推荐-11材料力学能量法 精品
材料力学能量法
限制条件：不适 用于求解动力学 问题如振动、冲 击等
适用范围：适用 于求解线性问题 如弹性、塑性等
限制条件：不适 用于求解非线性 问题如塑性、蠕 变等
材料力学能量法的发展趋势和未来 展望
材料力学能量法的发展趋势
计算方法：发展高效、准确 的数值计算方法
应用领域：拓展应用领域如 航空航天、生物医学等
柱的压缩问题
问题描述：柱在轴向 压力作用下的压缩问 题
应用实例：桥梁、建 筑等结构中的柱在受 压时的变形和破坏
能量法分析：利用能 量法分析柱的受压变 形和破坏过程
结论：能量法在柱的 压缩问题中的应用可 以有效地预测柱的变 形和破坏情况为工程 设计提供依据。
弹性体的振动问题
添加 标题
弹性体振动问题的背景：在工程中弹性体的振动问题非常常见如桥梁、建筑物、机械设备等。
定义和原理
材料力学能量法： 一种研究材料力学 问题的方法通过分 析能量变化来求解 问题。
基本概念：能量、 应力、应变、位移 等。
原理：根据能量守 恒定律材料的变形 和破坏过程中能量 会发生变化通过分 析这些变化可以求 解问题。
应用：广泛应用于 结构分析、优化设 计等领域。
能量法的应用范围
结构力学：分析结构受力、变形和稳定性 材料力学：分析材料应力、应变和断裂 流体力学：分析流体流动、压力和速度 热力学：分析热传导、对流和辐射 电磁学：分析电磁场、电磁波和电磁感应 声学：分析声波传播、反射和吸收
能量法的基本假设
材料是连续、均匀、各向同性的
材料是线弹性的应力与应变成正 比
添加标题
添加标题
材料是弹性的满足胡克定律
添加标题
添加标题
材料是各向同性的应力与应变的 关系与方向无关
(材料力学)能量法
l l1
Dl
Dl
Dl
或
1 Vε W F Dl 2 EA(Dl ) 2 2l
Fl (Dl ) EA
F
F
l l1 Dl Dl
F Dl
应变能密度
vε
——杆件单位体积内的应变能
两端受轴向荷载的等直杆，由于其各横截面上 所有点处的应力均相等，故全杆内的应变能是均匀 分布的。 F l l1 F
1 2 M x1 qx1 2
a 1 2 M x2 qax2 qa x2 qa 2 2
因为：
Vε
a
0
2 a M x M 2 x1 2 dx1 dx2 0 2 EI 2 EI
则有
1 2 1 2 qx1 qa a 2 a 2 dx Vε dx1 2 0 0 2 EI 2 EI
1
m
2m2'
m
1m'1
=
3 m
+
' 3m 3
(a)
(b)
(c)
在m作用下，图b无形状改变，且其体积应变同图a， 而对图c，因为：
2 3 0 1
则体积不变，仅发生形状改变(图c) 。
与此对应，图a的体积改变能密度等于图b的应变能密度，
其转向与Me 相同。
三 弯曲应变能
图示纯弯曲梁，弹性范围内的变形有：
M el EI l
或
EI Me l
Me
Me
l
O
(b)
(a)
可见，满足线性关系。
外力功：
1 W M e 2
《材料力学》课件11-1能量法
在这节课中，我们将学习能量法在力学问题中的应用。掌握基本原理和步骤， 了解其优点和局限性，并通过案例分析深入理解。
定义和基本原理
1 能量表达式
通过定义适当的能量表 达式，将力学问题转化 为能量问题。
2 能量变化
能量法考虑系统中各部 分能量的变化，以推导 出物体的运动和变形。
塑性力学中的能量法应用
能量法可用于解析塑性形变过程，研究材料的强 度和变形性能。
总结
通过学习能量法，我们可以更好地理解力学问题，并且能够应用该方法解决 实际工程中的挑战。掌握了能量法的基本原理和步骤后，希望大家能够在实 践中灵活运用。
3 应用范围
能量法适用于各种力学 问题，包括弹性力学和 塑性力学。
能量法的基本步骤
1
建立自由度
2
确定系统的自由度，以描述物体的形
变和运动。
3
求解能量方程
4
通过求解能量方程，得到物体的运动
和形变。
5
选择能量表达式
根据具体问题，选择适合的能量表达 式，如弹性势能、应变能等。
构建能量方程
根据能量表达式和自由度，建立能量 方程，描述系统的能量变化。
分析结果
分析和解释计算结果，得出关于物体 行为的结适用性广、求解简便
能量法适用于各种力学问题，并且求解过程 相对简单和直观。
局限性：前提条件限制、应用场景 局限
能量法的应用需要满足一定的前提条件，并 且在某些场景下可能不适用。
案例分析
弹性力学中的能量法应用
通过能量法分析物体的弹性形变，预测应力分布 和形变量。
材料力学能量法
B
2m C
F
30° A
能量法/克拉贝隆原理
•解: 由节点A的平衡条件求得AB杆的内力：
F N1
FN2
A
F
F N 12F115.2kN
AC杆的内力为：
F N 2F N 1c o s3 0 o 9 9 .8k N
杆系的应变能： UFN21LAB FN22LAC 172J 2EA1 2EA2
设节点A的竖直位移 A为
mF
代入应变能的内力表达式：
L
UM 2(x)dxL(F xm )2dx L 2E I 0 2E I
F2L3 FmL2 m2L 6EI 2EI 2EI
能量法/克拉贝隆原理
UF2L3FmL2 m2L 6EI 2EI 2EI
mF L
•从结果中可以看到：第一、三项分别为F和m单独作用时 的 应变能，故F、m同时作用在杆内所引起的应变能不等于各 载荷单独作用时所引起的应变能之和。其原因是这两个载 荷都使梁产生了同一种弯曲变形，彼此都在对方引起的位 移上做了功（结果中的第二项即代表F和m共同作用时在相 互影响下所做的功）。
2、能量法
利用应变能的概念，解决与弹性体系变形有关的问题的 方法。
在求解组合变形、曲杆或杆系以及超静定问题时，能量 法是一种非常有效的方法，是结构分析的基础。
能量法/基本概念
能量法有关的几个基本概念 1、外力功:线弹性体系在外力的作用下产生变形，每个外力
在与它相对应的位移上所作的功 W。
2、应变能:弹性体受外力作用下产生变形而储存了能量，这个
Ub 125 30
US 3(1)
能量法/克拉贝隆原理
二、应变能的普遍表达式(克拉贝隆原理)
基本变形下应变能的一般表达式：
材料力学能量法
材料力学能量法材料力学能量法是材料力学中的一种重要分析方法，它通过能量原理来研究材料的力学性能和行为。
能量法在工程应用中具有广泛的意义，可以用于解决各种复杂的材料力学问题。
本文将对材料力学能量法进行详细介绍，包括其基本原理、应用范围和计算方法等内容。
首先，我们来看一下材料力学能量法的基本原理。
能量法是以能量守恒原理为基础的一种力学分析方法，它认为在任何力学系统中，系统的总能量始终保持不变。
在材料力学中，通过能量方法可以方便地求解结构的变形、应力分布和稳定性等问题。
能量法的基本原理为系统的总能量等于外力对系统做功的总和，即系统的内能和外力对系统做功的总和保持恒定。
其次，材料力学能量法的应用范围非常广泛。
它可以用于分析材料的弹性、塑性、断裂等力学性能，也可以用于研究材料的疲劳、蠕变、冷却等行为。
在工程实践中，能量法可以应用于各种材料的设计、优化和性能评估，如金属材料、复合材料、土木工程材料等。
通过能量法分析，可以更好地理解材料的力学行为，为工程设计和材料选型提供科学依据。
最后，我们来介绍一下材料力学能量法的计算方法。
能量法的计算方法主要包括弹性能量法、弹塑性能量法和断裂能量法等。
在应用中，需要根据具体问题选择合适的能量方法，并结合数值计算和实验验证进行分析。
在计算过程中，需要考虑材料的本构关系、加载条件和边界约束等因素，以确保计算结果的准确性和可靠性。
综上所述，材料力学能量法是一种重要的力学分析方法，具有广泛的应用前景和深远的理论意义。
通过能量法分析，可以更好地理解材料的力学性能和行为，为工程实践提供科学依据。
在今后的研究和应用中，我们需要进一步深入理解能量法的基本原理和计算方法，推动其在材料力学领域的发展和应用。
材料力学 能量法
能量法一、变形能（应变能）：变形固体在外力作用下由变形而储存的能量“”。
弹性变形能：变形固体在外力作用下产生的弹性变形而储存的能量1、性变形能具有可逆性。
2、塑性变形能不具有可逆性。
二、变形能的计算：利用能量守恒原理能量守恒原理：变形固体在外力作用下产生的变形而储存的能量，在数值上等于外力所作的外力功。
三、能量法：利用功能原理和功、能的概念进行计算的方法。
常见的能量法——功能原理、单位力（莫尔积分）、卡氏定理等。
在卡氏第二定理中应该注意的问题①、Vε——整体结构在外载作用下的线弹性变形能。
②、F i视为变量，结构反力和变形能等都必须表示为F i的函数②、Δi为F i作用点的、沿F i方向的变形③、Δi处要有相应的荷载，当无与Δi对应的F i时，可采用附加力法进行计算。
既先加一沿Δi方向的F i（在所求位移处沿所求位移的方向加上相对应的附加力），求偏导后，在令其为零，结果即为实际荷载作用的位移⑤、结果为正时，说明Δi与F i的方向相同；结果为负时，说明Δi与的F i方向相反。
单位力载荷法注意问题1、此种方法存在两个力系：一个为实际的力系；另一个为单位力系。
2、单位力必须与所求位移相对应：若求线位移——则单位力必须作用在所求点沿所求位移方向加单位的集中力；若求角位移——则单位力必须作用在所求点沿所求位移方向加单位的集中力偶。
2、内力的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可自由建立。
莫尔积分必须遍及整个结构。
4、结果为“+”只说明所加的单位力的方向与实际的位移方向相同；“-”只说明所加的单位力的方向与实际的位移方向相反。
材料力学--能量法
F
R
A
FA
R
M n
T
t
弯 矩:M () FR sin
扭矩:T () FR(1 cos) 12
2、变形能：
弯 矩:M () FR sin
扭矩:T () FR(1 cos)
U T 2 (x) dx M 2 (x) dx
l 2GI P
l 2EI
U1 U2
U U1 U2 F1 l2 U1 U2 F2 l1
结论：应变能与加载次序无关。
10
[例11-1-1] 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。
F
解：外力功等于应变能
A
C
B
W
1 2
FwC
a
a
U
L
M 2(x) 2EI
dx
利用对称性，得：
M (x)
L 2EA
L 2GIP
L 2EI
注意:应变能是力的二次函数，因此，引起同一 基本变形的一组外力在杆内所产生的应变能，并不等 于各力分别作用时产生的应变能的简单相加。
6
例如： 求图示简支梁的应变能。 解：设F和M同时由零按比 A 例加至终值。
（1）求支反力，列弯矩方程：
x
F
C
l 2
M1(x)
1 2
MFl2 16
M 2l 6
7
U
1 EI
F 2l3 96
MFl2 16
M 2l 6
(a)
A
FM
C
B
变形(a)式得
l
l
材料力学-11-能量法
O
d
11.1 杆件的弹性应变能
4.对于一般受力形式（组合变形） 在小变形时，杆件同时有轴力、弯矩和扭矩作用时， 由于这三种内力分量引起的变形是互相独立的，因而总 应变能为：
2 2 FN x M x x M 2 x V dx dx dx 2 EA 2 EI 2GI p l l l
注意： 1. 应用条件：小变形，线弹性。 2. 此处是应变能各种应变能之和，而不是叠加。 3. 计算外力作功时，注意变力作功与常力作功的区别。 4. 应变能V只与外力的最终值有关，而与加载过程和加 载次序无关。
11.1 杆件的弹性应变能 例题1
如图示悬臂梁受到力F作用，该梁长度为l，截面 为圆形，直径为d，且l =5d。材料的弹性模量为E。 试求：该梁的应变能Vε。
11.2 互等定理
11.2 互等定理 一、功的互等定理
FP1 F S1
P1 SP1
FP2 FS2
P2 S1 SP2
FPm
Pm S2
FSn
FP 系统
SP m
Sn
FS 系统
1 1 1 1 1 1 Vε FP1ΔP1＋ FP 2 ΔP 2＋ ＋ FP m ΔPm FS1ΔS1 FS2ΔS2 FSnΔSn 2 2 2 2 2 2
dq
O
dq
Δ
微段两截面绕中性轴相对转过的角 M x 度dq为
dq
EI
dx
M dx
M
忽略剪力影响，微段的应变能为 1 dV dW M x dq 2 梁弯曲时的应变能表达式
l
2 l M x dx 1 V M x dq 0 2 0 2 EI
11.1 杆件的弹性应变能
材料力学-11-材料力学中的能量法
在数值上与外力所作的功 W 相等。
E＝W
南京工业大学
§11-1 基本概念
杆件的弹性应变能
南京工业大学
杆件的弹性应变能
1、轴向拉压
F F F
l
Dl
F Dl
1 F 2l E W F Dl 2 2 EA 2 FN l EA 2 Dl 2 EA 2 L
杆件的弹性应变能
细长梁的剪切应变能远小于弯曲应变能，可忽略不计！ 例：矩形截面悬臂梁，长L，截 面高h，宽b，k = 1.2。 解： 整个梁的剪切应变能： ES 整个梁的弯曲应变能：
2
F
( Fs ) 2 dx 0.6 F 2 L k 2GA Gbh L
2 2 3
Eb 5 L 得 E 3(1 ) h S Ub 125 30 L 细长梁 5 U S 3(1 ) h 南京工业大学
不能用功能原理求解。
多荷载下的位移、单 一荷载下非荷载作用点的 位移、荷载作用点其它方 向的位移，如何求解？
南京工业大学
第11章 材料力学中的能量法
应变能的普遍表达式
南京工业大学
应变能的普遍表达式
叠加法可用于多个载荷作用的引起的弯曲变形， 外力功和应变能是否满足叠加原理呢？
南京工业大学
叠加法可用于多个载荷作用的引起的变形
南京工业大学
叠加原理不适用外力功和应变能计算
WF 1 F 2 WF 1 WF 2
D1
D2 D1 D2
V V 1 V 2
F1
WF1
F
F2
WF2 1 F2 D 2 2
F
1 F1D1 2
材料力学 第11章 能量法讲解
A
l FAy
B FBy
(1) 应变能计算
梁的约束力
FA
FB
Me l
梁的弯矩方程
代入应变能公式
M (x)
FA x M e
x Me(l
1)
Vε
M 2(x) dx
l 2EI
1 2EI
l 0
M
2 e
(
x l
1)2 dx
M e2l 6EI
15/65
11.1 外力功与应变能 【例11-1】解
10/65
11.1 外力功与应变能
11.1.3 克拉贝依隆原理
F1Δ12 F2 Δ21
W
1 2
F1 Δ11
1 2
F2 Δ22
F1 Δ12
上式可推广到有多个广义力共同作用于线性弹性体的情况 Vε W
Vε
W
1 2
Fi Δi
上式称为克拉贝依隆原理。
式中为全部外力（F1，F2，…，Fi，…，Fn）在广义力Fi处
l GI p
M xdq
2
w M EI
12/65
11.1 外力功与应变能
M(x)
T(x) FN(x) FN(x)
11.1.4 杆件的应变能
dq
T(x) M(x)
dj
dx
dx dd
dx
dx
dVε
FN2 (x)dx 2EA
T 2 (x)dx 2GIp
M 2 (x)dx 2EI
则整个圆截面杆的应变能 Vε
FN2 (x) dx l 2EA
《材料力学》11-1能量法
F1 dF
0
与外力功
W
1 0
Fd之和等于矩形面积
F1 1
线弹性范围内外力功等
F
F
于余功，能等于余能。
F1
F1
o
1
o
1
例题
试计算图示结构在荷载 F1 作用下的余能，结构中两杆的 长度均为 l，横截面面积均为A材料在单轴拉伸时的应力
—应变曲线如图所示。
B
D
K1nn1 1
C
F1
解：由结点C的平衡方程，可得两杆的轴力为
例题
xy平面内，由k根杆组成的杆系，在结点A处用铰链结 在一起，受到水平荷载和铅垂荷载作用，截面分别 为 A1,A2,Ai,Ak ，试用卡氏第一定理求各杆的轴力。
1
2
i
k
F1 A
F2
这种以位移为基本未知量，把它的求解当作关键性问题的方法称为位移法
本章作业
(II)3－2，
(II)3－4，
(II)3－10，
例题
图示在线弹性范围内工作的一端固定、另一端自由的圆轴，在自由端截面
上承受扭转力偶矩M1。材料的切变模量G和轴的长度 l 以及直径 d 均已知。 试计算轴两端的相对扭转角。
M1
d
A
B
l
四 余功、余能及卡氏第二定理
Wc
F1 dF
0
与余功相应的能称为余能
Vc V vcdV
vc
1 d
0
Vc
Wc
V cvc2Al2A nK lnn1 cF 1 o sn1
卡氏第二定理
F1
F2
F3
Fn
A
B
1
2
3
n
材料力学能量法知识点总结
材料力学能量法知识点总结材料力学是工程力学的重要分支之一，研究材料在受力作用下的变形与破坏行为。
能量法是材料力学的基础理论之一，通过利用能量守恒原理，分析和求解材料的力学问题，具有重要的理论和实践价值。
本文将对材料力学能量法的基本概念、原理和应用进行总结。
1. 弹性势能与弹性应变能材料在受力作用下产生的变形能够存储为弹性势能，其中最常用的势能是弹性应变能。
弹性应变能是由于材料的弹性变形而储存的能量，可表示为弹性应变能密度。
2. 弹性势能的计算方法弹性应变能的计算方法主要有两种：一是通过力学平衡方程和材料力学性质的函数关系进行积分计算；二是通过应力-应变关系和应变能密度公式进行计算。
3. 弹性势能的应用弹性势能的应用涉及材料的变形、破裂、接头设计等问题。
通过计算弹性势能可以判断材料是否会发生破裂，并可用于材料的优化设计。
4. 塑性势能与塑性应变能材料在塑性变形时会产生塑性势能，塑性势能是由于材料的塑性变形而储存的能量。
塑性应变能可表示为塑性应变能密度。
5. 塑性势能的计算方法塑性势能的计算方法适用于材料的非弹性变形过程，常用的方法有等效应力法和Mises准则。
通过计算塑性势能可以估计材料在受力作用下的变形程度和破坏形式。
6. 塑性势能的应用塑性势能的应用主要涉及材料的变形、强度分析和塑性成形工艺等问题。
通过计算塑性势能可以评估材料的强度和变形能力，并可用于材料的成形优化。
7. 总势能与变分原理材料受到多种因素的叠加作用时，总势能是各种势能的代数和。
变分原理是能量法的基本原理之一，通过对总势能进行变分，得到材料力学问题的基本方程。
8. 总势能的应用总势能的应用主要涉及材料的稳定性分析和振动问题。
通过计算总势能可以判断材料的稳定性，预测振动频率和振动模式。
9. 耗散能与损伤模型材料在受力作用下会发生能量损耗，产生耗散能。
通过建立耗散能与应变的关系，可以描述材料的损伤行为，并建立损伤模型进行应力-应变分析。
材料力学能量法
材料力学能量法
材料力学是研究材料在外力作用下的变形、破坏和稳定性等问题的学科。
能量法是材料力学中的一种重要分析方法，它通过能量的守恒原理来分析材料的力学性能，为工程实践提供了重要的理论支撑。
本文将对材料力学能量法进行介绍，包括能量原理、应用范围、解题方法等内容，希望能为相关领域的研究人员和工程师提供一些参考。
在材料力学中，能量原理是指系统在外力作用下，能量的总变化等于外力所做的功。
根据这一原理，可以利用能量方法来分析材料的力学性能。
能量方法的应用范围非常广泛，可以用于分析材料的弹性、塑性、断裂等问题，也可以用于分析结构的稳定性和动力响应。
在工程实践中，能量方法被广泛应用于材料设计、结构优化和故障分析等领域。
在使用能量方法进行分析时，首先需要建立系统的能量平衡方程，然后根据系统的力学性能和外力条件，确定系统的势能和动能表达式。
接下来，可以利用能量平衡方程来推导系统的力学性能参数，比如应力、应变、位移等。
最后，通过求解能量平衡方程，可以得到系统的稳定性、破坏条件等重要信息。
除了上述基本方法外，能量方法还可以结合其他分析方法，比如有限元方法、变分原理等，来进行更复杂的问题分析。
在工程实践中，能量方法通常与实验测试和数值模拟相结合，可以为工程设计和材料选择提供重要的参考依据。
总之，材料力学能量法是一种重要的分析方法，它通过能量的守恒原理来分析材料的力学性能，为工程实践提供了重要的理论支撑。
希望本文的介绍能够对相关领域的研究人员和工程师有所帮助，也希望能够引起更多人对材料力学能量法的关注和研究。
材料力学能量法范文
材料力学能量法范文材料力学能量法是一种分析和计算物体的力学行为的方法，它基于能量守恒定律。
在这种方法中，物体或结构的变形和应力被视为能量的转化和传递过程。
通过确定系统的动能和势能，并将其与外部力和内部能力作为输入参数，可以计算系统的平衡状态和力学性能。
材料力学能量法的应用十分广泛，特别在工程领域中，例如结构分析、疲劳分析、材料强度计算和复杂系统的模拟等。
这种方法的基本原理是通过对物体的动能和势能之间的转化过程的考虑，来得到物体的平衡状态和力学性能。
在材料力学能量法中，物体的动能是由其质量和速度决定的，而势能是由物体的形变和应力分布决定的。
物体的动能包括其线性运动的动能和旋转运动的动能。
线性运动的动能可以通过物体的质量和速度平方的乘积来计算，而旋转运动的动能可以通过物体的惯性矩和角速度平方的乘积来计算。
物体的势能包括其弹性势能和塑性势能。
弹性势能是由物体的形变和应力分布引起的，而塑性势能是由物体在塑性变形时的能量损失引起的。
弹性势能可以通过弹性模量和物体的形变量的乘积来计算，而塑性势能可以通过材料的塑性应变和应力的乘积来计算。
在材料力学能量法中，系统的总能量是系统动能和势能的总和。
根据能量守恒定律，系统的总能量在无外部能量输入的情况下保持不变。
通过计算系统各个部分的动能和势能，可以确定系统的能量平衡状态和力学性能。
材料力学能量法的优点是可以考虑到物体的整体行为，并对动能和势能之间的转化过程进行分析。
它可以用来解决复杂的力学问题，并提供物体的应力和变形的直观理解。
此外，它还可以与其他力学方法相结合，例如有限元分析和基于能量的优化方法。
然而，材料力学能量法也有一些限制。
它通常只适用于小变形和较简单的物体形状，而对于大变形、非线性材料和复杂几何形状的物体，其精确性可能会降低。
此外，对于一些实际工程问题，由于存在其他影响因素，如温度和湿度等，材料力学能量法可能需要进一步修正和扩展。
总之，材料力学能量法是一种重要的力学分析方法，它基于能量守恒定律，通过对系统动能和势能之间的转化过程进行分析，来确定物体的平衡状态和力学性能。
材料力学-11-材料力学中的能量法
杆件的弹性应变能
细长梁的剪切应变能远小于弯曲应变能，可忽略不计！ 例：矩形截面悬臂梁，长L，截 面高h，宽b，k = 1.2。 解： 整个梁的剪切应变能： ES 整个梁的弯曲应变能：
2
F
( Fs ) 2 dx 0.6 F 2 L k 2GA Gbh L
2 2 3
Eb 5 L 得 E 3(1 ) h S Ub 125 30 L 细长梁 5 U S 3(1 ) h 南京工业大学
2
式 2 A ( S ) dA 中 k I 2 A b2
(b为截面的宽度，S为截面对中性 轴的静矩)
(1) k 由截面的几何形状决定: 矩形截面:k = 1.2, 圆截面: k = 10/9,圆环形截面:k = 2 (2)一般实心截面的细长梁:剪切应变能远小于其弯曲 应变能，通常忽略不计。
南京工业大学
南京工业大学
杆件的弹性应变能
•横力弯曲梁(弯矩沿梁的轴线为变量)的应变能
按微段分析：
1 M 2 ( x)dx dE M ( x)d 2 2 EI
整梁的弯曲应变能
M ( x)dx E dE L L 2EI
南京工业大学
2
杆件的弹性应变能
4、纯剪切时微段梁的应变能：
FS dx O B FS
Dl
FN l Fl Dl EA EA
式中
FN
——轴力，
A ——横截面面积
南京工业大学
杆件的弹性应变能
由拉压杆件组成的杆系的应变能：
2 1 5 4 3 F
1 E W Fi DLi i 1 2 Fi Li F Li i 1 2 Ei Ai i 1 2 Ei Ai
11章-材料力学中的能量法
第11章 材料力学中的能量法
TSINGHUA UNIVERSITY
应用更广泛的能量方法，可以确定:
构件或结构上加力点沿加力方向的位移; 构件或结构上任意点沿任意方向的位移; 不仅可以确定特定点的位移，而且可以 确定梁的位移函数。
第11章 材料力学中的能量法
本章将介绍：
☆ 功和能的基本概念； ☆ 虚位移原理；
第11章 材料力学中的能量法
基本概念
对于承受弯曲的梁
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d
ห้องสมุดไป่ตู้
忽略剪力影响，微段的应变能为
d Vε 1 M d 2
其中dθ 为微段两截面绕中性轴相对转过的 角度，
d2w M d d x dx EI dx 2
M dx
M
代入上式积分后，得到梁的应变能的表达 式
功的互等定理(reciprocal theorem of work)
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FP1 FP2 FPm
… FP 系统
FS2 FSn
FS1
…
SP2
SPm
SP1
FS 系统
F P 1Δ S P 1 F P 2 Δ S P 2 F P m Δ S P m
功的互等定理：一个力系的力在另一个力系引起 的相应的位移上所作之功等于另一个力系的力在这一 个力系引起的相应的位移上所作之功。
第11章 材料力学中的能量法
互等定理
功的互等定理的证明
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FP1 FS1
P1 SP1 S1
FP2
FS2
P2
FPm
Pm
FSn
材料力学_能量法_课件
拉压杆
E
u
1 0
1 2 d E1 2 2E
2 1
扭转杆
G
u
1
0
1 1 2 d G 1 2 2G
2
例 题： 水平杆系如图所示 ，两杆的长度均为 l,横截面面积
为A，弹性模量为E，且均为线弹性。试计算在P1作用下的
应变能。
l
2
2
（3）弯曲梁内的变形能（略去剪力的影响）
1 M l l M ( x )dx U m 0 2 2EI 2EI
（4）组合变形的变形能
N ( x )dx T ( x )dx M ( x )dx U l l l 2 EA 2GI p 2 EI
2 2 2
2
2
2、非线性弹性体，通过 比能 求应变能
1 1
d
3
1 P1d 1 4
二. 余能 1、非线性弹性 材料（拉杆）
P
P1
1
O
P
1
O
ε1
ε
P
P1
dP
P
P1
O
1
Δ1 Δ dP + 0 PdΔ 0
=矩形面积
余功公式
P1 W C 0 Δ dP
P
P1
dP
P
O
1
余能公式
UC W C 0 Δ dP
P1
UC V ucdV
§3.1
概述
可变形固体在受外力作用而变形时，外力和内力均将作功。 对于弹性体，外力在相应位移上作的功，在数值上就等于
积蓄在物体内的应变能。
U=W
能量方法 ： 利用功能原理 U = W 来求解可变形固体 的位移、变形和内力等的方法。
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F2
F1
U (F1)
U(F2)
Me
U(Me)
(c) 应变能的大小与加载顺序无关（能量守恒）
Me A
,
F
A
EI
C yC
l/2
l/2
F 和Me 同时作用在梁上， B 并按同一比例由零逐渐增加到
最终值——简单加载。
(a)
在线性弹性范围时，力和位移成正比，位移将按和力相
同的比例，由零逐渐增加到最终值。
上图中
M
2 n
(
x)
d
x
M
2(x) d
x
2EA
2GIp
2EI
杆的应变能为
U dU
N 2(x) d x
M
2 n
(
x)
d
x
M 2(x) d x
l
l 2EA
l 2GIp
l 2EI
4. 应变能的特点: (a) 由于应变能是外力（内力）或位移的二次关系，所以产 生同一种基本变形形式的一组外力在杆内产生的应变能，不等 于各力单独作用时产生的应变能之和。
y Fl 3 M el 2 C 48EI 16 EI
A
Fl 2 16 EI
M el 3EI
U
1 2
F
y C
1 2
Me A
F 2l3 96EI
M e2l 6EI
FMel 2 16EI
先加F, 再加Me (图 b，c)
F
A
A,F
EI
B
C
,
l/2
yC,F
l/2
Fl3 y
C,F 48 EI
U
1 2
Fy C ,F
部所储存的能量，称为变形能 U. 也称为应变能。
三、功能原理 若施加的为静荷载，则储存在弹性体内的变形能，在 数值上应等于外力所做的功，即
U =W
四、能量法 利用功能原理求解变形固体的位移、变形和内力等问题 的方法统称为能量法。
例如，图中AB和AC杆的直径分别是d1=12 mm,d2=15 mm， 弹性模量均为E = 210 GPa。试求A点在铅垂方向的位移。
N (x) — 只产生轴向线位移 d Δ
Mn(x) — 只产生扭转角 d M(x) — 只产生弯曲转角 d
对于dx 微段， N(x) , Mn(x) , M(x) 均为外力。略去高阶微量后， dx段的应变能为
dU
dW
1 2
N ( x) d
Δ
1 2
Mn (x) d
1 2
M (x)d
N 2(x) d
x
对力偶等。D为广义位移，可以代表一个线位移,一个角位移,
一对线位移或一对角位移等。
2. 构件上有一组广义力共同作用
例
y
Fl 3
M
el
2
（
）
C 48EI 16 EI
Me A
F
A
EI
C yC
B
, l/2
l/2
A
Fl 2 16 EI
M el（ 3EI
）
U
W
1 2
F
y C
1 2
Me A
令F=F1 ,yC=D1 ,Me=F2 , A= D2 ,则
1 2
Me
A,Me
Fy C ,Me
1 2
F
Fl 3 48 EI
1 2
Me
M el 3EI
Me
A
,
A,Me
Mel 3EI
l/2
(b)
F
EI c yC,F
y Me l2 C ,Me 16 EI l/2
(c)
F Mel2 16 EI
B
F 2l 3 M e2l FM el 2
96 EI 6EI 16 EI
2
2 EA 2EA 2l
应变能密度 u
u U N 2l 2 1
V 2EAAl 2E 2
O
(b) 扭转
U
W
1 2
M e
M e2l 2GIp
M
2 n
l
2GIp
GIp 2l
2
(c) 弯曲
纯弯曲
U
W
1 2
M e
又 l Ml M el EI EI
U
W
1 2
M
e
M e2l 2EI
M 2l 2EI
式C点中处，的F 挠yC度,Me 上为作力功F在，由所M以e产无生1的
2
系数 。
还可以先加Me ，再加F，得到的应变能 U 和以上的值相同。
(2) 非线性弹性体
因为是弹性体，所以应变能在数值上仍等于外力功，即
U W，但必须注意 F D 以及 的非线性关系，不能再
用线弹性体的公式计算外力功。
第八章 能量方法
§8－1 概 述 §8－2 应变能 ·余能 §8－3 卡氏定理 §8－4 用能量法解超静定系统 §8－5 虚位移原理及单位力法
§8－1 概 述
一、外力功 弹性体在外力作用下产生变形的过程中，荷载将在相 应的位移上做功，称其为外力功 W.
二、变形能 弹性体在外力作用下产生变形的过程中，弹性体的内
§8－2 应变能 ·余能
Ⅰ 应变能 (变形能）
一、 线弹性体 1. 基本变形形式 (a) 轴向拉（压）杆
外力功 W 1 FDl 1 F Fl N 2l EA Dl 2
2
2 EA 2EA 2l
利用应变能 U 在数值上等于外力功W，可得
U W 1 FDl 1 F Fl N 2l EA Dl 2
y N1 45o 30o N2
A
x
F
1
45o
30o
2
Dl2 ADl1
DAy
A'
(b)
(c)
若用解析法求解时，必须利用图c列出变形的几何关系，计
算比较麻烦，用能量法求就很简单。
能量法的应用很广，也是有限元法求解固体力学问题的重 要基础。有专门著作，例如胡海昌著《弹性力学的变分原理及 应用》。本章仅研究能量法中常用的一些原理和应用。
例EA F2a Nhomakorabeab
而
EA
a
b
F1
U F12b (F1 F2 )2 a
2EA 2EA
F1
EA F2
a
b
U1
F12 (a b) 2EA
U2
F22 a 2 EA
U U1 U2
(b) 小变形时，产生不同变形形式的一组外力在杆内产生的应变 能等于各力单独作用时产生的应变能之和。
Me F2 F1
U U (F1) U (F2 ) U (M e )
U
W
1 2
F1 Δ1
1 2
F2 Δ2
有 n 个广义力同时作用时
U
W
1 2
F1 Δ1
1 2
F2 Δ2
1 2
Fn Δn
n i1
1 2
Fi
Δ
i
(i 1,2,,n)
Fi 为广义力，Di 为Fi 的作用点沿Fi 方向的广义位移，它
是由所有广义力共同产生的。
3. 组合变形（用内力形式表示的应变能） 小变形时不计FS 产生的应变能，
EI 2
2l
横力弯曲
A
P
l
弯矩 M 随横截面位置变化而变化
dx 微段的微变形能dU
(忽略剪力的变形能）
dU M 2(x) d x 2EI
整个杆长 l 上的变形能
U l M 2 (x) d x
0 2EI
综合以上， 可以把应变能统一写成
U W 1 FΔ 2
式中，F 为广义力，可以代表一个力,一个力偶,一对力或一
1. 轴向拉伸与压缩
应变能为
U W Δ1 F d Δ 0
（8－1）
（F－D 曲线和D轴之间的面积）
应变能密度为
ε1
u d
0
（8－2）
（－ 曲线和 轴之间的面积）