小题不小

小题不小

--------中考客观性问题综述

浙江省义乌市宾王中学 赵庚新(322000)

客观性试题在各地的中考卷中,在分值上一般占40%左右.在题量上占70%左右.选择题和填空题在题量和分值上一般是各一半(各地略有差异),随着课改的深入展开,具有很大导向作用的中考的改革也正伴随着课改热火朝天地进行较大力度的改革.其中很明显的一点,就是增加了客观性命题的份量,并使客观性试题的难度降得很低,基本上称为送分题,现在有一种说法叫做”送分送到家”,特别是前面几题,难度系数在0.8,最容易的在0.95甚至达到0.98.

但是为了兼顾高中的招生,试卷又要有一定的区分度,各地的中考命题人员在多年的命题中摸索出成功的经验,就是在客观题的最后一题增加难度.因为命题人员感到在大题上增加难度存在着一定的风险,因为大题分值高也容易被猜到.而且在难度系数上很难把握.于是把难题转移到客观题上.因此在近几年的各地中考卷中出现了较难的填空选择题.现在笔者把它们归纳为以下几种类型.供有兴趣的老师在复习中参考.

一、几何类问题

例1(陕西省2006年中考题)如图,矩形

ABCG(AB

在同一条直线上,∠APE 的顶点在线段BD

上移动,使∠APE 为直角的P 点的个数是

（ ）

A.0

B.1

C.2

D.3

解:设矩形的长为a,它的宽为b.过AE

的中点O 作ON ⊥BD,垂足为N,延长AG 交

DE 于H,则在Rt △AHE 中

AH=a+b,HE=a-b,由勾股定理得AE=22()()a b a b ++-=222()a b +.

∴⊙O 的半径为222()2

a b +. 又在直角梯形ABDE 中,∵O 为AE 的中

点, ON ⊥BD,∴ON ∥AB,∴ON 为梯形

ABDE 的中位线.∴

ON=22

AB DE a b ++=, 而以O 为圆心AE 为直径作圆.设交BD 于P 点,则OP=222()2

a b +. 222222222

222()2()22()()()224444

a b a b a b a ab b a ab b a b +++++-++-=-==>0,∴222()2

a b +＞2a b +.∴BD 与圆有两个交点(圆心到直线的距离小于半径,则直线与圆相交).由半圆上的圆周角是直角∴这两点分别与A,E 的连线所成的角均为直角.∴应选C.

评议: (1)本题中的C 点就是其中一个符合条件的点,因为△AFC 是等腰直角三角形,这是比较明显的;(2)本题所用到的知识点较多,主要有:勾股定理,梯形的中位线定理,直径所对的圆周角是直角,直线与圆的位置关系以及线段的大小比较等.(3)本题的另外一种方法是先确定点C 是符合条件的点,然后利用Rt △PCN 中斜边大于任何一条直角边,说明ON

例2(2006年山东省济南市中考题)现有若干 张边长不相等但都大于4cm 的正方形纸片, 从中任选一张,如图从距离正方形的四个顶 点2cm 处,沿45°角画线,将正方形纸片分

成5部分,则中间阴影部分的面积是 cm 2 ;若在上述正方形纸片中再任选一张重复上

述过程,并计算阴影部分的面 积,你能发现什么规律? .

解:如图,(1)设正方形的边长为5cm,则CD=5cm,CE=2cm,DE=3cm,∴

EF=1cm.∴S 阴影=52-4×12

×(5-2)2+(5-2-2)2=25-18+1=8. ∴第一个填空应填8cm.

(2)设正方形的边长为a,则由题意可得:

a 2-4×12

(a-2)2+(a-4)2=a 2-2a 2+8a-8+a 2-8a+16=8.∴阴影部分的面积跟四边形的边长无关(只要边长大于4cm 即可).

∴第二个填空应填:阴影部分的面积不变(为8cm 2).

说明:本题的解答关键(1)由正方形的性质决定四周的四个四边形全等.另

A 45° 2cm 2cm 45° 2cm

B 2cm 45° 45°

C

D

E F

外确定阴影部分的面积的方法是给定一个正方形(边长确定)就可以求得阴影部分的面积;(2)在计算时需要采用割补法,在割补中要把割掉的或重叠的补上(即图中EF 为边的等腰直角三角形);(3)在第二小题计算中要利用数形结合列出代数式并把它化简.

二、存在性问题

存在性问题本来是综合性比较强的问题,但它仍然可出现在小题中.这也说明小题也可以做大文章.只不过,这类

存在性问题出现在填空选择题不作过程的

要求,而仅仅要求最后的结论.

例3 (2007年天津市中考题)如图,直线

经过⊙O 的圆心O,且与⊙O 交于A,B 两点,

∠AOC=30°,点P 是直线L 上一动点(与圆

心O 不重合),直线CP 与⊙O 相交于点Q.问:是否存在点P,使得QP=QO; (用”存在”或”不存在”填空).若存在,满

足上述条件的点有几个?并求出相应的∠OCP

的大小;若不存在,请简要说明理由.

解: (1)针对上图,当P 点在圆内时,为了解

题方便,不妨设∠OCP=x,∠QOP=y,则∠OQC=x,

∠OPQ=y,由题意可得15022180

y x y x -⎧=⎪⎨⎪+=⎩,解之得

X=40°,y=70°,∴∠OCQ=40°.∴第一个空格

可填:存在.

(2)由图1当P 点在圆的左侧时, 不妨设∠

OCP=x,∠QOC=y, 则∠OQC=x,∠QOP=12

x, 由题意可得115022180

x y y x ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,解之得x=20,y=140,∴∠OCQ=20°.

(3)由图2当P 点在圆的右侧时, 不妨设∠OCP=x,∠QPO=y, 则∠QOP=y, 由题意可得150180(30)1802

x y y x +=⎧⎪⎨--+=⎪⎩,解之得x=100,y=70,∴∠OCP=100°. 由以上可知当∠OCP=100°,20°. 40°时.存在点P,

使得

PQ=QO.