推荐-11材料力学能量法 精品
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第八章 能量方法
§8－1 概 述 §8－2 应变能 ·余能 §8－3 卡氏定理 §8－4 用能量法解超静定系统 §8－5 虚位移原理及单位力法
§8－1 概 述
一、外力功 弹性体在外力作用下产生变形的过程中，荷载将在相 应的位移上做功，称其为外力功 W.
二、变形能 弹性体在外力作用下产生变形的过程中，弹性体的内
U
W
1 2
F1 Δ1
1 2
F2 Δ2
有 n 个广义力同时作用时
U
W
1 2
F1 Δ1
1 2
F2 Δ2
1 2
Fn Δn
n i1
1 2
Fi
Δ
i
(i 1,2,,n)
Fi 为广义力，Di 为Fi 的作用点沿Fi 方向的广义位移，它
是由所有广义力共同产生的。
3. 组合变形（用内力形式表示的应变能） 小变形时不计FS 产生的应变能，
§8－2 应变能 ·余能
Ⅰ 应变能 (变形能）
一、 线弹性体 1. 基本变形形式 (a) 轴向拉（压）杆
外力功 W 1 FDl 1 F Fl N 2l EA Dl 2
2
2 EA 2EA 2l
利用应变能 U 在数值上等于外力功W，可得
U W 1 FDl 1 F Fl N 2l EA Dl 2
2
2 EA 2EA 2l
应变能密度 u
u U N 2l 2 1
V 2EAAl 2E 2
O
(b) 扭转
U
wenku.baidu.com
W
1 2
M e
M e2l 2GIp
M
2 n
l
2GIp
GIp 2l
2
(c) 弯曲
纯弯曲
U
W
1 2
M e
又 l Ml M el EI EI
U
W
1 2
M
e
M e2l 2EI
M 2l 2EI
M
2 n
(
x)
d
x
M
2(x) d
x
2EA
2GIp
2EI
杆的应变能为
U dU
N 2(x) d x
M
2 n
(
x)
d
x
M 2(x) d x
l
l 2EA
l 2GIp
l 2EI
4. 应变能的特点: (a) 由于应变能是外力（内力）或位移的二次关系，所以产 生同一种基本变形形式的一组外力在杆内产生的应变能，不等 于各力单独作用时产生的应变能之和。
N (x) — 只产生轴向线位移 d Δ
Mn(x) — 只产生扭转角 d M(x) — 只产生弯曲转角 d
对于dx 微段， N(x) , Mn(x) , M(x) 均为外力。略去高阶微量后， dx段的应变能为
dU
dW
1 2
N ( x) d
Δ
1 2
Mn (x) d
1 2
M (x)d
N 2(x) d
x
F2
F1
U (F1)
U(F2)
Me
U(Me)
(c) 应变能的大小与加载顺序无关（能量守恒）
Me A
,
F
A
EI
C yC
l/2
l/2
F 和Me 同时作用在梁上， B 并按同一比例由零逐渐增加到
最终值——简单加载。
(a)
在线性弹性范围时，力和位移成正比，位移将按和力相
同的比例，由零逐渐增加到最终值。
上图中
y N1 45o 30o N2
A
x
F
1
45o
30o
2
Dl2 ADl1
DAy
A'
(b)
(c)
若用解析法求解时，必须利用图c列出变形的几何关系，计
算比较麻烦，用能量法求就很简单。
能量法的应用很广，也是有限元法求解固体力学问题的重 要基础。有专门著作，例如胡海昌著《弹性力学的变分原理及 应用》。本章仅研究能量法中常用的一些原理和应用。
y Fl 3 M el 2 C 48EI 16 EI
A
Fl 2 16 EI
M el 3EI
U
1 2
F
y C
1 2
Me A
F 2l3 96EI
M e2l 6EI
FMel 2 16EI
先加F, 再加Me (图 b，c)
F
A
A,F
EI
B
C
,
l/2
yC,F
l/2
Fl3 y
C,F 48 EI
U
1 2
Fy C ,F
1. 轴向拉伸与压缩
应变能为
U W Δ1 F d Δ 0
（8－1）
（F－D 曲线和D轴之间的面积）
应变能密度为
ε1
u d
0
（8－2）
（－ 曲线和 轴之间的面积）
部所储存的能量，称为变形能 U. 也称为应变能。
三、功能原理 若施加的为静荷载，则储存在弹性体内的变形能，在 数值上应等于外力所做的功，即
U =W
四、能量法 利用功能原理求解变形固体的位移、变形和内力等问题 的方法统称为能量法。
例如，图中AB和AC杆的直径分别是d1=12 mm,d2=15 mm， 弹性模量均为E = 210 GPa。试求A点在铅垂方向的位移。
例
EA F2
a
b
而
EA
a
b
F1
U F12b (F1 F2 )2 a
2EA 2EA
F1
EA F2
a
b
U1
F12 (a b) 2EA
U2
F22 a 2 EA
U U1 U2
(b) 小变形时，产生不同变形形式的一组外力在杆内产生的应变 能等于各力单独作用时产生的应变能之和。
Me F2 F1
U U (F1) U (F2 ) U (M e )
对力偶等。D为广义位移，可以代表一个线位移,一个角位移,
一对线位移或一对角位移等。
2. 构件上有一组广义力共同作用
例
y
Fl 3
M
el
2
（
）
C 48EI 16 EI
Me A
F
A
EI
C yC
B
, l/2
l/2
A
Fl 2 16 EI
M el（ 3EI
）
U
W
1 2
F
y C
1 2
Me A
令F=F1 ,yC=D1 ,Me=F2 , A= D2 ,则
1 2
Me
A,Me
Fy C ,Me
1 2
F
Fl 3 48 EI
1 2
Me
M el 3EI
Me
A
,
A,Me
Mel 3EI
l/2
(b)
F
EI c yC,F
y Me l2 C ,Me 16 EI l/2
(c)
F Mel2 16 EI
B
F 2l 3 M e2l FM el 2
96 EI 6EI 16 EI
EI 2
2l
横力弯曲
A
P
l
弯矩 M 随横截面位置变化而变化
dx 微段的微变形能dU
(忽略剪力的变形能）
dU M 2(x) d x 2EI
整个杆长 l 上的变形能
U l M 2 (x) d x
0 2EI
综合以上， 可以把应变能统一写成
U W 1 FΔ 2
式中，F 为广义力，可以代表一个力,一个力偶,一对力或一
式C点中处，的F 挠yC度,Me 上为作力功F在，由所M以e产无生1的
2
系数 。
还可以先加Me ，再加F，得到的应变能 U 和以上的值相同。
(2) 非线性弹性体
因为是弹性体，所以应变能在数值上仍等于外力功，即
U W，但必须注意 F D 以及 的非线性关系，不能再
用线弹性体的公式计算外力功。
§8－1 概 述 §8－2 应变能 ·余能 §8－3 卡氏定理 §8－4 用能量法解超静定系统 §8－5 虚位移原理及单位力法
§8－1 概 述
一、外力功 弹性体在外力作用下产生变形的过程中，荷载将在相 应的位移上做功，称其为外力功 W.
二、变形能 弹性体在外力作用下产生变形的过程中，弹性体的内
U
W
1 2
F1 Δ1
1 2
F2 Δ2
有 n 个广义力同时作用时
U
W
1 2
F1 Δ1
1 2
F2 Δ2
1 2
Fn Δn
n i1
1 2
Fi
Δ
i
(i 1,2,,n)
Fi 为广义力，Di 为Fi 的作用点沿Fi 方向的广义位移，它
是由所有广义力共同产生的。
3. 组合变形（用内力形式表示的应变能） 小变形时不计FS 产生的应变能，
§8－2 应变能 ·余能
Ⅰ 应变能 (变形能）
一、 线弹性体 1. 基本变形形式 (a) 轴向拉（压）杆
外力功 W 1 FDl 1 F Fl N 2l EA Dl 2
2
2 EA 2EA 2l
利用应变能 U 在数值上等于外力功W，可得
U W 1 FDl 1 F Fl N 2l EA Dl 2
2
2 EA 2EA 2l
应变能密度 u
u U N 2l 2 1
V 2EAAl 2E 2
O
(b) 扭转
U
wenku.baidu.com
W
1 2
M e
M e2l 2GIp
M
2 n
l
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2
(c) 弯曲
纯弯曲
U
W
1 2
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又 l Ml M el EI EI
U
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M
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M 2l 2EI
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x)
d
x
M
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x
2EA
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2EI
杆的应变能为
U dU
N 2(x) d x
M
2 n
(
x)
d
x
M 2(x) d x
l
l 2EA
l 2GIp
l 2EI
4. 应变能的特点: (a) 由于应变能是外力（内力）或位移的二次关系，所以产 生同一种基本变形形式的一组外力在杆内产生的应变能，不等 于各力单独作用时产生的应变能之和。
N (x) — 只产生轴向线位移 d Δ
Mn(x) — 只产生扭转角 d M(x) — 只产生弯曲转角 d
对于dx 微段， N(x) , Mn(x) , M(x) 均为外力。略去高阶微量后， dx段的应变能为
dU
dW
1 2
N ( x) d
Δ
1 2
Mn (x) d
1 2
M (x)d
N 2(x) d
x
F2
F1
U (F1)
U(F2)
Me
U(Me)
(c) 应变能的大小与加载顺序无关（能量守恒）
Me A
,
F
A
EI
C yC
l/2
l/2
F 和Me 同时作用在梁上， B 并按同一比例由零逐渐增加到
最终值——简单加载。
(a)
在线性弹性范围时，力和位移成正比，位移将按和力相
同的比例，由零逐渐增加到最终值。
上图中
y N1 45o 30o N2
A
x
F
1
45o
30o
2
Dl2 ADl1
DAy
A'
(b)
(c)
若用解析法求解时，必须利用图c列出变形的几何关系，计
算比较麻烦，用能量法求就很简单。
能量法的应用很广，也是有限元法求解固体力学问题的重 要基础。有专门著作，例如胡海昌著《弹性力学的变分原理及 应用》。本章仅研究能量法中常用的一些原理和应用。
y Fl 3 M el 2 C 48EI 16 EI
A
Fl 2 16 EI
M el 3EI
U
1 2
F
y C
1 2
Me A
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M e2l 6EI
FMel 2 16EI
先加F, 再加Me (图 b，c)
F
A
A,F
EI
B
C
,
l/2
yC,F
l/2
Fl3 y
C,F 48 EI
U
1 2
Fy C ,F
1. 轴向拉伸与压缩
应变能为
U W Δ1 F d Δ 0
（8－1）
（F－D 曲线和D轴之间的面积）
应变能密度为
ε1
u d
0
（8－2）
（－ 曲线和 轴之间的面积）
部所储存的能量，称为变形能 U. 也称为应变能。
三、功能原理 若施加的为静荷载，则储存在弹性体内的变形能，在 数值上应等于外力所做的功，即
U =W
四、能量法 利用功能原理求解变形固体的位移、变形和内力等问题 的方法统称为能量法。
例如，图中AB和AC杆的直径分别是d1=12 mm,d2=15 mm， 弹性模量均为E = 210 GPa。试求A点在铅垂方向的位移。
例
EA F2
a
b
而
EA
a
b
F1
U F12b (F1 F2 )2 a
2EA 2EA
F1
EA F2
a
b
U1
F12 (a b) 2EA
U2
F22 a 2 EA
U U1 U2
(b) 小变形时，产生不同变形形式的一组外力在杆内产生的应变 能等于各力单独作用时产生的应变能之和。
Me F2 F1
U U (F1) U (F2 ) U (M e )
对力偶等。D为广义位移，可以代表一个线位移,一个角位移,
一对线位移或一对角位移等。
2. 构件上有一组广义力共同作用
例
y
Fl 3
M
el
2
（
）
C 48EI 16 EI
Me A
F
A
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C yC
B
, l/2
l/2
A
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）
U
W
1 2
F
y C
1 2
Me A
令F=F1 ,yC=D1 ,Me=F2 , A= D2 ,则
1 2
Me
A,Me
Fy C ,Me
1 2
F
Fl 3 48 EI
1 2
Me
M el 3EI
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A
,
A,Me
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l/2
(b)
F
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y Me l2 C ,Me 16 EI l/2
(c)
F Mel2 16 EI
B
F 2l 3 M e2l FM el 2
96 EI 6EI 16 EI
EI 2
2l
横力弯曲
A
P
l
弯矩 M 随横截面位置变化而变化
dx 微段的微变形能dU
(忽略剪力的变形能）
dU M 2(x) d x 2EI
整个杆长 l 上的变形能
U l M 2 (x) d x
0 2EI
综合以上， 可以把应变能统一写成
U W 1 FΔ 2
式中，F 为广义力，可以代表一个力,一个力偶,一对力或一
式C点中处，的F 挠yC度,Me 上为作力功F在，由所M以e产无生1的
2
系数 。
还可以先加Me ，再加F，得到的应变能 U 和以上的值相同。
(2) 非线性弹性体
因为是弹性体，所以应变能在数值上仍等于外力功，即
U W，但必须注意 F D 以及 的非线性关系，不能再
用线弹性体的公式计算外力功。