测量学的基本知识

第二章测量学的基本知识主要内容：本章主要介绍有关测量学的一些基本概念，如地球及其对地球的认识，测量坐标系统；水平面和水准面的应用以及地形图的基本概念和测图的基本原理。

§2-1 地球形状大小和测量坐标系的概念一、地球的形状和大小1．地球的形状和大小从整个地球来看：地球大致像一个椭球体，其表面极不规则，不便于用数学公式来表达。

地球高低起伏的形状：最高海拔8846.27m（我国西藏与尼泊尔交界处的珠穆朗玛峰）；最低海拔11022m（太平洋西部的马里亚纳海沟），但地球的半径大约是6371000 m。

海洋面积：71% 陆地面积：29%2．关于大地体的几个基本概念1）大地体、重力、水准面、铅垂方向：大地体----把地球总的形状看作是被海水包围的球体，也就是设想有一个静止的海水面，向陆地延伸而形成一个封闭的曲面。

由于海水有潮汐，时高时低，所以取其平均的海水面作为地球形状和大小的标准，它所包围的形体称为大地体。

重力----地球引力与离心力的合力。

水准面----静止而不流动的水面（重力等位面），是一个处处与重力方向垂直的连续曲面。

2）大地水准面：通过平均海水面并向陆地延伸所形成的闭合曲面。

大地水准面实际上是一个有微小起伏的不规则曲面。

重力方向：用细绳悬挂一个垂球G(图2—1(b))，细绳即为悬挂点O的重力方向，通常称它为垂线或铅垂线方向。

3．关于椭球体的几个基本概念1）参考（旋转）椭球体、参考椭球面：大地体与一个以椭圆的短轴为旋转轴的旋转椭球的形状十分近似(图2—2)2）参考椭球体的定位：确定椭球体与大地体之间的相互关系并固定下来。

方法：在适当的地点选择一点P，设想把椭球体和大地体相切，切点P′位于P点的铅垂线方向上，这时，椭球面上P′的法线与该点对大地水准面的铅垂线相重合，并使椭球的短轴与地球自转轴平行。

P——大地原点。

3）长半轴、短半轴、扁率：二、大地坐标系和高程1．点的空间位置的表示地面上的物体基本上都具有空间形状，一个点在空间的位置，需要三个量来确定，通常用该点在基准面（参考椭球面）上的投影位置和该点铅投影方向到基准面（一般实用上是大地水准面）的距离来表示。

2．椭球体的几个基本概念1）子午面：通过椭球旋转轴的平面。

起始子午面：通过格林尼治天文台的子午面。

子午线（圈）：子午面与椭球面的交线。

2）赤道面：通过椭球中心且与椭球旋转轴正交的平面。

赤道：赤道面与椭球面相截所得曲线。

纬（平行）圈：其他平面与椭球旋转轴正交，但不通过球心，与椭球面相截所得曲线。

3）大地经度L：通过某点的子午面与起始子午面的夹角称为该点的大地经度。

4）大地纬度B：通过某点作相切平面的法线，它与赤道面的交角。

3．大地坐标（地理坐标）：大地经度与大地纬度的统称。

4．经纬度的划分起始子午面平分东经、西经；赤道面平分南纬、北纬。

5．绝对高程（海拨、高程）：某点沿铅垂线方向到大地水准面的距离。

6．相对高程：某点沿铅垂线方向到任意水准面的距离。

7．空间直角坐标系（地心坐标系）：坐标系的原点设在椭球的中心O ，用相互垂直的x ，y ，z 三个轴表示，x 轴通过起始子午面，z 轴为椭球旋转轴。

三、平面直角坐标当研究小范围地面形状和大小时，可用平面代替球面，此时可采用平面直角坐标系统。

平面直角坐标的表示方法：X 轴：纵轴，表示南北方向。

Y 轴：横轴，表示东西方向。

四、高斯-克吕格坐标的轴系1．问题的提出1）测区范围较小：可把地球表面的一部分当作平面看待，所测得地面点的位置或一系列点子所构成的图形，可直接用相似而缩小的方法描绘到平面上去。

2）测区范围较大：不能把地球很大一块地表面当作平面看待，必须采用适当的投影方法来解决这个问题，即可采用高斯投影的方法。

2．高斯投影的表达1）横圆柱描述法把地球看作一个圆球，设想把一个平面卷成一个横圆柱，把它套在圆球外面，使横圆柱的中心轴线通过圆球的中心，把圆球面上一根子午线与横圆柱相切，即这条子午线与横圆柱重合。

以此子午线为中心将其左右一定带宽范围内的球面用正形投影（即高斯投影）的方法投影至圆柱面上。

2）纵横轴线中央子午线和赤道面投影至横圆柱面上都是一条直线，且互相垂直，它们构成了平面直角坐标系统的纵横轴，即x轴和y轴，因此经过这种投影后，其坐标既是平面直角坐标，又与大地坐标的经纬度发生联系，对大范围的测量工作也就适用了。

3）投影分带为控制投影变形，这种投影方法把地球分成若干范围不大的带进行投影，带的宽度一般分为经差6º、3º和1.5º几种，简称6º带、3º带和1.5º带，中心的子午线为中央子午线，其经度的计算方法如下。

6º带：（6N-3）º、3º带：（3N）ºN——带号。

3．高斯投影坐标的表示1）X坐标不变；2）Y坐标先加500km，再在其之前冠以该投影带的带号。

§2-2 用水平面代替水准面的限度一、水准面的曲率对水平距离的影响如图2-10，设DAE 为水准面，AB 为其上的一段圆弧，设长度为S ，其所对圆心角为θ，地球半径为R 。

另自A 点作切线AC ，设长为t ，如果将切于A 点的水平面代替水准面，即以相应的切线段AC 代替圆弧AB ，则在距离方面将产生误差ΔS ，由图得S t AB AC S -=-=∆，其中 θRtg t AC ==，θ⋅==R S AB则⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=∆5315231θθR S 因θ角值一般很小，故可略去五次方以上各项，并以R S=θ代入，则得：2331R S S =∆， 231⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆R S S S在上式中取km R 6371=，则当km S 16.3=时， 121940001=∆S S当km S 10=时， 12177001=∆S S 当km S 20=时， 3044001=∆S S当km S 50=时， 487101=∆SS 由上述计算可知，当水平距离为10km 时，以水平面代替水准面所产生的距离误差为距离的1/1217700，现在最精密距离丈量时的容许误差为其长度的1/100万。

因此可得出结论：在半径为10km 的圆面积内进行长度的测量工作时，可以不必考虑地球曲率；也就是说可以把水准面当作水平面看待，即实际沿圆弧丈量所得距离作为水平距离，其误差可忽略不计。

二、水准面的曲率对水平角度的影响 球面角超：2R Pρε''=''式中：P ——球面多边形面积；R ——地球半径。

测量工作中实测的是球面面积，绘制成图时则绘成平面图形的面积。

当210km P =时， 50.0''=''ε 当2100km P =时， 15.0''=''ε当2400km P =时， 30.2''=''ε 当22500km P =时， 07.12''=''ε 由此表明：对于面积在以内的多边形，地球曲率对水平角度的影响只有在最精密的测量中才需要考虑，一般的测量工作是不必考虑的。

三、地球曲率对高差的影响由图2-10得知 ()222t R h R +=∆+，222t h h R =∆+∆⨯，即h R t h ∆+=∆22因t S ≈，R h ∆，可忽略不计，则：R S h 22=∆ 当km S 10=时， m h 8.7=∆； 当m S 100=时， mm h 78.0=∆ 从上述计算表明：地球曲率的影响对高差而言，即使在很短的距离内也必须加以考虑。

§2-3 地形图的认识1．地形图：凡是图上既表示出道路、河流、居民地等一系列固定物体的平面位置，又表示出地面各种高低起伏的形态，并经综合取舍，按比例缩小后用规定的符号和一定的表示方法描绘在图纸上的正形投影图。

2．正形投影：等角投影，将地面点沿铅垂线投影到投影面上，并使投影前后图形的角度保持不变。

3．考虑地球曲率时绘制地形图的基本方法：当测区面积很大时，不能把地球的椭球面当水平面对待，而应考虑地球的曲率。

具体测图时，是先把一些起控制作用的点，经过一定的数学法则（地图投影）处理后，求出其平面坐标和高程。

再把根据这些点所测得的地貌、地物，按上面所介绍的绘制地形图的原则绘制成图。

4．地形图的分类1）以成图方法分线划图和影像图；2）以其内容分普通地形图和专题图。

一、地形图的内容1．地形图的基本内容图廓（图框）及其方向、图名、图号、比例尺、坐标系统、高程系统及测图方法、图式和测图单位等等。

2．地物：地面各种固定性的物体。

3．地貌：表示地面的起伏程度。

4．等高线：相同高程曲线的点的连线。

二、图的比例尺1．图的比例尺：图上某直线的长度与地面上相应线段实际的水平长度之比。

2．比例尺的分类1）数字比例尺如：1：2000，1：1000，1：5002）图示比例尺（1）直线比例尺在图纸上绘出直线比例尺，它可以随着图纸的伸缩变形而变形，这样就基本上消除了图纸变形而产生的误差。

（2）复式比例尺（斜线比例尺）复式比例尺的精度比直线比例尺的精度要高，当丈量距离的精度要求较高时，就可以用复式比例尺。

3．选择比例尺的方法选择不同的比例尺，其表达的地面详细程度、测图的工作量、成图时间和测量费用是相差非常大的。

一般以工作需要为决定的主要因素，即根据在图上需要表示出的最小地物有多大，点的平面位置或两点间的距离要精确到什么程度为选择比例尺的标准。

4．比例尺的作用已知比例尺，可根据图上的长度求地面上相应的水平距离；也可将地面上实测的水平距离化算成图上相应的长度。

5．比例尺精度：图纸上0.1mm所表示的实地水平距离。

6．比例尺精度的作用1）按要求地物应表示的精确程度决定测图的比例尺；2）当测图比例尺确定之后，可以推算出测量地物时应精确到什么程度。

§2-4 测图原理与测量工作概述一、测图原理1．地形图的表达方法（如图2-15，P18页）将地面上空间各点向平面上作垂直投影，平面上的各边一般都短于空间的相应边，至多相等。

投影平面上的角是包含两倾斜边的空间角在水平面上的投影。

所以，地形图上各点是实地上相应点在水平面上正射投影的位置再用测图的比例尺缩绘在纸上的。

2．测量三个基本工作（三条规则）1）水平距离测量2）水平角测量3）高差测量二、测量工作概述1．基本原则：从整体到局部、先控制后碎部；步步有检核。

测量工作是有误差的，不论起始的精度有多高，逐渐测下去，误差积累越来越大，最后可能达到不能容许的程度，因此必须采取一定的工作程序和方法。

具体实施时，先选择一些控制点，用较高的精度测定其平面坐标和高程，然后再根据它们测定大量的要求较低的碎部点。

也就是，先从整个测区的大范围来考虑控制问题，再考虑每个局部的碎部问题。