课 题：8.6抛物线的简单几何性质(一)

课题：8．6抛物线的简单几何性质（一）
教学目的：
1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；
2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；
3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化
教学重点：抛物线的几何性质及其运用
教学难点：抛物线几何性质的运用
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
“抛物线的简单几何性质”是课本第八章最后一节，它在全章占有重要的地位和作用本节知识在生产、生活和科学技术中经常用到，也是大纲规定的必须掌握的内容，还是将来大学学习的基础知识之一对于训练学生用坐标法解题，本节一如前面各节一样起着相当重要的作用
研究抛物线的几何性质和研究椭圆、双曲线的几何性质一样，按范围、对称性、顶点、离心率顺序来研究，完全可以独立探索得出结论已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标和准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向，一次项的变量如果为x（或y），则x轴（或y轴）是抛物线的对称轴，一次项的符号决定开口方向，由已知条件求抛物线的标准方程时，首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型，再求出方程中的参数p
第一课时内容主要讲抛物线的四个几何性质、抛物线的画图、例1、例2、及其它例题；第二课时主要内容焦半径公式、通径、例3
教学过程：
一、复习引入：
1．抛物线定义：
平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定
点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线 2．抛物线的标准方程：
相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂
直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系
数绝对值的
4
1，即
4
2p =
不同点：(1)图形关于X 轴对称时，X 为一次项，Y 为二次项，方程右端为
px 2±、左端为2
y ；图形关于Y 轴对称时，X 为二次项，Y 为一次项，方程右
端为py 2±，左端为2x （2）开口方向在X 轴（或Y 轴）正向时，焦点在X
轴（或Y 轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X 轴（或Y 轴）负向时，焦点在X 轴（或Y 轴）负半轴时，方程右端取负号 二、讲解新课：
抛物线的几何性质
1．范围
因为p ＞0，由方程()022
>=p px y 可知，这条抛物线上的点M 的坐标(x ，
y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． 2．对称性
以－y 代y ，方程()022
>=p px y 不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我
们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．
3．顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程()022>=p px y 中，当y=0时，x=0，因此抛物线()022>=p px y 的顶点就是坐标原点． 4．离心率
抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示．由抛物线的定义可知，e=1．
对于其它几种形式的方程，列表如下：
抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线
通过图形的分析找出双曲线与抛物线上的点的性质差异，当抛物线上的点趋向于无穷远时，抛物线在这一点的切线斜率接近于对称轴所在直线的斜率，也就是说接近于和对称轴所在直线平行，而双曲线上的点趋向于无穷远时，它的切线斜率接近于其渐近线的斜率 附：抛物线不存在渐近线的证明．（反证法） 假设抛物线y 2＝2px 存在渐近线y ＝mx ＋n ，A （x ，
y ）为抛物线上一点， A 0（x ，y 1）为渐近线上与A 横坐标相同的点如图，
则有px y 2±=和y 1＝mx ＋n ． ∴ px n mx y y 21
+=-
x
p x
n m x 2 +⋅=
当m ≠0时，若x →＋∞，则+∞→-y y 1 当m ＝0时，px n y y 21 =-，当x →＋∞，则+∞→-y y 1
这与y ＝mx ＋n 是抛物线y 2＝2px 的渐近线矛盾，所以抛物线不存在渐近线
三、讲解范例：
例1 已知抛物线关于x 轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点
)22,2(-M ，求它的标准方程，并用描点法画出图形．
分析：首先由已知点坐标代入方程，求参数p ．
解：由题意，可设抛物线方程为px y 22
=，因为它过点)22,2(-M ，
所以 22)22(2
⋅=-p ，即 2=p
因此，所求的抛物线方程为x y 42
=．
将已知方程变形为x y 2±=，根据x y 2=计算抛物线在0≥x 的范围内几个点的坐标，得
描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分
点评：在本题的画图过程中，如果描出抛物线上更多的点，可以发现这条
抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线，也就是说，抛物线没有渐近线．
例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的直径60cm ，灯深为40cm ，求抛物线的标准方程和焦点位置． 分析：这是抛物线的实际应用题，设抛物线的标准方程后，根据题设条件，可确定抛物线上一点坐标，从而求出p 值．
解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x 轴垂直于灯口直径．
设抛物线的标准方程是px y 22= (p ＞0)．
由已知条件可得点A 的坐标是(40，30)，代入方程，得402302⨯=p ， 即 4
45=
p
所求的抛物线标准方程为x y 2
452
=
．
例3 过抛物线px y 22=的焦点F 任作一条直线m ，交这抛物线于A 、B 两点，
求证：以AB 为直径的圆和这抛物线的准线相切． 分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．
证明：如图．设AB 的中点为E ，过A 、E 、B 分别向准线l 引垂线AD ，EH ，BC ，垂足为D 、H 、C ，则
｜AF ｜＝｜AD ｜，｜BF ｜＝｜BC ｜
∴｜AB ｜＝｜AF ｜＋｜BF ｜＝｜AD ｜＋｜BC ｜＝2｜EH ｜ 所以EH 是以AB 为直径的圆E 的半径，且EH ⊥l ，因而圆E 和准线l 相切． 四、课堂练习：
1．过抛物线x y 42
=的焦点作直线交抛物线于()11,y x A ，()22,y x B 两点，
如果621=+x x ，那么||AB =（ B ）
（A ）10 （B ）8 （C ）6 （D ）4
2．已知M 为抛物线x y 42
=上一动点，F 为抛物线的焦点，定点()1,3P ，
则||||MF MP +的最小值为（ B ）
（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 3．过抛物线()02
>=a ax
y 的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段
PF 、QF 的长分别是p 、q ，则
q
p
11+
=（ C ）
（A ）a 2 （B ）
a
21 （C ）a 4 （D ）a
4
4．过抛物线x y 42=焦点F 的直线l 它交于A 、B 两点，则弦AB 的中点的轨迹方程是 ______ (答案：()122-=x y )
5.定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线x y =2上移动，求AB 中点M 到
y 轴距离的最小值，并求出此时AB 中点M 的坐标
（答案：⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛±
22,45M , M 到y 轴距离的最小值为45） 五、小结 ：抛物线的离心率、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等 六、课后作业：
1．根据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图．
（1）顶点在原点，对称轴是x 轴，顶点到焦点的距离等于8．
（2）顶点在原点，焦点在y 轴上，且过P （4，2）点．
（3）顶点在原点，焦点在y 轴上，其上点P （m ，－3）到焦点距离为5． 2．过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 在准线上的射影是A 2，B 2，则∠A 2FB 2等于
3．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的弦长为16，求抛物线方程． 4．以椭圆
15
2
2
=+y
x
的右焦点，F 为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求
抛物线截椭圆在准线所得的弦长．
5．有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽是多少米？ 习题答案： 1．（1）y 2＝±32x （2）x 2＝8y （3）x 2＝－8y
2．90° 3．x 2＝±16 y
4．54
5．5
20
七、板书设计（略）
八、课后记：。