简单的三角恒等变换[共41张]
简单的三角恒等变换
一、学习目标： 1.知识与技能：
掌握半角公式的正用、逆用和变形应用，并会应用其 进行求值、化简和证明； 2.过程与方法：
小组合作探究、大胆质疑拓展，类比归纳 ； 3.情感态度价值观： 协作精神及合作共赢的意识，激发学习的热情和兴趣。 二、重点、难点：
重点：半角的正弦、余弦、正切公式以及公式的逆用、 变形应用；
难点：半角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系 式、诱导公式、和角公式、倍角公式的综合应用 。
知识回顾:
两角和的正弦 1：sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sinβ
两角差的正弦 2：sin(α -β )=sinα cosβ -cosα sinβ
3：倍角公式 sin2α ＝2sinα cosα cos2α ＝cos2α －sin2α
tan sin 1 cos 2 1 cos sin
注意：每一个确定的半角的三角函数值唯一 确定。应根据角的象限定符号！
2
2
2
tan2 1 cos . 2 1 cos
半角公式：
sin2 1 cos
2
2
cos2 1 cos
2
2
tan2 1 cos
2 1 cos
sin 1 cos
2
2
cos
2
1 cos
2
tan 1 cos 2 1 cos
＝2cos2α －1 ＝1－2sin2α ；
设疑自探 问题1：由二倍角
的公式求出 sin2 , cos2 ,
问题2： 试用cos表示sin 2 , cos2 , tan2 .
三角恒等变换所有公式及推论
三角恒等变换所有公式及推论
三角恒等变换是一种可以将任意三角形变换成其他三角形的变换，它可以用来表示某一几
何图形变换为另一几何图形的变换性质，并提供一种明确的、可以用数学语言描述的基本变换方式。
它适用于三角形在由不同点i，j，k采分的空间和时间中的出现，即它可以使
三角形的空间或时间结构：T（i，j，k）变为T'（i',j',k'）。
三角恒等变换的数学公式如下：
T'（i',j',k'）=T（i，j，k）=M（i,j,k）
其中M（i，j，k）为矩阵公式，其包含有三个主要参数，分别为它的长边尺寸a，它的高δ，以及它的顶点坐标x, y, z。
在实际应用时，三角恒等变换可以用来比较两个不同形状或位置的三角形之间的变换关系。
该变换可以用来求解某一复杂形状的旋转平移问题，或者利用该变换操作，可以更加有效地实现几何图形之间的转换。
三角恒等变换还可以用于把三个一般性三角形变换为具有更高几何结构性质的三角形，可
以实现几何图形的对称变换，也可以实现几个三角形按照一定的排布方式发生平移或旋转变换。
总而言之，三角恒等变换可以方便地使任意三角形变换到其他三角形，可以实现几何图形之间的变换，可以实现三角形的对称变换，以及三角形的平移和旋转变换，因此，具有重
要的应用价值。
简单的三角恒等变换(共41张)
＝cos
2θ·sin22θ－cθo s22θ＝－cos
θ 2·cos θ θ .
cos2
cos2
∵0<θ<π，∴0<2θ<π2，∴cos 2θ>0，∴原式＝－cos θ.
答案：－cos θ
考向二 三角函数求值[互动讲练型] [例 2] 已知函数 f(x)＝Asinx＋π4，x∈R，且 f51π2＝32. (1)求 A 的值； (2)若 f(θ)＋f(－θ)＝32，θ∈0，π2，求 f34π－θ.
[解析] (1)∵f(x)＝Asinx＋π4，且 f51π2＝32，
∴Asin51π2＋π4＝32，∴A＝ 3.
(2)∵f(x)＝ 3sinx＋π4，且 f(θ)＋f(－θ)＝32，
∴f(θ)＋f(－θ)＝ 3sinθ＋π4＋ 3sin－θ＋π4 ＝ 3×2cos θsin π4＝ 6cos θ＝32.
—[通·一类]—
3．(2017·湖北省教学合作联考)已知 tanα＋π4＝12，且－π2
<α<0，则2sicno2sα＋α－siπ4n2α＝(
)
A．－2 5 5
B．－3105
C．－3 1010
25 D. 5
解析：因为 tanα＋π4＝1ta－n αta＋n α1＝12，所以 tan α＝－13，因为
2．利用三角函数值求角要考虑角的范围． 3．与三角函数的图象与性质相结合的综合问题．借助三角 恒等变换将已知条件中的函数解析式整理为 f(x)＝Asin(ωx＋φ) 的形式，然后借助三角函数图象解决．
[失误与防范] 1.利用辅助角公式，asin x＋bcos x 转化时一定要严格对照和 差公式，防止搞错辅助角． 2．计算形如 y＝sin(ωx＋φ)，x∈[a，b]形式的函数最值时， 不要将 ωx＋φ 的范围和 x 的范围混淆．
三角恒等变换
三角恒等变换三角恒等变换是指一系列等效的三角函数表达式之间的变换关系。
这些变换关系对于解决三角函数的各种问题非常有用。
本文将介绍三角恒等变换的基本概念、常见的恒等变换公式以及应用案例。
一、三角恒等变换的基本概念三角恒等变换是指将一个三角函数的表达式通过等效变换转化为另一个等价的表达式的过程。
三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等。
恒等变换意味着两个表达式在任何实数取值范围内都成立，即两个表达式所代表的函数图像完全一致。
二、常见的三角恒等变换公式1. 余弦函数的恒等变换：- 余弦函数的平方与正弦函数平方的关系：cos^2θ + sin^2θ = 1。
- 余弦函数的两倍角公式：cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ。
- 余弦函数的和差公式：cos(α ± β) = cosαcosβ - sinαsinβ。
2. 正弦函数的恒等变换：- 正弦函数的平方与余弦函数平方的关系：sin^2θ + cos^2θ = 1。
- 正弦函数的两倍角公式：sin(2θ) = 2sinθcosθ。
- 正弦函数的和差公式：sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ。
3. 正切函数的恒等变换：- 正切函数的平方与余切函数平方的关系：tan^2θ + 1 = sec^2θ。
- 正切函数的两倍角公式：tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan^2θ)。
- 正切函数的和差公式：tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanαtanβ)。
4. 余切函数的恒等变换：- 余切函数的平方与正切函数平方的关系：cot^2θ + 1 = cosec^2θ。
- 余切函数的两倍角公式：c ot(2θ) = (cot^2θ - 1) / 2cotθ。
- 余切函数的和差公式：cot(α ± β) = (cotαcotβ ± 1) / (cotβ ± cotα)。
5．5.2简单的三角恒等变换(共44张PPT)
【(2解)求】f(x)f在(x)π6＝，(－23πc上os的x)·单(－调s递in 增x)－区间3．·1＋c2os
2x＋
3 2
＝12sin
2x－
3 2 cos
2x＝sin2x－π3.
(1)f(x)的最小正周期为 π，最大值为 1.
(2)令 2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2(k∈Z)， 即 kπ－1π2≤x≤kπ＋152π(k∈Z)，所以 f(x)在π6，51π2上单调递增，即 f(x)在 π6，23π上的单调递增区间是π6，51π2.
A．
6 3
B．－
6 3
C．±
6 3
D．±
3 3
答案：A
()
3．已知 cos α＝45，α∈32π，2π，则 sin α2等于
()
A．－
10 10
B．
10 10
C．3103
D．－35
答案：B
4．已知 cos θ＝－35，且 180°＜θ＜270°，则 tan θ2＝________．
答案：－2
探究点 1 应用半角公式求值
(2)因为 0≤x≤23π， 所以π3≤x＋π3≤π. 当 x＋π3＝π， 即 x＝23π时，f(x)取得最小值． 所以 f(x)在区间0，23π上的最小值为 f23π＝－ 3.
1．若 sin(π－α)＝－ 35且 α∈π，32π，则 sinπ2＋α2等于
A．－
6 3
B．－
6 6
C．
6 6
D．
6 3
4．化简：
1＋cos（23π－θ）32π<θ<2π＝________．
解析：原式＝
1－cos 2
θ＝sinθ2，
因为32π<θ<2π，所以34π<θ2<π，
三角恒等变形图文
交流电路
在交流电路中，三角函数用于描 述电压、电流等物理量的周期性
变化。
三角函数在工程学中应用
建筑设计
01
三角函数用于计算建筑物的角度、高度和距离等参数，以确保
设计的准确性和稳定性。
航空航天
02
在航空航天领域，三角函数用于描述飞行器的轨迹、速度和姿
态等运动特性。
测绘学
03
在测绘学中，三角函数用于进行地图投影、坐标转换和距离测
三角恒等变形图文
目 录
• 三角恒等式基本概念 • 三角恒等变形方法 • 图形化理解三角恒等变形 • 典型例题分析与解答 • 实际应用场景探讨 • 总结回顾与拓展延伸
01 三角恒等式基本概念
定义与性质
三角恒等式是指在三角函数中，无论角度如何变化，等式两边始终保持相等的数学 表达式。
三角恒等式具有普遍性、必然性和稳定性，是三角函数的重要基础。
03 图形化理解三角恒等变形
单位圆与三角函数关系
1 2
单位圆定义
平面直角坐标系中，以原点为圆心，半径为1的 圆。
三角函数与单位圆关系
正弦、余弦、正切等三角函数值可通过单位圆上 点的坐标来表示。
3
诱导公式推导
利用单位圆对称性，可推导出三角函数的诱导公 式。
三角函数图像变换规律
振幅变换
通过改变三角函数前的系数，可实现 图像在y轴方向上的拉伸或压缩。
三角恒等式的变形包括和差化积、积化和差、倍角公式、半角公式等，这些变形在 三角函数的计算、化简和证明中具有重要作用。
常见三角恒等式
基本三角恒等式
sin^2(x) + cos^2(x) = 1， tan(x) = sin(x)/cos(x)等。
简单的三角恒等变换 PPT
基础梳理
1、用于三角恒等变换的公式主要有： (1)__同__角__三__角__函__数__的__基__本__关__系__式____，运用它们可实 现弦函数之间、弦函数与切函数之间的互化，其主 要功能是变名； (2)__诱__导__公__式，运用它们可实现与一个锐角有关的不 同角之间的转化，其主要功能是变角； (3)_和__差__角__公__式__和__倍__角__公__式__，它们是三角恒等变换 的主力军，主要功能也是变角．
= 1
13 14
2
33 14
由b=a-(a-b)得：
cos b=cos[a-(a-b)]
=cos acos(a-b)+sin asin(a-b)
=´17
+ ´ = 1 3 4 3 3 3
14
7 14
1 2
∵0＜b＜
2
，∴b=
. 3
题型三 三角函数式的证明
【例3】 是(1+tan
已知A、B为锐角，求证：A+B= A)×(1+tan B)=2.
知识准备：1. 运用cos 2x=1-2sin2x，即2sin2x=1-cos 2x；
Байду номын сангаас
2. 掌握asin x+bcos x=sin(x+F)(其中tan F=
)；
3. 正弦型函数y=Asin(wx+F)+h(2010·湖南改编a)2 b2
已知f(x)=sin 2x-2sin2x，求f(x)的最小正周期．
2
2
sin a=± 1 ，∴sin a= 1 是cos 2a=1 的充分不必要条件．
2
2
2
三角恒等变换公式大全
三角恒等变换公式大全三角函数是数学中的重要概念，它在几何、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
而三角恒等变换公式则是三角函数中的重要内容之一，它们可以帮助我们简化复杂的三角函数表达式，从而更方便地进行计算和推导。
本文将为大家详细介绍三角恒等变换公式的相关知识，并列举一些常用的三角恒等变换公式，希望对大家的学习和工作有所帮助。
首先，我们来了解一下什么是三角恒等变换公式。
三角恒等变换公式是指在三角函数中，存在一些等式关系，通过这些等式关系，我们可以将某个三角函数表达式变换成另一个等价的三角函数表达式。
这些等式关系通常是由三角函数的定义和性质推导出来的，它们可以帮助我们简化三角函数的计算和推导过程。
接下来，我们将介绍一些常用的三角恒等变换公式。
首先是正弦函数和余弦函数的恒等变换公式：\[。
\sin^2 x + \cos^2 x = 1。
\]这个公式被称为三角恒等式的基本恒等式，它是由正弦函数和余弦函数的定义推导出来的。
通过这个公式，我们可以将一个三角函数表达式中的正弦函数或余弦函数用另一个三角函数来表示，从而简化计算。
除了基本恒等式外，还有一些常用的三角恒等变换公式，如双角和半角公式、和差化积公式等。
这些公式在三角函数的计算和推导中都有着重要的应用，它们可以帮助我们解决一些复杂的三角函数表达式，加快计算速度，提高工作效率。
另外，三角恒等变换公式还可以帮助我们简化一些三角函数的积分和微分运算。
通过恒等变换，我们可以将一些复杂的三角函数积分或微分转化成更简单的形式，从而更方便地进行计算。
这对于一些需要频繁进行三角函数积分和微分运算的工程和科学问题来说，具有非常重要的意义。
总之，三角恒等变换公式是三角函数中的重要内容，它们可以帮助我们简化复杂的三角函数表达式，加快计算速度，提高工作效率。
通过学习和掌握三角恒等变换公式，我们可以更加轻松地解决一些三角函数相关的问题，为我们的工作和学习带来便利。
希望本文介绍的内容对大家有所帮助，也希望大家能够深入学习和应用三角恒等变换公式，发挥它们在实际问题中的作用。
简单的三角恒等变换
1 sin2 xcox2 x 1
(1 sin x cos x)
2(1 sin x cos x) 2
1 sin 2x 1
4
2
f ( x ) 的最小正周期为π，最大值为 3 ，最小值为 1 。
4
4
3.设 (0, ), ( , ),且cos 1 ,
2
2
3
sin( ) 7 则sin ( )
3
1 sin 2 3 1 cos 2 通过三角变换把
2
6
形如
1 3
3 2
sin
2
1 2
cos
2
3 6
y=asinx+bcosx的 函数转化为形如 y=Asin(+)的
1 3
sin
2
6
3 6
函数,从而使问题 得到简化
由于0 ,所以当 2 ,
3
62
即
时,
6
S最大
13
3 6
2
2sin sin 2sin cos .
2
2
解 (1) sin(+) ＝ sincos+cossin
sin(-) ＝ sincos-cossin
两式相加,得
sin(+) + sin(-) ＝ 2sincos
sin
cos
1 2
sin
sin
(2) 由(1)可得 sin(+) + sin(-) ＝ 2sincos ①
例1 试用cos表示sin 2 , cos2 , tan2 .
2
2
2
解 是 的二倍角
2
在公式cos 2 1 2sin2 中,以代替2,以 代替,