垂径定理和圆周角定理的复习
10、垂径定理及圆周角定理
圆的有关概念及性质一、知识梳理1、圆的定义2、弦与弧3、圆的对称性4、垂径定理及推论5、圆心角、弧、弦之间的关系6、圆周角定理及其推论7、圆内接四边形二、经典例题考点一：垂径定理例2.如图，F是以OA．B．8 C．D．例4.如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6cm，EB=2cm，∠BED=30°，求CD的长.AEF1、过⊙O 内一点P 的最长弦为10cm ，最短的弦为6cm ，则OP 的长为 .2、在⊙O 中，弦AB 长为cm 8，圆心到弦AB 的距离为cm 3，则⊙O 半径长为 cm 。
3、半径是5cm 的圆中，圆心到cm 8长的弦的距离是 cm 。
4、如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径m 10=OA ，桥拱的距度16=AB m ，则拱高_____=CD m.5、 圆的两互相平行的弦长分别8cm 1和4cm 2，又两弦之间距离为cm 3，则圆的半径长是 cm6、 在半径为cm 5的圆内有两条互相平行的弦，弦长分别为cm 8、cm 6，则这两条弦之间的距离为________7．一水平放置的圆柱型水管的横截面如图所示，如果水管横截面的半径是13cm ，水面宽24=AB ，则水管中水深是_______cm.8．如图，⊙O 的直径⊥CD AB ，垂足为点E ，若8,2==ED CE ，则=AB （ ）A ．2B ．4C ．8D ．169．过⊙O 内一点M 的最长的弦长为4cm ，最短的弦长为2cm ，则OM 的长为（ ）A ．3cmB ．2cmC ．1D ．3cm10．已知：如图，⊙O 中直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，若6,10==CD AB ，则BE 的长是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．已知⊙O 的弦AB 长8cm ，弦心距为3cm ，则⊙O 的直径是（ ）A ．5cmB ．10cmC ．55cmD ．73cm12．已知⊙O 的半径为2cm ，弦AB 长32cm ，则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为（ ）A ．1cmB ．2cmC ．2cmD ．3cm 考点二：圆周角定理例6.如图所示，正方形ABCD内接于⊙O中，P是弧AD上任意一点，则∠ABP+∠DCP等于（）例7.如图所示，CD是圆的直径，O是圆心，E是圆上一点且∠EOD=45°，A是DC延长线上一点，AE交圆于B，如果AB=OC，则∠EAD= ____________例8.如图所示，△ABC为圆内接三角形，AB＞AC，∠A的平分线AD交圆于D，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：BE=CF变式练习1. D、C是以AB为直径的半圆弧上两点，若弧BC所对的圆周角为25°弧AD所对的圆周角为35°，则弧DC所对的圆周角为_____ .3．如图，AB是⊙O的直径，∠AOC=110°，则∠D=（）A．25°B．35°C．55°D．70°2、如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC=30°，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB的度数为度．3．如图所示，已知⊙O的半径是1，C，D是直径AB同侧圆周上的两点，弧的度数为60°，弧的度数为30°，动点P在直径AB上，则PC+PD的最小值为（）A．2 B．C．D．14．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么所对的圆心角的大小是（）5．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，=，若∠AOB=58°，则∠BDC=度．6．如图，已知CD是⊙O的直径，∠EOD=78°，AE交⊙O于B，且AB=OC．求∠A的度数．考点三：圆的内接四边形例9.如图所示，在⊙O中，A、B、C三点在圆上，且∠CBD=60，那么∠AOC=__________【备考真题过关】A．4B．4C．4D．4第1题第2题2．如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点A（0，1），过点P（0，-7）的直线l与⊙B相交于C，D两点．则弦CD长的所有可能的整数值有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确的是（）A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥ACC．当PO⊥AC时，∠ACP=30°D．当∠ACP=30°时，△BPC是直角三角形4．如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，则∠BOD= ．5．如图，将⊙O沿弦AB折叠，使弧AB经过圆心O，则∠OAB= ．6．如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为．第4题第5题第6题7．如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是度．»AB上两点，且∠MEB=∠NFB=60°，8．如图，已知⊙O的直径AB=6，E、F为AB的三等分点，M、N为则EM+FN= ．第7题第8题第9题三、解答题11．在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数．12.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，且PD∥CB，弦PB与CD 交于点F（1）求证：FC=FB；（2）若CD=24，BE=8，求⊙O的直径．。
垂径定理、圆周角与圆心角
圆1一、知识点1、旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.2、轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.3、圆是轴对称图形，经过圆心的每一条都是它的对称轴。
（因为直径是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”或说成：“圆的对称轴是经过圆心的每一条直线”。
）4、、垂径定理：垂直于弦的直径这条弦，并且弦所对的弧。
（这里的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段，其本质是过“圆心”。
）5、推论：（1）平分弦（不是直径）的直径，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径，弦且平分弦所对的另一条弧。
推论：圆的两条平行弦所夹弧。
6、与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.7、垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.⑤平行弦夹的弧相等.二、例题(泸州市2008年)如图1，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，点P在劣弧 C D上不同于点C得到任意一点，则∠BPC的度数是（）A．45 B．60 C．75 D．902．(切⊙O于A，PO交⊙O于B，若PA=6，PB=4，则⊙O的半径是（）A．52B．56C．2D．53、(南京市2008年)如图3，已知O的半径为1，AB与O相切于点A，O B与O交于点C，O D O A⊥，垂足为D，则cos A O B∠的值等于（）A．O DC．C D D．AB4、(威海市2008年)如图，⊙O的半径为2，点A的坐标为（2，32），直线AB为⊙O的切线，B为切点．则B点的坐标为A．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-5823,B．()13,-C．⎪⎭⎫⎝⎛-5954,D．()31,-5、(2009年潍坊)已知圆O的半径为R，AB是圆O的直径，D是AB延长线上一点，DC是圆O的切线，C是切点，连结AC，若，则BD的长为（）A．B C．D6、（09湖南邵阳）如图，AB是圆O的直径，AC是圆O的切线，A为切点，连结BC交圆O于点D，连结AD，若45A B C∠=°，则下列结论正确的是（）A．12AD BC=B．12AD AC=C．AC AB>D．AD DC>7．如图，在⊙O中，弦BC//半径OA，AC与OB相交于M，∠C=20°，则∠AMB的度数为（）A．30°B．60°C．50°D．408．在⊙O中，弦AB把⊙O分为度数比为15∶的两条弧，则 AB所对的圆心角的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°9．如图，弦AC、BD相交于点E，AB BC C D==∠AED=80°,∠ACD的度数为（）A．30°B．25°C．20°D．15°10．如图，在⊙O中，弦EF∥直径AB，若弧AE的度数为50 ，则弧BF的度数为，弧EF的度数为，∠EOF= ，∠EFO= ．11．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是__________．30C A B∠=°2R R2图3CBA OMACC12． 一条弧所对的圆周角为80°，它所对的圆心角是____度，它所含的圆周角是____度．13． 如图，在⊙O 中，AB 是直径，弦CD //AB ， AC 的度数为20°，则圆周角∠CPD的度数为_________．14、如图，在A B C ∆中，A B 为O 的直径，60,70B C ∠=∠= ， 则B O D ∠的度数是_____________度．15、已知：如图，A B 与O 相切于点C ，O A O B =，O 的直径为4,8AB =． （1）求O B 的长； （2）求sin A 的值．16、如图，在⊙O 中，CD 过圆心O ，且CD ⊥AB 于D ，过C 点任意作一条弦CF 交⊙O 于F ，交AB 于E 。
中考考点突破之圆的专题复习
中考考点突破之圆的专题复习考点精讲1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；2.探索并证明垂径定理；3.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论；考点解读考点1：垂径定理及其运用①与圆有关的概念和性质：（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O. （2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧. （4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.（6）弦心距：圆心到弦的距离.②垂径定理及其推论：（1）定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.（3）延伸：根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：①弧AC=弧AD; ②弧B D=弧C B；③C E=D E; ④AB⊥CD; ⑤AB是直径.只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.考点2：圆周角定理及其运用①圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．②圆周角定理及其推论：（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图a ,∠A =1/2∠O .图a 图b 图c( 2 )推论：① 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b ，∠A =∠C .② 直径所对的圆周角是直角.如图c ,∠C =90°.圆内接四边形的对角互补.如图a ，∠A +∠C =180°，∠ABC +∠ADC =180°.考点3：点与圆的位置关系①点与圆的位置关系：设点到圆心的距离为d .(1)d <r ⇔点在⊙O 内；(2)d ＝r ⇔点在⊙O 上；(3)d >r ⇔点在⊙O 外．考点4：切线性质及其证明①切线的判定：（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）.（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.②切线的性质：（1）切线与圆只有一个公共点.（2）切线到圆心的距离等于圆的半径.（3）切线垂直于经过切点的半径考点5：正多边形与圆①正多边形的有关概念：边长(a )、中心(O )、中心角(∠AOB )、半径(R ))、边心距(r ),如图所示①. 222⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a R r 边心距n ︒=360中心角②内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．考点6：与圆有关的计算①弧长和扇形面积的计算：扇形的弧长l ＝180n r π；扇形的面积S ＝2360n r π＝12lr②圆锥与侧面展开图（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.（2）计算公式：2180n R l r ππ==, S 侧=12lR =πrl考点突破1．（2021秋•德城区校级期中）在平面直角坐标系中，⊙C 的圆心坐标为（1，0），半径为1，AB 为⊙C 的直径，若点A 的坐标为（a ，b ），则点B 的坐标为（ ）A ．（﹣a ﹣1，﹣b ）B ．（﹣a +1，﹣b ）C ．（﹣a +2，﹣b ）D ．（﹣a ﹣2，﹣b ）2．（2021秋•普兰店区期末）如图，⊙O 的半径为5，C 是弦AB 的中点，OC ＝3，则AB 的长是（）A．6 B．8 C．10 D．123．（2021秋•禹州市期中）如图拱桥可以近似地看作直径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，这些钢索中最长的一根的长度为25m，那么其正下方的路面AB的长度为（）A．100m B．130m C．150m D．180m4．（2020秋•永城市期末）如图，点A，B，C，D均在以点O为圆心的圆O上，连接AB，AC 及顺次连接O，B，C，D得到四边形OBCD，若OD＝BC，OB＝CD，则∠A的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°5．（2021秋•郾城区期末）如图，在⊙O中，＝，直径CD⊥AB于点N，P是上一点，则∠BPD的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．15°6．（2022•泗洪县一模）圆内接四边形ABCD，∠A，∠B，∠C的度数之比为3：4：6，∠D 的度数为（）A．60°B．80°C．100°D．120°7．（2016•中山市模拟）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC 于点Q．若QP＝QO，则的值为（）A．B．C．D．8．（2021秋•舞阳县期末）⊙O的半径为R，点P到圆心O的距离为d，并且d≥R，则P点（）A．在⊙O内或⊙O上B．在⊙O外C．在⊙O上D．在⊙O外或⊙O上9．（2021秋•丛台区校级期中）下列说法正确的是（）A．过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点B．同一平面内，过两点A、B的圆的圆心在一条直线上C．过三点A、B、C的圆的圆心有且只有一点D．过四点A、B、C、D的圆不存在10．（2021秋•射阳县校级期末）下列语句中，正确的是（）A．经过三点一定可以作圆B．等弧所对的圆周角相等C．相等的弦所对的圆心角相等D．三角形的外心到三角形各边距离相等11．（2021秋•禹州市期末）如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E．若∠C＝20°，则∠BOE的度数是．12．（2021•五通桥区模拟）如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC ＝4，CD的长为．13．（2021秋•甘州区校级期末）在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为寸．14．（2021秋•西峡县期末）如图，ABCD是⊙O的内接四边形，AD＝CD，点E在AD的延长线上，∠CDE＝52°，则∠AOD＝．15．（2021秋•郾城区期末）如图，在⊙O中，AB为直径，∠ACB的平分线交⊙O于D，AB＝6，则BD＝．16．（2021•内乡县二模）婆罗摩笈多（公元598﹣660），印多尔北部乌贾因地方人（现巴基斯坦信德地区），在数学、天文学方面有所成就．他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》等著作，他还提出了几何界的“婆罗摩笈多定理”．该定理可概述如下：如图，圆O的两条弦AB和CD互相垂直，垂足为E，连接BC，AD，若过点E作BC的垂线EF，延长FE与AD相交于点G，则G为AD的中点．为了说明这个定理的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．已知：如图，在圆O的内部，AB⊥CD，垂足为E，．求证：．17．（2021秋•长垣市期末）豫东北机场待建在即，国道515围机场绕道而行．如图是公路转弯处的一段圆弧，点O是这段圆弧的圆心．直径CD⊥AB于点F．BE平分∠ABC交CD 于点E，AB＝3km，DF＝450m．（1）求圆的半径；（2）请判断A、B、E三点是否在以点D为圆心DE为半径的圆上？并说明理由．18．（2022•眉山模拟）如图所示，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD，BC，求证：（1）＝；（2）AE＝CE．19．（2021秋•内乡县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE＝CE；（2）若BD＝3，CE＝4，求AC的长．20．（2021•信阳模拟）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．。
圆的十大定理
圆的十大定理一、圆上三点确定一个圆的定理一个圆的确定需要三个不共线的点。
这三个点可以用来确定圆心和半径，从而确定一个唯一的圆。
二、垂径定理如果一条直线通过圆心，则该直线将圆分成两个相等的部分，且该直线与圆的两部分都垂直。
这个定理是圆的几何性质中的基本定理之一。
三、圆心角定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，反之亦然。
这个定理是圆的基本性质之一，是几何学中重要的定理之一。
四、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
这个定理在几何学中非常重要，是解决许多与圆相关的问题的基础。
五、直径所对的圆周角为直角定理直径所对的圆周角是直角。
这个定理是基本的几何性质之一，也是解决许多问题的基础。
六、圆内接四边形的对角互补定理圆内接四边形的对角互补，即一个内角等于它的对角的补角。
这个定理是解决与圆相关的四边形问题的关键之一。
七、切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
这个定理在解决与圆相关的比例问题中非常有用。
八、相交弦定理若两弦交替相交于圆内，则这两弦与圆的交点所形成的线段长度的乘积等于这两弦长的乘积的一半。
这个定理在解决与弦和交点相关的问题中非常有用。
九、弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角的一半。
这个定理在研究弦、切线和角度之间的关系时非常有用。
十、两圆连心线段垂直平分两圆公共弦定理两个相交圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
这个定理是解决与两个相交圆的公共部分相关的问题的基础。
垂径定理和圆周角圆心角
一、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 二、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；③OC OF =；④ 弧BA =弧BD 三、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵90C ∠=︒ ∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
即：在△ABC 中，∵OC OA OB ==DBABA∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 四、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
九年级数学上册专题第14讲圆的有关性质重点、考点知识总结及练习
第14讲圆的有关性质⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩垂径定理弧、弦、圆心角的关系圆的有关性质圆周角定理及推论圆内接四边形的性质 知识点1垂径定理①弦和直径：(1)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.(2)直径：经过圆心的弦叫做直径。
直径等于半径的两倍。
②弧：(1) 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号⌒表示，以A,B 为端点的的弧记作AB ⌒,读作弧AB.(2)半圆、优弧、劣弧：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
大于半圆的弧叫做优弧，优弧大于180º用三个字母表示，如 ACB .小于半圆的弧叫做劣弧，如AB 。
（3）等弧：在同圆或者等圆中能够相互重合的弧是等弧，度数或者长度相等的弧不一定是等弧。
③弦心距：（1）圆心到弦的距离叫做弦心距。
（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的圆心角也相等，所对弦的弦心距也相等。
四者有一个相等，则其他三个都相等。
圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距。
④圆的性质：(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．(2)轴对称：圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴。
⑤垂径定理及推论：(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．(2)平分弦（此弦不能是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．(5)平行弦夹的弧相等．⑥同心圆与等圆（1）同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。
如图一，半径为r1与半径为r2的⊙O叫做同心圆。
（图一）（2）等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆。
中考圆的复习资料(经典+全)
圆的知识点复习知识点1垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
题型1.在直径为1000mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油面宽AB＝800mm，则油的最大深度为 mm.2. 如图，在△ABC中，∠C是直角，AC=12，BC=16，以C为圆心，AC为半径的圆交斜边AB于D，求AD的长。
3. 如图，弦AB垂直于⊙O的直径CD，OA=5，AB=6，求BC长。
CBDA4. 如图所示，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，CD=15cm，OM：OC=3：5，求弦AB的长。
知识点2 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
弦心距：过圆心作弦的垂线，圆心与垂足之间的距离叫弦心距。
定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角度数相等，所对的弦相等。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角度数相等，所对的弧相等。
题型1. 如果两条弦相等，那么（）A．这两条弦所对的弧相等 B．这两条弦所对的圆心角相等C．这两条弦的弦心距相等 D．以上答案都不对2.下列说法正确的是（）A．相等的圆心角所对的弧相等 B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等C．相等的弦所对的圆心到弦的距离相等 D．圆心到弦的距离相等，则弦相等3.线段AB是弧AB 所对的弦，AB的垂直平分线CD分别交弧AB、AC于C、D，AD的垂直平分线EF分别交弧AB、AB于E、F，DB的垂直平分线GH分别交弧AB、AB于G、H，则下面结论不正确的是（）A．弧AC=弧CB B.弧EC=弧CG C.EF=FH D.弧AE=弧EC4. 弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是________，弦所对的圆心角是_____.5. 如图，AB 为⊙O 直径，E 是BC 中点，OE 交BC 于点D ，BD=3，AB=10，则AC=_____.6. 如图，AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE ，若弦BE=3，则弦CE=________．7. 如图，已知AB 、CD 为⊙O 的两条弦，弧AD =弧BC , 求证：AB =CD 。
中考复习圆专题含答案
中考专题复习——圆一、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.转为几何语言：∵CD是直径,CD⊥AB,∴AM=BM,⌒AC=⌒BC，⌒AD=⌒BD如果把条件和结论看成是5个条件，相互间是否还有其它关系呢？如图,在下列五个条件中:①CD是直径,②CD⊥AB,③AM=BM,④⌒AC=⌒BC，⑤⌒AD=⌒BD只要具备其中两个条件，就可推出其余三个结论.你可以写出相应的命题吗?条件结论命题①②③④⑤垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.①③②④⑤平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.①⑤ ②③④ ②③ ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. ②④ ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.②⑤ ①③④ ③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.③⑤ ①②④ ④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.垂径定理是《圆》这一章的重要内容，在实际生活中有着广泛的应用．在各地中考题中对垂径定理的考查频频出现，这类问题常常需要结合勾股定理来解决，现以中考题为例说明如下：类型一 求直径【例1】如图，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于点P ，且点P 是半径OB 的中点，6 cm CD =，则直径AB 的长是（ ）．A ． 2 3 cmB ． 3 2 cmC ． 4 2 cmD ． 4 3 cm【解析】解决本题的关键是构造直角三角形，根据勾股定理列出方程求解即可．连接OD ，由垂径定理可知PD =362121=⨯=CD (cm)．设半径OD =x cm ，则OP=x OB 2121=(cm)． 在Rt △OPD 中，因为222OP DP OD +=，所以222132x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．解这个方程，得23x =．所以直径AB 的长为342=x (cm)，故应选D ． 类型二 求弦长【例2】如图，AB O 是⊙的直径，弦CD AB ⊥于点E ，60COB ∠=°，⊙O 的半径为 3 cm ，则弦CD 的长为（ ）．A ．3cm 2B ． 3 cmC ． 2 3 cmD ． 9 cm 【解析】因为60COB ∠=°，CD AB ⊥，所以∠CEO =90°，∠OCD =30°．又因为⊙O 3 cm ，所以OE =12OC 3．由勾股定理可得222233(3)22CE OC OE ⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭． 所以CD =2CE =3(cm)．故应选B ． 类型三 求弦心距【例3】⊙O 的半径为10 cm ，弦AB =12 cm ，则圆心到弦AB 的距离为（ ）．A ．2 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．10 cm【解析】画出示意图如图，作OC AB ⊥于点C ，连接OA ， 由垂径定理，得AC =1112622AB =⨯=． 在Rt △AOC 中，由勾股定理，得OC =22221068OA AC -=-=(cm)．故应选C ．类型四 求拱高【例4】如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为（ ）．A ．5米B ．8米C ．7米D ．53米 【解析】设石拱桥圆弧的圆心为O ，连接OA 、OD ，则OD ⊥AB ．又因为OA =13，由垂径定理可得AD =11241222AB =⨯=． 所以在Rt △AOD 中，OD 222213125OA AD -=-=． 所以CD =OC －OD =13－5=8（米）．故应选B ．类型五 探究线段的最小值【例5】如图，⊙O 的半径 5 cm OA =，弦8 cm AB =，点P 为弦AB 上一动点，则点P 到圆心O 的最短距离是________cm ．【解析】因为连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短， 所以需作出弦AB 的弦心距．过点O 作OC ⊥AB ， C 为垂足，由垂径定理，知AC=118422AB =⨯=(cm)． 在Rt △AOC 中，由勾股定理可得OC 2222543OA AC -=-=． 故点P 到圆心O 的最短距离为3 cm ．二、 圆周角定理及推论《圆周角》解题技巧在数学里，把一个对象转化为另一个对象，常常可以化繁为简，化未知为已知，从而达到解决问题的目的，这种思考问题的方法，就是“转化”．在研究与圆周角有关的问题时，常进行等角间的转化．【例1】如图，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ．连接AC ，OC ，BC ．（1）求证：∠ACO =∠BCD ．（2）若EB =8 cm ，CD =24 cm ，求⊙O 的直径．【分析】（1）欲证∠ACO =∠BCD ，关键是进行等角间的转化：∠ACO =∠OAC ，∠BCD =∠OAC ，转化的依据是等腰三角形的性质定理和圆周角的“等弧所对的圆周角相等”；（2）借助勾股定理构建方程即可求得⊙O 的直径．解：（1）∵AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB CD 于点E ，∴CE =ED ，︵CB =︵DB ． ∴∠BCD =∠BAC ． ∵OA =OC ， ∴∠OAC =∠OCA ． ∴∠ACO =∠BCD ．（2）设⊙O 的半径为R cm ，则OE =OB －EB =R －8．∴CE =21CD =21×24=12．在Rt△CEO中，由勾股定理可得OC2=OE2＋CE2，即R2=(R－8)2＋122．解得R=13．所以2R=2×13=26．【例2】如图，四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E，F在AC 上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC．求证：（1）CD⊥DF；（2）BC=2CD．【分析】（1）欲证CD⊥DF，可转化为证明∠FCD+∠CFD=90°．由圆周角的性质有∠FCD=∠ABD，再联系条件∠BAD=2∠CFD，不难向等腰△ABD的内角和定理进行联想，从而找到解题的切入点；（2）欲证BC=2CD，现在还有一个条件∠BFC=∠BAD没有用，注意到∠BFC=∠ABF+∠BAC，∠BAD=∠CAD+∠BAC，从而有∠ABF=∠CAD，而∠CAD=∠CBD，故∠ABF=∠CBD，即∠ABD=∠FBC，而∠ABD=∠ADB=∠FCB，从而∠FBC=∠FCB，于是得FB=FC．思考到这里，不妨再回头看看证题目标BC=2CD，可考虑取BC的中点G，于是问题转化为证明CG=CD，即证△FGC≌△FDC．证明：（1）∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB．在△ABD中，∠BAD+2∠ABD=180°．又∠BAD=2∠DFC，∠FCD=∠ABD，∴2∠DFC+2∠FCD=180°．∴∠DFC+∠FCD=90°．∴∠FDC=90°．∴CD⊥DF．（2）∵∠BFC=∠ABF+∠BAC，∠BAD=∠CAD+∠BAC，∴∠ABF=∠CAD．又∠CAD=∠CBD，∴∠ABF=∠CBD，即∠ABD=∠FBC，而∠ABD=∠ADB=∠FCB，∴∠FBC=∠FCB，∴FB=FC．取BC的中点G，连接FG．∴FG⊥BC．∴∠FGC=90°．∵AB=AD，∴︵AB=︵AD，∴∠ACB=∠ACD．∵∠FGC=∠FDC=90°，FC=FC，∴△FGC≌△FDC．∴CG=CD．∵BC=2CG，∴BC=2CD．三、切线及切线长定理怎样证明直线与圆相切？在直线与圆的各种位置关系中，相切是一种重要的位置关系．现介绍以下三种判别直线与圆相切的基本方法：（1）利用切线的定义——在已知条件中有“半径与一条直线交于该半径的外端”，于是只需直接证明这条直线垂直于这个半径即可．【例1】已知：△ABC内接于⊙O，⊙O的直径AE交BC于F点，点P在BC的延长线上，且∠CAP=∠ABC．求证：PA是⊙O的切线．【证明】连接EC．∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE=90°．∴∠E＋∠EAC=90°．∵∠E=∠B，∠B=∠CAP，∴∠E=∠CAP．∴∠EAC＋∠CAP=∠EAC＋∠E=90°．∴∠EAP=90°．∴PA⊥OA．又PA经过点A，∴PA是⊙O的切线．（2）利用切线的判定定理——在已知条件中，有“一条直线过圆上某一点（即为切点），但没有半径”，于是先连接圆心与这个点成为半径，然后再证明这条直线和这条半径垂直．【例2】以Rt△ABC的直角边BC为直径作⊙O交斜边AB于点P，点Q为AC的中点．求证：PQ为⊙O的切线．B【证明】连接OP，CP．∵BC为直径，∴∠BPC=90°，即∠APC=90°．又点Q为AC的中点，∴QP=QC．∴∠1=∠2．又OP=OC，∴∠3=∠4．又∠ACB=90°，∴∠2＋∠4=∠1＋∠3=∠ACB=90°．∴∠OPQ=90°．∵点P在⊙O上，且点P为半径OP的端点，∴QP为⊙O的切线．说明：要证PQ与半径垂直，即连接OP．这是判别相切中添加辅助线的常用方法．（3）证明“d=R”，在已知条件中“没有半径，也没有明确直线与圆的公共交点”，于是过圆心作直线的垂线，然后再证明这条垂线段的长(d)等于圆的半径(R)即可．【例3】已知，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=12BC，点E，F分别为AB，AC的中点，点O为EF的中点．求证：以EF为直径的圆与BC相切．【证明】作OH⊥BC于点H，设AD与EF交于点M．∵点E，F分别为AB，AC的中点，∴EF=12 BC．∴点M也是AD的中点，即MD=12 AD．又AD=12BC，∴EF=AD，MD=12EF．又AD⊥BC，∴OH∥MD．∴四边形OHDM是矩形．∴OH=MD=12EF．∴OH是⊙O的半径．∴以EF为直径的圆与BC相切．与《切线长定理》相关的中考压轴题1．已知：以Rt △ABC 的直角边AB 为直径作⊙O ，与斜边AC 交于点D ，过点D 作⊙O 的切线交BC 边于点E ．（1）如图，求证：EB =EC =ED ；（2）试问在线段DC 上是否存在点F ，满足BC 2=4DF •DC ？若存在，作出点F ，并予以证明；若不存在，请说明理由．分析：（1）连接BD ，已知ED 、EB 都是⊙O 的切线，由切线长定理可证得OE 垂直平分BD ，而BD ⊥AC （圆周角定理），则OE ∥AC ；由于O 是AB 的中点，可证得OE 是△ABC 的中位线，即E 是BC 中点，那么Rt △BDC 中，DE 就是斜边BC 的中线，由此可证得所求的结论；（2）由（1）知：BC =2BE =2DE ，则所求的比例关系式可转化为22BC ⎛⎫ ⎪⎝⎭=DF •DC ，即DE 2=DF •DC ，那么只需作出与△DEC 相似的△DFE 即可，这两个三角形的公共角为∠CDE ，只需作出∠DEF =∠C 即可；①∠DEC ＞∠C ，即180°-2∠C ＞∠C ，0°＜∠C ＜60°时，∠DEF 的EF 边与线段CD 相交，那么交点即为所求的F 点；②∠DEC =∠C ，即180°-2∠C =∠C ，∠C =60°时，F 与C 点重合，F 点仍在线段CD 上，此种情况也成立；③∠DEC＜∠C，即180°-2∠C＜∠C，60°＜∠C＜90°时，∠DEF的EF边与线段的延长线相交，与线段CD没有交点，所以在这种情况下不存在符合条件的F点．解：（1）证明：连接BD．由于ED、EB是⊙O的切线，由切线长定理，得ED=EB，∠DEO=∠BEO，∴OE垂直平分BD．又∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BD．∴AD∥OE．即OE∥AC．又O为AB的中点，∴OE为△ABC的中位线，∴BE=EC，∴EB=EC=ED．（2）解：在△DEC中，由于ED=EC，∴∠C=∠CDE，∴∠DEC=180°-2∠C．①当∠DEC＞∠C时，有180°-2∠C＞∠C，即0°＜∠C＜60°时，在线段DC上存在点F满足条件．在∠DEC内，以ED为一边，作∠DEF，使∠DEF=∠C，且EF交DC于点F，则点F即为所求．这是因为：在△DCE和△DEF中，∠CDE=∠EDF，∠C=∠DEF，∴△DEF∽△DCE．∴DE2=DF•DC．即212BC⎛⎫⎪⎝⎭=DF•DC．∴BC2=4DF•DC．②当∠DEC=∠C时，△DEC为等边三角形，即∠DEC=∠C=60°，此时，C点即为满足条件的F点，于是，DF=DC=DE，仍有BC2=4DE2=4DF•DC．③当∠DEC＜∠C时，即180°﹣2∠C＜∠C，60°＜∠C＜90°；所作的∠DEF ＞∠DEC，此时点F在DC的延长线上，故线段DC上不存在满足条件的点F．点评：此题主要考查了直角三角形的性质、切线长定理、三角形中位线定理及相似三角形的判定和性质；（2）题一定要注意“线段DC上是否存在点F”的条件，以免造成多解．2．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于E．已知AB=8，边BC比AD大6．（1）求边AD、BC的长；（2）在直径AB上是否存在一动点P，使以A、D、P为顶点的三角形与△BCP相似？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．分析：过D作DF⊥BC于F，设AD=x，则DE=AD=x，EC=BC=x+6，根据勾股定理就得到一个关于x的方程，就可以解得AD的长；△ADP和△BCP相似，有△ADP∽△BCP和△ADP∽△BPC两种情况进行讨论，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出AP的长．解：（1）方法1：过D作DF⊥BC于F，在Rt△DFC中，DF=AB=8，FC=BC-AD=6，∴DC2=62+82=100，即DC=10．设AD=x，则DE=AD=x，EC=BC=x+6，∴x+(x+6)=10．∴x=2．∴AD=2，BC=2+6=8．方法2：连OD、OE、OC，由切线长定理可知∠DOC=90°，AD=DE，CB=CE，设AD=x，则BC=x+6，由射影定理可得：OE2=DE•EC．即：x(x+6)=16，解得x1=2，x2=-8，（舍去）∴AD=2，BC=2+6=8．（2）存在符合条件的P点．设AP=y，则BP=8-y，△ADP与△BCP相似，有两种情况：①△ADP∽△BCP时，有AD APBC PB=，即288yy=-．∴y=85．②△ADP∽△BPC时，有AD APBP BC=，即288yy=-．∴y=4．故存在符合条件的点P，此时AP=85或4．点评：本题主要考查了相似三角形的判定性质，对应边的比相等的两三角形相似．3．如图，已知AB为⊙O的直径，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，∠BAC=30°．（Ⅰ）求∠P的大小；（Ⅱ）若AB=2，求PA的长（结果保留根号）．分析：（Ⅰ）根据切线的性质及切线长定理可证明△PAC为等边三角形，则∠P的大小可求；（Ⅱ）由（Ⅰ）知PA=PC，在Rt△ACB中，利用30°的特殊角度可求得AC 的长．解：（Ⅰ）∵PA是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴PA⊥AB，∴∠BAP=90°；∵∠BAC=30°，∴∠CAP=90°-∠BAC=60°．又∵PA、PC切⊙O于点A、C，∴PA=PC，∴△PAC为等边三角形，∴∠P=60°．（Ⅱ）如图，连接BC，则∠ACB=90°．在Rt△ACB中，AB=2，∠BAC=30°，∵cos∠BAC=ACAB，∴AC=AB•cos∠BAC=2cos30°3∵△PAC为等边三角形，∴PA=AC，∴PA3．点评：本题考查的是切线长定理，切线长定理图提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长．四、 正多边形与圆4．（1）已知如图①所示，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，点P 为︵BC 上一动点，求证PA ＝PB ＋PC ．下面给出一种证明方法，你可以按这一方法补全证明过程，也可以选择另外的证明方法．证明：在AP 上截取AE ＝CP ，连接BE ． ∵△ABC 是正三角形， ∴AB ＝CB ．∴∠1和∠2是同弧所对的圆周角． ∴∠1＝∠2． ∴△ABE ≌△CBP ．③OPFEDBA②ODCBA①21E POCB（2）如图②所示，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 为︵BC 上一动点，求证：PA ＝PC 2PB ．（3）如图③所示，六边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，点P 为︵BC 上一动点，请探究PA 、PB 、PC 三者之间有何数量关系，直接写出结论．4．证明：⑥F⑤④（1）如图④所示，延长BP 至E ，使PE ＝PC ，连接CE ． 易知∠CPE ＝∠CAB ＝60°，∴△PCE 是等边三角形． ∴CE ＝PC ，∠ECP ＝60°． ∴∠ECP ＋∠PCB ＝∠BCA ＋∠PCB ， 即∠ECB ＝∠PCA ．在△CAP 和△CBE 中，CA ＝CB ，CP ＝CE ，∠PCA ＝∠ECB ， ∴△CAP ≌△CBE ． ∴PA ＝BE ＝PB ＋PC ．（2）如图⑤所示，过点B 作BE ⊥PB 交PA 于E ． ∵∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°， ∴∠1＝∠3．又∵AB ＝BC，∠BAP ＝∠BCP ， ∴△ABE ≌△CBP ，∴PC ＝AE ．∵∠APB＝45°，∴BP ＝BE ，∴PE PB． ∴PA ＝AE ＋PE ＝PC PB ． （3）PA ＝PC ．证明：如图⑥所示，在AP 上截取AQ ＝PC ，连接BQ ． ∵∠BAP ＝∠BCP ，AB ＝BC ，AQ ＝CP ， ∴△ABQ ≌△CBP ，∴BQ ＝BP ． 又∵∠APB ＝30°，∴PQ ＝3PB ． ∴PA ＝PQ ＋AQ ＝3PB ＋PC ．五、 与圆有关的计算1．如图，将圆沿AB 折叠后，圆弧恰好经过圆心，则弧AMB 的度数是（ ）．A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°2．如图，王虎使一长为4 cm 、宽为3 cm 的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上点A 位置变化为A →A 1→A 2，其中第二次翻滚被桌面上一小木板档住，使木板与桌面成30°角，则点A 翻滚到A 2位置时共走过的路径长为（ ）．A ．10 cmB ．4π cmC ．72π cmD ．52cm3．如图，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6 cm 的正三角形ABC ，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是________cm （结果不取近似值）．4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC=3，BC=1，将Rt△ABC绕点C 旋转90°后得Rt△A'B'C，再将Rt△A'B'C绕点B'旋转为Rt△A''B'C'使得点A，C，B'，A''在同一条直线上，则点A运动到点A''所走的路径长为___________．。
垂径定理及圆周角和圆心角的关系
垂径定理及圆周角和圆心角的关系垂径定理及圆周角和圆心角的关系垂径定理圆周角和圆心角的关系垂径定理垂径定理的推论圆周角定理圆周角定理的推论知识点1 垂径定理及其推论示意图垂径定理推论垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧．如图,'AA 是⊙O 的弦,CD 是⊙O 的直径,'AA CD ⊥于点M ,则M A AM '=,⌒AD =⌒A `D , ⌒AC =⌒A `C ．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．如图,'AA 是⊙O 的弦,CD 是⊙O 的直径,CD AA <','AA 与CD 交于点M ,M A AM '=,则'AA CD ⊥,⌒AD =⌒A `D ,⌒AC =⌒A `C ．圆是 图形,它有 对称轴,每一条过 的直线都是它的对称轴．例1.《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著,代表了东方数学的最高成就,他的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载：“今有圆材埋在壁中,不知大小,以锯锯之,锯口深一寸,锯道长一尺.问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯木料,锯口深一寸（ED =1寸）,锯道长一尺（AB =1尺=10寸）.问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示,请根据所学知识计算：圆形木材的直径是 （ ）A .13寸B . 20寸C .26寸D . 28寸例 2.已知：如图，AB 为O ⊙的直径，AB AC BC =，交O ⊙于点D ，AC 交O ⊙于点45E BAC ∠=，°．（1）求EBC ∠的度数； （2）求证：BD CD =．例3.如图，在半径为5cm 的⊙O 中，圆心O 到弦AB 的距离为3cm ，则弦AB 的长是（ ） A ．4cm B ．6cm C ．8cm D ．10cm例4.如图，AB 是⊙的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不成立的是（ ） A .CM =DM B . CB BD = C .∠ACD =∠ADC D .OM =MD例5.如图，A 、B 、C 、D 是⊙O 上的三点，∠BAC =30°，则∠BOC 的大小是( )A 、60°B 、45°C 、30°D 、15°例6.下列命题中正确的有（ ）①垂直于弦的直径平分这条弦；②与弦垂直的直线必过圆心； ③平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦；④平分弦的直径垂直于弦，并且平分这条弦所对的两条弧． A . 1 个B . 2 个C . 3 个D . 4 个例7.某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB ＝3 m ，弓形的高EF ＝1 m ，现计划安装玻璃，请帮工程师求出弧AB 所在圆O 的半径．例8.如图所示，⊙O 的弦AB ，CD 的延长线相交于点M ，AD 与CB 交于点E .若AC ︵所对的圆心角为72°，BD ︵所对的圆心角为18°，求∠M ＋∠AEC 的度数．例9. 如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=8cm，CD=3cm，则圆O 的半径为（）A．cm B．5cm C．4cm D．cm例10.如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm例11.如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=84°，则∠E等于（）A．42 °B．28°C．21°D．20°知识点2 圆周角定理及其推论示意图圆周角的定义圆周角定理推论1 推论2ABCO顶点在圆上,并且两边都与圆相交,我们把这样的角叫做圆周角．在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半．在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,那么它们所对的弧长也相等．半圆（或直径）所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径．同一条弧所对的圆周角有个．如上图,我们可以得到：∠AOB＝∠ACB．例1.如图，⊙O的半径OA⊥OB，弦AC⊥BD.求证：AD∥BC.例2.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠BCD=110°，则∠BAD为（）A．140°B．110°C．90°D．70°例3.一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆周角为．例4.工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为mm.例5.如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝135°，则AB＝．例6.如图，AC为⊙O的直径，点B在圆上，OD⊥AC交⊙O于点D，连接BD，∠BDO＝15°，则∠ACB＝____．。
精品 九年级数学上册 期末复习题 圆 垂径定理与圆心角圆周角复习题
圆期末复习题垂径定理：1.下列命题中，正确的是（）A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心2.如图，CD是⊙O的一条弦,作直径AB,使AB⊥CD,垂足为E,若AB=10,CD=6,则BE的长是（）A.1或9B.9C.1D.4第2题图第3题图第4题图3.如图,圆O的直径AB垂直弦CD于P,且P是半径OB的中点,CD=6cm,则直径AB的长是（）A.23cmB.32cmC.42cmD.43cm4.如图,已知⊙O中弧AB的度数是弧CD度数的2倍,则AB与2CD的关系是( )A.AB＝2CDB.AB＞2CDC.AB＜2CDD.无法确定5.下列说法中，正确的有________．(填序号)①弦是直径；②半圆是弧，但弧不一定是半圆；③半径相等的两个半圆是等弧；④直径是圆中最长的弦．6.如图,已知⊙O的半径是6cm，弦CB=63cm，OD⊥BC，垂足为D，则∠COB=第6题图第7题图第8题图7.如图,直线l与⊙O有两个公共点A，B，O到直线l的距离为5cm，AB=24cm，则⊙O的半径是 cm．8.如图,⊙O的半径是5cm,P是⊙O外一点,PO=8cm,∠P=30º,则AB= cm9.如图,AB是⊙O的直径,且AD∥OC,若弧AD的度数为800.求CD的度数.10.如图，已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，求BC边上的高.11.如图,O的直径AB=4,半径OC AB⊥,D为BC上一点，,⊥⊥ ,垂足分别为E,F，求DE OC DF ABEF的长.12.如图,AD是△ABC的高,AE是△ABC的外接圆的直径.试说明弧BE=弧CF.13.如图,⊙O直径AB和弦CD相交于点E,AE=2,EB=6,∠DEB=300，求弦CD长．14.如图,⊙O为四边形ABCD的外接圆,圆心O在AD上,OC∥AB.（1）求证:AC平分∠DAB；（2）若AC=8,弧AC:弧CD=2:1，试求圆O的半径；（3）若点B为AC的中点,试判断四边形ABCD的形状.15.O是∠MPN的平分线上一点,以O为圆心的圆和PM,PN别交于A、B、C、D四点.求证:∠OBA=∠OCD.16.如图,AB是⊙O的直径,C是弧BD的中点,CE⊥AB,垂足为E,BD交CE于点F．（1）求证：CF=BF；（2）若AD=2,⊙O的半径为3,求BC的长．圆心角、圆周角1.如图,等边△ABC的三个顶点都在⊙O上,D是AC上任一点(不与A、C重合),则∠ADC度数是______.第1题图第2题图第3题图2.已知,如图,∠BAC的对角∠BAD=1000,则∠BOC=_______度.3.如图,A、B、C为⊙O上三点，若∠OAB=480,则∠ACB=_______度.4.如图,AB是⊙O的直径, BC BD,∠A=250,则∠BOD的度数为________.第4题图第5题图第6题图第7题图5.如图,已知圆心角∠BOC=1100,则圆周角∠BAC的度数是6.如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为7.如图,A、B、C三点都在⊙O上,点D是AB延长线上一点,∠AOC=1420, ∠CBD 的度数是8.如图,⊙O的直径AB=8cm,∠CBD=300,求弦DC的长.9.如图,AB, AC 是⊙O 的两条弦,且AB=AC.延长CA 到点D ．使AD=AC,连结DB 并延长,交⊙O 于点E.求证：CE 是⊙O 的直径．10.在⊙O 中,弦AB 与DC 相交于E,且AE=EC,求证：AD=BC.11.如图,AB 是⊙O 直径,CD 是⊙O 弦,AB 、CD 的延长线交于E,AB=2DE,∠E=180，求∠C 及∠AOC 的度数．12.已知：如图，AB 为O ⊙的直径，AB=AC,BC 交O ⊙于点D ，AC 交O ⊙于点E,∠BAC=450． （1）求∠EBC 的度数；（2）求证：BD=CD ．13.如图,A 、B 、C 、D 四点都在⊙O 上,AD 是⊙O 的直径,且AD=8cm,若∠ABC=∠CAD,求弦AC 的长.14.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=900,AC=5,CB=12,AD是△ABC的角平分线,过A、C、D三点的圆与斜边AB 交于点E，连接DE.（1）求证：AC=AE；（2）求△ACD外接圆的半径.15.如图,已知O的半径为R,C,D是直径AB同侧圆周上的两点,AC的度数为960,BD的度数为360，动点P在AB上，求PC+PD的最小.数学期末复习题测试题01满分：100分时间：25分钟姓名：得分：1.下列命题中，正确的是（）①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半;③900的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等A.①②③B.③④⑤C.①②⑤D.②④⑤2.如图,AB是半圆直径,∠BAC=200，D是AC的中点，则∠DAC的度数是（）A.30°B.35°C.45°D.70°3.下列说法中正确的是________．(填序号)①圆是轴对称图形,每一条直径都是它的对称轴;②在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它所对的两条弧也相等;③平分弦的直径垂直于这条弦;④垂直于弦的直径平分这条弦．4.过⊙O内一点M的最长的弦长为6cm,最短的弦长为4cm,则OM的长等于cm.5.如图,⊙O中OA⊥BC,∠CDA=24o,则∠AOB的度数为_______．第5题图第6题图第7题图6.如图,AB为⊙O的直径,点C、D在⊙O上,∠BAC=46 o,则∠ADC=_______．7.如图,点A、B、C都在⊙O上,连结AB、BC、AC、OA、OB，且∠BAO=250，则∠ACB的大小为________8.如图,⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,若∠COD=1200，OE=3厘米,则CD= 厘米.O图 4E DCB A第8题图 第9题图 第10题图 9.如图,已知AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB,E 为垂足,CD=8,OE=1,则AB=_________10.如图,AB 为⊙O 的弦,⊙O 的半径为5,OC ⊥AB 于点D,交⊙O 于点C,且CD=l,则弦AB 的长是11.如图,是一个隧道的截面，如果路面AB 宽为8米，净高CD 为8米，那么这个隧道所在圆的半径OA 是___________米第11题图 第12题图 第13题图 第14题图 12.如图,AB 为半圆直径,O 为圆心,C 为半圆上一点,E 是弧AC 的中点,OE 交弦AC 于点D.若AC=8cm, DE=2cm,则OD 的长为 cm.13.某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示,AB=16m,OA=10m,则中间柱CD 高度为 m. 14.如图,在直角坐标系中,以点P 为圆心的圆弧与轴交于A 、B 两点,已知P(3，2)和A(1,0)，则点B 的坐标是 ,圆P 的半径为 .15,如图,在△ABC 中,∠ACB=900，以C 为圆心、CB 为半径的圆交AB 于点D. (1)若∠A=400；求∠ACD 的度数；（2）若AC=8，BC=6,求弦BD 长度.B A POyx17.如图,⊙O是△ABC的外接圆,圆心O在这个三角形的高AD上,AB=10,BC=12.求⊙O的半径.18.已知:如图,点P是⊙O外的一点,PB与⊙O相交于点A、B，PD与⊙O相交于C、D，AB=CD．求证：（1）PO平分∠BPD；（2）PA=PC.。
中考数学考点29圆的基本性质总复习(解析版)
圆的基本性质【命题趋势】圆的基本性质是中考考查的重点.常以选择题.填空题和解答题考查为主；其中选择题和填空题的难度不会太大.对应用、创新、开放探究型题目.会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题.进一步体现数学来源于生活.又应用于生活。
【中考考查重点】一、运用垂径定理及其推论进行计算二、运用圆周角定理及其推论进行计算三、垂径定理雪与圆周角定理结合考点：圆的有关概念圆的定义：在一个平面内.线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周.另一个端点A所形成的图形叫圆。
这个固定的端点O叫做圆心.线段OA叫做半径。
圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O.读作圆O。
圆的特点：在一个平面内.所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。
确定圆的条件：1）圆心；2）半径。
备注：圆心确定圆的位置.半径长度确定圆的大小。
【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同.半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆。
圆的对称性：1）圆是轴对称图形.经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。
直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。
备注：1）直径是同一圆中最长的弦。
2）直径长度等于半径长度的2倍。
⏜.读弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧.简称弧。
以A、B为端点的弧记作AB作圆弧AB或弧AB。
等弧的概念：在同圆或等圆中.能够互相重合的弧叫做等弧。
半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧.每一条弧都叫做半圆。
优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。
劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。
弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距。
1．（2021秋•顺义区期末）如图.在⊙O中.如果＝2.则下列关于弦AB与弦AC之间关系正确的是（）A．AB＝AC B．AB＝2AC C．AB＞2AC D．AB＜2AC【答案】D【解答】解：如图.取弧AB的中点D.连接AD.BD.则＝2＝2.∵＝2.∴＝＝.∴AD＝BD＝AC．在△ABD中.AD+BD＞AB.∴AC+AC＞AB.即AB＜2AC．故选：D．2．（2021秋•平原县期末）下列语句.错误的是（）A．直径是弦B．相等的圆心角所对的弧相等C．弦的垂直平分线一定经过圆心D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦【答案】B【解答】解：直径是弦.A正确.不符合题意；在同圆或等圆中.相等的圆心角所对的弧相等.B错误.符合题意；弦的垂直平分线一定经过圆心.C正确.不符合题意；平分弧的半径垂直于弧所对的弦.D正确.不符合题意；故选：B．3．（2021秋•玉林期末）如图.从A地到B地有两条路可走.一条路是大半圆.另一条路是4个小半圆．有一天.一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走.它不敢与猫同行（怕被猫吃掉）.就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同.那么下列结论正确的是（）A．猫先到达B地B．老鼠先到达B地C．猫和老鼠同时到达B地D．无法确定【答案】C【解答】解：以AB为直径的半圆的长是：π•AB；设四个小半圆的直径分别是a.b.c.d.则a+b+c+d＝AB．则老鼠行走的路径长是：a+πb+πc+πd＝π（a+b+c+d）＝π•AB．故猫和老鼠行走的路径长相同．故选：C．考点：垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦.并且平分弦所对的两条弧。
垂径定理-弦-弧-圆心角-圆周角-
圆的对称性，圆周角1. 圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。
2. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。
3. 定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。
推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.圆周角和圆心角的关系:1. 圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.2. 圆周角定理； 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等； 推论2: 半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；1、如图，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论中，•错误的是（A 、CE=DEB 、BC BD = C 、∠BAC=∠BAD D 、AC >AD2、如图，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM的长为3，则弦AB 的长是（A 、4 B 、6 C 、7 D 、83、某居民小区一处圆形下水管道破裂，维修人员准备更换一段新管道，如图所示，污水水面宽度为60cm ，水面到管道顶部距离为10cm，则修理人员应准备_________cm 内径的管道（内径指内部直径）． 4、如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中CD ，点O 是CD 的圆心，•其中CD=600m ，E 为CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF=90m ，求这段弯路的半径．5、如图，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD 长．6、如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 为弦，D 是AC 的中点，6BC cm =，求OD 的长.7. 已知：AB 交圆O 于C 、D ，且AC ＝BD.你认为OA ＝OB 吗？为什么？第4题CE O A D B 8. 等腰三角形ABC 中，B 、C 为定点，且AC=AB ，D 为BC 中点，以BC 为直径作圆D 。
九年级圆周角定理、垂径定理
辅导讲义年级：初三辅导科目：数学教学内容一、同步知识梳理知识点1：圆的定义圆的定义有以下两种：（1）在同一平面内，一条线段OP绕它固定的一个O旋转一周，另一个P所经过的封闭曲线叫做圆。
定点O就是圆心，线段OP就是圆的半径。
以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。
①这是圆的描述性定义，由定义也可以看出：确定圆的两个条件是圆心和半径，圆心确定圆的位置，圆的半径确定圆的大小；②要注意圆是指“圆周”，而非“圆面”。
（2）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
定点叫做圆心，定长叫做半径。
这是圆的点集定义，它包括两个方面的含义：①圆上各点到定点（即圆心）的距离等于定长（即半径r）；②到定点距离等于定长的点都在圆上。
思考：点与圆的位置关系：如果⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，那么点P在圆内⇔；点P在圆上⇔；点P在圆外⇔.思考：同圆，等圆的概念题型1：圆的定义例1：半径相等如图，已知CD是⊙O的直径，∠EOD＝78°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，求∠A的度数．解析∠EOD＝78°与未知角∠A构成了内、外角关系，而∠E也是未知角，且AB＝OC这一已知条件不能直接用，故可考虑用“同圆半径相等”来解．解连接OB.∵AB＝OC，OB＝OC，∴AB ＝OB.∴∠A ＝∠AOB. 又∵OB ＝OE ，∴∠E ＝∠OBE ＝∠A ＋∠AOB ＝2∠A. ∴∠DOE ＝∠E ＋∠A ＝3∠A ， ∴∠A ＝26°.点评 利用“同圆的半径相等”构造等腰三角形解题是本题得解的关键．检测题1：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=40°；以C 为圆心、CB 为半径的圆交AB •于点D ，求∠ACD 的度数．例2：点和圆的位置关系已知线段AB 的长为4cm ，试用阴影表示到点A 不小于3cm ，且到点B 小于2cm 的点的集合．解 根据题意作出图形，如图所示，其中阴影部分即为所求．点评 解决这类问题的关键是正确掌握点和圆的位置关系．检测题2：如图，已知矩形ABCD 的边AB ＝3cm ，AD ＝4cm.(1)以点A 为圆心，4cm 为半径作⊙A ，则点B 、C 、D 与⊙A 的位置关系如何？ (2)若以点A 为圆心作⊙A ，使B 、C 、D 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A 的半径r 的取值范围是多少？解 (1)∵AB ＝3cm ＜4cm ，∴点B 在⊙A 内． ∵AD ＝4cm ，∴点D 在⊙A 上．又∵AC ＝32＋42＝5cm ＞4cm ，∴点C 在⊙A 外． (2)∵AB ＝3cm ，AD ＝4cm ，AC ＝5cm ，也就是说，B 点到圆心A 的距离3cm 是最短距离，C 点到圆心A 的距离5cm 是最长距离． ∴使B ，C ，D 三点中至少有一点在圆内且至少有一点在圆外，⊙A 的半径r 的取值范围是3cm ＜r ＜5cm.点评 (1)点与圆的位置关系，与点到圆心的距离(d)，圆的半径(r)之间的大小关系有着紧密联系，是“数”与“形”的结合．(2)判断点和圆的位置关系，主要是把点到圆心的距离(d)与圆的半径(r)的大小进行比较．当d ＜r 时，点在圆内；当d ＝r 时，点在圆上；当d ＞r 时，点在圆外．知识点2：圆中的基本线段定义1：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．2：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做半圆．大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．BA CD3：顶点在圆心的角叫做圆心角．4：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆．能够互相重合的两个圆叫做等圆．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．5：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等例1：下列说法中正确的是________．(填序号)①圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴；②在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它所对的两条弧也相等；③平分弦的直径垂直于这条弦；④垂直于弦的直径平分这条弦．解析①圆是轴对称图形，它的对称轴是经过圆心的每条直线而不是直径，所以①不正确；因为一条弦对两条弧，所以②也不正确；因为直径是弦，所以③也不正确．答案④点评对于概念辨析题，进行比较或举出反例是解决这一类题的关键．检测题1：下列说法中，正确的有________．(填序号)①弦是直径；②半圆是弧，但弧不一定是半圆；③半径相等的两个半圆是等弧；④直径是圆中最长的弦．解析∵直径经过圆心，∴弦不一定是直径，故①错误．②③④是正确的．答案②③④点评(1)注意易混淆概念的区别与联系，通过比较进行解题．(2)要注意运用数形结合思想，看到概念联想有关图形，看到图形联想有关概念．知识点3：1：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．2：圆周角:顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半．3:直径(或半圆)所对的圆周角是直角．90°的圆周角所对的弦是直径;例1：如图，已知⊙O中AB的度数是CD度数的2倍，则AB与2CD的关系是()A．AB＝2CD B．AB＞2CD C．AB＜2CD D．无法确定解析取AB的中点E，连接AE、BE，由题意知AE＝BE＝CD，∴AE＝BE＝CD.在△ABE中，AE＋BE＞AB，即2CD＞AB.答案 C点评同圆或等圆中，等弧对等弦．但不能把这一结论推广成弧与所对的弦成正比例关系．检测1：如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A=30°，若BC=4cm ，则⊙O 的直径为（ ）A ． 6cmB ． 8cmC ． 10cmD ． 12cm例2：如图，已知O 的半径为R ，C D ，是直径AB 同侧圆周上的两点，AC 的度数为96︒，BD 的度数为36︒，动点P 在AB 上，求PC PD +的最小 解：连接DC ′，根据题意以及垂径定理， 得弧C ′D 的度数是120°， 则∠C ′OD=120度． 作OE ⊥C ′D 于E ， 则∠DOE=60°，则DE=32R ，C ′D ＝3R测试题2 ：已知：如图，MN 是O ⊙的直径，点A 是半圆上一个三等分点，点B 是AN 的中点，P 是MN 上一动点，O ⊙的半径为1，则PA PB +的最小值是_____________．例1：如图，AB 是半圆的直径，D 是AC 的中点，∠ABC ＝40°，求∠A 的度数． 解 连接BD.∵D 是AC 的中点，∴AD ＝DC .∴∠ABD ＝∠CBD ＝12∠ABC ＝20°.∵AB 是半圆的直径，∴∠ADB ＝90°. 又∵∠ABD ＝20°，∴∠A ＝180°－∠ABD －∠ADB ＝70°. 点评 (1)构造直径所对的90°圆周角是解决与圆相关问题的常用辅助线，这样为勾股定理的运用、相似三角形的产生创造了条件．(2)“90°的圆周角所对的弦是直径”是确定一个圆的圆心的重要方法．例2：已知：如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠BOD=140°，则∠DCE= 070 .例3 ：已知：如图，AB 为O ⊙的直径，AB AC BC =，交O ⊙于点D ，AC 交O ⊙于点45E BAC ∠=，°． （1）求EBC ∠的度数； （2）求证：BD CD =．例4：如图，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD 长．BACE DO一、专题精讲 半径相等例1：与勾股定理结合如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为216cm ，则该半圆的半径为______．例2：与中心对称图形结合 如图，O 的直径AB=4，半径OC AB ⊥,D 为BC 上一点，,DE OC DF AB ⊥⊥ ,垂足分别为E,F ，求EF 的长。
垂径定理、圆周角
教学目的掌握垂径定理、圆周角和圆心角的关系教学重点垂径定理、圆周角教学内容（一）垂径定理1、圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．圆有无数条对称轴。
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性。
2、垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
3、推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
圆的两条平行弦所夹的弧相等。
①平分弧的直径必平分弧所对的弦。
( )②平分弦的直线必垂直弦。
( )③垂直于弦的直径平分这条弦。
( )④平分弦的直径垂直于这条弦。
( )⑤弦的垂直平分线是圆的直径。
( )⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦。
( )⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧。
( )例题赏析如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．小试牛刀1、如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．2、我市某居民区一处圆形地下水管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，经测量得到如图所示的数据，修理工人应准备内径多大的管道？若此题只知下面弓形的高和AB的长，你仍然会做吗？60cm10cmA BO3、如图，直径是50cm圆柱形油槽装入油后，油深CD为15cm，求油面宽度ABD OBCA（二）弧、弦、圆心角1、圆心角的概念：顶点在圆心的角ABCDO2、弧、弦与圆心角的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。
在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆心角或两条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。
1、相等的圆心角所对的弧相等。
( )2、相等的弧所对的弦相等。
( )3、相等的弦所对的弧相等。
24.2圆的基本性质复习
能力提升
4．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两
点，且AC＝CD. (1)求证：OC∥BD； (2)若BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角 形，试确定四边形OBDC的形状．
能力提升
5．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交
BC，AC于点D、E，且点D为BC的中点．
推论
.C O
E
A
B
平分弦（不是直径）的直径垂直于 D
弦，并且平分弦所对的两条弧。
∵CD是直径，AB是弦，AE=BE ∴ CD⊥AB，A⌒D＝B⌒D，A⌒C＝B⌒C
例１ 已知：如图，直径 CD⊥弦 AB，垂足为
点 E．
（1）若半径 R＝2，AB＝2 3，则 OE＝
；
（2）若半径 R＝2，OE＝1，则 AB＝
(1)求证：△ABC为等边三角形； (2)求DE的长；
(3)在线段AB的延长线上是否存在一点P，
使△PBD≌△AED？若存在，请求出PB的长； 若不存在，请说明理由．
小结
1、通过本节课的复习，你巩固了哪些知识和 方法？
2、通过本节课的复习，你还有那些疑惑？
圆的 定义
圆心圆、心半、径半、径直径
有关概念
弧、弦（直径）、弦心距、弓形 等圆、等弧、同心圆 圆心角、圆周角
圆的基本性质
圆的中心对称性和旋转不变性
圆的轴对称性
圆心角定理 圆周角定理
垂垂径径定定理理
考纲要求
❖ 1、了解圆的有关概念及其对称性，能准 确区分圆的有关概念
❖ 2、掌握垂径定理及推论 ❖ 3、掌握圆心角、弦、弧、弦心距之间的
能力提升
1．如图所示，OA、OB分别为⊙O的半径，弦BC∥OA，若
自学初中数学资料 圆之垂径定理、圆心角、圆周角定理
自学资料一、圆的相关定义【知识探索】1．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．【说明】（1）过平面上一点能作无数多个圆；（2）过平面上两点能做无数多个圆，这些圆的圆心在两点连线的垂直平分线上；（3）过平面上三点：①三点不在同一直线上，能作唯一一个圆；②三点在同一直线上，不能作圆．【错题精练】例1．下列命题正确的个数有（）①过两点可以作无数个圆；②经过三点一定可以作圆；③任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆；④任意一个圆有且只有一个内接三角形．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个第1页共10页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训例2．有下列四个命题，其中正确的有（）①圆的对称轴是直径；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个例3．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（﹣4，0），⊙O与x轴的负半轴交于B（﹣2，0）．点P是⊙O上的一个动点，PA的中点为Q．当点Q也落在⊙O上时，cos∠OQB的值等于（）A.B.C.D.例4．如图，已知△ABC．（1）尺规作图作△ABC的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）；（2）设△ABC是等腰三角形，底边BC=10，腰AB=6，求圆的半径r．【举一反三】1．过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为（）A. 1条B. 2条C. 3条D. 无数条2．下列语句中，不正确的个数是（）①直径是弦；②弧是半圆；③长度相等的弧是等弧；④经过圆内一定点可以作无数条直径．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个第2页共10页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训3．有下列说法：①圆中最长的弦是直径；②平分弦的直径垂直于弦；③任意三点确定一个圆；④圆的两条平行弦所夹的弧相等；⑤三角形的外心是三边中垂线的交点，其中错误的个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4．⊙O的直径为10，弦AB=6，P是弦AB上一动点，则OP的取值范围是__________ ．5．已知：△ABC（如图）（1）求作：△ABC的外接圆（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法及证明）．（2）若∠A=60°，BC=8√3，求△ABC的外接圆的半径．二、圆心角、弧、弦、弦心距、圆周角之间的关系【知识探索】年份题量分值考点题型2015114圆内接四边形的性质；点与圆的位置关系选择、简答201613圆周角定理；填空2017219弧长面积；切线的性质；圆周角定理选择、填空、简答201824圆周角定理；填空2019216扇形面积；切线长定理；圆心角、圆周角、垂径定理填空、解答【错题精练】第3页共10页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训例1．如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE=52°，则α的度数是（）A. 51.5°B. 60°C. 72°D. 76°例2．如图，在△ABC中，∠C=90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．̂的度数．（1）若∠A=25°，求BD（2）若BC=9，AC=12，求BD的长．̂的度数为（）例3．已知如图，在⊙O中，OA⊥OB，∠A=35°，则CDA. 20°B. 25°C. 30°D. 35°例4．已知AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，∠A=50°，∠B=70°，连接DO，CO，DC （1）如图①，求∠OCD的大小：（2）如图②，分别过点C，D作OC，OD的垂线，相交于点P，连接OP，交CD于点M已知⊙O的半径为2，求OM及OP的长．第4页共10页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训̂的中点．例5．如图，AB为⊙O的直径，△ABC的边AC，BC分别与⊙O交于D，E，若E为BD（1）求证：DE=EC；（2）若DC=2，BC=6，求⊙O的半径例6．如图，点A，B，C在⊙O上，AB∥OC．（1）求证：∠ACB+∠BOC=90°；（2）若⊙O的半径为5，AC=8，求BC的长度．例7．如图，AB是半圆O的直径，AC是弦，∠CAB=60∘，若AB=6cm．（1）求弦AC的长；（2）点P从点A开始，以1cm/s的速度沿AB向点B运动，到点B停止，过点P作PQ∥AC，交半圆O于点Q，设运动时间为t（s）．①当t=1时，求PQ的长；②若△OPQ为等腰三角形，直接写出t（t＞0）的值．例8．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．第5页共10页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训第6页 共10页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训（2）已知半圆的半径为5，BC =12，求sin∠ABD 的值．【举一反三】1．如图，弦AC 、BD 相交于点E ，且AB ̂=BC ̂=CD ̂，若∠AED=80°，则∠ACD 的度数为（ ）A. 20°B. 25°C. 30°D. 15°2．已知△ABC 内接于⊙O ，点D 平分弧BmĈ．（1）如图①，若∠BAC=2∠ABC ．求证：AC=CD ；（2）如图②，若BC 为⊙O 的直径，且BC=10，AB=6，求AC ，CD 的长．3．如图，在⊙O 中，点C 是优弧ACB 的中点，D 、E 分别是OA 、OB 上的点，且AD=BE ，弦CM 、CN 分别过点D 、E ． （1）求证：CD=CE ．（2）求证：AM̂=BN ̂．4．如图，已知△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC相交于点D，过点D作⊙O的切线与AC交于点E．的值．（1）求BDBC（2）判断DE与AC的位置关系，并证明你的结论．（3）已知BC:AB=2:3，DE=4√2，求⊙O的直径．5．已知直径CD⊥弦BF于E，AB为ʘO的直径．̂=AĈ；（1）求证：FD（2）若∠DAB=∠B，求∠B的度数．6．如图，⊙O的半径为2，弦BC=2√3，点A是优弧BC上一动点（不包括端点），△ABC的高BD、CE相交于点F，连结ED．下列四个结论：①∠A始终为60°；②当∠ABC=45∘时，AE=EF；③当△ABC为锐角三角形时，ED=√3；④线段ED的垂直平分线必平分弦BC．其中正确的结论是．（把你认为正确结论的序号都填上）7．圆O的直径为10cm，A是圆O内一点，且OA=3cm，则圆O中过点A的最短弦长=__________cm第7页共10页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训8．如图，在圆O中，AB为直径，CD为弦，已知∠ACD=40°，则∠BAD=__________°1．如图，AB圆O的直径，点C在圆O上，若∠OCA=50°，AB=4，则弧BC的长为（）πA. 103πB. 109πC. 59πD. 5182．如图，将钢珠放在一个边长AB=8mm的正方形的方槽内，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，则这个钢珠的直径为______mm．3．如图，AB是半圆的直径，E是弦AC上一点，过点E作EF⊥EB，交AB于点F，过点A作AD∥EF，第8页共10页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训第9页 共10页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练 非学科培训交半圆于点D ．若C 是BD̂的中点，AF AE =√54，则EFAD的值为 ．4．在⊙O 的内接△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，（1）①图1中，若作直径AP ，求证：AB.AC=AD.AP ；②已知AB+AC=12，AD=3，设⊙O 的半径为y ，AB 的长为x ．求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（2）图2中，点E 为⊙O 上一点，且弧AE=弧AB ，求证：CE+CD=BD ．5．在⊙O 的内接△ABC 中，AB+AC=12，AD ⊥BC ，垂足为D ，且AD=3，设⊙O 的半径为y ，AB 的长为x 。
垂径定理和圆周角
O P
（1）
A
O
B
DE C
2
例 3：如 图 ， AB 为 ⊙O 的 直 径 ， 弦 CD⊥AB 于 E， 已 知 CD=12， BE=2， 则 ⊙O 的 直 径 为 _________
题型 2：添加辅助线，构造垂径定理
例 1：如 图 ， BD 是 ⊙O 的 弦 ， 点 C 在 BD 上 ， 以 BC 为 边 作 等 边 三 角 形 △ 恰好经过点 O，其中 BC=12，OA=8，则 BD 的长为_______
变 式 训 练 ：将 一 个 半 径 为 5cm 的 半 圆 O，如 图 折 叠 ，使 弧 AF 经 过 点 O，则 折 痕 AF 的 长 度 为 _________
例 4：A 是半径为 5 的⊙O 内的一点，且 OA=3，则过点 A 且长小于 10 的整数弦的条数是（ ）
A、1 条
B、2 条
C、3 条
例 3：如图，小明顺着大半圆从 A 地到 B 地，小红顺着两个小半圆
从 A 地到 B 地，设小明、小红走过的路程分别为 a、b，
则 a 与 b 的大小关系是（ ）
A． a=b
B．a＜b
C．a＞b
D．不能确定
小试牛刀：
例4图
1、下 列 命 题 中 是 真 命 题 的 有 （ ）
①两 个 端 点 能 够 重 合 的 弧 是 等 弧 ； ②圆 的 任 意 一 条 弦 把 圆 分 成 优 弧 和 劣 弧 两 部 分 ；
11 题
14、如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C, D 两点，AB=10cm, CD=6cm, AC 的长为
A. 0. 5cm
B. 1cm
C. 1.5cm
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二、同步题型分析
关于垂径定理
例题1、如图，⊙O 的半径OD⊥弦AB 于点C ，连结AO 并延长交⊙O 于点E ，连结EC ．若AB=8，CD=2，则EC 的长为（ ）
【变式练习】1如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，垂足为P ．若CD=8，OP=3，则⊙O 的半径为（ ） 【变式练习】2、如图，在⊙O 中，OC⊥弦AB 于点C ，AB=4，OC=1，则OB 的长是（ ）
例题2、如图，⊙O 的直径AB=12，CD 是⊙O 的弦，CD⊥AB，垂足为P ，且BP ：AP=1：5，则CD 的长为（ ）
【变式练习】1、如图．Rt△ABC 内接于⊙O，BC 为直径，AB=4，AC=3，D 是弧AD 的中点，CD 与AB 的交点为E ，则
DE
CE
等于（ ）
【变式练习】2如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点E ，且AE=CD=8，∠BAC=
2
1
∠BOD，则⊙O 的半径为（ ）
【变式练习】3在半径为13的⊙O 中，弦AB∥CD，弦AB 和CD 的距离为7，若AB=24，则CD 的长为（ ）
例题3、如图，以M （-5，0）为圆心、4为半径的圆与x 轴交于A 、B 两点，P 是⊙M 上异于A 、B 的一动点，直线PA 、PB 分别交y 轴于C 、D ，以CD 为直径的⊙N 与x 轴交于E 、F ，则EF 的长（ ）
【变式练习】1、已知⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB⊥CD，垂足为M ，且AB=8cm ，则AC 的长为（ ）
【变式练习】2如图所示，在圆⊙O 内有折线OABC ，其中OA=8，AB=12，∠A=∠B=60°，则BC 的长
为
一、专题精讲
关于圆周角、圆心角：
【例题1】如图，弧AB 是半圆，O为AB中点，C、D两点在弧AB 上，且AD∥OC，连接BC、BD．若弧CD=62°，则弧AD 的度数为（）
【变式练习1】如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（）【变式练习2】如图，△ABC的外接圆上，AB，BC，CA三弧的度数比为12：13：11．自劣弧BC上取一点D，过D分别作直线AC，直线AB的平行线，且交弧BC于E，F两点，则∠EDF的度数为（）
【例题2】如图，AB，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，BE是⊙O的直径．若AC=3，则DE=___________．【变式练习1】如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的余弦值是_______．【变式练习2】如图，矩形OABC内接于扇形MON，当CN=CO时，∠NMB的度数是
6、如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD∥AB，且CD=24 m ，OE⊥CD 于点E ．已测得DE/DO=12/13 14、（1）求半径OD ；
（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？
7、如图，已知⊙O 的半径为1，锐角△ABC 内接于⊙O ，BD ⊥AC 于点D ，OM ⊥AB 于点M ，OM=3
1
，则CD/BC 的值等于（ ）
8、如图，半圆O 的直径AB=7，两弦AC 、BD 相交于点E ，弦CD=
2
7
，且BD=5，则DE 等于（ ） 9、如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，连接AC ，过点C 作直线CD ⊥AB 交AB 于点D ．E 是OB 上的一点，直线CE 与⊙O 交于点F ，连接AF 交直线CD 于点G ，AC=22，则AG •AF 是（ ） 10、如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的切线，点C 在⊙O 上，BC ∥OD ，AB=2，OD=3，则BC 的长为（ ）
三、学法提炼
1、专题特点：
2、解题方法
3、注意事项
一、
能力培养
O A B C D E F O
A
E
D
B
C F
8、⊙O 的半径为10cm ，两平行弦AC ，BD 的长分别为12cm ，16cm ，则两弦间的距离是（ ） A. 2cm B. 14cm C. 6cm 或8cm D. 2cm 或14cm 0、如图，⊙O 是∆ABC 的外接圆，AO BC ⊥于F ，D 为AC ⋂
的中点， E 是BA 延长线上一点，
∠=︒DAE 114，则∠CAD 等于（ ）
A. 57°
B. 38°
C. 33°
D. 28.5°
11、如图，⊙C 经过原点且与两坐标轴分别交于点A 与点B, 点A 的坐标为（0, 4 ) , M 是圆上一点，∠BMO=1200．求：⊙C 的半径和圆心C 的坐标. 。
12、如图，BC 是圆O 的直径，AD 垂直BC 于D ，弧BA 等于弧AF ，BF 与AD 交于E ， 求证：（1）AE ＝BE ；
（2）若A 、F 把半圆三等分，BC ＝12，求AE 的长。
B
A
C
D
E
F
13．下列结论正确的是 （ ） A ．弦是直径 B ．弧是半圆
C ．半圆是弧
D ．过圆心的线段是直径 14. 下列命题中，真命题是 （ ） A ．相等的圆心角所对的弧相等 B ．相等的弦所对的弧相等 C ．度数相等的弧是等弧
D ．在同心圆中，同一圆心角所对的两条弧的度数相等。