湖北省武汉外国语学校10-11学年高二上学期期末考试(数学理)

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湖北省武汉市高二上学期期末联考数学试题(解析版)

一、单选题1．已知数列{an }中的首项a 1＝2，且满足，则此数列的第三项是（） 11122n n a a n+=+A ．1 B ．C ．D ．123458【答案】A【分析】根据递推公式直接求解即可. 【详解】因为，且， 12a =11122n n a a n+=+令，得，1n =21132222a =´+=令可得,2n =3211131124224a a =+=+=故此数列第三项为. 1故选：A2．已知三棱锥中，点、分别为、的中点，且，，，则O ABC -M N AB OC OA a = OB b = OC c =（）MN =A ．B ．C ．D ．()12b c a +- ()12a b c ++ ()12a b c -+ ()12c a b -- 【答案】D【分析】利用空间向量的线性运算可得出关于的表达式.MN{},,a b c 【详解】，()()111222OM OA AM OA AB OA OB OA OA OB =+=+=+-=+所以，. ()()111222MN ON OM OC OA OB c a b =-=-+=-- 故选：D.3．已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，满足，若12,F F 2222:1(0)x y C a b a b+=>>P 210PF PF ⋅= 的面积为9，则（） 12PF F △b =A ．1 B ．2C D ．3【答案】D【分析】利用化简得到之间的关系，即可求得. 210PF PF ⋅=,,a b c b 【详解】解：；① 2221212122,24PF PF a PF PF PF PF a +=∴++⋅= 又，②2222121212,4PF PF PF PF F F c ⊥∴+== ①-②得：， ∴()222212121244,2PF PF a c b PF PF b ⋅=-=∴⋅=的面积为， 12PF F △1221219,9,02PF F S PF PF b b ∴=⋅==>A . 3b ∴=故选：D4．意大利数学家斐波那契在 1202 年著的《计算之书》中记载了斐波那契数列，此数列满{}n F 足：，且从第三项开始，每一项都是它的前两项的和，即，则在121F F ==*21()n n n F F F n N ++=+∈该数列的前 2022 项中，奇数的个数为（） A ．672 B ．674 C ．1348 D ．2022【答案】C【分析】先考虑前6项的奇偶性，从而可得各项奇偶性的周期性，故可得正确的选项. 【详解】，故，，故各项奇偶性呈现周期性（奇奇偶）， 121F F ==32F =4563,5,8F F F ===且周期为3，因为，故奇数的个数为， 20223674=⨯67421348⨯=故选：C.5．已知空间直角坐标系中的点，，，则点Р到直线AB 的距离为（） ()1,1,1P ()2,0,1A ()0,1,0B ABCD【答案】D【分析】由向量在向量上的投影及勾股定理即可求. 【详解】，，，()1,1,1P ()2,0,1A ()0,1,0B ，，∴()2,1,1AB =-- ()1,1,0AP=-在上的投影为 AP AB||AP AB AB ⋅则点到直线P AB =故选：D ．6．据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，是充分体现我国劳动人民智慧的一种计数方法.在算筹计数法中，用一根根同样长短和粗细的小棍子(用竹子，木头，兽骨，象牙，金属等材料制成)以不同的排列方式来表示数字，如果用五根小木棍随机摆成图中的两个数(小木棍全部用完)，那么这两个数的和不小于9的概率为()A ．B ．C ．D ．23121334【答案】A【分析】分用(1根+4根)和(2根+3根)两种情况组成不同的两个数，求出总的组合数，并求出各个组合中两数的和，根据古典概型概率计算方法计算即可．【详解】用五根小木棍摆成两个数，共有两种摆放方法：第一种是用1根和4根小木棍可以组成：1与4、1与8，其和分别为5、9，共2种；第二种是用2根和3根小木棍可以组成：2与3、2与7、6与3、6与7，其和分别为5、9、9、13，共4种；故用五根小木棍随机摆成图中的两个数，有2+4=6种不同组合，其中两个数的和不小于9的有4种，故所求概率为． 4263=故选：A ．7．在等差数列中，是的前项和，满足，，则有限项数列，，…，{}n a n S n a n 200S <210S >11S a 22S a ，中，最大项和最小项分别为（） 2020S a 2121S a A ．； B ．； C ．；D ．；2121S a 2020S a 2121S a 1111S a 1100S a 1111S a 1100S a 2020S a 【答案】C【分析】先判断出，从而得到最小，结合前者得到给定新数列中的最大项和最小10110,0a a ><10S 项.【详解】因为为等差数列，故，， {}n a ()20101110S a a =+211121S a =故，，故，公差，10110a a +<110a >100a <0d >，，10910S S S <<<< 101120210,0S S S S <<<<>而，121011210a a a a a <<<<<<< 故，，10910S S S ->->>-> 1120210,0S S S ->>->> 121011210,0a a a a a ->>>><<< 由不等式性质可得即 10122122100S S S S a a a a ----<<<<<----L 101221221001S S S S a a a a <=<<<<L 同理，故， 2011121112200S S S a a a -->>>-> 2011121112200S S S a a a <<<< 而， 20212021212121011S a S S a a a +<==+<故，，…，，中最大项和最小项分别为；. 11S a 22S a 2020S a 2121S a 1100S a 1111S a 故选：C. 【点睛】，本题考查等差数列的性质、数列的最大项、最小项等，注意把数列的前和的符号转化为中间项的n 符号，另外注意不等式性质的正确使用，本题属于难题.8．已知双曲线：的右焦点为，关于原点对称的两点A 、B 分别在双曲C ()222210,0x y a b a b -=>>F 线的左、右两支上，，，且点C 在双曲线上，则双曲线的离心率为（） 0AF FB ⋅=3BF FC =A BC D【答案】B【分析】若左焦点，连接，由题意知为矩形，设，则，F ',,AF BF CF '''AFBF '||BF m =||3FC m =，，在直角△、直角△中应用勾股定理列方程可得，||2BF a m '=+||32CF m a '=+CBF 'BFF 'm a =且得到关于双曲线参数的齐次方程，即可得离心率. 【详解】如下图，若左焦点，连接，F ',,AF BF CF '''因为A 、B 关于原点对称且，所以为矩形，0AF FB ⋅=AFBF '设，则，，，||BF m =||3FC m =||2BF a m '=+||32CF m a '=+在直角△中，即， CBF '222||||||BC BF CF ''+=22216(2)(32)m a m m a ++=+所以，m a =在直角△中，即， BFF '222||||||BF BF FF ''+=2222(2)104m a m a c ++==所以e 故选：B二、多选题9．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，下A =B =列结论中正确的是（）A ．该试验样本空间共有个样本点B ． 4()14P AB =C ．与为互斥事件D ．与为相互独立事件A B A B 【答案】ABD【分析】由题可得样本空间及事件样本点，结合互斥事件，独立事件的概念及古典概型概率公,A B 式逐项分析即得.【详解】对于A ：试验的样本空间为：正，正，正，反，反，正，反，反，共{(Ω=)()()()}4个样本点，故A 正确;对于B ：由题可知正，正，正，反，正，反，反，反， {(A =)()}{(B =)()}显然事件，事件都含有“正，反这一结果，故，故B 正确； A B ()()14P AB =对于C ：事件，事件能同时发生，因此事件不互斥，故C 不正确； A B ,A B 对于D ：，，，所以，故D 正确．()2142P A ==()2142P B ==()14P AB =()()()P AB P A P B =故选：ABD.10．等差数列的前n 项和分别为，则下列说法正确的有（） {}{},n n a b *21,,,1N n n n n a n S T n b n +=∈+A ．数列是递增数列B ．n n a b ⎧⎫⎨⎩⎭3353S T =C ．D ．553536S T =121222(1)n n S S S n T T T n ⋅⋅⋅⋅+=⋅⋅+ 【答案】AB【分析】结合数列的单调性，等差数列前项和公式对选项进行分析，从而确定正确选项.n 【详解】，所以是递增数列，A 选项正确.()2112112111n n n a n b n n n +-+===-+++n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，()()121121211211212121221221212n n n n n n n n a a n a a a Sn b b b b b T n n ------+⋅-++====+++⋅-所以，B 选项正确. 332215213S T ⨯+==+，C 选项错误. 552317314S T ⨯+==+当时，，D 选项错误. 1n =()11113122211S a T b +==≠⨯+故选：AB11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点的距离之比为定值的点的,A B ()1λλ≠轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知，，点满足(4,2)A -(2,2)B P ，设点的轨迹为圆，则下列说法正确的是（） ||2PA PB=P C A ．圆的方程是C ()()224216x y -+-=B ．以为直径的圆与圆的公共弦所在的直线方程为AB C 5440x y -+=C ．过点作直线，若圆上恰有三个点到直线的距离为，则该直线的斜率为 A l C l 2D ．过直线上的一点向圆引切线、，则四边形的面积的最小值为3460x y+=P C PA PB PACB 【答案】AD【分析】对于A ，利用求动点的轨迹方程的步骤即可求解；对于B ，利用圆的直径式方程及两圆的方程直接相减即可求解两圆相交公共弦所在的直线；对于C ，根据已知条件及直线的点斜式方程，结合点到直线的距离公式即可求解；对于D ，将求四边形的面积转化为求三角形的面积，利用勾股定理及点到直线间的距离公式即可求解.【详解】对于A ，因为，点满足，设(4,2),(2,2)A B -P ||2||PA PB =(),P x y 2=，化简得，即，故A 正确；228440x y x y +--+=()()224216x y -+-=对于B ，以为直径的圆的方程为，即，,A B ()()()()42220x x y y +-+--=222440x y x y ++--=所以为直径的圆与圆的公共弦所在的直线方程为AB C ,即，故B 错误；()22222484440x x y x x y y y ++---+--=+540x -=对于C ，易知直线的斜率存在，设直线l 的方程为，即，()24y k x -=+420kx y k -++=因为圆上恰有三个点到直线的距离为2，所以圆心到直线的距离C l 2d =，解得，故C 错误； k =对于D ，由题意可得四边形的最小值即S PACB 1242=⨯⨯=PO可，的最小值为点到直线的距离，即，所以四边形PO O 3460x y +=1d PACB的面积的最小值为D 正确. =故选：AD.12．抛物线的光学性质为：从焦点发出的光线经过抛物线上的点反射后，反射光线平行于抛物F P 线的对称轴，且法线垂直于抛物线在点处的切线．已知抛物线上任意一点P ()220y px p =>处的切线为，直线交抛物线于，，抛物线在，两()00,P x y ()00y y p x x =+l ()11,A x y ()22,B x y A B 点处的切线相交于点．下列说法正确的是（） Q A ．直线方程为l ()121220px y y y y y -+-=B ．记弦中点为，则平行轴或与轴重合 AB M QM x x C ．切线与轴的交点恰在以为直径的圆上 QA y FQ D ． AFQ QFB ∠=∠【答案】BCD【分析】设为，与抛物线联立，根据韦达定理用表示出，即可判断A 项；根l x my b =+12,y y ,m b 据已知可推出，是一元二次方程的两组解，又直线方程为()11,A x y ()22,B x y ()Q Q yy p x x =+l ，两式比较可得，，即可判断B 项；通过()121220px y y y y y -++=122Q M y y y y +==122Q y y x b p ==-求出、点坐标，推导以及，即可判断C 项；根据抛物线的光学性质，结合C D FC QA ⊥FD QB ⊥已知条件，可推出∽，进而推得.AFQ △QFB △AFQ QFB ∠=∠【详解】设为，，与抛物线联立得，必有，l x my b =+0b >2220y pmy pb --=0∆>122y y pm+=，，∴，，代回方程整理得：，A 项错122y y pb =-122y y m p +=122y y b p=-l ()121220px y y y y y -++=误；由已知，抛物线在点处的切线切线：，在两点处的切线A QA l ()11y y p x x =+B ，设点，则满足方程组，()22:QB y y p x x l =+(),Q Q Q x y ()()1122Q Q Q Q y y p x x y y p x x ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩则可知，是一元二次方程的两组解，由经过两点，的直线()11,A x y ()22,B x y ()Q Q yy p x x =+A B l 有且仅有一条，故方程为，变形为， l ()Q Q yy p x x =+0Q Q px y y px -+=又直线方程为， l ()121220px y y y y y -++=两式对应系数得，，所以平行轴或与轴重合，B 项正确；122Q M y y y y +==122Q y y x b p ==-QM x x 如图，记切线与轴的交点，()11:x Q y y p x A =+y 110,px C y ⎛⎫⎪⎝⎭，，112FC x k y =-1QA pk y =∴，∴， 12121FC QA px k k y ⋅==--FC QA ⊥同理切线与轴的交点，亦有，故， QB y D FD QB ⊥180FCQ FDQ ∠+∠=o 所以，，，四点共圆，且为直径，C 项正确；F C Q D FQ 如图，记切线与轴的交点为，过作轴平行线，由抛物线光学性质，，QA x S A x AN FSA FAS ∠=∠由等腰、直角、，，，四点共圆（对同弦圆周角相等），可得如图五个角SFA A SCF △F C QD α相等；同理，五个角相等．β则∽，∴，D 项正确．AFQ △QFB △AFQ QFB ∠=∠故选：BCD.三、填空题13．若双曲线的一个焦点为，两条渐近线互相垂直，则______.22221(0,0)x y a b a b-=>>(5,0)F =a【分析】根据双曲线的渐近线相互垂直求得的关系式，结合求得. ,a b 5c =a 【详解】依题意，5c =由于双曲线两条渐近线互相垂直，所以，22221,,b b b a b a b a a a ⎛⎫⨯-=-=-== ⎪⎝⎭由于，所以222+=a b c 2225,a a ==14．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜35的概率为，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局结束比赛的概率为______． 25【答案】78625【分析】分两种情况讨论，（1）甲第一局赢，第二局输，第三、四局赢；（2）乙第一局赢，第二局输，第三、四局赢，即得解.【详解】由题得恰好进行了4局结束比赛，有两种情况：（1）甲第一局赢，第二局输，第三、四局赢，此时； 13233545555625P =⨯⨯⨯=（2）乙第一局赢，第二局输，第三、四局赢，此时； 12322245555625P =⨯⨯⨯=所以恰好进行了4局结束比赛的概率为. 12542478625625625P P +=+=故答案为：78625【点睛】本题主要考查独立事件的概率和互斥事件的概率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．在直三棱柱中，，，M 是的中点，以为坐111ABC A B C -CA =4CB =90BCA ∠=︒11A B C 标原点建立如图所示的空间直角坐标系，若，则异面直线与夹角的余弦C xyz -11A B CB ⊥CM 1A B 值为__________.【分析】根据题意结合，求，再利用空间向量求异面直线夹角. 1212120a b x x y y z z ⊥⇔++=1AA 【详解】设，则，，，，，1AA a =()0,4,0B ()1Aa ()10,4,B a ()0,0,0C ()2,M a 可得：，，()14,A B a =-- ()10,4,CB a = ∵，则，得， 11A B CB ⊥ 211160A B CB a ⋅=-=4a =故，，()2,4CM = ()14,4A B =--∴1cos ,CM A =故异面直线与CM 1A B 16．已知椭圆的离心率为，右焦点为，点在圆上，且:C 22221(0)x y a b a b +=>>122F M 222x y b +=M在第一象限，过作圆的切线交椭圆于，两点．若的周长为，则椭圆的M 222x y b +=P Q 2PF Q △4C 方程为____．【答案】22143x y +=【分析】根据离心率化简椭圆方程，由两点间距离公式与勾股定理计算的周长后求解2PF Q △【详解】椭圆的离心率为 ,则，椭圆方程为 122,a c b ==2222143x y c c+=设， ()()1122,,,P x y Q x y 2222222111111||()24(4)44PF x c y x cx c x c =-+=-+=- 211||22PF c x =-连接OM ，OP ，由相切条件知：，， 222211||||||4PM OP OM x =-=11||2PM x =，同理得，2||||2PF PM c +=2||||2QF QM c +=由题意得PF 2Q 的周长为A 44,1c c ==∴椭圆C 的方程为 . 22143x y +=故答案为： 22143x y +=四、解答题17．已知公差大于零的等差数列的前n 项和为,且满足，． {}n a n S 34117a a ⋅=2522a a +=（1）求和；n a n S （2）若数列是等差数列，且，求非零常数c ． {}n b n n S b n c=+【答案】（1），；（2）. 43n a n =-22n S n n =-12-【分析】（1）利用等差数列的性质结合已知条件得到是方程的两实根，从而34,a a 2221170x x -+=求出；再利用等差数列的通项公式求，，从而求和；34,a a 11a =4d =n a n S （2）根据求出，，，根据数列是等差数列得到，从而求出22n n S n n b n c n c-==++1b 2b 3b {}n b 2132b b b =+的值.c 【详解】（1）因为数列为等差数列，所以，又，{}n a 342522a a a a +=+=34117a a ⋅=所以是方程的两实根，34,a a 2221170x x -+=又公差，所以，所以，0d >34a a <349,13a a ==所以，，所以，d =434a a -=129a d +=11a =所以，. 43n a n =-()1222n n n a a S n n +==-（2）由（1）知，所以， 22n S n n =-22n n S n n b n c n c-==++所以，，， 111b c=+262b c =+3153b c =+因为数列是等差数列，所以，即， {}n b 2132b b b =+61152213c c c⨯=++++所以，解得或(舍)，所以. 220c c +=12c =-0c =12c =-18．已知两直线，1:310l x y --=2:250l x y +-=（1）求过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程；（2）若直线与，不能构成三角形，求实数的值.3:430l x ay a -+-=1l 2l a 【答案】（1），；（2）. 2y x =30x y +-=1,2,13-【解析】（1）求出交点坐标，分直线过原点和不过原点两类情况求直线方程；（2）三条直线不能构成三角形分类：某两条直线斜率相等或者三条直线交于一点.【详解】（1）联立直线方程解得，交点坐标， 310250x y x y --=⎧⎨+-=⎩12x y =⎧⎨=⎩(1,2)当直线过原点时，在两坐标轴上截距相等均为0，直线方程，2y x =当直线不过原点时，设其方程为，过得，0x y b ++=(1,2)120,3b b ++==-所以直线方程30x y +-=综上：满足题意的直线方程为，2y x =30x y +-=（2）直线与，不能构成三角形3:430l x ay a -+-=1l 2l 当与平行时： 1l 3l 131,3a a ==当与平行时：2l 3l 2,2a a -==-当三条直线交于一点，即过点，则3l (1,2)12430,1a a a -+-==综上所述实数的值为 a 1,2,13-【点睛】此题考查求直线交点坐标，截距问题，两条直线位置关系的应用，易错点在于截距相等时忽略掉截距为0，三条直线不能构成三角形情况讨论不全面导致漏解.19．如图，点，，在抛物线上，且抛物线的焦点是的重(2,8)A 11(,)B x y 22(,)C x y 22y px =F ABC A 心，为的中点.M BC(1)求抛物线的方程和点的坐标；F (2)求点的坐标及所在的直线方程.M BC 【答案】(1)；232y x =(8,0)F (2)；M (11,4)-4400+-=x y【分析】(1)将代入求得值，得到点的坐标；(2,8)A 22y px =p F (2) 设点的坐标为，根据即可求出线段中点的坐标；M ()00,x y 2AF FM = BC M 由得,再求出直线所在直线的方程. 2112223232y x y x ⎧=⎨=⎩4BC k =-BC 【详解】（1）由点在抛物线上，有，解得.(2,8)A 22y px =2822p =⨯16p =所以抛物线方程为，焦点的坐标为.232y x =F (8,0)（2）由于是的重心，是线段的中点，F ABC A M BC 所以，设点的坐标为，2AF FM = M ()00,x y 则，()00(6,8),8,AF FM x y =-=- ，解得，所以点的坐标为， ()0062882x y ⎧=-∴⎨-=⎩0011,4x y ==-M (11,4)-由得， 2112223232y x y x ⎧=⎨=⎩()()()21212132y y y y x x +-=-因为为为的中点，故，M (11,4)-BC 128y y +=-所以， 21214BC y y k x x -=-=-因此所在直线的方程为，BC (4)4(11)y x --=--即.4400+-=x y 20．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，点，分别P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD M N 为，的中点．BC PA(1)取的中点，连接，若平面平面，求证：；PB H AH AHC ⊥PAB PB AC ⊥(2)已知，与平面与平1AB AC ==AD =ACPBC PBC 面的夹角的余弦值．ABCD 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）通过证明平面来证得.AC ⊥PAB PB AC ⊥（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面的夹角的余弦值.PBC ABCD 【详解】（1）平面平面，且交线为，AHC ⊥PAB AH 过点作的垂线，垂足记为，B AH K 由于平面，所以平面，BK ⊂PAB BK ⊥HAC 由于平面，所以，AC ⊂HAC BK AC ⊥又平面，平面，所以，PA ⊥ABCD AC ⊂ABCD PA AC ⊥由于是平面内的相交直线，,BK PA PAB 所以平面， AC ⊥PAB由于平面，所以.PB ⊂PAB AC PB ⊥（2）由于，，所以，1AB AC ==AD BC ==222AB AC BC +=所以，由于平面，平面，AC AB ⊥AP ⊥ABCD ,AB AC ⊂ABCD 所以，即两两垂直.,AP AB AP AC ⊥⊥,,AB AC AP 以为坐标原点，向量，，方向分别为，，轴建立空间直角坐标系．A AB AC AP x y z 设，则，，，(0)PA h h =>()0,0,P h ()1,0,0B ()0,1,0C 故，， ()1,0,PB h =- ()1,1,0BC =-u u u r 设平面的一个法向量为，则， PBC ()222,,m x y z = 00PB m BC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即， 222200x z h x y -=⎧⎨-+=⎩令，则，，故，2x h =2y h =21z =(),,1m h h = 易得平面的一个法向量为，又，ABCD ()00,0,1n = ()0,1,0AC = 设直线与平面所成角为，AC PBC α则， sin α=1h =设平面与平面的夹角为，PBC ABCDβ则cos β==所以平面与平面 PBC ABCD21．已知点M （1，0），N （1，3），圆C ：，直线l 过点N ．221x y +=(1)若直线l 与圆C 相切，求l 的方程；(2)若直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：为12k k +定值．【答案】(1)或1x =4350x y -+=(2)证明见解析【分析】（1）先判断直线l 不存在斜率时符合题意；再设直线l 的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，列式求解即可．（2）设出直线l 的方程，与圆的方程联立，得到关于的一元二次方程，再利用根与系数的关系及x 直线的斜率公式进行证明．【详解】（1）解：若直线l 的斜率不存在，则l 的方程为，1x =此时直线l 与圆C 相切，故符合条件；1x =若直线l 的斜率存在，设斜率为k ，其方程为，()13y k x =-+即，30kx y k --+=由直线l 与圆C 相切，圆心（0，0）到l 的距离为1，，解得， 43k =所以直线l 的方程为， ()4133y x =-+即， 4350x y -+=综上所述，直线l 的方程为或；1x =4350x y -+=（2）证明：由（1）可知，l 与圆C 有两个交点时，斜率存在，此时设l 的方程为，30kx y k --+=联立， 22301kx y k x y --+=⎧⎨+=⎩得，()()2222126680k x k k x k k --+++=-则，()()()222226416824320k k k k k k ∆=++----=＞解得， 43k >设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则，，（1） 2122261k k x x k -+=+2122681k k x x k -+=+所以， ()()12121212121331111k x k x y y k k x x x x -+-+=+=+----()()12121212323322111x x k k x x x x x x +-=++=+---++将（1）代入上式整理得， 121862293--+=+=-k k k k 故为定值． 12k k +23-22．已知点为坐标原点，，，为线段AB 上一点，点满足平分，O (1,0)A -(1,0)B M C CM ACB ∠.2BC BM =(1)求点的轨迹的方程；C E (2)设直线与曲线的一个交点为（异于点），求面积的最大值.CM E D C OCD A 【答案】(1) 221(0)43x y y +=≠(2) 2449【分析】（1）根据角平分线定理得，又，所以，结合椭圆的AC BC AM BM =2BC BM =2AC AM =定义即可求得轨迹的方程；E （2）设直线直线，，，由可得，结合椭():0CD x ny t n =+≠()11,C x y ()22,D x y 2BC BM =14x t =圆方程可得，根据直线与椭圆相交得，由面积22243n t n =+21212226312,4343nt t y y y y n n -+=-=++得，结合基本不等式求最值即可. 1212OCD S OM y y =⋅-A OCD S =△21121121n n n n +=++【详解】（1）解：因为平分，所以由角平分线定理得， CM ACB ∠AC BC AM BM=又，所以，2BC BM =2AC AM =于是，2224AC BC AM BM AB +=+==所以点的轨迹是以A ，B 为焦点，4为长轴长的椭圆，且点不在轴上，C E C y 故点C 的轨迹的方程为. E 221(0)43x y y +=≠（2）解：设，，直线，则，()11,C x y ()22,D x y ():0CD x ny t n =+≠(,0)Mt点在椭圆上，则， ()11,C x y 2211143x y +=1122x ===-因为，，所以，故. 1BM t =-2BC BM =()112212x t -=-14x t =又，所以，可得，故； 11x ny t =+13t y n =222341t t n+=22243n t n =+则，整理可得：， 22143x ny t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()2224363120n y nty t +++-=所以 21212226312,4343nt t y y y y n n -+=-=++于是 1y-=所以1212OCD S OM y y =⋅-==A()()()222211212143431121n n n nn n n n ++==++++又，当且仅当时等号成立. 112n n n n+=+≥1n =±设，，又，当且仅当时12m n n =+≥21212112112OCD m S m m m==++△112m m +≥=m =等号成立，故 min 11451212222m m ⎛⎫+=⨯+= ⎪⎝⎭故当时，的面积最大，且最大值为. 1n =±OCD A 2449【点睛】方法点睛：与椭圆有关的最值或取值范围问题的求解方法（1）利用数形结合，椭圆的定义､性质求最值或取值范围；（2）利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围；（3）利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围；（4）利用一元二次方程的根的判别式求最值或取值范围.。

湖北省武汉外国语学校高二数学上学期期末试卷理(含解析)

2015-2016学年湖北省武汉外国语学校高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知命题P：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是正数，则下列命题中为真命题的是（）A．（￢p）∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∨（￢q）2．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．134石B．169石C．338石D．1365石3．已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A．212B．211C．210D．294．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，85．“方程表示双曲线”的一个充分不必要条件是（）A．﹣2＜m＜﹣1 B．m＜﹣2或m＞﹣1 C．m＜0 D．m＞06．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P37．已知x与y之间的几组数据如下表：x 1 2 3 4 5 6y 0 2 1 3 3 4假设根据上表数据所得线性回归直线方程为=x+中的前两组数据（1，0）和（2，2）求得的直线方程为y=b′x+a′，则以下结论正确的是（）A．＞b′，＞a′B．＞b′，＜a′C．＜b′，＞a′D．＜b′，＜a′8．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A．192种B．216种C．240种D．288种9．设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）|x i∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为（）A．60 B．90 C．120 D．13010．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0 B．2 C．4 D．1411．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）=（）A．B．C．D．12．椭圆x2+=1短轴的左右两个端点分别为A，B，直线l过定点（0，1）交椭圆于两点C，D．设直线AD，CB的斜率分别为k1，k2，若k1：k2=2：1，则直线l斜率k的值为（）A．k=2 B．k=3 C．.k=或3 D．k=2或二、填空题（2013台江区校级二模）为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见表（单位：人）．则x= ，y= ；高校相关人数抽取人数A 18 xB 36 2C 54 y若从高校B，C抽取的人中选2人作专题发言，则这2人都来自高校C的概率= ．14．口袋里放有大小相同的2个红球和1个白球，有放回的每次摸取一个球，定义数列{a n}：a n=，如果S n为数列{a n}的前n项之和，那么S7=3的概率为．15．俗话说：“三个臭皮匠顶个诸葛亮”．但由于臭皮匠太“臭”，三个往往还顶不了一个诸葛亮．已知诸葛亮单独解出某道奥数题的概率为0.8，每个臭皮匠单独解出该道奥数题的概率是0.3．试问，至少要几个臭皮匠能顶个诸葛亮？．16．设0＜a＜b，过两定点A（a，0）和B（b，0）分别引直线l和m，使之与抛物线y2=x有四个不同的交点，当这四点共圆时，这种直线l和m的交点P的轨迹为．三、解答题（共70分，共6题）17．已知P：2x2﹣9x+a＜0，q：且¬p是¬q的充分条件，求实数a的取值范围．18．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．分数段[50，60） [60，70） [70，80） [80，90）x：y 1：1 2：1 3：4 4：519．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是0.5，0.6，0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求：（Ⅰ）该应聘者用方案一考试通过的概率；（Ⅱ）该应聘者用方案二考试通过的概率．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．21．已知圆C1：x2+y2+6x﹣4=0，圆C2：x2+y2+6y﹣28=0．（1）求过这两个圆交点的直线方程；（2）求过这两个圆交点并且圆心在直线x﹣y﹣4=0上的圆的方程．22．已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中a2=b2+c2，a＞0，b＞c＞0．如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”与x，y轴的交点，（1）若三角形F0F1F2是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；（2）若|A1A|＞|B1B|，求的取值范围；（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦．是否存在实数k，使得斜率为k的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有k的值；若不存在，说明理由．2015-2016学年湖北省武汉外国语学校高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知命题P：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是正数，则下列命题中为真命题的是（）A．（￢p）∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∨（￢q）【考点】复合命题的真假．【专题】计算题．【分析】由命题P：所有有理数都是实数，是真命题，命题q：正数的对数都是正数，是假命题，知￢p是假命题，￢q是真命题，由此能求出结果．【解答】解：∵命题P：所有有理数都是实数，是真命题，命题q：正数的对数都是正数，是假命题，∴￢p是假命题，￢q是真命题，∴（￢p）∨q是假命题，p∧q是假命题，（￢p）∧（￢q）是假命题，（￢p）∨（￢q）是真命题，故选D．【点评】本题考查复合命题的真假，解题时要认真审题，仔细解答．2．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．134石B．169石C．338石D．1365石【考点】随机抽样和样本估计总体的实际应用．【专题】计算题；概率与统计．【分析】根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1534×≈169石，故选：B．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．3．已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A．212B．211C．210D．29【考点】二项式定理；二项式系数的性质．【专题】二项式定理．【分析】直接利用二项式定理求出n，然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可．【解答】解：已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，可得，可得n=3+7=10．（1+x）10的展开式中奇数项的二项式系数和为： =29．故选：D．【点评】本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵活运用以及计算能力．4．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8【考点】茎叶图．【专题】概率与统计．【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可．【解答】解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；∴y=8；甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15，∴x=5．故选：C．【点评】本题考查了中位数和平均数的计算．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．5．“方程表示双曲线”的一个充分不必要条件是（）A．﹣2＜m＜﹣1 B．m＜﹣2或m＞﹣1 C．m＜0 D．m＞0【考点】双曲线的标准方程；充要条件．【专题】计算题．【分析】先计算方程表示双曲线的充要条件，再求出它的一个真子集即可．【解答】解：若方程表示双曲线，则（2+m）（1+m）＞0∴m＜﹣2或m＞﹣1∴要求“方程表示双曲线”的一个充分不必要条件，则需要找出它的一个真子集即可∵m＞0时，m＜﹣2或m＞﹣1，结论成立，反之不成立∴“方程表示双曲线”的一个充分不必要条件是m＞0故选D．【点评】本题考查的重点是充要条件，解题的关键是计算方程表示双曲线的充要条件，属于基础题．6．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P3【考点】简单随机抽样；分层抽样方法；系统抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，即P1=P2=P3．故选：D．【点评】本题主要考查简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的性质，比较基础．7．已知x与y之间的几组数据如下表：x 1 2 3 4 5 6y 0 2 1 3 3 4假设根据上表数据所得线性回归直线方程为=x+中的前两组数据（1，0）和（2，2）求得的直线方程为y=b′x+a′，则以下结论正确的是（）A．＞b′，＞a′B．＞b′，＜a′C．＜b′，＞a′D．＜b′，＜a′【考点】线性回归方程．【专题】压轴题；概率与统计．【分析】由表格总的数据可得n，，，进而可得，和，代入可得，进而可得，再由直线方程的求法可得b′和a′，比较可得答案．【解答】解：由题意可知n=6， ===， ==，故=91﹣6×=22， =58﹣6××=，故可得==， ==﹣×=，而由直线方程的求解可得b′==2，把（1，0）代入可得a′=﹣2，比较可得＜b′，＞a′，故选C【点评】本题考查线性回归方程的求解，涉及由两点求直线方程，属中档题．8．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A．192种B．216种C．240种D．288种【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】应用题；排列组合．【分析】分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论．【解答】解：最左端排甲，共有=120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有=96种，根据加法原理可得，共有120+96=216种．故选：B．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题．9．设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）|x i∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为（）A．60 B．90 C．120 D．130【考点】排列、组合的实际应用．【专题】排列组合．【分析】从条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”入手，讨论x i所有取值的可能性，分为5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况进行讨论．【解答】解：由于|x i|只能取0或1，且“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”，因此5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况：①x i中有2个取值为0，另外3个从﹣1，1中取，共有方法数：；②x i中有3个取值为0，另外2个从﹣1，1中取，共有方法数：；③x i中有4个取值为0，另外1个从﹣1，1中取，共有方法数：．∴总共方法数是++=130．即元素个数为130．故选：D．【点评】本题看似集合题，其实考察的是用排列组合思想去解决问题．其中，分类讨论的方法是在概率统计中经常用到的方法，也是高考中一定会考查到的思想方法．10．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0 B．2 C．4 D．14【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【解答】解：由a=14，b=18，a＜b，则b变为18﹣14=4，由a＞b，则a变为14﹣4=10，由a＞b，则a变为10﹣4=6，由a＞b，则a变为6﹣4=2，由a＜b，则b变为4﹣2=2，由a=b=2，则输出的a=2．故选：B．【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．11．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）=（）A．B．C．D．【考点】条件概率与独立事件．【专题】计算题．【分析】用列举法求出事件A=“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件的个数，求p（A），同理求出P（AB），根据条件概率公式P（B|A）=即可求得结果．【解答】解：事件A=“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件有：（1，3）、（1，5）、（3，5）、（2，4），∴p（A）=，事件B=“取到的2个数均为偶数”所包含的基本事件有（2，4），∴P（AB）=∴P（B|A）=．故选B．【点评】此题是个基础题．考查条件概率的计算公式，同时考查学生对基础知识的记忆、理解和熟练程度．12．椭圆x2+=1短轴的左右两个端点分别为A，B，直线l过定点（0，1）交椭圆于两点C，D．设直线AD，CB的斜率分别为k1，k2，若k1：k2=2：1，则直线l斜率k的值为（）A．k=2 B．k=3 C．.k=或3 D．k=2或【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；分析法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得AMB的坐标，设C（x1，y1），D（x2，y2），直线l：y=kx+1，运用直线的斜率公式，可得=2，由题设知y12=4（1﹣x12），y22=4（1﹣x22），由此推出3x1x2+5（x1+x2）+3=0，所以3k2﹣10k+3=0，由此可推导出k的值．【解答】解：由题意可得A（﹣1，0），B（1，0），设C（x1，y1），D（x2，y2），直线l：y=kx+1，代入椭圆方程得（4+k2）x2+2kx﹣3=0，△=4k2+12（4+k2）=16k2+48，x1+x2=﹣，x1x2=﹣，k1=，k2=，k1：k2=2：1，所以=2，平方，结合x12+=1，所以y12=4（1﹣x12），同理y22=4（1﹣x22），代入上式，计算得=4，即3x1x2+5（x1+x2）+3=0，所以3k2﹣10k+3=0，解得k=3或k=，因为=2，x1，x2∈（﹣1，1），所以y1，y2异号，故舍去k=，所以k=3．故选：B．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，同时考查直线的斜率公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．二、填空题（2013台江区校级二模）为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见表（单位：人）．则x= 1 ，y= 3 ；高校相关人数抽取人数A 18 xB 36 2C 54 y若从高校B，C抽取的人中选2人作专题发言，则这2人都来自高校C的概率= ．【考点】频率分布表．【专题】概率与统计．【分析】由已知得，由此能求出x=1，y=3，从高校B，C抽取的人中选2人作专题发言，基本事件总数n==10，这2人都来自高校C包含基本事件个数m==3，由此能求出这2人都来自高校C的概率．【解答】解：由已知得，解得x=1，y=3，从高校B，C抽取的人中选2人作专题发言，基本事件总数n==10，这2人都来自高校C包含基本事件个数m==3，∴这2人都来自高校C的概率：p=．故答案为：1，3，．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布列的合理运用．14．口袋里放有大小相同的2个红球和1个白球，有放回的每次摸取一个球，定义数列{a n}：a n=，如果S n为数列{a n}的前n项之和，那么S7=3的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】S7=3说明共摸球七次，只有两次摸到红球，由于每次摸球的结果数之间没有影响，故可以用独立事件的概率乘法公式求解．【解答】解：由题意S7=3说明共摸球七次，只有两次摸到红球，因为每次摸球的结果数之间没有影响，摸到红球的概率是，摸到白球的概率是，所以只有两次摸到红球的概率是=．故答案为：．【点评】本题考查独立事件的概率乘法公式，考查学生分析解决问题的能力，确定S7=3说明共摸球七次，只有两次摸到红球是关键．15．俗话说：“三个臭皮匠顶个诸葛亮”．但由于臭皮匠太“臭”，三个往往还顶不了一个诸葛亮．已知诸葛亮单独解出某道奥数题的概率为0.8，每个臭皮匠单独解出该道奥数题的概率是0.3．试问，至少要几个臭皮匠能顶个诸葛亮？ 5 ．【考点】互斥事件的概率加法公式．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】分别计算，3，4，5个臭皮匠都未解出的概率，再利用对立事件概率公式，即可求得结论．【解答】解：当有3个臭皮匠，解出该道奥数题的概率1﹣（1﹣0.3）3=0.657＜0.8，当有4个臭皮匠，解出该道奥数题的概率1﹣（1﹣0.3）4=0.7599＜0.8，当有5个臭皮匠，解出该道奥数题的概率1﹣（1﹣0.3）5=0.83193＞0.8，故至少要5个臭皮匠能顶个诸葛亮．故答案为：5．【点评】本题考查概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．16．设0＜a＜b，过两定点A（a，0）和B（b，0）分别引直线l和m，使之与抛物线y2=x有四个不同的交点，当这四点共圆时，这种直线l和m的交点P的轨迹为2x﹣（a+b）=0，（y≠0）．【考点】轨迹方程．【专题】综合题；整体思想；待定系数法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意设出l、m的方程，由圆系方程得到四点所共圆的方程，利用圆方程的特点得到直线l、m斜率的关系，消去参数，即可求得结论．【解答】解：如图，由题意可知，直线l和m的斜率存在且不为0，设l：y=k1（x﹣a），m：y=k2（x﹣b），即l：k1x﹣y﹣k1a=0，m：k2x﹣y﹣k2b=0，则两直线l、m可写为（k1x﹣y﹣k1a）（k2x﹣y﹣k2b）=0，由圆系方程可得，过两曲线（k1x﹣y﹣k1a）（k2x﹣y﹣k2b）=0与y2=x的交点的圆系方程为：（k1x﹣y﹣k1a）（k2x﹣y﹣k2b）+λ（y2﹣x）=0，即﹣（k1k2a+k1k2b+λ）x+（k1a+k2b）y+k1k2ab=0．由圆的方程可知，此方程中xy项必为0，故得k1=﹣k2，设k1=﹣k2=k≠0，于是l、m方程分别为y=k（x﹣a）与y=﹣k（x﹣b）．消去k，得2x﹣（a+b）=0，（y≠0）．∴所求轨迹方程为2x﹣（a+b）=0，（y≠0）．故答案为：2x﹣（a+b）=0，（y≠0）．【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查圆的方程，体现了整体运算思想方法，利用圆系是解题的关键，是中档题．三、解答题（共70分，共6题）17．已知P：2x2﹣9x+a＜0，q：且¬p是¬q的充分条件，求实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定．【专题】计算题．【分析】由q：，知q：2＜x＜3，由¬p是¬q的充分条件，知q⇒p，故设f（x）=2x2﹣9x+a，则，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵q：，∴q：2＜x＜3，∵¬p是¬q的充分条件，∴q⇒p，∵P：2x2﹣9x+a＜0，设f（x）=2x2﹣9x+a，∴，解得a≤9．【点评】本题考查必要条件、充分条件、充要条件的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．18．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．分数段[50，60） [60，70） [70，80） [80，90）x：y 1：1 2：1 3：4 4：5【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图；众数、中位数、平均数．【专题】概率与统计．【分析】（1）由频率分布直方图的性质可10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解方程即可得到a 的值；（2）由平均数加权公式可得平均数为55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05，计算出结果即得；（3）按表中所给的数据分别计算出数学成绩在分数段的人数，从总人数中减去这些段内的人数即可得出数学成绩在[50，90）之外的人数．【解答】解：（1）依题意得，10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解得a=0.005；（2）这100名学生语文成绩的平均分为：55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73（分）；（3）数学成绩在[50，60）的人数为：100×0.05=5，数学成绩在[60，70）的人数为：，数学成绩在[70，80）的人数为：，数学成绩在[80，90）的人数为：，所以数学成绩在[50，90）之外的人数为：100﹣5﹣20﹣40﹣25=10．【点评】本题考查频率分布估计总体分布，解题的关键是理解频率分布直方图，熟练掌握频率分布直方图的性质，且能根据所给的数据建立恰当的方程求解．19．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是0.5，0.6，0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求：（Ⅰ）该应聘者用方案一考试通过的概率；（Ⅱ）该应聘者用方案二考试通过的概率．【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【专题】计算题；应用题．【分析】（I）应聘者用方案一考试通过有四种情况，每种情况又需要分步进行，即两门通过，一门未通过，或三门均通过，分别根据三门指定课程考试及格的概率分别是0.5，0.6，0.9，求出四种情况的概率，再根据互斥事件概率加法公式，即可得到答案．（II）应聘者用方案二考试通过，也包含三种情况，即选中两课均通过，每种情况又需要分步进行，即先选中，再逐门通过，求出三种情况的概率，再根据互斥事件概率加法公式，即可得到答案．【解答】解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B，C，则P（A）=0.5，P（B）=0.6，P（C）=0.9．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅰ）应聘者用方案一考试通过的概率p1=P（AB）+P（BC）+P（A C）+P（ABC）=0.5×0.6×0.1+0.5×0.6×0.9+0.5×0.4×0.9+0.5×0.6×0.9=0.03+0.27+0.18+0.27=0.75．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）应聘者用方案二考试通过的概率p2=P（AB）+P（BC）+P（AC）=×（0.5×0.6+0.6×0.9+0.5×0.9）=×1.29=0.43﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，解答相互独立事件的概率时，分清是分类事件还是分步事件，分几类，分几步，以选择对应的加法、乘法公式是解答此类问题的关键．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．【考点】二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz．（1）所求值即为平面PAB的一个法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可；（2）利用换元法可得cos2＜，＞≤，结合函数y=cosx在（0，）上的单调性，计算即得结论．【解答】解：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz如图，由题可知B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．（1）∵AD⊥平面PAB，∴ =（0，2，0），是平面PAB的一个法向量，∵=（1，1，﹣2），=（0，2，﹣2），设平面PCD的法向量为=（x，y，z），由，得，取y=1，得=（1，1，1），∴cos＜，＞==，∴平面PAB 与平面PCD 所成两面角的余弦值为；（2）∵=（﹣1，0，2），设=λ=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），又=（0，﹣1，0），则=+=（﹣λ，﹣1，2λ），又=（0，﹣2，2），从而cos ＜，＞==，设1+2λ=t ，t ∈[1，3]，则cos 2＜，＞==≤，当且仅当t=，即λ=时，|cos ＜，＞|的最大值为，因为y=cosx 在（0，）上是减函数，此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值．又∵BP==，∴BQ=BP=．【点评】本题考查求二面角的三角函数值，考查用空间向量解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．21．已知圆C 1：x 2+y 2+6x ﹣4=0，圆C 2：x 2+y 2+6y ﹣28=0．（1）求过这两个圆交点的直线方程；（2）求过这两个圆交点并且圆心在直线x ﹣y ﹣4=0上的圆的方程．【考点】直线与圆的位置关系；圆的一般方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）两圆相减，得到过这两个圆交点的直线方程．（2）两圆联立方程组，求出两点的交点A，B，从而得到AB的中垂线方程，进而能求出圆心C的坐标和圆半径，由此能求出所求圆的方程．【解答】解：（1）∵圆C1：x2+y2+6x﹣4=0，圆C2：x2+y2+6y﹣28=0，∴两圆相减，得到过这两个圆交点的直线方程为：6x﹣6y+24=0，即x﹣y+4=0．（2）两圆交点为A，B，解方程组，得或，∴A（﹣1，3），B（﹣6，﹣2），∴AB的中垂线方程为x+y+3=0．由，解得x=，y=﹣，所求圆心C的坐标是（，﹣）．圆半径|CA|==，∴所求圆的方程为（x﹣）2+（y+）2=，即x2+y2﹣x+7y﹣32=0．【点评】本题考查过两个圆的交点的直线方程的求法，考查满足条件的圆的方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．22．已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中a2=b2+c2，a＞0，b＞c＞0．如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”与x，y轴的交点，（1）若三角形F0F1F2是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；（2）若|A1A|＞|B1B|，求的取值范围；（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦．是否存在实数k，使得斜率为k的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有k的值；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）因为，所以，由此可知“果圆”方程为，．（2）由题意，得，所以a2﹣b2＞（2b﹣a）2，得．再由可知的取值范围．（3）设“果圆”C的方程为，．记平行弦的斜率为k．当k=0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．当k＞0时，以k为斜率过B1的直线l与半椭圆的交点是．由此，在直线l右侧，以k为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在某一椭圆上．当k＜0时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．【解答】解：（1）∵，∴，于是，所求“果圆”方程为，（2）由题意，得a+c＞2b，即．∵（2b）2＞b2+c2=a2，∴a2﹣b2＞（2b﹣a）2，得．又b2＞c2=a2﹣b2，∴．∴．（3）设“果圆”C的方程为，．记平行弦的斜率为k．当k=0时，直线y=t（﹣b≤t≤b）与半椭圆的交点是P，与半椭圆的交点是Q．∴P，Q的中点M（x，y）满足得．∵a＜2b，∴．综上所述，当k=0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．当k＞0时，以k为斜率过B1的直线l与半椭圆的交点是。

湖北省武汉外国语学校2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题

B． S5 S6
C． S9 , S18 S9 , S27 S18 成等比数列
D．Si i 1, 2,,999 中数值不同的有 995
个
7．已知 a,b R, ab 0 ，函数 f x ax2 b(x R) ．若 f (s t), f (s), f (s t) 依次成等
比数列，则平面 Oxy 上的点 s,t 的轨迹是（）
B．若 MP 2 2 ，则动点 P 的轨迹长度为 3
试卷第 2页，共 4页
C．若 MBP MBD1 ，则动点 P 的轨迹为双曲线的一部分
D．以 △BCB1 的一边 B1C 所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周，在旋转过程中，
三棱锥
B
ACD1
体积的取值范围为
4 3
2
2 3
,
4 3
2
2 3
三、填空题
13．已知函数
f
(x)
1 2
x2
2
，则函数在
(1,
3) 2
处的切线方程为
．
14．动点 M (x, y) 与定点 F (4, 0) 的距离和 M 到定直线 l ：x 25 的距离的比是常数 4 ，则
4
5
动点 M 的轨迹方程是
.
15．已知数列an 中，a1
4 ，an1
an an
1, n为奇数 3, n为偶数
D． 2, 1, 2
2．函数
f (x) 是定义在 R
上的可导函数，若 lim x0
f
(x0 +x) f x
( x0
2x)
1，则
f (x0 )=（
）
A．2
B．3
C． 1 3
D． 3

湖北省武汉外国语学校高二上学期期末考试(数学理)缺答案.doc

湖北省武汉外国语学校高二上学期期末考试（数学理）限时：1 满分：150分命题人：高二数学组A 卷一．选择题（每小题5分，共50分）1. 方程22(2)(2)0x y -++=表示的曲线是（）A 圆B 两条直线C 一个点D 两个点2. 为研究两个变量y 与x 的相关关系，选择了4个不同的回归模型，其中拟合效果最好的模型是（）A 相关指数2R 为0.86的模型1B 相关指数2R 为0.96的模型2C 相关指数2R 为0.73的模型3D 相关指数2R 为0.66的模型43. 甲、乙两人在相同条件下进行射击，甲射中目标的概率为1P ，乙射中目标的概率为2P ，两人各射击1次，那么至少1人射中目标的概率为（） A 21P P + B 21P P ⋅C 211P P -D )1)(1(121P P ---4. 设n xx )15(-的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若56M N -=，则展开式中常数项为（） A 15- B 15 C 10 D 10-5. 五项不同的工程，由三个工程队全部承包下来，每队至少承包一项工程．则不同的承包方案有（）A 30B 60C 150D 180 6. “0m n >>”是“方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件7. 随机变量ξ的分布列为(),1,2,3,4(1)cP k k k k ξ===+，其中c 为常数，则(2)P ξ≥=（）A 32B54C83D658. 已知12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，过2F 的直线交作椭圆于,A B 两点，若1AF B∆的周长为16，椭圆的离心率2e =，则椭圆的方程是（） A 22143x y += B221163x y += C2211612x y += D221164x y +=9. 若AB 是过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中心的一条弦，M 是椭圆上任意一点，且,AM BM 与坐标轴不平行，,AM BM k k 分别表示直线,AM BM 的斜率，则AM BM k k ⋅=（）A 22c a-B 22b a-C 22c b-D 22a b-10. 设12,F F 是椭圆22194x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，若12PF F ∆是直角三角形，且12PF PF >，则12PF PF 的值为（）A 2 B72C54D 2或72二．解答题（共50分）11. （本小题12分）已知:p 函数21y x mx =++在(1,)-+∞上单调递增；:q 不等式244(2)10x m x +-+>恒成立．若p q ∨为真，p q ∧为假，求m 的取值范围．12. （本小题12分）甲、乙两名教师进行乒乓球比赛，采用七局四胜制（先胜四局者获胜）.若每一局比赛甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13. 现已赛完两局，乙暂时以2:0领先.⑴求甲获得这次比赛胜利的概率；⑵设比赛结束时比赛的总局数为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望()E ξ.13. （本小题12分）某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系，随机抽取了180名员工进行调查，所得数据如下表所示（1）估计员工积极支持企业改革人数的比例；（2）能否有99.9%的把握说员工对待企业改革的态度与工作积极性有关？（3）根据（2）的结论能否提出更好的调查方法来估计该企业中赞成改革的员工的比例？说明理由. 附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++14. （本小题14分）椭圆221ax by +=与直线10x y +-=相交于,A B 两点，C 是AB 的中点，若AB OC =的斜率为2，求椭圆的方程． B 卷一．填空题（每小题5分，共30分）1．已知随机变量2(0,)N ξσ，已知(2)0.023P ξ>=，则(2)P ξ≤=__________.2．设随机变量(2,),(3,)XB p Y B p .若7(1)16P X ≥=，则(2)P Y ==________. 3．在下列说法中：① 命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”； ② 命题“若0>m ，则02=-+m x x 有实数根”的逆否命题是假命题；③ 已知命题0:1p x ∃>，使200230x x --=，则p ⌝为：21,230x x x ∀>--≠；④ 不等式()(1)0x a x ++<成立的一个充分不必要条件是21x -<<-，则实数a 的取值范围是2a ≥ 不正确．．．的是____________.（填上你认为不正确．．．的所有序号）4．若直线1y kx =+与曲线x =k 的取值范围是______________.5．已知函数1,()()0,()x a f x x a ≥⎧=⎨<⎩，函数2()1g x x x =-+，则函数()()()h x g x f x =-有两个零点的充要条件是_________________．6. 已知2()2,()2f x x x g x mx =-=+，对10[1,2],[1,2]x x ∀∈-∃∈-，使10()()g x f x =，则m 的取值范围是____________.二．解答题（共7. （本小题10分）袋中装有大小相同的黑球、白球和红球共10个．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是52；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79．⑴求袋中各色球的个数；⑵从袋中任意摸出3个球，记得到的白球个数为ξ，求随机变量ξ的分布列及()E ξ和()D ξ； ⑶若,()11,()21a b E D ηξηη=+==，试求,a b 的值．8. （本小题10分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为1(1,0)F -．⑴求椭圆的标准方程；⑵设过点F 且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 的横坐标的取值范围．。

湖北省外国语学校2021学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)

湖北省恩施州清江外国语学校2021学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）考试时间：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{|0},{|12}A x x B x x =>=-≤≤则A B =A. {|1}x x ≥-B. {|2}x x ≤C. {|02}x x <≤D. {|12}x x -≤≤【答案】A 【解析】【分析】直接利用并集的定义可得解.【详解】集合{|0},{|12}A x x B x x =>=-≤≤，所以A B ={|1}x x ≥-.故选A .【点睛】本题主要考查了集合的并集的运算，属于基础题. 2. 已知()()1,2,,2a b m ==-，若a b ⊥，则m 的值为（） A. 4-B. 1-C. 2D. 4【答案】D 【解析】【分析】由向量垂直的坐标运算即可得解. 【详解】解:因()()1,2,,2a b m ==-,又a b ⊥,所以12(2)0m ⨯+⨯-=, 即4m =, 故选:D.【点睛】本题考查了向量数量积的运算，重点考查了向量垂直的坐标运算，属基础题. 3. 某单位职工老年人有30人，中年人有50人，青年人有20人，为了了解职工的建康状况，用分层抽样的方法从中抽取10人进行体检，则应抽查的老年人的人数为（） A. 3 B. 5C. 2D. 1【答案】A 【解析】【分析】先由题意确定抽样比，进而可求出结果.【详解】由题意该单位共有职工305020100++=人，用分层抽样的方法从中抽取10人进行体检，抽样比为10110010=，所以应抽查的老年人的人数为130310⨯=. 故选A【点睛】本题主要考查分层抽样，会由题意求抽样比即可，属于基础题型. 4. 设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A. 若//l α，//l β，则//αβ B. 若l α⊥，l β⊥，则//αβ C. 若l α⊥，//l β，则//αβ D. 若αβ⊥，//l α，则l β⊥【答案】B 【解析】A 中，,αβ也可能相交；B 中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；C 中，,αβ也可能相交；D 中，l 也可能在平面β内. 【考点定位】点线面的位置关系 5.函数())cos()2f x x x ππ=-+-的单调增区间为（）A. 5[2,2],66k k k Z ππππ-++∈ B. 2[2,2],33k k k Z ππππ-++∈C. 5[2,2],66k k k Z ππππ-++∈ D. 2[2,2],33k k k Z ππππ-++∈ 【答案】D 【解析】【分析】利用诱导公式和辅助角公式化简())cos()2f x x x ππ=-+-2sin()6x π=-，令22262k x k πππππ-+≤-≤+，即得解.【详解】())cos()2f x x x ππ=-+-cos x x =-2sin()6x π=-令22262k x k πππππ-+≤-≤+解得：22233k x k ππππ-+≤≤+ 所以函数()f x 的单调递增区间为：2[2,2],33k k k Z ππππ-++∈ 故选：D【点睛】本题考查了三角函数综合，考查了诱导公式，辅助角公式，和正弦型函数的单调性，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 6. 若0,0ab bc ><，则直线0ax by c 一定不过（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C 【解析】【分析】将直线化简为斜截式，可得斜率和截距的正负，判断出直线经过的象限，可得结果.【详解】由题，直线化简为：a c y x b b=-- 因为0,0ab bc ><，所以0,0a cb b-<->所以直线过第一、二、四象限故选C【点睛】本题考查了直线的方程，求得斜率和截距的正负是解题的关键，属于较为基础题.7. 圆22(4)9x y -+=和圆22(3)4x y +-=的公切线有（） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条【答案】C 【解析】【分析】求出两圆的圆心和半径，根据两圆的圆心距小于半径之和，可得两圆相交，由此可得两圆的公切线的条数．【详解】解答：圆22(4)9x y -+=,表示以()4,0为圆心，半径等于3的圆．圆22(3)4x y +-=,表示以()0,3为圆心，半径等于2的圆．两圆的圆心距等于2243523+==+，两圆相外切，故两圆的公切线的条数为3. 故选C.【点睛】本题主要考察公切线条数的确定，解题的关键是要确定两圆的位置关系，属于基础题.8. 函数3()2xy x x =-的图像大致是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】试题分析：由，得，则为奇函数，故其图象关于原点对称，排除C ；当时，，，故，故排除A 、D ，故选B.考点：函数的图象.9. 已知函数()y f x =在区间(,0)-∞内单调递增，且()()f x f x -=，若12log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1.22b f -=，12c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A. a c b >>B. b c a >>C. b a c >>D. a b c >>【答案】B 【解析】【分析】由偶函数的性质可得出函数()y f x =在区间(0,)+∞上为减函数，由对数的性质可得出12log 30<由偶函数的性质得出()2log 3a f =，比较出2log 3、 1.22-、12的大小关系，再利用函数()y f x =在区间(0,)+∞上的单调性可得出,,a b c 的大小关系. 【详解】()()f x f x -=，则函数()y f x =为偶函数，∵函数()y f x =在区间(,0)-∞内单调递增，在该函数在区间(0,)+∞上为减函数，1122log 3log 10<=，由换底公式得122log 3log 3=-，由函数的性质可得()2log 3a f =，对数函数2log y x =在(0,)+∞上为增函数，则22log 3log 21>=，指数函数2xy =为增函数，则 1.2100222--<<<，即 1.210212-<<<， 1.22102log 32-∴<<<，因此，b c a >>. 故选：B ．【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小关系，同时也考查了利用中间值法比较指数式和代数式的大小关系，涉及指数函数与对数函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.10. 如图，矩形ABCD 中，4,2AB BC ==，E 为边AB 的中点，沿DE 将ADE ∆折起，点A 折至1A 处（1A ∉平面ABCD ），若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆折起过程中，下列说法错误的是（）A. 始终有MB //平面1A DEB. 不存在某个位置，使得1A C ⊥平面1A DEC. 三棱锥1A ADE -22D. 一定存在某个位置，使得异面直线BM 与1A E 所成角为30 【答案】D 【解析】【分析】利用翻折前后的不变量、结合反证法，可证A ，B ，C 正确，从而利用排除法得到正确选项。

湖北省武汉外国语学校2017-2018学年高二上学期期末数学(理)试题

武汉外国语学校2017—2018学年度上学期期末考试高二数学试题（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣2，则抛物线的方程是（）A.y 2=﹣8xB.y 2=8xC.y 2=﹣4xD.y 2=4x2.若R k ∈，则“3k >”是“方程22133x y k k -=-+表示双曲线”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.从一批产品中取出三件产品，设A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”，C=“三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是（）A.A 与C 互斥 B.任何两个均互斥C.B 与C 互斥D.任何两个均不互斥4.从2004名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2004人中剔除4人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的概率()A.不全相等B.均不相等C.都相等，且为251002D.都相等，且为1405.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A.3- B.32-C.3D.326.(2018·安徽淮南一模)《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作．书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则豆子落在其内切圆内的概率是()A.320π B.20πC.310π D.10π7.甲、乙两位歌手在“中国好声音”选拔赛中,5位评委评分情况如茎叶图所示,记甲、乙两人的平均得分分别为x x 甲乙、,则下列判断正确的是()A.x x <甲乙,甲比乙成绩稳定B.x x <甲乙,乙比甲成绩稳定C.x x >甲乙,甲比乙成绩稳定D.x x >甲乙,乙比甲成绩稳定8.四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（）．A.14B.716C.12D.9169.在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆()222210x y a b a b+=＞＞的一个焦点，直线2b y =与椭圆交于B ，C 两点，0FB FC ⋅=，则椭圆的离心率为（）A.32B.33C.66D.6310.与正方体ABCD—A 1B 1C 1D 1的三条棱AB 、CC 1、A 1D 1所在直线的距离相等的点()A.有且只有1个 B.有且只有2个C.有且只有3个D.有无数个11.过抛物线y 2＝x 上一点A （4，2）作倾斜角互补的两条直线AB ，AC 交抛物线于B ，C 两点，则直线BC 的斜率为（）A.14 B.14-C.12D.12-12.设双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b >>）的左右焦点分别为12,F F ，以12,F F 为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P ，若以1OF （O 为坐标原点）为直径的圆与2PF 相切，则双曲线C 的离心率为（）A.2B.3624-+ C.3D.3627+二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知某一段公路限速60公里/小时，现抽取200辆通过这一段公路的汽车的时速，其频率分布直方图如图所示，则这200辆汽车中在该路段没有超速的有辆．14.将4034与10085的最大公约数化成五进制数，结果为________.15.在△ABC 中，()0AB CA CB ⋅+= ，点H 在线段BC 上，0AH BC ⋅= ，33cosB =，则过点C ，以A 、H 为两焦点的双曲线的离心率为_____16.如图所示，已知抛物线y 2＝82x 的焦点为F ，直线l 过点F 且依次交抛物线及圆22(22)x y -+=2于A ，B ，C ，D 四点，则|AB |+4|CD |的最小值为_____．三、解答题（6小题，共70分）17.设不等式组0606x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的区域为A ，不等式组060x x y ≤≤⎧⎨-≥⎩表示的区域为B ．（1）在区域A 中任取一点（x ，y ），求点（x ，y ）∈B 的概率；（2）若x 、y 分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数，求点（x ，y ）在区域B 中的概率．18.已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1，F 2为左、右焦点，且|MF 1|＋|MF 2|＝63，试判别△MF 1F 2的形状．19.某校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格．（1）求出第4组的频率，并补全频率分布直方图；（2）根据样本频率分布直方图估计样本的中位数与平均数；（3）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中共选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？20.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PB⊥BC，PD⊥DC，且PC3=．（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）求异面直线AC与PD所成角的余弦值；（3）求二面角B﹣PD﹣C的余弦值．21.已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1（1）求曲线C的方程.（2）是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有?若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由.22.平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：2222x ya b+=1（a＞b＞0）的离心率为12，左右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心,以3为半径的圆与以F2为圆心,以1为半径的圆相交，且交点M在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆E：222244x ya b+=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y＝kx+m交椭圆E于A，B两点．射线PO交椭圆E于点Q．（i）求OQOP的值，（ii）求△ABQ面积的最大值．。

人教版2010-2011学年高二上学期期末考试(数学理)

2010-2011学年度第一学期高二年级期末模块检测考试第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．数列0，-1，0，1，0，-1，0，1，…的一个通项公式是( )A.21)1(+-n B.cos 2πnC.cos2)1(π+n D.cos 2)2(π+n 2．已知不等式250ax x b -+>的解集为{|32}x x -<<,则不等式250bx x a -+> 的解集为( ) A ．11{|}32x x -<< B ．11{|}32x x x <->或 C ．{|32}x x -<< D ．{|32}x x x <->或 3. 设a R ∈，则1a >是11a< 的（） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4. 已知△ABC 的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0，4)，则顶点A 的轨迹方程是（）A ．1203622=+y x （x ≠0） B ．1362022=+y x （x ≠0） C ．120622=+y x （x ≠0） D ．162022=+y x （x ≠0） 5．空间直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1，0），B （-1，3，0），若点C 满足=α+β，其中α，β∈R ，α+β=1，则点C 的轨迹为（） A ．平面 B ．直线 C ．圆 D ．线段6．在ABC ∆中,8,60,75a B C ︒︒===,则b =( )A．．． D ．3237．在等比数列1129119753,243,}{a a a a a a a a n 则若中=的值为（） A ．9 B ．1 C ．2 D ．3 8．给出平面区域如图所示，其中A （1，1），B （2，5），C （4，3），若使目标函数(0)Z ax y a =->取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值是 A ．32B ． 1C ． 4D ． 239．在ABC ∆中,若cos 4cos 3A bB a ==,则ABC ∆是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰或直角三角形D ．钝角三角形10．等差数列{}n a 的前m 项和为30,前2m 项和为100,则它的前3m 项和是( ) A ．130 B ．170 C ．210 D ．26012．四棱柱1111ABCD A BC D -的底面ABCD 为矩形，AB ＝1，AD ＝2，13AA =，1160A AB A AD ∠=∠=︒，则1AC 的长为( )A ．． 23 C ． D ．322009—2010学年度第一学期高中二年级期末模块检测考试第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：(本大题共4 个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上。

湖北武汉二中10-11学年高二数学上学期期末考试理【会员独享】

C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6. 是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则的最大值是( )
A．4B．5C．2D．1
7.将参加夏令营的720名学生编号为：001，002···720，采用系统抽样方法抽取一个容量为60的样本，且随机抽得的第一个号码为004.又这720名学生分住在三个营区，从001到360在第I营区，从361到640在第II营区，从641到720在第Ⅲ营区，则三个营区被抽中的人数依次为( )
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元. 表示经销一件该商品的利润.
(1)求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；
(2)求的分布列及期望E ；
18.(本小题满分12分)在每年的春节后，某市政府都会发
动公务员参与到植树绿化活动中去.林业管理部门在植树前，
为了保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测.现从
甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗，量出它们的高度如
下(单位：厘米)：
甲：37，21，31, 20, 29, 19, 32, 23, 25, 33；
乙：10, 30, 47, 27, 46, 14, 26, 10, 44, 46.
(3)完成下面2×2列联表，并回答能否有99.5%的把握认为“施用新化肥和不施用新化肥的小麦产量有差异”
表3：
小麦产量小于20kg
小麦产量不小于20kg
合计
施用新化肥
=
不施用新化肥
合计
附：
0.050 0.010 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
21. (本小题满分14分)已知直线经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点P是椭圆C上位于轴上方的动点，直线AP，BP与直线分别交于M，N两点.

2022-2023学年湖北省武汉外国语学校高二年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年湖北省武汉外国语学校高二上学期期末数学试题一、单选题1．抛物线24y x =的焦点到准线的距离为（） A ．116B ．18C ．1D ．2【答案】B【分析】根据抛物线的标准方程进行求解即可.【详解】由24y x =，可得214x y =，所以18p =，即焦点到准线的距离是18. 故选：B.2．若方程22216x y a a +=+表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数a 的取值范围是（）A ．3a >B ．2a <-C ．3a >或2a <-D ．20a -<<或0<<3a【答案】D【分析】根据椭圆焦点在y 轴上,可得226,0a a a +<≠,解出范围即可. 【详解】解:由题知22216x y a a +=+表示焦点在y 轴上的椭圆, 则有: 2260a a a ⎧<+⎨≠⎩, 解得:20a -<<或0<<3a . 故选:D3．已知直线1:(2)310l m x y ---=与直线2:(2)10l mx m y +++=相互平行，则实数m 的值是（） A ．4- B ．1C ．1-D ．6【答案】A【分析】根据直线平行则它们的法向量也互相平行可解，需要验算. 【详解】()11:(2)310,2,3l m x y n m ---=∴=--，()22:(2)10,,2,l mx m y n m m +++=∴=+ ()()12//,223,n n m m m ∴-+=-解之：4,1m =-经检验4m =- 故选：A.4．在正方体中，E 、F 、G 、H 分别是该点所在棱的中点，则下列图形中E 、F 、G 、H 四点共面的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】对于B ，证明//EH FG 即可；而对于BCD ，首先通过辅助线找到其中三点所在的平面，然后说明另外一点不在该平面中即可.【详解】对于选项A ，如下图，点E 、F 、H 、M 确定一个平面，该平面与底面交于FM ，而点G 不在平面EHMF 上，故E 、F 、G 、H 四点不共面；对于选项B ，连结底面对角线AC ，由中位线定理得//FG AC ，又//EH AC ，则//EH FG ，故E 、F 、G 、H 四点共面对于选项C ，显然E 、F 、H 所确定的平面为正方体的底面，而点G 不在该平面内，故E 、F 、G 、H 四点不共面；对于选项D ，如图，取部分棱的中点，顺次连接，得一个正六边形，即点E 、G 、H 确定的平面，该平面与正方体正面的交线为PQ ，而点F 不在直线PQ 上，故E 、F 、G 、H 四点不共面．故选：B5．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 为棱AB 的中点，则点A 到平面1EB C 的距离为（） A ．63B ．34C ．66D ．55【答案】A【分析】利用等体积法结合条件即得.【详解】由于E 是AB 的中点，所以A 到平面1EB C 的距离等于B 到平面1EB C 的距离，设这个距离为h ，由题可知2211215,22B E CE B C =+== 所以()()1221225262B CES =⨯-△由于11B BCE B B CE V V --=，所以1111226323h ⎛⎫⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以6h =. 故选：A6．设等比数列{}n a 中，1232a a a ++=，4564a a a ++=，则101112a a a ++=（） A ．16 B ．32 C ．12 D ．18【答案】A【分析】利用等比数列的性质求出公比，代入计算即可. 【详解】由题，3456123422a a a q a a a ++===++则933101112123()2()16a a a a a a q q ++=++=⨯=故选：A.7．若数列{}n a 是等差数列，首项10a >，公差()2023202220230,0d a a a <+<，则使数列{}n a 的前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是（）A ．4043B ．4044C ．4045D ．4046【答案】B【分析】根据等差数列的单调性，结合等差数列前n 项和公式及等差数列的性质进行求解即可. 【详解】因为{}n a 是等差数列，首项10a >，公差0d <，所以{}n a 是递减数列，又因为()2023202220230a a a +<，所以2022202320222023202220230,0,,0a a a a a a ><>+>，所以()14045404520234045404502a a a S +==<，()()1404420222023404440244024022a a a a S ++==>，所以使数列{}n a 的前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是4044. 故选：B.8．已知中心在坐标原点的椭圆C 1与双曲线C 2有公共焦点，且左，右焦点分别为F 1，F 2，C 1与C 2在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若|PF 1|＝10，C 1与C 2的离心率分别为e 1，e 2，则122e e +的取值范围是（）A ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭B ．5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．5,6⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】设椭圆和双曲线的半焦距为c ，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，()m n >，由条件可得m ＝10，n ＝2c ，再由椭圆和双曲线的定义可得()125,55a c a c c =+=-<，运用三角形的三边关系求得c 的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围．【详解】设椭圆和双曲线的半焦距为c ，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，()m n >，由于△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若|PF 1|＝10，则有m ＝10，n ＝2c ，由椭圆的定义可得12m n a +=，由双曲线的定义可得22m n a -=，即有()125,55a c a c c =+=-<，再由三角形的两边之和大于第三边，可得2210c c +>，可得52c >，即有552c <<，由离心率公式可得()12122510225525555c c c c c c e e a a c c c c +--++=+=+=-+-+-105211155555c c c c ⎛⎫=--=-+ ⎪+-+-⎝⎭，因为552c <<，所以155102c <+<，5502c -<-<，则11210515c <<+，1255c <--，故2125515c c +<-+-，2125553c c ⎛⎫-+> ⎪+-⎝⎭，则21515553c c ⎛⎫-+> ⎪+-⎝⎭，即12325e e +>，故122e e +的取值范围是5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故选：B ．二、多选题9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，下列说法正确的是（） A ．若2b ac =，则,,a b c 成等比数列B ．若{}n a 为等差数列，则{}2n a为等比数列C ．若21n S n =+，则数列{}n a 为等差数列D ．若31nn S =-，则数列{}n a 为等比数列【答案】BD【分析】根据等比数列的概念可判断AB ，利用n a 与n S 的关系结合等差数列等比数列的定义可判断CD.【详解】对于A ，当0a b c ===时，2b ac =，而,,a b c 不是等比数列，故A 错误；对于B ，若{}n a 为等差数列，设公差为d ，则1122202n n n n a a a d a ++-==>，所以{}2n a为等比数列，故B 正确；对于C ，由21n S n =+，可得1232,3,5a a a ===，2132a a a ≠，所以{}n a 不是等差数列，故C 错误；对于D ，由31nn S =-，当1n =时，12a =，当2n ≥时，1113323n n n n n n a S S ---=-=-=⋅，此时12a =，所以123n n a -=⋅，13n na a +=，{}n a 为等比数列，故D 正确. 故选：BD.10．已知圆221:230O x y x +--=和圆222:210O x y y +--=交于,A B 两点，则（） A ．两圆的圆心距122OO = B ．直线AB 的方程为10x y -+= C．AB D ．圆1O 上的点到直线AB的最大距离为2+【答案】BD【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，由两点间距离公式可求得圆心距，知A 错误；两圆方程作差即可求得AB 方程，知B 正确；利用垂径定理可求得C 错误；利用圆上点到定直线距离最大值为圆心到直线距离加半径可求得D 正确.【详解】由圆1O 的方程知：圆心()11,0O，半径1122r =；由圆2O 的方程知：圆心()20,1O，半径212r =对于A，圆心距12O O =A 错误；对于B ，两圆方程作差可得直线AB 方程为：2220x y -+-=，即10x y -+=，B 正确；对于C ，圆心1O 到直线AB的距离d ==AB ∴=C 错误；对于D ，圆1O 上的点到直线AB的最大距离为12r d +=，D 正确. 故选：BD.11．动点(,)M x y 分别到两定点()()5,05,0-，连线的斜率的乘积为1625-，设(,)M x y 的轨迹为曲线C ，12,F F 分别为曲线C 的左、右焦点，则下列命题中正确的有（）A ．曲线C 的焦点坐标为()()12,,,0330F F -；B ．若1203F M F ∠=︒，则12F MF S =△；C ．12F MF △的内切圆的面积的面积的最大值为94π； D ．设()322A ，，则1MA MF +的最小值为152．【答案】ACD【分析】根据动点到两个定点连线斜率的乘积为定值可求得曲线的方程，可得到椭圆的焦点坐标，根据椭圆焦点三角形的面积公式可得焦点三角形面积，当焦点三角形内切圆半径最大时面积最大，根据动点在椭圆上方运动的特点可知半径变化是由小到大再变小，当动点在上顶点处内切圆半径最大，利用等面积法可求得内切圆半径；利用椭圆定义将动点到左焦点的距离转化为动点到右焦点的距离的差，当点M 在A 的上方时有最大值.【详解】由题意可知:165525y y x x ⋅=-+-化解得221,(5)2516x y x +=≠±， A 项：22225169c a b =-=-=，3c =，即曲线C 的焦点坐标为()()12,,,0330F F -，故A 项正确； B 项：先推导焦点三角形面积公式：在12MF F ∆中，设12F MF α∠=，11MF r =，22MF r =，由余弦定理得 222121212cos 2MF MF F F MF MF α+-=⋅2221212(2)2r r c r r +-=⋅22121212()242r r r r c r r +--=221212(2)242a r r c r r --=2212124()22a c r r r r --=212122b r r r r -=∴21212cos 2r r b r r α=-,即21221cos b r r α=+，∴12212112sin sin 221cos MF F b S r r ααα∆==⨯⨯+2sin 1cos bαα=+=2tan 2αb ．123016tan 2F F S =⋅。

湖北高二高中数学期末考试带答案解析

湖北高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知，其中i 为虚数单位，则a+b=( )A ．﹣1B ．1C ．2D ．32.把二进制数化为十进制数为（）A ．20B ．12C ．11D ．103.用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a 是实数，所以a 2＞0”，你认为这个推理( ) A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误 D ．是正确的4.在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于36cm 2与81cm 2之间的概率是（） A ．B ．C ．D ．5.已知回归直线斜率的估计值为1.23，样本点的中心为点 (4,5)，则回归直线的方程为( ) A ．y ＝1.23x ＋4 B ．y ＝1.23x ＋5 C ．y ＝1.23x ＋0.08 D ．y ＝0.08x ＋1.236.若z 1，z 2∈R ，则|z 1z 2|=|z 1||z 2|，某学生由此得出结论：若z 1，z 2∈C ，则|z 1z 2|=|z 1||z 2|，该学生的推理是( ) A ．演绎推理 B ．逻辑推理 C ．归纳推理 D ．类比推理7.设i 为虚数单位，则复数z=i （1﹣i ）对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限8.把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（） A ．对立事件 B ．不可能事件 C ．互斥事件但不是对立事件 D ．以上答案都不对9.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( )A ．2B ．4C ．8D ．1610.某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间481,720的人数为( ) A ．11 B ．12 C ．13 D ．1411.设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则，类比这个结论可知：四面体S —ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径为R ，四面体S —ABC 的体积为V ，则R 等于( ) A ． B ． C ．D ．12.如图，在圆心角为直角的扇形OAB 区域中，M 、N 分别为OA 、OB 的中点，在M 、N 两点处各有一个通信基站，其信号的覆盖范围分别为以OA 、OB 为直径的圆，在扇形OAB 内随机取一点，则此点无信号的概率是( )A ．1﹣B ．﹣C ．+D ．二、填空题1.将2014-2015学年高一9班参加社会实践编号分别为：1，2，3，…48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号，29号，41号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是．2.设五个数值31，38，34，35，x 的平均数是34，则这组数据的标准差是．3.甲、乙两名同学各自等可能地从数学、物理、化学、生物四个兴趣小组中选择一个小组参加活动，则他们选择相同小组的概率为4.从1=1，1﹣4=﹣（1+2），1﹣4+9=1+2+3，1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4），…，推广到第n 个等式为三、解答题1.（1）用辗转相除法求228与1995的最大公约数。

湖北省武汉外国语学校高二物理上学期精选试卷检测题

湖北省武汉外国语学校高二物理上学期精选试卷检测题一、第九章静电场及其应用选择题易错题培优（难）1．如图所示，y轴上固定有两个电荷量相等的带正电的点电荷，且关于坐标原点O对称。

某同学利用电场的叠加原理分析在两电荷连线的中垂线（x轴）上必定有两个场强最强的点A、'A，该同学在得到老师的肯定后又在此基础上作了下面的推论，你认为其中正确的是（）A．若两个点电荷的位置不变，但电荷量加倍，则x轴上场强最大的点仍然在A、'A两位置B．如图(1)，若保持两个点电荷的距离不变、并绕原点O旋转90°后对称的固定在z轴上，则x轴上场强最大的点仍然在A、'A两位置C．如图(2)，若在yoz平面内固定一个均匀带正电圆环，圆环的圆心在原点O。

直径与(1)图两点电荷距离相等，则x轴上场强最大的点仍然在A、'A两位置D．如图(3)，若在yoz平面内固定一个均匀带正电薄圆板，圆板的圆心在原点O，直径与(1)图两点电荷距离相等，则x轴上场强最大的点仍然在A、'A两位置【答案】ABC【解析】【分析】【详解】A．可以将每个点电荷（2q）看作放在同一位置的两个相同的点电荷（q），既然上下两个点电荷（q）的电场在x轴上场强最大的点仍然在A、A＇两位置，两组点电荷叠加起来的合电场在x轴上场强最大的点当然还是在A、A＇两位置，选项A正确；B．由对称性可知，保持两个点电荷的距离不变、并绕原点O旋转90°后对称的固定在z轴上，则x轴上场强最大的点仍然在A、'A两位置，选项B正确；C．由AB可知，在yOz平面内将两点电荷绕O点旋转到任意位置，或者将两点电荷电荷量任意增加同等倍数，在x轴上场强最大的点都在A、A＇两位置，那么把带电圆环等分成一些小段，则关于O点对称的任意两小段的合电场在x轴上场强最大的点仍然还在A、A＇两位置，所有这些小段对称叠加的结果，合电场在x轴上场强最大的点当然还在A、A＇两位置，选项C正确；D．如同C选项，将薄圆板相对O点对称的分割成一些小块，除了最外一圈上关于O点对称的小段间距还是和原来一样外，靠内的对称小块间距都小于原来的值，这些对称小块的合电场在x轴上场强最大的点就不再在A、A＇两位置，则整个圆板的合电场在x轴上场强最大的点当然也就不再在A、A＇两位置，选项D错误。

湖北省武汉外国语学校10-11学年高二上学期期末考试(数学文)

2010—2011学年度上学期高二年级期末考试数学试卷（文科）限时：120分钟满分：150分命题人：高二数学组A 卷一、选择题（每小题只有一个正确选项，把你认为正确的选项填在题后的括号内．每小题5分，共50分）1．复数21i+的实部与虚部之和为（）A 1-B 0C 1D 22．“2x>”是“2x≠”的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件3．命题:1p x∃>，使200230x x--=，则p⌝为（）A 21,230x x x∀>--= B 21,230x x x∀>--≠C 20001,230x x x∃≤--= D 20001,230x x x∃≤--≠4．双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的一个焦点到一条渐近线的距离为（）A aB bC c D2b5．已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左、右焦点分别为12,F F，线段12F F被点(,0)2b分成3:1的两段，则椭圆的离心率为（）A12B23C13D26．设复数z满足1z=，则2z-的最小值为（）A 1B 2C 3D 47．设12,F F是椭圆22194x y+=的两个焦点，P是椭圆上的点，若12PF F∆是直角三角形，且12PF PF>，则12PFPF的值为（）A 2 B72C54D 2或728．复数z满足11z i z i+++--=z在复平面内对应的点的轨迹是（）A 线段B 椭圆C 双曲线D 圆9．设P是曲线22:142x yC+=上的动点，O为坐标原点，则OP的中点M的轨迹方程为（）A 2222x y+= B 2222x y+= C 2221x y+= D 2221x y+=10．已知12,F F分别为双曲线2214yx-=的左、右焦点，P是双曲线上的动点，过1F作12F PF∠的平分线的垂线，垂足为H，则点H的轨迹为（）A 椭圆B 双曲线C 圆D 线段二、解答题（共50分）11．（本小题12分）已知函数()f x是R上的增函数，,a b R∈，证明：若()()()()f a f b f a f b+>-+-，则0a b+>．12．（本小题12分）已知:p函数21y x m x=++在(1,)-+∞上单调递增；:q不等式244(2)10x m x+-+>恒成立．若p q∨为真，p q∧为假，求m的取值范围．13．（本小题12分）已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左、右焦点分别为12,F F，P是椭圆上任意一点，求12PF PF⋅的最大值．14．（本小题14分）双曲线与椭圆有公共焦点12(0,5),(0,5)F F-，点(3,4)P是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求双曲线与椭圆的方程．B 卷一、填空题（每小题5分，共30分）1．直线2y kx k =-与双曲线22134x y -=有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是________． 2．点(1,1)P 平分椭圆22142x y +=的一条弦，则这条弦所在直线的方程为______________． 3．不等式()(1)0x a x ++<成立的一个充分不必要条件是21x -<<-，则实数a 的取值范围是________．4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的右支上，且123PF PF =，则双曲线的离心率e 的最大值为_________．5．已知函数1,()()0,()x a f x x a ≥⎧=⎨<⎩，函数2()1g x x x =-+，则函数()()()h x g x f x =-有两个零点的充要条件是_________________．二、解答题（共25分）6．（本小题12分）已知复数212(4)(),2cos (2sin )()z m m i m R z i R θλθλ=+-∈=++∈，若12z z =，试求λ的取值范围．7．（本小题13分）已知椭圆1C 的方程是2214x y +=，双曲线2C 的左、右焦点分别为1C 的左、右顶点，2C 的左、右顶点分别为1C 的左、右焦点．⑴求双曲线2C 的方程；⑵若直线:l y kx =2C 恒有两个不同的交点,A B ，且2OA OB ⋅>（O 为原点），求k 的取值范围；⑶设12,P P 分别是2C 的两条渐近线上的点，点M 在2C 上，且121()2OM OP OP =+，求12POP ∆的面积．13. 14.7.B卷得分＿＿＿一、填空题。

湖北省高二上学期期末数学试题(解析版)

一、单选题1．数列，，，，……的一个通项公式是（）1214-18116-n a =A ．B ．C ．D ．()12nn-()12nn-()112n n+-()112nn +-【答案】C【分析】结合数列前项的规律，归纳可得通项公式是．4n a 【详解】解：由已知数列，，，，…，1214-18116-∵数列所有的奇数项为正，偶数项为负，故可用或来表示各项的符号，()11n --()11n +-除了正负号以外的部分该数列的分子均为，分母为的次幂12故数列，，，，……的一个通项公式是． 1214-18116-()112n n n a +-=故选：C ．2．抛物线的焦点到准线的距离为（） 26x y =A ． B ．1 C ．2 D ．312【答案】D【分析】根据抛物线中p 的几何意义可求解．【详解】解：抛物线的焦点到准线的距离是， 26x y =3p =故选：D ．3．等差数列中，，则（） {}n a 79416,2a a a +==12a =A ．10 B ．14C ．15D ．30【答案】B【分析】利用等差数列的通项公式即可得出的值． 12a 【详解】解：设等差数列的公差为， {}n a d ∵，79416,2a a a +==∴，解得，．112141632a d a d +=⎧⎨+=⎩152=-a 32d =∴()()1533114222n a a n d n n =+-=-+-⨯=-则．123124142a =⨯-=故选：B ．4．若数列的前n 项和，则的通项公式是（） {}n a 213n n S a =+{}n a A ．B ．C ．D ．()12n n a -=-()132n n a -=⨯-()133n n a -=⨯-()12n n a +=-【答案】B【分析】令，解得，当时，，得数列的递推公式，根据等比数列的定1n =13a =2n ≥1n n n a S S -=-义，通项公式，即可得到所求．【详解】令，则，解得， 1n =11213a a =+13a =当时，， 2n ≥11213n n S a --=+则，即，， 112332n n n n n a S a a S --=-=-12n n a a -=-2n ≥所以数列是以3为首项，-2为公比的等比数列， {}n a 所以．()132n n a -=⨯-故选：B ．5．若直线与直线互相垂直，那么的值等于 210ax y ++=20x y +-=a A ．1 B ．C ．D ．13-23-2-【答案】D【分析】直接利用直线垂直的性质列方程求解即可.【详解】因为直线与直线互相垂直， 210ax y ++=20x y +-=所以， 12102a a ⨯+⨯=⇒=-故选：D.【点睛】对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）（1212||l l k k ⇔=）；（2）（），这类问题尽管简121211||0l l A B A B ⇔-=12121l l k k ⊥⇔⋅=-1212120l l A A B B ⊥⇔⋅+⋅=单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.6．在△ABC 中，AB=3，BC=4，∠ABC=120°，若把△ABC 绕直线AB 旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A ．11πB ．12πC ．13πD ．14π【答案】B【详解】试题分析：△ABC 绕直线AB 旋转一周，所形成的几何体是两个底面半径均为以C 到AB 的距离CO 为半径，高之差为AB 的圆锥的组合体，代入圆锥体积公式，可得答案．解：△ABC 绕直线AB 旋转一周，所形成的几何体是：两个底面半径均为以C 到AB 的距离CO 为半径，高之差为AB 的圆锥的组合体，∵BC=4，∠ABC=120°， ∴CO=2，∴几何体的体积V==12π，故选B【解析】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．7．两个等差数列和，其前项和分别为，，且，则等于（） {}n a {}n b n n S n T 323n n S n T n +=+220715a ab b ++A ．B ．C ．D ．942524652414924【答案】C【分析】由已知，根据等差数列的通项性质以及前项和公式，把转化为求解即可．n 220715a a b b ++2121S T 【详解】解：由等差数列的性质可得，．()()121220121217151212112121321265221213242a a a a a a Sb b b b T b b +++⨯+=====++++故选：C ．8．已知F 是双曲线﹣＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点，A ，B 分别为其左、右顶点.O 为坐标原22x a 22y b点，D 为其上一点，DF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段DF 交于点E ，与y 轴交于点M ，直线BE 与y 轴交于点N ，若3|OM |＝2|ON |，则双曲线的离心率为（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】C【分析】设，，，，则直线，直线(),0A a -()0,2M m (),0B a ()0,3N m -2:2mAM y x m a=+，据两条直线的交点为点，建立等量关系，求双曲线的离心率. 3:3mBN y x m a=-E 【详解】如图，设，，，, (),0A a -()0,2M m (),0B a ()0,3N m -则直线，直线． 2:2m AM y x m a=+3:3mBN y x m a =-直线，的交点AM BN (),E c y ，则， 2323mc mcm m a a ∴+=-5c a=双曲线的离心率为.∴5故选：C【点睛】本题考查双曲线的离心率，重点考查转化思想，属于重点题型.二、多选题9．已知是互不重合的直线，是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是（） ,m n ,αβA ．若，，，则 B ．若，，则 //m α//m βn αβ= //m n //m n n ⊂α//m αC ．若，，，则 D ．若，，，则m α⊥n β⊥m n ⊥αβ⊥m α⊥m n ⊥//αβ//n β【答案】AC【分析】根据直线与平面，平面与平面的位置关系，逐项判断即可.【详解】解：是互不重合的直线，是互不重合的平面，,m n ,αβ对于A ，若，，，则由线面平行的性质得，故A 正确； //m α//m βn αβ= //m n 对于B ，若，，则或，故B 错误；//m n n ⊂α//m αm α⊂对于C ，若，，，则由线面垂直的性质和面面垂直的判定定理得，故C 正m α⊥n β⊥m n ⊥αβ⊥确；对于D ，若，，，则或，故D 错误． m α⊥m n ⊥//αβ//n βn β⊂故选：AC ．10．设{an }是等差数列，Sn 为其前n 项和，且S 7＜S 8，S 8＝S 9＞S 10，则下列结论正确的是（） A ．d ＜0 B ．a 9＝0C ．S 11＞S 7D ．S 8、S 9均为Sn 的最大值【答案】ABD【分析】由题意可得数列的前8项为正数，第9项为0，从第10项开始为负数，各个选项验证可得答案．【详解】解：∵S 7＜S 8，∴a 8>0, ∵S 8＝S 9，∴a 9＝0, 则a 9-a 8＝d ＜0，故选项A ，B 正确；S 11－S 7＝ 1111107611722a d a d ⨯⨯⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋－＝11a 1＋55d －7a 1－21d ＝4a 1+34d ＜0， ∵a 9＝a 1+8d ＝0，∴a 1＝－8d ∴4a 1+34d ＝－32d +34d ＝2d ＜0 ∴S 11＜S 7，故C 错误．易知数列的前8项为正数，第9项为0，从第10项开始为负数，故选项D 正确；故选：ABD.11．关于双曲线与双曲线，下列说法正确的是（）.221:1916x y C -=222:1916y x C -=-A ．它们有相同的渐近线 B ．它们有相同的顶点 C ．它们的离心率不相等 D ．它们的焦距相等【答案】CD【分析】根据双曲线的几何性质，逐一分析选项即可.【详解】双曲线的渐近线为：，双曲线的渐近线方程为：，故A 错误；1C 43y x =±2C 34y x =±双曲线的顶点坐标为，双曲线的顶点坐标为，故B 错误；1C (3,0)±2C (4,0)±双曲线的离心率，双曲线的离心率1C 153c e a ====2C 254c e a ====，，故C 正确；12e e ≠双曲线的焦距2c =10，双曲线的焦距2c =10，故D 正确. 1C 2C 故选：CD ．【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题.12．设等比数列{an }的公比为q ，其前n 项和为Sn ，前n 项积为Tn ，并满足条件a 1＞1，a 2019a 2020＞1，＜0，下列结论正确的是（）2019202011a a --A ．S 2019＜S 2020 B ．a 2019a 2021﹣1＜0C ．T 2020是数列{Tn }中的最大值D ．数列{Tn }无最大值【答案】AB【分析】根据题意，由等比数列的通项公式可得（a 1q 2018）（a 1q 2019）＝（a 1）2（q 4037）＞1，分析可得q ＞0，可得数列{an }各项均为正值，又由＜0可得或，由等比数列2019202011a a --2019202011a a <⎧⎨>⎩2019202011a a >⎧⎨<⎩的性质分析可得q 的范围，据此分析4个选项，综合即可得答案.【详解】根据题意，等比数列{an }的公比为q ，若a 2019a 2020＞1，则（a 1q 2018）（a 1q 2019）＝（a 1）2（q 4037）＞1，又由a 1＞1，必有q ＞0，则数列{an }各项均为正值，又由＜0，即（a 2019﹣1）（a 2020﹣1）＜0，则有或，2019202011a a --2019202011a a <⎧⎨>⎩2019202011a a >⎧⎨<⎩又由a 1＞1，必有0＜q ＜1，则有，2019202011a a >⎧⎨<⎩对于A ，有S 2020﹣S 2019＝a 2020＞0，即S 2019＜S 2020，则A 正确；对于B ，有a 2020＜1，则a 2019a 2021＝（a 2020）2＜1，则B 正确；对于C ，，则T 2019是数列{Tn }中的最大值，C 错误，同理D 错误；2019202011a a >⎧⎨<⎩故选：AB三、填空题13．已知在数列中，，，则等于____________． {}n a 11a =11112n n a a +=+10a 【答案】211【分析】根据题意可得数列是以1为首项，为公差的等差数列，再利用等差数列的通项公1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭12式即可得解．【详解】解：因为，所以，则数列是以为首项，为公差的等11112n n a a +=+11112n n a a +-=1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭111a =12差数列，则，故，所以． ()1111111222n n n a a =+-⨯=+101111110222a =⨯+=10211a =故答案为：． 21114．经过点作圆的弦，使点为弦的中点，则弦所在直线方程为()1,3P -()22125x y ++=AB P AB AB ____________．【答案】23110x y --=【分析】由圆得到圆心，利用斜率计算公式可得，由于点为弦的()22125x y ++=()1,0C -CP k P AB 中点，利用垂径定理及其推论可得．再利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得，再CP AB ⊥AB k 利用点斜式即可得出直线的方程．AB 【详解】解：由圆得到圆心，，()22125x y ++=()1,0C -()303112CP k --∴==---点为弦的中点，，则． P AB CP AB ∴⊥23AB k =弦所在直线方程为，化为． ∴AB ()()2313y x --=-23110x y --=故答案为：．23110x y --=15．已知、是椭圆在左、右焦点，是椭圆上一点，若是等腰直角三角1F 2F 22221x y a b +=P 12PF F △形，则椭圆的离心率等于__________． 1【分析】依题意分为直角顶点与或为直角两种情况讨论，当为直角顶点，由对P 21P F F ∠12F F P ∠P称性可得在上（下）顶点处，即可得到，从而求出离心率，若为直角，则，P b c =12F F P ∠(,)P c y 代入椭圆方程，求出的值，再根据，即可得到方程，最后转化为关于的方程，解得y 212PF F F =e 即可.【详解】解：由是等腰直角三角形，12PF F △若为直角顶点，根据对称性可得在上（下）顶点处，所以， P P 1OP OF =即为，即有．则 b c =a ==c e a ==若或为直角，不妨令为直角，此时，代入椭圆方程，得21P F F ∠12F F P ∠12F F P ∠(,)P c y 22221x y a b +=．2b y a=±又为等腰直角三角形，所以，12PF F △212PF F F =故得，即，即．解得22b c a =222ac a c =-2210e e +-=1e =-又，得． 01e <<1e =． 11-16．已知圆锥的母线长度为3，一只蚂蚁从圆锥的底面圆上一点出发，绕着圆锥侧面爬行一周，再回到出发点的最短距离为3，则此圆锥的底面圆半径为____________．【答案】##0.512【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，对应的弧长是底面圆的周长，对应的弦是最短距离，由此求出底面圆的半径．【详解】解：把圆锥的侧面展开形成一个扇形，则对应的弧长是底面圆的周长，对应的弦是最短距离，如图所示，由，得， 3,3SB SB BB =''==π3BSB ∠'=所以； A π3π3BB=⨯='设底面圆的半径为，则， r 2ππr =解得， 12r =即底面圆的半径为． 12故答案为：．12四、解答题17．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝4，点P 为DD 1的中点．(1)求证：直线BD 1平面PAC ； A (2)求证：直线PB 1平面PAC ． ⊥【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）直接利用三角形的中位线，得到线线平行，进一步利用线面平行的判定定理得到结论．（2）利用线面垂直的判定和性质定理和勾股定理的逆定理得到线线垂直，进一步利用线面垂直的判定得到结论．【详解】（1）长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 为DD 1的中点，连接AC 和BD ，相交于点O ，连接OP ，则O 为BD 的中点，所以OP BD 1，A BD 1平面PAC ，OP 平面PAC ， ⊄⊂所以直线BD 1平面PAC ．A （2）连接OB 1，由于四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ， ⊥BB 1平面ABCD ，平面ABCD ，所以， ⊥AC ⊂1AC BB ⊥平面，平面，，BD ⊂11BB D D 1BB ⊂11BB D D 1BD BB B ⋂=所以AC 平面BB 1D 1D ，因为PB 1平面BB 1D 1D ， ⊥⊂则AC PB 1，⊥长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝4，则，，1PB ==OP =1OB ==则，所以PB 1OP ，22211PB OP OB +=⊥平面，平面，，AC ⊂PAC OP ⊂PAC AC OP O = 直线PB 1平面PAC ．⊥18．为数列的前项和，已知，．n S {}n a n 0n a >2643n n n S a a +=+(1)求的通项公式； {}n a (2)设，求数列的前项和． 11n n n b a a +={}n b n 【答案】(1) 31n a n =+(2) 1112912n -+【分析】（1）根据前项和，由，作差即可求解的通项公式；n n S 2643n n n S a a +=+{}n a （2）根据裂项求和法即可求解．【详解】（1）解：①当时，，1n =2111136464a a s a +=+=+又，∴，0n a >14a =②当时，由，可得2n ≥2643n n n S a a +=+2111643n n n S a a ---+=+两式相减得：，整理得，2211633n n n n n a a a a a --=-+-()()1130n n n n a a a a --+--=∵，∴，0n a >13,2n n a a n --=≥∴是以首项为4，公差为3的一个等差数列，{}n a ∴；31n a n =+（2）解：由（1）可得， ()()1111313433134n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭数列的前项和：{}n b n ． 121111111111113477103134343412912n b b b n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 19．设P 是抛物线y 2＝8x 上一个动点，F 是该抛物线的焦点．(1)求点P 到定点A （－2，2）的距离与到直线X ＝－2的距离之和的最小值；(2)若B （3，2），求|PB |＋|PF |的最小值．【答案】(1)(2)5【分析】(1)得出抛物线的焦点坐标，准线方程，利用抛物线的定义，将问题转化为：求P 到点A （－2，2）的距离与点P 到F （2，0）的距离之和最小值．(2)过B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于P 1，可得|P 1Q |＝|P 1F |，利用|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |，即可得出结论．【详解】（1）由y 2＝8x ，得F （2，0），准线是x ＝－2，则点P 到直线x ＝－2的距离d 等于点P 到焦点F 的距离．故d+|PA|=|PF|+|PA|≥|AF |，AF ==故最小值为（2）过B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于P 1，如图此时|P 1Q |＝|P 1F |，则|PB |＋|PF |=|PB |＋|PQ |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |=5，故最小值为5．20．已知等差数列{an }满足：，，a 1＋2，a 2＋2，a 3＋5成等比数列，an ＋11a =()*1n n a a n N+>∈3log 2bn ＝－2．(1)求数列{an }，{bn }的通项公式；(2)求数列{an ·bn }的前n 项和Tn ．【答案】(1)an ＝3n －2，n ∈N *；，n ∈N * 12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)，n ∈N * ()14342n n T n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭【分析】(1)设等差数列{an }的公差为d ，由题意可得d ＞0，运用等差数列的通项公式，和等比数列的中项的性质，解方程可得d ，进而得到数列{an }的通项公式，再由对数的运算可得{bn }的通项公式；(2)求出，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化()1322nn n a b n ⎛⎫⋅=-⋅ ⎪⎝⎭简整理即可得到所求和．【详解】（1）设等差数列{an }的公差为d ，由a 1＝1，an ＋1＞an （n ∈N *），可得：d ＞0，a 2＝1＋d ，a 3＝1＋2d ，由a 1＋2，a 2＋2，a 3＋5成等比数列，可得：（a 2＋2）2＝（a 1＋2）（a 3＋5），即为（d ＋3）2＝3（6＋2d ），解得d ＝3，则an ＝a 1＋（n －1）d ＝1＋3（n －1）＝3n －2，n ∈N *，又an ＋3log 2bn ＝－2，∴log 2bn ＝－n ，可得，n ∈N *； 12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）， ()1322nn n a b n ⎛⎫⋅=-⋅ ⎪⎝⎭则前n 项和， ()1231111147322222n n T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2341111111473222222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减可得 ()234111111113322222222n n n T n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++--⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ， ()()11111111142332234122212n n n n n ++-⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+⋅--⋅=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-∴． ()*1434,2nn T n n ⎛⎫=-+⋅∈ ⎪⎝⎭N 21．如图所示的三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，AB ＝AC ＝AA 1，∠ABC ＝30°，M ，N ，D 分别是A 1B 1，A 1C 1，BC 的中点．(1)求证：MN ⊥AD ；(2)求为二面角M －AD －N 的余弦值．【答案】(1)证明见解析 (2)1319【分析】（1）取B 1C 1的中点D 1，连接DD 1，A 1D 1，可得，再由三角形中位线定理可得1111A D B C ⊥，则，由底面A 1B 1C 1，得，再由线面垂直的判定可得11//MN B C 11MN A D ⊥1AA ⊥1AA MN ⊥MN ⊥平面A 1ADD 1，则；MN AD ⊥（2）以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系为O －xyz （点O 与点A 重合），求出所用点的坐标，进一步求出平面ADM 与平面ADN 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求得二面角M －AD －N 的余弦值．【详解】（1）证明：如图，取B 1C 1的中点D 1，连接DD 1，A 1D 1，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，由AB ＝AC ，得A 1B 1＝A 1C 1，∴，1111A D B C ⊥∵M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，∴，得，11//MN B C 11MN A D ⊥∵底面A 1B 1C 1，平面A 1B 1C 1，∴，1AA ⊥MN ⊂1AA MN ⊥又∵，且平面A 1ADD 1，平面A 1ADD 1，1111AA A D A ⋂=1AA ⊂11A D ⊂∴平面A 1ADD 1，MN ⊥∵平面A 1ADD 1，AD ⊂∴；MN AD ⊥（2）解：设AA 1＝2，作，AH BC //以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系为O －xyz （点O 与点A 重合），则A （0，0，0），A 1（0，0，2），由题意，D 为BC 的中点，AB ＝AC ＝AA 1，，30ABC ∠= ∴，，，，， ()0,1,0D )B )12B ()C()12C 由M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，得，，1,22M ⎫⎪⎪⎭1,22N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭∴，，， ()0,1,0AD =u u ur 1,22AM ⎫=⎪⎪⎭1,22AN ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭设平面ADM 的一个法向量为，∴，，(),,n x y z = n AD ⊥ n AM ⊥则，01202y x y z =⎧++=取y ＝0，x ＝4，z =于是． (4,0,n = 同理可得平面ADN 的一个法向量为． (= m 设二面角M －AD －N 的平面角为，θ由题意知，为锐角，θ∴，cos |cos ,n m θ=< 因此，二面角M －AD －N 的余弦值为． 131922．已知椭圆（）的离心率2222:1x y C a b +=0a b >>e =()（1）求椭圆的方程；C （2）直线的斜率为，直线与椭圆交于两点，已知，求面积的最大值. l 12l C ,A B ()2,1P PAB ∆【答案】(1) ;(2)2. 22182x y +=【详解】试题分析: （1）根据椭圆的离心率和椭圆过点即可求出，则椭圆的方程()22a b ，C 可求；（2）设直线方程把其与椭圆的方程联立，求出弦长，即为的底，由点线距l 12y x m ，=+PAB A 离公式求出的高，然后用基本不等式求最值．PAB A 试题解析：（1）∵∴ 222222c a b 3e a a 4-===22a 4b =∵椭圆过点∴ ()22a 8,b 2== 22x y 182∴+=（2） 1l y x m 2设的方程为=+22x 2mx 2m 40++-=代入椭圆方程中整理得21212x x 2m,x x 2m 4∴+=-=-()222 4m42m40m4 =-->∴< AP l d点到直线的距离22 PAB1m4mS2 22 A+-∴==≤=2m=2m2=当且仅当，即。

湖北省武汉市外国语学校高二数学上学期期末考试试题理

武汉外国语学校2014—2015学年度上学期期末考试高二数学试题（理）试题考试时间：2015年2月3日上午10：20-12：20 试卷满分：150分一、选择题（每小题5分，共50分）1. 已知复合命题()p q ∧⌝是真命题，则下列命题中也是真命题的是 ( ) A ．()p q ⌝∨ B ． p q ∨ C ． p q ∧ D ．()()p q ⌝∧⌝2.对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别是123,,,p p p 则 ( )A ．123p p p =< B ．231p p p =< C ．132p p p =< D ．123p p p ==质点在数轴上区间[]0,2上运动，假定质点出现在区间各点处的概率相等，那么质点落在区间[]0,1上的概率为（）A ．14B ．13C ．12 D ．以上都不对4.若在4(1)(1)x ax +-的展开式中，4x 的系数为15，则a 的值为（）A ．-4B ．52 C ．4D ．72根据上表可得线性回归方程0.56y x a =+，据此模型预报身高为172cm 的高三男生的体重为（）A ．70.09kgB ．70.12kgC ．70.55kgD ．71.05kg6.已知(1,0,2),(6,21,2)λμλ=+=-a b ，若//a b ，则λ与μ的值可以是( )A.12,2 B. 11,32- C. 3,2- D. 2，27.双曲线2239y x -=的渐近线方程为( )A．0x = B ．30x y ±= C0y ±= D ．30x y ±=8.执行如图所示的程序框图，输出的T=( )A.29B.44C.52D.62知12,F F 是椭9.已圆和双曲线的公共点，P 是他们焦的一个公共点，且123F PF π∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A.3B.3C.3D.210. 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A. 360B. 288C. 216D. 96 二、填空题（每小题5分，共25分）为了调查城市PM2.5的值，按地域把长三角地区36个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为6，12，18，若用分层抽样的方法抽取12个城市，则乙组中应抽取的城市数为＿＿＿＿.从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，则甲被选择中的概率是＿＿. 13. 过点（-2，3）且与直线210x y -+=垂直的直线方程为＿＿＿＿.14. 20(1的二项展开式中，x 的系数与9x 的系数之差为＿＿＿.15.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为1(1,0)F ，离心率为e ，设A ，B为椭圆上关于原点对称的两点，1AF 的中点为M ，1BF 的中点为N ，原点O 在以线段MN 为直径的圆上，设直线AB 的斜率为k ，若0k <≤e 的取值范围为＿＿＿＿. 三、解答题（共75分.）（12分）已知命题:P 实数x 满足2280x x --≤，命题:q 实数x 满足2(0)x m m -≤>当m=3时，若“p 且q ”为真，求实数x 的取值范围;若“非p ”是“非q ”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.17.（12分）某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随即在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量值落在的产品为合格品，否则为不合格品．图１是甲流水线样本的频率分布直方图，表1是乙流水线样本频数分布表．图1：（甲流水线样本频率分布直方图）表１：（乙流水线样本频数分布表）若以频率作为概率，试估计从甲流水线上任取5件产品，求其中合格品的件数X 的数学期望；从乙流水线样本的不合格品中任取2件，求其中超过合格品重量的件数Y 的分布列；（3）由以上统计数据完成下面列联表，并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关”．附：下面的临界值表供参考：(参考公式：，其中)18.（12分）如图，在空间直角坐标系O-xyz中，正四棱锥P-ABCD的侧棱长与底边长都为，点M，N分别在线段PA，BD上，且．（1）求证：MN⊥AD；（2）求MN与平面PAD所成角的正弦值．19.（12分）为了解甲、乙两厂产品的质量，从两厂生产的产品中分别随机抽取各10件样品，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克）.如图是测量数据的茎叶图：规定：当产品中的此种元素含量不小于18毫克时，该产品为优等品.（1）试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率；（2）从乙厂抽出的上述10件样品中，随机抽取3件，求抽到的3件样品中优等品数ξ的分布列及其数学期望() Eξ；（3）从甲厂的10件样品中有放回的随机抽取3件，也从乙厂的10件样品中有放回的随机抽取3件，求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率．20.（13分）已知抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 在圆22:1O x y +=上， (1) 求抛物线1C 的标准方程；(2) 过点F 的直线交抛物线1C 于A ，B 两不同点，交y 轴于点N ，已知12,NA AF NB BF λλ==，求12λλ+的值.21.（14分）已知直线220x y -+=经过椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点E 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AE 、BE 与直线10:3l x =分别交于M 、N 两点。