第二章随机过程1

3
2
; x1 , x2 )
分布函数为 0, 1 , 3 F( ; x ) 4 2 , 3 1,
x 2 2
（2）F (0, ; x1 , x2 ) P( X (0) x1 , X ( ) x2 ) 3 3 A P( A x1 , x2 ) 2
2 x2 1 1 2 x2 2 ( x1 2 x2 ) 或 2 2 x2 3 2 x2 3
( x1 2 x2 )
例4.利用重复掷硬币的试验定义一个随机过程 cos t ,出现正面 0 t
X (t ) 2t , 出现反面
出现正面与反面的概率相等. ⑴ 求X(t)的一维分布函数F(1/2; x),F(1; x).
F (t1 , t2 ,, tn ; x1 , x2 ,, xn )
相容性 设m<n,则
F (t1 , t2 ,, tm ; x1 , x2 ,, xm ) F (t1 , t2 ,, tm , tm1 ,, tn ; x1 , x2 ,, xm ,, )
注: 随机过程的统计特性还可以用另一种工 具描述, 即随机过程的有限维特征函数族 (后面补充介绍)
F (t1,t2 ,…,tn ; x1, x2,…, xn) = P(X(t1) ≤x1, X(t2) ≤x2 … X(tn) ≤xn ) x1 x2,…, xn ∈R 为随机过程{X(t),t∈T}的n维分布函数.
F (t1,t2 ,…,tn ; x1, x2,…, xn)= Ft1,t2 ,…,tn (x1, x2,…, xn)
例3 的样本曲线与状态
样本曲线x1(t)
状态X(t0)=40 状态X(t0)=25 状态X(t0)=18
样本曲线x2(t) 样本曲线x3(t)
0
24
…
t0
t
状态空间S={0,1,2,….},
T=[0,24,……)
4.分类根据参数集与状态空间离散与否,随机过程可分为
●离散参数,离散状态的随机过程 (例3)
所以S.P.的一维分布为X(t) ～N(0,1+t2) 又对任意的t1≥0, t2≥0, X(t1)=A+Bt1 ～N(0,1+t12), X(t2)=A+Bt2 ～N(0,1+t22),
即
( X (t1 )
1 1 X (t2 )) ( A B) t t 1 2
由A,B独立知, (A,B)服从二维正态分布 (定理 正态变量的线性变换是正态变量)
随机序列.
当参数集为形式(3)时,随机过程X(t)也称为
随机场.
说明: 设{X(ω,t), ω∈Ω, t∈T}为一S.P. 1. X(ω ,t),实质上为定义在Ω×T上的二元单值函数. 2.对每一个固定的t, X(t)为一随机变量(r.v.). t∈T时. 该随机变量所有可能取值的集合,称为随机过程的 状态空间.记为S. S中的元素称为状态. 3.对每一个确定的ω0∈Ω,X(ω0,t)是定义在T上的普通 函数. 记为 x(ω0,t), 称为为随机过程的一个样本函数. 也称轨道或实现.样本函数的图形称为样本曲线．
有限维分布函数族定义
称随机过程{X(t),t∈T}的一维分布函数,二维 分布函数,…,n维分布函数,…,的全体 为随机 过程的有限维分布函数族. 注: 有限维分布函数族能够描述随机过程的 统计特性.
有限维分布函数族的性质
对称性
设i1 , i2 ,, in是1,2,, n的任意一个排列，则
F (ti1 , ti2 ,, tin ; xi1 , xi2 ,, xin )
(2)
t 0时，X (t ) V cos 0 V , 而V为[0， 1] 上均匀分布，则
1 f X(0) ( x ) 0
3 t 时， 4
0 x 1 其它
3 2 X (t ) V cos V 4 2
2 由于函数x V的反函数为V h( x) 2 x, 2 其导数为h( x) 2 , 则利用公式
所以( X(t1), X(t2) ) 也服从二维正态分布
又Cov( X (t1 ), X (t2 )) E[X (t1 ) X (t2 )] E[X (t1 )]E[X (t2 )]
E(A Bt1 )(A Bt2 ) 1 t1t2
所以协方差矩阵为
1 t12 1 t1t2 M 2 1 t t 1 t 1 2 2
而( X(t1), X(t2) ) 的均值向量为 μ =(0, 0) 所以该S.P.的二维分布为
( X (t1 ) X (t2 )) ~ N (, M ), t1 0, t2 0
例3. 设S.P.X (t ) A cos t , t 0 其中A具有以下概率分布
1 P( A i ) , i 1,2,3. 3
fV (h( x)) h( x) f 3 ( x) X( ) 0 4
2 0 2 0
0 h( x ) 1 其它
0 2x 1 其它
2 x0 2 其它
(3) t 时，X (t ) V cos 0, 2 2 此时X （ ）是单点分布, 则 2 F ( x) P{ X ( ) x} X( ) 2 2
2.二维分布函数
对任意固定的t1,t2∈T, X (t1) ,X (t2)为两个随机 变量.称其联合分布函数 F (t1,t2; x1, x2)=P(X(t1) ≤x1, X(t2) ≤x2 ), x1, x2∈R 为随机过程{X(t),t∈T}的二维分布函数.
3. n维分布函数
对任意固定的t1,t2, …,tn∈T, X (t1) ,X (t2),…, X (tn) 为n个随机变量.称其联合分布函数
第一章
随机过程基本知识
● 随机过程的定义
● 随机过程的有限维分布族及数字特征
● 随机过程的分类与举例
重点
随机过程的定义、数字特征
要求（1）准确理解随机过程的定义，熟悉研究
随机过程的方法． (2)熟练求出样本函数、有限维分布、 数字特征、特征函数．
难点 有限维分布
§1 随机过程的定义
1.引例 例1. 考察 [0，t0]时间内某网站收到的访问次数Ｘ(t０), 则Ｘ(t０) (Xt0)是一个随机变量． 如果要长时间内该网站的访问次数, 则需要让t 变化起来,即t趋于无穷大,则 Ｘ(t)是一族随机变量． 此时Ｘ(t) 是与时间有关系的随机变量，称 {Ｘ(t), t∈［0,∞）}是随机过程． X(t) 或 Xt表示相同的意思
为了预报该地区未来的气温,要让t趋于无穷大, 则可得到一族随机变量: Xt , t=0,1,2,…， 称{Ｘt，t＝０，１，2，….，} 是随机过程． 以上4个例子的共同特点是: 对某参数集中的任意一个参数t,就有一个 随机变量X(t)与之对应.
2.随机过程定义
设(Ω,F,P)为一概率空间,T为一参数集,T R, 若对每一 t ∈T,均有定义在(Ω,F,P)上的一个 随机变量X(ω,t),(ω∈Ω)与之对应, 则称X(ω,t)为(Ω,F,P)上的一个随机过程(S.P.) 记{X(ω,t), ω∈Ω, t∈T},
⑵ 求X(t) 的二维分布函数F(1/2,1; x1,x2).
例5.利用掷一枚硬币的试验定义一个随机过程
cos t ,出现正面 X (t ) 2t , 出现反面
0, lim P( X s X t ) 0
s t
(3) 以Lp连续（L2连续也叫均方连续）：
lim E ( X s X t ) 0
s t p
X(t)
例1的样本曲线与状态
状态X(t0)=4
样本曲线x1(t) x1 ( t ) t 状态X(t0)=5 样本曲线x2(t) x2 ( t ) t
1 x 0 0 x 0
例2 设随机过程 X(t)=A+Bt, t≥0,其中A,B 是相互独 立的随机变量,且都服从标准正态分布N(0,1).求该 随机过程的一维和二维分布
解 对任意的t≥0, X(t)=A+Bt, 有题意知X(t)是正态分布. 又 E[X(t)]=0, D[X(t)]=1+t2
例３.生物群体的增长问题.以Ｘt表示在时刻t某种 生物群体的个数,则对每一个固定的t,Ｘt是一 个随机变量． 如果从t＝０开始每隔24小时对群体的个数观 察一次，则对每一个t，Ｘt是一族随机变量． 也记为Ｘn，n＝０，１，…. 则称{Ｘt ,t＝０,１, 2 , ….} 是随机过程．
例4. 在天气预报中, 以Xt 表示某地区第t次统计所得 到的最高气温,则Xt 是一个随机变量.
● 离散参数,连续状态的随机过程 (例4)
● 连续参数,离散状态的随机过程 (例1)
● 连续参数,连续状态的随机过程 (例2)
参数集为离散的随机过程也称为随机序列， 或时间序列．
§2 随机过程的有限维分布函数族
一.有限维分布函数
设{X(t),t∈T}是S.P.
1.一维分布函数
对任意t∈T, X (t)为一随机变量.称其分布 函数 F (t ; x)=P(X(t) ≤x), x ∈R 为随机过程{X(t),t∈T}的一维分布函数.
试求 (1)该S.P.的一维分布函数 F ( , x ), F ( , x )
4


(2)该S.P.的二维分布函数 F (0, 解（1） X ( ) A cos 2 A, 4 4 2
分布律为 2 2 1 3 2 1 3 3 2 2 1 3
简记{X(t),t∈T},或X(t)，Xt.
T称为参数集或参数空间, t称为参数,一般表
示时间或空间.
参数集通常有以下形式: ⑴ T={0,1,2,…}或 T= {…-2,-1,0,1,2,…} ⑵ T=[a,b],其中a 可以为－∞, b可以为+∞.
(3) T=[0,+∞] ×R
当参数集为形式⑴时,随机过程X(t)也称为

2 x 2 2 3 2x 2 2 3 x 2 2

P( A x1, A 2 x2 )
P ( A x1 ) x1 2 x2 P ( A 2 x2 ) x1 2 x2
0, 1 , 3 2 , 3 1,
x1 1 1 x1 2 2 x1 3 x1 3
，t X t () 3.样本轨道：固定
称为一条样本轨道
样本轨道的连续性：设X={Xt(ω)：t ∈T}是一个取实值 过程（S=R），则称该过程： (1) 以概率1连续（过程X有连续样本轨道）：
P(lim X s X t 0, t T ) 1
s t
(2) 以概率连续（过程X随机连续）：
例２. 具有随机初位相的简谐波
X(t) A cos(t )
其中Ａ ω 为常数，φ 服从[0,2π ]上的均匀分布. 由于初位相的随机性，在某时刻t＝t0， Ｘ(t0)是一个随机变量． 若要观察任一时刻t的波形，则需要用一族随机变量 Ｘ(t)描述.
则称｛Ｘ(t)，t∈[0 ，+∞)｝为随机过程．
本节内容举例
例1.设随机过程 X(t)=Vcosω t,t∈(-∞,+∞), 其中ω为常数,V服从[0,1]上的均匀分布.
⑴确定{X(t),t∈(-∞,+∞)}的两个样本函数. ⑵求t=0,t=3π /4ω时,随机变量的概率密度函数. ⑶求t= π ∕2ω 时X(t) 的分布函数. 解 (1) 取V=1/2, 1/3分别得到两个样本函数 1 1 x2 (t ) cos t x1 (t ) cos t 3 2
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t0 状态空间S={0,1,2,….}, T=[0,+∞)
例2 的样本曲线与状态
X(t)
X(t) A cos(t )
样本曲线x1(t)
状态X(t0)
t0
状态X(t0)
t 样本曲线x2(t)
状态空间S=[-A,A],参数集T=[-∞,+ ∞]
X(t)
70
60 50 40 30 20 10