第二章随机过程1
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随机过程-第二章 随机过程
同样地， k 维随机过程的
n 维联合分布函数具有对称性和相容性。
i 1 i
k
例 2.1 设随机变量 X b(n, p) ，求 X 的特征函数
解：当 n 1 时， X 服从 0-1 分布，
P( X k ) p k (1 p)1k , k 0,1
所以
(t ) eitk P( X k ) peit (1 p)
自协方差函数与自相关函数之间的关系：
CX (s, t ) RX (s, t ) X (s) X (t )
注：自相关函数与自协方差函数均具有对称性和非负定性的性质。
2.3.2 二维随机过程
两个随机过程 X (t ), t T 和 Y (t ), t T 的互协方差函数
n
Ft1 ,,tm ,tm1 ,,tn ( x1 ,, xm , ,, ) Ft1 ,,tm ( x1 ,, xm )
对应具有有限分布族的随机过程 X (t ), t T 的特征函数
t ,,t (u1 ,, un ) E (ei (u X (t )u X (t )) ) ei (u X (t )u X (t )) dFt ,,t ( x1 ,, xn )
解：先求 Y
X
的特征函数。因为 Y N (0,1) ，所以
2 2
Y (t ) e
由于 ixe
itx x2 2
itx
x itx 1 x2 1 2 e dx e dx 2 2
x2 2
xe
，且
2
xe
x2 2
dx ห้องสมุดไป่ตู้ ，所以
第2讲 第二章随机过程的概念
它们的互相关函数定义为
RXY ( s, t ) E[ X ( s)Y t ]
互协方差函数为
BXY ( s, t ) Cov[ X ( s), Y t ]
E{[ X ( s) mX ( s)][Y (t ) mY (t )]}
例7 已知实随机过程X(t)具有自相关函数R(s,t), 令 Y(t)=X(t+a)－X(t) 求RXY(s, t), RYY(s, t).
设m n,
j 1
BY (n, m) min n, m pq,
RY (n, m) BY (n, m) E[Yn ]E[Ym ]
min n, m pq nmp 2
定义 设 X t , t T 和 Y t , t T 是两个随机过程,
2 1 2
x 1 t2
2 2
1 t 1 s
2
2 x1 x2
s, t 0, s t
例4 若从t=0开始每隔1/2秒抛掷一枚均匀的硬币做试 验，定义一个随机过程： t时出现正面； cos t , X (t ) t时出现反面. 2t 求 1) 一维分布函数F(1/2；x)和F(1,x); 2) 二维分布函数F(1/2, 1;x, y). 解（1） 这是独立随机过程（即在不同时刻的随机变量 相互独立） ，所以过程的有限维统计特性由一维确 定。 X(t cosπt 2t ) p 1/2 1/2
X t 的值称为随机过程在t时所处的状态。 X t 所有可能的值的集合，称状态空间， 记为I.
根据时间集和状态空间的不同，随机过程分为 四类： 1) T, I 均为离散;
2) T 离散, I 连续;
RXY ( s, t ) E[ X ( s)Y t ]
互协方差函数为
BXY ( s, t ) Cov[ X ( s), Y t ]
E{[ X ( s) mX ( s)][Y (t ) mY (t )]}
例7 已知实随机过程X(t)具有自相关函数R(s,t), 令 Y(t)=X(t+a)－X(t) 求RXY(s, t), RYY(s, t).
设m n,
j 1
BY (n, m) min n, m pq,
RY (n, m) BY (n, m) E[Yn ]E[Ym ]
min n, m pq nmp 2
定义 设 X t , t T 和 Y t , t T 是两个随机过程,
2 1 2
x 1 t2
2 2
1 t 1 s
2
2 x1 x2
s, t 0, s t
例4 若从t=0开始每隔1/2秒抛掷一枚均匀的硬币做试 验，定义一个随机过程： t时出现正面； cos t , X (t ) t时出现反面. 2t 求 1) 一维分布函数F(1/2；x)和F(1,x); 2) 二维分布函数F(1/2, 1;x, y). 解（1） 这是独立随机过程（即在不同时刻的随机变量 相互独立） ，所以过程的有限维统计特性由一维确 定。 X(t cosπt 2t ) p 1/2 1/2
X t 的值称为随机过程在t时所处的状态。 X t 所有可能的值的集合，称状态空间， 记为I.
根据时间集和状态空间的不同，随机过程分为 四类： 1) T, I 均为离散;
2) T 离散, I 连续;
随机过程讲义（第二章）（PDF）
第二章 随机过程的一般概念2.1 随机过程的基本概念和例子定义2.1.1：设(P ,,F )Ω为概率空间，T 是某参数集，若对每一个，是该概率空间上的随机变量，则称为随机过程(Stochastic Process)。
T t ∈),(w t X ),w t (X 随机过程就是定义在同一概率空间上的一族随机变量。
随机过程可以看成定义在),(w t X Ω×T 上的二元函数，固定Ω∈0w ，即对于一个特定的随机试验，称为样本路径(Sample Path)，或实现(realization)，这是通常所观测到的过程；另一方面，固定，是一个随机变量，按某个概率分布随机取值。
),(0w t X T t ∈0),(0w t X抽象一点：令，即∏∈=Tt T R R T R 中的元素为),(T t x X t t ∈=,为其Borel域(插乘)(T R B σ域)，随机过程实质上是()F ,Ω到())(,T T R R B 上的一个可测映射，在())(,T TR RB 上诱导出一个概率测度：T P ()B X P B P R B T T T ∈=∈∀)(),(B 。
一般代表的是时间。
根据参数集T 的性质，随机过程可以分为两大类： t 1)为可数集，如T {}L ,2,1,0=T 或{}L L ,1,0,1,−=T ，称为离散参数随机过程，也称为随机序列；2)为不可数集，如T {}0≥=t t T 或{}∞<<∞−=t t T ，称为连续参数随机过程。
随机过程的取值称为过程所处的状态(State)，所有状态的全体称为状态空间(State Space)。
通常以表示随机过程的状态空间。
根据状态空间的特征，一般把随机过程分为两大类：T t t X ∈),(S 1) 离散状态，即取一些离散的值； )(t X 2)连续状态，即的取值范围是连续的。
)(t X离散参数离散状态随机过程： Markov 链 连续参数离散状态随机过程： Poisson 过程 离散参数连续状态随机过程： *Markov 序列连续参数连续状态随机过程： Gauss 过程，Brown 运动例2.1.1：一醉汉在路上行走，以的概率向前迈一步，以q 的概率向后迈一步，以p r 的概率在原地不动，1=++r q p ，选定某个初始时刻，若以记它在时刻的位置，则就是直线上的随机游动(Random Walk)。
第二章随机过程基本概念.
第二章随机过程基本概念.2随机过程的基本概念§2.1 基本概念随机过程是指一族随机变量 .对随机过程的统计分析称为随机过程论 , 它是随机数学中的一个重要分支,产生于本世纪的初期 .其研究对象是随机现象,而它特别研究的是随“ 时间” 变化的“ 动态” 的随机现象 .一随机过程的定义1 定义设 E 为随机试验, S 为其样本空间,如果 (1对于每个参数t ∈ T , X(e,t为建立在 S 上的随机变量,(2对每一个e ∈ S , X(e,t为t 的函数,那么称随机变量族{X(e,t, t∈ T, e∈ S}为一个随机过程,简记为{X(e,t, t∈ T}或 X(t。
((((({}{}[](为随机序列。
时,通常称 , 取可列集合当可以为无穷。
通常有三种形式:参数一般表示时间或空间, 或有时也简写为一个轨道。
随机过程的一个实现或过程的样本函数,或称随机的一般函数,通常称为为对于 :上的二元单值函数。
为即若用映射来表示注意:t X T T T b a b a T T T T t X t X t e X T t e X S e S T t e X RS T t e X t21321, , , , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, , 3, 2, 1, 0T , . 4, . 3, , 2, :, . 1=---==??×?′?′L L L 为一个随机过程。
则令掷一均匀硬币, 例 , ( (cos (}, {1t e X t X Rt T e t H e t t X T H S =??íì====p2 随机过程举例例 2:用 X(t表示电话交换台在 (0, t 时间内接到的呼唤的次数 , 则(1对于固定的时刻 t, X(t为随机变量 , 其样本空间为{0, 1, 2, …..},且对于不同的 t, 是不同的随机变量 .(2对于固定的样本点 n, X(t=n是一个 t 的函数 .(即:在多长时间内来 n 个人 ?所以 {X(t,t>0}为一个随机过程 .相位正弦波。
第二章 随机过程基本概念
E = {x : X (t , ω ) = x, t ∈ T , ω ∈Ω}
3.1 随机过程的定义
定义2 是一个实数集。 定义2 设( ,ℱ,P)是一个概率空间，T是一个实数集。 )是一个概率空间， 是一个实数集 X(t,ω)（t ∊T, ω∊Ω)是定义在 和 上的二元函数。若对于 (, ) ∊Ω) , ∊Ω 是定义在T和 上的二元函数。 任意固定的ω∊Ω 总有一个t 的函数X( , ) 任意固定的 ∊Ω ，总有一个 的函数 (t,ω)（t ∊T）与之对 ） 的函数， 应,对于所有的ω∊Ω ，就得到一族确知的 的函数，则称这一 对于所有的 ∊Ω 就得到一族确知的t的函数 则称这一 的函数的集合{ ( , ), ),t , ∊Ω ∊Ω} 族 t 的函数的集合{X(t,ω), ∊T, ω∊Ω}是( ,ℱ,P)上的随机 )上的随机 过程。 过程。 其中，每一个函数称为样本函数， 其中，每一个函数称为样本函数，或该随机过程的一个 函数称为样本函数 实现。 实现。
i 0 1 X2 1 i 0 Xm 1 i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …… 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …… 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ……
3.1 随机过程的定义
电话问题。 ( ≥0)固定时，电话交换站在[0 ] ≥0)固定时 [0， 例2 电话问题。当t(t≥0)固定时，电话交换站在[0，t] 时间内接到的呼唤次数是个随机变量 它可以取非负整数值0 随机变量， 时间内接到的呼唤次数是个随机变量，它可以取非负整数值0， 变到∞ 1，2，…。如果 从0变到∞， t 时刻前接收到的呼唤次数就 。如果t 需要用一族随机变量表示 是一个随机过程 一族随机变量表示， 随机过程。 需要用一族随机变量表示，是一个随机过程。 做一次试验， 做一次试验，可得到一 条表示t 条表示 时刻前接收到的 呼唤次数的非降阶梯曲 样本函数）。 ）。各次 线（样本函数）。各次 试验所得的曲线是随机 所有这些样本函数 的。所有这些样本函数 组成一随机过程 随机过程。 组成一随机过程。
第二章 随机过程基本概念
随机过程的基本概念
第二章 随机过程的基本概念
§2.1 随机过程的定义 §2.2 随机过程的分布与数字特征 §2.3 随机过程的分类
§2.1 随机过程的定义
引入：
初等概率论的研究对象
§2.1 随机过程的定义
引例1
某电话交换台在时间段[0,t]内接到的电话次数记为X(t),
随机现象某个时刻或有限个时刻静态的结果 即一个或有限个随机变量(随机向量). 问 描述随机现象的整个变化过程， 需要多少个随机变量？
Fn ( xi1 , xi2 ,, xin , ti1 , ti2 ,, tin ) Fn ( x1 , x2 ,, xn , t1, t2 ,, tn )
(2)相容性 对任意自然数m<n,随机过程的m维分布函数 与n维分布函数之间有关系：
Fm ( x1 , x2 ,, xm , t1 , t2 ,, tm ) Fn ( x1 , x2 ,, xm , ,, , t1 , t2 ,, tn )
解
X(t ) A (t (T0 kT )), T0 kT t T0 (k 1)T (k 0, 1, 2) T
§2.2 随机过程的分布与数字特征
2、随机过程的二维分布函数
定义 设{ X ( t ), t T }是一个随机过程，对任意固定的
T 故有，T0 X (t ) t kT h( X (t )), T0 kT t T0 (k 1)T A
29 November 2015
随机过程
§2.2 随机过程的分布与数字特征
例1 设X ( t ) X cos(at ), t ，其中a为常数，
X服从标准正态分布，试求X(t)的一维概率密度函数。
第二章 随机过程的基本概念
§2.1 随机过程的定义 §2.2 随机过程的分布与数字特征 §2.3 随机过程的分类
§2.1 随机过程的定义
引入：
初等概率论的研究对象
§2.1 随机过程的定义
引例1
某电话交换台在时间段[0,t]内接到的电话次数记为X(t),
随机现象某个时刻或有限个时刻静态的结果 即一个或有限个随机变量(随机向量). 问 描述随机现象的整个变化过程， 需要多少个随机变量？
Fn ( xi1 , xi2 ,, xin , ti1 , ti2 ,, tin ) Fn ( x1 , x2 ,, xn , t1, t2 ,, tn )
(2)相容性 对任意自然数m<n,随机过程的m维分布函数 与n维分布函数之间有关系：
Fm ( x1 , x2 ,, xm , t1 , t2 ,, tm ) Fn ( x1 , x2 ,, xm , ,, , t1 , t2 ,, tn )
解
X(t ) A (t (T0 kT )), T0 kT t T0 (k 1)T (k 0, 1, 2) T
§2.2 随机过程的分布与数字特征
2、随机过程的二维分布函数
定义 设{ X ( t ), t T }是一个随机过程，对任意固定的
T 故有，T0 X (t ) t kT h( X (t )), T0 kT t T0 (k 1)T A
29 November 2015
随机过程
§2.2 随机过程的分布与数字特征
例1 设X ( t ) X cos(at ), t ，其中a为常数，
X服从标准正态分布，试求X(t)的一维概率密度函数。
第二章随机过程
第⼆章随机过程第 2 章随机过程2.1 引⾔确定性信号是时间的确定函数，随机信号是时间的不确定函数。
?通信中⼲扰是随机信号，通信中的有⽤信号也是随机信号。
描述随机信号的数学⼯具是随机过程，基本的思想是把概率论中的随机变量的概念推⼴到时间函数。
2.2 随机过程的统计特性⼀.随机过程的数学定义：设随机试验E 的可能结果为)(t g ，试验的样本空间S 为{x 1(t), x 2(t)， …, x n (t),…}， x i (t)是第i 次试验的样本函数或实现，每次试验得到⼀个样本函数，所有可能出现的结果的总体就构成⼀随机过程，记作)(t g 。
随机过程举例：⼆.随机过程基本特征其⼀，它是⼀个时间函数；其⼆，在固定的某⼀观察时刻1t ，)(1t g 是随机变量。
随机过程具有随机变量和时间函数的特点。
●随机过程)(t g 在任⼀时刻都是随机变量；●随机过程)(t g 是⼤量样本函数的集合。
三.随机过程的统计描述设)(t g 表⽰随机过程，在任意给定的时刻T t ∈1， )(1t g 是⼀个⼀维随机变量。
1.⼀维分布函数：随机变量)(t g ⼩于或等于某⼀数值x 的概率，即})({);(1x t g P t x P ≤= 2.2.12.⼀维概率密度函数:⼀维概率分布函数对x 的导数.xt x P t x p ??=);(),(11 2.2.2 3.对于任意两个时间1t 和2t ,随机过程的对应的抽样值)(1t g )(2t g 为两个随机变量.他们的联合分布定义为)(t g 的⼆维分布})(;)({),;,(221121212x t g x t g P t t x x P ≤≤= 2.2.34.⼆维分布密度定义为212121221212),;,(),;,(x x t t x x P t t x x p = 2.2.4 四.随机过程的⼀维数字特征设随机过程)(t g 的⼀维概率密度函数为),(1t x p .1.数学期望(Expectation)dx t x xp t g E t g );()]([)(1?∞∞-==µ 2.2.5 2.⽅差(Variance)dx t x p t x t t g E t g Var t g g g ),()]([]))()([()]([)(1222µµσ-=-==?∞∞- 2.2.6五.随机过程的⼆维数字特征1.⾃协⽅差函数(Covariance)21212122211221121),;,())())((())]()())(()([(),(dx dx t t x x p t x t x t t g t t g E t t C g g g g g µµµµ--=--=??∞∞-∞∞- 2.2.72. ⾃相关函数(Autocorrelation)2121212212121),;,()]()([),(dx dx t t x x p x x t g t g E t t R g ∞∞-∞∞-== 2.2.83.⾃相关函数和⾃协⽅差函数的关系)]([)]([),(),(212121t g E t g E t t R t t C g g ?-= 2.2.94.设两个随机过程分别为)(),(t h t g ,在时刻1t 和2t ,对)(),(t h t g 抽样,两个随机过程的互相关函数(Cross-correlation)定义为)]()([),(2121t h t g E t t R gh = 2.2.105.两个随机过程的互协⽅差函数(Cross-covariance)定义为)]()())(()([(),(221121t t h t t g E t t C h g gh µµ--= 2.2.112.3 平稳随机过程⼀.狭义平稳的随机过程(严平稳的随机过程)对于任意的正整数n 和实数τ,若随机过程)(t g 的n 维概率密度函数满⾜ ),,;,,(),,;,,,(21212121n n n n n n t t t x x x p t t t x x x p=+???++???τττ 2.3.1 则称)(t g 为狭义平稳的随机过程.统计特性不随时间的推移⽽变化的随机过程称为平稳随机过程。
第2章_随机过程的基本概念
t1
100
150
200
接收机噪声
随时间变化的随机变量----随机变量的集合
随机过程的直观解释:
对随机相位信号或噪声信号作一次观测相当于做一次随
机试验，每次试验所得到的观测记录结果xi(t)是一个
确定的函数，称为样本函数，所有这些样本函数的全体
构成了随机过程。
在实际中还有一类过程，它是按照确定的数学公式产
例2. 设随机过程X(t)=tX，X为标准正态分布的随机变量。 试问X(t)是否平稳？
解：
所以X(t)是非平稳的。
2. 平稳随机过程自相关函数的性质 性质：
(5)若随机过程含有周期分量，则自相关函数也含有周 期分量，
例3 已知平稳随机过程X(t)的自相关函数为
求X(t)的均值和方差。 解:
连续型随机过程 连续
时刻
续
离散
离散
连续
离散随机序列
离散
离散
（2）按概率分布分类
高斯随机过程 瑞利随机过程
对数正态随机过程
（3）按统计特性分类
平稳随机过程
非平稳随机过程
§ 2.2 随机过程的统计描述
1.随机过程的概率分布 (1)一维概率分布 X(t)在任意时刻t是一个随机变量，这个随机变量的概率 分布和概率密度定义为随机过程的一维概率分布和概率 密度。
（3）掌握相关函数的性质；
（4）理解白噪声的定义和特点；
本章是本课程的基础和核心
§2.1随机过程的基本概念及定义
1.实际背景
例2.1 分析随机相位信号
X (n) A cos(0 n )
Φ~R（-π， +π）
1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80
第二章随机过程的基本概念-1
X (t0 )
是一个随机变量， 是一个随机变量，
并称作随机过程 X (t ) 在 t = t 0 时的一个状态，
它 反 映 了 X (t ) 的 “ 随 机 ” 性 ；
对于每一个ω0 ∈Ω ，
X (t ) 是一个确定的样本函数，
它反映了 X (t) 的变化“过程” 。
首页
随机过程 X (t ,ω) 可看成定义在积集 T × Ω 上的二 元函数
n维 维 概率 密度
F (t1 , t 2 , L, t n；x1 , x 2 , L , x n )
若存在非负函数 f (t1 , t 2 , L , t n；x1 , x 2 , L , x n )
F (t1 , t 2 , L , t n；x1 , x2 , L, xn )
=
∫ ∫
x1
x2
−∞ −∞
X (t )
取值是连续的
首页
T离散、I离散 离散、 离散 离散 参数T 参数 状态I 状态 分类 T离散、I非离散（连续） 离散、 非离散 连续） 离散 非离散（ T非离散（连续） 、I离散 非离散（连续） 非离散 离散 T非离散（连续） 、I非离散（连续） 非离散（连续） 非离散（ 非离散 非离散 连续）
= P ( X (t n ) ≤ x n | X (t n −1 ) = x n −1 ） ，
则称 X (t ) 为马尔可夫过程
简称马氏过程。 简称马氏过程。
首页
马氏过程的特点
当随机过程在时刻 t n −1 的状态已知的条件下， 它在时刻 t n （ t n > t n −1 ）所处的状态
仅与时刻 t n −1 的状态有关， 而与过程在时刻 t n −1 以前的状态无关
第2章 随机过程
第2章
随机过程
随机信号分析
3 随机过程的定义：
定义1：设随机试验E的样本空间 S { } ，若对于 每个元素 S ，总有一个确知的时间函数 X (t , ) 与它对应，这样，对于所有的 S，就可以得 到一簇时间t的函数，称它为随机过程。簇中的 每一个函数称为样本函数。 定义2：若对于每个特定的时间 ti (i 1,2,) X (ti , ) ， 都是随机变量，则称 X (t , ) 为随机过程.X (ti , ) 称为随机过程 X (t ) 在t t i 时刻的状态。
第2章 随机过程
随机信号分析
2 二维概率分布 二维随机变量[X(t1),X(t2)]的分布函数FX(x1,x2;t1,t2)为
FX(x1,x2;t1,t2)=P{ X(t1)≤x1,X(t2)≤x2}
若FX(x1,x2;t1,t2)对x1，x2的二阶混合偏导存在，则
2 FX ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) f X ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) x1x2
为随机过程X(t)的二维概率密度
第2章 随机过程
随机信号分析
3 n维概率分布 随机过程 X (t )在任意n个时刻 t1 , t2 ,, tn 的取值 X (t1 ), X (t2 ),, X (tn ) 构成n维随机变量 [ X (t1 ), X (t2 ),, X (tn )], 定义随机过程X (t ) 的n维分布函数和n维概率密 度函数为
n重
4 f X ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t 2 ,, t n )dx1dx2 dxn 1
5
n－m重
第二章 随机过程
• 方差描述在该时刻对其数学期望的偏离程度。 • 数学期望、均方值和均方差只能描述随机过
程孤 立的时间点上的统计特性。 • 随机过程孤立的时间点上的统计特性不能反
映随机过程的起伏程度, 故采用两时刻或更多 时刻状态的相关性去描述起伏程度。
4.自相关函数
设和
分别是随机过程 在时刻
和的状态，称它们的二阶原点混合矩
统计特性也可分为：
1、幅值域描述: 数学期望、均方值、方差 等； 2、时间域描述: 自相关函数、互相关函数 ； 3.频率域描述: 功率谱密度函数、互功率谱 密度函数；
2.2.1.随机过程的概率分布
随机过程 , 在任意固定时刻 , 都 是随机变量。 随机事件:
发生概率:
1.一维分布函数
与 和 都有直接的关系，是 二元函数，记为：
7、当平稳随机过程含有均值 , 那它的自相 关函数也将会含有一个常数项 。
8、平稳随机过程的自相关函数的傅里叶变换在 整个频率轴上是非负的，即
且对于所有 都成立。 注: 即不含有阶跃函数的因子，如: 平顶、垂
直边或幅度上的任何不连续。
用平稳过程的自相关函数表示数字特征: (1).数学期望
(2) 均方值 (3) 方差 (4).协方差
• 随机过程 具有以下四种含义：
1.若 和 在发生变 一族时间函数，或化一，族则随随机机变过量程，是构成 了随机过程的完整概念； 2.若和 都固定，则随机过程是一个 确定值；
3.若 取固定值，则随机过程是一个确定 的时间函数，即样本函数,对应于某次试 验的结果；
4.若 取固定值，则随机过程是一个随 机变量；
图 随机过程数字特征
例2-14.设随机过程 的自相关函数为
求它的均值、均方值、方差和自协函数方差。 解:
程孤 立的时间点上的统计特性。 • 随机过程孤立的时间点上的统计特性不能反
映随机过程的起伏程度, 故采用两时刻或更多 时刻状态的相关性去描述起伏程度。
4.自相关函数
设和
分别是随机过程 在时刻
和的状态，称它们的二阶原点混合矩
统计特性也可分为：
1、幅值域描述: 数学期望、均方值、方差 等； 2、时间域描述: 自相关函数、互相关函数 ； 3.频率域描述: 功率谱密度函数、互功率谱 密度函数；
2.2.1.随机过程的概率分布
随机过程 , 在任意固定时刻 , 都 是随机变量。 随机事件:
发生概率:
1.一维分布函数
与 和 都有直接的关系，是 二元函数，记为：
7、当平稳随机过程含有均值 , 那它的自相 关函数也将会含有一个常数项 。
8、平稳随机过程的自相关函数的傅里叶变换在 整个频率轴上是非负的，即
且对于所有 都成立。 注: 即不含有阶跃函数的因子，如: 平顶、垂
直边或幅度上的任何不连续。
用平稳过程的自相关函数表示数字特征: (1).数学期望
(2) 均方值 (3) 方差 (4).协方差
• 随机过程 具有以下四种含义：
1.若 和 在发生变 一族时间函数，或化一，族则随随机机变过量程，是构成 了随机过程的完整概念； 2.若和 都固定，则随机过程是一个 确定值；
3.若 取固定值，则随机过程是一个确定 的时间函数，即样本函数,对应于某次试 验的结果；
4.若 取固定值，则随机过程是一个随 机变量；
图 随机过程数字特征
例2-14.设随机过程 的自相关函数为
求它的均值、均方值、方差和自协函数方差。 解:
第2章 随机过程
2、随机过程的基本特征（属性） 、随机过程的基本特征（属性） （1）随机过程是一个时间函数； ）随机过程是一个时间函数； （2）在给定的任一时刻t1，全体样本在t1时刻的取值ξ(t1)是 ）在给定的任一时刻 全体样本在 时刻的取值 是 一个不含t变化的随机变量 一个不含 变化的随机变量。因此，我们又可以把随机过程看成 变化的随机变量 依赖时间参数的一族随机变量。
(2.1 - 12) (2.1 - 11)
作 业
思考题（自作）： 思考题（自作）： P61 习 题 ： P61 3-1，3-2 ， 3-2
2.2
平稳随机过程
★ 平稳随机过程的定义 ★ 各态历经性（遍历性） 各态历经性（遍历性） ★ 平稳过程的自相关函数 ★ 平稳过程的功率谱密度
一、平稳随机过程的定义
(2.1 数的关系 ） 协方差函数和（ B(t1, t2)=R(t1, t2)-a(t1)a(t2)
若a(t1)=0或a(t2)=0，则B(t1, t2)=R(t1, t2)。 若t2＞t1，并令t2=t1+τ，则R(t1, t2)可表示为R(t1, t1+τ)。这说 明，相关函数依赖于起始时刻 1及t2与t1之间的时间间隔 即相关 相关函数依赖于起始时刻t 之间的时间间隔τ,即相关 相关函数依赖于起始时刻 函数是t 的函数。 函数是 1和τ的函数。 的函数 由于B(t1, t2)和R(t1, t2)是衡量同一过程的相关程度的， 因此， 它们又常分别称为自协方差函数 自相关函数 自协方差函数和自相关函数 自协方差函数 自相关函数。
二、随机过程的统计特性
1、一维分布函数 一维分布函数 表示一个随机过程， 设ξ(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻 1∈T， 其取 表示一个随机过程 在任意给定的时刻t ， 值 ξ(t1)是一个一维随机变量， 把随机变量ξ(t1)小于或等于某一 是一个一维随机变量， 把随机变量 小于或等于某一 是一个一维随机变量 数值x 的概率称为随机过程ξ(t)的一维分布函数 数值 1 的概率称为随机过程 的 一维分布函数，简记为F1(x1, t1)， 即 F1(x1,t1)=P［ξ(t1)≤x1］ 2、一维概率密度函数 一维概率密度函数 如果一维分布函数F 如果一维分布函数 1(x1, t1)对x1的偏导数存在，则称 1(x1, 对 的偏导数存在，则称f t1)为ξ(t)的一维概率密度函数 为 的一维概率密度函数。即有 ∂F1 ( x1 , t1 ) (2.1 - 1)
随机过程课件-第二章
例题2.8：
设X(t)为信号过程，Y(t)为噪声过程，令W(t)=X(t)+Y(t)，求W(t)的均值
函数和相关函数。
14复Βιβλιοθήκη 机过程定义： 设{Xt, t∈T}，{Yt, t∈T}是取实数值的两个随机过程，若对任意t∈T
Zt X t iYt
其中 i 1 ，则称{Zt, t∈T}为复随机过程。 复随机过程的数字特征函数
Ft1,,tn (x1, x2 ,, xn ) P{X (t1) x1, X (tn ) xn}
这些分布函数的全体
F {Ft1,tn (x1, x2 , xn ),t1, t2 ,, tn T , n 1}
称为XT={Xt,t ∈T}的有限维分布函数。
10
数字特征
设XT={X(t),t∈T}是随机过程，如果对任意t∈T，EX(t)存在，则称函数
def
mx (t) EX (t), t T
为XT的均值函数，反映随机过程在时刻t的平均值。
若对任意t∈T，E(X(t))2存在，则称XT为二阶矩过程，而称
def
BX (s,t) E[{X (s) mX (s)}{X (t) mX (t)}], s,t T
为XT的协方差函数，反映随机过程在时刻t和s时的线性相关程度。
随机过程{X(t,e),t ∈T}可以认为是一个二元函数。 对固定的t，X(t,e)是（Ω,F,P）上的随机变量； 对固定的e， X(t,e)是随机过程{X(t,e),t ∈T}的一个样本函数。
5
X(t)通常表示为在时刻t所处的状态。X(t)的所有可能状态所构成的集合 称为状态空间或相空间。
通常我们可以根据随机变量X(t)在时间和状态上的类型区分随机过程 的类型。
第二章随机过程的基本概念
（4）连续参数，连续状态的随机过程
二、有限维分布族： 定义：对于任意的t1 , t 2 , , t n T ,
F ( x1, x2 , , xn ; t1, t2 , , tn ) P X (t1) x1, , X (tn ) xn
称为随机过程X (t) 的n 维分布函数. 定义随机过程X(t) 的 n 维分布密度
而 0 ，若 t 从 0 变到 ，时刻 t 来到的
呼叫次数需用一族随机变量 X (t),t [0,) 表 示，X(t)是一个随机过程.
对电话交换站作一次观察 E 可得到一条表 示 t 以前来到的呼唤曲线 x1(t) ，它为非降的阶
梯曲线，在有呼唤来到的时刻阶跃地增加， （假定在任一呼唤来到的时刻不可能来到多 于一次呼唤）.
程 X (t,) 在时刻t 的状态或截口. 若 固定，它
是 t 的函数，称为随机过程的样本函数或样 本曲线，亦称之为现实（曲线）.
Remark：①上述定义中样本空间通常可理
解为样本函数的全体，而每一条样本曲线作 为一个基本事件；例3：样本曲线 x i (t )
作为i(i 1,2,,n,) 改写为 X(t,i) ；全体样本函数x(t) 构成样本空间 ，即X(t,) 全体构成样本空间 当 i 时，X(t,i) 即为 xi(t),i 1,2
的结果是一个随机过程，可用一族相互独 立 r v X 1 ，X2， 或 Xn,n 1表示.
，
Xn
0
n
n
0
……
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8Hale Waihona Puke 910例2．当 t(t 0)固定时，电话交换站在 [ 0 , t ] 时 间内来到的呼叫次数是 r v ，记X (t ) ，X(t) P(t) ， 其中 是单位时间内平均来到的呼叫次数，
二、有限维分布族： 定义：对于任意的t1 , t 2 , , t n T ,
F ( x1, x2 , , xn ; t1, t2 , , tn ) P X (t1) x1, , X (tn ) xn
称为随机过程X (t) 的n 维分布函数. 定义随机过程X(t) 的 n 维分布密度
而 0 ，若 t 从 0 变到 ，时刻 t 来到的
呼叫次数需用一族随机变量 X (t),t [0,) 表 示，X(t)是一个随机过程.
对电话交换站作一次观察 E 可得到一条表 示 t 以前来到的呼唤曲线 x1(t) ，它为非降的阶
梯曲线，在有呼唤来到的时刻阶跃地增加， （假定在任一呼唤来到的时刻不可能来到多 于一次呼唤）.
程 X (t,) 在时刻t 的状态或截口. 若 固定，它
是 t 的函数，称为随机过程的样本函数或样 本曲线，亦称之为现实（曲线）.
Remark：①上述定义中样本空间通常可理
解为样本函数的全体，而每一条样本曲线作 为一个基本事件；例3：样本曲线 x i (t )
作为i(i 1,2,,n,) 改写为 X(t,i) ；全体样本函数x(t) 构成样本空间 ，即X(t,) 全体构成样本空间 当 i 时，X(t,i) 即为 xi(t),i 1,2
的结果是一个随机过程，可用一族相互独 立 r v X 1 ，X2， 或 Xn,n 1表示.
，
Xn
0
n
n
0
……
n
0
1
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3
4
5
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8Hale Waihona Puke 910例2．当 t(t 0)固定时，电话交换站在 [ 0 , t ] 时 间内来到的呼叫次数是 r v ，记X (t ) ，X(t) P(t) ， 其中 是单位时间内平均来到的呼叫次数，
第二章 随机过程
离散：
x1 x2 f X ( x1 , x2 ; t1,t2 ) dx1dx2
RX (t1 , t2 ) x1i x2 j P X (t1 ) x1i , X (t2 ) x2 j
i j
2017/5/2 32
2017/5/2
32/129
三、 RS的数字特征
二、 RS的分布特性
研究随机过程有两条途经：
侧重于研究概率结构
侧重于统计平均性质的研究
2017/5/2
21
21/117
二、 RS的分布特性
1.一维分布
研究RS上任意时刻对应的RV的统计特性
FX x , t P X t x
FX x, t f X x, t x
离散型随机序列
20பைடு நூலகம்7/5/2
13
例 正弦随机信号（连续型随机过程 ）
X t, s A cos t
正弦R.S.的三个参数 A, , 都可能是 R.V.
2017/5/2
14
14/117
. . ，A, 为常数 1）随机相位正弦信号 为RV
X t A cos t
6
6/117
定义2：设有一个过程X(t)，若对于每一个固定的
时刻tj(j=1,2,…)，X(tj)是一个随机变量，则称X(t) 为随机过程。 可把随机过程看成是依赖于时间 t 的一族随机 变量。
一、随机过程的定义
【理解】： 1）与RV 相比，点与线的关系 2）与确定信号
sin(t)
t
t
t
任一时刻函数值为定值
热噪声电压表示为：
X t, X t, 1 , X t, 2 ,K , X t, n ,K
x1 x2 f X ( x1 , x2 ; t1,t2 ) dx1dx2
RX (t1 , t2 ) x1i x2 j P X (t1 ) x1i , X (t2 ) x2 j
i j
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三、 RS的数字特征
二、 RS的分布特性
研究随机过程有两条途经：
侧重于研究概率结构
侧重于统计平均性质的研究
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21/117
二、 RS的分布特性
1.一维分布
研究RS上任意时刻对应的RV的统计特性
FX x , t P X t x
FX x, t f X x, t x
离散型随机序列
20பைடு நூலகம்7/5/2
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例 正弦随机信号（连续型随机过程 ）
X t, s A cos t
正弦R.S.的三个参数 A, , 都可能是 R.V.
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. . ，A, 为常数 1）随机相位正弦信号 为RV
X t A cos t
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定义2：设有一个过程X(t)，若对于每一个固定的
时刻tj(j=1,2,…)，X(tj)是一个随机变量，则称X(t) 为随机过程。 可把随机过程看成是依赖于时间 t 的一族随机 变量。
一、随机过程的定义
【理解】： 1）与RV 相比，点与线的关系 2）与确定信号
sin(t)
t
t
t
任一时刻函数值为定值
热噪声电压表示为：
X t, X t, 1 , X t, 2 ,K , X t, n ,K
第二章随机过程1
所以S.P.的一维分布为X(t) ～N(0,1+t2) 又对任意的t1≥0, t2≥0, X(t1)=A+Bt1 ～N(0,1+t12), X(t2)=A+Bt2 ～N(0,1+t22),
即
( X (t1 )
1 1 X (t2 )) ( A B) t t 1 2
由A,B独立知, (A,B)服从二维正态分布 (定理 正态变量的线性变换是正态变量)
2.二维分布函数
对任意固定的t1,t2∈T, X (t1) ,X (t2)为两个随机 变量.称其联合分布函数 F (t1,t2; x1, x2)=P(X(t1) ≤x1, X(t2) ≤x2 ), x1, x2∈R 为随机过程{X(t),t∈T}的二维分布函数.
3. n维分布函数
对任意固定的t1,t2, …,tn∈T, X (t1) ,X (t2),…, X (tn) 为n个随机变量.称其联合分布函数
例3 的样本曲线与状态
样本曲线x1(t)
状态X(t0)=40 状态X(t0)=25 状态X(t0)=18
样本曲线x2(t) 样本曲线x3(t)
0
24
…
t0
t
状态空间S={0,1,2,….},
T=[0,24,……)
4.分类根据参数集与状态空间离散与否,随机过程可分为
●离散参数,离散状态的随机过程 (例3)
，t X t () 3.样本轨道：固定
称为一条样本轨道
样本轨道的连续性：设X={Xt(ω)：t ∈T}是一个取实值 过程（S=R），则称该过程： (1) 以概率1连续（过程X有连续样本轨道）：
P(lim X s X t 0, t T ) 1
第二章随机过程(函数)
t1 ，全体样本在t1 时刻的取值ξ(t1)是一个不含t变化的随机
变量。 因此，我们又可以把随机过程看成依赖时间参数的一族随 机变量。可见，随机过程具有随机变量和时间函数的特点。
8
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随机过程的定义：设Sk(k=1, 2, …)是随机试验。 每一次 试验都有一条时间波形（称为样本函数或实现），记作xi(t)， 所有可能出现的结果的总体{x1(t), x2(t)， …, xn(t)， …} 就构成一随机过程，记作ξ(t)。简言之， 无穷多个样本函 数的总体叫做随机过程，如图所示。
N=200;
ind=find(rand(N,1)>0.5); z(1:N)=1; z(ind)=-1; stairs(1:25,z(1:25)); axis([0 25 -1.5 1.5]); xlabel('时间-秒 （假定T=1 秒）'); ylabel('X(t)','FontSize',[12]);
17
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伪随机序列似乎已经失去了“随机”特点，但是它确
代替或者模拟了某类随机过程！
所谓：经目之事有恐未真；过耳之言焉能全信！ 工程种研究随机过程实际是通过理论分析其大量样本 函数，建立符合其实际过程或者称为能体现其过程特点 的伪随机序列模型，对伪随机序列进行研究，即可得到
其过程特点。
3
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随机信号序列
4
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按分布特性分类，依照过程在不同时刻状态的统计依赖关 分类。例如：独立增量过程，马尔可夫过程，平稳过程,鞅，
第二章 随机过程的基本概念.
4
5
随机变量X (t1 )
x1 (t )
随机序列
x2 (t )
x3 (t ) xn (t )
t1
噪声电压
xi (t )为样本函数
每一个样本函数都是 一个确定的时间函数 随机过程在任意时刻 的状态是一随机变量
连续随机过程 离散随机过程
连续随机序列 离散随机序列
随机过程是一族时间函数的集合
6
设正弦波随机过程为 X (t ) A cos 0t 其中 0 为常数 A为均匀分布在(0,1)内的随机变量, 画出随机过程X (t ) 的几个样本函数的图形.
2 (t ) 就表征消耗在单位电阻 上的瞬时交流功率的统 计平均值 .
25
三、自相关函数
表征了随机过程在任意两个时刻之间的关联程度
m X (t ) X (t ) mY (t ) Y (t )
m X (t )
mY (t )
m X (t ) X (t )
X (t )起伏慢
Y (t )起伏快
2 2 若 A , 则 X (t ) cos 0t 为一个确定性函数 3 3
7
设正弦波随机过程为 X (t ) A cos 0t 其中 0 为常数 A为均匀分布在(0,1)内的随机变量, 画出随机过程X (t ) 的几个样本函数的图形.
若 A 0, 则 X (t ) 0 为一个确定性函数
[ x m X (t1 )][ y mY (t 2 )] f XY ( x, y; t1 , t 2 )dxdy
C XY (t1 , t 2 ) RXY (t1 , t 2 ) m X (t1 )mY (t 2 )
若对任意t1 , t 2 都有RXY (t1 , t 2 ) 0, 则称X (t ), Y (t )是正交过程, 此时有C XY (t1 , t 2 ) m X (t1 )mY (t 2 )
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(2)
t 0时，X (t ) V cos 0 V , 而V为[0， 1] 上均匀分布，则
1 f X(0) ( x ) 0
3 t 时， 4
0 x 1 其它
3 2 X (t ) V cos V 4 2
2 由于函数x V的反函数为V h( x) 2 x, 2 其导数为h( x) 2 , 则利用公式
所以S.P.的一维分布为X(t) ～N(0,1+t2) 又对任意的t1≥0, t2≥0, X(t1)=A+Bt1 ～N(0,1+t12), X(t2)=A+Bt2 ～N(0,1+t22),
即
( X (t1 )
1 1 X (t2 )) ( A B) t t 1 2
由A,B独立知, (A,B)服从二维正态分布 (定理 正态变量的线性变换是正态变量)
例3 的样本曲线与状态
样本曲线x1(t)
状态X(t0)=40 状态X(t0)=25 状态X(t0)=18
样本曲线x2(t) 样本曲线x3(t)
0
24
…
t0
t
状态空间S={0,1,2,….},
T=[0,24,……)
4.分类根据参数集与状态空间离散与否,随机过程可分为
●离散参数,离散状态的随机过程 (例3)
所以( X(t1), X(t2) ) 也服从二维正态分布
又Cov( X (t1 ), X (t2 )) E[X (t1 ) X (t2 )] E[X (t1 )]E[X (t2 )]
E(A Bt1 )(A Bt2 ) 1 t1t2
所以协方差矩阵为
1 t12 1 t1t2 M 2 1 t t 1 t 1 2 2
2 x2 1 1 2 x2 2 ( x1 2 x2 ) 或 2 2 x2 3 2 x2 3
( x1 2 x2 )
例4.利用重复掷硬币的试验定义一个随机过程 cos t ,出现正面 0 t
X (t ) 2t , 出现反面
出现正面与反面的概率相等. ⑴ 求X(t)的一维分布函数F(1/2; x),F(1; x).
而( X(t1), X(t2) ) 的均值向量为 μ =(0, 0) 所以该S.P.的二维分布为
( X (t1 ) X (t2 )) ~ N (, M ), t1 0, t2 0
例3. 设S.P.X (t ) A cos t , t 0 其中A具有以下概率分布
1 P( A i ) , i 1,2,3. 3
fV (h( x)) h( x) f 3 ( x) X( ) 0 4
2 0 2 0
0 h( x ) 1 其它
0 2x 1 其它
2 x0 2 其它
(3) t 时，X (t ) V cos 0, 2 2 此时X （ ）是单点分布, 则 2 F ( x) P{ X ( ) x} X( ) 2 2
F (t1 , t2 ,, tn ; x1 , x2 ,, xn )
相容性 设m<n,则
F (t1 , t2 ,, tm ; x1 , x2 ,, xm ) F (t1 , t2 ,, tm , tm1 ,, tn ; x1 , x2 ,, xm ,, )
注: 随机过程的统计特性还可以用另一种工 具描述, 即随机过程的有限维特征函数族 (后面补充介绍)
有限维分布函数族定义
称随机过程{X(t),t∈T}的一维分布函数,二维 分布函数,…,n维分布函数,…,的全体 为随机 过程的有限维分布函数族. 注: 有限维分布函数族能够描述随机过程的 统计特性.
有限维分布函数族的性质
对称性
设i1 , i2 ,, in是1,2,, n的任意一个排列，则
F (ti1 , ti2 ,, tin ; xi1 , xi2 ,, xin )
1 x 0 0 x 0
例2 设随机过程 X(t)=A+Bt, t≥0,其中A,B 是相互独 立的随机变量,且都服从标准正态分布N(0,1).求该 随机过程的一维和二维分布
解 对任意的t≥0, X(t)=A+Bt, 有题意知X(t)是正态分布. 又 E[X(t)]=0, D[X(t)]=1+t2
⑵ 求X(t) 的二维分布函数F(1/2,1; x1,x2).
例5.利用掷一枚硬币的试验定义一个随机过程
cos t ,出现正面 X (t ) 2t , 出现反面
例３.生物群体的增长问题.以Ｘt表示在时刻t某种 生物群体的个数,则对每一个固定的t,Ｘt是一 个随机变量． 如果从t＝０开始每隔24小时对群体的个数观 察一次，则对每一个t，Ｘt是一族随机变量． 也记为Ｘn，n＝０，１，…. 则称{Ｘt ,t＝０,１, 2 , ….} 是随机过程．
例4. 在天气预报中, 以Xt 表示某地区第t次统计所得 到的最高气温,则Xt 是一个随机变量.
t0 状态空间S={0,1,2,….}, T=[0,+∞)
例2 的样本曲线与状态
X(t)
X(t) A cos(t )
样本曲线x1(t)
状态X(t0)
t0
状态X(t0)
t 样本曲线x2(t)
状态空间S=[-A,A],参数集T=[-∞,+ ∞]
X(t)
70
60 50 40 30 20 10
3
2
; x1 , x2 )
分布函数为 0, 1 , 3 F( ; x ) 4 2 , 3 1,
x 2 2
（2）F (0, ; x1 , x2 ) P( X (0) x1 , X ( ) x2 ) 3 3 A P( A x1 , x2 ) 2
பைடு நூலகம்
，t X t () 3.样本轨道：固定
称为一条样本轨道
样本轨道的连续性：设X={Xt(ω)：t ∈T}是一个取实值 过程（S=R），则称该过程： (1) 以概率1连续（过程X有连续样本轨道）：
P(lim X s X t 0, t T ) 1
s t
(2) 以概率连续（过程X随机连续）：
本节内容举例
例1.设随机过程 X(t)=Vcosω t,t∈(-∞,+∞), 其中ω为常数,V服从[0,1]上的均匀分布.
⑴确定{X(t),t∈(-∞,+∞)}的两个样本函数. ⑵求t=0,t=3π /4ω时,随机变量的概率密度函数. ⑶求t= π ∕2ω 时X(t) 的分布函数. 解 (1) 取V=1/2, 1/3分别得到两个样本函数 1 1 x2 (t ) cos t x1 (t ) cos t 3 2
F (t1,t2 ,…,tn ; x1, x2,…, xn) = P(X(t1) ≤x1, X(t2) ≤x2 … X(tn) ≤xn ) x1 x2,…, xn ∈R 为随机过程{X(t),t∈T}的n维分布函数.
F (t1,t2 ,…,tn ; x1, x2,…, xn)= Ft1,t2 ,…,tn (x1, x2,…, xn)
2 x 2 2 3 2x 2 2 3 x 2 2
P( A x1, A 2 x2 )
P ( A x1 ) x1 2 x2 P ( A 2 x2 ) x1 2 x2
0, 1 , 3 2 , 3 1,
x1 1 1 x1 2 2 x1 3 x1 3
0, lim P( X s X t ) 0
s t
(3) 以Lp连续（L2连续也叫均方连续）：
lim E ( X s X t ) 0
s t p
X(t)
例1的样本曲线与状态
状态X(t0)=4
样本曲线x1(t) x1 ( t ) t 状态X(t0)=5 样本曲线x2(t) x2 ( t ) t
试求 (1)该S.P.的一维分布函数 F ( , x ), F ( , x )
4
(2)该S.P.的二维分布函数 F (0, 解（1） X ( ) A cos 2 A, 4 4 2
分布律为 2 2 1 3 2 1 3 3 2 2 1 3
为了预报该地区未来的气温,要让t趋于无穷大, 则可得到一族随机变量: Xt , t=0,1,2,…， 称{Ｘt，t＝０，１，2，….，} 是随机过程． 以上4个例子的共同特点是: 对某参数集中的任意一个参数t,就有一个 随机变量X(t)与之对应.
2.随机过程定义
设(Ω,F,P)为一概率空间,T为一参数集,T R, 若对每一 t ∈T,均有定义在(Ω,F,P)上的一个 随机变量X(ω,t),(ω∈Ω)与之对应, 则称X(ω,t)为(Ω,F,P)上的一个随机过程(S.P.) 记{X(ω,t), ω∈Ω, t∈T},
● 离散参数,连续状态的随机过程 (例4)
● 连续参数,离散状态的随机过程 (例1)
● 连续参数,连续状态的随机过程 (例2)
参数集为离散的随机过程也称为随机序列， 或时间序列．
§2 随机过程的有限维分布函数族
一.有限维分布函数
设{X(t),t∈T}是S.P.
1.一维分布函数
对任意t∈T, X (t)为一随机变量.称其分布 函数 F (t ; x)=P(X(t) ≤x), x ∈R 为随机过程{X(t),t∈T}的一维分布函数.
第一章
随机过程基本知识
● 随机过程的定义
● 随机过程的有限维分布族及数字特征
● 随机过程的分类与举例
重点
随机过程的定义、数字特征
要求（1）准确理解随机过程的定义，熟悉研究
随机过程的方法． (2)熟练求出样本函数、有限维分布、 数字特征、特征函数．