武汉调考24题参考答案与试题解析2

武汉调考24题参考答案与试题解析2
14．（2010•武汉模拟）如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°．（1）求证：AD=BD；
（2）E为AD延长线上的一点，且CE=CA，求证：AD+CD=DE；
（3）当BD=2时，AC的长为．（直接填出结果，不要求写过程）
∴BH=BD•cos30°=．
∴AC=BC=BH÷sin45°=．
15．（2009•武汉模拟）如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，且BE=2CE；F为AB上一动点，BF=nAF，连接DF，AE交于点P．
（1）若n=1，则=，=；
（2）若n=2，求证：8AP=3PE；
（3）当n=时，AE⊥DF（直接填出结果，不要求证明）．
∴△BEA∽△CEH，
∴，
设EC=m，则AB=BC=CD=3m，BE=2m，CH=1.5m，
同理：△AFP∽△DPH，
∴FP：PD=AP：PH=AF：DH=1.5m：4.5m=1：3，
设AP=n，PH=3n，AH=4n，AE：EH=2：1，EH=n，
∴PE=n，
∴AP：PE=3：5，
∴=，=；
（2）证明：如图，延长AE交DC的延长线于H，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB∥DH，
∴∠H=∠BAH，∠B=∠BCH，
∴△BEA∽△CEH，
∴，
设EC=2a，BE=4a，则AB=BC=CD=6a，CH=3a，AF=2a，同理：△AFP∽△HDP，，
设AP=2k，PH=9k，
∴AH=11k，
∴EH=，
∴PE=，
∴=，
∴8AP=3PE；
（3）当AE⊥DF时，tan∠BAE=PF：AP=BE：AB=2：3，∵△AFP∽△AFD，
∴FP：AP=AF：AD=2：3，
∴AF=AD=AB，BF=AB，
∴BF=AF，
∴n=．
本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识点，通过构建相似三角形得出相关线段间
16．（2008•武汉模拟）如图所示，△OAB，△OCD为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．
（1）如图1，点C在OA边上，点D在OB边上，连接AD，BC，M为线段AD的中点．求证：OM⊥BC．
（2）如图2，在图1的基础上，将△OCD绕点O逆时针旋转a（a为锐角），M为线段AD的中点．
①线段OM与线段BC是否存在某种确定的数量关系？写出并证明你的结论；
②OM⊥BC是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；等腰直角三角形．
（1）根据等腰直角三角形的性质，可证△AOD≌△BOC，根据全等三角形的性质和直角三角形斜边上的中线的性质即可证明OM⊥BC；
（2）①先延长AO到F，使FO=AO．连接DF，由M为AD中点，O为AF中点，得出MO为△ADF中位线，MO=DF，再由∠AOB=∠BOF=∠COD=90°，得出∠COB=∠DOF，根据SAS判断△COB≌△DOF，则DF=BC，所以MO=BC；
②由MO为△ADF中位线，得出MO∥DF，根据平行线的性质得出∠MOA=∠F，再由全等三角形的性质和角之
间的关系即可证得结论．
（1）证明：∵△OAB与△OCD为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，
∴OC=OD，OA=OB，
∵在△AOD与△BOC中，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴∠ADO=∠BCO，∠OAD=∠OBC，
∵点M为线段AD的中点，
∴OM=MD，
∴∠ODM=∠DOM，
∴OM⊥BC；
（2）①OM=BC．
证明：延长AO到F，使FO=AO．连接DF，则OB=OF，
∵M为AD中点，O为AF中点，
∴MO为△ADF中位线，
∴MO=DF，
∵∠AOB=∠BOF=∠COD=90°，
∴∠COB=∠DOF，
在△COB与△DOF，
，
∴△COB≌△DOF（SAS），
∴DF=BC，
∴MO=BC；
②∵MO为△ADF的中位线，
∴MO∥DF，
∴∠MOA=∠F，
又∵△COB≌△DOF，
∴∠CBO=∠F，
∵∠AOC+∠FOD=90°，
∴∠CBO+∠BOM=90°，
即OM⊥BC．。