圆周运动2
1-2 圆周运动
第一章 质点的运动及其运动规律
dvt at 而 dt
1 – 2 圆率的变化率。
即 a an at
v 其中 an an r
根据矢量运算法则
2
dv at at dt
an o
P
a an at
1 – 2 圆周运动
物理学简明教程
1-2 圆周运动 一 圆周运动的角速度
角坐标 (t )
B
ds
d
A
r
d 角速度 dt
由图
则 即
o
x
ds r d
ds d r dt dt
v r
第一章 质点的运动及其运动规律
1 – 2 圆周运动 二 匀速率圆周运动 由图可知，BCD为 等腰三角形，且与OAB 相似，若 vA vB v
物理学简明教程
dv
D
C
d
vA
B
dv AB 则 v r d v v AB 即 dt r dt 极限情形下 AB AB ds 2 v 2 r an 故 a r
第一章 质点的运动及其运动规律
vB
vA
A
d
o
1 – 2 圆周运动
物理学简明教程
三 变速圆周运动 切向加速度和法向加速度
2
2
an tan at
at
a
第一章 质点的运动及其运动规律
1 – 2 圆周运动
物理学简明教程
例：高速火车预定运行的平均速度为216km· h-1。 如果火车以此速度运行并沿圆弧轨道转弯，为保证 乘客安全，火车的加速度大小不允许超过0.05g（g 为重力加速度，取9.8m· s-2 ），则轨道所允许的最 小半径为多少？
第2讲：圆周运动
第2讲 圆周运动一、知能要点1、匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度 （1）、匀速圆周运动①定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长相等，就是匀速圆周运动。
②特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动。
③条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心。
（2）、描述圆周运动的物理量描述圆周运动的物理量主要有线速度、角速度、周期、频率、转速、向心加速度、向心力等，现比较如下表：定义、意义公式、单位 线速度(v)①描述圆周运动的物体运动快慢的物理量 ②是矢量，方向和半径垂直，和圆周相切 ①v ＝Δs Δt ＝2πrT②单位：m/s 角速度(ω)①描述物体绕圆心转动快慢的物理量 ②中学不研究其方向①ω＝ΔθΔt ＝2πT②单位：rad/s周期(T)和转速(n)或频率(f) ①周期是物体沿圆周运动一周的时间 ②转速是物体单位时间转过的圈数，也叫频率①T ＝2πrv单位：s②n 的单位：r/s 、r/min ，f 的单位：Hz 向心加速度(a)①描述速度方向变化快慢的物理量 ②方向指向圆心①a ＝v 2r ＝rω2②单位：m/s 22①、作用效果：向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小。
②、大小：F ＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2T2r ＝mωv ＝4π2mf 2r 。
③、方向：始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力。
④、来源：向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供。
3、离心现象①定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。
②本质：做圆周运动的物体由于本身的惯性，总有沿着切线方向飞出去的趋势。
③受力特点当F ＝mrω2时，物体做匀速圆周运动； 当F ＝0时，物体沿切线方向飞出；当F ＜mrω2时，物体逐渐远离圆心，F 为实际提供的向心力，如图所示。
1-2圆周运动
二、圆周运动的角速度 1、角坐标θ
y
A
1）ox—参考方向 2）空间位置A与θ有一一对应的 关系 3)单位 ：rad（弧度） 4)一般自ox始，沿逆时针为正 （+），顺时针为负（-）
θ R
x
y
2、角位移Δθ
1）定义： 在Δt时间内，质点转 过的角度Δθ。
2）大小：| Δθ|即空间角位置变动 的大小。 3）方向： Δθ > 0 沿规定的正方向 （逆） Δθ < 0 沿规定的负向 4）单位：rad
2）起因：（速度大小变化引起） dv r d2s a 3）大小： t dt dt 2
o
v2 et 2 v1 et1
r
4）方向： et 的方向，即与 v 同向
5）单位：m/s2
2、法向加速度
1）定义式：
d v2 an v en en dt R
谢
谢 ！
金本喜
A
vA
B
解（1）因飞机作匀变速率 运动所以 a t 和 为常量 .
r a n
at
o
a
dv at dt
vB
分离变量有
vB
vA
dv at dt0Fra bibliotekt已知：vA 1940km h
1
t 3s
vB 2192km h
1
vB t vA vdv 0 at dt
B
r
θ
A
x
3、角速度ω
1）定义：角坐标随时间的变化率
d ＝ dt
r
ΔS
θ ω x R
2.第二讲 圆周运动
（2）切向加速度的大小 ；0.40
（3）这两时刻（t1和t1+t2时刻）的法向加速度an1和an2。0.40、0.23
例4．一质点沿圆轨道由静止开始作匀加速圆周运动。试求此质点的加速度与速度的夹角a与其经过的那段圆弧对应的圆心角 之间的关系。tga=2θ
例5．一飞轮的角速度在5s内由900转/min均匀地减到800转/min。求：
符号用f表示，单位是Hz。频率也是描述匀速圆周运动快慢的物理量，频率低运动慢，频率高运动快。f=1/T
例：某物体做圆周运动的周期为0.5s，则其每秒运动2周，其频率为2Hz。
（3）线速度
周期和频率能粗略描述物体圆周运动的快慢程度，但无法精确衡量物体圆周运动的快慢，如地球绕太阳运转的周期是不变的，但其在近日点和远日点的运动快慢并不相同。因此，要精确衡量圆周运动的快慢还需引入其他物理量。
如图示，质点绕O作半径为R的圆周运动。设t时刻，质点运动到A点，角位置为 ， 时刻质点达到B点，角位置为 。在 时间内质点转过的角度为 （ 称为角位移，单位为弧度rad），则角速度定义为：
（单位为rad/s）
角速度为矢量，其方向可用右手螺旋定则确定。
（5）线速度与角速度的关系
而 时， ，故
以上四个量是物理研究中用以研究物体圆周运动快慢程度的物理量，在工程学上还常用到其他量。
匀速圆周运动的匀速仅指匀速率，其实质上是变速运动。
（3）匀速圆周运动的角速度
对确定的匀速圆周运动， 与所用时间 的比值是恒定不变的。因此匀速圆周运动也可以说成是角速度不变的圆周运动。
（4）角速度、线速度、周期之间的关系
ω=
结论：由v=rω知，当v一定时，ω与r成反比；当ω一定时，v与r成正比；当r一定时，v与ω成正比。
1-2圆周运动
s ′
A
加速度不同, 各点的速度 加速度不同,用以往的速度加速 度描述不便,为此引入角量描述. 度描述不便,为此引入角量描述.
先要规定参考方向) (1)角位置 角坐标) (1)角位置 θ(角坐标) (先要规定参考方向) 圆心到质点 所在位置 b 的连线与参考方向之间 X θ 的夹角 O
y
v0
22.5 70 m
o
0
θ
vx
x
vy v ( 1) 若以摩托车和人作为一质点 , 则其运 ) 若以摩托车和人作为一质点, 动方程为 x = (v0 cosθ 0 )t 1 2 y = y0 + (v0 sinθ 0 )t 2 gt
v x = v0 cosθ 0 运动速度为 v y = v0 sinθ 0 gt
dθ = π + 2π t 所以质点的角速度为 ω = dt dω 质点的角加速度为 β = = 2π dt 质点的切向加速度为 aτ = Rβ = 2πR
2
解 因为θ = π t + π t 2
质点的法向加速度为 an = ω R = (π + 2π t ) R
2
3.已知某质点的运动方程为 已知某质点的运动方程为 r = (a + b cosω t )i + (c + d sinω t ) j 取SI制,其中 ,b,c,d,ω 均为常量. 制 其中a, , , , 均为常量. (1)试证明质点的运动轨迹为一椭圆; )试证明质点的运动轨迹为一椭圆; (2)试证明质点的加速度恒指向椭圆中心; )试证明质点的加速度恒指向椭圆中心; (3)试说明质点在通过如图中给定点 时, )试说明质点在通过如图中给定点P 其速率是增大还是减小? 其速率是增大还是减小?
圆周运动(二)圆周运动中的动力学问题
【例1】如图7所示，用一根长为l＝1 m的细线，一端系一质量为 m＝1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥 面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做 匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为FT.(g取10 m/s2，结 果可用根式表示)求： (1)若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？ (2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
3．质量为m的飞机以恒定速率v在空 中水平盘旋，如图所示，其做匀速 圆周运动的半径为R，重力加速度为 g，则此时空气对飞机的作用力大小 为
析 飞机在空中水平盘旋时 在水平面内做匀速圆周运动， 受到重力和空气的作用力两 个力的作用，其合力提供向 心力F向＝mv2/R. 飞机受力情况示意图如图所 示，根据勾股定理得： F＝m √ (g2+ v4/R2).
例题 1．有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示，长为 L 的钢绳一端系着座椅， 另一端固定在半径为 r 的水平转盘边缘， 转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω 匀速转动 时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ ，不 计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系．
圆周运动（二） 圆周运动中的动力学分析
1．向心力的来源： 向心力是依据力的作用效果命名的，它可以是重力、弹 力或摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分 力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．如图 甲所示的圆锥摆和火车以规定速率拐弯时．向心力由重力和 弹力的合力提供；图乙中随圆盘一起转动的物体和汽车在水 平路面上转弯则是由静摩擦力提供向心力． 2．向心力的确定 (1)确定圆周运动的轨道所在的平面， 确定圆心的位置． (2)分析物体的受力情况，找出所有的力 沿半径方向指向圆心的合力就是向心力．
圆周运动二级结论
圆周运动二级结论
（一）1、向心力公式：v m R f m R T
m R m R mv F ωππω=====2222
2244. 2、同一皮带或齿轮上线速度处处相等，同一轮子上角速度相同.
（二）1．水平面内的圆周运动：F=mg tg α方向水平，指向圆心
2．飞机在水平面内做匀速圆周盘旋
3．竖直面内的圆周运动：
绳，内轨，水流星最高点最小速度gR ，最低点最小速度gR 5，上下两点拉压力之差6mg
2）离心轨道，小球在圆轨道过最高点 v min = 要通过最高点，小球最小下滑高度为 2 .5R 。
3）竖直轨道圆运动的两种基本模型
绳端系小球，从水平位置无初速度释放下摆到最低点：T=3mg ，a=2g ，与绳长无关。
“杆”最高点v min =0，v 临 = ，
v v 临，杆对小球为拉力
v v 临，杆对小球为支持力
gR H R gR 〉〈N mg
mg N
θ
mg T
火车Ｒ、Ｖ、ｍ θ ｖ 绳 Ｌ .o ｍ ｖ ｍ ｖ Ｌ .o ｍ。
高中新教材人教版物理课件 必修第二册 第六章 圆周运动 2-向心力 第1课时 向心力
典型例题
【例题1】 (多选)下列关于向心力的说法正确的是(
)
A.物体由于做圆周运动而产生了一个向心力
B.向心力不改变圆周运动中物体线速度的大小
C.做匀速圆周运动的物体其向心力即为其所受的合外力
D.做圆周运动的物体所受各力的合力一定充当向心力
答案:BC
解析:物体因受向心力而做圆周运动,A错误。因向心力始终
2.物体做一般曲线运动时,在每段小圆弧处仍可按圆周运动
规律进行处理。
【变式训练3】 一般的曲线运动可以分成很多小段,每小段
都可以看成圆周运动的一部分,即把整条曲线用一系列不同
半径的小圆弧来代替。如图甲所示,曲线上的A点的曲率圆定
义为:通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆,在极限情
况下,这个圆就叫作A点的曲率圆,其半径ρ叫作A点的曲率半
线的拉力提供向心力,Fn=FT
速圆周运动
物体随转盘做匀速
圆周运动,且相对转
盘静止
转盘对物体的静摩擦力提供
向心力,Fn=Ff
示意图
实例
小球在细线作用下,
在水平面内做圆周
运动
向心力
小球的重力和细线的拉力的
合力提供向心力,Fn=F 合
木块随圆桶绕轴线
圆桶侧壁对木块的弹力提供
做圆周运动
向心力,Fn=FN
示意图
合力可以分解为两个相互垂直的分力:
(1)跟圆周相切的分力Ft,只改变速度的大小。
(2)指向圆心的分力Fn,提供物体做圆周运动所需的向心力,
只改变速度的方向。
2.一般的曲线运动。
(1)一般的曲线运动:运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲
线运动。
(2)处理方法:可以把这条曲线分割为许多很短的小段,质点
2022届高中物理新教材同步必修第二册 第6章 圆周运 2 第2课时 向心力的分析和向心力公式的应用
第2课时 向心力的分析和向心力公式的应用[学习目标] 1.会分析向心力的来源，掌握向心力的表达式，并能用来进行计算.2.知道变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点．一、向心力的大小向心力的大小可以表示为F n ＝mω2r 或F n ＝m v 2r. 二、变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点1．变速圆周运动的合力：变速圆周运动的合力产生两个方向的效果，如图1所示．图1(1)跟圆周相切的分力F t ：改变线速度的大小．(2)指向圆心的分力F n ：改变线速度的方向．2．一般的曲线运动的处理方法(1)一般的曲线运动：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动．(2)处理方法：可以把曲线分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作圆周运动的一部分，分析质点经过曲线上某位置的运动时，可以采用圆周运动的分析方法来处理．1．判断下列说法的正误．(1)做匀速圆周运动的物体的向心力是恒力．( × )(2)向心力和重力、弹力一样，都是根据力的性质命名的．( × )(3)向心力可以是物体受到的某一个力，也可以是物体受到的合力．( √ )(4)变速圆周运动的向心力并不指向圆心．( × )2．一辆质量为1 000 kg 的汽车，为测试其性能，在水平地面上沿半径r ＝50 m 的圆，以10 m/s 的速度做匀速圆周运动，汽车没有发生侧滑，________对汽车提供向心力，此力大小为________ N.答案 侧向摩擦力 2 000一、向心力的来源分析和计算导学探究 如图2所示，在匀速转动的水平圆盘上有一个相对圆盘静止的物体．图2(1)物体需要的向心力由什么力提供？物体所受摩擦力沿什么方向？(2)当转动的角速度变大后，物体仍与转盘保持相对静止，物体受的摩擦力大小怎样变化？ 答案 (1)物体随圆盘转动时受重力、弹力、静摩擦力三个力作用，其中静摩擦力指向圆心提供向心力．(2)当物体转动的角速度变大后，由F n ＝mω2r ，需要的向心力增大，静摩擦力提供向心力，所以静摩擦力也增大．知识深化1．向心力的大小：F n ＝mω2r ＝mv 2r ＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r . 2．向心力的来源分析在匀速圆周运动中，由合力提供向心力．3．几种常见的圆周运动向心力的来源实例分析图例 向心力来源 在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未发生滑动弹力提供向心力 用细绳拴住小球在光滑的水平面内做匀速圆周运动绳的拉力(弹力)提供向心力 物体随转盘做匀速圆周运动，且物体相对于转盘静止静摩擦力提供向心力用细绳拴住小球在竖直平面内做圆周运动，当小球经过最低点时 拉力和重力的合力提供向心力小球在细绳作用下，在水平面内做匀速圆周运动时绳的拉力的水平分力(或拉力与重力的合力)提供向心力[深度思考]做圆周运动的物体其合力方向一定指向圆心吗？答案不一定．做匀速圆周运动的物体合力指向圆心；做非匀速圆周运动的物体合力不是始终指向圆心．如图3所示，圆柱形转筒绕其竖直中心轴转动，小物体贴在转筒内壁上随转筒一起转动而不滑落．则下列说法正确的是()图3A．小物体受到重力、弹力、摩擦力和向心力共4个力的作用B．小物体随筒壁做圆周运动的向心力是由摩擦力提供的C．筒壁对小物体的摩擦力随转速增大而增大D．筒壁对小物体的弹力随转速增大而增大答案 D解析小物体随转筒一起做圆周运动，受重力、弹力和静摩擦力共3个力的作用，故选项A 错误．水平方向上，弹力指向圆心，提供向心力，据牛顿第二定律有：F N＝mω2r，又ω＝2πn，可知转速越大，角速度越大，小物体所受的弹力就越大，故选项B错误，D正确；在竖直方向上，小物体所受的重力和静摩擦力平衡，静摩擦力大小不变，故选项C错误．针对训练1(多选)如图4所示，用长为L的细线拴住一个质量为m的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角为θ，重力加速度为g，关于小球的受力情况，下列说法正确的是()图4A．小球受到重力、细线的拉力和向心力三个力B．向心力是细线对小球的拉力和小球所受重力的合力C．向心力的大小等于细线对小球拉力的水平分力D ．向心力的大小等于mg tan θ答案 BCD解析 对小球受力分析可知，小球受到重力、细线的拉力两个力，这两个力的合力提供向心力，也可把拉力分解，拉力的水平分力提供向心力，如图所示，A 错误，B 、C 正确；向心力的大小F n ＝mg tan θ，D 正确．一个质量为0.1 kg 的小球，用一长0.45 m 的细绳拴着，绳的另一端系在O 点，让小球从图5所示位置从静止开始释放，运动到最低点时小球的速度为3 m/s.(小球视为质点，绳不可伸长，取g ＝10 m/s 2)图5(1)分析小球运动到最低点时向心力的来源，画出小球受力示意图；(2)小球到达最低点时绳对小球的拉力的大小．答案 (1)见解析 (2)3 N解析 (1)由题意可知，当小球运动到最低点时，小球受重力和绳的拉力2个力的作用，绳的拉力和重力的合力提供向心力，小球受力示意图如图所示；(2)由(1)可知，小球到达最低点时，绳的拉力和重力的合力提供向心力，F T －mg ＝m v 2r则F T ＝mg ＋m v 2r＝3 N. 二、变速圆周运动和一般的曲线运动导学探究 荡秋千是小朋友很喜欢的游戏，当秋千由上向下荡时：(1)此时小朋友做的是匀速圆周运动还是变速圆周运动？(2)绳子拉力与重力的合力指向悬挂点吗？运动过程中，公式F n ＝m v 2r＝mω2r 还适用吗？ 答案 (1)小朋友做的是变速圆周运动．(2)小朋友荡到最低点时，绳子拉力与重力的合力指向悬挂点，在其他位置，合力不指向悬挂点．运动过程中，公式F n ＝m v 2r＝mω2r 仍然适用于向心力的求解．知识深化1．变速圆周运动(1)受力特点：变速圆周运动中合力不指向圆心，合力F 产生改变线速度大小和方向两个作用效果．(2)某一点的向心力仍可用公式F n ＝m v 2r＝mω2r 求解． 2．一般的曲线运动曲线轨迹上每一小段看成圆周运动的一部分，在分析其速度大小与合力关系时，可采用圆周运动的分析方法来处理．(1)合力方向与速度方向夹角为锐角时，力为动力，速率越来越大．(2)合力方向与速度方向夹角为钝角时，力为阻力，速率越来越小．如图6所示，物块P 置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c 方向沿半径指向圆心，a 方向与c 方向垂直．当转盘逆时针转动时，下列说法正确的是( )图6A ．当转盘匀速转动时，P 所受摩擦力方向为cB ．当转盘匀速转动时，P 不受转盘的摩擦力C ．当转盘加速转动时，P 所受摩擦力方向可能为aD ．当转盘减速转动时，P 所受摩擦力方向可能为b答案 A解析 转盘匀速转动时，物块P 所受的重力和支持力平衡，摩擦力提供其做匀速圆周运动的向心力，故摩擦力方向为c ，A 项正确，B 项错误；当转盘加速转动时，物块P 做加速圆周运动，不仅有沿c 方向指向圆心的向心力，还有指向a 方向的切向力，使线速度大小增大，故摩擦力可能沿b 方向，不可能沿a 方向，C 项错误；当转盘减速转动时，物块P 做减速圆周运动，不仅有沿c 方向指向圆心的向心力，还有与a 方向相反的切向力，使线速度大小减小，故摩擦力可能沿d 方向，不可能沿b 方向，D 项错误．针对训练2 如图7所示，某物体沿14光滑圆弧轨道由最高点滑到最低点过程中，物体的速率逐渐增大，则()图7A．物体的合力为零B．物体的合力大小不变，方向始终指向圆心OC．物体的合力就是向心力D．物体的合力方向始终不与其运动方向垂直(最低点除外)答案 D解析物体做加速曲线运动，合力不为零，A错误；物体做速度大小变化的圆周运动，合力不指向圆心(最低点除外)，合力沿半径方向的分力等于向心力，合力沿切线方向的分力使物体速度变大，即除在最低点外，物体的速度方向与合力方向的夹角始终为锐角，合力与速度不垂直，B、C错误，D正确．考点一向心力的来源分析及计算1．下列对圆锥摆的受力分析正确的是()答案 D2．甲、乙两物体都做匀速圆周运动，其质量之比为1∶2，转动半径之比为1∶2，在相等时间内甲转过60°，乙转过45°，则它们所受外力的合力之比为()A．1∶4 B．2∶3 C．4∶9 D．9∶16答案 C3.(2021·山东滨州市高一期中)如图1所示为蒙晋边界的黄河大峡谷，河水沿着河床做曲线运动．图中A、B、C、D四处，受河水冲击最严重的是()图1A ．A 处B ．B 处C ．C 处D ．D 处答案 B解析 可看作河水沿着河道做圆周运动，根据运动路径可知，在B 处的河床要提供做圆周运动的向心力，故B 处的河床受河水的冲击最严重．4．(2020·北京市东城区高一上期末)如图2所示，把一个长为20 cm ，劲度系数为360 N/m 的弹簧一端固定，作为圆心，弹簧的另一端连接一个质量为0.50 kg 的小球，当小球以360πr/min 的转速在光滑水平面上做匀速圆周运动时，弹簧的伸长量应为( )图2A ．5.2 cmB ．5.3 cmC ．5.0 cmD ．5.4 cm答案 C解析 小球转动的角速度ω＝2πn ＝12 rad/s ，弹簧的弹力为小球做圆周运动提供向心力，即kx ＝mω2(x 0＋x )，解得x ＝mω2x 0k －mω2＝0.5×122×0.2360－0.5×122 m ＝0.05 m ＝5.0 cm ，选项C 正确． 考点二 变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点5．(2020·莲塘第一中学期中)如图所示，在“神舟十一号”沿曲线从M 点到N 点的飞行过程中，速度逐渐增大．在此过程中“神舟十一号”所受合力F 的方向可能是( )答案 B解析 做曲线运动的物体所受合力的方向总是指向曲线凹侧，A 、D 错误；由于速度逐渐增大，故合力F 的方向沿切线方向的分力与速度方向相同，B 正确，C 错误．6.“歼－20”是我国自主研发的一款新型隐形战机，图3中虚曲线是某次“歼－20”离开跑道加速起飞的轨迹，虚直线是曲线上过飞机所在位置的切线，则空气对飞机作用力的方向可能是( )图3A ．沿F 1方向B ．沿F 2方向C ．沿F 3方向D ．沿F 4方向答案 C解析 飞机向上加速，空气作用力与重力的合力应指向曲线的凹侧，同时由于飞机加速起飞，故空气对飞机的作用力与速度的夹角应为锐角，故只有C 选项符合题意．7.(多选)质量为m 的小球用长为L 的轻质细线悬挂在O 点，在O 点的正下方L 2处有一光滑小钉子P ，把细线沿水平方向拉直，如图4所示，无初速度地释放小球，当细线碰到钉子的瞬间(瞬时速度不变)，设细线没有断裂，则下列说法正确的是( )图4A ．小球的角速度突然增大B ．小球的角速度突然减小C ．小球对细线的拉力突然增大D ．小球对细线的拉力保持不变答案 AC解析 根据题意，细线碰到钉子的瞬间，小球的瞬时速度v 不变，但其做圆周运动的半径从L 突变为L 2，由ω＝v r 可知小球的角速度突然增大，选项A 正确，B 错误；根据F T －mg ＝m v 2r可知小球受到的拉力增大，由牛顿第三定律知，小球对细线的拉力增大，选项C 正确，D 错误．8.如图5所示，一圆柱形容器绕其竖直轴线匀速转动，内部有A 、B 两个物体，均与容器的接触面始终保持相对静止．当转速增大后(A 、B 与容器接触面间仍相对静止)，下列说法正确的是( )图5A．两物体受到的摩擦力都增大B．两物体受到的摩擦力大小都不变C．物体A受到的摩擦力增大，物体B受到的摩擦力大小不变D．物体A受到的摩擦力大小不变，物体B受到的摩擦力增大答案 D解析容器绕其轴线转动时，两个物体随容器一起转动，以A为研究对象，在水平方向上，容器施加的弹力提供A做圆周运动的向心力；在竖直方向上，重力和静摩擦力平衡，所以当转速增大后，物体A受到的摩擦力大小保持不变；以B为研究对象，水平方向的静摩擦力提供向心力，由F f＝F n＝mω2r＝4π2mn2r知其受到的摩擦力随着转速的增大而增大，故D 正确．9.(多选)如图6所示，某同学用硬塑料管和一个质量为m的铁质螺丝帽研究匀速圆周运动，将螺丝帽套在塑料管上，手握塑料管使其保持竖直并在水平方向做半径为r的匀速圆周运动，则只要运动角速度合适，螺丝帽恰好不下滑，假设螺丝帽与塑料管间的动摩擦因数为μ，认为最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力．重力加速度为g，则在该同学手转塑料管使螺丝帽恰好不下滑时，下列分析正确的是()图6A．螺丝帽受到的重力与最大静摩擦力平衡B．螺丝帽受到塑料管的弹力方向水平向外，背离圆心C．此时手转动塑料管的角速度ω＝g μrD．若塑料管转动加快，螺丝帽有可能相对塑料管发生运动答案AC解析螺丝帽恰好不下滑，则螺丝帽受到的重力和最大静摩擦力平衡，故A正确；螺丝帽在水平方向受到的弹力提供向心力，弹力的方向指向圆心，故B错误；根据mg＝F f＝μF N，F N＝mω2r，解得ω＝gμr，故C正确；若塑料管转动加快，则所需向心力增大，弹力增大，最大静摩擦力增大，螺丝帽受到的重力和静摩擦力仍然平衡，故D错误．10.如图7所示，将完全相同的两小球A、B用长L＝0.8 m的细绳悬于以v＝4 m/s向右匀速运动的小车顶部，两球分别与小车前、后壁接触．由于某种原因，小车突然停止运动，求此时细绳的拉力大小之比F B ∶F A .(g 取10 m/s 2)图7答案 1∶3解析 设两小球A 、B 的质量均为m .小车突然停止运动时，小球B 相对于小车静止，竖直方向上受力平衡，则有F B ＝mg ；小球A 绕悬点以速度v 做圆周运动，此时有F A －mg ＝m v 2L， 得F A ＝mg ＋m v 2L， 联立可得F B ∶F A ＝1∶3.11.如图8所示，有一质量为m 1的小球A 与质量为m 2的物块B 通过轻绳相连，轻绳穿过光滑水平板绕O 点做半径为r 的匀速圆周运动时，物块B 刚好保持静止．求：(重力加速度为g )图8(1)轻绳的拉力大小；(2)小球A 做匀速圆周运动的线速度大小．答案 (1)m 2g (2)m 2gr m 1解析 (1)物块B 受力平衡，故轻绳拉力大小F T ＝m 2g(2)小球A 做匀速圆周运动的向心力由轻绳拉力F T 提供，根据牛顿第二定律有：m 2g ＝m 1v 2r解得v ＝m 2gr m 1.12.在光滑水平杆上穿着两个小球m 1、m 2，且m 1＝2m 2，用水平细线把两球连起来，当支架匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，如图9所示．此时两小球到转轴的距离r1与r2之比为()图9A．1∶1 B．1∶4C．2∶1 D．1∶2答案 D解析由题图可知，两球均由所受细线的拉力提供向心力，所以向心力相等，角速度也相等，则有：m1ω2r1＝m2ω2r2，m1＝2m2，联立解得：r1∶r2＝1∶2.13.如图10所示，质量相等的小球A、B分别固定在轻杆的中点及端点，当杆在光滑的水平面上绕O点匀速转动时，求杆的OA段及AB段对球的拉力大小之比．图10答案3∶2解析球所受的重力和水平面的支持力在竖直面内，且是一对平衡力，故球的向心力由杆的OA段和AB段的拉力提供．分别隔离A、B受力分析，如图所示．A、B固定在同一根轻杆上，所以A、B的角速度相同，设角速度为ω，则由向心力公式可得：对A：F OA－F AB＝mrω2，对B：F AB′＝2mrω2又F AB＝F AB′，联立三式，解得F OA∶F AB＝3∶2.。
圆周运动练2
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圆周运动训练 2
1. 一质量为 m 的鹰在空中以速率 v 在水平Байду номын сангаас内盘旋，做半径为 R 的 匀速圆周运动， 则鹰张开的翅膀与水平方向夹角的正切值为 力加速度为 g) 2. 如果高速转动的飞轮的重心不在轴上，运行得不稳定，而且转轴 将受到很大的作用力，加速磨损。一半径为 20cm 的飞轮在正常工作时转轴受到的水平作用力 可认为是零。 假想在飞轮边缘上固定一质量为 0.01kg 的小螺丝钉， 当飞轮转速为 l000r/s 时， 转轴将受到多大的力? ． (重
5. 如图所示，在直径为 1.6m 的圆柱体一端截去圆锥．如图看到的剖面上三角形三边之 比为 3:4:5．圆柱体可绕其对称轴匀角速度旋转，将一小木块放置在斜面的中点，它与斜面的 摩擦因数μ =0.25，若小木块保持在此位置不动，则圆柱体旋转的角速度应为多大?
6. 如图示，为供儿童娱乐的滑梯的示意图，其中 AB 为斜面滑槽，与水平方向的夹角为
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θ =37°；长为 L 的 BC 水平滑槽，与半径 R=0.2m 的圆弧 CD 相切；ED 为地面．已知儿童在滑 槽上滑动时的动摩擦因数 μ =0.5，在 B 点由斜面转到水平面的运动速率不变，A 点离地面的竖 直高度 AE 为 H=2m．(取 g=10m/s ，sin37°=0.6，cos37°=0.8)试求： (1)儿童在斜面滑槽上滑下时的加速度大小?(要求作出儿童在斜面上运动的受力分析图) (2)儿童从A处由静止开始滑到B处时的速度大小?(可用根号表示) (3)为了使儿童在娱乐时不会从C处平抛滑出，水平滑槽BC的长度L至少为多少?
高中物理 第六章 圆周运动 专题二 圆周运动的临界问题教案习题(含解析)
专题二 圆周运动的临界问题1．竖直平面内的圆周运动 (1)竖直平面内的圆周运动模型在竖直平面内做圆周运动的物体，根据运动至轨道最高点时的受力情况，可分为三种模型。
一是只有拉(压)力，如球与绳连接、沿内轨道的“过山车”等，称为“轻绳模型”；二是只有推(支撑)力的，称为“拱桥模型”；三是可拉(压)可推(支撑)，如球与杆连接、小球在弯管内运动等，称为“轻杆模型”。
(2)三种模型对比2．水平面内的圆周运动的临界问题水平面内圆周运动的临界问题，其实就是要分析物体所处的状态的受力特点，然后结合圆周运动的知识，列方程求解，一般会涉及临界速度、临界角速度等。
通常有下面两种情况：(1)与绳(或面等)的弹力有关的临界问题：此类问题要分析出恰好无弹力或弹力达到最大这一临界状态下的角速度(或线速度)。
(2)因静摩擦力而产生的临界问题：此类问题要分析出静摩擦力达到最大时这一临界状态下的角速度(或线速度)。
典型考点一 竖直(倾斜)平面内的圆周运动及其临界问题1．(多选)轻绳一端固定在光滑水平轴O 上，另一端系一质量为m 的小球，在最低点给小球一初速度，使其在竖直平面内做圆周运动，且刚好能通过最高点P 。
下列说法正确的是( )A ．小球在最高点时对绳的拉力为零B ．小球在最高点时对绳的拉力大小为mgC ．若增大小球的初速度，则过最高点时球对绳的力一定增大D ．若增大小球的初速度，则在最低点时球对绳的力一定增大 答案 ACD解析 在最高点小球可能受重力和绳的拉力作用，合力提供圆周运动的向心力，由T ＋mg ＝m v 2R知，速度越大绳的拉力越大，速度越小绳的拉力越小，绳的拉力有最小值0，故速度有最小值gR ，因为小球恰好能通过最高点，故在最高点时的速度为gR ，此时绳的拉力为0，所以A 正确，B 错误；根据牛顿第二定律，在最高点时有T ＋mg ＝m v 2R，小球初速度增大，则在最高点速度增大，则绳的拉力增大，所以C 正确；小球在最低点时，合力提供圆周运动的向心力，有T －mg ＝m v 2R，增大小球的初速度时，小球所受绳的拉力增大，所以D 正确。
2020-2021高中物理新人教版必修第二册 6.1圆周运动 课时作业2(含解析)
2020-2021学年人教版（2019）必修第二册 6.1圆周运动 课时作业2（含解析）1．如图所示，B 和C 是一组塔轮，即B 和C 半径不同，但固定在同一转动轴上，其半径之比为R B ：R C =3：2，A 轮的半径大小与C 轮相同，它与B 轮紧靠在一起，当A 轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦作用，B 轮也随之无滑动地转动起来。
a 、b 、c 分别为三轮边缘的三个点，则a 、b 、c 三点在转动过程中的（ ）A ．线速度大小之比为3：2：2B ．角速度之比为3：3：2C ．转速之比为2：3：2D ．向心加速度大小之比为9：6：42．明代出版的《天工开物》一书中就有牛力齿轮翻车的图画(如图)，记录了我们祖先的劳动智慧．若A 、B 、C 三齿轮半径的大小关系如图，则( )A ．齿轮A 的角速度比C 的大B ．齿轮A 、B 的角速度大小相等C ．齿轮B 与C 边缘的线速度大小相等D ．齿轮A 边缘的线速度比齿轮C 边缘的线速度大3．如图所示，竖直薄壁圆筒内壁光滑、半径为R ，上部侧面A 处开有小口，在小口A 的正下方h 处亦开有与A 大小相同的小口B ，小球从小口A 沿切线方向水平射入筒内，使小球紧贴筒内壁运动，要使小球从B 口处飞出，小球进入A 口的最小速率0v 为（ ）A ．2ghπB ．2g hπC ．2h RgπD ．2h Rgπ4．如图所示为一种修正带，其核心结构包括大小两个齿轮、压嘴座等部件，大小两个齿轮是分别嵌合于大小轴孔中的并且齿轮相互吻合良好，a 、b 点分别位于大小齿轮的边缘且R a：R b＝3：2，c点位于大齿轮的半径中点，当纸带以速度v匀速走动时b、c 点的向心加速度之比是（）A．1：3 B．2：3 C．3：1 D．3：25．如图所示是一个玩具陀螺，a、b和c是陀螺上的三个点，当陀螺绕垂直于水平地面的轴线以角速度 稳定旋转时，下列表述正确的是（）A．a、b和c三点的线速度大小相等B．a、b和c三点的角速度相等C．a、b两点的角速度比c的大D．c的线速度比a、b的大6．有两人坐在椅子上休息，他们分别在中国的大连和广州，关于他们具有的线速度和角速度相比较（）A．在广州的人线速度大，在大连的人角速度大B．在大连的人线速度大，在广州的人角速度大C．两处人的线速度和角速度一样大D．两处人的角速度一样大，在广州处人的线速度比在大连处人的线速度大7．如图所示为一链条传动装置的示意图。
1-2圆周运动
d v 对于匀速率圆周运动， = 0 ，故 at = 0 。 dt
a = at + an
=
an
故匀速率圆周运动的加速度指向圆心。 故匀速率圆周运动的加速度指向圆心。
1-2 圆周运动 2.对于一般的曲线运动 2.对于一般的曲线运动
a
an
ϕ
dv v a= e + e dt t ρ n
2
at
其中 ρ 为相应点的曲率半径 。
v1
et1
et 2
∆θ
et1
o
r
∆et = ∆θ ×1
大小： 大小：Βιβλιοθήκη det ∆e ∆θ dθ = lim t = lim = dt ∆t dt ∆t → 0 ∆t → 0 ∆ t
v2
大小： 大小：
1-2 圆周运动
et 2
v1
et1
de t ∆e ∆θ dθ = lim t = lim = dt ∆t dt ∆t → 0 ∆t → 0 ∆ t
et 2
∆θ ∆θ
t
et
1-2 圆周运动
det dv dv a = = e +v = a +a t n dt dt dt t
切向加速度( 切向加速度(速度大小变化引起) 速度大小变化引起)
dv at = et = rα et dt
法向加速度( 法向加速度(速度方向变化引起) 速度方向变化引起)
v dθ 2 =v an = v e = vωen = ω ren = en dt dt n r det
的方向，故称为切向加速度 at 。 et的方向， 匀速率圆 周运动？ 周运动？
1-2 圆周运动
det dt
切向单位矢量随时间的变化率， 单位矢量随时间的变化率，表示速度
2021-高中物理人教版必修第二册课件：第六章圆周运动 第2节向心力
A.1∶3 B.3∶1 C.1∶9 D.9∶1
【解析】ꢀ在研究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系时，需先控制某些量不变，研究另外两个物理量的关系，该方 法为控制变量法。 （1）因F=mω2r，根据控制变量法的原理可知，在研究向心力的大小F与质量m的关系时，要保持其他的物理量不变，即保持角速度ω 和半径r相同，故选A。 （2）题图中所示两球的质量相同，转动的半径相同，根据F=mω2r可知，研 究的是向心力的大小F与角速度ω的关系，故选C。 （3）根据F=mω2r可知，两球的向心力之比为1∶9，半径和质量相等，则转动的角速度之比为1∶3，因为靠皮带传动，变速塔轮的线速 度大小相等，根据v=rω可知与皮带连接的两个变速塔轮对应的半径之比为3∶1，故选B。
题6［2019·云南宣威九中高一检测］［多选］如图所示，A、B两个小球质量相
等，用一根轻绳相连，另有一根轻绳的两端分别连接O点和B点，让两个小球绕
O点在光滑水平桌面上以相同的角速度做匀速圆周运动，若OB绳上的拉力为F1
，AB绳上的拉力为F2，OB=AB，则（CDꢀꢀ）
A.A球所受向心力为F1，B球所受向心力为F2 B.A球所受向心力为F2，B球所受向心力为F1
轻绳栓一小球,在光滑桌面上做匀速圆周运动
小球受到几个力的作用? 这几个力的合力沿什么方向?
F
FN
G
小球受到重力、桌面的支持力和绳子的拉力。
重力和支持力相互抵消，合力为绳子的拉力，沿着绳子指 向圆心。
向心力
1、定义：
做匀速圆周运动的物体一定受到一个指向圆心的合 力，这个力叫做向心力
2、方向特点：
总指向圆心，沿半径方向与线速度垂直，方向不断 变化
圆周运动 (2)
(1) A的速率为1.0m/s (2) A的速率为4.0m/s
解：先求出杆的弹力为0 的速率v0
mg=mv02/l
v02=gl=5
v0=2.25 m/s
N1 m
A mg
(1) v1=1m/s< v0 球应受到内壁向上的支持力N1，
O
受力如图示：
mg-N1=mv12 /l
得 N1=1.6 N
(2) v2=4m/s > v0 球应受到外壁向下的支持力N2如图示：m
圆周运动基本概念
一、描述圆周运动的物理量
1.线速度.
(1)物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢
(2)方向：质点在圆弧某点的线速度方向沿圆弧 该点的切线方向
(3)大小：v=s/t(s是t时间内通过的弧长) 2.角速度 (1)物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢 (2)大小：=/t rad/s,是连接质点和圆心的半 径在t时间内转过的角度
二、匀速圆周运动 1.特点： (1)速率的大小始终不变，运动的方向时刻在变，是变速
曲线运动 (2)合外力（或加速度）的方向时刻与速度方向垂直，大
小恒定，方向变化（时刻指向圆心），是变加速曲线运动。 (3）加速度：大小不变，方向时刻在发生变化，所以只存
在向心加速度而无切向加速度。 (4）向心力：即物体所受到的合外力，时刻指向圆心。 (5）向心力对物体不做功。
（1）确定研究对象，确定其运动轨迹及运 行平面； （2）对对象进行受力分析； （3）建立坐标系，通常选取质点所在位置 为坐标原点，其中一条轴与半径重合，沿半 径方向的合力提供向心力； （4）用牛顿第二定律和平衡条件建立方程 进行求解。
练1.如图在光滑的圆锥顶用长为l的细线 悬挂一质量为m的小球，圆锥体固定在 水平面上不动，其轴线沿竖直方向，母 线与轴线之间的夹角为300，物体以速率 v绕圆锥体轴线做水平匀速圆周运动。 ⑴当 v1 gl / 6时，求绳对物体的拉力。 ⑵当v2 3gl/ 2 时，求绳对物体的拉力。
2 圆周运动
2.1匀速圆周运动1、匀速圆周运动属于（）A、匀速运动B、匀加速运动C、加速度不变的曲线运动D、变加速的曲线运动2、对于做匀速圆周运动的物体来说，不变的物理量是（）A、周期B、频率C、角速度D、线速度3、质点做匀速圆周运动时，下列说法正确的是…（）A、线速度越大，周期一定越小B、角速度越大，周期一定越小C、转速越大，周期一定越小D、圆周半径越小，周期一定越小4、甲、乙、丙三个物体，甲放在广州、乙放在上海、丙放在北京，当它们与地球一起转动时，则（）A、甲的角速度最大，乙的线速度最小B、丙的角速度最小，甲的线速度最大C、三个物体的角速度、周期和线速度都相等D、三个物体的角速度、周期一样，丙的线速度最小5、机械表的时针和分针做圆周运动（）A、分针角速度是时针角速度的12倍B、分针角速度是时针角速度的60倍C、如果分针的长度是时针长度的1.5倍，则分针端点的线速度是时针端点线速度的18倍D、如果分针的长度是时针长度的1.5倍，则分针端点的线速度是时针端点线速度的1.5倍6、如图所示，皮带传动装置转动后，皮带不打滑、则皮带轮上A、B、C三点的情况是（）A、v A=v B，v B＞v CB、ωA=ωB，v B＞v CC、v A=v B，ωB=ωCD、ωA＞ωB，v B=v C7、在下列几种运动中，属于匀变速运动的是（）A、匀速圆周运动B、上抛运动C、平抛运动D、斜抛运动8、物体做匀速圆周运动的条件是[ ]A、物体有一定的初速度，且受到一个始终和初速度垂直的恒力作用B、物体有一定的初速度，且受到一个大小不变，方向变化的力的作用C、物体有一定的初速度，且受到一个方向始终指向圆心的力的作用D、物体有一定的初速度，且受到一个大小不变方向始终跟速度垂直的力的作用9、如图所示，一个球绕中心轴线OO′以角速度ω转动,则（）A、A、B两点的角速度相等B、A、B两点的线速度相等C、若θ=30°，则v A∶v B=3∶2D、以上选项都不对10、当物体做匀速圆周运动时，下列说法中正确的是（）A物体处于平衡状态B物体由于做匀速圆周运动而没有惯性C物体的速度由于发生变化而会有加速度D物体由于速度发生变化而受合力作用11．如图所示是一个玩具陀螺．a、b和c是陀螺外表面上的三个点．当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是( )A．a、b和c三点的线速度大小相等B．a、b和c三点的角速度相等C．a、b的角速度比c的大D．c的线速度比a、b的大12．甲、乙两个做匀速圆周运动的质点，它们的角速度之比为3∶1，线速度之比为2∶3，那么下列说法中正确的是( )A．它们的半径之比为2∶9 B．它们的半径之比为1∶2C．它们的周期之比为2∶3 D．它们的周期之比为1∶313、如图所示为一种早期的自行车，这种不带链条传动的自行车前轮的直径很大，这样的设计在当时主要是为了( )A ．提高速度B ．提高稳定性C ．骑行方便D ．减小阻力14．如图所示，当屏幕上出现一辆匀速奔跑的情况时，观众如果注意车辆的辐条，往往会产生奇怪的感觉。
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思考：你能否从以上结论得出线 速度和角速度之间的关系呢？
同轴转动上各点的快慢关系
B A
思考：如果RA= RC= 1m,转动轮的转动 角速度为3rad/s，那么，A、B两点的角速 度是多少？线速度又分别是多少？
例：地球可以看做是一个半径 R 的球体，分别位
于北纬600 和300 和赤道的物体，随着地球的自转
做匀速圆周运动的角速度各是多大？线速度各是
多大？
思考：1、地球是如何自转的？ 2、地球自转的周期是多少？
C
3、地球自转的角速度是多大？P、
Q、C三点的角速度呢？
4、P、Q、C三点的做圆周运动的圆心在什么位置？
5、P、Q、C三点的做圆周运动的半径分别是多少？
6、P、Q、C三点的做圆周运动的线速度分别是多少？
Ｏ
3、单位：弧度/秒 rad/s 或 s -1
三、周期：T
表示运动一周所用的时间
1 四、频率： f T
表示一秒内转过的圈数
五、转速：n=f
周期越小说明物体运动的越快！ 频率越高表明物体运转得越快！
例：秒针做圆周运动的半径为6cm， 则：（1）秒针的周期是多大？ （2）秒针运动一个周期转过的弧度 是多大？秒针运动的角速度多大？ （3）秒针运动一个周期的弧长多大？ 秒针运动的线速度多大？
∆t
1、定义：质点做圆周运动通过 的弧长 Δl 和所用时间 Δt 的比值 叫做线速度的大小。 2、大小： Δl v = Δt
∆l
Δl是弧长 并非位移
3、单位：m/s 4、方向：质点在圆周某点的线速度方向沿圆周上 该点的切线方向。
二、角速度
1、定义：质点所在的半径转 过的角度Δθ和所用时间Δt的 比值叫做角速度。 Δθ 2、公式： ω= Δt Δθ采用弧 度制
质点的运动轨迹是圆或圆的一部分的运动叫做圆周运动
思考
两物体均做圆周运动，怎样比较它们运动的快慢？
比较物体 在一段时 间内通过 线速度 的圆弧的 长短
比较物体 在一段时 间内半径 角速度 转间
比较物体 在一段时 频率 间内转过 的圈数 转速
一、线速度
矢量
v 观察运动有什么特 点？线速度角速度 是怎样变化的？
v
o
v
速率不变 匀速圆周运动是变速运动！
是线速度大小不变的运动！
小结
1、圆周运动的概念 2、描述圆周运动的几个物理量及其关系
Δl v = Δt
Δθ ω= Δt
1 n=f = T
2π
T
v=
2πr
T
ω=
v = rω
3、匀速圆周运动的特点及性质
(1)、线速度大小不变,方向时刻变化,是变速运动 (2)、速率、角速度、周期、频率、转速都不变