向量代数与空间解析几何教案.doc

第八章向量代数与空间解析几何

第一节向量及其线性运算

教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。教学重点： 1. 空间直角坐标系的概念

2.空间两点间的距离公式

3.向量的概念

4.向量的运算

教学难点： 1. 空间思想的建立

2.向量平行与垂直的关系

教学内容：

一、向量的概念

1．向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向

量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。

2．量的表示方法有: a 、i、F、 OM 等等。

3．向量相等a b ：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全

重合的向量）。

4．量的模：向量的大小，记为 a 、OM。

模为 1 的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。

5．量平行a // b：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。

6．负向量：大小相等但方向相反的向量，记为 a

二、向量的线性运算

b c

1．加减法a b c：加法运算规律：平行四边形法则（有

时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7

a －4

2．a b c 即 a ( b) c

3．向量与数的乘法 a ：设是一个数，向量 a 与的乘积a规定为

(1) 0 时， a 与a 同向， | a | | a |

(2) 0 时， a 0

(3) 0 时， a 与a反向，| a | | || a |

其满足的运算规律有：结合率、分配率。设 a 0表示与非零向量 a 同方向的单位向量，那么

a 0a

a

定理 1：设向量，那么，向量

b 平行于

a

的充分必要条件是：存在唯一的实数

λ

，

a≠ 0

使b＝a

例 1：在平行四边形ABCD中，设AB a ，AD b ，试用 a 和b表示向量 MA 、MB 、MC 和 MD ，这里M是平行四边形对角线的交点。（见图7－5）图 7－ 4

解： a b AC 2 AM ，于是 MA 1

(a b) 2

由于 MC MA ，于是 MC 1

b)

(a

2 1

(b a)

又由于 a b BD 2 MD ，于是 MD

1 (b 2

由于 MB MD ，于是 MB a)

2

三、空间直角坐标系

1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）

如图 7－ 1，其符合右手规则。即以右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以角度

2

转向正向 y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。

2．间直角坐标系共有八个卦限，各轴名称分别为：x轴、y轴、z轴，坐标面分别

为 xoy 面、yoz面、zox面。坐标面以及卦限的划分如图7－2 所示。

图

图 7－1 右手规则演示

7－ 2 空间直角坐标系图图7－3空间两点

M 1 M 2的距离图3．空间点M ( x, y, z)的坐标表示方法。

通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起来。注意：特殊点的表示

a)在原点、坐标轴、坐标面上的点；

b) 关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。4．空间两点间的距离。若

M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、 M 2 (x2 , y2 , z2 ) 为空间任意两点，则 M 1 M 2的距离（见图7－ 3），利用直角三角形勾股定理为：

d 2 M 1M 2 2 2 2

M 1 NNM 2

2 2

NM 2 2

M 1 p pN

而M 1 P x2 x1

PN y2 y1

NM 2 z2 z1

所以

d M 1 M 2 ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 )2 ( z2 z1 ) 2

特殊地：若两点分别为M ( x, y, z) ， o(0,0,0)

d oM x 2 y 2 z2

例 1：求证以M1(4,3,1)、M2(7,1,2)、M3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。

2

(4 7) 2 (3 1)2 (1 2)2 14

证明 : M 1 M 2

M 2 M 3 2

7)2 (2 1)2 (3 2)2 6 (5

2

(5 4)2 ( 2 3) 2 (3 1) 2 6

M 3 M 1

由于M 2 M 3 M 3 M 1，原结论成立。

例 2：设P在x轴上，它到P1(0, 2,3) 的距离为到点 P2 (0,1, 1) 的距离的两倍，求点P 的坐标。

解：因为 P 在x轴上，设P点坐标为( x,0,0)

PP1 x 2 2 2 2 x 2 11 2 2 2 2 2

3

x 1 x 2

PP 1

PP1 2 PP2 x2 11 2 x2 2

x 1

所求点为：(1,0,0) ， ( 1,0,0)

四、利用坐标系作向量的线性运算

1．向量在坐标系上的分向量与向量的坐标

通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系，同样地，为了沟通数与向量的研究，需要建立向量与有序数之间的对应关系。

设 a = M 1M 2 是以 M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) 为起点、 M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) 为终点的向量， i 、 j 、 k

分别表示

图 7－ 5

沿 x ， y ，z 轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图 7－ 5，并应

用向量的加法规则知：

M M

2

( x

2

x ) i + ( y 2 y 1 ) j + (z 2 z 1 ) k

1

1

或

a = a x i + a y j + a z k

上式称为向量 a 按基本单位向量的分解式。

有序数组

a x

、 y 、 z 与向量 a 一一对应，向量 a 在三条坐标轴上的投影

x

、 y 、 z 就

a a a a a

叫做向量 a 的坐标，并记为

a ＝ { a x ， a y ， a z } 。

上式叫做向量 a 的坐标表示式。

于是，起点为 M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) 终点为 M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 的向量可以表示为

M 1M 2 { x 2 x 1, y 2 y 1 , z 2

z 1 }

特别地，点 M ( x, y, z) 对于原点 O 的向径

OM { x, y, z}

注意 ：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。

向量 a 在坐标轴上的投影是三个数

a x 、 a y 、 a z ，

向量 a 在坐标轴上的分向量是三个向量

x

i 、

y

、

z

.

a a j a k

2．向量运算的坐标表示

设 a

{ a x , a y , a z } ， b { b x , b y ,b z } 即 a a x i a y j

a z k ，

b b x i b y j b z k

则

(1) 加法：

a b

(a

x

b x )i (a y

b y ) j

(a

z

b z )k

◆ 减法：

a b

(a

x

b x ) i

(a

y

b y ) j

( a z

b

z

) k