成指数式:(1)x =log 527;(2)x =log 87;(3)x =log 43;(4)x =log 713;(5)log 216=4;(6) 31log 27=-3;(7) 3log x =6;(8)log x 64=-6;(9)log 2128=7;(10)log 327=a.解:(1)5x=27;(2)8x=7;(3)4x=3;(4)7x=13;(5)24=16;(6)(13)-3=27;(7)(3)6=x ;(8)x -6=64;(9)27=128;(10)3a=27.3.求下列各式中x 的值:(1)log 8x =-23;(2)log x 27=34;(3)log 2(log 5x)=1;(4)log 3(lgx)=0.解:(1)因为log 8x =-23,所以x =8-23=(23)-23=23×(-23)=2-2=14; (2)因为log x 27=34,所以43x =27=33,即x =(33)34=34=81;(3)因为log 2(log 5x)=1,所以log 5x =2,x =52=25; (4)因为log 3(lgx)=0,所以lgx =1,即x =101=10. 4.(1)求log 84的值;(2)已知log a 2=m ,log a 3=n ,求a2m +n的值.解:(1)设log 84=x ,根据对数的定义有8x=4,即23x=22,所以x =23,即log 84=23; (2)因为log a 2=m ,log a 3=n ,根据对数的定义有a m=2,a n=3, 所以a2m +n=(a m )2·a n =(2)2·3=4×3=12.点评:此题不仅是简单的指数与对数的互化,还涉及到常见的幂的运算法则的应用.拓展提升对于a >0,a≠1,下列结论正确的是( )(1)若M =N ,则log a M =log a N (2)若log a M =log a N ,则M =N (3)若log a M 2=log a N 2,则M =N (4)若M =N ,则log a M 2=log a N 2A.(1)(3) B.(2)(4)C.(2) D.(1)(2)(4)活动:学生思考,讨论,交流,回答,教师及时评价.回想对数的有关规定.对(1)若M=N,当M为0或负数时log a M≠log a N,因此错误;对(2)根据对数的定义,若log a M=log a N,则M=N,正确;对(3)若log a M2=log a N2,则M=±N,因此错误;对(4)若M=N=0时,则log a M2与log a N2都不存在,因此错误.综上,(2)正确.答案:C点评:0和负数没有对数,一个正数的平方根有两个.课堂小结(1)对数引入的必要性;(2)对数的定义;(3)几种特殊数的对数;(4)负数与零没有对数;(5)对数恒等式;(6)两种特殊的对数.作业课本本节练习B 1、2.设计感想本节课在前面研究了指数函数及其性质的基础上,为了运算的方便,引进了对数的概念,使学生感受到对数的现实背景,它有着丰富的内涵,和我们的实际生活联系密切,也是以后学习对数函数的基础,鉴于这种情况,安排教学时,无论是导入还是概念得出的过程,都比较详细,通俗易懂,要反复练习,要紧紧抓住它与指数概念之间的联系与区别,结合指数式理解对数式,强化对数是一种运算,并注意对数运算符号的理解和记忆,多运用信息化的教学手段,顺利完成本堂课的任务,为下一节课作准备.备课资料[备选例题]例1将下列指数式与对数式互化,有x 的求出x 的值. (1)215-=15;(2) 2log 4=x ;(3)3x=127;(4)(14)x=64;(5)lg0.000 1=x.解:(1) 215-=15化为对数式是log 515=-12;(2)x =2log 4化为指数式是(2)x=4,即22x =22,x2=2,x =4;(3)3x=127化为对数式是x =log 3127,因为3x=(13)3=3-3,所以x =-3;(4)(14)x =64化为对数式是x =log 1464,因为(14)x =64=43,所以x =-3;(5)lg0.000 1=x 化为指数式是10x=0.000 1, 因为10x=0.000 1=10-4,所以x =-4. 例2计算3log35+3log315的值.解:设x =log 315,则3x=15,(312)x =21)51(-,所以x =3log15. 所以3log 35+3log 315=5+33log15=5+15=655.例3计算a logab·logbc·logcN(a >0,b >0,c >0,N >0).解:alogab·logbc·logcN=blogbc·logcN=clogcN=N.(设计者:路致芳)第2课时 积、商、幂的对数导入新课思路1.上节课我们学习了以下内容: 1.对数的定义.2.指数式与对数式的互化. a b=N log a N =b. 3.重要公式:(1)负数与零没有对数;(2)log a 1=0,log a a =1;(3)对数恒等式alog a N =N.下面我们接着讲积、商、幂的对数〔教师板书课题〕.思路 2.我们在学习指数的时候,知道指数有相应的运算法则,即指数运算法则. a m·a n=am +n;a m ÷a n =am -n;(a m )n=a mn;ma n=a nm.从上节课我们还知道指数与对数都是一种运算,而且它们互为逆运算,对数是否也有和指数相类似的运算法则呢?答案是肯定的,这就是本堂课的主要内容,点出课题.推进新课新知探究提出问题1在上节课中,我们知道,对数运算可看作指数运算的逆运算,你能从指数与对数的关系以及指数运算性质,得出相应的对数运算性质吗?2如我们知道a m=M,a n=N,a m·a n=a m+n,那m+n如何表示,能用对数式运算吗?3在上述2的条件下,类比指数运算性质能得出其他对数运算性质吗?4你能否用最简练的语言描述上述结论?如果能,请描述.,5上述运算性质中的字母的取值有什么限制吗?6上述结论能否推广呢?,7学习这些性质能对我们进行对数运算带来哪些方便呢?讨论结果:(1)通过问题(2)来说明.(2)如a m·a n=a m+n,设M=a m,N=a n,于是MN=a m+n,由对数的定义得到M=a m⇔m=log a M,N=a n⇔n=log a N,MN=a m+n⇔m+n=log a MN,log a(MN)=log a M+log a N.因此m+n可以用对数式表示.(3)令M =a m ,N =a n ,则M N =a m ÷a n =a m -n,所以m -n =log a M N .又由M =a m,N =a n,所以m =log a M ,n =log a N.所以log a M -log a N =m -n =log a MN,即log a MN=log a M -log a N.设M =a m,则M n=(a m )n=a mn.由对数的定义, 所以log a M =m ,log a M n=mn.所以log a M n=mn =nlog a M ,即log a M n=nlog a M. 这样我们得到对数的三个运算性质: 如果a >0,a≠1,M >0,N >0,则有 log a (MN)=log a M +log a N ,① log a MN =log a M -log a N ,②log a M n=nlog a M(n∈R ).③ (4)以上三个性质可以归纳为:性质①:两数积的对数,等于各数的对数的和;性质②:两数商的对数,等于被除数的对数减去除数的对数; 性质③:幂的对数等于幂指数乘底数的对数.(5)利用对数运算性质进行运算,所以要求a >0,a≠1,M >0,N >0.(6)性质①可以推广到n 个数的情形:即log a (M 1M 2M 3…M n )=log a M 1+log a M 2+log a M 3+…+log a M n (其中a >0,a≠1,M 1、M 2、M 3、…、M n 均大于0). (7)纵观这三个性质我们知道,性质①的等号左端是乘积的对数,右端是对数的和,从左往右看是一个降级运算.性质②的等号左端是商的对数,右端是对数的差,从左往右是一个降级运算,从右往左是一个升级运算. 性质③从左往右仍然是降级运算.利用对数的性质①②可以使两正数的积、商的对数转化为两正数的各自的对数的和、差运算,大大的方便了对数式的化简和求值.应用示例思路1例1用log a x ,log a y ,log a z 表示下列各式:(1)log a xy z ;(2)log a (x 3y 5);(3)log a x yz ;(4)log a x 2y 3z .解:(1)log a xyz =log a (xy)-log a z =log a x +log a y -log a z ;(2)log a (x 3y 5)=log a x 3+log a y 5=3log a x +5log a y ;(3)log a x yz =log a x -log a (yz)=log a 21x -(log a y +log a z)=12log a x-log a y -log a z ; (4)log ax2y 3z=log a (x 221y 31-z)=log a x 2+log a 21y +log a 31-z=2log a x+12log a y -13log a z.点评:对数的运算实质上是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减的运算.例2计算:(1)lg 5100;(2)lg4+lg25;(3)(lg2)2+lg20×lg5.解:(1)lg 5100=15lg100=25;(2)lg4+lg25=lg(4×25)=lg100=2;(3)(lg2)2+lg20×l g5=(lg2)2+(1+lg2)(1-lg2)=(lg2)2+1-(lg2)2=1.点评:此例题体现对数运算性质的综合运用,应注意掌握变形技巧,如变形要化到最简形式,同时注意分子、分母的联系;要避免错用对数运算性质,特别是对数运算性质的灵活运用,运算性质的逆用常被学生所忽视.解:(1)解法一:lg14-2lg 73+lg7-lg18=lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(32×2)=lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0.解法二:lg14-2lg 73+lg7-lg18=lg14-lg(73)2+lg7-lg18=lg 14×7(73)2×18=lg1=0.(2)lg243lg9=lg35lg32=5lg32lg3=52. (3)lg 27+lg8-3lg 10lg1.2=lg(33)12+lg23-3lg(10)12lg3×2210 =32lg3+2lg2-1lg3+2lg2-1=32. 思路2例1:求下列各式的值.(1)log 525;(2)log 0.41;(3)log 2(47×25). 解法一:(1)log 525=log 552=2; (2)log 0.41=0;(3)log 2(47×25)=log 247+log 225=log 222×7+log 225=2×7+5=19.解法二:(1)设log 525=x ,则5x=25=52,所以x =2; (2)设log 0.41=x ,则0.4x =1=0.40,所以x =0; (3)log 2(47×25)=log 2(214×25)=log 2219=19,或log 2(47×25)=log 247+log 225=7log 222+log 225=2×7+5=19. 点评:此题关键是要记住对数运算性质的形式.例2计算下列各式的值:(1)12lg 3249-43lg 8+lg 245;(2)lg52+23lg8+lg5·lg20+(lg2)2;(3)lg 2+lg3-lg 10lg1.8.活动:学生思考、交流,观察题目特点,教师可以提示引导:将真数中的积、商、幂化为对数的和、差、积;再就是逆用对数的运算性质.先利用对数的性质把积、商、幂化为对数的和、差、积进行计算.再就是逆用对数的运算性质,把对数的和、差、积转化为真数的积、商、幂再计算.(1)解法一:12lg 3249-43lg 8+lg 245=12(5lg2-2lg7)-43×32lg2+12(2lg7+lg5) =52lg2-lg7-2lg2+lg7+12lg5 =12lg2+12lg5 =12(lg2+lg5)=12lg10=12. 解法二:12lg 3249-43lg 8+lg 245=lg 427-34232lg+lg75=lg 42×757×4=lg(2×5)=lg 10=12.(2)解法一:lg52+23lg8+lg5·lg20+(lg2)2=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+(lg2)2=2lg10+(lg2+lg5)2=2+(lg10)2=2+1=3.解法二:lg52+23lg8+lg5·lg20+(lg2)2=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+(1-lg5)2=2lg10+lg5[2(1-lg5)+lg5]+(1-lg5)2=2+lg5(2-lg5)+(1-lg5)2=2+2lg5-(lg5)2+1-2lg5+(lg5)2=3.(3)解法一:lg 2+lg3-lg 10lg1.8=12lg2+lg9-lg10lg1.8=lg 18102lg1.8=lg1.82lg1.8=12. 解法二:lg 2+lg3-lg 10lg1.8=12lg2+lg3-12lg 1810=12lg2+lg3-122lg3+lg2-1=122lg3+lg2-12lg3+lg2-1=12. 点评:这类问题一般有以下几种处理方法:一是将真数中的积、商、幂运用对数的运算法则化为对数的和、差、积,然后化简求值;二是将式中对数的和、差、积运用对数的运算法则化为真数的积、商、幂,然后化简求值;三是上述两种方法灵活运用,化简求值. 变式训练 计算:(1)2log 510+log 50.25;(2)2log 525+3log 264;(3)log 2(log 216). 解:(1)因为2log 510=log 5102=log 5100,所以2log 510+log 50.25=log 5100+log 50.25=log 5(100×0.25)=log 552=2log 55=2.(2)因为2log 525=2log 552=4log 55=4,3log 264=3log 226=18log 22=18,所以2log 525+3log 264=22.(3)因为log 216=log 224=4,所以log 2(log 216)=log 24=log 222=2.知能训练1.用log a x ,log a y ,log a z ,log a (x +y),log a (x -y)表示下列各式: (1)log a 3x y 2z ;(2)log a (x·4z 3y 2);(3)log a (xy 12z -23);(4)log a xy x 2-y 2; (5)log a (x +y x -y ·y);(6)log a [y xx -y ]3. 解:(1)log a 3x y 2z =log a 3x -log a y 2z =13log a x -(2log a y +log a z) =13log a x -2log a y -log a z. (2)log a (x·4z 3y 2)=log a x +log a 4z 3y 2=log a x +14(log a z 3-log a y 2) =log a x -24log a y +34log a z =log a x -12log a y +34log a z. (3)log a (xy 12z -23)=log a x +log a y 12+log a z -23=log a x +12log a y -23log a z.(4)log a xy x 2-y 2=log a xy -log a (x 2-y 2)=log a x +log a y -log a (x +y)(x -y)=log a x +log a y -log a (x +y)-log a (x -y).(5)log a (x +y x -y ·y)=log a x +y x -y+log a y =log a (x +y)-log a (x -y)+log a y.(6)log a [y x(x -y)]3=3[log a y -log a x -log a (x -y)]=3log a y -3log a x -3log a (x -y).2.已知f(x 6)=log 2x ,则f(8)等于( )A.43 B .8 C .18 D.12解析:因为f(x 6)=log 2x ,x >0,令x 6=8,得x =632=212,所以f(8)=log 2212=12. 另解:因为f(x 6)=log 2x =16log 2x 6,所以f(x)=16log 2x. 所以f(8)=16log 28=16log 223=12. 答案:D3.若a >0,a≠1,x >0,y >0,x >y ,下列式子正确的个数为( ) ①log a x·log a y =log a (x +y) ②log a x -log a y =log a (x -y)③log a x y=log a x÷log a y ④log a (xy)=log a x·log a yA .0B .1C .2D .3 答案:A4.若a >0,a≠1,x >y >0,n∈N +,下列式子正确的个数为( )①(log a x)n =nlog a x ②(log a x)n =log a x n③log a x =-log a 1x ④log a x log a y =log a x y ⑤n log a x =1n log a x ⑥1nlog a x =log a n x ⑦log a x n=nlog a x ⑧log a x -y x +y =-log a x +y x -y A .3 B .4 C .5 D .6 答案:B5.科学家以里氏震级来度量地震的强度.若设I 为地震时所散发出来的相对能量程度,则里氏震级r 可定义为r =0.6lgI ,试比较6.9级和7.8级地震的相对能量程度.解:设6.9级和7.8级地震的相对能量程度分别为I 1和I 2,由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧ 6.9=0.6lgI 1,7.8=0.6lgI 2.因此0.6(lgI 2-lgI 1)=0.9,即lg I 2I 1=1.5.所以I 2I 1=101.5≈32. 因此,7.8级地震的相对能量程度约为6.9级地震的相对能量程度的32倍.拓展提升已知x 、y 、z >0,且lgx +lgy +lgz =0,求x 1lgy +1lgz ·y 1lgz+1lgx ·z 1lgx +1lgy的值. 活动:学生讨论、交流、思考,教师可以引导.大胆设想,运用对数的运算性质.由于所求的式子是三项积的形式,每一项都有指数,指数中又有对数,因此想到用对数的运算性质,如果能对所求式子取对数,那可能会好解决些,故想到用参数法,设所求式子的值为t.解:令x 1lgy +1lgz ·y 1lgz +1lgx ·z 1lgx +1lgy =t ,则lgt =(1lgy +1lgz )lgx +(1lgz +1lgx )lgy +(1lgx +1lgy)lgz =lgx lgy +lgx lgz +lgy lgz +lgy lgx +lgz lgx +lgz lgy =lgx +lgz lgy +lgx +lgy lgz +lgy +lgz lgx=-lgy lgy +-lgz lgz +-lgx lgx =-3,所以t =10-3=11 000即为所求. 课堂小结1.对数的运算法则.2.对数的运算法则的综合应用,特别是公式的逆向使用.3.对数与指数形式比较:作业课本本节练习B 1、2、3.设计感想在前面研究了对数概念的基础上,为了运算的方便,本节课我们借助指数的运算法则,推出了对数的运算法则,引导学生自己完成推导过程,加深对公式的理解和记忆,对运算性质的认识类比指数的运算法则来理解记忆,强化法则的使用条件,注意对数式中每一个字母的取值范围,由于它是以后学习对数函数的基础,所以安排教学时,要反复练习,加大练习的量,多结合信息化的教学手段,顺利完成本堂课的任务.备课资料[备选例题]例 已知a 、b 、c 均为正数,3a =4b =6c,求证:2a +1b =2c . 活动:学生思考观察,教师引导,及时评价学生的思考过程.从求证的结论看,解题的关键是设法把a 、b 、c 从连等号式中分离出来,为便于找出a 、b 、c 的关系,不妨设3a =4b =6c=k(k >0),则a 、b 、c 就可用这一变量k 表示出来,再结合对数的运算性质就可证得结论.证法一:设3a =4b =6c =k ,则k >0.由对数的定义得a =log 3k ,b =log 4k ,c =log 6k ,则左边=2a +1b =2log 3k +1log 4k=2log k 3+log k 4=log k 9+log k 4=log k 36,右边=2c =2log 6k =2log k 6=log k 36,所以2a +1b =2c. 证法二:对3a =4b =6c 同时两边取常用对数得lg3a =lg4b =lg6c,alg3=blg4=clg6.所以c a =lg3lg6=log 63,c b =lg4lg6=log 64.又2c a +c b=log 6(9×4)=2,所以2a +1b =2c. 点评:本题主要考查指数、对数的定义及其运算性质.灵活运用指数、对数的概念及性质解题,适时转化.(设计者:卢岩冰)第3课时 换底公式与自然对数导入新课 思路1.问题:你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗?a >0,且a≠1,c >0,且c≠1,b >0,log a b =log c b log c a.教师直接点出课题.思路 2.前两节课我们学习了以下内容:1.对数的定义及性质;2.对数恒等式;3.对数的运算性质及应用.我们能就同底数的对数进行运算,那么不同底数的对数集中在一起,如何解决呢?这就是本堂课的主要内容.教师板书课题.思路3.从对数的定义可以知道,任意不等于1的正数都可作为对数的底,数学史上,人们经过大量的努力,制作了常用对数表和自然对数表,只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数,这样,如果能将其他底的对数转换为以10为底或以e 为底的对数就能方便地求出任意不等于1的正数为底的对数,那么,怎么转化呢?这就需要一个公式,即对数的换底公式,从而引出课题. 推进新课新知探究提出问题①已知lg2=0.301 0,lg3=0.477 1,求log 23的值.②根据①,如a>0,a≠1,你能用含a 的对数式来表示log 23吗?③更一般地,我们有log a b =log c b log c a,如何证明?④证明log a b =log c b log c a的依据是什么?⑤你能用自己的话概括出换底公式吗?⑥换底公式的意义是什么?有什么作用?⑦什么是自然对数,如何用计算器计算自然对数?活动:学生针对提出的问题,交流讨论,回顾所学,力求转化,教师适时指导,必要时提示学生解题的思路,给学生创造一个互动的学习环境,培养学生的创造性思维能力.对①目前还没有学习对数的换底公式,它们又不是同底,因此可考虑对数的定义,转化成方程来解;对②参考①的思路和结果的形式,借助对数的定义可以表示;对③借助①②的思路,利用对数的定义来证明;对④根据证明的过程来说明;对⑤抓住问题的实质,用准确的语言描述出来,一般是按照从左到右的形式;对⑥换底公式的意义就在于对数的底数变了,与我们的要求接近了;⑦自然对数与常用对数是两种特殊的对数,它们对科学研究和了解自然起了巨大的作用.讨论结果:①因为lg2=0.301 0,lg3=0.477 1,根据对数的定义,所以100.301 0=2,100.477 1=3. 不妨设log 23=x ,则2x =3,所以(100.301 0)x =100.477 1,100.301 0×x =100.477 1,即0.301 0x =0.477 1,x =0.477 10.301 0=lg3lg2.因此log 23=lg3lg2=0.477 10.301 0≈1.585 1. ②根据①我们看到,最后的结果是log 23用lg2与lg3表示,是通过对数的定义转化的,这就给我们以启发,本来是以2为底的对数转换成了以10为底的对数,不妨设log 23=x ,由对数定义知道,2x=3,两边都取以a 为底的对数,得log a 2x =log a 3,xlog a 2=log a 3,x =log a 3log a 2, 也就是log 23=log a 3log a 2. 这样log 23就表示成了以a 为底的3的对数与以a 为底的2的对数的商.③证明log a b =log c b log c a. 证明:设log a b =x ,由对数定义知道,a x =b ;两边取c 为底的对数,得log c a x =log c b xlog c a =log c b ;所以x =log c b log c a ,即log a b =log c b log c a. 一般地,log a b =log c b log c a(a >0,a≠1,b >0,c >0,c≠1)称为对数换底公式.④由③的证明过程来看,换底公式的证明要紧扣对数的定义,证明的依据是:若M >0,N >0,M =N ,则log a M =log a N.⑤一个数的对数,等于同一底数的真数的对数与底数的对数的商,这样就把一个对数变成了与原来对数的底数不同的两个对数的商. ⑥换底公式的意义就在于把对数式的底数改变,把不同底问题转化为同底问题,为使用运算法则创造条件,更方便化简求值.说明:我们使用的计算器中,“log”通常是常用对数,因此要使用计算器计算对数,一定要先用换底公式转化为常用对数.如log 23=lg3lg2, 即计算log 23的值的按键顺序为:“log”→“3”→“÷”→“log”→“2”→“=”.再如:在前面要求我国人口达到18亿的年份,就是要计算x =log 1.011813, 所以x =log 1.011813=lg 1813lg1.01=lg18-lg13lg1.01≈1.255 3-1.1390.043=32.883 7≈33年.可以看到运用对数换底公式,有时要方便得多.⑦在科学技术中,常常使用以无理数e =2.718 28…为底的对数.以e 为底的对数叫做自然对数.logeN 通常记作lnN.根据对数的换底公式,可以得到自然对数与常用对数的关系:lnN =lgN lge ≈lgN 0.434 3,即lnN≈2.302 6 lgN.用科学计算器可直接求自然对数.例如,求ln34(精确到0.000 1),可用科学计算器计算如下:所以ln34≈3.526 4.应用示例思路1 例1求下列各式的值: (1)log 89·log 2732的值;(2)ln1.解:(1)log 89·log 2732=lg9lg8×lg32lg27=2lg33lg2×5lg23lg3=23×53=109. (2)因为e 0=1,所以ln1=0.例2 (1)求证:log x ylog y z =log x z.证明:因为log x ylog y z =log x y log x z log x y =log x z ,所以log x ylog y z =log x z.(2)求证:log an b n=log a b.证明:因为log an b n =log a b n log a a n =nlog a b nlog a a=log a b ,所以log an b n =log a b. 点评:本题的结论可作为公式直接应用.思路2例1 (1)已知log 23=a ,log 37=b ,用a 、b 表示log 4256.(2)若log 83=p ,log 35=q ,求lg5.活动:学生交流,展示自己的思维过程,教师对学生的表现及时评价,要注意转化.利用对数运算性质法则和换底公式进行化简,然后再表示.对(1)据题目的特点,底数不同,所以考虑把底数统一起来,再利用对数的运算性质化简.对(2)利用换底公式把底数统一起来,再灵活利用对数的运算性质解决.解:(1)因为log 23=a ,则1a=log 32, 又因为log 37=b ,所以log 4256=log 356log 342=log 37+3·log 32log 37+log 32+1=ab +3ab +a +1. (2)因为log 83=p ,即log 233=p ,所以log 23=3p.所以log 32=13p. 又因为log 35=q ,所以lg5=log 35log 310=log 35log 32+log 35=3pq 1+3pq. 点评:本题是条件问题,要充分考虑到条件与结论的关系,更要灵活运用对数的换底公式和运算性质.例2设x 、y 、z∈(0,+∞),且3x =4y =6z .(1)求证:1x +12y =1z;(2)比较3x 、4y 、6z 的大小. 活动:学生观察,积极思考,尽量把所学知识与题目结合起来,教师及时提示引导.(1)利用对数的定义把x 、y 、z 表示出来,根据对数的定义把3x =4y =6z 转化为指数式,求出x 、y 、z ,然后计算.(2)在(1)的基础上利用中间量,作差比较,利用对数的运算性质进行比较.(1)证明:设3x =4y =6z =k ,因为x 、y 、z∈(0,+∞),所以k >1.取对数,得x =lgk lg3,y =lgk lg4,z =lgk lg6, 所以1x +12y =lg3lgk +lg42lgk =2lg3+lg42lgk =2lg3+2lg22lgk =lg6lgk =1z, 即1x +12y =1z. (2)解:因为3x -4y =(3lg3-4lg4)lgk =lg64-lg81lg3·lg4lgk =lgk·l g 6481lg3·lg4<0,所以3x <4y.又因为4y -6z =(4lg4-6lg6)lgk =lg36-lg64lg2·lg6lgk =lgk·l g 916lg2·lg6<0, 所以4y <6z.所以3x <4y <6z.点评:如果题目中有指数式,常根据对数的定义转化为对数式,有对数式常根据对数的定义转化为指数式,比较大小常用作差,如果是几个数比较大小,有时采用中间量法,要具体情况具体分析. 例3已知log a x =log a c +b ,求x.活动:学生讨论,教师指导,教师提问,学生回答,教师对解题中出现的问题及时处理.把对数式转化为指数式求解,或把b 转化为对数形式利用对数的运算性质来解.由于x 作为真数,故可直接利用对数定义求解;另外,由于等式右端为两实数和的形式,b 的存在使变形产生困难,故可考虑将log a c 移到等式左端,或者将b 变为对数形式来解.解法一:由对数定义,可知x =a logac +b =a logac ·a b =c·a b. 解法二:由已知移项可得log a x -log a c =b ,即log a x c=b ,由对数定义,知x c=a b , 所以x =c·a b.解法三:因为b =log a a b ,所以log a x =log a c +log a a b =log a c·a b . 所以x =c·a b .点评:利用对数定义进行指数式与对数式的互化对解题起到关键作用.知能训练(1)已知lg2=a ,lg3=b ,则lg12lg15等于( ) A.2a +b 1+a +b B.a +2b 1+a +bC.2a +b 1-a +bD.a +2b 1-a +b(2)已知2lg(x -2y)=lgx +lgy ,则x y的值为( ) A .1 B .4C .1或4D .4或-1(3)若3a=2,则log 38-2log 36=__________.(4)lg12.5-lg 58+lg0.5=__________. 答案:(1)C (2)B (3)a -2 (4)1 拓展提升探究换底公式的其他证明方法:活动:学生讨论、交流、思考,教师可以引导:大胆设想,运用对数的定义及运算性质和指数幂的运算性质.证法一:设log a N =x ,则a x=N ,两边取以c(c >0且c≠1)为底的对数,得log c a x =log c N ,所以xlog c a =log c N ,即x =log c N log c a. 故log a N =log c N log c a .证法二:由对数恒等式,得N =alog a N ,两边取以c(c >0且c≠1)为底的对数,得log c N =log a N·log c a ,所以log a N =log c N log c a. 证法三:令log c a =m ,log a N =n ,则a =c m ,N =a n ,所以N =(c m )n=c mn .两边取以c(c >0且c≠1)为底的对数,得mn =log c N ,所以n =log c N m ,即log a N =log c N log c a. 对数换底公式的应用:换底公式log a N =log c N log c a(c >0且c≠1,a >0且a≠1,N >0)的应用包括两个方面,即由左端到右端的应用和由右端到左端的应用.前者较为容易,而后者则易被学生忽视,因此,教学时应重视后者的用法,下面仅就后者举例说明:例:化简:log a M log a N +log b M log b N +log c M log c N +log d M log d N. 解:原式=log N M +log N M +log N M +log N M =4log N M. 课堂小结1.对数换底公式.2.换底公式可用于对数式的化简、求值或证明.若对数式的底数和真数可转化成同底数的幂的形式,则该幂底数可被选作换底公式的底数,也可把对数式转化成以10为底的常用对数或以任意数a(a >0且a≠1)为底的对数式的形式,进行化简、求值或证明. 作业1.已知271log 17=a ,31log 15=b ,求log 81175的值. 解:因为271log 17=log 277=13log 37=a , 所以log 37=3a. 又因为31log 15=log 35=b , 所以log 81175=14log 325×7=14(log 325+log 37)=14(2log 35+log 37)=3a +2b 4. 2.求证:(log 23+log 49+log 827+…+log 2n 3n )log 9n 32=52. 证明:左边=(log 23+log 49+log 827+…+log 2n 3n )log 9n 32=nlog 23·1n log 332=log 23·52log 32=52=右边. 设计感想本堂课主要是学习对数的换底公式,它在以后的学习中有着非常重要的应用,由于对数的运算法则是在同底的基础上,因此利用对数换底公式把不同底数的对数转化为同底显得非常重要,有时也可以逆用对数的换底公式达到我们的目的,特别是实际问题的应用更为广泛,因此要反复训练,强化记忆,所以设计了大量的例题与练习,授课时要加快速度,激发学生学习的兴趣,多运用多媒体的教学手段.备课资料。
课件4:3.2.1 对数及其运算 第2课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修1
已知 2lg(3x-2)=lgx+lg(3x+2),
求 logx 2 2 2的值. [解析] 由 2lg(3x-2)=lgx+lg(3x+2),得 lg(3x-2)2
=lg[x(3x+2)],∴(3x-2)2=x(3x+2),即 3x2-7x+2=0,
解得 x=13或 x=2.
当 x=13,3x-2<0(舍去),∴x=2.
故 logx
2
2
7
2=log228
=78log22=78.
第三章 基本初等函数(Ⅰ)
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修1
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第三章 基本初等函数(Ⅰ)
数学表达式
自然语言
loga(MN)=__l_o_g_aM__+__l_o_g_aN_
loga(N1·N2·…·Nk) =
正因数积的对数等于同一底
l_o_g_a_N_1_+__lo_g_a_N_2_+__…__+__l_o_g_a_Nk 数的各因数__的__对__数__的__和____
(Ni>0,i=1,2,…k)
第三章 基本初等函数(Ⅰ)
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修1
即 lga+lgb=2,lga·lgb=12. ∴(lga+lgb)·(llggba+llggab) =lga+lgblg[al·glgab2+lgb2] =(lga+lgb)lga+lglgba2·-lgb2lga·lgb =2×22-12×12=12.
logaMN =__l_o_g_aM__-__l_o_g_aN__
人教版高中数学必修一学案:《对数与对数运算》(含答案)
2.2.1 对数与对数运算(二)自主学习1.掌握对数的运算性质及其推导.2.能运用对数运算性质进行化简、求值和证明.1.对数的运算性质:如果a >0,a ≠1,M >0,N >0,那么,(1)log a (MN )=______________;(2)log a M N=____________;(3)log a M n =__________(n ∈R ).2.对数换底公式:________________________.对点讲练正确理解对数运算性质【例1】 若a >0,a ≠1,x >0,y >0,x >y ,下列式子中正确的个数有( )①log a x + log a y =log a (x +y ); ②log a x -log a y =log a (x -y );③log a x y=log a x ÷log a y ; ④log a (xy )=log a x ·log a y . A .0个 B .1个 C .2个 D .3个规律方法 正确理解对数运算性质公式,是利用对数运算性质公式解题的前提条件.使用运算性质时,应牢记公式的形式及公式成立的条件.变式迁移1 (1)若a >0且a ≠1,x >0,n ∈N *,则下列各式正确的是( )A .log a x =-log a 1xB .(log a x )n =n log a xC .(log a x )n =log a x nD .log a x =log a 1x(2)对于a >0且a ≠1,下列说法中正确的是( )①若M =N ,则log a M =log a N ;②若log a M =log a N ,则M =N ;③若log a M 2=log a N 2,则M =N ;④若M =N ,则log a M 2=log a N 2.A .①③B .②④C .②D .①②③④对数运算性质的应用【例2】 计算:(1)log 535-2log 573+log 57-log 51.8; (2)2(lg 2)2+lg 2·lg 5+(lg 2)2-lg 2+1.变式迁移2 求下列各式的值:(1)log 535+2log 122-log 5150-log 514; (2)(lg 5)2+lg 2·lg 50.换底公式的应用【例3】 设3x =4y =36,求2x +1y的值.规律方法 换底公式的本质是化同底,这是解决对数问题的基本方法.解题过程中换什么样的底应结合题目条件,并非一定用常用对数、自然对数.变式迁移3 (1)设log 34·log 48·log 8m =log 416,求m ; (2)已知log 142=a ,用a 表示log 27.1.对于同底的对数的化简要用的方法是:(1)“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数;(2)“拆”,将积(商)的对数拆成两对数的和(差).2.对于常用对数的化简要创设情境充分利用“lg 5+lg 2=1”来解题.3.对于多重对数符号对数的化简,应从内向外逐层化简求值.4.要充分运用“1”的对数等于0,底的对数等于“1”等对数的运算性质.5.两个常用的推论:(1)log a b ·log b a =1;(2)log am b n =n mlog a b (a 、b >0且均不为1).课时作业一、选择题1.lg 8+3lg 5的值为( )A .-3B .-1C .1D .32.已知lg 2=a ,lg 3=b ,则log 36等于( )A.a +b aB.a +b bC.a a +bD.b a +b3.若lg a ,lg b 是方程2x 2-4x +1=0的两个根,则⎝⎛⎭⎫lg a b 2的值等于( ) A .2 B.12 C .4 D.144.若2.5x =1 000,0.25y =1 000,则1x -1y等于( ) A.13 B .3 C .-13D .-3 5.计算2log 525+3log 264-8log 71的值为( )A .14B .8C .22D .27二、填空题6.设lg 2=a ,lg 3=b ,那么lg 1.8=______________.7.已知log 63=0.613 1,log 6x =0.386 9,则x =____________.三、解答题8.求下列各式的值:(1)12lg 3249-43lg 8+lg 245; (2)(lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2.9.已知log 189=a,18b =5,试用a ,b 表示log 365.2.2.1 对数与对数运算(二) 答案自学导引1.(1)log a M +log a N (2)log a M -log a N(3)n log a M2.log a b =log c b log c a对点讲练【例1】 A [对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算.在运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算,如log a x ≠log a ·x ,log a x 是不可分开的一个整体.四个选项都把对数符号当作字母参与运算,因而都是错误的.] 变式迁移1 (1)A(2)C [在①中,当M =N ≤0时,log a M 与log a N 均无意义,因此log a M =log a N 不成立. 在②中,当log a M =log a N 时,必有M >0,N >0,且M =N ,因此M =N 成立. 在③中,当log a M 2=log a N 2时,有M ≠0,N ≠0,且M 2=N 2,即|M |=|N |,但未必有 M =N .例如,M =2,N =-2时,也有log a M 2=log a N 2,但M ≠N .在④中,若M =N =0,则log a M 2与log a N 2均无意义,因此log a M 2=log a N 2不成立. 所以,只有②成立.]【例2】 解 (1)原式=log 5(5×7)-2(log 57-log 53)+log 57-log 595=log 55+log 57-2log 57+2log 53+log 57-2log 53+log 55=2log 55=2.(2)原式=lg 2(2lg 2+lg 5)+(lg 2-1)2=lg 2(lg 2+lg 5)+1-lg 2=lg 2+1-lg 2=1.变式迁移2 求下列各式的值:(1)log 535+2log 122-log 5150-log 514; (2)(lg 5)2+lg 2·lg 50.解 (1)原式=log 5(5×7)-2log 2212+log 5(52×2)-log 5(2×7) =1+log 57-1+2+log 52-log 52-log 57=2.(2)原式=(lg 5)2+lg 2·(lg 2+2lg 5)=(lg 5)2+2lg 5·lg 2+(lg 2)2=(lg 5+lg 2)2=1.【例3】 解 由已知分别求出x 和y .∵3x =36,4y =36,∴x =log 336,y =log 436,由换底公式得:x =log 3636log 363=1log 363,y =log 3636log 364=1log 364, ∴1x =log 363,1y=log 364, ∴2x +1y=2log 363+log 364 =log 36(32×4)=log 3636=1.变式迁移3 解 (1)利用换底公式,得lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg m lg 8=2, ∴lg m =2lg 3,于是m =9.(2)由对数换底公式,得log 27=log 27log 22=log 2712=2log 27=2(log 214-log 22) =2(1a -1)=2(1-a )a. 课时作业1.D [lg 8+3lg 5=lg 8+lg 53=lg 1 000=3.]2.B [log 36=lg 6lg 3=lg 2+lg 3lg 3=a +b b.] 3.A [由根与系数的关系,得lg a +lg b =2,lg a ·lg b =12, ∴⎝⎛⎭⎫lg a b 2=(lg a -lg b )2 =(lg a +lg b )2-4lg a ·lg b=22-4×12=2.] 4.A [由指数式转化为对数式:x =log 2.51 000,y =log 0.251 000,则1x -1y =log 1 0002.5-log 1 0000.25=log 1 00010=13.] 5.C6.a +2b -12解析 lg 1.8=12lg 1.8 =12lg 1810=12lg 2×910=12(lg 2+lg 9-1)=12(a +2b -1). 7.2解析 由log 63+log 6x=0.613 1+0.386 9=1.得log 6(3x )=1.故3x =6,x =2.8.解 (1)方法一 原式=12(5 lg 2-2lg 7)-43·32lg 2+12(2lg 7+lg 5) =52lg 2-lg 7-2lg 2+lg 7+12lg 5 =12lg 2+12lg 5=12(lg 2+lg 5) =12lg 10=12. 方法二 原式=lg 427-lg 4+lg 7 5 =lg 42×757×4=lg(2·5)=lg 10=12. (2)方法一 原式=(lg 5+lg 2)(lg 5-lg 2)+2lg 2=lg 10·lg 52+lg 4=lg ⎝⎛⎭⎫52×4=lg 10=1. 方法二 原式=(lg 10-lg 2)2+2lg 2-lg 22=1-2lg 2+lg 22+2lg 2-lg 22=1.9.解 ∵18b =5,∴log 185=b,又∵log 189=a ,∴log 365=log 185lg 1836=b log 18(18×2) =b 1+log 182=b 1+log 18189 =b 1+(1-log 189)=b 2-a.。
高中数学课件3.2 3.2.1 第二课时 对数的运算
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4.辨活用 (1)孔雀东南飞(名词作状语,向东南) (2)手巾掩口啼(名词用作动词,拿,握) (3)卿当日胜贵(名词作状语,一天天地) (4)自名秦罗敷(名词用作动词,取名) (5)谢家事夫婿(名词用作动词,服侍,侍奉) (6)交广市鲑珍(名词用作动词,买,购买) (7)逆以煎我怀(动词使动用法,使……煎熬) (8)以此下心意(名词使动用法,使……委屈) (9)足以荣汝身(形容词使动用法,使……光荣)
所以 log3645=lloogg994356=lloogg9954× ×99
=lloogg9954+ +lloogg9999=ba+ +11.
解对数综合应用问题的 3 种方法 (1)统一化:所求为对数式,条件转为对数式. (2)选底数:针对具体问题,选择恰当的底数. (3)会结合:学会换底公式与对数运算法则结合使用.
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1.注字音 加点字
槌.床
腰襦.
玳.瑁.
窈.窕.
踯.躅.
鲑.珍
姥
公姥. 刘姥.姥
否
否.泰 否.定
读音 chuí rú dài mào yǎo tiǎo zhízhú xié mǔ lǎo pǐ fǒu
加点字
伶.俜.
葳.蕤.
磐.石
白鹄.
5 (2)lg
100;
(3)lg 14-2 lg73+lg 7-lg 18; (4)lg 52+23 lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2)2.
[ 解 ] (1)log2(47×25) = log247 + log225 = 7log24 + 5log22=7×2+5×1=19.
高中数学第3章3.2.1对数第2课时对数的运算性质讲义必修
第2课时 对数的运算性质学 习 目 标核 心素 养1.掌握对数的运算性质,并能运用运算性质进行对数的有关运算.(重点)2.了解换底公式.3.能用换底公式将一般对数化成自然对数或常用对数解题.(难点)通过学习本节内容,提升学生的数学运算和数学建模的数学核心素养.1.符号表示如果a >0,a ≠1,M >0,N >0,则 (1)log a (MN )=log a M +log a N ; (2)log a M n=n log a M (n ∈R ); (3)log a M N=log a M -log a N . 2.文字表述(1)两正数的积的对数等于这两个正数的对数的和; (2)两正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数; (3)一个正数的n 次幂的对数等于n 倍的该数的对数. 3.换底公式一般地,我们有log a N =log c Nlog c a ,(其中a >0,a ≠1,N >0,c >0,c ≠1),这个公式称为对数的换底公式.4.与换底公式有关的几个结论(1)log a b ·log b a =1(a ,b >0且a ,b ≠1); (2)log am b n =n mlog a b (a ,b >0且a ,b ≠1,m ≠0).1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)积、商的对数可以直接化为对数的和、差. ( ) (2)log a x ·log a y =log a (x +y ). ( ) (3)log a (-2)4=4log a (-2). ( )『答案』 (1)× (2)× (3)×『提示』根据对数的运算性质,只有正数积、商的对数才可以直接化为对数的和、差,(1)错误,(2)错误,(3)中-2不能作真数.2.(1)log2 25-log2254=________;(2)log2 8=________.(1)2(2)3『(1)log2 25-log2254=log225×425=log2 4=log2 22=2log2 2=2.(2)log2 8=log2 23=3log2 2=3.』3.若lg 5=a,lg 7=b,用a,b表示log75=________.ab『log75=lg 5lg 7=ab.』对数运算性质的应用(1)lg 2+lg 5;(2)log535+2log122-log5150-log514;(3)『(1-log63)2+log62·log6 18』÷log6 4.思路点拨:根据对数的运算性质,先将式子转化为只含有一种或几种真数的形式再进行计算.『解』(1)lg 2+lg 5=lg (2×5)=lg 10=1.(2)原式=log535×5014+2log12212=log5 53-1=2.(3)原式=『(log6 6-log6 3)2+log62·log6(2·32)』÷log6 4=⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫log6632+log6 2(log6 2+log6 32)÷log6 22=『(log6 2)2+(log6 2)2+2log62·log6 3』÷2log6 2=log6 2+log6 3=log6(2·3)=1.1.对于同底的对数的化简要用的方法(1)“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数;(2)“拆”,将积(商)的对数拆成两对数的和(差).2.注意对数的性质的应用,如log a 1=0,log a a=1,a log a N=N.3.化简的式子中有多重对数符号时,应自内向外逐层化简求值.1.计算下列各式的值:(1)12lg 3249-43lg 8+lg 245; (2)lg 25+23lg 8+lg 5×lg 20+(lg 2)2;(3)2log 3 2-log 3 329+log 3 8-5log 5 3.『解』 (1)法一:原式=12(5lg 2-2lg 7)-43×32lg 2+12(2lg 7+lg 5)=52lg 2-lg 7-2lg 2+lg 7+12lg 5 =12lg 2+12lg 5=12(lg 2+lg 5) =12lg 10=12. 法二:原式=lg 427-lg 4+lg 7 5=lg 42×757×4=lg (2·5)=lg 10=12.(2)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2=2lg 10+(lg 5+lg 2)2=2+(lg 10)2=2+1=3.(3)原式=2log 3 2-(log 3 32-log 3 9)+3log 3 2-3=2log 3 2-5log 3 2+2+3log 3 2-3=-1.『例2』 化简:(1)log 2(28×82);(2)用lg 2和lg 3表示lg 24; (3)用log a x ,log a y ,log a z 表示log a (xy 2z -12).思路点拨:将需表示式子中的真数用已知的式子中的真数表示出来. 『解』 (1)log 2(28×82)=log 2『28×(23)2』=log 2(28+3×2)=log 2 214=14.(2)lg 24=lg (3×8)=lg 3+lg 8=lg 3+3lg 2.(3)log a (xy 2z -12)=log a x +log a y 2+log a z -12=log a x +2log a y -12log a z .这类问题一般有两种处理方法一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值;另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根,然后化简求值.要特别注意log a (MN )≠log a M ·log a N ,log a (M ±N )≠log a M ±log aN.2.化简:(1)log 2(45×82);(2)log 1327-log 139;(3)用lg x ,lg y ,lg z 表示lgx 2y3z.『解』 (1)log 2(45×82)=log 2 (210×26)=log 2 216=16log 2 2=16×2=32. (2)log 1327-log 139=log 13279=log 133=-1.(3)lgx 2y3z=lg x 2+lg y -lg 3z =2lg x +12lg y -13lg z .换底公式及其应用『例3』 (1)已知3a =5b=c ,且a +b=2,则c 的值为________. (2)已知x ,y ,z 为正数,3x=4y=6z,2x =py . ①求p ;②证明:1z -1x =12y.思路点拨:用换底公式统一底数再求解.(1)15 『由3a =5b=c ,得a =log 3c ,b =log 5c ,所以1a =log c 3,1b =log c 5.又1a +1b=2,所以log c 3+log c 5=2,即log c 15=2,c =15.』(2)『解』 ①设3x=4y=6z=k (k >1),则x =log 3k ,y =log 4k ,z =log 6k ,由2x =py ,得2log 3k =p log 4k ,解得p =2log 34=4log 32.②证明:1z -1x =1log 6k -1log 3k=log k 6-log k 3=log k 2, 而12y =12log 4k =12log k 4=log k 2. 故1z -1x =12y.1.换底公式即将底数不同的对数转化成底数相同的对数,从而进行化简、计算或证明.换底公式应用时,一般换成以10为底的常用对数,或以e 为底的自然对数,但也应该结合已知条件来确定.2.换底公式推导出的两个恒等式: (1)log am N n=nmlog a N ;(2)log a b ·log b a =1,要注意熟练应用.3.计算:(log 2 125+log 4 25+log 8 5)(log 5 2+log 25 4+log 125 8).对数运算在实际问题中的应用我国国民生产总值是2015年的2倍?(已知lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1,lg 1.08≈0.033 4,精确到1年)思路点拨:认真分析题意,找出其中各量之间的关系,列出式子,并利用对数运算求解. 『解』 设经过x 年,我国国民生产总值是2015年的2倍. 经过1年,总产值为a (1+8%), 经过2年,总产值为a (1+8%)2, ……经过x 年,总产值为a (1+8%)x. 由题意得a (1+8%)x=2a ,即1.08x =2, 两边取常用对数,得lg 1.08x=lg 2, 则x =lg 2lg 1.08≈0.301 00.033 4≈9(年).答:约经过9年,国民生产总值是2015年的2倍.解对数应用题的步骤4.2000年我国国内生产总值(GDP)为89 442亿元,如果我国的GDP 年均增长7.8%左右,按照这个增长速度,在2000年的基础上,经过多少年后,我国GDP 才能实现比2000年翻两番的目标?(lg 2≈0.301 0,lg 1.078≈0.032 6,结果保留整数).『解』 假设经过x 年实现GDP 比2000年翻两番的目标,根据题意,得89 442×(1+7.8%)x=89 442×4,即1.078x=4,故x =log 1.078 4=lg 4lg 1.078≈18.5.答:约经过19年以后,我国GDP 才能实现比2000年翻两番的目标.含对数式的方程的解法1.对数的运算性质有哪些?『提示』 log a (MN )=log a M +log a N ,log a M N =log a M -log a N ,log a b =log c blog c a,log a Mn=n log a M ,log am b n=nmlog a b .2.解对数方程log a M =log a N ,应注意什么?『提示』 ⎩⎪⎨⎪⎧M =N ,M >0,N >0.『例5』 已知lg x +lg y =2lg (x -2y ),求log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x y的值.思路点拨:根据对数的运算性质得到x ,y 的关系式,解方程即可. 『解』 lg x +lg y =lg (xy )=2lg (x -2y )=lg (x -2y )2, 由题知,xy =(x -2y )2,即x 2-5xy +4y 2=0,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2-5⎝ ⎛⎭⎪⎫x y +4=0, ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x y -1⎝ ⎛⎭⎪⎫x y -4=0,故xy =1或4.又当x =y 时,x -2y =-y <0,故舍去,∴xy=4. ∴log 12 xy =log 124=-2.解含对数式的方程应注意两点 (1)对数的运算性质;(2)对数中底数和真数的范围限制.5.解方程:1.换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化,可正用、逆用;使用的关键是恰当选择底数,换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简.2.运用对数的运算性质应注意:(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质. (2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用. (3)在运算过程中避免出现以下错误:①log a N n=(log a N )n;②log a (MN )=log a M ·log a N ;③log a M ±log a N =log a (M ±N ).1.如a >0,a ≠1,x >0,y >0,则下列式子正确的是( ) A .log a x +log a y =log a (x +y ) B .log a x -log a y =log a (x -y ) C .log a xy=log a x ÷log a y D .log a (xy )=log a x +log a yD 『由对数的运算性质知D 正确.』2.已知lg 2=a ,lg 7=b ,那么用a ,b 表示log 8 98=________.a +2b 3a 『log 8 98=lg 98lg 8=2lg 7+lg 23lg 2=a +2b3a.』 3.已知2m =5n=10,则1m +1n=________.1 『因为m =log2 10,n =log 5 10,所以1m +1n=lg 2+lg 5=lg 10=1.』4.已知lg(x +2y )+lg(x -y )=lg 2+lg x +lg y ,求x y的值.『解』 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧x +2y >0,x -y >0,x >0,y>0,(x +2y )(x -y )=2xy ,即⎩⎪⎨⎪⎧x >y ,y >0,(x +2y )(x -y )=2xy ,整理得⎩⎪⎨⎪⎧x >y ,y >0,(x -2y )(x +y )=0,∴x -2y =0,∴xy=2.。
人教B版高中数学必修一《第三章 基本初等函数(Ⅰ) 3.2 对数与对数函数 3.2.1 对数及其运算》_1
教学反思:
“三四五”高效课堂教学设计:
(授课日期:年月日星期班级)
授课题目
对数与对数运算(二)
拟课时
第课时
明确目标
1.知识与技能:理解对数的运算性质.
2.过程与方法:通过对数的运算性质的探索及推导过程,培养学生的“合情推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法,以及创新意识.
3.情感、态度与价值观
(2)在第(3)小题的计算过程中,用到了性质log Mn= logaM及换底公式logaN= .利用换底公式可以证明:logab= ,
即logablogba=1.
例2:已知log189 =a,18b= 5,求log3645.
.
四、总结提升
1、本节课你主要学习了
五、问题过关
1.已知 , ,求下列格式的值
则由1、 0=12、 1= 如何转化为对数式
②负数和零有没有对数?
③根据对数的定义, =?
(以上三题由学生先独立思考,再个别提问解答)
由以上的问题得到
① ( >0,且 ≠1)
②∵ >0,且 ≠1对任意的力, 常记为 .
恒等式: =N
3.两类对数
①以10为底的对数称为常用对数, 常记为 .
②以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数, 常记为 .
让学生讨论、研究,教师引导
师组织,生交流探讨得出如下结论:
底数a>0,且a≠1,真数M>0,N>0;只有所得结果中对数和所给出的数的对数都存在时,等式才能成立.
学生思考,口答,教师板演、点评.
学生先做,老师再评讲
板书设计:
教学反思:
“三四五”高效课堂教学设计:
(授课日期:年月日星期班级)