2018届北师大版 解析几何 检测卷
2018届北师大版 高考中的立体几何(解答题型) 单元测试
1．[2015·长春质监(三)]如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠DAB ＝60°，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AD ＝1，点E ，F 分别为AB 和PD 的中点．(1)求证：直线AF ∥平面PEC ；(2)求三棱锥P －BEF 的表面积．解(1)证明：作FM ∥CD 交PC 于M ，连接ME .∵点F 为PD 的中点，∴FM 綊12CD ，又AE 綊12CD ， ∴AE 綊FM ，∴四边形AEMF 为平行四边形，∴AF ∥EM ，∵AF ⊄平面PEC ，EM ⊂平面PEC ，∴直线AF ∥平面PEC .(2)连接ED ，BD ，可知ED ⊥AB ，⎭⎪⎬⎪⎫ ⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫PD ⊥平面ABCD AB ⊂平面ABCD ⇒PD ⊥AB DE ⊥AB⇒AB ⊥平面PEF PE ，FE ⊂平面PEF ⇒ AB ⊥PE ，AB ⊥FE ，故S △PEF ＝12PF ·ED ＝12×12×32＝38；S △PBF ＝12PF ·BD ＝12×12×1＝14；S △PBE ＝12PE ·BE ＝12×72×12＝78；S △BEF ＝12EF ·EB ＝12×1×12＝14.因此三棱锥P －BEF 的表面积S P －BEF ＝S △PEF ＋S △PBF ＋S △PBE ＋S △BEF ＝4＋3＋78. 2．[2015·太原模拟]如图，在底面是正三角形的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝2，D 是BC 的中点．(1)求证：A 1C ∥平面AB 1D ；(2)求点A 1到平面AB 1D 的距离．解(1)证明：连接A1B，交AB1于点O，连接OD.∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴四边形ABB1A1是平行四边形，∴O是A1B的中点．又D是BC的中点，∴OD∥A1C，∵OD⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D.(2)由(1)知，O是A1B的中点，∴点A1到平面AB1D的距离等于点B到平面AB1D的距离．∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴BB1⊥平面ABC，∴平面BCC1B1⊥平面ABC，∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴AD⊥平面BCC1B1，∴AD⊥B1D，3．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，BC ＝22，AP ＝AD ＝AB ＝2，∠P AB ＝∠P AD ＝α.(1)试在棱P A 上确定一个点E ，使得PC ∥平面BDE ，并求出此时AE EP 的值；(2)当α＝60°时，求证：CD ⊥平面PBD .解 (1)解法一：连接AC ，BD 交于点F ，在平面PCA 中作EF ∥PC 交P A 于E ，连接BE ，DE ，因为PC ⊄平面BDE ，EF ⊂平面BDE ，所以PC ∥平面BDE ，因为AD ∥BC ，所以AF FC ＝AD BC ＝12，因为EF ∥PC ，所以AE EP ＝AF FC ，所以AE EP ＝AF FC ＝AD BC ＝12.解法二：在棱P A 上取一点E ，使得AE EP ＝12.连接AC ，BD 交于点F ，连接EF ，BE ，DE ，因为AD ∥BC ，所以AF FC ＝AD BC ＝12，所以AE EP ＝AF FC ，所以EF ∥PC ，因为PC ⊄平面BDE ，EF ⊂平面BDE ，所以PC ∥平面BDE .(2)证法一：取BC 的中点G ，连接DG ，则ABGD 为正方形． 连接AG ，BD 交于点O ，连接PO ，因为AP ＝AD ＝AB ，∠P AB ＝∠P AD ＝60°，所以△P AB 和△P AD 都是等边三角形，因此P A ＝PB ＝PD ，又因为OD ＝OB ，所以△POB ≌△POD ，所以∠POB ＝∠POD ＝90°，同理得△POA ≌△POB ，∠POA ＝90°，所以PO ⊥平面ABC .所以PO ⊥CD .由∠ABC ＝∠BAD ＝90°，BC ＝2AD ＝2AB ＝22，可得BD ＝2，CD ＝2，所以BD2＋CD2＝BC2，所以BD⊥CD，所以CD⊥平面PBD.证法二：取BC的中点G，连接DG，则ABGD为正方形．过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA，OB，OD，OG.因为AP＝AD＝AB，∠P AB＝∠P AD＝60°，所以△P AB和△P AD都是等边三角形，因此P A＝PB＝PD，所以OA＝OB＝OD，即点O为正方形ABGD对角线的交点，所以PO⊂平面PBD.又∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD＝2AB＝22，所以BD⊥CD，又因为PO⊥CD，所以CD⊥平面PBD.4．[2015·山西四校联考(三)]如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，矩形DCBE所在的平面垂直于圆O所在的平面，AB＝4，BE ＝1.(1)证明：平面ADE⊥平面ACD；(2)当三棱锥C－ADE的体积最大时，求点C到平面ADE的距离．解(1)证明：∵AB是直径，∴BC⊥AC，又四边形DCBE为矩形，∴CD⊥DE，BC∥DE，∴DE⊥AC，∵CD ∩AC ＝C ，∴DE ⊥平面ACD ，又DE ⊂平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面ACD .(2)由(1)知V C －ADE ＝V E －ACD ＝13×S △ACD ×DE ＝13×12×AC ×CD ×DE ＝16×AC ×BC ≤112×(AC 2＋BC 2)＝112×AB 2＝43，当且仅当AC ＝BC ＝22时等号成立．∴当AC ＝BC ＝22时，三棱锥C －ADE 的体积最大，为43.此时，AD ＝12＋(22)2＝3，S △ADE ＝12×AD ×DE ＝32，设点C 到平面ADE 的距离为h ，则V C －ADE ＝13×S △ADE ×h ＝43，h＝223.5．[2015·南昌一模]如图，AC 是圆O 的直径，B 、D 是圆O 上两点，AC ＝2BC ＝2CD ＝2，P A ⊥圆O 所在的平面，P A ＝3，点M 在线段BP 上，且BM ＝13BP .(1)求证：CM ∥平面P AD ；(2)求异面直线BP 与CD 所成角的余弦值．解 (1)证明：作ME ⊥AB 于E ，连接CE ，则ME ∥AP .∵AC 是圆O 的直径，AC ＝2BC ＝2CD ＝2，∴AD ⊥DC ，AB ⊥BC ，∴∠BAC ＝∠CAD ＝30°，∠BCA ＝∠DCA ＝60°，AB ＝AD ＝3，∵BM ＝13BP ，∴BE ＝13BA ＝33，tan ∠BCE ＝BE BC ＝33，∴∠BCE ＝∠ECA ＝30°＝∠CAD ，∴EC∥AD .又ME ∩CE ＝E ，P A ∩DA ＝A ，∴平面MEC ∥平面P AD ，又CM ⊂平面MEC ，CM ⊄平面P AD ， ∴CM ∥平面P AD .(2)过点A 作平行于BC 的直线交CD 的延长线于G ，作BF ∥CG ，交AG 于F ，连接PF ，则∠PBF 为异面直线BP 与CD 所成的角，设∠PBF ＝θ.易知AF ＝1，PB ＝6，BF ＝2，PF ＝2，故cos θ＝PB 2＋BF 2－PF 22PB ·BF ＝6＋4－426×2＝64. 6．[2015·河南洛阳统考]如图，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AD ＝6，BC ＝2AB ＝4，E ，F 分别在BC ，AD 上，EF ∥AB .现将四边形ABCD 沿EF 折起，使平面ABEF ⊥平面EFDC .(1)若BE ＝1，是否在折叠后的线段AD 上存在一点P ，且AP →＝λPD →，使得CP ∥平面ABEF ？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由；(2)求三棱锥A －CDF 的体积的最大值，并求此时点F 到平面ACD 的距离．解 (1)AD 上存在一点P ，使得CP ∥平面ABEF ，此时λ＝32.理由如下：当λ＝32时，AP →＝32PD →，可知AP AD ＝35，过点P 作MP ∥FD 交AF于点M ，连接EM ，则有MP FD ＝AP AD ＝35，又BE ＝1，可得FD ＝5，故MP ＝3，又EC ＝3，MP ∥FD ∥EC ，故MP 綊EC ，故四边形MPCE 为平行四边形，所以CP ∥ME .又CP ⊄平面ABEF ，ME ⊂平面ABEF ，故CP ∥平面ABEF .(2)设BE ＝x ，所以AF ＝x (0＜x ≤4)，FD ＝6－x ，故V 三棱锥A －CDF ＝13×12×2×(6－x )x ＝13(－x 2＋6x )，当x ＝3时，V 三棱锥A －CDF 有最大值，且最大值为3，此时，EC ＝1，AF ＝3，FD ＝3，DC ＝2 2.在Rt △EFC 中，FC ＝5，在Rt △AFD 中，AD ＝32，在Rt △AFC 中，AC ＝14.在△ACD 中，cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝18＋8－142×32×22＝12，故sin ∠ADC ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32， S △ADC ＝12DA ·DC ·sin ∠ADC ＝12×32×22×32＝3 3. 设点F 到平面ACD 的距离为h ，由V 三棱锥A －CDF ＝V 三棱锥F －ADC ，即3＝13×h ×S △ADC ＝13×h ×33，得h ＝3，故此时点F 到平面ACD 的距离为 3.。
2018届北师大版(理科数学) 解析几何、极坐标参数方程 单元测试
十四、圆锥曲线（一）试题细目表（二）试题解析1.（2018·海淀区期末·9）点到双曲线的渐近线的距离是．【答案】2.（2018·海淀区期末·11）设抛物线的顶点为，经过抛物线的焦点且垂直于轴的直线和抛物线交于两点，则 .【答案】23.（2018·丰台区期末·13）能够说明“方程的曲线是椭圆”为假命题的一个的值是．【答案】中任取一值即为正确答案4.（2018·海淀期末·5）已知直线与圆相交于两点，且为正三角形，则实数的值为A. B. C.或 D.或【答案】D5.（2018·海淀期末·8）已知点为抛物线的焦点，点为点关于原点的对称点，点在抛物线上，则下列说法错误．．的是A.使得为等腰三角形的点有且仅有4个B.使得为直角三角形的点有且仅有4个C. 使得的点有且仅有4个D. 使得的点有且仅有4个【答案】C6. （2018·丰台区期末·7）过双曲线的一个焦点作一条与其渐近线垂直的直线，垂足为为坐标原点，若，则此双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．【答案】C7. （2018·通州区期末·2）已知点为抛物线上一点，那么点到抛物线准线的距离是A．B．C．D．【答案】C7. （2018·昌平区期末·11）已知直线，点是圆上的点，那么点到直线的距离的最小值是 .【答案】28. （2018·朝阳区期末·6）已知圆的圆心为.直线过点且与轴不重合，交圆于两点，点在点，之间.过作直线的平行线交直线于点，则点的轨迹是A. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 抛物线的一部分D. 圆的一部分【答案】B9. （2018·朝阳区期末·9）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为.【答案】10. （2018·东城区期末·13）双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为1，则；若双曲线与不同，且与有相同的渐近线，则的方程可以是.【答案】；十五、极坐标与参数方程（一）试题细目表（二）试题解析1.（2018•西城期末·4）已知为曲线：（为参数）上的动点．设为原点，则的最大值是（A）（B）（C）（D）【答案】D2.（2018·海淀期末·2）在极坐标系中，方程表示的圆为【答案】D3.（2018·丰台期末·3）在极坐标系中，方程表示的曲线是（）A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线【答案】B4.（2018·通州区期末·11）在极坐标系中，已知点是以为圆心，为半径的圆上的点，那么点到极点的最大距离是_______.【答案】35.(2018·通州区期末·12) 已知点的坐标是，将绕坐标原点顺时针旋转至，那么点的横坐标是_______.【答案】6.（2018·昌平区期末·10）已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，那么曲线的直角坐标方程为.【答案】7.（2018·东城区期末·12）在极坐标系中，若点在圆外，则的取值范围为.【答案】>1十六、解析几何综合题（一）试题细目表（二）试题解析1. （2018·西城区期末·19）（本小题满分14分）已知椭圆过点，且离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点．若直线上存在点，使得四边形是平行四边形，求的值．【答案】解：（Ⅰ）由题意得，，所以．[ 2分]因为，[ 3分]所以， [ 4分]所以椭圆的方程为． [ 5分]（Ⅱ）若四边形是平行四边形，则，且.[ 6分]所以直线的方程为，所以，．[ 7分]设，．由得， [ 8分]由，得．且，． [ 9分]所以.． [10分]因为，所以．整理得， [12分]解得，或． [13分]经检验均符合，但时不满足是平行四边形，舍去．所以，或． [14分] 2. (2018·海淀区期末·18) 已知椭圆，点（Ⅰ）求椭圆的短轴长和离心率；（Ⅱ）过的直线与椭圆相交于两点，设的中点为，判断与的大小，并证明你的结论.【答案】解：（Ⅰ）：，故，，，有，. ……………..3分椭圆的短轴长为，离心率为.……………..5分（Ⅱ）结论是：. ……………..6分设直线：，，，整理得：……………..8分故，……………..10分……………..11分……………..12分故，即点在以为直径的圆内，故………..13分3.（2018·丰台区期末·19）在平面直角坐标系中，动点到点的距离和它到直线的距离相等，记点的轨迹为.（Ⅰ）求得方程；（Ⅱ）设点在曲线上，轴上一点（在点右侧）满足.平行于的直线与曲线相切于点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】解：（Ⅰ）因为动点到点的距离和它到直线的距离相等，所以动点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线.设的方程为，则，即.所以的轨迹方程为.（Ⅱ）设，则，所以直线的斜率为.设与平行，且与抛物线相切的直线为，由得，由得，所以，所以点.当，即时，直线的方程为，整理得，所以直线过点.当，即时，直线的方程为，过点，综上所述，直线过定点.4.（2018·石景山期末·19）已知椭圆离心率等于，、是椭圆上的两点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是椭圆上位于直线两侧的动点.当运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值？如果为定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由.【答案】解：（Ⅰ）因为，又，所以………2分设椭圆方程为,代入,得……4分椭圆方程为…………5分（Ⅱ）当时，斜率之和为…………6分设斜率为，则斜率为…………7分设方程为，与椭圆联立得代入化简得：，同理，，即直线的斜率为定值. …………14分5.（2018·通州区期末·18）已知椭圆过点，离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点，过点作斜率为直线，与椭圆交于，两点，若轴平分，求的值．【答案】解：（Ⅰ）因为椭圆的焦点在轴上，过点，离心率，所以，……………………2分所以由，得……………………3分所以椭圆的标准方程是……………………4分（Ⅱ）因为过椭圆的右焦点作斜率为直线，所以直线的方程是.联立方程组消去，得显然设点，，所以，……………………7分因为轴平分，所以.所以……………………9分所以所以所以所以所以所以……………………12分所以因为，所以……………………13分6.（2018·房山区期末·18）已知直线过点，圆:,直线与圆交于两点.（）求直线的方程；（）求直线的斜率的取值范围；（Ⅲ）是否存在过点且垂直平分弦的直线?若存在，求直线斜率的值，若不存在，请说明理由．【答案】（）设圆,圆心为，故直线的方程为，即 …………………5分 （）法1：直线的方程为，则由得由得故…………………10分法2：直线的方程为，即，圆心为，圆的半径为1则圆心到直线的距离因为直线与有交于两点，故，故（Ⅲ）假设存在直线垂直平分于弦,此时直线过，，则，故的斜率，由（）可知，不满足条件所以，不存在存在直线垂直于弦。
2018届北师大版 解析几何 单元测试
1．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线C 的离心率为( )A.52 B. 5 C ．2 5 D ．3 5 答案 B解析 易知双曲线C 的左焦点到渐近线的距离为b ，则b ＝2a ，因此双曲线C 的离心率为e ＝ca ＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝5，选B. 2．若动圆的圆心在抛物线x 2＝12y 上，且与直线y ＋3＝0相切，则此圆恒过定点( )A ．(0,2)B ．(0，－3)C ．(0,3)D ．(0,6) 答案 C解析 直线y ＋3＝0是抛物线x 2＝12y 的准线，由抛物线的定义知抛物线上的点到直线y ＝－3的距离与到焦点(0,3)的距离相等，所以此圆恒过定点(0,3)．3．以双曲线x 23－y 26＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆上任意一点P 与椭圆的两个焦点构成的三角形面积的最大值为( )A ．3 6B ．3 2C ．2 3D ．2 2 答案 B解析 因为双曲线x 23－y 26＝1的顶点坐标为(±3，0)，焦点为(±3,0)，所以椭圆的长半轴长a ＝3，半焦距c ＝3，短半轴长b ＝a 2－c 2＝6，当P 为短轴端点时，P 与椭圆的两个焦点构成的三角形的面积最大，且最大值为12×23×6＝32，选择B.4．已知P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是椭圆x 24＋y 22＝1上的两个动点，且x 1＋x 2＝2.若线段PQ 的垂直平分线经过定点A ，则点A 的坐标为( )A ．(1,0)B ．(1,1)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 答案 C解析 因为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)在椭圆x 24＋y 22＝1上，且x 1＋x 2＝2.当x 1≠x 2时，由⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 212＝1x 224＋y 222＝1，得y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－1y 1＋y 2.设线段PQ 的中点为N (1，n )，所以k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12n ，所以线段PQ 的垂直平分线的方程为y －n ＝2n (x －1)，即y ＝2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，该直线恒过定点A ⎝⎛⎭⎪⎫12，0；当x 1＝x 2时，线段PQ 的垂直平分线也过定点A ⎝⎛⎭⎪⎫12，0.故线段PQ 的垂直平分线恒过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0. 5．已知双曲线mx 2＋ny 2＝1的离心率为2，且一个焦点与抛物线x 2＝8y 的焦点重合，则此双曲线的方程为( )A ．y 2－x 23＝1 B ．x 2－y 23＝1C.x 22－y 26＝1D.y 22－x 26＝1 答案 A解析 因为抛物线x 2＝8y 的焦点坐标为(0,2)，所以m <0，n >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m ＝421n＝2，即n ＝1，m ＝－13，所以双曲线方程为y 2－x23＝1.6．设F 为抛物线C ：x 2＝12y 的焦点，A 、B 、C 为抛物线上不同的三点，若F A →＋FB→＋FC →＝0，则|F A |＋|FB |＋|FC |＝( ) A ．3 B ．9 C ．12 D ．18 答案 D解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，因为A 、B 、C 为抛物线上不同的三点，则A 、B 、C 可以构成三角形．抛物线C ：x 2＝12y 的焦点为F (0,3)，准线方程为y ＝－3. 因为F A →＋FB →＋FC →＝0，所以利用平面向量的相关知识可得点F 为△ABC 的重心，从而有x 1＋x 2＋x 3＝0，y 1＋y 2＋y 3＝9.又根据抛物线的定义可得|F A |＝y 1－(－3)＝y 1＋3， |FB |＝y 2－(－3)＝y 2＋3，|FC |＝y 3－(－3)＝y 3＋3，所以|F A |＋|FB |＋|FC |＝y 1＋3＋y 2＋3＋y 3＋3＝y 1＋y 2＋y 3＋9＝18. 7．[2015·河北名校联盟质检]若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，则该双曲线的离心率为_____．答案233解析 双曲线的一条渐近线方程为bx －ay ＝0，一个焦点坐标为(c,0)．根据题意：|bc －a ×0|b 2＋a 2＝14×2c ，所以c ＝2b ，a ＝c 2－b 2＝3b ，所以e ＝c a ＝23＝233.8．已知直线l 过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F ，且与C 相交于A 、B 两点，AB 的中点M 的坐标为(3,2)，则抛物线C 的方程为______．答案 y 2＝4x 或y 2＝8x解析 由题意可设直线l 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2(k ≠0)，与抛物线C 的方程y 2＝2px (p >0)联立可得k 2x 2－k 2px －2px ＋k 2p 24＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧p 2＋p k 2＝3p k ＝2，解得k ＝1，p ＝2或k ＝2，p ＝4，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝8x .9．已知点P 是椭圆x 225＋y 29＝1上的动点，且与椭圆的四个顶点不重合，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，O 为坐标原点，若点M 是∠F 1PF 2的角平分线上的一点，且F 1M ⊥MP ，则|OM |的取值范围是______．答案 (0,4)解析 解法一：如图，延长PF 2，F 1M ，交于点N ，∵PM 是∠F 1PF 2的角平分线，且F 1M ⊥MP ，∴|PN |＝|PF 1|，M 为F 1N 的中点，∵O 为F 1F 2的中点，M 为F 1N 的中点，∴|OM |＝12|F 2N |＝12||PN |－|PF 2||＝12||PF 1|－|PF 2||，对于椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0，xy ≠0)，设点P 的坐标为(x 0，y 0)(－a <x 0<a )，则x 20a 2＋y 20b 2＝1，又F 1(－c,0)，F 2(c,0)，故|PF 1|＝(x 0＋c )2＋y 20＝(x 0＋c )2＋b 2－b 2x 2a 2＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c a x 02＝a ＋ex 0，同理|PF 2|＝a －ex 0，∴|OM |＝12||PF 1|－|PF 2||＝12|2ex 0|＝12×2e |x 0|＝e |x 0|，∵点P 是椭圆上与四个顶点不重合的点，故|x 0|∈(0，a )，故|OM |∈(0，c )，对于x 225＋y 29＝1，c ＝4，故|OM |的取值范围是(0,4)．解法二：由椭圆的对称性，只需研究动点P 在第一象限内的情况，当点P 趋近于椭圆的上顶点时，点M 趋近于点O ，此时|OM |趋近于0；当点P 趋近于椭圆的右顶点时，点M 趋近于点F 1，此时|OM |趋近于25－9＝4，所以|OM |的取值范围为(0,4)．解法三：如图，延长PF 2，F 1M 交于点N ，∵PM 是∠F 1PF 2的角平分线，且F 1M ⊥MP ，∴|PN |＝|PF 1|，M 为F 1N 的中点，又O 为F 1F 2的中点，∴|OM |＝12|F 2N |＝12||PN |－|PF 2||＝12||PF 1|－|PF 2||，又|PF 1|＋|PF 2|＝10，∴|OM |＝12|2|PF 1|－10|＝||PF 1|－5|，又|PF 1|∈(1,5)∪(5,9)，∴|OM |∈(0,4)，故|OM |的取值范围是(0,4)．10．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝32，M 是椭圆C 上的一点，且点M 到椭圆C 两焦点的距离之和为4.(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的左顶点A 的直线l 交椭圆于另一点B ，P (0，t )是y轴上一点，满足|P A |＝|PB |，P A →·PB→＝4，求实数t 的值． 解 (1)由已知得2a ＝4，则a ＝2， 又e ＝c a ＝32，所以c ＝3，b 2＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)易知A (－2,0)，设B (x 1，y 1)，根据题意可知直线l 的斜率存在，可设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，把它代入椭圆C 的方程，消去y ，整理得：(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋(16k 2－4)＝0，由根与系数的关系得－2＋x 1＝－16k 21＋4k 2， 则x 1＝2－8k 21＋4k 2，y 1＝k (x 1＋2)＝4k 1＋4k2， 所以线段AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 21＋4k 2，2k 1＋4k 2.①当k ＝0时，则有B (2,0)，线段AB 的垂直平分线为y 轴，于是P A →＝(－2，－t )，PB→＝(2，－t )， 由P A →·PB →＝－4＋t 2＝4，解得t ＝±2 2.②当k ≠0时，则线段AB 的垂直平分线的方程为y －2k1＋4k 2＝－1k⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8k 21＋4k 2. 因为P (0，t )是线段AB 垂直平分线上的一点， 令x ＝0，得t ＝－6k1＋4k 2，于是P A →＝(－2，－t )，PB →＝(x 1，y 1－t )， 由P A →·PB →＝－2x 1－t (y 1－t )＝4(16k 4＋15k 2－1)(1＋4k 2)2＝4，解得：k ＝±147，代入t ＝－6k 1＋4k 2，解得t ＝±2145. 综上，满足条件的实数t 的值为t ＝±22或t ＝±2145.。
2018届高中数学北师大版（文）第8章平面解析几何单元测试52Word版含答案
2018届⾼中数学北师⼤版（⽂）第8章平⾯解析⼏何单元测试52Word版含答案课时作业52 椭圆⼀、选择题1．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的⼀个焦点，且椭圆的另外⼀个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．6C ．4 3D ．12解析：由椭圆的定义知：|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a(F 是椭圆的另外⼀个焦点)，∴周长为4a ＝4 3.答案：C2．椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离⼼率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21D .1925或21解析：若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ，由c a ＝45，即5－k 3＝45，解得k ＝－1925；若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝k －5，若c a ＝45，即k －54＋k ＝45，解得k ＝21. 答案：C3．(20172湖北⼋校联考)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y5＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( )A .514B .513C .49D .59解析：由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2.设线段PF 1的中点为M ，则有OM∥PF 2，∵OM⊥F 1F 2，∴PF 2⊥F 1F 2，∴|PF 2|＝b 2a ＝53.⼜∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，∴|PF 2||PF 1|＝533313＝513，故选B . 答案：B4．(20162新课标全国卷Ⅰ)直线l 经过椭圆的⼀个顶点和⼀个焦点，若椭圆中⼼到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离⼼率为( )A .13B .12C .23D .34解析：解法1：不妨设直线l 过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(－c,0)，b>0，c>0，则直线l 的⽅程为bx －cy ＋bc ＝0，由已知得bcb 2＋c 2＝1432b，解得b 2＝3c 2，⼜b 2＝a 2－c 2，所以c 2a 2＝14，即e 2＝14，所以e ＝12(e ＝－12舍去)，故选B .解法2：不妨设直线l 过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(－c,0)，b>0，c>0，则直线l 的⽅程为bx －cy ＋bc ＝0，由已知得bcb 2＋＝1432b，所以bc a ＝1432b，所以e ＝c a ＝12，故选B .答案：B5．已知椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，在长轴A 1A 2上任取⼀点M ，过M 作垂直于A 1A 2的直线，与椭圆的⼀个交点为P ，则使得PF 1→2PF 2→<0的点M 的概率为( )A .22B .223 C .63D .12解析：设P(x ，y)，PF 1→＝(－c －x ，－y)，PF 2→＝(c －x ，－y)，∵PF 1→2PF 2→＝(－c －x ，－y)2(c－x ，－y)＝x 2＋y 2－c 2＝x 2＋? ??1－x 24－3＝3x 24－2<0，∴－2632PF 2→<0的点M 的概率为23263232＝63.答案：C6．(20172湖北武昌调研)已知椭圆x 2a 2＋yb 2＝1(a>b>0)的左焦点F(－c,0)关于直线bx ＋cy ＝0的对称点P 在椭圆上，则椭圆的离⼼率是( )A .24B .34C .33D .22解析：设左焦点F(－c,0)关于直线bx ＋cy ＝0的对称点为P(m ，n)，则n m ＋c 2? ????－b c ＝－1，b2m －c 2＋c2n 2＝0n m ＋c ＝c b ，bm －bc ＋nc ＝0，所以m ＝b 2c －c 3b 2＋c 2＝ a 2－2c 2 c a 2＝(1－2e 2)c ，n ＝c 2b ＋bc 2b 2＋c 2＝2bc 2a2＝2be 2.因为点P(m ，n)在椭圆上，所以 1－2e 22c 2a 2＋4b 2e 4b 2＝1，即(1－2e 2)2e 2＋4e 4＝1，即4e 6＋e 2－1＝0，将各选项代⼊知e ＝22符合，故选D . 答案：D ⼆、填空题7．直线x －2y ＋2＝0过椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1的左焦点F 1和⼀个顶点B ，则椭圆的⽅程为________．解析：直线x －2y ＋2＝0与x 轴的交点为(－2,0)，即为椭圆的左焦点，故c ＝2. 直线x －2y ＋2＝0与y 轴的交点为(0,1)，即为椭圆的顶点，故b ＝1.故a 2＝b 2＋c 2＝5，椭圆⽅程为x 25＋y 2＝1.答案：x 25＋y 2＝18．设AB 是椭圆的长轴，点C 在椭圆上，且∠CBA＝π4，若AB ＝4，BC ＝2，则椭圆的两个焦点之间的距离为________．解析：如图，设椭圆的标准⽅程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，由题意知，2a ＝4，a ＝2，∵∠CBA＝π4，BC ＝2，∴点C 的坐标为C(－1,1)．⼜∵点C 在椭圆上，∴14＋1b 2＝1，∴b 2＝43，∴c 2＝a2－b 2＝4－43＝83，c ＝263，则椭圆的两个焦点之间的距离为463.答案：4639．(20172安徽江南⼗校联考)椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的右顶点为A ，经过原点的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，若|PQ|＝a ，AP⊥PQ，则椭圆C 的离⼼率为________．解析：不妨设点P 在第⼀象限，由对称性可得|OP|＝|PQ|2＝a2，在Rt △POA 中，cos ∠POA＝|OP||OA|＝12，故∠POA＝60°，易得P ? ????14a ，34a ，代⼊椭圆⽅程得：116＋3a 216b 2＝1，故a 2＝5b 2＝5(a 2－c 2)，则c 2a 2＝45，所以离⼼率e ＝255.答案：255三、解答题10．如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的右焦点为F 2(1,0)，点H ? 2，2103在椭圆上．。
2018单元滚动检测卷高考数学理北师大版精练检测：九平
单元滚动检测九 平面解析几何考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·北京海淀区一模)设a ∈R ，则直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．0，π4] B ．3π4，π) C ．0，π4]∪(π2，π)D ．π4，π2)∪3π4，π)2．已知点P (x 0，y 0)在以原点为圆心的单位圆上运动，则点Q (x ′，y ′)＝(x 0＋y 0，x 0y 0)的轨迹是( ) A ．圆 B ．抛物线 C ．椭圆D ．双曲线3．(2016·烟台调研)圆x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )的位置关系为( ) A ．相离 B ．相切C ．相交D ．以上都有可能4．(2016·福州质检)直线y ＝x 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的焦点，则椭圆C 的离心率为( ) A.－1＋52 B.1＋52 C.3－52 D.125．(2016·兰州诊断考试)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，右顶点为A ，上顶点为B ，若椭圆C 的中心到直线AB 的距离为66|F 1F 2|，则椭圆C 的离心率e 等于( )A.22B.32C.23D.336．(2016·长春质量检测)若F (c,0)是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，过F 作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，△OAB 的面积为12a 27，则该双曲线的离心率e 等于( ) A.53 B.43 C.54 D.857．设动点P 在直线x ＝1上，O 为坐标原点，以OP 为直角边、点O 为直角顶点作等腰直角三角形OPQ ，则动点Q 的轨迹是( ) A ．圆 B ．两条平行直线 C ．抛物线D ．双曲线8．我们把离心率为黄金比5－12的椭圆称为“优美椭圆”．设F 1，F 2是“优美椭圆”C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，则椭圆C 上满足∠F 1PF 2＝90°的点P 的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．39．(2016·青岛二模)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2.若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于( ) A.12或32 B.23或2 C.12或2D.23或3210．(2017·深圳调研)已知点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →，则动点P 的轨迹C 的方程为( ) A ．x 2＝4y B ．y 2＝3x C ．x 2＝2yD ．y 2＝4x11．(2016·郑州质检)已知P 为抛物线y ＝12x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是(6，172)，则|P A |＋|PM |的最小值是( ) A ．8 B.192 C ．10 D.21212．(2016·湖南六校联考)已知A ，B 分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右顶点，不同两点P ，Q 在椭圆C 上，且关于x 轴对称，设直线AP ，BQ 的斜率分别为m ，n ，则当2b a ＋a b ＋12mn ＋ln|m |＋ln|n |取最小值时，椭圆C 的离心率为( ) A.33 B.23 C.12 D.22第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．若方程x 2|a |－1＋y 2a ＋3＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________．14．(2016·沈阳模拟)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 为抛物线上的两点，且|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点M 到y 轴的距离为________．15．(2016·山西四校联考)已知双曲线x 29－y 2b 2＝1(b >0)，过其右焦点F 作圆x 2＋y 2＝9的两条切线，切点记作C ，D ，双曲线的右顶点为E ，∠CED ＝150°，则双曲线的离心率为________．16．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，且线段AB 的中点在直线l ：x －2y ＝0上. (1)求此椭圆的离心率；(2)若椭圆的右焦点关于直线l 的对称点在圆x 2＋y 2＝4上，求此椭圆的方程.18.(12分)(2016·北京西城区模拟)已知对任意m ∈R ，直线l ：y ＝x ＋m 与双曲线C ：x 22－y 2b 2＝1(b >0)恒有公共点.(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)若直线l 过双曲线C 的右焦点F ，与双曲线交于P ，Q 两点，并满足FP →＝15FQ →，求双曲线C 的方程.19.(12分)(2016·四川高中名校联盟测试) 如图，已知F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，过点F 2的直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，直线l ，AF 1，BF 1的斜率分别为k ，k 1，k 2，且满足k 1k 2＋k 2＝0(k ≠0). (1)若a ＝2，b ＝3，求直线l 的方程； (2)若k ＝12，求|AF 1|＋|BF 2||AB |的值.20.(12分)(2016·烟台模拟)已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆的一个焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点.(1)求椭圆E 的方程；(2)设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.21.(12分)如图，曲线C 由上半椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0，y ≥0)和部分抛物线C 2：y ＝－x 2＋1(y ≤0)连接而成，C 1与C 2的公共点为A ，B ，其中C 1的离心率为32.(1)求a ，b 的值；(2)过点B 的直线l 与C 1，C 2分别交于点P ，Q (均异于点A ，B )，若AP ⊥AQ ，求直线l 的方程.22.(12分)已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12，且经过点A (1，32).(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知P ，Q 是椭圆C 上的两点.(ⅰ)若OP ⊥OQ ，求证：1|OP |2＋1|OQ |2为定值；(ⅱ)当1|OP |2＋1|OQ |2为(ⅰ)中所求定值时，试探究OP ⊥OQ 是否成立？并说明理由.答案解析1．B 设直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角为α， 则tan α＝－1a 2＋1∈－1,0)，由于0≤α<π，故3π4≤α<π.] 2．B 设P 在以原点为圆心，1为半径的圆上运动，P (x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝1，∵Q (x ′，y ′)＝(x 0＋y 0，x 0y 0)， ∴⎩⎨⎧x ′＝x 0＋y 0，y ′＝x 0·y 0.∴x ′2＝x 20＋y 20＋2x 0y 0＝1＋2y ′，即Q 点的轨迹方程为y ′＝12x ′2－12， ∴Q 点的轨迹是抛物线．]3．C 圆的方程可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9， ∴圆心坐标为(1，－2)，半径r ＝3， 又圆心在直线2tx －y －2－2t ＝0上， ∴圆与直线相交，故选C.]4．A 设直线y ＝x 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1在第一象限的交点为A ，依题意有点A 的坐标为(c ，c )，又点A 在椭圆C 上，故有c 2a 2＋c 2b 2＝1，因为b 2＝a 2－c 2，所以c 2a 2＋c2a 2－c2＝1，所以c 4－3a 2c 2＋a 4＝0，即e 4－3e 2＋1＝0， 解得e 2＝3±52，又因为C 是椭圆， 所以0<e <1，所以e ＝5－12.]5．A 设椭圆C 的焦距为2c (c <a )， 由于直线AB 的方程为bx ＋ay －ab ＝0， 所以ab a 2＋b2＝63c . 又b 2＝a 2－c 2，所以3a 4－7a 2c 2＋2c 4＝0，解得a 2＝2c 2或3a 2＝c 2(舍去)，所以e ＝22，故选A.] 6．C 设过第一、三象限的渐近线的倾斜角为θ，则tan θ＝b a ，tan 2θ＝2aba 2－b 2，因此△OAB 的面积可以表示为 12·a ·a tan 2θ＝a 3b a 2－b 2＝12a 27， 解得b a ＝34，则e ＝54.故选C.] 7．B 设P (1，a )，Q (x ，y )．以点O 为直角顶点作等腰直角三角形OPQ ， k OP ·k OQ ＝ayx ×1＝－1，x ＝－ay ，∵|OP |＝|OQ |，∴1＋a 2＝x 2＋y 2＝a 2y 2＋y 2＝(a 2＋1)y 2， 而a 2＋1>0，∴y 2＝1，∴y ＝1或y ＝－1， ∴动点Q 的轨迹是两条平行于x 轴的直线．] 8．A 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则⎩⎨⎧m ＋n ＝2a ，4c 2＝m 2＋n 2， mn ＝2a 2－2c 2. 而5－12＝c a ， 所以mn ＝2a 2－2(5－12a )2＝(5－1)a 2，与m ＋n ＝2a 联立无实数解．] 9．A 设圆锥曲线Γ的离心率为e ， 因为|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2， 则①若圆锥曲线Γ为椭圆，由椭圆的定义， 则有e ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝34＋2＝12；②若圆锥曲线Γ为双曲线，由双曲线的定义， 则有e ＝|F 1F 2||PF 1|－|PF 2|＝34－2＝32.综上，所求的离心率为12或32，故选A.] 10．A 设P (x ，y )，则Q (x ，－1)． ∵QP →·QF →＝FP →·FQ→， ∴(0，y ＋1)·(－x,2)＝(x ，y －1)·(x ，－2)，即2(y ＋1)＝x 2－2(y －1)，整理得x 2＝4y ， ∴动点P 的轨迹C 的方程为x 2＝4y .]11．B 依题意可知焦点F (0，12)，准线为y ＝－12， 延长PM 交准线于点H ，则|PF |＝|PH |， |PM |＝|PH |－12＝|PF |－12， |P A |＋|PM |＝|PF |＋|P A |－12， 即求|PF |＋|P A |的最小值． 因为|PF |＋|P A |≥|F A |， 又|F A |＝62＋(172－12)2＝10，所以|PM |＋|P A |≥10－12＝192，故选B.]12．D 设点P (x 0，y 0)，则x 20a 2＋y 20b 2＝1，所以mn ＝b 2a 2， 从而2b a ＋a b ＋12mn ＋ln|m |＋ln|n |＝2b a ＋a b ＋a 22b 2＋ln b 2a 2， 设b 2a 2＝x ，令f (x )＝12x ＋ln x (0<x <1)， 则f ′(x )＝2x －12x 2，f (x )min ＝f (12)， 即b 2a 2＝12.因为2b a ＋ab ≥22，当且仅当2b a ＝a b ，即b 2a 2＝12时取等号，取等号的条件一致， 此时e 2＝1－b 2a 2＝12，所以e ＝22.]13．(－3，－2)解析 因为方程x 2|a |－1＋y 2a ＋3＝1表示焦点在x 轴上的椭圆．所以|a |－1>a ＋3>0，解得－3<a <－2. 14.54解析 抛物线的准线为x ＝－14，由抛物线的定义及梯形中位线的性质知M 到抛物线准线的距离为32，所以点M 到y 轴的距离为32－14＝54.15.233解析 由题可得△OCE 为等腰三角形，且底角为75°，所以顶角∠COE ＝30°，在Rt △OCF 中，|OC |＝3，易知|OF |＝23，即c ＝23，所以离心率e ＝c a ＝233. 16．32解析 ①当直线的斜率不存在时，直线的方程为x ＝4，代入y 2＝4x ，得交点为(4,4)，(4，－4)，∴y 21＋y 22＝16＋16＝32.②当直线的斜率存在时，设直线的方程为y ＝k (x －4)， 与y 2＝4x 联立，消去x 得ky 2－4y －16k ＝0， 由题意知k ≠0，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－16， ∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k 2＋32>32.综合①②知(y 21＋y 22)min ＝32.17．解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋1，x 2a 2＋y 2b2＝1，得(a 2＋b 2)x 2－2a 2x ＋a 2－a 2b 2＝0， ∴x 1＋x 2＝2a 2a 2＋b 2，y 1＋y 2＝－(x 1＋x 2)＋2＝2b 2a 2＋b 2，∴线段AB 的中点坐标为(a 2a 2＋b 2，b 2a 2＋b 2)．∵线段AB 的中点在直线l 上， ∴a 2a 2＋b 2－2b 2a 2＋b 2＝0， ∴a 2＝2b 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2， ∴椭圆的离心率e ＝c a ＝22.(2)由(1)知b ＝c ，从而椭圆的右焦点F 的坐标为(b,0)， 设点F (b,0)关于直线l ：x －2y ＝0的对称点的坐标为(x 0，y 0)， 则y 0－0x 0－b ·12＝－1，且x 0＋b 2－2·y 02＝0，∴x 0＝35b ，y 0＝45b .由已知得x 20＋y 20＝4，∴(35b )2＋(45b )2＝4， ∴b 2＝4，又由(1)知a 2＝2b 2＝8， ∴椭圆的方程为x 28＋y 24＝1. 18．解 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 22－y 2b2＝1，整理得(b 2－2)x 2－4mx －2(m 2＋b 2)＝0.当b 2＝2，m ＝0时，易知直线l 是双曲线C 的一条渐近线，不满足题意，故b 2≠2，易得e ≠ 2.当b 2≠2时，由题意知Δ＝16m 2＋8(b 2－2)(m 2＋b 2)≥0， 即b 2≥2－m 2，故b 2≥2，则e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝2＋b22≥2，e ≥ 2.综上可知，e 的取值范围为(2，＋∞)．(2)由题意知F (c,0)，直线l ：y ＝x －c ，与双曲线C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －c ，x 22－y 2b 2＝1，化简得(b 2－2)y 2＋2cb 2y ＋b 2c 2－2b 2＝0，当b 2＝2时，易知直线l 平行于双曲线C 的一条渐近线， 与双曲线C 只有一个交点，不满足题意，故b 2≠2. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2cb 2b 2－2， ①y 1y 2＝b 2c 2－2b 2b 2－2， ②因为FP →＝15FQ →，所以y 1＝15y 2，③ 由①③可得y 1＝－cb 23(b 2－2)，y 2＝－5cb 23(b 2－2)，代入②整理得5c 2b 2＝9(b 2－2)(c 2－2)， 又c 2＝b 2＋2，所以b 2＝7.所以双曲线C 的方程为x 22－y 27＝1.19．解 (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，∴直线l 的方程为y ＝k (x －c )，将其代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，整理得(b 2＋a 2k 2)x 2－2a 2k 2cx ＋a 2k 2c 2－a 2b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝a 2k 2c 2－a 2b 2b 2＋k 2a 2， 而k 1＝y 1x 1＋c ＝k (x 1－c )x 1＋c ，k 2＝k (x 2－c )x 2＋c， 由已知k 1k 2＋k 2＝0且k ≠0，得k 2(x 1－c )(x 2－c )(x 1＋c )(x 2＋c )＋k 2＝0， 则(x 1－c )(x 2－c )＋(x 1＋c )(x 2＋c )＝0，即x 1x 2＋c 2＝0⇔a 2k 2c 2－a 2b 2b 2＋k 2a 2＋c 2＝0 ⇔2|k |ac ＝a 2－c 2⇔2|k |＝1e －e .∵a ＝2，b ＝3，∴c ＝1，即有e ＝c a ＝12，∴k ＝±324，则直线l 的方程为 32x －4y －32＝0或32x ＋4y －32＝0. (2)若k ＝12，则由(1)知2|k |＝1e －e ，∴e ＝22. ∵|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋1·(2a 2k 2c )2－4(b 2＋a 2k 2)(a 2k 2c 2－a 2b 2)b 2＋a 2k 2 ＝2ab 2(k 2＋1)a 2k 2＋b2， 由椭圆定义可知|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝4a ， ∴|AF 1|＋|BF 1||AB |＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AB ||AB |－1＝4a |AB |－1＝2(a 2k 2＋b 2)b 2(k 2＋1)－1＝8(14a 2＋b 2)5b 2－1＝25(a 2b 2＋4)－1 ＝25(11－e 2＋4)－1＝75，即|AF 1|＋|BF 1||AB |＝75. 20．解 (1)设F (c,0)，由题意k AF ＝2c ＝233，∴c ＝ 3.又∵离心率e ＝c a ＝32，∴a ＝2，b ＝a 2－c 2＝1，故椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，方程为 y ＝kx －2，联立直线与椭圆方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2＝1，y ＝kx －2，化简，得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.∵Δ＝16(4k 2－3)>0，∴k 2>34.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝16k 1＋4k 2，x 1·x 2＝121＋4k 2， ∴|PQ |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·44k 2－31＋4k 2. 坐标原点O 到直线l 的距离d ＝2k 2＋1， S △OPQ ＝121＋k 2·44k 2－31＋4k 2·2k 2＋1＝44k 2－31＋4k 2. 令t ＝4k 2－3(t >0)，则S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t . ∵t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝4t ，即t ＝2时，等号成立，∴S △OPQ ≤1，故当t ＝2时，即4k 2－3＝2，k ＝±72时，△OPQ 的面积最大，从而直线l 的方程为7x －2y －4＝0或7x ＋2y ＋4＝0.21．解 (1)在C 1，C 2的方程中，令y ＝0，可得b ＝1，且A (－1,0)，B (1,0)是上半椭圆C 1的左右顶点． 设C 1的半焦距为c ，由c a ＝32及a 2－c 2＝b 2＝1，得a ＝2，∴a ＝2，b ＝1.(2)由(1)知，上半椭圆C 1的方程为y 24＋x 2＝1(y ≥0)．易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为 y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入C 1的方程，整理得 (k 2＋4)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0.(*)设点P 的坐标为(x p ，y p )，∵直线l 过点B ，∴x ＝1是方程(*)的一个根．由求根公式，得x p ＝k 2－4k 2＋4，从而y p ＝－8k k 2＋4， ∴点P 的坐标为(k 2－4k 2＋4，－8k k 2＋4)． 同理，由⎩⎨⎧y ＝k (x －1)(k ≠0)，y ＝－x 2＋1(y ≤0)，得点Q 的坐标为(－k －1，－k 2－2k )．∴AP →＝2k k 2＋4(k ，－4)，AQ →＝－k (1，k ＋2)． ∵AP ⊥AQ ，∴AP →·AQ→＝0， 即－2k 2k 2＋4k －4(k ＋2)]＝0. ∵k ≠0，∴k －4(k ＋2)＝0，解得k ＝－83.经检验，k ＝－83符合题意． 故直线l 的方程为8x ＋3y －8＝0.22．解 (1)由题意，设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，将点A (1，32)代入，得1a 2＋94b 2＝1，结合离心率e ＝c a ＝12，a 2－b 2＝c 2，解得a ＝2，b ＝3，故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)(ⅰ)①若P ，Q 分别为椭圆长轴和短轴的端点，则1|OP |2＋1|OQ |2＝712；②若P ，Q 都不为椭圆长轴和短轴的端点，设P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，OP ：y ＝kx ，则OQ ：y ＝－1k x ，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 23＝1，y ＝kx ，解得x 2P ＝124k 2＋3，y 2P ＝12k 24k 2＋3， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 23＝1，y ＝－1k x ，解得x 2Q ＝12k 23k 2＋4，y 2Q ＝123k 2＋4， ∴1|OP |2＋1|OQ |2＝1124k 2＋3＋12k 24k 2＋3＋112k 23k 2＋4＋123k 2＋4＝7k 2＋712k 2＋12＝712. 综合①②可知，1|OP |2＋1|OQ |2为定值712.(ⅱ)对于椭圆C 上的任意两点P ，Q ，当1|OP |2＋1|OQ |2＝712时，不妨设OP ：y ＝k 1x ，OQ ：y ＝k 2x ，易得x 2P ＝124k 21＋3，y 2P ＝12k 214k 21＋3，x 2Q ＝124k 22＋3，y 2Q ＝12k 224k 22＋3， 由1|OP |2＋1|OQ |2＝712，得4k 21＋312k 21＋12＋4k 22＋312k 22＋12＝712， 即8k 21k 22＋7k 21＋7k 22＋6＝7(k 21k 22＋k 21＋k 22＋1)，亦即k 1k 2＝±1.当1|OP |2＋1|OQ |2为定值712时，OP ⊥OQ 不一定成立．。
2018届北师大版 平面解析几何 单元测试2
1．已知直线l 1：k 1x ＋y ＋1＝0与直线l 2：k 2x ＋y －1＝0，那么“k 1＝k 2”是“l 1∥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.由k 1＝k 2，1≠－1，得l 1∥l 2；由l 1∥l 2，知k 1×1－k 2×1＝0，所以k 1＝k 2.故“k 1＝k 2”是“l 1∥l 2”的充要条件．2．(2016·石家庄模拟)已知点P (3，2)与点Q (1，4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( )A ．x －y ＋1＝0B ．x －y ＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x ＋y ＝0解析：选A.由题意知直线l 与直线PQ 垂直，直线PQ 的斜率k PQ ＝－1，所以直线l 的斜率k ＝－1k PQ＝1.又直线l 经过PQ 的中点(2，3)，所以直线l 的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0.3．已知点A (3，2)和B (－1，4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 的值为( )A ．－6或12B ．－12或1 C ．－12或12 D ．0或12解析：选A.法一：|3m ＋2＋3|m 2＋12＝|－m ＋4＋3|m 2＋12，即|3m ＋5|＝|7－m |，解得m ＝－6或12. 法二：当A ，B 两点在直线同侧，则－m ＝4－2－1－3，即m ＝12；当A ，B 两点在直线异侧，则A ，B 的中点在直线上，即m ×3－12＋4＋22＋3＝0，即m ＝－6. 4．已知过点A (－2，m )和点B (m ，4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为( )A ．－10B ．－2C ．0D ．8解析：选A.因为l 1∥l 2，所以k AB ＝4－m m ＋2＝－2. 解得m ＝－8.又因为l 2⊥l 3，所以－1n×(－2)＝－1，解得n ＝－2， 所以m ＋n ＝－10.5．若动点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)分别在直线l 1：x －y －5＝0，l 2：x －y －15＝0上移动，则线段P 1P 2的中点P 到原点的距离的最小值是( )A.522B ．5 2C.1522D ．15 2 解析：选B.由题意得，线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程是x －y －10＝0，因为原点到直线x －y －10＝0的距离为d ＝102＝52，所以线段P 1P 2的中点P 到原点的距离的最小值为5 2.6．(2016·合肥一模)已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0.若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是( )A ．x －2y ＋1＝0B ．x －2y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选B.因为l 1与l 2关于l 对称，所以l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1，0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上一点，设它关于l 的对称点为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＋02－y －22－1＝0，y ＋2x×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，即(1，0)，(－1，－1)为l 2上两点，可得l 2的方程为x －2y －1＝0，故选B.7．已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0与直线l 2：2x ＋(a －1)y ＋1＝0垂直，则实数a ＝________． 解析：由两直线垂直的条件得2a ＋3(a －1)＝0， 解得a ＝35. 答案：358．已知直线l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，且l 1与l 2的距离是2，则直线l 1的方程为________． 解析：因为l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，所以可设l 1的方程为x ＋y ＋b ＝0(b ≠－1)．又因为l 1与l 2的距离是2，所以|b ＋1|12＋12＝2， 解得b ＝1或b ＝－3，即l 1的方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.答案：x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝09．设直线l 经过点A (－1，1)，则当点B (2，－1)与直线l 的距离最远时，直线l 的方程为________．解析：设点B (2，－1)到直线l 的距离为d ，当d ＝|AB |时取得最大值，此时直线l 垂直于直线AB ，k l ＝－1k AB ＝32， 所以直线l 的方程为y －1＝32(x ＋1)， 即3x －2y ＋5＝0.答案：3x －2y ＋5＝010．(2016·淮安调研)已知入射光线经过点M (－3，4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2，6)，则反射光线所在直线的方程为________．解析：设点M (－3，4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －（－3）·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2，6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0. 答案：6x －y －6＝011．已知直线l 1：x ＋a 2y ＋1＝0和直线l 2：(a 2＋1)x －by ＋3＝0(a ，b ∈R )．(1)若l 1∥l 2，求b 的取值范围；(2)若l 1⊥l 2，求|ab |的最小值．解：(1)因为l 1∥l 2，所以－b －(a 2＋1)a 2＝0，即b ＝－a 2(a 2＋1)＝－a 4－a 2＝－⎝⎛⎭⎫a 2＋122＋14， 因为a 2≥0，所以b ≤0.又因为a 2＋1≠3，所以b ≠－6.故b 的取值范围是(－∞，－6)∪(－6，0]．(2)因为l 1⊥l 2，所以(a 2＋1)－a 2b ＝0，显然a ≠0，所以ab ＝a ＋1a，|ab |＝⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥2， 当且仅当a ＝±1时等号成立，因此|ab |的最小值为2.12．已知△ABC 的顶点A (5，1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．解：依题意知，k AC ＝－2，A (5，1)，所以l AC 为2x ＋y －11＝0，联立l AC ，l CM 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，所以C (4，3)． 设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为⎝⎛⎭⎫x 0＋52，y 0＋12，代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，所以B (－1，－3)， 所以k BC ＝65，所以直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)， 即6x －5y －9＝0.1．(2016·洛阳统考)已知点P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，则方程Ax ＋By＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示( )A ．过点P 且与l 垂直的直线B ．过点P 且与l 平行的直线C ．不过点P 且与l 垂直的直线D ．不过点P 且与l 平行的直线解析：选D.因为点P (x 0，y 0)不在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，所以Ax 0＋By 0＋C ≠0，所以直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0不经过点P ，排除A 、B ；又直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0平行，排除C ，故选D.2．已知平面上三条直线x ＋2y －1＝0，x ＋1＝0，x ＋ky ＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的所有取值为________．解析：若三条直线有两条平行，另外一条与这两条直线相交，则符合要求，此时k ＝0或2；若三条直线交于一点，也符合要求，此时k ＝1，故实数k 的所有取值为0，1，2.答案：0，1，23．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点P .(1)点A (5，0)到直线l 的距离为3，求直线l 的方程；(2)求点A (5，0)到直线l 的距离的最大值．解：(1)因为经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，所以|10＋5λ－5|（2＋λ）2＋（1－2λ）2＝3，解得λ＝12或λ＝2. 所以直线l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0， 解得交点P (2，1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到直线l 的距离，则d ≤|P A |(当l ⊥P A 时等号成立)．所以d max ＝|P A |＝10.4．A ，B 两个工厂距一条河分别为400 m 和100 m ，A ，B 两工厂之间距离500 m ，把小河看作一条直线，今在小河边上建一座供水站，供A ，B 两工厂用水，要使供水站到A ，B 两工厂铺设的水管长度之和最短，问供水站应建在什么地方？解：如图，以小河所在直线为x 轴，过点A 的垂线为y 轴，建立直角坐标系，则点A (0，400)，点B (a ，100)．过点B 作BC ⊥AO 于点C .在△ABC 中，AB ＝500，AC ＝400－100＝300，由勾股定理得BC ＝400，所以B (400，100)．点A (0，400)关于x 轴的对称点A ′(0，－400)，由两点式得直线A ′B 的方程为y ＝54x －400. 令y ＝0，得x ＝320，即点P (320，0)．故供水站(点P )在距O 点320 m 处时，到A ，B 两厂铺设的水管长度之和最短．。
【新课标-精品卷】2018年最新北师大版高中数学必修二《解析几何初步》综合测试题2及解析
2017-2018学年（新课标）北师大版高中数学必修二解析几何小题训练一、选择题：1．平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是（ ）A ．一条直线B ．一个圆C ．一个椭圆D ．双曲线的一支2．参数方程2tan cot x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）所表示的曲线是（ ）A ．圆B ．直线C ．两条射线D ．线段3．一束光线从点(1,1)A -出发，经x 轴反射到圆22:(2)(3)1C x y -+-=上的最短路径是（ ）A ．4B ．5C ．321-D ．264．若直线220(,0)ax by a b +-=>始终平分圆224280x y x y +---=的周长，则12a b+ 的最小值为（ ）A ．1B ．5C ．42D ．322+5．已知平面区域D 由以()3,1A 、()2,5B 、()1,3C 为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域D上有无穷多个点()y x ,可使目标函数my x z +=取得最小值，则=m （ ）A ． 2-B ．1-C ．1D ．46. 设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线1l ，则直线1l 的倾斜角为（ ）．A ．︒+α45B ．︒-α135C ．α-︒135D ．当︒<α≤︒1350时为︒+α45，当︒<α≤︒180135时为︒-α1357. 直线3y x =绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位，所得到的直线为( ) （Ａ）113y x =-+ （Ｂ）1133y x =-+ （Ｃ）33y x =- （Ｄ）113y x =+8．将直线20x y λ-+=沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆22240x y x y ++-= 相切，则实数λ的值为 （ ） （A ）－3或7 （B ）－2或8 （C ）0或10 （D ）1或11选择题答题卡二、填空题： 9. 已知两点A B ()()-2002，，，，点C 是圆x y x 2220+-=上的任意一点，则∆ABC 的面积最题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 案小值是 .10. 已知直线l ：x y +-=20与圆C ：x y ax ay a 2224240++-+=，设d 是圆C 上的点到直线的距离，且圆C 上有两点使d 取得最大值，则此时a = ，d =11. 直线()()a x b y +++=110与圆x y 222+=的位置关系是_________.12. 在直角坐标系中，射线OA ，OB 的方程是x y x -=≥00()，x y x +=≥00()。
【高三数学试题精选】2018高考数学一轮复习平面解析几何训练(北师大含答案)
2018高考数学一轮复习平面解析几何训练(北师大含答案)
c 第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程
1．直线3x－＋a＝0(a为常数)的倾斜角为( )
A．30° B．60°
c．150° D．120°
解析选B直线的斜率为＝tan α＝3，又因为0°≤α＜180°，所以α＝60°
2．(2018 河北省衡水中学一模)已知直线l的斜率为3，在轴上的截距为另一条直线x－2－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为( )
A．＝3x＋2 B．＝3x－2
c．＝3x＋12 D．＝－3x＋2
解析选A因为直线x－2－4＝0的斜率为12，所以直线l在轴上的截距为2，所以直线l的方程为＝3x＋2，故选A
3．(2018 太原质检)若直线l与直线＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为( ) A13 B．－13
c．－32 D23
解析选B依题意，设点P(a，1)，Q(7，b)，则有a＋7＝2，b＋1＝－2，解得a＝－5，b＝－3，从而可知直线l的斜率为－3－17＋5＝－13
4．直线l经过A(2，1)，B(1，2)(∈R)两点，那么直线l的倾斜角α的取值范围是( )
A．0≤α＜π B．0≤α≤π4或π2＜α＜π
c．0≤α≤π4 Dπ4≤α＜π2或π2＜α＜π
解析选B直线l的斜率为＝2－11－2＝1－2≤1，又直线l的倾斜角为α，则有tan α≤1，即tan α＜0或0≤tan α≤1，所以π2＜α＜π或0≤α≤π4故选B
5．已知函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，当x＜0时，f(x)＞1，。
2018届北师大版 平面解析几何 单元测试3
1．已知点A (1，－1)，B (－1，1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝ 2 C ．x 2＋y 2＝1 D ．x 2＋y 2＝4 解析：选A.AB 的中点坐标为(0，0)，|AB |＝[1－（－1）]2＋（－1－1）2＝22， 所以圆的方程为x 2＋y 2＝2.2．已知⊙C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则“F ＝E ＝0且D <0”是“⊙C 与y 轴相切于原点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由题意可知，要求圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D2，0，而D 可以大于0. 3．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1解析：选A.由于圆心在第一象限且与x 轴相切，故设圆心为(a ，1)，a ＞0，又圆与直线4x －3y ＝0相切，可得|4a －3|5＝1，解得a ＝2，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.4．(2016·辽宁省五校联考)直线x －2y －2k ＝0与直线2x －3y －k ＝0的交点在圆x 2＋y 2＝9的外部，则k 的取值范围为( )A ．k ＜－35或k ＞35B ．－35＜k ＜35C ．－34＜k ＜34D ．k ＜－34或k ＞34解析：选A.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2k ＝0，2x －3y －k ＝0得交点坐标为(－4k ，－3k )．由题意知(－4k )2＋(－3k )2＞9，解得k ＞35或k ＜－35，故选A.5．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1，0)且被x 轴分成两段弧长的比为1∶2，则圆C 的方程为( )A.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝43 B.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝13C ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43D ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝13 解析：选C.由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为23π，设圆心(0，a )，半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43.6．(2016·洛阳统考)若直线l ：ax ＋by ＋1＝0(a ≥0，b ≥0)始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则a 2＋b 2－2a －2b ＋3的最小值为( )A.45 B ．95C ．2D ．94解析：选B.因为直线ax ＋by ＋1＝0始终平分圆x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，所以圆心(－2，－1)在直线ax ＋by ＋1＝0上，从而2a ＋b －1＝0.a 2＋b 2－2a －2b ＋3＝(a －1)2＋(b －1)2＋1，而(a －1)2＋(b －1)2表示点(1，1)与直线2a ＋b －1＝0上任一点距离的平方，其最小值d 2min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|2×1＋1×1－1|22＋122＝45，所以a 2＋b 2－2a －2b ＋3的最小值为45＋1＝95，故选B. 7．(2014·高考陕西卷)若圆C 的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________．解析：圆C 的圆心为(0，1)，半径为1，标准方程为x 2＋(y －1)2＝1. 答案：x 2＋(y －1)2＝1 8．(2016·太原模拟)已知点P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，点C 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的圆心，那么|PC |的最小值是________．解析：点C 到直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点P 的最小距离即为点C 到直线3x ＋4y ＋8＝0的距离，而圆心C 的坐标是(1，1)，因此最小距离为|3×1＋4×1＋8|5＝3.答案：39．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值范围是________．解析：因为圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ， 所以其圆心为(－1，2)，且5－a >0， 即a <5.又圆关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，所以2＝－2＋b ，所以b ＝4.所以a －b ＝a －4<1. 答案：(－∞，1)10．已知圆C 过点(1，0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 截得的弦长为22，则圆的方程为________．解析：由题意设圆心为(m ，0)(m ＞0)，则圆的半径r ＝|1－m |，圆心到直线l ：y ＝x －1的距离d ＝|m －1|2，又直线l ：y ＝x －1被圆C 截得的弦长为22，所以2 |1－m |2－⎝ ⎛⎭⎪⎫|m －1|22＝22，整理得|1－m |＝2，解得m ＝3(m ＝－1不符合题意，舍去)，则r ＝2，故圆的方程为(x －3)2＋y 2＝4.答案：(x －3)2＋y 2＝411．求适合下列条件的圆的方程．(1)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)； (2)过三点A (1，12)，B (7，10)，C (－9，2)．解：(1)法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4a ，（3－a ）2＋（－2－b ）2＝r 2，|a ＋b －1|2＝r ，解得a ＝1，b ＝－4，r ＝2 2.所以圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.法二：过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．所以半径r ＝（1－3）2＋（－4＋2）2＝22， 所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.(2)设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0.解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0.12．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1，0)和B (3，4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1，2)． 则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0. (2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上， 得a ＋b －3＝0.①又因为直径|CD |＝410，所以|P A |＝210， 所以(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.所以圆心P (－3，6)或P (5，－2)． 所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40 或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.1．已知两点A (0，－3)、B (4，0)，若点P 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0上的动点，则△ABP 面积的最小值为( )A ．6B ．112C ．8D ．212解析：选B.如图，过圆心C 向直线AB 作垂线交圆于点P ，这时△ABP 的面积最小．直线AB 的方程为x 4＋y－3＝1，即3x －4y －12＝0，圆心C 到直线AB 的距离为d ＝|3×0－4×1－12|32＋（－4）2＝165，所以△ABP 的面积的最小值为12×5×⎝⎛⎭⎫165－1＝112. 2．设命题p ：⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －12≥0，k －x ≥0，x ＋3y ≤12(x ，y ，k ∈R 且k ＞0)；命题q ：(x －3)2＋y 2≤25(x ，y∈R )．若p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是________．解析：如图所示：命题p 表示的范围是图中△ABC 的内部(含边界)，命题q 表示的范围是以点(3，0)为圆心，5为半径的圆及圆内部分，p 是q 的充分不必要条件，实际上只需A ，B ，C 三点都在圆内(或圆上)即可．由题知B ⎝⎛⎭⎫k ，4－43k ，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，（k －3）2＋169（3－k ）2≤25， 解得0＜k ≤6. 答案：(0，6] 3．在以O 为原点的直角坐标系中，点A (4，－3)为△OAB 的直角顶点，已知|AB |＝2|OA |，且点B 的纵坐标大于0.(1)求AB →的坐标；(2)求圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0关于直线OB 对称的圆的方程．解：(1)设AB →＝(x ，y )，由|AB |＝2|OA |，AB →·OA →＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝100，4x －3y ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－8.若AB →＝(－6，－8)，则y B ＝－11与y B >0矛盾．所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－8舍去，即AB →＝(6，8)．(2)圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0， 即(x －3)2＋(y ＋1)2＝(10)2，其圆心C (3，－1)，半径r ＝10，因为OB →＝OA →＋AB →＝(4，－3)＋(6，8) ＝(10，5)，所以直线OB 的方程为y ＝12x .设圆心C (3，－1)关于直线y ＝12x 的对称点的坐标为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a －3＝－2，b －12＝12·a ＋32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10.4．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)试探求C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F (4，0)的距离等于线段OF 的长？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆C 的圆心为C (a ，b )， 则圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝8. 因为直线y ＝x 与圆C 相切于原点O ， 所以O 点在圆C 上， 且OC 垂直于直线y ＝x ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝8，b a＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2.由于点C (a ，b )在第二象限，故a <0，b >0， 所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8. (2)假设存在点Q 符合要求，设Q (x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧（x －4）2＋y 2＝16，（x ＋2）2＋（y －2）2＝8， 解之得x ＝45或x ＝0(舍去)．所以存在点Q ⎝⎛⎭⎫45，125，使Q 到定点F (4，0)的距离等于线段OF 的长．。
2018届北师大版 平面解析几何 单元测试1
1．直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°解析：选B.直线的斜率为k ＝tan α＝3，又因为0°≤α＜180°，所以α＝60°.2．(2016·大连模拟)倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A.3x －y ＋1＝0 B ．3x －y －3＝0C.3x ＋y －3＝0 D ．3x ＋y ＋3＝0解析：选D.由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－ 3.又直线过点(－1，0)，所以方程为y ＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.3．(2016·太原质检)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13C ．－32D ．23解析：选B.依题意，设点P (a ，1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13. 4．直线l 经过A (2，1)，B (1，m 2)(m ∈R )两点，那么直线l 的倾斜角α的取值范围是( )A ．0≤α＜πB ．0≤α≤π4或π2＜α＜π C ．0≤α≤π4 D ．π4≤α＜π2或π2＜α＜π 解析：选B.直线l 的斜率为k ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1，又直线l 的倾斜角为α，则有tan α≤1，即tan α＜0或0≤tan α≤1，所以π2＜α＜π或0≤α≤π4.故选B. 5．已知函数f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)，当x ＜0时，f (x )＞1，方程y ＝ax ＋1a表示的直线是( )解析：选C.因为x ＜0时，a x ＞1，所以0＜a ＜1.则直线y ＝ax ＋1a的斜率0＜a ＜1， 在y 轴上的截距1a＞1.故选C. 6．直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2，2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2，0)∪(0，2]D ．(－∞，＋∞)解析：选C.令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2，0)∪(0，2]．7．过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14的直线方程为________． 解析：设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－14×3＝－34. 又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)， 即3x ＋4y ＋15＝0.答案：3x ＋4y ＋15＝08．若点A (4，3)，B (5，a )，C (6，5)三点共线，则a 的值为________．解析：因为k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3. 由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4.答案：49．(2016·沈阳质量监测)若直线l ：x a ＋y b＝1(a >0，b >0)经过点(1，2)，则直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值是________．解析：由直线经过点(1，2)得1a ＋2b ＝1.于是a ＋b ＝(a ＋b )×1＝(a ＋b )×⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ＝3＋b a＋2a b ，因为b a ＋2a b ≥2b a ×2a b＝22⎝⎛⎭⎫当且仅当b a ＝2a b 时取等号，所以a ＋b ≥3＋2 2. 答案：3＋2 210．已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，a ＝________．解析：由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2，2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154，当a ＝12时，面积最小． 答案：1211．根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.解：(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sin α＝1010(0≤α＜π)， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13. 故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)， 即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y 12－a＝1， 又直线过点(－3，4)，从而－3a ＋412－a＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.12．设直线l 的方程为x ＋my －2m ＋6＝0，根据下列条件分别确定m 的值：(1)直线l 的斜率为1；(2)直线l 在x 轴上的截距为－3.解：(1)因为直线l 的斜率存在，所以m ≠0，于是直线l 的方程可化为y ＝－1m x ＋2m －6m. 由题意得－1m＝1，解得m ＝－1. (2)法一：令y ＝0，得x ＝2m －6.由题意得2m －6＝－3，解得m ＝32. 法二：直线l 的方程可化为x ＝－my ＋2m －6.由题意得2m －6＝－3，解得m ＝32.。
2018届北师大版 立体几何 检测卷
解答题专项训练四1.[2017·佛山模拟]如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°的角．求证：(1)CM ∥平面P AD ；(2)平面P AB ⊥平面P AD .证明 (1)以C 为坐标原点，CB 为x 轴，CD 为y 轴，CP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz .∵PC ⊥平面ABCD ，∴∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角，∴∠PBC ＝30°.∵PC ＝2，∴BC ＝23，PB ＝4，∴D (0,1,0)，B (23，0,0)，A (23，4,0)，P (0，0,2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32， ∴DP →＝(0，－1,2)，DA →＝(23，3,0)，CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32. (1)设n ＝(x ，y ，z )为平面P AD 的一个法向量，由⎩⎨⎧DP →·n ＝0，DA →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－y ＋2z ＝0，23x ＋3y ＝0， 令y ＝2，得n ＝(－3，2,1)．∵n ·CM →＝－3×32＋2×0＋1×32＝0，∴n ⊥CM →.又CM ⊄平面P AD ，∴CM∥平面P AD .(2)如图，取AP 的中点E ，连接BE ，则E (3，2,1)，BE →＝(－3，2,1)．∵PB ＝AB ，∴BE ⊥P A .又∵BE →·DA →＝(－3，2,1)·(23，3,0)＝0，∴BE →⊥DA →， ∴BE ⊥DA .又P A ∩DA ＝A ，∴BE ⊥平面P AD .又∵BE ⊂平面P AB ，∴平面P AB ⊥平面P AD .2．[2017·南京模拟]如图所示，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且MD ＝NB ＝1，E 为BC 的中点．(1)求异面直线NE 与AM 所成角的余弦值；(2)在线段AN 上是否存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ？若存在，求线段AS 的长；若不存在，请说明理由．解 (1)如图，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz .依题易得D (0,0,0)，A (1,0,0)，M (0,0,1)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，N (1,1,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0， 所以NE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，－1，AM →＝(－1,0,1)． 设异面直线NE 与AM 所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈NE →，AM →〉|＝|NE →·AM →||NE →|·|AM →|＝1252×2＝1010. 所以异面直线NE 与AM 所成角的余弦值为1010.(2)假设在线段AN 上存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ，如图所示．因为AN →＝(0,1,1)，可设AS →＝λAN →＝(0，λ，λ)，λ∈[0,1]，又EA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，0， 所以ES →＝EA →＋AS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，λ－1，λ. 由ES ⊥平面AMN ，得⎩⎨⎧ES →·AM →＝0，ES →·AN →＝0，即⎩⎨⎧ －12＋λ＝0，(λ－1)＋λ＝0，解得λ＝12，此时AS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，|AS →|＝22. 经检验，当AS ＝22时，ES ⊥平面AMN .故线段AN 上存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ，此时AS ＝22.3. [2015·湖北高考]《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P －ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝CD ，过棱PC 的中点E ，作EF ⊥BP 交PB 于点F ，连接DE ，DF ，BD ，BE .(1)证明：PB ⊥平面DEF .试判断四面体DBEF 是否为鳖臑？若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由；(2)若平面DEF 与平面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DC BC 的值．解 (1)证明：如图，以D 为原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设PD ＝DC ＝1，BC ＝λ，则D (0,0,0)，P (0,0,1)，B (λ，1,0)，C (0,1,0)，PB →＝(λ，1，－1)，点E 是PC 的中点，所以E ⎝⎛⎭⎪⎫0，12，12，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12， 于是PB →·DE →＝0，即PB ⊥DE .又已知EF ⊥PB ，而DE ∩EF ＝E ，所以PB ⊥平面DEF .因PC →＝(0,1，－1)，DE →·PC →＝0，则DE ⊥PC ，所以DE ⊥平面PBC . 由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB ，∠DEF ，∠EFB ，∠DFB .(2)由PD ⊥平面ABCD ，所以DP →＝(0,0,1)是平面ABCD 的一个法向量；由(1)知PB ⊥平面DEF ，所以BP →＝(－λ，－1,1)是平面DEF 的一个法向量．若平面DEF 与平面ABCD 所成二面角的大小为π3， 则cos π3＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BP →·DP →|BP →||DP →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1λ2＋2＝12，解得λ＝ 2. 所以DC BC ＝1λ＝22. 故当平面DEF 与平面ABCD 所成二面角的大小为π3时，DC BC ＝22.4.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1B＝B1A＝AB＝BC，∠B1BC ＝90°，D为AC的中点，AB⊥B1D.(1)求证：平面ABB1A1⊥平面ABC；(2)求直线B1D与平面ACC1A1所成角的正弦值．解(1)证明：取AB的中点为O，连接OD，OB1，因为B1B＝B1A，所以OB1⊥AB.又AB⊥B1D，OB1∩B1D＝B1，所以AB⊥平面B1OD.因为OD⊂平面B1OD，所以AB⊥OD.由已知，BC⊥BB1，又OD∥BC，所以OD⊥BB1.因为AB∩BB1＝B，所以OD⊥平面ABB1A1.又OD ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ABB 1A 1.(2)由(1)知，OB ，OD ，OB 1两两垂直，以O 为坐标原点，OB 为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz .由题设知B 1(0,0，3)，D (0,1,0)，A (－1,0,0)，C (1,2,0)，C 1(0,2，3)． 则B 1D →＝(0,1，－3)，AC →＝(2,2,0)，CC 1→＝(－1,0，3)．设平面ACC 1A 1的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则m ·AC →＝0，m ·CC 1→＝0，即x ＋y ＝0，－x ＋3z ＝0，可取m ＝(3，－3，1)．设直线B 1D 与平面ACC 1A 1所成的角为θ，故sin θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪B 1D →·m |B 1D →|·|m |＝217.5．[2017·福建模拟]如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 中点．(1)求证：B 1E ⊥AD 1；(2)在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由；(3)若二面角A －B 1E －A 1的大小为30°，求AB 的长．解 (1)证明：以A 为原点，AB →，AD →，AA 1→的方向分别为x 轴，y轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB ＝a ，则A (0,0,0)，D (0,1,0)，D 1(0，1,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，1，0，B 1(a,0,1)，故AD 1→＝(0,1,1)，B 1E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，1，－1，AB 1→＝(a,0,1)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，1，0. ∵AD 1→·B 1E →＝－a 2×0＋1×1＋(－1)×1＝0，∴B 1E ⊥AD 1.(2)假设在棱AA 1上存在一点P (0,0，z 0)，使得DP ∥平面B 1AE ，此时DP →＝(0，－1，z 0)．又设平面B 1AE 的法向量n ＝(x ，y ，z )．∵n ⊥平面B 1AE ，∴n ⊥AB 1→，n ⊥AE →，得⎩⎨⎧ax ＋z ＝0，ax 2＋y ＝0.取x ＝1，得平面B 1AE 的一个法向量n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－a 2，－a . 要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥DP →，有a 2－az 0＝0，解得z 0＝12.又DP ⊄平面B 1AE ，∴存在点P ，满足DP ∥平面B 1AE ，此时AP ＝12.(3)连接A 1D ，B 1C ，由长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1及AA 1＝AD ＝1，得AD 1⊥A 1D .∵B 1C ∥A 1D ，∴AD 1⊥B 1C .又由(1)知B 1E ⊥AD 1，且B 1C ∩B 1E ＝B 1，∴AD 1⊥平面DCB 1A 1，∴AD 1→是平面A 1B 1E 的一个法向量，此时AD 1→＝(0,1,1)．设AD 1→与n 所成的角为θ，则cos θ＝n ·AD 1→|n ||AD 1→|＝－a 2－a 2 1＋a 24＋a 2. ∵二面角A －B 1E －A 1的大小为30°，∴|cos θ|＝cos30°，即3a 22 1＋5a 24＝32， 解得a ＝2，即AB 的长为2.6．[2017·陕西模拟]如图1，矩形ABCD 中，AB ＝2BC ＝4，M ，N ，E分别为AD ，BC ，CD 的中点．现将△ADE 沿AE 折起，折起过程中点D 仍记作D ，得到图2所示的四棱锥D －ABCE .(1)证明：MN ∥平面CDE ；(2)当AD ⊥BE 时，求直线BD 与平面CDE 所成角的正弦值．解(1)证明：取AE 的中点F ，连接MF ，NF ，如图．因为M ，F 分别为AD ，AE 的中点， 所以MF ∥DE ，又MF ⊄平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，所以MF ∥平面CDE .同理可证NF ∥平面CDE .又MF ，NF ⊂平面MNF ，MF ∩NF ＝F ，所以平面MNF ∥平面CDE .因为MN ⊂平面MNF ，所以MN ∥平面CDE .(2)因为AB ＝2BC ＝4，所以BE ＝AE ＝22，AE 2＋BE 2＝AB 2，所以BE ⊥AE .又AD ⊥BE ，AE ，AD ⊂平面ADE ，AE ∩AD ＝A ，所以BE ⊥平面ADE .又BE ⊂平面ABCE ，所以平面ADE ⊥平面ABCE .连接DF ，由△ADE 为等腰三角形，F 为AE 的中点，得DF ⊥AE ，所以DF ⊥平面ABCE .因为AD ＝DE ＝2，所以AE ＝22，所以DF ＝ 2.以点E 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz ，则E (0,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，D (1，－1，2)，BD →＝(－1，－3，2)．设平面CDE 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·EC →＝0，n ·ED →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，x －y ＋2z ＝0， 令z ＝－2，则x ＝2，得平面CDE 的一个法向量n ＝(2,0，－2)． 设直线BD 与平面CDE 所成的角为α，则sin α＝|cos 〈BD →，n 〉|＝|BD →·n ||BD →|·|n |＝412×6＝23，即直线BD 与平面CDE 所成角的正弦值为23.7．[2017·郑州模拟] 已知△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ＝4，∠ACB ＝90°，D ，E 分别是边AC 和AB 的中点，现将△ADE 沿DE 折起，使平面ADE ⊥平面DEBC ，H ，F 分别是边AD 和BE 的中点，平面BCH 与AE ，AF 分别交于I ，G 两点．(1)求证：IH ∥BC ；(2)求二面角A －GI －C 的余弦值；(3)求AG 的长．解 (1)证明：因为D ，E 分别是边AC 和AB 的中点，所以ED ∥BC .因为BC ⊂平面BCH ，ED ⊄平面BCH ，所以ED ∥平面BCH . 因为ED ⊄平面BCH ，ED ⊂平面AED ，平面BCH ∩平面AED ＝HI ，所以ED ∥HI .又因为ED ∥BC ，所以IH ∥BC .(2)如图，建立空间直角坐标系，由题意得，D (0,0,0)，E (2，0,0)，A (0,0,2)，F (3,1,0)，C (0,2,0)，H (0,0,1)，B (4,2,0)，EA →＝(－2,0,2)，EF →＝(1,1,0)，CH →＝(0，－2，1)，HI →＝12DE →＝(1,0,0)．设平面AGI 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧EA →·n 1＝0，EF →·n 1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋z 1＝0，x 1＋y 1＝0， 令z 1＝1，解得x 1＝1，y 1＝－1，则n 1＝(1，－1,1)．设平面CIG 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎨⎧CH →·n 2＝0，HI →·n 2＝0，⎩⎪⎨⎪⎧－2y 2＋z 2＝0，x 2＝0，令z 2＝2，解得y 2＝1，则n 2＝(0,1,2)．所以cos 〈n 1，n 2〉＝－1＋23×5＝1515，所以二面角A －GI －C 的余弦值为1515.(3)由(2)知，AF →＝(3,1，－2)，设AG →＝λAF →＝(3λ，λ，－2λ)，0<λ<1，则GH →＝AH →－AG →＝(0,0，－1)－(3λ，λ，－2λ)＝(－3λ，－λ，2λ－1)，由GH →·n 2＝0，解得λ＝23，故AG ＝23AF ＝23 32＋1＋(－2)2＝2143.8.[2016·四川高考]如图，在四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠P AB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD ，E 为棱AD 的中点，异面直线P A 与CD 所成的角为90°.(1)在平面P AB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由；(2)若二面角P －CD －A 的大小为45°，求直线P A 与平面PCE 所成角的正弦值．解 (1)证明：在梯形ABCD 中，AB 与CD 不平行．延长AB，DC，相交于点M(M∈平面P AB)，点M即为所求的一个点．理由如下：由已知，BC∥ED，且BC＝ED，所以四边形BCDE是平行四边形，从而CM∥EB.又EB⊂平面PBE，CM⊄平面PBE，所以CM∥平面PBE.(说明：延长AP至点N，使得AP＝PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)解法一：由已知，CD⊥P A，CD⊥AD，P A∩AD＝A，所以CD ⊥平面P AD，从而CD⊥PD，所以∠PDA是二面角P－CD－A的平面角，所以∠PDA＝45°.设BC＝1，则在Rt△P AD中，P A＝AD＝2.过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH，易知P A ⊥平面ABCD.又CE⊂平面ABCD，从而P A⊥CE，又P A∩AH＝A，于是CE⊥平面P AH，而CE⊂平面PCE，所以平面PCE⊥平面P AH.过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE，所以∠APH是P A与平面PCE所成的角．在Rt△AEH中，∠AEH＝45°，AE＝1，所以AH＝2 2.在Rt △P AH 中，PH ＝P A 2＋AH 2＝322，所以sin ∠APH ＝AH PH ＝13.解法二：由已知，CD ⊥P A ，CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ，所以CD ⊥平面P AD ，于是CD ⊥PD .从而∠PDA 是二面角P －CD －A 的平面角，所以∠PDA ＝45°. 由P A ⊥AB ，可得P A ⊥平面ABCD .设BC ＝1，则在Rt △P AD 中，P A ＝AD ＝2.作Ay ⊥AD ，以A 为原点，以AD →，AP →的方向分别为x 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，P (0,0,2)，C (2,1,0)，E (1,0,0)，所以PE →＝(1,0，－2)，EC →＝(1,1,0)，AP →＝(0,0,2)．设平面PCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧n ·PE →＝0，n ·EC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －2z ＝0，x ＋y ＝0， 设x ＝2，解得n ＝(2，－2,1)．设直线P A 与平面PCE 所成角为α，则sin α＝|n ·AP →||n |·|AP →|＝22×22＋(－2)2＋12＝13， 所以直线P A 与平面PCE 所成角的正弦值为13.。
2018届北师大版 几何概型 检测卷
[A 级 基础达标](时间：40分钟)1．在长为6 m 的木棒上任取一点P ，使点P 到木棒两端点的距离都大于2 m 的概率是( )A.14B.13C.12D.23答案 B解析 将木棒三等分，当P 位于中间一段时，到两端A ，B 的距离都大于2 m ，∴P ＝26＝13.2．[2017·绵阳模拟]在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是( )A.14B.12C.34D.23 答案 C解析 如图所示，在边AB 上任取一点P ，因为△ABC 与△PBC 是等高的，所以事件“△PBC 的面积大于S4”等价于事件“|BP |∶|AB |>14”，即P ( △PBC 的面积大于⎭⎪⎫S 4＝|P A ||BA |＝34.3．[2017·陕西联考]已知A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置上任取一点A ′，则AA ′的长度小于半径的概率为( )A.12B.32C.14D.13答案 D解析 如图，满足AA ′的长度小于半径的点A ′位于劣弧BAC ︵上，其中△ABO 和△ACO 为等边三角形，可知∠BOC ＝23π，故所求事件的概率P ＝23π2π＝13.4．在区间[－1,1]内随机取两个实数x ，y ，则满足y ≥x －1的概率是( )A.18B.19C.89D.78答案 D解析 点(x ，y )分布在如图所示的正方形区域内，画出x －y －1≤0表示的区域，可知所求的概率为1－124＝78.5．[2017·铁岭模拟]已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为( )A.16B.13C.12D.23答案C解析 如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段BE (不包含B 、E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则点D 在线段CF (不包含F 点)上时，△ABD 为钝角三角形．所以△ABD 为钝角三角形的概率为1＋26＝12.6．在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.答案 3解析 由题意知m >0，当0<m <2时，－m ≤x ≤m ，此时所求概率为m －(－m )4－(－2)＝56，解得m ＝52(舍去)；当2≤m <4时，所求概率为m －(－2)4－(－2)＝56，解得m ＝3；当m ≥4时，概率为1，不合题意，故m ＝3.7．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的内部随机取一点P ，则V P －ABCD >16的概率为________．答案 12解析 V P －ABCD >16⇔13S ABCD ·h >16(h 为P 到平面ABCD 的高)．S ABCD＝1，∴h >12.故满足条件的点构成的几何体为如图中截面下方部分．故所求概率为12.8．[2017·大同模拟]如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在∠DAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________．答案 13解析 因为在∠DAB 内任作射线AP ，则等可能基本事件为“∠DAB 内作射线AP ”，所以它的所有等可能事件所在的区域H 是∠DAB ，当射线AP 与线段BC 有公共点时，射线AP 落在∠CAB 内，区域H 为∠CAB ，所以射线AP 与线段BC 有公共点的概率为∠CAB ∠DAB ＝30°90°＝13.9．[2017·沈阳模拟]由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，求该点恰好在Ω2内的概率．解 由题意作图，如图所示，Ω1的面积为12×2×2＝2，图中阴影部分的面积为2－12×12×1＝74，则所求的概率P ＝742＝78.10．设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解 设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b . (1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，故事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34.(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}， 构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，如图． 所以所求的概率为 P (A )＝3×2－12×223×2＝23.[B 级 知能提升](时间：20分钟)11．[2017·衡水模拟]在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上随机取一个数x ，则cos x的值在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12之间的概率为( ) A.13 B.2π C.12 D.23答案 A解析 当cos x 的值在⎝⎛⎭⎪⎫0，12之间时，x ∈⎝⎛ －π2，⎭⎪⎫－π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，所以所求的概率为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π3π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝13.12．已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2P A →＝0，现将一粒黑芝麻随机撒在△ABC 内，则该粒黑芝麻落在△PBC 内的概率是( )A.14 B.13 C.23 D.12答案 D解析 由PB →＋PC →＋2P A →＝0，得PB →＋PC →＝－2P A →，设BC 边中点为D ，连接PD ，则2PD →＝－2P A →，P 为AD 中点，所以所求概率P ＝S △PBCS △ABC ＝12，即该粒黑芝麻落在△PBC 内的概率是12，故选D.13．[2017·抚顺模拟]在区间[－1,1]内随机取两个实数x ，y ，则满足y ≥x 2－1的概率是________．答案 56解析 如图满足y ≥x 2－1的概率为阴影部分面积与正方形面积的比，∵⎠⎜⎛-11[1－(x 2－1)]d x＝⎠⎜⎛-11(2－x 2)d x ＝( 2x －13x 3 )⎪⎪⎪1－1＝103，∴P ＝1034＝1012＝56.14．甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．(1)如果甲船和乙船的停泊的时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；(2)如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．解 (1)设甲、乙两船到达时间分别为x 、y ，则0≤x<24,0≤y<24且y －x>4或y －x<－4.作出区域⎩⎪⎨⎪⎧0≤x<24，0≤y<24，y －x<4或y －x<－4.设“两船无需等待码头空出”为事件A ，则P(A)＝2×12×20×2024×24＝2536.(2)当甲船的停泊时间为4小时，乙船停泊时间为2小时，两船不需等待码头空出，则满足x －y>2或y －x>4，设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B ，画出区域⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＜24，0≤y ＜24，y －x>4或x －y>2.P(B)＝12×20×20＋12×22×2224×24＝442576＝221288.。
2018届北师大版(理) (五)解析几何 单元测试
解析几何1．如果直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．－13C ．－23D ．－22．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．33．设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0<a <1，则原点与该圆的位置关系是( )A ．原点在圆上B ．原点在圆外C ．原点在圆内D ．不确定4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D ．x 212＋y 24＝1 5．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程是( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝2B ．(x ＋1)2＋y 2＝8C ．(x －1)2＋y 2＝2D ．(x －1)2＋y 2＝86．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( ) A.73 B.54C.43D.53 7．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是抛物线C 的准线与椭圆E 的两个交点，则|AB |＝( )A ．3B ．6C ．9D ．128．双曲线C 1：x 2m 2－y 2b 2＝1(m ＞0，b ＞0)与椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)有相同的焦点，双曲线C 1的离心率是e 1，椭圆C 2的离心率是e 2，则1e 21＋1e 22＝( ) A.12B ．1 C. 2 D ．29．F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B .若2AF →＝FB →，则C 的离心率是( ) A. 2B ．2 C.233 D ．14310．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，过点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线C 在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值等于( ) A ．2B ．3C ．4D ．511．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，双曲线x 22－y 22＝1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为( )A.x 28＋y 22＝1 B ．x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1 D ．x 220＋y 25＝1 12.已知点P 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)左支上一点，F 1、F 2是双曲线的左、右两个焦点，且PF 1⊥PF 2，PF 2与两条渐近线相交于M 、N 两点(如图)，点N 恰好平分线段PF 2，则双曲线的离心率是( ) A. 2B ． 3C ．2D ． 513．圆x 2＋y 2＝4上恰有三个点到直线x ＋y ＋m ＝0的距离都等于1，则m ＝________．14．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O 、F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线方程为________．15．若点P 是以A (－3，0)，B (3，0)为焦点，实轴长为25的双曲线与圆x 2＋y 2＝9的一个交点，则|P A |＋|PB |＝________．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，椭圆上的点到点Q (1，0)的距离的最大值为3，则椭圆C 的方程为________．参考答案与解析1．D 因为直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相垂直，所以⎝⎛⎭⎫－a 2³(－1)＝－1，所以a ＝－2.2．B 由题意及双曲线的定义有||PF1|－|PF 2||＝|3－|PF 2||＝2a ＝6.所以 |PF 2|＝9.3．[导学号：30812216] B将圆的方程化成标准方程为(x ＋a )2＋(y ＋1)2＝2a ，因为0<a <1，所以(0＋a )2＋(0＋1)2－2a ＝(a －1)2>0，即（0＋a ）2＋（0＋1）2>2a ，所以原点在圆外．4．A 由e ＝33得c a ＝33.① 又△AF 1B 的周长为43，由椭圆定义，得4a ＝43，得a ＝3，代入①得c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2，故C 的方程为x 23＋y 22＝1. 5．A 直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x －y ＋1＝0， 即(－1，0)．根据题意，圆心为(－1，0)．因为圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r ＝d ＝|－1＋0＋3|12＋12＝2， 则圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.6．D由双曲线的一条渐近线过点(3，－4)知b a ＝43， 所以b 2a 2＝169. 又b 2＝c 2－a 2，所以c 2－a 2a 2＝169， 即e 2－1＝169，所以e 2＝259，所以e ＝53. 7．[导学号：30812217] B 抛物线y 2＝8x 的焦点为(2，0)，所以椭圆中c ＝2，又c a ＝12，所以 a ＝4，b 2＝a 2－c 2＝12， 从而椭圆方程为x 216＋y 212＝1. 因为抛物线y 2＝8x 的准线为x ＝－2，所以 x A ＝x B ＝－2，将x A ＝－2代入椭圆方程可得|y A |＝3，由图象可知|AB |＝2|y A |＝6.故选B.8．D依题意，双曲线C 1中c 2＝m 2＋b 2，椭圆C 2中c 2＝a 2－b 2，所以a 2－b 2＝m 2＋b 2，即m 2＝a 2－2b 2，所以1e 21＋1e 22＝a 2－2b 2c 2＋a 2c 2 ＝2a 2－2b 2c 2＝2（a 2－b 2）c 2＝2. 9．C由已知得渐近线为l 1：y ＝b a x ，l 2：y ＝－b ax ，由条件得，F 到渐近线的距离|F A |＝b ，则|FB |＝2b ，在Rt △AOF 中，|OF |＝c ，则|OA |＝c 2－b 2＝a .设l 1的倾斜角为θ，即∠AOF＝θ，则∠AOB ＝2θ.在Rt △AOF 中，tan θ＝b a ，在Rt △AOB 中，tan 2θ＝3b a，而tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ，即3b a ＝2b a 1－b 2a 2，即a 2＝3b 2，所以a 2＝3(c 2－a 2)，所以e 2＝c 2a 2＝43，即e ＝233. 10．B 由抛物线的方程可知焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，直线l 的斜率k ＝tan 60°＝3，则直线l 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －p 2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1＞0，y 2＜0)．将直线方程和抛物线方程联立消去x 并整理可得y 2－233py －p 2＝0，解得y 1＝3p ，y 2＝－33p .所以|AF ||BF |＝|y 1||y 2|＝333＝3，故选B.11．[导学号：30812218] D 由e ＝32可得a ＝2b ，则椭圆方程为x 24b 2＋y 2b2＝1.双曲线x 22－y 22＝1的渐近线方程为y ＝±x ，则以双曲线的渐近线与椭圆的四个交点为顶点的四边形为正方形，设在第一象限的小正方形边长为m ，则m 2＝4，m ＝2，从而点(2，2)在椭圆上，即224b 2＋22b 2＝1，解得b 2＝5.于是b 2＝5，a 2＝20.故椭圆方程为x 220＋y 25＝1. 12．D 由题意可知，ON 为△PF 1F 2的中位线，所以PF 1∥ON ，所以tan ∠PF 1F 2＝tan ∠NOF 2＝k ON ＝b a， 所以⎩⎪⎨⎪⎧|PF 2||PF 1|＝b a ，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝2a ，|PF 2|＝2b . 又因为|PF 2|－|PF 1|＝2a ，所以2b －2a ＝2a ，b ＝2a ，c ＝a 2＋b 2＝5a ，e ＝c a ＝ 5. 13.由题意知直线x ＋y ＋m ＝0为斜率为1的半径的中垂线，圆心到该直线的距离为1，即|m |2＝1，所以m ＝±2. ± 214. 依题意，设圆心为M ，且M 在抛物线上，又圆的面积为36π，所以半径|OM |＝6，所以|MF |＝x M ＋p 2＝6，即x M ＝6－p 2，又|MF |＝|MO |，即x M ＝p 4，所以6－p 2＝p 4，解得p ＝8，所以抛物线方程为y 2＝16x .y 2＝16x15. 不妨设点P 在双曲线的右支上，则|P A |>|PB |，因为点P 是双曲线与圆的交点，所以由双曲线的定义知，|P A |－|PB |＝25①，又|P A |2＋|PB |2＝36②，①②联立化简得2|P A |²|PB |＝16，所以(|P A |＋|PB |)2＝|P A |2＋|PB |2＋2|P A |·|PB |＝52，所以|P A |＋|PB |＝213.21316．[导学号：30812219] 因为e ＝ca ＝1－b 2a 2＝12，所以b 2＝34a 2，则3x 2＋4y 2＝3a 2.设椭圆上任意一点P (x 0，y 0)，则|PQ |＝（x 0－1）2＋y 20＝ 14（x 0－4）2＋34a 2－3(－a ≤x 0≤a )，记f (x 0)＝14(x 0－4)2＋34a 2－3，当|PQ |取得最大值3时，f (x 0)取得最大值9.因为f (x 0)的图象开口向上，对称轴为x 0＝4，且a >0，则|－a －4|>|a －4|，故f (x 0)max ＝f (－a )＝9，解得a ＝－4(舍)或a ＝2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. x 24＋y 23＝1。
【新课标-精品卷】2018年最新北师大版高中数学必修二《解析几何初步》综合测试题4及解析
2017-2018学年（新课标）北师大版高中数学必修二解析几何初步一、选择题:1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（ ） A ．1=+b a B ．1=-b a C ．0=+b a D ．0=-b a2．经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是（ ） A 、10x y ++= B 、10x y +-= C 、10x y -+= D 、10x y --= 3．直线3y x =绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位，所得到的直线为( )（Ａ）1133y x =-+ （Ｂ）113y x =-+ （Ｃ）33y x =- （Ｄ）113y x =+ 4．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为(1,1)M -，则直线l 的斜率为（ ）A ．23B ．32C ．32-D ． 23-5．若为圆的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ） A. 03=--y x B. 032=-+y x C. 01=-+y x D. 052=--y x6．在坐标平面内，与点(1,2)A 距离为1，且与点(3,1)B 距离为2的直线共有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条7．直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于,E F 两点，则∆EOF （O 是原点）的面积为（ ） Ａ．23 Ｂ．43 Ｃ．52 Ｄ．556 8．若过定点)0,1(-M 且斜率为k 的直线与圆05422=-++y x x 在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是（ ）A. 50<<k B. 05<<-k C. 130<<k D. 50<<k9．入射光线在直线1:23l x y -=上，经过x 轴反射到直线2l 上，再经过y 轴反射到直线3l 上，若点P 是1l 上某一点，则点P 到3l 的距离为（ ）(2,1)P -22(1)25x y -+=A BlCA ．6B ．3C ．655D ．9510二、填空题:10．点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +的最小值是________________. 11．已知点(,)M a b 在直线1543=+y x 上，则22b a +的最小值为12．直线10x y -+=上一点P 的横坐标是3，若该直线绕点P 逆时针旋转090得直线l ， 则直线l 的方程是．13．由动点P 向圆221x y +=引两条切线,PA PB ，切点分别为0,,60A B APB ∠=，则动点P 的轨迹方程为。
2018届北师大版 解三角形 检测卷
第一部分 专题三 第2讲1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( D )A ．－32B ．32C ．－12D ．12解析：原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D. 2．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为__3__. 解析：tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝17－(－2)1＋17×(－2)＝3. 3．sin 15°＋sin 75°的值是 62. 解析：sin 15 °＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝ 2 sin(15°＋45°)＝2sin 60°＝62. 4．在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2A sin C＝__1__. 解析：在△ABC 中，由余弦定理的推论可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝52＋62－422×5×6＝34， 由正弦定理可知sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2a ·cos A c ＝2×4×346＝1. 5．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD解析：依题意有AB ＝600，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝180°－75°＝105°，∠DBC ＝30°，DC ⊥CB .∴∠ACB ＝45°，在△ABC 中，由AB sin ∠ACB ＝CB sin ∠CAB， 得600sin 45°＝CB sin 30°， 有CB ＝3002，在Rt △BCD 中，CD ＝CB ·tan 30°＝1006，则此山的高度CD ＝100 6 m.6．已知函数f (x )＝2sin ωx ＋m cos ωx (ω＞0，m ＞0)的最小值为－2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和m 的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫θ2＝65，θ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4，求f ⎝⎛⎭⎫θ＋π8的值． 解析：(1)易知f (x )＝2＋m 2sin(ωx ＋φ)(φ为辅助角)，∴f (x )min ＝－2＋m 2＝－2，∴m ＝ 2.由题意知函数f (x )的最小正周期为π，∴2π＝π，∴ω＝2. (2)由(1)得f (x )＝2sin 2x ＋2cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴f ⎝⎛⎭⎫θ2＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝65， ∴sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35， ∵θ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4，∴θ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－45， ∴f ⎝⎛⎭⎫θ＋π8＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫θ＋π8＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π2 ＝2 sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝4 sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4 ＝4×35×⎝⎛⎭⎫－45＝－4825. 7．在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°.(1)求BC 的长；(2)求sin 2C 的值．解析：(1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A＝4＋9－2×2×3×12＝7， 所以BC ＝7.(2)由正弦定理知，AB sin C ＝BC sin A， 所以sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin 60°7＝217. 因为AB <BC ，所以C ＜A ，所以C 为锐角， 则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277. 因此sin 2C ＝2sin C ·cos C ＝2×217×277＝437. 8．已知tan α＝2.(1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值． 解析：(1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝2＋11－2×1＝－3. (2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α ＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1. 9．(2016·河南郑州第一次质量预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a 2－b 2－c 2＋3bc ＝0,2b sin A ＝a ，BC 边上中线AM 的长为14.(1)求角A 和角B 的大小；(2)求△ABC 的面积．解析：(1)由a 2－b 2－c 2＋3bc ＝0得b 2＋c 2－a 2＝3bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，A ＝π6. 由2b sin A ＝a ，得sin B ＝12， 又A ＋B ＋C ＝π，A ＝π6，故B ＝π6.(2)设AC ＝BC ＝x ，得AM 2＝x 2＋x 24－2x ·x 2·⎝⎛⎭⎫－12＝(14)2， 解得x ＝22，故S △ABC ＝12×22×22×32＝2 3. 10．(2016·山东淄博模拟)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，求△ABC 面积的最大值．解析：(1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0.因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.易知sin C ≠0，所以3sin A －cos A ＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12. 又0<A <π，所以A ＝π3. (2)方法一 由(1)得B ＋C ＝2π3⇒ C ＝2π3－B ⎝⎛⎭⎫0<B <2π3， 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2sin π3＝43， 所以b ＝43sin B ，c ＝43sin C ． 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×43sin B ×43sin C ·sin π3 ＝433sin B ·sin C ＝433·sin B ·sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝433⎝⎛⎭⎫32sin B cos B ＋12sin 2B ＝sin 2B －33cos 2B ＋33 ＝233sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6＋33.易知－π6<2B －π6<7π6， 故当2B －π6＝π2，即B ＝π3时，S △ABC 取得最大值，最大值为233＋33＝ 3. 方法二 由(1)知A ＝π3，又a ＝2，由余弦定理得 22＝b 2＋c 2－2bc cos π3，即b 2＋c 2－bc ＝4⇒bc ＋4＝b 2＋ c 2≥2bc ⇒bc ≤4，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立．所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×32bc ≤34×4＝3， 即当b ＝c ＝2时，S △ABC 取得最大值，最大值为 3.。
2018届北师大版 解析几何 检测卷
1．【2017湖南省五市十校教研教改共同体高三12月联考，7】已知12F F 、是双曲线2222:1x y E a b-=的左、右焦点，过点1F 且与x 轴垂直的直线与双曲线左支交于点,M N ，已知2MF N ∆是等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（ ）．A ．B ．2C ．1+．2【答案】C【解析】由题意得222222210,11b c c a ac e e e e a=⇒-=⇒--=>⇒=+ C.【易错点】要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 2．【2017广东郴州市高三第二次教学质量监测试卷,10】已知F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，点A 为双曲线虚轴的一个顶点，过,F A 的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若1)FA AB =-，则此双曲线的离心率是（ ）A B D ．【答案】A【解析】FA 的方程为1x yc b +=-，即0bx cy bc -+=，联立00bx cy bc bx ay -+=⎧⎨-=⎩得(,),1)ca bc B FA AB c a c a =--- ，所以1)cac c a=-⋅-，解得e =，故选A. 【易错点】1.双曲线的几何性质；2.向量的坐标运算.3．【2017四川省凉山州高中毕业班第一次诊断性检测,8】已知双曲线221x y -=，点1F ，2F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若1260F PF ∠=︒，则三角形12F PF 的面积为（ ）A ．2B ．C D ．【答案】C【解析】1221tan 30tan2F PF b S θ===︒,故选C.【易错点】双曲线的几何性质4．【2017山东省枣庄市高三上学期期末，8】过抛物线()240y ax a =>的焦点F 作斜率为1-的直线,l l 与离心率为e 的双曲线()222210x y b a b-=>的两条渐近线的交点分别为,B C .若,,B C F x x x 分别表示,,B C F 的横坐标，且2F B C x x x =- ，则e =（ ）A ．6 BC.3 D【答案】D【易错点】1、抛物线与双曲线的几何性质；2、直线与圆锥曲线的位置关系．5．【2017广东高三上学期阶段测评（一），11】过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线交于 M N ，两点，若4MF FN = ，则直线l 的斜率为（ ）A ．32±B ．23± C.34± D ．43±【答案】D【解析】不妨设()()()111122 0 0 M x y x y N x y >>，，，，，∵4MF FN =，∴124y y =-，又212y y p =-，∴22 28p py x =-=，，∴042382MN pk p p --==-.根据对称可得直线l 的斜率为43±.选D.【易错点】直线与抛物线位置关系6．如图，12 A A ，为椭圆22195x y +=的长轴的左、右端点，O 为坐标原点， S Q T ，，为椭圆上不同于12 A A ，的三点，直线12 QA QA OS ，，，OT 围成一个平行四边形OPQR ，则22OS OT +=（ ）A ．5B ．3．14 【答案】D【易错点】解析几何定值问题7．【2017广西南宁、梧州高三毕业班摸底联考，12】已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若23ABC BCF S S =△△，则椭圆的离心率为（ ）A D 【答案】A【解析】设椭圆的左、右焦点分别为()()12 0 0F c F c -，，，， 由x c =-，代入椭圆方程可得2by a =±，可设()2 b A c C x y a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，，23ABC BCF S S =△△， 可得222AF F C = ，即有()22 2 b c x c y a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，，，即2222 2b c x c y a =--=，， 可得22 2b x c y a ==-，，代入椭圆方程可得，2222414c b a a+=，由222 c e b a c a ==-，，即有221414e e -+=，解得e = A.【易错点】椭圆离心率8．【2017贵州遵义市高三第一次联考，11】已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为62，左顶点到一条渐近线的距离为263，则该双曲线的标准方程为（ ） A ．22184x y -= B ．221168x y -= C ．2211612x y -= D ．221128x y -=【答案】A【解析】66,222e c a a b =⇒==，渐近线方程2222022x y y x b b -=⇒=±，因此左顶点到一条渐近线的距离为||2622,233a ab =⇒==，即该双曲线的标准方程为22184x y -=，选A. 【易错点】双曲线渐近线9.【2017云南大理高三第一次统测，11】已知双曲线2212x y -=与不过原点O 且不平行于坐标轴的直线l 相交于,M N 两点，线段MN 的中点为P ，设直线l 的斜率为1k ，直线OP 的斜率为2k ，则12k k =（ ） A ．12 B ．12- C ．2 D ．-2 【答案】A【易错点】双曲线的方程10.设直角坐标平面内与两个定点()2 0A -，、()2 0B ，的距离之差的绝对值等于2的点的轨迹是E .C 是轨迹E 上一点，直线BC 垂直于x 轴，则AC BC ⋅=（ ）A ．9-B ．3- C.3 D ．9 【答案】D【解析】由双曲线定义得E ：2224,22,113x y c a ==-=，因此(2,3)C ±，因此29AC BC BC ⋅== ,选D.【易错点】双曲线的定义11．【2017广东高三上学期阶段测评（一），8】已知双曲线()222210 0x y a b a b -=>>，的左、右焦点分别为12 F F ，，且2F 为抛物线224y x =的焦点，设点P 为两曲线的一个公共点，若12PF F △的面积为 ）A ．221927x y -= B ．221279x y -= C.221169x y -= D ．221916x y -= 【答案】A【解析】设P 点为第一象限点，且()11 P x y ，，1211122PF F S y =⨯⨯=△1y =，19x =，∴1226a PF PF =-=，∴ 2 a b ==，，故双曲线方程为221927x y -=.选A. 【易错点】双曲线的定义中要求||PF 1|－|PF 2||＜|F 1F 2|的转化.12．【2017广西柳州市高三10月模拟，10】已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）与抛物线28y x =有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为P ，若||5PF =，则双曲线的渐进线方程为（ ）A ．0x ±=B ．20x y ±=C 0y ±=D ．20x y ±=【答案】C【易错点】双曲线的渐进方程13．【2017云南大理高三第一次统测，15】在直角坐标系xOy 中，有一定点()1,2M -，若线段OM 的垂直平分线过抛物线()220x py p =>的焦点，则该抛物线的准线方程是____________． 【答案】54y =-【解析】线段OM 的中点为1,12⎛⎫-⎪⎝⎭，2OM k =-所以线段OM 的垂直平分线方程为11122y x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，即5202x y -+=，其y 轴的交点为5,04F ⎛⎫⎪⎝⎭,所以该抛物线的准线方程是54y =-. 【易错点】抛物线的标准方程14．【2017广西柳州市高三10月模拟，16】设双曲线22196x y -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线l 交双曲线左支于A 、B 两点，则22||||AF BF +的最小值等于 ．【答案】16 【解析】22211226||||2||2||4||443163b AF BF a AF a BF a AB a a ⨯+=+++=+≥+=⨯+=【易错点】双曲线的定义15．【2017广东郴州市高三第二次教学质量监测试卷,21】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，且过点3(1,)2.若点00(,)M x y 在椭圆C上，则点00(,)x y N a b称为点M 的一个“椭点”. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,A B 两点，且,A B 两点的“椭点”分别为,P Q ，以PQ 为直径的圆经过坐标原点，试求AOB ∆的面积.【答案】(1) 22143x y +=；（2.【解析】（Ⅰ）由12e =，得2a c =，又222,a b c b =+∴=，∴椭圆2222:+143x y C c c =，因点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在C 上，22914+143c c ∴=，得1c =，2,a b ∴==，所以椭圆C 的方程为：22143x y +=； （Ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y，则12,22x x P Q ⎛⎛ ⎝⎝，由以PQ 为直径的圆经过坐标原点，得0OP OQ ⋅=，即1212043x x y y += （1） 由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消除y 整理得：()()222348430k x mk m +++-=，由()()222264163430k m k m ∆=-+->，得22340k m +->， 而()2121222438,3434m mkx x x x k k -+=-=++ （2） ()()()()22221212121223434m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -∴=++=+++=+ （3）将（2）（3）代入（1）得：()()()()2222243340434434m m k kk--+=++，即22243m k -=，=，原点O 到直线:l y kx m =+的距离d =，12AOBS AB d ∆∴==把22243m k -=代入上式得AOB S ∆=，即AOB S ∆【易错点】1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.新定义问题. 16. 【2017四川省凉山州高中毕业班第一次诊断性检测，20】设椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，E 上一点P 到右焦点距离的最小值为1．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点(0,2)的直线交椭圆E 于不同的两点A ，B ，求OA OB ⋅的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）13(,]4-∞. 【解析】（1）由题意得12c a =，且1a c -=，∴2a =，1c =，故2223b a c =-=， ∴椭圆的方程为22143x y +=．（2）①当k 不存在时，(0,A ，B ，∴(0,3OA OB ⋅=⋅=-；（iii ）代入（ii ）中25133314OA OB ⋅≤-+=+， ∴13(,]4OA OB ⋅∈-∞ ．【易错点】1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.向量的坐标运算. 17．【2017河南省广东省佛山市高三教学质量检测（一），20】（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点()2 1M ，（1）求椭圆C 的方程；（2）设()0 1A -，，直线l 与椭圆C 交于 P Q ，两点，且AP AQ =，当OPQ △（O 为坐标原点）的面积S 最大时，求直线l 的方程.【答案】（1）22182x y +=；（2）1y =±或3y =+．【解析】（1）依题意得：22411a b+=，c e a ==，又222a b c =+， 解得28a =，22b =，所以椭圆C 的方程为22182x y +=.（2）显然，直线l 的斜率k 存在.①当0k =时，可设直线l 的方程为0y y =，()00 P x y -，，()00 Q x y ，，则2200182x y +=.所以()220000002122222y y S x y x y +-=⋅=⋅=≤⋅=. 当且仅当22002y y =-，即01y =时取等号，此时直线l 的方程为1y =±. ②当0k ≠时，可设直线l 的方程为y kx m =+，()11 P x y ，，()22 Q x y ，， 联立22182y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()()222148420k x kmx m +++-=.由()()()2228414420km k m ∆=-+⋅->，得2282k m +>（*），则有122814km x x k +=-+，()21224214m x x k -=+，于是可得PQ 的中点为224 1414kmm kk ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，.……9分因为AP AQ =，所以2211144014mk km k k++=---+，化简得2143k m +=，结合（*）可得06m <<. 又O 到直线l的距离为d =-所以1122S PQ d =⋅=.即S == 所以，当3m =时，S 取最大值，此时，k =l 的方程为3y =+. 综上所述，直线l 的方程为1y=±或3y =+.【易错点】1、椭圆的方程及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系．18．【2017山东省枣庄市高三上学期期末，21】（本小题满分14分）已知椭圆()2222:10x y a b a b Ω+=>>，过点Q ⎫⎪⎪⎭作圆221x y +=的切线，切点分别为,S T .直线ST 恰好经过Ω的右顶点和上顶点.（1）求椭圆Ω的方程；（2）如图，过椭圆Ω的右焦点F 作两条互相垂直的弦,AB CD .① 设,AB CD 的中点分别为,M N ，证明: 直线MN 必过定点，并求此定点坐标； ②若直线,AB CD 的斜率均存在时，求由,,,A C B D 四点构成的四边形面积的取值范围.【答案】(1) 2212x y +=；(2)①2,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；②16,29⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【解析】(1)过⎫⎪⎪⎭作圆221x y +=的切线，一条切线为直线1y =，切点()0,1S .设另一条切线为1y k x ⎛-=-⎝，即2220kx y -+=. 因为直线与圆221x y +=1，解得k =-，所以切线方程为3y =-+.由2231y x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩，解得13T ⎫⎪⎪⎭，直线ST的方程为)10y x -=-,即1y x =-. 令0x =，则1y =所以上顶点的坐标为()0,1，所以1b =；令0y =，则x =所以右顶点的坐标为)，所以a =所以椭圆Ω的方程为2212x y +=.若22222122k k k =++，得1k =±，则直线MN 斜率不存在. 此时直线MN 过点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭. 下证动直线MN 过定点2,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.② 当直线,AB CD 的斜率均存在且不为0时，由①可知，将直线AB 的方程代入椭圆方程中，并整理得 ()2222124220k x k x k +-+-=,所以===.=()2242411122225k S AB CD k k +===++ 四边形222222114422211252121k k k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===-⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为22121219k k ⎛⎛⎫++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝，当且仅当1k =±时取等号， 所以22221620,2299112121k k k k <≤≤-<⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1629S ≤<四边形， 所以，由,,,A C B D 四点构成的四边形面积的取值范围为16,29⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【易错点】1、直线与圆的位置关系；2、椭圆的方程及几何性质；3、直线与椭圆的位置关系．19．【2017山西大学附属中学上学期11月模块诊断，20】已知点(0,2)A -,椭圆:E 22221(0)x y a b a b +=>>，F 是椭圆的右焦点，直线AFO 为坐标原点． （I ）求E 的方程；（II ）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当POQ ∆的面积最大时，求l 的方程【答案】（I ）2214x y +=（II）2y x =-或2y x =- 【解析】（I ）设(,0)F c ，由条件知2c =得c =又c a =所以2a =，2221b a c =-=，故E 的方程为2214x y +=t =，则0t >，24444OPQ t S t t t∆==++，因为44t t +≥,当且仅当2t =，即k =0∆>.所以当OPQ ∆的面积最大时，l 的方程为2y x =-或2y x =- 法二：令241k m +=，则22216(4)1416()OPQ m S m m m ∆-==-当118m =时， 即 8m = ，2418k += ，k =0∆>.所以OPQ ∆的面积最大时，l 的方程为2y x =-或2y x =-； 【易错点】椭圆的标准方程，点到直线的距离公式，弦长公式，二次分式类函数最值的求法20.【湖南省五市十校教研教改共同体2017届高三12月联考，20】如图，设点,A B 的坐标分别为()),，直线,AP BP 相交于点P ，且它们的斜率之积为23-． （1）求点P 的轨迹方程；（2）设点P 的轨迹为C ，点M N 、是轨迹为C 上不同于,A B 的两点，且满足//,//AP OM BP ON ，求证：MON ∆的面积为定值．【答案】（1）(22132x y x +=≠（2【解析】（1）由已知设点P 的坐标为(),x y ，由题意知(23AP BP k k x ==-≠ ， 化简得P的轨迹方程为(22132x y x +=≠设,M N 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则2121222426,3232mt t y y y y m m-+=-=++ 又()2121222221212122636OM ON y y y y t k k x x m y y mt y y t t m -===+++- ， 所以222262363t t m -=--，得22223t m =+．又112MON S t y ∆=-所以MON S ∆==MON ∆ 【易错点】直接法求动点轨迹方程，圆锥曲线中定值问题。
解析几何-北师大版高考理科数学一轮复习单元检测试题
单元质检卷九解析几何(时间:100分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2018名校联盟二模,4)“a=1”是“直线(2a+1)x+ay+1=0和直线ax-3y+3=0垂直”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.(2019届河北武邑中学调研三,文7)双曲线my2-x2=1的一个顶点在抛物线y=x2的准线上,则该双曲线的离心率为()A. B.2 C.2 D.3.已知直线l:=1(a>0,b>0)将圆C:x2+y2-2x-4y+4=0平分,则直线l与两坐标轴围成的三角形的面积的最小值为()A.8B.4C.2D.14.(2018西藏自治区拉萨中学模拟,11)已知直线x-y+m=0与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,且△OAB 为正三角形,则实数m的值为()A. B.C.或-D.或-5.(2018广东佛山七校联考,5)已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为()A.-y2=1B.x2-=1C.=1D.=16.已知直线l:mx+y-1=0(m∈R)是圆C:x2+y2-4x+2y+1=0的对称轴,过点A(-2,m)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|的值为()A.4B.2C.4D.37.(2019届湖南、湖北八市十二校一调联考,9)已知点A(0,2),抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,若,则p的值等于()A. B.C.2D.48.已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B为切点,若四边形PACB面积的最小值是2,则k的值是()A. B.C.2D.29.(2018河北衡水二模,9)已知O是坐标原点,双曲线-y2=1(a>1)与椭圆+y2=1(a>1)的一个交点为P,点Q(,0),则△POQ的面积为()A. B.aC.1D.10.(2018河北衡水中学第十七次模拟,10)若抛物线y2=4x的焦点是F,准线是l,点M(4,m)是抛物线上一点,则经过点F,M且与l相切的圆共有()A.0个B.1个C.2个D.4个11.(2018四川成都七中三诊,11)已知双曲线C:-4y2=1(a>0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于,抛物线E:y2=2px的焦点与双曲线C的右焦点重合,则抛物线E上的动点M到直线l1:4x-3y+6=0和l2:x=-1距离之和的最小值为()A.1B.2C.3D.412.(2018青海西宁二模,11)抛物线C1:y2=4x和圆C2:(x-1)2+y2=1,直线l经过C1的焦点F,依次交C1,C2于A,B,C,D四点,则的值为()A. B.1 C.2 D.4二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知点A(1,0),B(3,0),若直线y=kx+1上存在点P,满足PA⊥PB,则k的取值范围是.14.(2019届河北衡水联考,14)已知点P(-1,2)及圆(x-3)2+(y-4)2=4,一光线从点P出发,经x轴上一点Q 反射后与圆相切于点T,则|PQ|+|QT|的值为.15.(2018河南南阳联考,15)M是抛物线C:y2=4x上一点,F是抛物线C的焦点,O为坐标原点且|MF|=2,K是抛物线C的准线与x轴的交点,则∠MKO=.16.(2018云南曲靖一中质检七,16)已知椭圆=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为P,直线l:x-2y=0交椭圆于A,B两点,若|AF|+|BF|=2,点P到直线l的距离不小于,则椭圆离心率的取值范围是.三、解答题(本大题共5小题,共70分)17.(14分)(2019届广东广州测试,20)设O为坐标原点,曲线x2+y2+2x-6y+1=0上有两点P,Q,满足关于直线x+my+4=0对称,又满足=0.(1)求m的值;(2)求直线PQ的方程.18.(14分)(2019届广东湛江调研,20)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率e=,且右焦点为(2,0).斜率为1的直线l与椭圆C交于A,B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2).(1)求椭圆C的标准方程;(2)求△PAB的面积.19.(14分)(2019届四川成都棠湖中学模拟,20)如图,已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴上,抛物线上的点A到F的距离为2,且A的横坐标为1.过A点作抛物线C的两条动弦AD,AE,且AD,AE的斜率满足k AD·k AE=2.(1)求抛物线C的方程;(2)直线DE是否过某定点?若过某定点,请求出该点坐标;若不过某定点,请说明理由.20.(14分)(2018东北师范大学附中五模,20)已知椭圆C:=1(a>0,b>0)的离心率为,点在C上.(1)求椭圆C的方程;(2)过点A(-2,0)作直线AQ交椭圆C于另外一点Q,交y轴于点R,P为椭圆C上一点,且AQ∥OP,求证:为定值.21.(14分)(2019届江西抚州七校联考,20)已知圆M与直线3x-y+4=0相切于点(1,),圆心M在x轴上.(1)求圆M的方程;(2)过点M且不与x轴重合的直线l与圆M相交于A,B两点,O为坐标原点,直线OA,OB分别与直线x=8相交于C,D两点,记△OAB,△OCD的面积分别是S1,S2,求的取值范围.参考答案单元质检卷九解析几何1.A当a=1时,直线(2a+1)x+ay+1=0的斜率为-3,直线ax-3y+3=0的斜率为,两直线垂直;当a=0时,两直线也垂直,所以“a=1”是“直线(2a+1)x+ay+1=0和直线ax-3y+3=0垂直”的充分不必要条件,故选A.2.A∵抛物线的方程为y=x2,∴抛物线的准线方程为y=-.∵双曲线my2-x2=1的一个顶点在抛物线y=x2的准线上,∴双曲线的顶点坐标为0,-,∴a=.又∵b=1,∴c=,则双曲线的离心率为=.故选A.3.B圆C:x2+y2-2x-4y+4=0的圆心坐标为(1,2),则+=1≥2,∴ab≥8,当且仅当a=2,b=4时,等号成立.∴直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S=ab≥4.∴直线l与两坐标轴围成的三角形的面积的最小值是4,故选B.4.D由题意得,圆O:x2+y2=1的圆心坐标为(0,0),半径r=1.因为△OAB为正三角形,则圆心O到直线x-y+m=0的距离为r=,即d==,解得m=或m=-,故选D.5.B双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),可得c=2, =,即=3,=3,解得a=1,b=,双曲线的焦点坐标在x轴,所得双曲线的方程为x2-=1,故选B.6.A由x2+y2-4x+2y+1=0,得(x-2)2+(y+1)2=4,∴圆心C(2,-1),半径r=2.由题意可得,直线l:mx+y-1=0经过圆C的圆心(2,-1),∴2m-1-1=0,∴m=1,点A(-2,1).∵AC=,CB=r=2,∴切线的长|AB|==4.7.C设F,0,MK是点M到准线的距离,点K是垂足.由抛物线定义可得|MK|=|MF|,因为=,所以=,那么|KN|∶|KM|=2∶1,即直线FA的斜率是-2,所以=-2,解得p=2.故选C.8.C∵圆的方程为x2+(y-1)2=1,∴圆心C(0,1),半径r=1.当四边形PACB的面积最小时,圆心C到点P的距离最小,最小值为圆心C到直线kx+y+4=0(k>0)的距离d,此时PA=PB=2.∴d==,解得k=±2.∵k>0,∴k=2.故选C.9.D由题意知两曲线有相同的焦点,设左右两个焦点分别为F1,F2,根据双曲线的定义得到|PF1|-|PF2|=2,根据椭圆的定义得到|PF1|+|PF2|=2, 联立两个式子得到|PF1|=+,|PF2|=-,由椭圆与双曲线的标准方程得|F1F2|=2,所以Q与F2重合,由余弦定理得到cos∠F1PF2==0,故∠F1PF2=,则S△POQ==×(+)(-)=,故选D.10.D因为点M(4,m)在抛物线y2=4x上,所以可求得m=±4.由于圆经过焦点F且与准线l相切,所以由抛物线的定义知圆心在抛物线上.又圆经过抛物线上的点M,所以圆心在线段FM的垂直平分线上,故圆心是线段FM的垂直平分线与抛物线的交点.结合图形知对于点M(4,4)和(4,-4),线段FM的垂直平分线与抛物线都各有两个交点.所以满足条件的圆有4个.故选D.11.B由双曲线方程-4y2=1(a>0)可得,双曲线的右顶点为(a,0),渐近线方程为y=±x,即x±2ay=0.∵双曲线的右顶点到渐近线的距离等于,∴=,解得a2=,∴双曲线的方程为-4y2=1,∴双曲线的焦点为(1,0).又抛物线E:y2=2px的焦点与双曲线C的右焦点重合,∴p=2,∴抛物线的方程为y2=4x,焦点坐标为F(1,0).如图,设点M到直线l1的距离为|MA|,到直线l2的距离为|MB|,则|MB|=|MF|,∴|MA|+|MB|=|MA|+|MF|.结合图形可得当A,M,F三点共线时,|MA|+|MB|=|MA|+|MF|最小,且最小值为点F到直线l1的距离d==2.故选B.12.B抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),易知直线l存在斜率且不为0,设方程为y=k(x-1),联立得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,解得A1+-,-,D1++,+, 联立得(k2+1)(x-1)2=1,解得B1-,-,C1+,,则=--+,--+,=+-,+-,则·=1.13.以AB为直径圆的方程为(x-1)(x-3)+y2=0,把y=kx+1代入上述方程可得(1+k2)x2+(2k-4)x+4=0.∵直线y=kx+1上存在点P,满足PA⊥PB,∴Δ=(2k-4)2-16(1+k2)≥0,化为3k2+4k≤0.解得-≤k≤0,则k的取值范围是.14.4点P关于x轴的对称点为P'(-1,-2),由反射的对称性可知,直线P'Q与圆相切,|PQ|+|QT|=|P'T|,∵圆(x-3)2+(y-4)2=4的圆心坐标为A(3,4),半径r=2,∴|AP'|2=(-1-3)2+(-2-4)2=52,|AT|=r=2,∴|PQ|+|QT|=|P'T|==4,故答案为4.15.45°由抛物线的对称性不妨设M(x1,y1)(y1>0),则x1+1=2,得M(1,2),因为K(-1,0),O(0,0),所以=(2,2),=(1,0),可得·=2,||=2,||=1.cos∠MKO=cos<,>==,所以∠MKO=45°.16.设椭圆的左焦点为F',连接AF',BF'(图略),因为点A、B关于原点对称,所以|AF'|+|BF'|=|BF|+|AF|=2,则|AF'|+|AF|+|BF'|+|BF|=4,即2a=2,a=1,设P(0,b),因为点P到直线l的距离不小于,所以≥,即b≥,即c=≤,即∈0,,即椭圆离心率的取值范围是0,.17.解 (1)x2+y2+2x-6y+1=0⇔(x+1)2+(y-3)2=9,所以曲线为以(-1,3)为圆心,3为半径的圆,由已知,得直线过圆心,所以-1+3m+4=0,解之,得m=-1.(2)设直线PQ的方程为y=-x+b,联立方程组得2x2+2(4-b)x+b2-6b+1=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则有x1+x2=b-4,x1x2=,又·=0,所以x1x2+y1y2=0,即2x1x2-b(x1+x2)+b2=0,将x1+x2=b-4,x1x2=代入上式得b2-2b+1=0,所以b=1,所以直线PQ的方程为y=-x+1.18.解 (1)由已知得c=2,=,解得a=2.b2=a2-c2=4,∴椭圆C的标准方程为+=1.(2)设直线l的方程为y=x+m,代入椭圆方程得4x2+6mx+3m2-12=0,①设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点为E(x0,y0),则x0==-,y0=x0+m=,因为AB是等腰三角形PAB的底边,所以PE⊥AB.所以PE的斜率为k==-1,解得m=2,此时方程①为4x2+12x=0.解得x1=-3,x2=0,所以y1=-1,y2=2,所以|AB|=3,此时,点P(-3,2)到直线AB:x-y+2=0的距离d==,所以△PAB的面积S=|AB|·d=.19.解 (1)设抛物线方程为C:y2=2px(p>0),由其定义知|AF|=1+,又|AF|=2,所以p=2,y2=4x.(2)易知A(1,2),设D(x1,y1),E(x2,y2),DE方程为x=my+n(m≠0).把DE方程代入抛物线C,并整理得y2-4my-4n=0,Δ=16(m2+n)>0,y1+y2=4m,y1y2=-4n.由k AD·k AE=·=2及=4x1,=4x2得y1y2+2(y1+y2)=4,即-4n+2×4m=4,所以n=2m-1,代入DE方程得:x=my+2m-1,即(y+2)m=x+1,故直线DE过定点(-1,-2).20.解 (1)由题可得e==,且+=1,a2=b2+c2,所以a=2,c=,b=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)设直线AQ:y=k(x+2),R(0,2k),由⇒(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0,由韦达定理可得:x1=-2,x2=x Q=,则|AQ|=|x Q-x1|=+2=·, |AR|=|0-(-2)|=2,|OP|=|x P-0|,令直线OP为y=kx且令y P>0,x P>0.得(1+4k2)x2-4=0,由韦达定理可得x2=x P=,所以|OP|=,==2,所以为2.21.解 (1)设圆的方程为(x-a)2+y2=r2,解得a=4,r=4,所以圆的方程为(x-4)2+y2=16.(2)由题意知:∠AOB=,设直线OA的斜率为k(k≠0),则直线OA的方程为y=kx,由得(1+k2)x2-8x=0,解得或则点A的坐标为,,又直线OB的斜率为-,同理可得点B的坐标为,.由题意知,C(8,8k),D8,-,因此,==·.又===,同理,=,所以==≤,当且仅当|k|=1时取等号.又>0,所以的取值范围是0,.。
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第三篇 错题重组再训练训练5 错题重组五一、选择题1．已知,a b 满足21a b +=，则直线30ax y b ++=必过定点( )A ．11,62⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11, 26⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,26⎛⎫- ⎪⎝⎭D ． 11,62⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【答案】C【要点回扣或者易错点】直线系方程 2．直线和直线平行，则a=（ ）A ．71--或B ．7-C ．7或1D ．1- 【答案】B【要点回扣或者易错点】直线的一般方程与直线的平行3．直线1y kx =+与圆()()22214x y -+-=相交于P 、Q 两点.若PQ ≥，则k 的取值范围是（ ）A ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．⎡⎢⎣ C. []1,1-D ．⎡⎣【答案】C【解析】PQ ≥2,1（）到直线1y kx =+的距离d ≤=，解得[]1,1k ∈-，故选C.【要点回扣或者易错点】直线与圆的位置关系.4．直线0x y +=被圆22(2)4x y -+=截得的弦长为（ ）C. D.2【答案】C【解析】根据点到直线的距离公式可求得，圆心)0,2(到直线0x y +=的距离为2202=+=d ，所以直线0x y +=被圆22(2)4x y -+=截得的弦长为22242222=-=-d r ，故应选C .【要点回扣或者易错点】1.直线与圆的位置关系；2.点到直线的距离公式； 5．．圆()221:11C x y -+=与圆()()222:324C x y ++-=的位置关系是（ ） A ．内切 B ．外切 C ．相交 D ．相离 【答案】D【解析】根据圆()221:11C x y -+=与圆()()222:324C x y ++-=可知，两圆的圆心坐标是()11,0C ，()23,2C -，半径分别是121,2r r ==，所以12123C C r r =>+=，可知位置关系是相离，故选D.【要点回扣或者易错点】圆与圆的位置关系6．已知(,)(0)M a b ab ≠是圆O ：222x y r +=内一点，现有以M 为中点的弦所在 直线m 和直线l ：2ax by r +=，则( )．A ．//m l ，且l 与圆相交B ．l m ⊥，且l 与圆相交C ．//m l ，且l 与圆相离D ．l m ⊥，且l 与圆相离 【答案】C【要点回扣或者易错点】1、直线与直线的位置关系；2、直线与圆的位置关系．7．已知双曲线C的中心在原点，焦点在轴上，若双曲线C的一条渐近线与直线平行，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设双曲线的方程为，由题意，则，故选A.【要点回扣或易错点】双曲线的性质8．设双曲线221x ym n+=的离心率为2，且一个焦点与抛物线28x y=的焦点相同，则此双曲线的方程为（）A．2213xy-= B．221412x y-= C．2213xy-= D．221124x y-=【答案】C【要点回扣或者易错点】1.双曲线的方程与性质；2.抛物线的标准方程与性质.9．已知点是抛物线上不同的两点，为抛物线的焦点，且满足，弦的中点到直线的距离为，若，则的最小值为（）A. 3B.C.D. 4【答案】A【要点回扣或者易错点】抛物线的性质10．已知1F 、2F 是双曲线22221x y a b -=（0,0a b >>）的左、右焦点，点1F 关于渐近线的对称点恰好落在以2F 为圆心，2OF 为半径的圆上，则该双曲线的离心率为 ABC ．2D ．3 【答案】C【要点回扣或者易错点】双曲线定义及几何性质．11．如图，过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点,A B ，交其准线于点C ，若2BC BF =，且3AF =，则此抛物线的方程为（）A.232y x=B.23y x =C.292y x =D.29y x = 【答案】B【要点回扣或者易错点】抛物线的标准方程..12．已知抛物线()220y px p =>上一点()()1,0M m m >到其焦点的距离为5，双曲线221x y a-=的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是（ ） A.19 B.125 C.15 D.13【答案】A【解析】由抛物线定义可得M 点到准线的距离为5，∴,8=p ∴抛物线方程为x y 162=，∴)4,1(M ，点)0,(a A -，由AM 的斜率等于渐近线的斜率得aa 114=+， 解得91=a ，故答案为A. 【要点回扣或者易错点】抛物线与双曲线的几何性质. 二、填空题13．已知直线1:260l ax y ++=，()22:110l x a y a +-+-=，若12l l ⊥，则a =________． 【答案】23【解析】121,21a k k a =-=--，由121k k ⋅=-得，23a =． 【要点回扣或者易错点】两直线垂直的判定．14．若曲线225x y +=与曲线()2222200x y mx m m +-+-=∈R 相交于,A B 两点，且两曲线在A 处的切线互相垂直，则m 的值是_____________． 【答案】5±【解析】由已知可得圆1C 的圆心1(0,0)C ，半径1r =，圆2C 的圆心2(,0)C m ，半径2r =，22221212||255C C r r m m =+⇒=⇒=±．【要点回扣或者易错点】圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系.15．如图,等腰梯形ABCD 中, 2AB DC = ,32AE EC =.一双曲线经过C ,D ,E 三点,且以A ,B 为焦点,则该双曲线离心率是 ________.【要点回扣或易错点】双曲线的定义和离心率 16．如图，已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于四点，则的最小值为__________．【答案】【解析】抛物线的焦点为，当直线的斜率不存在时，直线的方程为1x =，此时32AB CD ==，所以39942AB CD +=；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，与抛物线的两个交点分别为，将代入整理可得，则.又，，所以，故填.【要点回扣或者易错点】抛物线的性质 三、解答题17．已知直线:43100l x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．（1）求圆的方程；（2）若直线过点(1,0)M 且与圆C 交于A ，B 两点（A 在x 轴上方，B 在x 轴下方），问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分ANB ∠？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）224x y += （2）见解析 【解析】（1）设圆心(,0)C a （52a >-），则|410|25a +=，解得0a =或5a =-（舍取），所以圆C 的方程为224x y +=．（2）当直线AB x ⊥轴时，x 轴平分ANB ∠，当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为(1)y k x =-，(,0)N t ，A 11(,)x y ，22(,)B x y ，由224,(1),x y y k x ⎧+=⎨=-⎩得2222(1)240k x k x k +-+-=，∴212221k x x k +=+，212241k x x k -=+，若x 轴平分ANB ∠，则AN BN k k =-，即12120y yx t x t+=--， 所以1212(1)(1)0k x k x x t x t--+=--，即12122(1)()20x x t x x t -+++=，22222(4)2(1)2011k k t t k k -+-+=++，解得4t =，所以当点(4,0)N 时，能使得ANM BNM ∠=∠总成立．综上，在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分ANB ∠，当直线AB 的斜率不存在时，N 可以是x 轴正半轴上任意一点，当直线AB 的斜率存在时，(4,0)N . 【要点回扣或者易错点】直线与圆的方程，点到直线的距离公式． 18．已知圆C ：4)4()3(22=-+-y x ，直线1l 过定点(1,0)A ． （Ⅰ）若1l 与圆C 相切，求1l 的方程；（Ⅱ）若1l 与圆C 相交于P 、Q 两点，求CPQ ∆的面积的最大值，并求此时直线1l 的方程． 【答案】（Ⅰ）1x =或3430x y --=；（Ⅱ）面积最大值为2，直线方程为10x y --=或770x y --=．【解析】（Ⅰ）①若直线1l 的斜率不存在，则直线1:1l x =，符合题意； 2分 ②若直线1l 的斜率存在，设直线1l 的方程为：(1)y k x =-，即0kx y k --=， 由题意知，圆心(3,4)到直线1l 的距离等于半径22，解之得34k =所以所求直线1l 的方程为1x =或3430x y --=． 6分；【要点回扣或者易错点】直线与圆的位置关系、基本不等式．19．如图，椭圆，点在短轴上，且.（1）求椭圆的方程及离心率；（2）设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于，两点，是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2），所以当时，，即，为定值；当直线斜率不存在时，直线即为直线，此时，故存在常数，使得为定值.【要点回扣或者易错点】椭圆的综合问题20．已知12,F F 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左，右焦点，点3(1,)2P 在椭圆上，且12|||| 4.PF PF +=（Ⅰ）求椭圆E 的方程;（Ⅱ）过1F 的直线12,l l 分别交椭圆E 于,A C 和,B D ，且12l l ⊥，问是否存在常数λ，使得11,,||||AC BD λ成等差数列?若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1） 22143x y +=;（2）存在常数724λ=使得11,,AC BD λ成等差数列. 【解析】（1）因为124PF PF +=，所以242a a ==，所以:E 22214x y b +=，将P 3(1,)2代入可得23b =所以椭圆E 的方程为22143x y +=（2）①当AC 的斜率为零或斜率不存在时，11AC BD +=1173412+=； ②当AC 的斜率k 存在且0k ≠时，AC 的方程为1y k x =+（）， 代入椭圆方程22143x y +=，并化简得2222(34)84120k x k x k +++-=．设1122A x y C x y （，），（，），则221212228412,3434k k x x x x k k-+=-=++22212(1)34x k k +==+因为直线BD 的斜率为，所以2222112(1())12(1)14334()k k BD k k+-+==++- 11AC BD +=22223443712(1)12(1)12k k k k +++=++ 综上，11772,1224AC BD λλ=+=∴= 所以，存在常数724λ=使得11,,AC BD λ成等差数列. 【要点回扣或者易错点】1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.等差数列.21．已知抛物线的焦点为，过抛物线上一点作抛物线的切线交轴于点，交轴于点，当时，．（1）判断的形状，并求抛物线的方程； （2）若两点在抛物线上，且满足，其中点，若抛物线上存在异于的点，使得经过三点的圆和抛物线在点处有相同的切线，求点的坐标． 【答案】（1）（2）【要点回扣或者易错点】抛物线的综合问题22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221(0)y x a b a b+=>>，直线l ：12y x =与椭圆E 相交于A ，B 两点，AB =C ，D 是椭圆E 上异于A ，B 两点，且直线AC ，BD 相交于点M ，直线AD ，BC 相交于点N.（1）求a ，b 的值；（2）求证：直线MN 的斜率为定值.【答案】（1）a，b；（2）详见解析；（2）方法一：由（1）知，椭圆E 的方程为 26x ＋23y ＝1，从而A （2，1），B （－2，－1）． ①当CA ，CB ，DA ，DB 斜率都存在时，设直线CA ，DA 的斜率分别为k 1，k 2，C （x 0，y 0），显然k 1≠k 2．从而k 1 ·k CB ＝0012y x --·0012y x ++＝220014y x --＝20203(1)164x x ---＝2020224x x --＝－12． 所以k CB ＝－112k ． 同理k DB ＝－212k ．于是直线AD 的方程为y －1＝k 2（x －2），直线BC 的方程为y ＋1＝－112k （x ＋2）．由1211(2),21(2),y x k y k x ⎧+=+⎪⎨⎪-=-⎩解得1211212212442,21241.21k k k x k k k k k y k k --⎧=⎪+⎪⎨--+⎪=⎪+⎩从而点N 的坐标为（1211244221k k k k k --+，1221224121k k k k k --++）．用k 2代k 1，k 1代k 2得点M 的坐标为（1221244221k k k k k --+，1211224121k k k k k --++）．所以k MN ＝1221212121211212121224124121214424422121k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k --+--+++------++ ＝12214()4()k k k k --＝－1．即直线MN 的斜率为定值－1．②当CA ，CB ，DA ，DB 中，有直线的斜率不存在时， 根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在， 故不妨设直线CA 的斜率不存在，从而C （2，－1）． 仍然设DA 的斜率为k 2，由①知k DB ＝－212k ．此时CA ：x ＝2，DB ：y ＋1＝－212k （x ＋2），它们交点M （2，－1－22k ）．BC ：y ＝－1，AD ：y －1＝k 2（x －2），它们交点N （2－22k ，－1），从而k MN ＝－1也成立．由①②可知，直线MN 的斜率为定值－1．方法二：由（1）知，椭圆E 的方程为 26x ＋23y ＝1，从而A （2，1），B （－2，－1）． ①当CA ，CB ，DA ，DB 斜率都存在时，设直线CA ，DA 的斜率分别为k 1，k 2． 显然k 1≠k 2．直线AC 的方程y －1＝k 1（x －2），即y ＝k 1x ＋（1－2k 1）．由1122(12),163y k x k y x =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩得（1＋2k 12）x 2＋4k 1（1－2k 1）x ＋2（4k 12－4k 1－2）＝0．设点C 的坐标为（x 1，y 1），则2·x 1＝211212(442)12k k k --+，从而x 1＝2112144221k k k --+．所以C （2112144221k k k --+，2112124121k k k --++）．又B （－2，－1），所以k BC ＝2112121121241121442221k k k k k k --+++--++＝－112k ． 所以直线BC 的方程为y ＋1＝－112k （x ＋2）．又直线AD 的方程为y －1＝k 2（x －2）．由1211(2)21(2)y x k y k x ⎧+=+⎪⎨⎪-=-⎩解得1211212212442,21241.21k k k x k k k k k y k k --⎧=⎪+⎪⎨--+⎪=⎪+⎩从而点N 的坐标为（1211244221k k k k k --+，1221224121k k k k k --++）．用k 2代k 1，k 1代k 2得点M 的坐标为（1221244221k k k k k --+，1211224121k k k k k --++）．所以k MN ＝1221212121211212121224124121214424422121k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k --+--+++------++ ＝12214()4()k k k k --＝－1．即直线MN 的斜率为定值－1．②当CA ，CB ，DA ，DB 中，有直线的斜率不存在时， 根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在， 故不妨设直线CA 的斜率不存在，从而C （2，－1）． 仍然设DA 的斜率为k 2，由①知k DB ＝－212k ．此时CA ：x ＝2，DB ：y ＋1＝－212k （x ＋2），它们交点M （2，－1－22k ）．BC ：y ＝－1，AD ：y －1＝k 2（x －2），它们交点N （2－22k ，－1），从而k MN ＝－1也成立．由①②可知，直线MN 的斜率为定值－1．【要点回扣或者易错点】1.椭圆的离心率；2.曲线的交点；3.直线的方程.。