专题05 不等式与线性规划(讲学案) 2018年高考文数二轮复习精品资料 Word版 含解析

与区域有关的面积、距离、参数范围问题及线性规划问题；利用基本不等式求函数最值、运用不等式性质求参数范围、证明不等式是高考热点．备考时，应切实文解与线性规划有关的概念，要熟练掌握基本不等式求最值的方法，特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧方法．要特别加强综合能力的培养，提升运用不等式性质分析、解决问题的能力．1．(1)若ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根x 1和x 2(x 1<x 2)ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解为{x |x >x 2，或x <x 1}， ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解为{x |x 1<x <x 2}；(2)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(3)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.2．(1)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；(2)a 2＋b 22≥a ＋b2≥ab ≥2aba ＋b(a >0，b >0)； (3)不等关系的倒数性质⎩⎪⎨⎪⎧a >b ab >0⇒1a <1b；(4)真分数的变化性质 若0<n <m ，c >0，则n m <n ＋cm ＋c； (5)形如y ＝ax ＋b x(a >0，b >0)，x ∈(0，＋∞)取最小值时，ax ＝b x⇒x ＝ba，即“对号函数”单调变化的分界点；(6)a >0，b >0，若a ＋b ＝P ，当且仅当a ＝b 时，ab 的最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫P 22；若ab ＝S ，当且仅当a ＝b 时，a ＋b的最小值为2S .3．不等式y >kx ＋b 表示直线y ＝kx ＋b 上方的区域；y <kx ＋b 表示直线y ＝kx ＋b 下方的区域．考点一不等式性质及解不等式例1、(1)已知实数x，y满足a x<a y(0<a<1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x2＋1＞1y2＋1B．ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)C．sin x＞sin y D．x3＞y3【答案】D【解析】根据指数函数的性质得x＞y，此时x2，y2的大小不确定，故选项A、B中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质知，选项C中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D中的不等式恒成立．(2)若对任意的x，y∈R，不等式x2＋y2＋xy≥3(x＋y－a)恒成立，则实数a的取值范围为( )A．(－∞，1] B．[1，＋∞)C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1]【答案】B【方法规律】1．解一元二次不等式主要有两种方法：图象法和因式分解法．2．解含参数的“一元二次不等式”时，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行讨论；其次根据相应一元二次方程的根是否存在，即Δ的符号进行讨论；最后在根存在时，根据根的大小进行讨论．3．解决恒成立问题可以利用分离参数法，一定要弄清楚谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数．4．对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．5．解决不等式在给定区间上的恒成立问题，可先求出相应函数这个区间上的最值，再转化为与最值有关的不等式问题．【变式探究】已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)＞x的解集用区间表示为________．【答案】(－5,0)∪(5，＋∞)【解析】通解：先求出函数f(x)在R上的解析式，然后分段求解不等式f(x)>x，即得不等式的解集．设x<0，则－x>0，于是f(－x)＝(－x)2－4(－x)＝x2＋4x，由于f(x)是R上的奇函数，所以－f(x)＝x 2＋4x ，即f (x )＝－x 2－4x ，且f (0)＝0，于是f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0.当x >0时，由x 2－4x >x 得x >5；看出当f (x )>x 时，x ∈(5，＋∞)及(－5,0)．考点二 基本不等式及应用例2、【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是 ▲ .【答案】30【解析】总费用600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立. 【变式探究】(1)设a ＞0，b ＞0.若关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋y ＝1，x ＋by ＝1无解，则a ＋b 的取值范围是________．【答案】(2，＋∞)【解析】通解：依题意，由ax ＋y ＝1得y ＝1－ax ，代入x ＋by ＝1得x ＋b (1－ax )＝1，即(1－ab )x ＝1－b .由原方程组无解得，关于x 的方程(1－ab )x ＝1－b 无解，因此1－ab ＝0且1－b ≠0，即ab ＝1且b ≠1.又a ＞0，b ＞0，a ≠b ，ab ＝1，因此a ＋b ＞2ab ＝2，即a ＋b 的取值范围是(2，＋∞)．优解：由题意，关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋y ＝1，x ＋by ＝1无解，则直线ax ＋y ＝1与x ＋by ＝1平行且不重合，从而可得ab ＝1，且a ≠b .又a ＞0，b ＞0，故a ＋b ＞2ab ＝2，即a ＋b 的取值范围是(2，＋∞)． (2)若直线x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5【答案】C【解析】通解：因为直线x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，所以1a ＋1b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋ba ≥2＋2a b ·ba＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取“＝”，故选C. 优解：如图a ，b 分别是直线x a ＋y b＝1在x ，y 轴上的截距，A (a,0)，B (0，b )，当a →1时，b →＋∞，当b →1时，a →＋∞，只有点(1,1)为AB 的中点时，a ＋b 最小，此时a ＝2，b＝2，∴a ＋b ＝4.【方法技巧】1．常数代换法求最值的关键在于常数的变形，利用此方法求最值应注意以下三个方面：(1)注意条件的灵活变形，确定或分离出常数，这是解题的基础；(2)将常数化成“1”，这是代数式等价变形的基础；(3)利用基本不等式求解最值时要满足“一正、二定、三相等”，否则容易出现错解．2．拼凑法就是将代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．此方法适用于已知关于变量的等式，求解相关代数式的最值问题，或已知函数解析式，求函数的最值问题．【变式探究】已知函数f (x )＝x ＋a x＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞) ，则a 的值是( ) A.12 B.32 C ．1D ．2考点三 求线性规划中线性目标函数的最值例3、【2017山东，文3】已知x ,y 满足约束条件250302x y x y -+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则z =x +2y 的最大值是A.-3B.-1C.1D.3 【答案】D【解析】画出约束条件250{302x y x y -+≤+≥≤表示的可行域,如图中阴影部分所示，平移直线20x y +=,可知当其经过直线250x y -+=与2y =的交点()1,2-时, 2z x y =+取得最大值，为max 1223z =-+⨯=,故选D.【变式探究】(1)(2016·高考全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．【答案】216 000(2)(2016·高考全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________．【答案】－5【解析】通解：作出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝x －2y 得y ＝12x －12z ，作直线y ＝12x 并平移，观【方法技巧】求目标函数的最值的方法 1．几何意义法 (1)常见的目标函数①截距型：形如z ＝ax ＋by ，求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为y ＝－ab x ＋z b，通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值．②距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，设动点P (x ，y )，定点M (a ，b )，则z ＝|PM |2. ③斜率型：形如z ＝y －bx －a，设动点P (x ，y )，定点M (a ，b )，则z ＝k PM . (2)目标函数z ＝xy 的几何意义①由已知得y ＝z x ，故可理解为反比例函数y ＝z x的图象，最值需根据该函数图象与可行域有公共点时进行判断．②设P (x ，y )，则|xy |表示以线段OP (O 为坐标原点)为对角线的矩形面积． 2．界点定值法，利用可行域所对应图形的边界顶点求最值．【变式探究】设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3【解析】通解：选B.二元一次不等式组表示的平面区域如图所示，其中A ⎝⎛⎭⎪⎫a －12，a ＋12.平移直线x ＋ay ＝0，可知在点A ⎝⎛⎭⎪⎫a －12，a ＋12处，z 取得最小值，1.【2017课标1，文7】设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数z x y =+经过()3,0A 时z 取得最大值，故max 303z =+=，故选D ．2.【2017课标II ，文7】设,x y 满足约束条件2+330233030x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩,则2z x y =+的最小值是A.15-B.9-C.1 D 9 【答案】A3.【2017课标3，文5】设x ，y 满足约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则z x y =-的取值范围是（ ）A．[–3,0] B．[–3,2] C．[0,2] D．[0,3] 【答案】B【解析】作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示.4.【2017北京，文4】若,x y满足3,2,,xx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y+的最大值为（A）1 （B）3 （C）5 （D）9 【答案】D【解析】如图，画出可行域，2z x y=+表示斜率为12-的一组平行线，当2z x y=+过点()3,3C时，目标函数取得最大值max 3239z =+⨯=，故选D.5.【2017山东，文3】已知x ,y 满足约束条件250302x y x y -+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则z =x +2y 的最大值是A.-3B.-1C.1D.3 【答案】D6.【2017浙江，4】若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y x z 2+=的取值范围是A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，)∞+D ．[4，)∞+【答案】D【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点(2,1)时取最小值4，无最大值，选D ．。