弹性力学第一次作业
弹性力学第一次作业讲评
年级：学号：弹性力学作业1姓名：成绩：一、简答题：1、弹性体平面问题任意一点的应力状态由几个应力分量决定?试将它们写出；弹性体任意一点的形变状态由几个形变分量决定?试将它们写出。
讲评：弹性体平面问题任意一点的应力状态由以下三个应力分量决定：弹性体平面问题任意一点的形变状态由以下三个形变分量决定：应力分量、形变分量、位移分量仅为x、y 的函数，与z 无关。
2，什么是理想弹性体?试举例说明．讲评：所谓理想弹性体是指符合弹性力学假定的弹性体，即：连续性假定、线弹性假定、均匀性假定、各向同性假定。
符合上述4个假定的物体，称为理想弹性体。
如在弹性范围内的金属材料以及一般混凝土构件、一般土质地基均可近似视为“理想弹性体”。
3、试写出平面问题中的平衡微分方程。
仅凭此平衡微分方程能否确定全部应力分量，为什么?讲评；平面问题中的平衡微分方程为：仅凭此平衡微分方程不能确定全部应力分量，原因：因这组偏微分方程含两个平衡微分方程，三个未知量，为超静定问题，需找补充方程才能求解。
4．当形变分量确定时，能否确定位移分量，为什么?讲评：当形变分量确定时，还不能确定位移分量，原因：由几何方程可知，形变分量确定，确定位移分量还需位移边界条件。
二、计算及证明题：1、已知过P点的应力分量以σx=10MPa，σy=5MPa，τxy =10MPa，求过P点，l= cos30°，m=cos60°，斜面上的X N、Y N、σN、τN。
讲评：过某点的应力状态实质为空间（平面）汇交力系在指定方向的分解结果。
清晰各应力分量、外力分量和方向余弦（l、m）的含义及分解方向，根据教材相应的推导结果（公式），即可得出正确结果。
2-设已求得一点处的应力分量σx =－200 MPa．σy =l00 MPa，τxy=－40 MPa，试求主应力σ1、σ2及σ1与x轴的夹角?讲评：将相应数值代入以下公式即可求其解。
注意代入时要代入代数值。
3、试依据下图证明由平面问问题中取一六面体，其厚度为l．x、y方向尺寸为dx、dy讲评：平衡方程的证明，本质即为力系的平衡。
弹性力学练习 -答案模板
一、填空题1. 等截面直杆扭转问题中， 2Ddxdy M φ=⎰⎰的物理意义是 : 杆端截面上剪应力 对转轴的矩等于杆截面内的扭矩M 。
5．弹性力学的基本假定为:连续性、完全弹性、均匀性、各向同性、小变形性。
6． 一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 、相容方程（变形协调条件） 。
7． 最小势能原理等价于弹性力学基本方程中：平衡微分方程 、应力边界条件 。
13．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：,0ij j i X σ+=，,,1()ij i j j i u u ε=+17. 有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。
其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。
18. 为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。
19. 每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。
20. 为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小，以便较好地反映位移和应力变化情况；二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。
二、判断题1、连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
（√）2、均匀性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
（×）3、表示位移分量与应力分量之间关系的方程为物理方程。
（×）4、当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。
（√）5、连续性假定是指整个物体是由同一材料组成的。
（×）6、平面应力问题与平面应变问题的物理方程是完全相同的。
（×）7、按应力求解平面问题，最后可以归纳为求解一个应力函数。
（×）8、在有限单元法中，结点力是指单元对结点的作用力。
《弹性力学》试题参考答案
《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟）一、填空题（每小题4分）1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。
2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。
3．等截面直杆扭转问题中，Mdxdy D=⎰⎰ 2ϕ的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面内的扭矩M 。
4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数ϕ在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩 。
5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：0,=+i j ij X σ ，)(21,,i j j i ij u u +=ε。
二、简述题（每小题6分）1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。
圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。
作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。
（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。
2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数ϕ的分离变量形式。
题二（2）图（a ）⎩⎨⎧=++= )(),(),(222θθϕϕf r r cy bxy ax y x （b ）⎩⎨⎧=+++=)(),(),(33223θθϕϕf r r dy cxy y bx ax y x3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比 μ 已知。
试求薄板面积的改变量S ∆。
题二（3）图设当各边界受均布压力q 时，两力作用点的相对位移为l ∆。
由q E)1(1με-=得， )1(2222με-+=+=∆Eb a q b a l设板在力P 作用下的面积改变为S ∆，由功的互等定理有：l P S q ∆⋅=∆⋅将l ∆代入得：221b a P ES +-=∆μ显然，S ∆与板的形状无关，仅与E 、μ、l 有关。
弹性力学试题及答案
《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟）一、填空题（每小题4分）1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。
2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。
3．等截面直杆扭转问题中， M dxdy D=⎰⎰2ϕ的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面内的扭矩M 。
4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数ϕ在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩 。
5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：0,=+i j ij X σ ，)(21,,i j j i ij u u +=ε。
二、简述题（每小题6分）1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。
圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。
作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。
（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。
2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数ϕ的分离变量形式。
题二（2）图（a ）⎩⎨⎧=++= )(),(),(222θθϕϕf r r cy bxy ax y x （b ）⎩⎨⎧=+++= )(),(),(33223θθϕϕf r r dy cxy y bx ax y x 3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比 μ 已知。
试求薄板面积的改变量S ∆。
题二（3）图设当各边界受均布压力q 时，两力作用点的相对位移为l ∆。
由q E)1(1με-=得，)1(2222με-+=+=∆Eb a q b a l设板在力P 作用下的面积改变为S ∆，由功的互等定理有：l P S q ∆⋅=∆⋅将l ∆代入得：221b a P ES +-=∆μ显然，S ∆与板的形状无关，仅与E 、μ、l 有关。
弹性力学试题(卷)与答案解析
《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟）一、填空题（每小题4分）1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。
2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。
3．等截面直杆扭转问题中， M dxdy D=⎰⎰2ϕ的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面的扭矩M 。
4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数ϕ在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩 。
5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的量表示为：0,=+i j ij X σ ，)(21,,i j j i ij u u +=ε。
二、简述题（每小题6分）1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。
圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。
作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。
（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。
2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数ϕ的分离变量形式。
题二（2）图（a ）⎩⎨⎧=++= )(),(),(222θθϕϕf r r cy bxy ax y x （b ）⎩⎨⎧=+++= )(),(),(33223θθϕϕf r r dy cxy y bx ax y x3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比 μ 已知。
试求薄板面积的改变量S ∆。
题二（3）图设当各边界受均布压力q 时，两力作用点的相对位移为l ∆。
由q E)1(1με-=得，)1(2222με-+=+=∆Eb a q b a l设板在力P 作用下的面积改变为S ∆，由功的互等定理有：l P S q ∆⋅=∆⋅将l ∆代入得：221b a P ES +-=∆μ显然，S ∆与板的形状无关，仅与E 、μ、l 有关。
《弹性力学》试题参考标准答案与弹性力学复习题
《弹性力学》试题参考答案与弹性力学复习题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：弹性力学复习资料一、简答题√1．试写出弹性力学平面问题的基本方程，它们揭示的是那些物理量之间的相互关系？在应用这些方程时，应注意些什么问题？答：平面问题中的平衡微分方程：揭示的是应力分量与体力分量间的相互关系。
应注意两个微分方程中包含着三个未知函数σx、σy、τxy=τyx ，因此，决定应力分量的问题是超静定的，还必须考虑形变和位移，才能解决问题。
√平面问题的几何方程: 揭示的是形变分量与位移分量间的相互关系。
应注意当物体的位移分量完全确定时，形变量即完全确定。
反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。
√平面问题中的物理方程：揭示的是形变分量与应力分量间的相互关系。
应注意平面应力问题和平面应变问题物理方程的转换关系。
√2．按照边界条件的不同，弹性力学问题分为那几类边界问题？试作简要说明。
答：按照边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界问题、应力边界问题和混合边界问题。
位移边界问题是指物体在全部边界上的位移分量是已知的，也就是位移的边界值是边界上坐标的已知函数。
应力边界问题中，物体在全部边界上所受的面力是已知的，即面力分量在边界上所有各点都是坐标的已知函数。
混合边界问题中，物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件;另一部分边界则具有应力边界条件。
√3．弹性体任意一点的应力状态由几个应力分量决定？试将它们写出。
如何确定它们的正负号？ 答：弹性体任意一点的应力状态由6个应力分量决定，它们是：σx 、σy 、σz 、τxy 、τyz 、、τzx 。
正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。
负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。
√4．在推导弹性力学基本方程时，采用了那些基本假定？什么是“理想弹性体”？试举例说明。
弹性力学教材习题及解答(供参考)
1－1. 选择题a. 下列材料中，D属于各向同性材料。
A. 竹材；B. 纤维增强复合材料；C. 玻璃钢；D. 沥青。
b. 关于弹性力学的正确认识是A。
A. 计算力学在工程结构设计的中作用日益重要；B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，因此与材料力学不同，不需要对问题作假设；C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象；D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析。
c. 弹性力学与材料力学的主要不同之处在于B。
A. 任务；B. 研究对象；C. 研究方法；D. 基本假设。
d. 所谓“完全弹性体”是指B。
A. 材料应力应变关系满足胡克定律；B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关；C. 本构关系为非线性弹性关系；D. 应力应变关系满足线性弹性关系。
2－1. 选择题a. 所谓“应力状态”是指B。
A. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同；B. 一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变；C. 3个主应力作用平面相互垂直；D. 不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。
2－2. 梯形横截面墙体完全置于水中，如图所示。
已知水的比重为 ，试写出墙体横截面边界AA'，AB，BB’的面力边界条件。
2－3. 作用均匀分布载荷q的矩形横截面简支梁，如图所示。
根据材料力学分析结果，该梁横截面的应力分量为试检验上述分析结果是否满足平衡微分方程和面力边界条件。
2－4. 单位厚度的楔形体，材料比重为γ，楔形体左侧作用比重为γ1的液体，如图所示。
试写出楔形体的边界条件。
2－5. 已知球体的半径为r，材料的密度为ρ1，球体在密度为ρ1（ρ1＞ρ1）的液体中漂浮，如图所示。
试写出球体的面力边界条件。
2－6. 矩形横截面悬臂梁作用线性分布载荷，如图所示。
试根据材料力学应力解答推导挤压应力σy的表达式。
3－1. 选择题a. 切应力互等定理根据条件B 成立。
A. 纯剪切；B. 任意应力状态；C. 三向应力状态；D. 平面应力状态；b. 应力不变量说明D.。
弹性力学第一次作业讲评
年级：学号：弹性力学 作业1 姓名：成绩：一、简答题：1、弹性体平面问题任意一点的应力状态由几个应力分量决定?试将它们写出； 弹性体任意一点的形变状态由几个形变分量决定?试将它们写出。
讲评：弹性体平面问题任意一点的应力状态由以下三个应力分量决定：弹性体平面问题任意一点的形变状态由以下三个形变分量决定：应力分量、形变分量、位移分量仅为 x 、y 的函数，与 z 无关。
2，什么是理想弹性体?试举例说明． 讲评：所谓理想弹性体是指符合弹性力学假定的弹性体，即：连续性假定、线弹性假定、均匀性假定、各向同性假定。
符合上述4个假定的物体，称为理想弹性体。
如在弹性范围内的金属材料以及一般混凝土构件、一般土质地基均可近似视为“理想弹性体”。
3、试写出平面问题中的平衡微分方程。
仅凭此平衡微分方程能否确定 全部应力分量，为什么? 讲评；平面问题中的平衡微分方程为：仅凭此平衡微分方程不能确定全部应力分量，原因：因这组偏微分方程含两个平衡微分方程，三个未知量，为超静定问题，需找补充方程才能求解。
4．当形变分量确定时，能否确定位移分量，为什么? 讲评：当形变分量确定时，还不能确定位移分量，原因：由几何方程可知，形变分量确定，确定位移分量 还需位移边界条件。
(,)xy yx xy x y τττ==(,)x x x y σσ=(,)y y x y σσ=(,)y y x y εε=(,)x x x y εε=(,)xy yx xy x y γγγ==00yxx xy yX x y Y x yτστσ∂∂++=∂∂∂∂++=∂∂xy xy uxvy v u x yεεγ∂=∂∂=∂∂∂=+∂∂二、计算及证明题：1、已知过P 点的应力分量以σx =10MPa ，σy =5MPa ，τxy =10MPa ，求过P 点， l = cos30°，m =cos60°，斜面上的X N 、Y N 、σN 、τN 。
弹性力学答案完整版
x
u , x
y
v v u , xy y x y
a.应力中只有平面应力 b.且仅为 f x, y 第二种：平面应变问题 。
σ x从几方面考虑？各方面反映的是那些变量间的关 系？
答： 在弹性力学利分析问题， 要从 3 方面来考虑： 静力学方面、 几何学方面、 物理学方面。 平 面问题的静力学方面主要考虑的是应力分量和体力分量之间的关系也就是平面问题的平衡 微分方程.平面问题的几何学方面主要考虑的是形变分量与位移分量之间的关系，也就是平 面问题中的几何方程。平面问题的物理学方面主要反映的是形变分量与应力分量之间的关 系，也就是平面问题中的物理方程. 2．在推导弹性力学基本方程时，采用了那些基本假定？什么是“理想弹性体”？试举例说 明。 答：在推导弹性力学基本方程时，采用了以下基本假定：（1）假定物体是连续的。（2） 假定物体是完全弹性的。（3）假定物体是均匀的。（4）假定物体是各向同性的。（5）假 定位移和变形是微小的。 符合（1）~（4）条假定的物体称为“理想弹性体”。一般混凝土构件、一般土质地基可近 似视为“理想弹性体” 3．按照边界条件的不同，弹性力学问题分为那几类边界问题？试作简要说明. 答：按照边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界问题、应力边界问题和 混合边界问
几何方程
物理方程
例1
试列出图中的边界条件。
在小边界 x = l， 当平衡微分方程和其它各边界条件都已满足的条件下， 三个积分的边界条件 必然满足，可以不必校核。
注意在列力矩的条件时两边均是对原点 o 对于 y = h 的小边界可以不必校核。 2 证明：
的力矩来计算的。
简述材料力学和弹性力学在研究对象,研究方法方面的异同点。 答：在研究对象方面，材料力学基本上只研究杆状构件，也就是长度远大于高度和宽度的 构件；而弹性力学除了对杆状构件作进一步的、较精确的分析外，还对非杆状结构，例如 板和壳，以及挡土墙、堤坝、地基等实体结构加以研究。 在研究方法方面，材料力学研究杆状构件，除了从静力学、几何学、物理学三方面进 行分析以外，大都引用了一些关于构件的形变状态或应力分布的假定，这就大简化了数学 推演，但是，得出的解答往往是近似的。弹性力学研究杆状构件，一般都不必引用那些假 定，因而得出的结果就比较精确，并且可以用来校核材料力学里得出的近似解答。
弹性力学试题及答案
弹性力学试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 弹性力学中的胡克定律描述的是：A. 应力与位移的关系B. 应力与应变的关系C. 应变与位移的关系D. 位移与力的关系2. 以下哪个不是弹性力学的基本假设？A. 连续性假设B. 均匀性假设C. 各向同性假设D. 各向异性假设3. 弹性模量和泊松比的关系是：A. E = 2G(1+ν)B. E = 3K(1-2ν)C. E = 3K(1+ν)D. E = 2G(1-ν)4. 以下哪种材料可以看作是各向同性材料？A. 木材B. 钢筋混凝土C. 单晶硅D. 多晶硅5. 应力集中现象通常发生在：A. 均匀受力区域B. 材料的中间区域C. 材料的边缘或孔洞附近D. 材料的内部二、简答题（每题10分，共30分）6. 简述平面应力和平面应变的区别。
7. 解释什么是圣维南原理，并简述其应用。
8. 描述弹性力学中的主应力和主应变的概念及其意义。
三、计算题（每题25分，共50分）9. 一个长方体材料块，尺寸为L×W×H，受到均匀压力p作用于其顶面，求其内部任意一点处的应力状态。
10. 已知某材料的弹性模量E=200 GPa，泊松比ν=0.3，求其剪切模量G。
答案一、选择题1. 答案：B（应力与应变的关系）2. 答案：D（各向异性假设）3. 答案：A（E = 2G(1+ν)）4. 答案：D（多晶硅）5. 答案：C（材料的边缘或孔洞附近）二、简答题6. 答案：平面应力是指材料的一个方向（通常是厚度方向）的应力为零，而平面应变是指材料的一个方向（通常是厚度方向）的应变为零。
平面应力通常用于薄板或薄膜，而平面应变用于长厚比很大的结构。
7. 答案：圣维南原理指出，在远离力作用区域的地方，局部应力分布对整个结构的应力状态影响很小。
这个原理常用于简化复杂结构的应力分析。
8. 答案：主应力是材料内部某一点应力张量的最大值，主应变是材料内部某一点应变张量的最大值。
弹性力学试题及答案
《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟）一、填空题（每小题4分）1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。
2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。
3．等截面直杆扭转问题中， M dxdy D=⎰⎰2ϕ的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面内的扭矩M 。
4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数ϕ在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩 。
5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：0,=+i j ij X σ ，)(21,,i j j i ij u u +=ε。
二、简述题（每小题6分）1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。
圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。
作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。
（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。
2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数ϕ的分离变量形式。
题二（2）图（a ）⎩⎨⎧=++= )(),(),(222θθϕϕf r r cy bxy ax y x （b ）⎩⎨⎧=+++= )(),(),(33223θθϕϕf r r dy cxy y bx ax y x 3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比已知。
试求薄板面积的改变量S ∆。
题二（3）图设当各边界受均布压力q 时，两力作用点的相对位移为l ∆。
由q E)1(1με-=得，)1(2222με-+=+=∆Eb a q b a l设板在力P 作用下的面积改变为S ∆，由功的互等定理有：l P S q ∆⋅=∆⋅将l ∆代入得：221b a P ES +-=∆μ显然，S ∆与板的形状无关，仅与E 、μ、l 有关。
《弹性力学》试题参考答案
《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟）一、填空题（每小题4分）1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。
2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。
3．等截面直杆扭转问题中， M dxdy D=⎰⎰2ϕ的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面内的扭矩M 。
4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数ϕ在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩 。
5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：0,=+i j ij X σ ，)(21,,i j j i ij u u +=ε。
二、简述题（每小题6分）1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。
圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。
作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。
（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。
2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数ϕ的分离变量形式。
题二（2）图（a ）⎩⎨⎧=++= )(),(),(222θθϕϕf r r cy bxy ax y x （b ）⎩⎨⎧=+++= )(),(),(33223θθϕϕf r r dy cxy y bx ax y x 3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比 μ 已知。
试求薄板面积的改变量S ∆。
题二（3）图设当各边界受均布压力q 时，两力作用点的相对位移为l ∆。
由q E)1(1με-=得，)1(2222με-+=+=∆Eb a q b a l设板在力P 作用下的面积改变为S ∆，由功的互等定理有：l P S q ∆⋅=∆⋅将l ∆代入得：221b a P ES +-=∆μ显然，S ∆与板的形状无关，仅与E 、μ、l 有关。
弹性力学作业1
5 3 8 5 ij 3 0 3 10 Pa 8 3 11
试求八面体正应力与切应力。
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第一次作业（习题三）
解：首先求出应力不变量为：
此题错误多出在计算上
I1 x y z 16 105 Pa
2 2 2 I 2 y z z x x y yz zx xy 27 105 Pa 2 2 2 I 3 x y z x yz y zx z xy 2 yz zx xy 0
i11 A1 A1 i 22 A2 A2 i 33 A3 A3 0 i12 A1 A2 i 21 A2 A1 0 i13 A1 A3 i 31 A3 A1 0 i 23 A2 A3 i 32 A3 A2 0 ijk Aj Ak 0
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第一次作业（习题六）
解：基本思路：
应变张量必须要满足剪切应变互等定律和应 变相容原则。 剪切应变互等定律要求应变矩阵必须为对称形， 显然（1）和（2）都是满足的。现在我们来考虑 应变相容的原则，
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第一次作业（习题六）
（1）
因为这个问题都是平面应变问题，所以相容 方程只有一个，可以写作：
第一次作业
1：证明
(a):δij δij=3
(a):证明：
(b):εijk Aj Ak=0
表达式的某项中，某指标重复出现两次，则表示把该项在该指标取值 范围内遍历求和
ij ij 1111 22 22 33 33
2(1212 23 23 31 31 ) 1 1 1 3
l1 l2 l 3
m1 m2 m3
弹性力学练习-答案模板
、填空题1.等截面直杆扭转问题中，2JJD°dxdy=M 的物理意义是：杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面内的扭矩 M 。
2. 在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。
3. 弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。
4. 在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。
5. 弹性力学的基本假定为：连续性、完全弹性、均匀性、各向同性、小变形性。
6. 一组可能的应力分量应满足：平衡微分方程 、相容方程（变形协调条件）7. 最小势能原理等价于弹性力学基本方程中：平衡微分方程8. 在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。
9. 物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。
与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切 应力。
应力及其分量的量纲是 L -1M T。
10. 表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。
11. 边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。
分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。
12■按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。
13. 弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为: 14. 平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
15. 每个单元的应变一般总是包含着两部分： 一部分是与该单元中各点的位置坐标有关 的，是各点不相同的，即所谓变量应变:另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的, 即所谓常量应变。
16. 为了能从有限单元法得出正确的解答， 位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量 应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。
、应力边界条件b ij,j+X i =0，名ij=t(U i,j +u j,i )17. 有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。
弹性力学第一次作业
第一次作业
1. 已知弹性体内部某点的应力分量分别为
a. σx=a, σy=-a, τxy=0
b. σx=50a, σy=0, τxy=50
试求主应力和最大切应力。
2．已知弹性体内部某点的应力分量σx=500a, σy=0, τxy=500a, 试求通过该点，法线方向为平面的正应力和切应力。
3. 选择题
所谓“应力状态”是指。
A. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同；
B. 一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变；
C. 3个主应力作用平面相互垂直；
D. 不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。
4. 梯形横截面墙体完全置于水
中，如图所示。
已知水的比重为γ，
试写出墙体横截面边界AA'，AB，
BB’ 的面力边界条件。
5. 作用均匀分布载荷q的矩形横截面简支梁，如图所示。
根据材料力学分析结果，该梁横截面的应力分量为
试检验上述分析结果是否满足平衡微分方程和面力边界条件。
6. 单位厚度的楔形体，材料比重为γ，楔形体左侧作用比重为γ1的液体，如图所示。
试写出楔形体的边界条件。
弹性力学习题(新)(完整资料).doc
上，各有两个应精确满足
在次要边界 y=0 上，
而的条件不可能精确满
足（否则只有 A=B=0），可用积分的应力边界条件代替
.
(4)把各应力分量代入边界条件，得
应力分量为
3-7 设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩作用，体力可 以 不 计 ， l>>h 如 题 3-7 图 所 示 ， 试 用 应 力 函 数
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在上述假定下，弹性力学问题都化为线性问题，从而可以 应用叠加原理。
2-1 已知薄板有下列形变关系：
式
中 A,B,C,D 皆为常数，试检查在形变过程中是否符合连续条件，
若满足并列出应力分量表达式。
解：
1、 相容条件：
将形变分量带入形变协调方程（相容方程）
其中 所以满足相容方程，符合连续性条件。 2、 在平面应力问题中，用形变分量表示的应力分量为
(2)应力分量表达式
(3)考察边界条件;主要边界 件
上，应精确满足应力边界条
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在次要边界上 x=0 上，主矢和主矩为零，应用圣维南原理，用三 个积分的应力边界条件代替
(e)
联立求解式（a）,(b),(c),(d)和（e），得
将各系数代入应力分量表达式，得
3-12 为什么在主要边界（占边界绝大部分）上必须满足精 确的应力边界条件，教材中式（2-15），而在次要边界（占边界 很小部分）上可以应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件 （即主矢量、主矩的条件）来代替？如果在主要边界上用三个积 分的应力边界条件代替教材中式（2-15），将会发生什么问题？
考虑左右两边的次要边界条件。由于问题的对称性，只需考 虑其中的一边，例如右边。梁的右边没有水平面力，x=l 时，不
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第一次作业
1. 已知弹性体内部某点的应力分量分别为
a. σx=a, σy=-a, τxy=0
b. σx=50a, σy=0, τxy=50
试求主应力和最大切应力。
2．已知弹性体内部某点的应力分量σx=500a, σy=0, τxy=500a, 试求通过该点，法线方向为平面的正应力和切应力。
3. 选择题
所谓“应力状态”是指。
A. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同；
B. 一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变；
C. 3个主应力作用平面相互垂直；
D. 不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。
4. 梯形横截面墙体完全置于水
中，如图所示。
已知水的比重为γ，
试写出墙体横截面边界AA'，AB，
BB’的面力边界条件。
5. 作用均匀分布载荷q的矩形横截面简支梁，如图所示。
根据材料力学分析结果，该梁横截面的应力分量为
试检验上述分析结果是否满足平衡微分方程和面力边界条件。
6. 单位厚度的楔形体，材料比重为γ，楔形体左侧作用比重为γ1的液体，如图所示。
试写出楔形体的边界条件。