D1_2数列的极限

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高二数学数列公式(201911新)

高二数学数列公式(201911新)

题型一:已知数列的前几项求其通项公式
1、等差形式的数列:
①3,6,9,12
②0,-2,-4,-6
③ 2, 5,2 2, 11
④31 ,四、数列的 Nhomakorabea调性:若an1 an对任意的正整数n都成立, 则数列{an }可 称为递增数列;若an1 an对任意的正整数n都成立, 则数列{an }可称为递减数列.若an1 an对任意的正 整数n都成立,则数列{an }可称为常数列
在等差数列中,d>0(d<0)是递增(减)数 列;d=0是常数列. 在等比数列中,当a1 0且q 1或者 a1 0且0 q 1时是递增数列; 当a1 0且0 q 1或者a1 0且q 1 时是递减数列.
如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用 一个公式来表示, 那么这个公式称为数列的通 项公式.记为: an f (n),n N
等差数列的通项公式是: an a1 (n 1)d am (n m)d
等比数列的通项公式是: an a1qn1 amqnm
期末复习
数列的概念、通项公式和递推公式
一、数列的概念:
1.按一定次序排成的列数称为数列. 2.其实数列中的项是关于项数的一种特殊的函数
关系,只是定义域是自小到大的正整数而已. 3.表示方法主要有:通项公式法,递推公式法,
前n项和法,和图像法等.(图像是自变量取正 整数的一些孤立的点)
二、数列的通项公式:
三、递推公式:
已知数列{an}的第一项(或前几项); 且任一项an与它的前一项an 1 (或前 几项)间的关系可以一个公式来表示
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机械可靠性基础(2学时) 掌握怠速控制阀的结构原理;结合Auto

02-1数列极限的概念

02-1数列极限的概念

第二章 数列极限 §1 数列极限概念教学目标:1°使学生初步掌握数列极限这一重要概念的内涵与外延; 2°使学生学会用定义证明极限的基本方法;3°通过知识学习,加深对数学的抽象性特点的认识;体验数学概念形成的抽象化思维方法;体验数学“符号化”的意义及“数形结合”方法;4°了解我国古代数学家关于极限思想的论述,增强爱国主义观念。

我们已经有了函数的概念,但如果我们只停留在函数概念本身去研究运动,即如果仅仅把运动看成物体在某一时刻在某一地方,那我们就还没有达到揭示变量变化的内部规律的目的,我们就事实上还没有脱离初等数学的领域,只有我们用动态的观点揭示出函数y =f (x )所确定的两个变量之间的变化关系时,我们才算真正开始进入高等数学的研究领域。

极限是进入高等数学的钥匙和工具。

我们从最简单的也是最基本的数列极限开始研究。

1 数列极限的概念 课题引入1°予备知识:数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。

2°数列极限来自实践,它有丰富的实际背景。

我们的祖先很早就对数列进行了研究,早在战国时期就有了极限的概念例1 战国时代哲学家庄周所著的《庄子。

天下篇》引用过一句话:“一尺之棰,日取其半,万世不竭。

”也就是说一根一尺 长的木棒,每天截去一半,这样的过程可以一直无限制的进行下去。

将每天截后的木棒排成一列,如图所示, 其长度组成的数列为 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 21, n=10;x=0:n; y=1./2.^x; x1=[0:n]; y1=1./2.^x;line([x1;x1],[0*x1;y1],'linewidth',5) axis([-1,n+1,0,1.1])分析:1°、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 21随n 增大而减小,且无限接近于常数0; 2°数轴上描点,将其形象表示:将其一般化,即引出“数列极限”概念例2 三国时期,我国科学家刘徽就提出了“割圆求周”的思想: 用直径为1的圆周分成六等份,量得圆内接正六边形的周长,再平分各弧量出内接正十二边形的周长,这样无限制的分割下去,就得到一个(内接多边形的周长组成的)数列.⇒=1 +=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4222221n n n a DE a a 22)411(n a --=-224n a -)用 Matlab 计算 n a 和图示如下:(c12(n))rEBa na n+1AD11/21/4-1clf, n=5; t=0:2*pi/n:2*pi; r=1*ones(size(t));for i=1:n; for j=6*2^i;endz=j*sin(pi./i); endpolar(t,r);可以看出,随着 n的无限增大, n a 无限地接近圆的周长 π。

极限的应用

极限的应用

有很多问题的精确解,仅仅通过有限次的算术运算是求不出来的,而必须通过分析一个无限变化过程的变化趋势才能求得,由此产生了极限概念和极限方法。

起初牛顿和莱布尼茨将无穷小的概念作为基础建立微积分,后来遇到了一些逻辑方面的坎坷,所以在他们探究的晚期都会有不同程度地接受了极限思想。

牛顿运用路程的变量S∆和时间的变量t∆之比表示了运动物体的平均速度,让t∆无限地趋近于零,这样就会得到物体的瞬时速度,因此引出了导数的概念和微分学理论等知识。

牛顿发现了极限概念的重要性,尝试将极限概念作为微积分研究的基础,他说:“两个量和量之比,如果在有限的时间内不断趋近于相等,且在这一时间结束之前前互相靠近,使两个两个量和量之比差小于任意给定的差,最终就成为了相等”。

但是牛顿的极限思想也是建立在几何直观上的,因此他将无法得出极限的严格而精确的表述。

牛顿所应用的极限的概念,只是接近以下直观性的语言描述:“如果当n无限增大时,a n无限地接近于常数A,那么就说a n以A为极限。

”例,圆是一个曲边形,它的内接正多边形是直边形,二者有内在的区别,但是这个区别又不是相绝对的,在一定的限制和所给的条件下,圆的内接正多边形可以转化为该圆周。

这个条件就是“若一个圆的内接正多边形的边数无限制增多时”,注意其中“无限”二字。

因此在无限的过程中,直边形可以转化为曲边形,也就是说在无限过程中,根据直边形的周长数列从而得到了曲边形的周长。

这种表现就是极限的思想及方法在定义圆的周长上的应用。

根据圆的周长定义和描述,显然就会计算出半径为R的圆的周长即C=2 πR。

其中,π是圆周率,R是常数。

那么这个圆的周长公式是怎样得到的呢?我们会用直尺度量线段的长,从而也就会度量多边形的周长,因而多边形的周长是已知的。

圆的周长是一条封闭的曲线,不可能用直尺直接量出它的长度。

这就出现了一个新的问题:何谓圆的周长?也就是,怎样定义圆的周长?这是计算圆的周长的基础。

圆的周长是个未知的新概念。

高等数学12数列的极限

高等数学12数列的极限

数列极限的保序性〔保号性〕
定理 设
3
〔保序性〕假
lni m xna,lni m ynb,且
a b,那 N N , nN ,有 xn yn .

证明:
lni m xna,lni m ynb,且 a b.
取 a b , 由极限定义知:
2
a b a b N 1 N , n N 1 ,|x n a |2 x n2
lim 1 1
y n n
b
证明略。
数列收敛的判别准那么
准那么 I. (夹逼定理/两边夹定理) 有三个数列,假
设 (1) yn xn zn ( n 1, 2, L)
(2)
lim
n
yn
lim
n
zn
a
lim
n
xn
a
证: 由条件 (2) , 0, N1 0, N2 0,
当 n N1 时, yn a ; 当 nn NN22 时, zznnaa ; .
定理6 也称为连续性公理。
单调数列
定义 4 如果数列{ x n } 的项满足
x 1 x 2 x 3 x n x n 1
那么称这个数列为单调递增数列。 如果数列 { x n } 的项满足
x 1 x 2 x 3 x n x n 1
那么称这个数列为单调递减数列。 这两种数列统称单调数列。
令 N max N1 , N2, 那么当n N 时, 有
a yn a , a zn a , 由条件 (1) a yn xn zn a

xn a ,

lim
n
xn
a
.
例: 证明 lim ( 1 1 1 )存在,
n n2 1 n22

高中数学第4章数列 第2课时等差数列的性质课件苏教版选择性必修第一册

高中数学第4章数列 第2课时等差数列的性质课件苏教版选择性必修第一册

培养数学建模及数学运算素养.
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情境导学·探新知
知识点1 知识点2
如图,第一层有 1 个球,第二层有 2 个球,最上层有 16 个球, 那么,从上面数第二层有几个球?
每隔一层的球数有什么规律? 每隔二层呢? 每隔三层呢?
知识点 1 等差数列的图象 等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d,当 d=0 时,an 是一个固 定常数;当 d≠0 时,an 相应的函数是一次函数;点(n,an)分布在以_d 为斜率的直线上,是这条直线上的一列孤立的点.
知识点 2 等差数列的性质 (1){an}是公差为 d 的等差数列,若正整数 m,n,p,q 满足 m+ n=p+q,则 am+an=a_p_+__a_q_. ①特别地,当 m+n=2k(m,n,k∈N*)时,am+an=2ak. ②对有穷等差数列,与首末两项“等距离”的两项之和等于首末 两项的和__,即 a1+an=a2+an-1=…=ak+an-k+1=….
[解] 记 2017 年为第 1 年,由题设可知第 1 年获利 200 万元, 第 2 年获利 180 万元,第 3 年获利 160 万元,……则该公司每年获得 的利润构成等差数列{an},且当 an<0 时,该公司生产此产品将出现 亏损.
设第 n 年的利润为 an, 因为 a1=200,公差 d=-20, 所以 an=a1+(n-1)d=220-20n.
2.已知在等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则 a12= ________.
15 [由等差数列的性质得 a7+a9=a4+a12=16,又∵a4=1,∴a12 =15.]
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合作探究·释疑难
类型1 类型2 类型3
类型 1 灵活设元解等差数列 【例 1】 已知递减等差数列{an}的前三项和为 18,前三项的乘 积为 66,求数列的通项公式,并判断-34 是否为该数列的项.

高中数学复习――数列的极限(精选.)

高中数学复习――数列的极限(精选.)

●知识梳理1.数列极限的定义:一般地,如果当项数n 无限增大时,无穷数列{a n }的项a n 无限地趋近于某个常数a (即|a n -a |无限地接近于0),那么就说数列{a n }以a 为极限.注:a 不一定是{a n }中的项.2.几个常用的极限:①∞→n lim C =C (C 为常数);②∞→n limn1=0;③∞→n lim q n =0(|q |<1).3.数列极限的四则运算法则:设数列{a n }、{b n }, 当∞→n lim a n =a , ∞→n lim b n =b 时,∞→n lim (a n ±b n )=a ±b ;∞→n lim (a n ·b n )=a ·b ; ∞→n limn n b a =ba(b ≠0). 特别提示(1)a n 、b n 的极限都存在时才能用四则运算法则; (2)可推广到有限多个.1.下列极限正确的个数是①∞→n lim αn 1=0(α>0) ②∞→n lim q n =0 ③∞→n limnn n n 3232+-=-1 ④∞→n lim C =C (C 为常数)A.2B.3C.4D.都不正确 解析:①③④正确. 答案:B2. ∞→n lim [n (1-31)(1-41)(1-51)…(1-21+n )]等于A.0B.1C.2D.3解析: ∞→n lim [n (1-31)(1-41)(1-51)…(1-21+n )]=∞→n lim [n ×32×43×54×…×21++n n ] =∞→n lim 22+n n=2. 答案:C3.下列四个命题中正确的是A.若∞→n lim a n 2=A 2,则∞→n lim a n =AB.若a n >0,∞→n lim a n =A ,则A >0C.若∞→n lim a n =A ,则∞→n lim a n 2=A 2D.若∞→n lim (a n -b )=0,则∞→n lim a n =∞→n lim b n解析:排除法,取a n =(-1)n ,排除A ; 取a n =n1,排除B;取a n =b n =n ,排除D . 答案:C4.(2005年春季上海,2) ∞→n limnn ++++ 212=__________.解析:原式=∞→n lim 2)1(2++n n n =∞→n lim 221212nn n ++=0.答案:05.(2005年春季北京,9) ∞→n lim 32222-+n nn =____________.解析:原式=∞→n lim23221nn -+=21. 答案:21 思考讨论●典例剖析【例1】 求下列极限: (1)∞→n lim757222+++n n n ;(2) ∞→n lim (n n +2-n );(3)∞→n lim (22n +24n + (22)n ). 剖析:(1)因为分子分母都无极限,故不能直接运用商的极限运算法则,可通过变形分子分母同除以n 2后再求极限;(2)因n n +2与n 都没有极限,可先分子有理化再求极限;(3)因为极限的运算法则只适用于有限个数列,需先求和再求极限.解:(1)∞→n lim757222+++n n n =∞→n lim 2275712nnn +++=52.(2)∞→n lim (n n +2-n )= ∞→n limnn n n ++2=∞→n lim1111++n=21. (3)原式=∞→n lim22642n n ++++ =∞→n lim 2)1(n n n +=∞→n lim (1+n 1)=1. 评述:对于(1)要避免下面两种错误:①原式=)75(lim )72(lim 22+++∞→∞→n n n n n =∞∞=1,②∵∞→n lim (2n2+n +7), ∞→n lim (5n 2+7)不存在,∴原式无极限.对于(2)要避免出现下面两种错误:①∞→n lim (n n +2-n )= ∞→n limn n +2-∞→n lim n =∞-∞=0;②原式=∞→n limn n +2-∞→n lim n =∞-∞不存在.对于(3)要避免出现原式=∞→n lim22n +∞→n lim 24n +…+∞→n lim22n n=0+0+…+0=0这样的错误.【例2】 已知数列{a n }是由正数构成的数列,a 1=3,且满足lg a n =lg a n -1+lg c ,其中n 是大于1的整数,c 是正数.(1)求数列{a n }的通项公式及前n 和S n ;(2)求∞→n lim1122+-+-n nn n a a 的值.解:(1)由已知得a n =c·a n -1,∴{a n }是以a 1=3,公比为c 的等比数列,则a n =3·cn -1.∴S n =⎪⎩⎪⎨⎧≠>--=).10(1)1(3)1(3c c cc c n n 且(2) ∞→n lim1122+-+-n n n n a a =∞→n lim n n n n cc 323211+---. ①当c =2时,原式=-41; ②当c>2时,原式=∞→n lim cc c n n 3)2(23)2(11+⋅---=-c 1;③当0<c<2时,原式=∞→n lim 11)2(32)2(31--⋅+-n n c c c =21.评述:求数列极限时要注意分类讨论思想的应用.【例3】 已知直线l :x -ny =0(n ∈N *),圆M :(x +1)2+(y +1)2=1,抛物线ϕ:y =(x -1)2,又l 与M 交于点A 、B ,l 与ϕ交于点C 、D ,求∞→n lim 22||||CD AB .剖析:要求∞→n lim 22||||CD AB 的值,必须先求它与n 的关系.解:设圆心M (-1,-1)到直线l 的距离为d ,则d 2=1)1(22+-n n . 又r =1,∴|AB |2=4(1-d 2)=218nn+. 设点C (x 1,y 1), D (x 2,y 2), 由⎩⎨⎧-==-2)1(0x y ny x ⇒nx 2-(2n +1)x +n =0,∴x 1+x 2=nn 12+, x 1·x 2=1. ∵(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=214n n +,(y 1-y 2)2=(n x 1-n x 2)2=414n n +, ∴|CD |2=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=41n(4n +1)(n 2+1). ∴∞→n lim 22||||CD AB =∞→n lim 225)1)(14(8++n n n =∞→n lim 2)11)(14(8nn ++=2.评述:本题属于解析几何与数列极限的综合题.要求极限,需先求22||||CD AB ,这就要求掌握求弦长的方法.【例4】 若数列{a n }的首项为a 1=1,且对任意n ∈N *,a n 与a n +1恰为方程x 2-b n x +c n =0的两根,其中0<|c |<1,当∞→n lim (b 1+b 2+…+b n )≤3,求c 的取值范围.解:首先,由题意对任意n ∈N *,a n ·a n +1=c n 恒成立.∴121+++⋅⋅n n n n a a a a =n n a a 2+=n n cc 1+=c .又a 1·a 2=a 2=c .∴a 1,a 3,a 5,…,a 2n -1,…是首项为1,公比为c 的等比数列,a 2,a 4,a 6,…,a 2n ,…是首项为c ,公比为c 的等比数列.其次,由于对任意n ∈N *,a n +a n +1=b n 恒成立.∴n n b b 2+=132+++++n n n n a a a a =c .又b 1=a 1+a 2=1+c ,b 2=a 2+a 3=2c , ∴b 1,b 3,b 5,…,b 2n -1,…是首项为1+c ,公比为c 的等比数列,b 2,b 4,b 6,…,b 2n ,…是首项为2c ,公比为c 的等比数列,∴∞→n lim (b 1+b 2+b 3+…+b n )= ∞→n lim (b 1+b 3+b 5+…)+ ∞→n lim (b 2+b 4+…)=c c -+11+cc-12≤3. 解得c ≤31或c >1.∵0<|c |<1,∴0<c ≤31或-1<c <0. 故c 的取值范围是(-1,0)∪(0,31].评述:本题的关键在于将题设中的极限不等式转化为关于c 的不等式,即将{b n }的各项和表示为关于c 的解析式,显然“桥梁”应是一元二次方程根与系数的关系,故以根与系数的关系为突破口.夯实基础1.已知a 、b 、c 是实常数,且∞→n lim c bn can ++=2, ∞→n lim b cn c bn --22=3,则∞→n lim acn c an ++22的值是A.2B.3C.21D.6 解析:由∞→n limcbn can ++=2,得a =2b . 由∞→n lim b cn c bn --22=3,得b =3c ,∴c =31b . ∴ca =6. ∴∞→n lim a cn c an ++22=∞→n lim22na c n c a ++=ca =6. 答案:D2.(2003年北京)若数列{a n }的通项公式是a n =2)23()1(23n n n n n ------++,n =1,2,…,则∞→n lim (a 1+a 2+…+a n )等于A.2411 B.2417 C.2419 D.2425 解析:a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-++--+--------),(22323),(2)23(23为偶数为奇数n n n n nn n n n n即a n =⎪⎩⎪⎨⎧--).3),(2(为偶数为奇数n n nn∴a 1+a 2+…+a n =(2-1+2-3+2-5+…)+(3-2+3-4+3-6+…).∴∞→n lim (a 1+a 2+…+a n )=411213132122221-=-+-----+91191-=.2419答案:C3.(2004年春季上海)在数列{a n }中,a 1=3,且对任意大于1的正整数n ,点(n a ,1-n a )在直线x -y -3=0上,则∞→n lim2)1(+n a n =__________________.解析:由题意得n a -1-n a =3 (n ≥2). ∴{n a }是公差为3的等差数列,1a =3. ∴n a =3+(n -1)·3=3n . ∴a n =3n 2.∴∞→n lim 2)1(+n a n=∞→n lim 12322++n n n =∞→n lim21213nn ++=3.答案:34.(2004年 上海,4)设等比数列{a n }(n ∈N )的公比q =-21,且∞→n lim (a 1+a 3+a 5+…+a 2n-1)=38,则a 1=_________________. 解析:∵q =-21,∴∞→n lim (a 1+a 3+a 5+…+a 2n -1)=4111-a =38.∴a 1=2.答案:25.(2004年湖南,理8)数列{a n }中,a 1=51,a n +a n +1=156+n ,n ∈N *,则∞→n lim (a 1+a 2+…+a n )等于A.52 B.72 C.41 D.254解析:2(a 1+a 2+…+a n )=a 1+[(a 1+a 2)+(a 2+a 3)+(a 3+a 4)+…+(a n -1+a n )]+a n =51+[256+356+…+n 56]+a n .∴原式=21[51+511256-+∞→n lim a n ]=21(51+103+∞→n lim a n ).∵a n +a n +1=156+n ,∴∞→n lim a n +∞→n lim a n +1=0.∴∞→n lim a n =0.答案:C6.已知数列{a n }满足(n -1)a n +1=(n +1)(a n -1)且a 2=6,设b n =a n +n (n ∈N *). (1)求{b n }的通项公式; (2)求∞→n lim (212-b +213-b +214-b +…+21-n b )的值. 解:(1)n =1时,由(n -1)a n +1=(n +1)(a n -1),得a 1=1.n =2时,a 2=6代入得a 3=15.同理a 4=28,再代入b n =a n +n ,有b 1=2,b 2=8,b 3=18,b 4=32,由此猜想b n =2n 2.要证b n =2n 2,只需证a n =2n 2-n . ①当n =1时,a 1=2×12-1=1成立. ②假设当n =k 时,a k =2k 2-k 成立.那么当n =k +1时,由(k -1)a k +1=(k +1)(a k -1),得a k +1=11-+k k (a k -1) =11-+k k (2k 2-k -1)=11-+k k (2k +1)(k -1)=(k +1)(2k +1)=2(k +1)2-(k +1). ∴当n =k +1时,a n =2n 2-n 正确,从而b n =2n 2.(2)∞→n lim (212-b +213-b +…+21-n b )=∞→n lim (61+161+…+2212-n )=21∞→n lim [311⨯+421⨯+…+)1)(1(1+-n n ] =41∞→n lim [1-31+21-41+…+11-n -11+n ] =41∞→n lim [1+21-n 1-11+n ]=83. 能力提高7.已知数列{a n }、{b n }都是无穷等差数列,其中a 1=3,b 1=2,b 2是a 2与a 3的等差中项,且∞→n limn n b a =21,求极限∞→n lim (111b a +221b a +…+nn b a 1)的值.解:{a n }、{b n }的公差分别为d 1、d 2.∵2b 2=a 2+a 3,即2(2+d 2)=(3+d 1)+(3+2d 1), ∴2d 2-3d 1=2.又∞→n limn n b a =∞→n lim 21)1(2)1(3d n d n -+-+=21d d =21,即d 2=2d 1, ∴d 1=2,d 2=4.∴a n =a 1+(n -1)d 1=2n +1,b n =b 1+(n -1)d 2=4n -2. ∴n n b a 1=)24()12(1-⋅+n n =41(121-n -121+n ). ∴原式=∞→n lim41(1-121+n )=41. 8.已知数列{a n }、{b n }都是由正数组成的等比数列,公比分别为p 、q ,其中p >q 且p ≠1,q ≠1,设c n =a n +b n ,S n 为数列{c n }的前n 项和,求∞→n lim1-n nS S . 解:S n =p p a n --1)1(1+qq b n --1)1(1,.1)1(1)1(1)1(1)1(1111111qq b p p a q q b p p a S S n n n n n n--+----+--=--- 当p >1时,p >q >0,得0<p q <1,上式分子、分母同除以p n -1,得 .1])(1[1)11(1)1(1)1(11111111111qp q pb p p a q pq p b p p p a S S n n n n nn n n n --+----+--=-------∴∞→n lim1-n nS S =p . 当p <1时,0<q <p <1, ∞→n lim1-n n S S =qb p a q bp a -+--+-11111111=1. 探究创新9.已知数列{a n }满足a 1=0,a 2=1,a n =221--+n n a a ,求∞→n lim a n . 解:由a n =221--+n n a a ,得2a n +a n -1=2a n -1+a n -2,∴{2a n +a n -1}是常数列. ∵2a 2+a 1=2,∴2a n +a n -1=2.∴a n -32=-21(a n -1-32). ∴{a n -32}是公比为-21,首项为-32的等比数列.∴a n -32=-32×(-21)n -1.∴a n =32-32×(-21)n -1.∴∞→n lim a n =32.教学点睛1.数列极限的几种类型:∞-∞,∞∞,0-0,00等形式,必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限,另外还有先求和,约分后再求极限,对含参数的题目一定要控制好难度,不要太难了.拓展题例【例题】 已知等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,且有∞→n lim (q a +11-q n )=21,求首项a 1的取值范围.解: ∞→n lim (q a +11-q n )=21, ∴∞→n lim q n 一定存在.∴0<|q |<1或q =1.当q =1时,21a -1=21,∴a 1=3. 当0<|q |<1时,由∞→n lim (q a +11-q n )=21得q a +11=21,∴2a 1-1=q . ∴0<|2a 1-1|<1.∴0<a 1<1且a 1≠21. 综上,得0<a 1<1且a 1≠21或a 1=3.最新文件 仅供参考 已改成word 文本 。

数列与级数的极限与判定

数列与级数的极限与判定
零点定理等
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单调性与连续性
单调性:数列或级数的单调性决定了其极限的存在性 连续性:数列或级数的连续性是判定其极限的重要依据 单调性与连续性的关系:单调性可以推导出连续性,反之亦然 应用场景:单调性与连续性在解决实际问题中的应用
连续函数的性质
函数在某点连续的定义
连续函数的基本性质
连续函数的极限性质
连续函数的可微性
否存在
单调有界定理
定义:如果数列 在某区间内单调 递增(或递减), 且存在上界(或 下界),则该数 列收敛。
应用场景:判断 数列的收敛性
定理证明:利用 反证法,假设数 列无界,则存在 一个子列无上界 或无下界,与单 调递增或递减矛 盾。
举例说明:如等 比数列、等差数 列等。
柯西收敛准则
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定义:一个数列如果满足对于任意给定的正数ε,存在一个正整数N,使得对于所有 的正整数n>N,数列的相邻两项之差都小于ε,则称这个数列收敛。
极限的运算性质
极限的四则运算性质:加减乘除的极限运算规则 极限的复合函数性质:复合函数的极限运算规则 极限的幂函数性质:幂函数的极限运算规则 极限的指数函数性质:指数函数的极限运算规则
04
数列与级数的连续性
连续的定义
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连续的定义:如果数列或级数的极限存在, 且极限值等于该项的值,则称该数列或级数 是连续的。
极限的唯一性:对于任意数列,其极限值是唯一的。
添加标题 添加标题
极限的保序性:若数列${a_n}$和${b_n}$满足$a_n \leq b_n$,且$\lim_{n \to \infty} a_n = L$和$\lim_{n \to \infty} b_n = M$,则有$L \leq M$。

数学分析数列极限分析解析

数学分析数列极限分析解析

第二章 数列极限§1 数列极限概念教学目的与要求:使同学们理解数列极限存在的定义,数列发散的定义,某一实数不是数列极限的定义;掌握用数列极限定义证明数列收敛发散的方法。

教学重点,难点:数列极限存在和数列发散定义的理解;切实掌握数列收敛发散的定义,利用数列收敛或发散的定义证明数列的收敛或发散性。

教学内容: 一、课题引入1°预备知识:数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。

2°实例:战国时代哲学家庄周著《庄子·天下篇》引用一句话“一尺之棰,日取其半,万古不竭。

”将其“数学化”即得,每天截后剩余部分长度为(单位尺) 21,221,321,……,n 21,…… 或简记作数列:⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 21分析:1°、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 21随n 增大而减小,且无限接近于常数0;2二、数列极限定义1°将上述实例一般化可得:对数列{}na ,若存在某常数a ,当n 无限增大时,n 能无限接近常数a 该数为收敛数列,a 为它的极限。

例如:⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1, a=0;⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n )1(3, a=3; {}2n , a 不存在,数列不收敛;{}n)1(-, a 不存在,数列不收敛;2°将“n 无限增大时”,数学“符号化”为:“存在N ,当n >N 时” 将“a n 无限接近a ”例如对⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n )1(()3以3为极限,对ε=1013)1(3--+=-na a nn =1011n只需取N=10,即可3°“抽象化”得“数列极限”的定义定义:设{}na 是一个数列,a 是一个确定的常数,若对任给的正数ε,总存在某一自然数N ,使得当n >N 时,都有aa n -<ε则称数列{}na 收敛于a ,a 为它的极限。

记作a a n n =∞→lim {(或a n →a,(n →∞)) 说明(1)若数列{}na 没有极限,则称该数列为发散数列。

高等数学D1_2数列的极限

高等数学D1_2数列的极限
(1) n 1 0 故 lim xn lim x 0 也可由 2 n n n ( n 1) ( n 1) 2 说明: N 与 有关, 但不唯一. 取 N 1 1 不一定取最小的 N . 1] 故也可取 N [
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xn (1) n1 趋势不定
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例1. 已知
证明数列
的极限为1.
证:
n (1) n 1 xn 1 n
1 只要 n 即 0 , 欲使 1 因此 , 取 N [ ] , 则当 n N 时, 就有 n n (1) 1 n
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二、收敛数列的性质
1. 收敛数列的极限唯一. 证: 用反证法. 假设 取
n

且 a b.
因 lim xn a , 故存在 N1 , 使当 n > N1 时,
b 从而 xn a 2
同理, 因 lim xn b , 故存在 N2 , 使当 n > N2 时, 有
( 0) . (用反证法证明)
4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .
证: 设数列 若 是数列
的任一子数列 .
时, 有
则 0 , N , 当
现取正整数 K , 使
于是当 k K 时, 有
nk
N
*********************
xN
N
从而有 x n a , 由此证明 lim x nk a . k
第二节 数列的极限
一、数列极限的定义
第一章
二 、收敛数列的性质
三 、极限存在准则

(整理)《数学分析》第二章 数列极限.

(整理)《数学分析》第二章 数列极限.

第二章 数列极限(计划课时:1 2 时)P23—41§1 数列极限的定义 ( 4时 )一、数列:1.数列定义 —— 整标函数.数列给出方法: 通项, 递推公式.数列的几何意义.2.特殊数列: 常驻列,有界列,单调列和往后单调列.二、数列极限: 以 na nn ) 1 (1-+=为例.定义 (a a n n =∞→lim 的 “N -ε”定义)三、用定义验证数列极限: 思路与方法.例1 .01l i m =∞→nn证明格式:0>∀ε(不妨设 <<ε0□)(不妨设>n □)要使-a a n ε, 只须>n □.于是0>∀ε,=∃N □,当N n >时,有ε< □ - □.根据数列极限的“N -ε”定义知∞→n lim □ = □.例2 .1,0lim <=∞→q q nn 例3 .32142332lim22=+-+-∞→n n n n n 例4 .04l i m 2=∞→n n n证 >++⋅--+⋅-+⋅+=+=n nnn n n n n n 33!3)2)(1(3!2)1(31)31(432.3 ,3!3)2)(1(3≥⋅-->n n n n注意到对任何正整数k n k 2 ,>时有 ,2nk n >- 就有)2)(1(276)2)(1(27640422><--=--<<n n n n n n n n n n .11272427462n n nn <⋅=⋅⋅ 于是,对,0>∀ε 取 }. 1 , 4 max {⎥⎦⎤⎢⎣⎡=εN .例5 .1,1lim >=∞→a a n n 证法一 令,1n na α=- 有 .0>n α 用Bernoulli 不等式,有),1(11)1(1-+=+≥+=nn nn a n n a αα 或 .1101nan a a n<-≤-< 证法二 (用均值不等式)n n n a a 个11110-⋅=-< .1111nan a n n a <-=--+≤- 例6 .1l i m=∞→nn n 证 2≥n 时,.22212211 102nn n n n n n n n n n n <-=--+≤-=-<-Ex [1]P 34 1; 2.四、关于数列极限定义的几点注记:1.ε的正值性, 任意性与确定性, ε以小为贵.2. N 的存在性与非唯一性,对N 只要求存在,不在乎大小.3. 数列极限的等价定义:)0( , , , ,0 :1>≤-⇒≥∀∃>∀k k a a N n N n εεD. , , ,0 :22εε<-⇒>∀∃>∀a a N n N n D. , , ,0 :3εε<-⇒>∀∃>∀a a N n N n D:4D 对 ,0c <<∀ε. , , ε<-⇒>∀∃a a N n N n:5D 对任正整数.1 , , ,ma a N n N m n <-⇒>∀∃ 4. a a n n =∞→lim 的几何意义.5. 数列极限的几何定义:五、收敛的否定叙述:1. 定义 ( a a n n ≠∞→lim 的“N -ε”定义 ).2. 定义 ( 数列{}n a 发散的“N -ε”定义 ).3. a a n n ≠∞→lim 的“N -ε”几何定义4. 数列{}n a 发散的“N -ε”几何定义Th1 改变或去掉数列的有限项, 不影响数列的收敛性和极限. 重排不改变数列敛散性: 例7 验证 .01lim ≠+∞→nn n例8 证明{}2n与{}n)1(-都是发散数列.例9 设,lim lim a y x n n n n ==∞→∞→作数列{}n z 如下:{}.,,,,,,,:2211 n n n y x y x y x z 证明a z n n =∞→lim六、无穷小数列: 定义.Th2 ( 数列极限与无穷小数列的关系 ).Ex [1]P 35 3,4,5,6,7,8.§2 收敛数列的性质 ( 4时 )一、极限唯一性:( 证 )Th 1 (极限唯一性)二、收敛数列有界性 —— 收敛的必要条件:( 证 )Th2 (收敛数列有界性)三、收敛数列保号性:Th 3 设.lim ,lim b b a a n n n n ==∞→∞→ 若 ,b a > 则. , ,n n b a N n N >⇒>∀∍∃( 证 )推论1 设.lim ,lim b b a a n n n n ==∞→∞→ 若n n b a N n N <>∀∃ , ,有时, ⇒.b a ≤(注意“ = ” ;并注意b b n ≡ 和 0=b 的情况 ).推论2 设 ( 0lim >=∞→a a n n 或)0<. 则对a r <<∀0 (或 , ),0∍∃<<N r ar a N n n >⇒>∀ , (或).r a n <推论3 若 ,0lim ≠=∞→a a n n 则对. , , , 0r a N n N a r n >⇒>∀∃<<∀例1 设),2,1(0 =≥n a n .证明:若a a n n =∞→lim ,则a a n n =∞→lim.注: 用分子有理化的方法可证,但烦琐.可引入不等式:当b a <<0时,有a b a b -<-<0 .一般化有2121x x x x -≤-,m m mx x x x 2121-≤-,这一结论的证明可作为习题予以证明.四、迫敛性(双逼原理):Th4 (双逼原理). (证) 例2 求下列极限:⑴ );12sin( ) 13 (lim 2+-∞→n n n⑵ ∑=∞→+ni n in 02;31lim例3 .limnn n ∞→ ( .)122112→-+≤⋅=≤-nn n n n n nn n例4(1)求证:{}3,2max 332lim==+∞→nn n n(2)).1( ,0k i a i ≤≤>求证:}.,,, m ax {lim2121k n nk n n n a a a a a a =+++∞→五、绝对值收敛性:Th 5 . lim ,lim a a a a n n n n =⇒=∞→∞→ ( 注意反之不确 )..0 lim ,0lim =⇔=∞→∞→n n n n a a ( 证 )六、四则运算性质:Th 6 (四则运算性质, 其中包括常数因子可提到极限号外). ( 证 ) 系 设数列{n a }和{n b }收敛, 则}.lim , lim { min } , { min lim },lim , lim max{} , max{lim n n n n n n n n n n n n n n b a b a b a b a ∞→∞→∞→∞→∞→∞→==利用数列极限性质求极限: 两个基本极限:01lim=∞→αnn ,(0>α)). 1 ( ,0lim <=∞→q q n n 例5 (1).14123lim22+-++∞→n n n n n (2)1412lim2+-+∞→n n n n .(3)01110111lim b x b x b x b a x a x a x a k k k k m m m m n ++++++++----∞→ .其中.0,0,≠≠≤k m b a k m 例6 .1 .1lim ≠+∞→a a a nnn 例7 ). 1 (limn n n n -+∞→七、子列收敛性: 子列概念.Th 7 (数列收敛充要条件) {n a }收敛 ⇔ {n a }的任何子列收敛于同一极限. Th 8 (数列收敛充要条件) {n a }收敛 ⇔子列{12-n a }和{n a 2}收敛于同一极限. Th 9 (数列收敛充要条件){n a }收敛 ⇔子列{12-k a }、{k a 2}和{}3k a 都收敛. (简证)利用子列性质证明数列发散:例8 证明数列 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧2sinπn 发散.Ex [1]P 33—34 1—6§3 数列极限存在的条件( 2时 )一、指出数列极限的“N -ε”定义的缺陷——是非构造性的,即只能用来验证极限而不能用来求极限.在§2中根据极限的四则运算、夹逼原理利用简单已知数列的极限来求一些数列的极限,对于一些较为复杂数列通常考察是否有极限,若有极限再设法求其极限,因此有必要根据数列本身的特点建立数列极限存在的判别条件.二、数列收敛的一个充分条件 —— 单调有界原理:回顾单调有界数列.Th 1 (单调有界定理). (证) 例1 设 ). 2 ( ,131211≥++++=ααααn a n 证明数列{n a }收敛. 例2 222 , ,22 ,221+++=+==n a a a (n 重根号),· · ·证明数列{n a }单调有界, 并求极限. 例3 .21 .0 ,011⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=>>+n n n x a x x x a 求.lim n n x ∞→( 计算a 的逐次逼近法, 亦即迭代法) 解: 由均值不等式, 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n n x a x x 21 1}{ .n n n x a x a x ⇒=⋅≥有下界;注意到对,n ∀有,a x n ≥ 有nn n n x a a x a x x .1) (121121221⇒=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+↘···,.lim a x n n =∞→ 例4 证明nn n ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim 存在 ) 71828.2 (≈e数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+nn 11单调有界证法欣赏:Cauchy (1789—1857 ) 最先给出这一极限,Riemann(1826—1866)最先给出以下证法一.证法一( Riemann 最先给出这一证法 )设 .11nn n x ⎪⎭⎫⎝⎛+=应用二项式展开,得+⋅+=n n x n 11++⋅--+⋅- 321!3)2)(1(1!2)1(n n n n n n n n nn n n 1!123)1(⋅⋅⋅- ⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=n n n n n n n n 112111!12111!3111!2111 , !21111++=+n x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-121111!31111n n n + ;11111⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n n 注意到 ,11111⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n ,12121⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n .11111 ,⎪⎭⎫ ⎝⎛+--<⎪⎭⎫ ⎝⎛--n n n n 且1+n x 比n x 多一项)!1(1+n ,011111>⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n n , 1n n x x >⇒+ 即n x ↗.nn n x n )1(132121111!1!31!21110-++⋅+⋅++<+++++<< n x n n n .31111111312121111⇒<-++=⎪⎭⎫⎝⎛--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++= 有界. 综上, 数列{n x }单调有界.评註: 该证法朴素而稳健, 不失大将风度.证法二 ( 利用Bernoulli 不等式 )注意到Bernoulli 不等式 n x nx x n,1( ,1)1(->+≥+为正整数 ), 有=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++n n nn n n x x 1111111nn n n ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++11111111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=n n n n n n 12211122,)1(111112nn n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++= 由 ,1)1(12->+-n 利用Bernoulli 不等式,有.1133233)1(1111232321>++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++≥+n n n n n n n n n x x n n n x ⇒↗. 为证{n x }上方有界, 考虑数列 .111+⎪⎭⎫⎝⎛+=n n n y 可类证n y ↘. 事实上,=+1n n y y =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++2111111n n n n 1111111111+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++n n n n 12221221+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=n n n n n n n ⎪⎭⎫⎝⎛+++++≥⎪⎭⎫⎝⎛++++=+n n n n n n n n n n 2112121121212 (此处利用了Bernoulli 不等式 ) n y nn n n n n ,1441442323⇒>+++++=↘. 显然有 , .n y x n n ∀⇒< 有 .41=≤≤<y y x n n 即数列{n y }有上界. 评註: 该证法的特点是惊而无险,恰到好处.证法三(利用均值不等式)在均值不等式)0( ,1121>≤∑=i ni i nn a a n a a a中, 令 ,1 ,111121=-+====-n n a n a a a 就有 ,11111111)1(1 111111n n n nn n nn x n n n n n n x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-≤⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--, 1n n x x ≤⇒- 即 n x ↗.令 ,1 ,111121=--====-n n a n a a a 可仿上证得 3≥n 时⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-nn 11↗, ( 1=n 时无意义, 2=n 时诸i a =0, 不能用均值不等式. ) 当2≥n 时, 由.11111,11111112nn nn n -<+⇒<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+.11111 n n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴ 由 nn ⎪⎭⎫⎝⎛-11↗ n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⇒111 ↘. 22111 ⎪⎭⎫⎝⎛-<⇒n x < 4. 评注: 该证法很奇巧. 以上证法二和证法三可参阅《数学通报》1980.№4 P 22. 证法四 (仍利用均值不等式)个n nn n n n ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+111111111⋅<, .111121111 1111++++<⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫⎝⎛++=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++⎪⎭⎫ ⎝⎛+<n n n n n x x n n n n n n 即 n x ↗.有界性证法可参阅上述各证法.评注: 该证法以简单而奇妙见长.证法四可参阅《数学教学研究》1991.№1 马德尧文 “均值不等式妙用两则”.证法五 先证明:对 b a <≤∀0和正整数n ,有不等式.)1(11n n n b n ab a b +<--++事实上,=-++++-=----++ab a ba a b b a b a b a b n n n n n n ))((1111 n n n n a ba a b b ++++--11 < .)1(nb n +该不等式又可变形为[],)1(1+<-+n nanb a n b ( n b a ,0<≤为正整数 )在此不等式中, 取 ,11 ,111nb n a +=++= 则有 ,0b a <≤ 就有 n n n x n n ,111111⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛++<⎪⎭⎫ ⎝⎛++↗.取,211 ,1n b a +== 又有 121211<⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+nn对n ∀成立,⇒<⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒ ,2211 n n .421122<⎪⎭⎫ ⎝⎛+=nn n x又由 .4 ,212<⇒<-n n n x x x评注: 该证法真叫绝, [1]采用这一证法.可参阅《 The American Mathematical Monthly 》1974.V ol 81. №9 P 1011—1012.例6 .21lim nn n ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→例7 .211lim 3nn n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→例8 .1232lim n n n n ⎪⎭⎫⎝⎛+-∞→二、数列收敛的充要条件 —— Cauchy 收敛准则:1. Cauchy 列:2. Cauchy 收敛准则:Th 2 数列{}n a 收敛. , , , ,0 εε<-⇒>∀∃>∀⇔n m a a N n m N(或数列{}n a 收敛. ,p , , ,0 εε<-⇒∈∀>∀∃>∀⇔+n p n a a N n N N 或数列{}n a 收敛. , , ,0 εε<-⇒>>∀∃>∀⇔n m a a N n m N )Th 2 又可叙述为:收敛列就是Cauchy 列. (此处“就是”理解为“等价于”).(简证必要性,充分性的证明在第七章)例9 证明:任一无限十进小数 )10( .021<<=αα n b b b 的不足近似值所组成的数列,101010 , ,1010 ,102212211 n n b b b b b b ++++收敛.其中) 9,,2,1 ( =i b i 是9,,1,0 中的数.证:令 =n a ,101010221n n b b b +++ 有⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≤+++=--++++++++1122111011011109101010 p n p n p n n n n n n pn b b b a a 1109+=n ().1101)1.0(11011.01)1.0(1n n p n p<<-=-- ……例10 设 .sin sin sin ,102n nn q q q q q q x q +++=<< 试证明数列{}n x 收敛.Ex [1]P38—39 1,2,3,4,5,6,7,8。

第1-2极限四则运算法则和两个重要极限_2023年学习资料

第1-2极限四则运算法则和两个重要极限_2023年学习资料
3.初等函数-由基本初等函数经过有限次四则运算或有限次函数-复合而成,且仅用一个式子表示的函数称为初等函数 否则称为非初等函数-如y=arccos+12为初等函数-又t如y=ln1+√1+x2,y=arctan-1 sinx-sin x-也为初等函数:-人民卫生出版社-PEOPLE'S MEDICAL PUBLISHIN HOUSE-e0①⑨8
2.函数极限的运算法则-1四则运算法则设1imfx=A且limgx=B,则-1im[fx±gx=limfx limgx=A±B-lim[fxgx]=lim fxx lim gx=AB-特别地1im[fx]=klim x=kA-n为正整数,-推论1°1im[fx]”=[limfx]'-当n为偶数时-推论2°limfx】=√ imfx-A≥0-lim fxA-B≠0-8x-人民卫生出版社-PEOPLE'S MEDICAL PUBL SHING HOUSE-e0C①8
x。-冷邻域:以x,为中心,28为长度的开区间-x。-6,x0+δ =Uxo,δ -注:①fx→A一fx-A→ x→月-2函数极限值imfx与x,有无定义无关-x→X0-考察函数y=x+1x∈R,当x→1时,极限y→2 考察函数y=1,-X一-当x→1(但不等于1时,-人民卫生虫版社-PEOPLE'S MEDICAL PUB ISHING HOUSE
例6.求下列函数的极限-x2+3x-4-1im-xx-2-2lim-x2x2-1-x1x2-5x+4-li xlim x-2-解:lim-X→2x→2-2×0-=0-imx2-1-2四-5x+4-x+4x-1-x 4x-1-x1x-4-二3-人民卫生敛版社-PEOPLE'S MEDICAL PUBLISHING HOU E-e0C⊙8

数列极限与数列极限的判别法

数列极限与数列极限的判别法

数列极限与数列极限的判别法数列极限是数学中非常重要的概念,它可以用来描述数列的趋势和收敛性质。

数列的极限是指当数列中的元素无限逼近某个常数时,该常数即为数列的极限。

在数学分析中,为了判断一个数列是否有极限,我们需要通过一些判别法来进行推导和验证。

一、数列的有界性判别法数列的有界性是判定数列极限的重要条件之一。

如果一个数列有上界和下界,那么我们可以推断出该数列必有极限。

下面我们使用数列{an} 作为示例来说明这一判别法:{an} 是一个数列,如果存在实数 M,使得对于所有的 n∈N,都有an ≤ M 成立,那么数列 {an} 就是有界的。

进一步,如果 {an} 是单调递增的有界数列,那么它一定有极限,并且极限是该数列的上确界。

二、夹逼定理夹逼定理是另一种常用的数列极限判别法。

它基于一个简单的思想:如果一个数列在两个其他数列之间夹逼住,那么它们的极限应该相同。

下面我们通过一个例子来说明夹逼定理:{an} 是一个数列,{bn} 和 {cn} 是两个数列,假设对于所有的 n∈N,都有bn ≤ an ≤ cn 成立,并且 {bn} 和 {cn} 的极限都等于 L。

那么根据夹逼定理,数列 {an} 的极限也等于 L。

三、单调有界数列的极限对于单调有界数列,它的极限可以通过单调性和有界性来判定。

单调有界数列包括单调递增数列和单调递减数列,它们分别具有上界和下界。

下面我们分别说明这两种情况:1. 单调递增数列的极限:如果数列 {an} 是一个单调递增的有界数列,则它的极限等于该数列的上确界。

2. 单调递减数列的极限:如果数列 {an} 是一个单调递减的有界数列,则它的极限等于该数列的下确界。

综上所述,数列极限与数列极限的判别法涉及到有界性、夹逼定理、单调有界数列等概念和定理。

在实际应用中,我们可以根据数列的特点和已知条件选择合适的判别法来判定数列的极限。

总结:数列极限是数学中重要的概念,通过判别法可以判定数列是否有极限。

夹逼法例题

夹逼法例题

我们要通过夹逼法来证明一个数列的极限。

首先,我们要理解什么是夹逼法。

夹逼法是一种通过比较数列的上界和下界来证明数列极限的方法。

如果一个数列的上界和下界都收敛到同一个值,那么这个数列也一定收敛到这个值。

假设我们有一个数列a_n,我们想要证明它的极限是A。

首先,我们需要找到这个数列的上界和下界。

上界可以表示为b_n,下界可以表示为c_n。

如果b_n 和c_n 都收敛到A,那么a_n 也一定收敛到A。

现在我们有一个具体的例子来演示如何使用夹逼法。

假设我们有一个数列a_n = 1/n^2,我们想要证明它的极限是0。

首先,我们找到这个数列的上界和下界。

上界可以表示为b_n = 1/n,下界可以表示为c_n = 0。

现在我们要证明b_n 和c_n 都收敛到0。

对于上界b_n = 1/n,我们可以使用夹逼法来证明它收敛到0。

我们知道1/n > 1/(n+1),所以b_n > 1/(n+1)。

由于1/(n+1) 收敛到0,所以b_n 也收敛到0。

对于下界c_n = 0,它已经直接收敛到0。

现在我们已经证明了a_n 的上界和下界都收敛到0,所以a_n 也收敛到0。

判断收敛发散的常用公式

判断收敛发散的常用公式

判断收敛发散的常用公式一、数列的收敛性判定公式1. 极限定义法:若数列{an}的极限存在且为L,则数列收敛;若不存在极限或极限不为L,则数列发散。

2. 夹逼准则:若数列{an}、{bn}和{cn}满足an≤bn≤cn,且lim(an)=lim(cn)=L,则数列{bn}的极限存在且为L。

3. 单调有界准则:若数列{an}单调递增且有上界(或单调递减且有下界),则数列收敛。

4. 零极限法则:若lim(an)=0,则数列{an}收敛。

二、级数的收敛性判定公式1. 正项级数收敛准则:若级数∑an的各项非负且单调递减,则该级数收敛当且仅当其部分和有上界。

2. 比较判别法:若级数∑an和级数∑bn满足0≤an≤bn,若级数∑bn收敛,则级数∑an也收敛;若级数∑an发散,则级数∑bn也发散。

3. 极限判别法:若lim(an/bn)=L(L为常数),且级数∑bn收敛(或发散),则级数∑an也收敛(或发散)。

4. 比值判别法:若lim|an+1/an|=L(L为常数),则当L<1时,级数∑an绝对收敛;当L>1时,级数∑an发散;当L=1时,级数∑an的收敛性不能确定。

5. 根值判别法:若lim|an|^(1/n)=L(L为常数),则当L<1时,级数∑an绝对收敛;当L>1时,级数∑an发散;当L=1时,级数∑an的收敛性不能确定。

三、函数的收敛性判定公式1. 函数极限定义:若对于任意给定的ε>0,都存在δ>0,使得当0<|x-a|<δ时,有|f(x)-L|<ε,则称函数f(x)的极限为L。

2. 函数单调有界准则:若函数f(x)在[a, +∞)上单调递增且有上界(或在[a, +∞)上单调递减且有下界),则函数f(x)在[a, +∞)上收敛。

3. 函数一致连续准则:若函数f(x)在区间[a, b]上连续,且对于任意给定的ε>0,存在δ>0,使得当|x1-x2|<δ时,有|f(x1)-f(x2)|<ε,则称函数f(x)在区间[a, b]上一致连续。

数列极限的几种求解方法

数列极限的几种求解方法

数列极限的几种求解方法张宇(渤海大学数学系辽宁锦州121000 中国)摘要在髙等数学中极限是一个重要的基本概念。

高等数学中其他的一些重要概念,如微分、积分、级数等都是用极限来定义的。

本文主要研究了求极限问题的若干种方法。

在纷繁众多的求极限方法中,同学们往往在求解极限时不知如何下手。

文章内容包括对求解简单极限问题的各种常用方法的总结:利用迫敛性:利用单调有界定理;利用柯西准则证明数列极限:这些方法对解决一般数列极限问题都很适用。

还包括在此基础上探索出来的解决各种复杂极限问题的特姝方法,例如:利用数列的构造和性质求数列的极限:利用定积分定义求数列极限以及利用压缩映射原理等特殊方法求数列极限,这些特殊方法对解决复杂极限有很重要的意义,而且还比较方便。

在实际求解过程中,要灵活运用以上各种方法。

关键词:数列,极限,槪念,泄理。

Solution of the limitAbstract : In the higher mathematics limit is an important basic concepts・ In the higher mathematics, some important concepts of other, such as the differential and integration. series are used to define the limit. This paper mainly studies the problem of several limit .In the numerous and numerous limit method. students often in solving limit doesn't know how to start. Tlie contents include the limit for solving all kinds of simple method using the summary: popularizes forced convergence property. Monotone have defined Daniel, Using the proof of cauchy criterion sequence limit. These methods of solving problems are generally sequence limit. Also included on the basis of exploring the problem solving complex limit methods, such as special stnictures and properties of invariable; the sequence limit, Using the integral definition for sequence limit and use the banach cotraction principle as a special method. these special method sequence limit to solve complex limit is important, but also more convenient. In the actual solving process, using various above methods・Key words: Series, limit, the concept, the theorem.引言极限的概念与运算贯穿了高等数学的始终。

浙江省金华第一中学2024届高三下学期高考适应性测试数学试卷(含答案与解析)_1434

浙江省金华第一中学2024届高三下学期高考适应性测试数学试卷(含答案与解析)_1434

浙江金华第一中学2024年高考适应性测试数 学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 若集合πsin 06A x x ⎧⎫⎛⎫=+>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭,πln 06B x x ⎧⎫⎛⎫=+<⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭,则A B = ( )A. AB. BC. ∅D. A B ⋃2. 经过点(2,1)且与抛物线2y x =有且仅有一个公共点的直线的条数为( ) A. 1B. 2C. 3D. 43. 在边长为1的正方形ABCD 中,E 为线段BC 的中点,F 为线段CD 上的一点,若DF 2CF =,则AE BF ⋅=( )A.13B.14C.15D.164 若复数z 满足2510z z -=-,则z =( )A 2B. 3C. 4D. 55. 已知公差不为0的等差数列{}n a 满足222359,,a a a 成等差数列,则404a a =( ) A. 5- B. 4- C. 3-D. 2-6. 已知函数e 1(),()cos x f x g x x x-==,设甲:()()f x g x >;乙:0x >,则( )A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件..7. 将1至8这8个整数排成一列,要求任意相邻两项互质,则不同的排列方法有( ) A. 1296种B. 1728种C. 2304种D. 2592种8. 如图,已知多面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 与顶面1111D C B A 平行且均为矩形.若11,5AB AD ==,111111119,3,A B A D AA BB CC DD ====== )A.1013B. 37C.1213D. 47二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9. 已知函数1()2sin tan sin 2tan 22x f x x x x =⋅+⋅,则( ) A. ()f x 是偶函数 B. ()f x 最小正周期为2π C. ()f x 的最大值为4D. ()f x 的最小值为010. 已知椭圆221,2x y O +=为原点,过第一象限内椭圆外一点()00,P x y 作椭圆的两条切线,切点分别为A ,B .记直线,,,OA OB PA PB 的斜率分别为1234,,,k k k k ,若1214k k ⋅=,则( ) A. 34k k ⋅为定值 B. ()()1324k k k k +⋅+为定值 C. 00x y -的最大值为2D. 0053x y -的最小值为411. 已知边长为l 的等边ABC 的三个顶点到平面α的距离分别为1,2,3,且ABC 的重心G 到平面α的距离恰有两个可能值,则l 的取值可以为( )A.B.C. 5D. 6三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12. 设一组样本的容量为50,经过数据整理,得出了如下所示的频数分布表,则该组样本的第80百分位数为___________.数据分组区间[)0,10 [)10,20 [)20,30 [)30,40 [)40,50的频数15 18 6 5 613. 若对任意实数()1,(1ln )3e exx m x x x >+-≥-,则m 的最大值为___________.14. 某校数学建模社团对校外一座山的高度h (单位:m )进行测量,方案如下:如图,社团同学朝山沿直线行进,在前后相距a 米两处分别观测山顶的仰角α和β(βα>),多次测量相关数据取平均值后代入数学模型求解山高,这个社团利用到的数学模型h =___________;多次测量取平均值是中学物理测量中常用的减小误差的方法之一,对物理量进行n 次测量,其误差n ε近似满足20,n N n ε⎛⎫~ ⎪⎝⎭,为使误差n ε在(0.5,0.5)-的概率不小于0.9973,至少要测量___________次.参考数据:若占()2,N ξμσ ,则(3,3)0.9973P μσξμσ-<+=.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知四棱锥P ABCD -的棱,AB BC ,其余各条棱长均为1. (1)求四棱锥P ABCD -的体积; (2)求二面角A PC B --的大小.16. 太阳能板供电是节约能源体现,其中包含电池板和蓄电池两个重要组件,太阳能板通过电池板将太阳能转换为电能,再将电能储存于蓄电池中.已知在一定条件下,入射光功率密度2E Sρ=(E 为入射光能量且0,E S >为入射光入射有效面积),电池板转换效率(0100%)ηη≤≤与入射光功率密度ρ成反比,且比例系数为k .(1)若2, 1.5k S ==平方米,求蓄电池电能储存量Q 与E 的关系式;(2)现有铅酸蓄电池和锂离子蓄电池两种蓄电池可供选择,且铅酸蓄电池的放电量1I Q E -=+,锂离子的蓄电池的放电量I=+.设1,1S k≥>,给定不同的Q,请分析并讨论为了使得太阳能板供电效果更好,应该选择哪种蓄电池?注:①蓄电池电能储存量Q Eη=⋅;②当S,k,Q一定时,蓄电池的放电量越大,太阳能板供电效果越好.17. 现有n枚硬币12,,,nC C C.对于每个(1,2,,)k k n= ,硬币kC是有偏向的,即向上抛出后,它落下时正面朝上的概率为121k+.(1)将123,,C C C这3枚硬币抛起,设落下时正面朝上的硬币个数为X,求X的分布列及数学期望()E X;(2)将这n枚硬币抛起,求落下时正面朝上的硬币个数为奇数的概率.18. 在直角坐标系xOy中,圆Γ的圆心P在y轴上(P不与O重合),且与双曲线2222:1x ya bΩ-=的右支交于A,B两点.已知2222PA PB OA OB+=+.(1)求Ω的离心率;(2)若Ω的右焦点为(2,0)F,且圆Γ过点F,求||||FA FB+的取值范围.19. 设全集为U,定义域为D的函数()ny f x=是关于x的函数“函数组”,当n取U中不同的数值时可以得到不同的函数.例如:定义域为R的函数()nf x nx=,当*U=N时,有12(),()2f x x f x x==L若存在非空集合A U⊆满足当且仅当n A∈时,函数()nf x在D上存在零点,则称()nf x是A上的“跳跃函数”.(1)设,(,2]U D==-∞Z,若函数2()2xnf x n=-是A上的“跳跃函数”,求集合A;(2)设32()4(61)2,(1,)nf x nx n x x D=-++=+∞,若不存在集合A使()nf x为A上“跳跃函数”,求所有满足条件的集合U的并集;(3)设*U=N,()nf x为A上的“跳跃函数”,(1,)D=+∞.已知11()2f xx=-,且对任意正整数n,均有1()()(1)1nn nf x f x x+=+-+.(i)证明:{}*2,A n n k k==∈N;(ii)求实数a的最大值,使得对于任意n A∈,均有()nf x的零点nt a>.的参考答案一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1 若集合πsin 06A x x ⎧⎫⎛⎫=+>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭,πln 06B x x ⎧⎫⎛⎫=+<⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭,则A B = ( )A. AB. BC. ∅D. A B ⋃【答案】B 【解析】【分析】借助三角函数的性质与对数函数的性质可计算出集合A 、B ,即可得解. 【详解】由πsin 06x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭,可得()π2π2ππ6k x k k <+<+∈Z , 即()π5π2π2π66A x k x k k ⎧⎫=-<<+∈⎨⎬⎩⎭Z , 由πln 06x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭,可得π016x <+<, 即ππ166B x x ⎧⎫=-<<-⎨⎬⎩⎭,可得B A ⊆, 故A B B = . 故选:B.2. 经过点(2,1)且与抛物线2y x =有且仅有一个公共点的直线的条数为( ) A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】分直线斜率存在于不存在进行讨论,斜率存在时联立曲线借助∆计算即可得. 【详解】设过点(2,1)的直线为l ,当该直线斜率不存在时,:2l x =,则224y ==, 即其与抛物线2y x =有唯一公共点,符合要求;.当该直线斜率存在时,设():21l y k x =-+,联立有()221y k x y x⎧=-+⎨=⎩,即2210x kx k -+-=,()22421840k k k k ∆=--=-+=,有2844480-⨯=>,故2840k k -+=有两个不同的实数解,即有两条不同的直线l ,与抛物线2y x =有且仅有一个公共点, 综上所述,共三条. 故选:C .3. 在边长为1的正方形ABCD 中,E 为线段BC 的中点,F 为线段CD 上的一点,若DF 2CF =,则AE BF ⋅=( )A.13B.14C.15D.16【答案】D 【解析】【分析】根据图形,利用基底{},AB AD 表示向量,AE BF,利用数量积公式,即可求解.【详解】如图,12AE AB BE AB AD =+=+ ,13BF BC CF AB AD =+=-+,所以221115123362AE BF AB AD AB AD AB AB AD AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,111326=-+=.故选:D4. 若复数z 满足2510z z -=-,则z =( ) A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】D 【解析】【分析】设i z a b =+,借助复数的模长与共轭复数的定义计算即可得. 【详解】设()i ,z a b a b =+∈R ,则i z a b =-, 则有252i 10i a b a b -+=--, 即()()()222225210a b a b -+=-+, 化简可得2225a b +=,故5z ==.故选:D.5. 已知公差不为0的等差数列{}n a 满足222359,,a a a 成等差数列,则404a a =( ) A. 5- B. 4- C. 3-D. 2-【答案】A 【解析】【分析】借助等差数列的性质计算可得19a d =-,代入计算404a a 即可得. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,由题意可得()()()()95955353a a a a a a a a +-=+-,即()1044422a d d a a +=⨯,即1044a a a +=,即100a =,即19a d =-, 则40141399393053936a a d d d a a d d d +-+====-+-+-. 故选:A.6. 已知函数e 1(),()cos x f x g x x x-==,设甲:()()f x g x >;乙:0x >,则( )A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用特殊值的函数值判断充分性不成立,利用导数研究()f x 的单调性和值域,结合三角函数的有界性,从而判断必要性.【详解】π2πe 10π22f --⎛⎫-=> ⎪⎝⎭-,π02g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,满足()()f x g x >,但π02-<,故甲不是乙的充分条件;令()e 1(0)xh x x x =-->,则()h x 'e 10x =->,故()h x 在()0,+∞单调递增,即()()00h x h >=,也即e 10xx -->在()0,+∞恒成立,则e 11x x->在()0,+∞恒成立;故当0x >时,()1cos f x x >≥,()()f x g x >,甲是乙的必要条件. 综上所述,甲是乙的必要条件,但不是充分条件. 故选:B.7. 将1至8这8个整数排成一列,要求任意相邻两项互质,则不同的排列方法有( ) A. 1296种 B. 1728种 C. 2304种 D. 2592种【答案】B 【解析】【分析】任意相邻两项互质,采用插空法,由排列组合的知识求解即可 【详解】由于任意相邻两项互质,所以偶数必须隔开,所以先把四个奇数排成一列有44A 种方法,然后把偶数插空进去, 四个偶数中只有6不能与3相邻,其他偶数可以随意插空,所以先考虑把6插空,有13A 种选择,剩下的3个偶数在剩下的4个空中随意插空, 所以共有:413434A A A 1728=. 故选:B.8. 如图,已知多面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 与顶面1111D C B A 平行且均为矩形.若11,5AB AD ==,111111119,3,A B A D AA BB CC DD ====== )A.1013B. 37C.1213D. 47【答案】C 【解析】【分析】根据组合体的体积公式计算即可.【详解】如图所示,设1111A B C D 、、、在底面的投影分别为1111A B C D ''''、、、,延长11A B ''分别交底面矩形于M N 、两点,延长1111D A C B ''''、交AB 于E F 、两点,由条件易得11531191,122A E AE A A --''====⇒=所以几何体的高为1h ==,该几何体的体积可分割为两个几何体1111AA D DD A ''的体积加两个几何体1111AA B BB A ''的体积再加长方体11111111A B C D A B C D ''''-的体积.易得1111111111111111122236AA D DD A V A M A A A D A M AM A A ''''''''=⋅⋅+⨯⋅⋅⨯=,同理1111111111111112922236AA B BB A V A E A A A B A E AE A A ''''''''=⋅⋅+⨯⋅⋅⨯=,''''1111111139127A B C D A B C D V -=⨯⨯=,故该几何体体积为:1129121272663⎛⎫+⨯+= ⎪⎝⎭. 故选:C二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9. 已知函数1()2sin tan sin 2tan 22x f x x x x =⋅+⋅,则( ) A. ()f x 是偶函数 B. ()f x 的最小正周期为2π C. ()f x 的最大值为4 D. ()f x 的最小值为0【答案】ABD 【解析】【分析】先将()f x 化简,再逐项分析答案即可. 【详解】因为1()2sin tansin 2tan 22x f x x x x =⋅+⋅的定义域为()π|π21π2x x k x k ⎧⎫⎨⎬⎩⎭≠+≠+且,所以)((]cos 1,00,1x ∈-⋃,又因为1()2sin tansin 2tan 22x f x x x x =⋅+⋅ sinsin 24sin cos sin cos 22cos cos 2xx x x x x x x=⋅⋅+ ()2224sin sin 21cos 1cos 2xx x x =+=-+-()2cos 14x =-++,所以()f x 为偶函数,故A 正确;()f x 的最小正周期为2π,故B 正确;因为cos 1x ≠-,所以()f x 没有最大值; 当cos 1x =时,()min 0f x =,故D 正确. 故选:ABD10. 已知椭圆221,2x y O +=为原点,过第一象限内椭圆外一点()00,P x y 作椭圆的两条切线,切点分别为A ,B .记直线,,,OA OB PA PB 的斜率分别为1234,,,k k k k ,若1214k k ⋅=,则( ) A. 34k k ⋅为定值B. ()()1324k k k k +⋅+为定值C. 00x y -的最大值为2D. 0053x y -的最小值为4【答案】AD 【解析】【分析】设直线AB 的方程为y kx t =+,联立椭圆方程,得到两根之和,两根之积,由1214k k ⋅=得到方程,求出2241t k =-,证明椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>在()33,Q x y 处的切线方程为33221x x y y a b +=,从而得到椭圆在点()11,A x y 和()22,B x y 的切线方程,得到切点弦方程AB 为0012x x y y +=,对照系数结合2241t k =-得到()00,P x y 的轨迹方程,A 选项,计算出3112k k =-,4212k k =-,求出341k k =;B 选项,在A 选项基础上进行求解;C 选项,得到双曲线的渐近线,C 错误;D 选项,先得到00x y >,设0053h x y -=,则0h >,联立双曲线方程,由根的判别式得到不等式,求出答案.【详解】由于12104k k ⋅=>,故,A B 不关于x 轴对称且,A B 的横纵坐标不为0, 所以直线AB 方程斜率一定存在,设直线AB 的方程为y kx t =+,联立2212x y +=得,()222124220k xktx t +++-=,设()()1122,,,A x y B x y ,则2121222422,1212kt t x x x x k k -+=-=++, 故()()()2212121212y y kx t kx t k x x kt x x t =++=+++222222222242121212t kt k t k kt t k k k---+=⋅+⋅+=+++, 其中121212,y yk k x x ==, 故121214y y x x =,即12124y y x x =, 所以2222284221212k t t k k-+-=++,解得2241t k =-,下面证明椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>在()33,Q x y 处的切线方程为33221x x y y a b +=,理由如下:当3y ≠0时,故切线的斜率存在,设切线方程为y nx m =+, 代入椭圆方程得:()22222222220a n b xa nmx a m ab +++-=,由()()()222222222Δ240a nma nb a ma b =-+-=,化简得:22220a n m b -+=,所以23a nx m -===, 把23a n x m -=代入y nx m =+,得:22223a n m b y m m-+==,于是2233322233mx x b x b n a a y a y =-=-⋅=-, 则椭圆的切线斜率为2323b x a y -,切线方程为()233323b x y y x x a y -=--,整理得到2222223333a y y b x x a y b x +=+,其中22222233b x a y a b +=,故222233a y y b x x a b +=,即33221x x y ya b+=, 当30=y 时,此时3x a =或a -,当3x a =时,切线方程为x a =,满足33221x x y ya b +=, 当3x a =-时,切线方程为x a =-,满足33221x x y ya b+=,综上:椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>在()33,Q x y 处的切线方程为33221x x y y a b +=;故椭圆在点()11,A x y 的切线方程为1112x xy y +=, 同理可得,椭圆在点()22,B x y 的切线方程为2212x xy y +=,由于点()00,P x y 为1112x x y y +=与2212x xy y +=的交点,故101012x x y y +=,202012x xy y +=,所以直线AB 为012x x y y +=, 因为直线AB 的方程为y kx t =+,对照系数可得0001,2x k t y y =-=, 又2241t k =-,故220001412x y y ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,整理得22001x y -=,又()00,P x y 在第一象限,故点()00,P x y 的轨迹为双曲线221x y -=位于第一象限的部分,A 选项,21132111122b x x k a y y k =-=-=-,同理可得22242222122b x x k a y y k =-=-=-,则3412121111224k k k k k k ⎛⎫=-⋅-== ⎪⎝⎭,A 正确;B 选项,()()121324121212211211122224k k k k k k k k k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫+⋅+=--=--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()2222121212211215512422424k k k k k k k k k k +=+--=-=-+, 其中()()22221221222222221221121222221212121122x x x x y y x y x y k k x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+=+== ()()2222222121212121222222121212211x x x x x x x x x x x x x x x x +-+-+==-=-()()()22222222222224222164412121211222212kt t k t t k k k t t k -⎛⎫--⋅ ⎪--+++⎝⎭=-=-⎛⎫-- ⎪+⎝⎭又2241t k =-, 故()()()()22224222122422164116812461188284k k k k k k k k k k k ---+-+-+=-=-+-,不为定值,故()()()22132412524k k k k k k +⋅+=-+不是定值,B 错误;C 选项,由于22001x y -=,00x >,00y >,故双曲线的一条渐近线为y x =,设00x y s -=,则1s <,故00x y -无最大值,D 选项,由于22001x y -=,00x >,00y >,故00x y >,设0053h x y -=,则0h >,则两式联立得2200166250y hy h -++-=, 由()22Δ3664250h h =+-≥得,4h ≥,检验,当4h =时,00453x y -=,又22001x y -=,解得005434x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,满足要求.故0053x y -的最小值为4,D 正确. 故选:AD【点睛】结论点睛:过圆()()222x a y b r -+-=上一点()00,x y 的切线方程为:()()()()200x a x a y b y b r --+--=,过圆()()222x a y b r -+-=外一点()00,x y 的切点弦方程为:()()()()200x a x a y b y b r --+--=.过椭圆22221x y a b+=上一点()00,P x y 的切线方程为00221x x y y a b +=,过椭圆22221x y a b +=外一点()00,P x y 的切点弦方程为00221x x y y a b +=;过双曲线22221x y a b -=上一点()00,P x y 的切线方程为00221x x y y a b -=,过双曲线22221x y a b-=外一点()00,P x y 的切点弦方程为00221x x y y a b -=,11. 已知边长为l 的等边ABC 的三个顶点到平面α的距离分别为1,2,3,且ABC 的重心G 到平面α的距离恰有两个可能值,则l 的取值可以为( )A.B.C. 5D. 6【答案】BC 【解析】【分析】先证明引理:若123,,x x x 不全相等,则空间中存在一个边长为L 的正三角形ABC ,满足,,A B C 到平面α的有向距离分别是123,,x x x 的充要条件是()()()()222212233123L x x x x x x ≥-+-+-,然后将题目条件分4种情况考虑,分别计算出对应的ABC 存在的条件,再通过这4个条件中恰有2个成立,可得出l 的取值范围,最后分别验证4个选项即可得到正确答案.【详解】对题目中给定的平面α,我们取定平面α的一个法向量n ,并将该法向量n所指的方向定义为平面α的上方.然后,我们定义空间中一个点P 到平面α的有向距离:一方面,P 到平面α的有向距离的绝对值等于P 到平面α的距离;另一方面,若P 在平面α的上方,则P 到平面α的有向距离为正数,若P 在平面α的下方,则P 到平面α的有向距离为负数.易知,到平面α的全体有向距离为d 的点构成的集合为一个平面,将该平面记为d α, 那么就有:0αα=,且全体d α两两之间是平行,而两平面12,d d αα之间的距离为12d d -. 现在,我们证明一个引理:引理:若123,,x x x 不全相等,则空间中存在一个边长为L 的正三角形ABC ,满足,,A B C 到平面α的有向距离分别是123,,x x x 的充要条件是:()()()()222212233123L x x x x x x ≥-+-+-.如图所示:的一方面,我们证明必要性:若空间中存在一个边长为L 的正三角形ABC ,满足,,A B C 到平面α的有向距离分别是123,,x x x ,且123,,x x x 不全相等:记点,,A B C 所在的平面为β,则由于123,,x x x 不全相等,知β不可能是某个d α, 由于全体d α两两之间是平行的,所以β不可能平行于任意一个d α, 故β和任意一个d α都有唯一的交线,将其记为d l .然后,在0l 上任取一点O ,并过O 作1l 的垂线交1l 于A ,然后以O 为原点,以OA为x 轴正方向,建立平面直角坐标系.这样相应确定的y 轴显然就是直线0l ,记两直线0l 和1l 之间的距离为T ,则1T ≥,且直线d l 的方程就是x Td =.现在,由于ABC 是边长为L 的正三角形,故可设()cos ,sin AB L t L t =,ππcos ,sin 33AC L t L t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ,而,,A B C 分别在平面123,,x x x ααα上,从而分别在直线123,,x Tx x Tx x Tx ===上, 这意味着我们有()21cos L t T x x =-,()31πcos 3L t T x x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. 从而()21cos T x x t L-=,()311cos 2T x x t t L-=,故:()311sin cos 2T x x t t L ⎫-=-⎪⎭()()21312T x x T x xL L⎫--=-⎪⎭()()()213122T x x x xL---==.这就有()()222221123222221cos sin3T x x T x x xt tL L-+-=+=+()()()222211232323T x x x x xL-++-=()2222221212123121323233642443T x x x x x x x x x x x x xL+-++++--=()222212312132324444443T x x x x x x x x xL++---=()()()()2222122331223T x x x x x xL-+-+-=.所以()()()()()()()()2222122331222 2122331 2233T x x x x x xL x x x x x x-+-+-=≥-+-+-.从而必要性得证.另一方面,我们证明充分性:若123,,x x x不全相等,且()()()()222212233123L x x x x x x≥-+-+-.我们取T=,则1T≥.然后取一个平面β,使得β和0α之间的夹角ϕ的正弦值为1T.此时,β和任意一个dα的夹角正弦值都是正数1T,故β和任意一个dα都有唯一的交线,将其记为d l.此时,12,d dl l之间的距离为2121sind dT d dϕ-=-,从而我们可以在β上取一个平面直角坐标系,使得d l 的方程恰为x Td =. 这种情况下,和之前证明必要性时进行的演算类似,可以证明恒等式()()()()()()222222221223312112322222133T x x x x x x Tx x Tx x x L L L -+-+--+-+==,这表明我们可以再取一个实数t 使得()21cos T x x t L-=,sin t =.然后,在该直角坐标系下取()1,0A Tx ,()1cos ,sin B Tx L t L t +,1ππcos ,sin 33C Tx L t L t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则显然ABC 是边长为L 的正三角形,与此同时,由于()21112cos T x x Tx L t Tx L Tx L-+=+⋅=,且1πcos 3Tx L t ⎛⎫++ ⎪⎝⎭11cos 2Tx L t t ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭()21112T x x Tx L L ⎛-=+⋅ ⎝ ()()12112311222Tx T x x T x x x ⎛⎫=+--+- ⎪⎝⎭()131Tx T x x =+- 3Tx =.故,,A B C 分别在直线123,,x Tx x Tx x Tx ===上,也就是分别在直线123,,x x x l l l 上, 从而分别在平面123,,x x x ααα上,故它们到平面α的有向距离分别是123,,x x x ,充分性得证. 现在我们回到原题,根据对称性,我们不妨设,,A B C 中至少有两个点在平面α的上方. 情形1:,,A B C 均在平面α的上方,此时()()123,,1,2,3x x x =,而重心G 到平面α的距离为12323x x x ++=(这是因为重心G 的坐标可由,,A B C 三点取平均值得到,故它到α的有向距离一定也是,,A B C 到α的有向距离的平均值,即1233x x x ++).若此种情况存在,根据我们的引理,这等价于()()()()()222222212233122112433l x x x x x x ≥-+-+-=++=; 情形2:A 在平面α的下方,,B C 在平面α的上方,此时()()123,,1,2,3x x x =-,而重心G 到平面α的距离为123433x x x ++=.若此种情况存在,根据我们的引理,这等价于()()()()()22222221223312252314333l x x x x x x ≥-+-+-=++=; 情形3:B 在平面α的下方,,C A 在平面α的上方,此时()()123,,1,2,3x x x =-,而重心G 到平面α的距离为123233x x x ++=.若此种情况存在,根据我们的引理,这等价于()()()()()22222221223312276352333l x x x x x x ≥-+-+-=++=; 情形4:C 在平面α的下方,,A B 在平面α的上方,此时()()123,,1,2,3x x x =-,而重心G 到平面α的距离为12303x x x ++=.若此种情况存在,根据我们的引理,这等价于()()()()()2222222122331221542833l x x x x x x ≥-+-+-=++=. 而题目条件为重心G 到平面α的距离恰有两个可能值,根据以上讨论,这就相当于四个不等式24l ≥,2523l ≥,2763l ≥,228l ≥中恰有两个成立,这等价于2527633l <≤. 综上,原题条件等价于给定的边长l 满足2527633l <≤. 最后,分别验证A ,B ,C ,D 四个选项,它们的平方分别是12,20,25,36,在区间5276,33⎛⎤⎥⎝⎦上的是20,25,所以B ,C 正确,A ,D 错误. 故选:BC.【点睛】关键点点睛:解决本题最重要的还是证明引理:若123,,x x x 不全相等,则空间中存在一个边长为L 的正三角形ABC ,满足,,A B C 到平面α的有向距离分别是123,,x x x 的充要条件是()()()()222212233123L x x x x x x ≥-+-+-,这也是该问题的核心.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12. 设一组样本的容量为50,经过数据整理,得出了如下所示的频数分布表,则该组样本的第80百分位数为___________.数据分组区间[)0,10[)10,20[)20,30[)30,40[)40,50频数1518656【答案】32 【解析】【分析】借助百分位数的定义计算即可得.【详解】151860.7850++=,1518650.8850+++=,故第80百分位数必在[)30,40,设第80百分位数为x ,则有300.800.7840300.880.78x --=--,解得32x =.故答案为:32.13. 若对任意实数()1,(1ln )3e e xx m x x x >+-≥-,则m 的最大值为___________.【答案】3e 【解析】【分析】构造函数()()()1ln 3e e,1xh x m x x x x =+--->,对参数m 的取值进行分类讨论,在不同情况下,研究函数的单调性,结合题意,即可求得参数的最大值. 【详解】令()()()1ln 3e e,1xh x m x x x x =+--->,()10h =,由题可知,()0h x ≥恒成立;()h x '3e 3e x mm x =+--,(1)h '0=;令()m x =()h x ', ()m x '23e x mx=-+,(1)m '3e m =-;当0m ≤,()m x '0>,故y =()h x '单调递增,则()h x '>(1)h '0=,故()y h x =单调递增,()()10h x h >=,满足题意; 当0m >,y =()m x '显然单调递增;若(1)m '0<,即3e m >时,当x 趋近于正无穷时,()m x '趋近于正无穷; 故存在01x >,当()01,x x ∈,()m x '0<,y =()h x '单调递减;()0,x x ∈+∞,()m x '0>,y =()h x '单调递增;又(1)h '0=,当x 趋近于正无穷时,()h x '趋近于正无穷; 故存在10x x >,当()11,x x ∈,()h x '0<,()y h x =单调递减; 当()1,x x ∈+∞,()h x '0>,()y h x =单调递增;又()10h =,故当()11,x x ∈,()()10h x h <=,不满足题意; 若(1)m '0≥,即3e m ≤,又y =()m x '单调递增,故()m x '0>, 则y =()h x '单调递增,又(1)h '0=,故()h x '0>, 则()y h x =单调递增,()()10h x h >=,满足题意; 综上所述,当3e m ≤时,满足题意,故m 的最大值为3e . 故答案为:3e .【点睛】关键点点睛:处理本题的关键是以端点值1处的二阶导函数值的正负为讨论的标准,进而在不同情况下考虑函数单调性和最值解决问题.14. 某校数学建模社团对校外一座山的高度h (单位:m )进行测量,方案如下:如图,社团同学朝山沿直线行进,在前后相距a 米两处分别观测山顶的仰角α和β(βα>),多次测量相关数据取平均值后代入数学模型求解山高,这个社团利用到的数学模型h =___________;多次测量取平均值是中学物理测量中常用的减小误差的方法之一,对物理量进行n 次测量,其误差n ε近似满足20,n N n ε⎛⎫~ ⎪⎝⎭,为使误差n ε在(0.5,0.5)-的概率不小于0.9973,至少要测量___________次.参考数据:若占()2,N ξμσ ,则(3,3)0.9973P μσξμσ-<+=.【答案】 ①.sin sin sin()a αββα-(也可以写成tan tan tan tan a αββα⋅-) ②. 72【解析】【分析】再ABC 中由正弦定理可得AC ,在Rt ACD 中求解即可;由正态分布的3σ原则建立不等式30.5σ=≤求解即可. 【详解】(1)在ABC 中,sin sin()AC a αβα=-,sin sin()a AC αβα=-, 在Rt ACD 中,sin sin sin sin()a h AC αβββα==-.(结果还可以是tan tan tan tan a αββα⋅-)(2)由于()330.9973n P σεσ-<≤=,因此30.5σ=≤, 所以72n ≥, 故至少要测量72次. 故答案为:sin sin sin()a αββα-(也可以写成tan tan tan tan a αββα⋅-);72【点睛】关键点点睛:在解决正态分布问题中,需要理解3σ原则,学会利用3σ原则求解相关问题,属于中档题.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知四棱锥P ABCD -的棱,AB BC ,其余各条棱长均为1. (1)求四棱锥P ABCD -的体积; (2)求二面角A PC B --大小.的【答案】15. 16. 90° 【解析】【分析】(1)设四边形ABCD 的外接圆半径为r ,求得2r BD ==ABCD 的面积,求出P 到平面ABCD 的距离d ,可以求解体积; (2)利用线面垂直,推出面面垂直,求解二面角. 【小问1详解】如图(1)所示,四棱锥P ABCD -中,AB BC ==1,所以点P 在底面内的射影为底面四边形ABCD 的外接圆的圆心O , 即四边形ABCD 为圆内接四边形,如图(2)所示,根据四边形ABCD 的对称性,可得BD 为外接圆的直径,AC BD ⊥, 所以90DAB ∠= ,设四边形的半径为r ,在直角ABD 中,可得2BD r ==OA =由等面积法11222ABCD S BD AC AB AD ==⨯⨯= 四边形 又由点P 在底面内的射影为底面四边形ABCD 的外接圆的圆心O , 所以OP ⊥底面四边形ABCD ,即1=2OP ,所以1132P ABCD V -==;【小问2详解】由1PC PA PB ===,AB BC ==,所以222222,,BC PC PB AB PA PB =+=+ 即,PB PA PB PC ⊥⊥,又,,PA PC P PA PC =⊂ 平面PAC ,所以PB ⊥平面PAC , 又PB ⊂平面PBC ,所以平面PBC ⊥平面PAC ,所以二面角A PC B --为90 .16. 太阳能板供电是节约能源的体现,其中包含电池板和蓄电池两个重要组件,太阳能板通过电池板将太阳能转换为电能,再将电能储存于蓄电池中.已知在一定条件下,入射光功率密度2E Sρ=(E 为入射光能量且0,E S >为入射光入射有效面积),电池板转换效率(0100%)ηη≤≤与入射光功率密度ρ成反比,且比例系数为k .(1)若2, 1.5k S ==平方米,求蓄电池电能储存量Q 与E 的关系式;(2)现有铅酸蓄电池和锂离子蓄电池两种蓄电池可供选择,且铅酸蓄电池的放电量1I Q E -=+,锂离子蓄电池的放电量I =+.设1,1S k ≥>,给定不同的Q ,请分析并讨论为了使得太阳能板供电效果更好,应该选择哪种蓄电池? 注:①蓄电池电能储存量Q E η=⋅;②当S ,k ,Q 一定时,蓄电池的放电量越大,太阳能板供电效果越好. 【答案】(1)3Q E= (2)答案见解析 【解析】【分析】(1)利用题目所给公式及数据计算即可得;(2)用S ,k ,Q 表示出两种蓄电池的放电量后作差比大小即可得. 【小问1详解】2kkS kS Q E E E E Eηρ=⋅=⋅=⋅=, 若2, 1.5k S ==平方米,则2 1.53Q E E⨯==; 【小问2详解】由kSQ E=,即kS E Q =,铅酸蓄电池的放电量为:11QQ E Q kSI -==++,锂离子蓄电池的放电量为:2I ==,则()211I Q kS Q I Q kS kS ++-=-==,))10kS kS +-=,可得2Q ==, 即Q ⎫∈+∞⎪⎪⎭时,12I I>,此时应选择铅酸蓄电池,当Q ⎛∈ ⎝时,12I I<,此时应选择锂离子蓄电池,当Q =12I I =,两种电池都可以. 17. 现有n 枚硬币12,,,n C C C .对于每个(1,2,,)k k n = ,硬币k C 是有偏向的,即向上抛出后,它落下时正面朝上的概率为121k +. (1)将123,,C C C 这3枚硬币抛起,设落下时正面朝上的硬币个数为X ,求X 的分布列及数学期望()E X ;(2)将这n 枚硬币抛起,求落下时正面朝上的硬币个数为奇数的概率. 【答案】(1)分布列见解析,71()105E X = (2)21nn + 【解析】【分析】(1)借助相互独立事件的概率公式及离散型随机变量的分布列及方差定义计算即可得; (2)设将这n 枚硬币抛起,落下时正面朝上的硬币个数为奇数的概率为n P ,由题意可得()1111112121n n n P P P n n --⎛⎫=⋅-+-⋅ ⎪++⎝⎭,计算出1P 后结合数列的性质计算即可得. 【小问1详解】用i A 表示第i 枚硬币正面朝上,则i A 表示第i 枚硬币正面朝下,其中1,2,3i =,X 的可能取值为0、1、2、3,则()()123111481601112122123110535P X P A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===---== ⎪⎪⎪+⨯+⨯+⎝⎭⎝⎭⎝⎭, ()()()()12312312311111121221231P X P A A A P A A A P A A ⎛⎫⎛⎫==++=-- ⎪⎪+⨯+⨯+⎝⎭⎝⎭1111114411112212123123121221105⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+--=⎪⎪ ⎪⎪⨯++⨯+⨯++⨯+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, ()()()()1231231231112121221231P X P A A A P A A A P A A A ⎛⎫==++=⋅- ⎪+⨯+⨯+⎝⎭11111112411212312212212312110535⎛⎫⎛⎫+⋅-+⋅-== ⎪ ⎪+⨯+⨯+⨯+⨯++⎝⎭⎝⎭, ()()1231111321221231105P X P A A A ===⋅⋅=+⨯+⨯+, 则其分布列为:X 01 2 3P1635 44105 4351105期望()1644417101233510535105105E X =⨯+⨯+⨯+⨯=; 【小问2详解】设将这n 枚硬币抛起,落下时正面朝上的硬币个数为奇数的概率为n P , 则1112113P ==⨯+,当2n ≥时,有()1111112121n n n P P P n n --⎛⎫=⋅-+-⋅ ⎪++⎝⎭, 即12112121n n n P P n n --=+++,即()()121211n n n P n P -+--=,又()1121313P +=⨯=,即数列(){}21nn P +为以1为公差,以1为首项的等差数列,即()21n n P n +=,故21n nP n =+. 18. 在直角坐标系xOy 中,圆Γ的圆心P 在y 轴上(P 不与O 重合),且与双曲线2222:1x y a bΩ-=的右支交于A ,B 两点.已知2222PA PB OA OB +=+. (1)求Ω的离心率;(2)若Ω的右焦点为(2,0)F ,且圆Γ过点F ,求||||FA FB +的取值范围.【答案】(1(2))+∞ 【解析】【分析】(1)由点差法与直线与圆的性质分别得到与直线AB 的斜率有关的等量关系,结合已知条件将2222PA PB OA OB +=+坐标化,得12y y m +=,再结合两斜率关系,整体消元可得221b a=,从而求出斜率;(2)将||||FA FB +化斜为直,转化为)12FA FB x x +=+-=-坐标表示,再由韦达定理代入得关于m 的函数解析式,求解值域即可. 【小问1详解】设()11,A x y ,()22,B x y ,则线段AB 中点1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭由题意P 不与O 重合,则120y y +≠,由,A B 在双曲线右支上,则120x x +>, 所以AB 斜率存在且不为0.由,A B 在双曲线上,则2211221x y a b -=,且2222221x y a b-=,两式作差得22221212220x x y y a b---=, 所以有()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-+=,故2122121221y y y y b x x x x a+-⋅=+-①, 由圆Γ的圆心P 在y 轴上(P 不与O 重合),设(0,)(0)P m m ≠, 由题意2222PA PB OA OB +=+,则()()22222222222211221122PA PB x y m x y m OA OB x y x y +=+-++-=+=+++, 化简得212()m y y m +=,由0m ≠,得12y y m +=,由圆Γ的圆心为P ,弦AB 中点为M ,所以MP AB ⊥,则12211221212y y my y x x x x +--⋅=-+-,即12211221212y y y y x x x x +--⋅=-+-②, 由①②得,221b a=,则2222222c a b e a a +===, 故Ω. 【小问2详解】由Ω的右焦点为(2,0)F ,得2c =, 由(1)知,c =,所以有a b ==222x y -=.设圆的方程为222()x y m r +-=,由圆Γ过点(2,0)F ,则224m r +=, 则圆的方程可化为22240x y my +--=,联立22222240x y x y my ⎧-=⎨+--=⎩,消x 化简得210y my --=, 240m ∆=+>,其中12y y m +=,121y y =-,则有()222212121222y y y y y y m +=+-=+,由)11FA x ====-,同理)21FB x =-,所以)12FA FB x x +=+-=-,其中22221246 y y m=+++=++,(3)t t=>,则2292tm-=,所以2222343(2)1=2222t t t tt++++-++==,设2(2)1()2tg t+-=,3t>,由函数()y g t=(3,)+∞单调递增,则()(3)12g t g>=,即()(12,)g t∈+∞,()∞+,故)12FA FB x x+=+-=+-,()FA FB∞+∈-+.【点睛】方法点睛:圆锥曲线最值范围问题,关键在把要求最值(范围)的几何量、代数式转化为某个(些)参数的函数,然后利用函数、不等式方法进行求解.19. 设全集为U,定义域为D的函数()ny f x=是关于x的函数“函数组”,当n取U中不同的数值时可以得到不同的函数.例如:定义域为R的函数()nf x nx=,当*U=N时,有12(),()2f x x f x x==L若存在非空集合A U⊆满足当且仅当n A∈时,函数()nf x在D上存在零点,则称()nf x是A上的“跳跃函数”.(1)设,(,2]U D==-∞Z,若函数2()2xnf x n=-是A上的“跳跃函数”,求集合A;(2)设32()4(61)2,(1,)nf x nx n x x D=-++=+∞,若不存在集合A使()nf x为A上的“跳跃函数”,求所有满足条件的集合U的并集;(3)设*U=N,()nf x为A上的“跳跃函数”,(1,)D=+∞.已知11()2f xx=-,且对任意正整数n,均有1()()(1)1nn nf x f x x+=+-+.在(i )证明:{}*2,A n n k k ==∈N;(ii )求实数a 的最大值,使得对于任意n A ∈,均有()n f x 的零点n t a >. 【答案】(1){2,1,1,2}A =--(2)11,182⎛⎤⎥⎝⎦(3)(i )证明见解析;(ii )2 【解析】【分析】(1)将命题等价转化为求使得2()2xn f x n =-在(,2]-∞上有零点的全体n ,然后利用当(,2]x ∈-∞时,2x 的取值范围是(]0,4,得到(]20,4n ∈,即可得解;(2)将命题等价转化为求使得32()4(61)2n f x nx n x x =-++在(1,)+∞上没有零点的全体n ,然后通过分类讨论即可解决问题; (3)先用数学归纳法证明()1()nnx f x n x-=-+,然后将(i )等价转化为证明对*n ∈N ,()n f x 在(1,)+∞上有零点当且仅当n 是偶数,再分类讨论证明;之后,先证明()2n f x 在(1,)+∞上的零点必定大于2,再证明当2a >时,必存在正整数N 使得()2N f x 在(1,)+∞上有一个满足2N t a ≤的零点2N t ,即可解决(ii ). 【小问1详解】根据题意,所求的A 为使得2()2xn f x n =-在(,2]-∞上有零点的全体n .由于2()2x n f x n =-在(,2]-∞上有零点等价于关于x 的方程22x n =在(,2]-∞上有解,注意到当(,2]x ∈-∞时,2x 的取值范围是(]0,4,故关于x 的方程22x n =在(,2]-∞上有解当且仅当(]20,4n ∈,从而所求{}2,1,1,2A =--. 【小问2详解】根据题意,不存在集合A 使()n f x 为A 上的“跳跃函数”,当且仅当对任意的n U ∈,()n f x 在D 上都不存在零点.这表明,全体满足条件的U 的并集,就是使得()n f x 在D 上不存在零点的全体n 构成的集合.从而我们要求出全部的n ,使得32()4(61)2n f x nx n x x =-++在(1,)+∞上没有零点,即关于x 的方程。

§2.3数列收敛的条件

§2.3数列收敛的条件
华北科技学院理学院
2017年11月29日星期三
1
《数学分析》(1)
§2.3 数列极限存在的条件
一、单调有界定理 二、致密性定理 三、柯西收敛准则
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2017年11月29日星期三
2
《数学分析》(1)
§2.3 数列极限存在的条件
一、单调有界定理
定义(单调数列) 若数列{an }满足: an an1 (an an1 ), n 1,2,3,
a N , 使 a N . 故当n N时,
a N an .
从而 a n . 这就证明了 lim an .
n
同理可证有下界的递减数列必有极限.
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6
《数学分析》(1)
1 1 an 1 2 1 2 . ( 2n) 2 2 2 1 而a n a 2n, 则a n 1 . 故{a n }有界. 2 1 2017年11月29日星期三 华北科技学院理学院
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《数学分析》(1)
§2.3 数列极限存在的条件
1 1 1 1 2 n1 1 1 (1 ) (1 )(1 )(1 ). 2! n n! n n n
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《数学分析》(1)
§2.3 数列极限存在的条件
1 n an (1 ) n 1 1 1 1 2 n1 1 1 (1 ) (1 )(1 )(1 ). 2! n n! n n n 1 n 1 1 1 an1 (1 ) 1 1 (1 ) n1 2! n1 1 1 2 n1 (1 )(1 )(1 ) n! n1 n1 n1 1 1 2 n (1 )(1 )(1 ). ( n 1)! n1 n1 n1 正的 显然 an1 an , an 是单调递增的 ;
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思考与练习
1. 如何判断极限不存在? 方法1. 找一个趋于∞的子数列;
方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列.
2.
已知
x1
1,
xn1
1 2xn
(n
1, 2,
),
求 lim xn
n
时, 下述作法是否正确? 说明理由.
设 lim xn a , 由递推式两边取极限得
n
a 1 2a
M n
n N1 n
n
2
2
2
.
n
所以 lim a1 a2 an A.
n
n
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三、收敛数列的性质
1. 收敛数列的极限唯一.
证: 用反证法. 假设

且 a b.

因 lim
n
xn
a,
故存在
N1
,
使当
n
>
N1
时,
从而
xn
ab 2
同理, 因
lim
n
xn
b,
故存在 N2 ,
π
lim
n
1
1
π n2
1
同时除以分母中
n 的最高次幂
lim
n
n
n2
1
π
n2
1 2π
n2
1 nπ
1
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例7. 若
lim
n
an且
A,
则an 0,
lim n
n
a1a2
an
A.
证明:
因为
an
0,
lim
n
an
A,
所以
A 0.
(1) A= 0. 由不等式
0n
a1a2
xn
a
时,
令 N max N1 , N2, 则当 n N 时, 有
由条件 (1) a yn xn zn a

xn a
,

lim
n
xn
a
.
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例6. 证明
证: 利用夹逼定理. 由
n
n2
1
π
n2
1 2π
n2
1
n
π
n2 n2 π

lim
n
n
n2 2
使当 n > N2 时, 有
从而
xn
ab 2
矛盾取, 故Nb假2a设ma不xxn真Nba1!, 因Nbb222此aa,收则敛当数n列3a>a2的2bNb极时x限nx, nx必n3满唯ba22a足一b 的. 不等式
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2. 收敛数列一定有界.
证: 设
取 1 , 则 N , 当 n N 时, 有
,
则当
n
>
N
时,
就有
qn1 0

lim qn1 0
n
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例4.

lim
n
an
A,
则 lim n
a1 a2
n
an
A.
证明:由于
limnan NhomakorabeaA,故
0,
正整数
N1,
当n
N1
时,an
A
2
,记
M
a1 A
a2 A
aN1
A, 易知 lim M n n
0.
1. 数列极限的 “ – N ” 定义及应用
2. 收敛数列的性质: 唯一性 ; 有界性 ; 保号性; 四则运算; 任一子数列收敛于同一极限
3. 极限存在判定定理: 夹逼定理 ; 单调有界定理 ; 柯西收敛准则
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作业
习题一 11,12,14(1), 16(2), 17(2), 18,
1
2
n
:
1 2
,
1 4
,
1 8
,
,
1 2n
,
xn 趋向于某个确定的数
(1)n : 1,1, 1,1, , (1)n,
xn 不趋向于某个确定的数
y ... . . ...
O x
.. .
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定义:设数列{xn},如果通项 xn 当项数 n无限增大时, 无限趋近于某个常数 a, 则称 a 为数列 {xn}的极限。
an
a1 a2
n
an
,
由于 lim a1 a2 an A 0,
n
n
由夹逼定理有
lim n
n
a1a2
an
0
A.
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11
(2)
调和 平均数
A>0.
1
lim
n
an
A,

lim
n
1
n
1
n a1a2
an
an
, 由不等式 A
a1 a2 an , n
和 a1 a2
0, a 1.
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3. 柯西收敛准则 数列 极限存在的充要条件是:
0, 存在正整数 N , 使当 m N , n N 时,

xn xm .
或叙述为
0, 存在正整数 N , 使当 n N 时, 自然数 p,

| xn p xn | .
柯西 目录 上页 下页 返回 结束
证:
“必要性”.设
lim
n
xn
a,则
时, 有
xn a 2 , xm a 2
使当
因此
xn xm
xn a xm a
“充分性” 证明从略 .
柯西 目录 上页 下页 返回 结束
例10. 设有数列 {an},令 Tn a1 an , Sn a1 an , 若{Tn收} 敛,则 {也Sn收} 敛。
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2
R
正 6 2形n1的面积 An
A1 , A2 , A3 , , An ,
S
说明:刘徽从圆内接正六边形,逐次边数加倍到正
3072边形得到圆周率 的近似值为3.1416
割圆术就是极限思想在几何上的应用
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微积分是一门以变量为研究对象、以极限方法 作为研究工具的数学学科:
an
n
1
1

lim n 1 1
a1 a2
1 an
lim n
1 lim a1
1 a2
1 an
n
1 n an
A,
lim a1 a2 an A,
n
n
由夹逼定理有
lim n
n
a1a2
an
A.
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2. 单调有界数列必有极限
lim
n
xn
a
(M
)
a
lim
n
xn
b
(m)
0
有关, 但不唯一.
就有 xn
也可由
0 xn
,
0
1 (n1)2
不一定取最小的 N .

N
1
1
2.
利用不等式的放缩故.也可取
N
[
1
]
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例3. 设 q 1 , 证明等比数列
的极限为0 .
证: xn 0
欲使
只要

亦即 n 1 ln .
ln q
因此
,

N
1
ln
ln q
证: 设数列
是数列 的任一子数列 .

则 0, N ,当
时, 有
现取正整数 K , 使
于是当 k K 时, 有
nk N
xN
*********************
N
从而有
xnk a
,
由此证明
lim
k
xnk
a.
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说明: 由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极 限 , 则原数列一定发散 .
A 1 A , 1 A

A2 A 1 0,
解得
A 1 2
5,
根据收敛数列的保号性的推论,可知A非负,
所以
lim
n
an
1 2
5
.
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例9.
求证
lim
n
nk an
0, a
1, k 为正整数。
证明

xn
nk an
,
于是
xn1
1 n 1k
1 1
1 k
n
xn a n a n

xn (1)n1 趋势不定
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数学定义:若数列 及常数 a 有下列关系 :
当 n > N 时, 总有
则称该数列 的极限为 a , 记作
lim
n
xn
a
或 xn a (n )
几何解释 :
(
a xN 1
)
xN2 a
a xn a
(n N)
即xn U ( a , )
a 1
不对! 此处 lim xn
n
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备用题
1.设
xn1
1 2
( xn
a xn
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