上海市交大附中2018-2019学年高二上9月摸底考试数学试题(图片版)
2018-2019学年上海市交大附中高二上学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市交大附中高二上学期期末数学试题一、单选题1．对于一元二次方程20ax bx c ++=（其中,,a b c ∈R ，0a ≠）下列命题不正确的是（ ）A.两根12,x x 满足12bx x a +=-，12c x x a=；B.两根12,x x 满足12x x -=C.若判别式240b ac ∆=->时，则方程有两个相异的实数根；D.若判别式240b ac ∆=-=时，则方程有两个相等的实数根； 【答案】B【解析】根据一元二次方程根与判别式的关系可知,C D 正确；由韦达定理知A 正确；B 中若两根为虚根，则等式不成立，即B 错误. 【详解】若一元二次方程240b ac ∆=->，则方程有两个相异实根12,x x 由韦达定理得：12bx x a +=-，12c x x a=，则,A C 正确；当12,x x 为虚根时，12x x -B 错误；若一元二次方程240b ac ∆=-=，方程有两个相等实根，D 正确. 故选：B 【点睛】本题考查一元二次方程根与判别式之间的关系、韦达定理的应用，属于基础题. 2．已知两点()1,2A ，()4,2B -到直线l 的距离分别为1，4，则满足条件的直线l 共有（ ） A.1条 B.2条C.3条D.4条【答案】C【解析】将问题转化为圆的公切线条数的求解，根据两点间距离公式求得5AB =，可确定两圆外切，由此得到公切线为3条. 【详解】由题意得：5AB ==∴以A 为圆心，半径为1的圆与以B 为圆心，半径为4的圆相外切 ∴满足条件的直线l 为两个圆的公切线，共有3条故选：C 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系的应用，关键是能够根据两点间距离确定两圆的位置关系，考查了转化化归的数学思想.3．如图，在四形ABCD 中，AB BC ⊥，AD DC ⊥，若AB a =uu u r ，AD b =uuu r，则AC BD ⋅=（ ）A.22b a -B.22a b -C.22a b +D.ab【答案】A【解析】由AC AD DC =+，BD AD AB =-，根据平面向量数量积运算律、线性运算法则，结合垂直关系可将AC BD ⋅uuu r uu u r化为22AD AB -，从而得到结果.【详解】AC AD DC =+，BD AD AB =-()()()2AC BD AD DC AD AB AD AB AD DC AD DC ∴⋅=+⋅-=-⋅++⋅AD DC ⊥ 0A D D C ∴⋅=()()222AC BD AD AB AD DC AD AB AC AD AB AB BC∴⋅=-⋅+=-⋅=-⋅+22AD AB AB BC =--⋅AB BC ⊥ 0A B B C ∴⋅=222222AC BD AD AB AD AB b a ∴⋅=-=-=-故选：A 【点睛】本题考查平面向量数量积的求解，关键是能够灵活应用平面向量的线性运算、向量垂直时数量积等于零的关系，将所求的数量积转化为已知模长的两个向量的形式. 4．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点， ,,A B C 为抛物线C 上三点，当0FA FB FC ++=时，称ABC ∆为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有( )A.0个B.1个C.3个D.无数个【答案】D【解析】当0FA FB FC ++=时，F 为ABC ∆的重心，连接AF 并延长至D ，使12FD AF =，当D 在抛物线内部时，设()00,D x y ，利用“点差法”可证明总存在以D 为中点的弦BC ，从而可得结果. 【详解】抛物线方程为24,,,y x A B C =为曲线C 上三点， 当0FA FB FC ++=时，F 为ABC ∆的重心， 用如下办法构造ABC ∆， 连接AF 并延长至D ，使12FD AF =， 当D 在抛物线内部时，设()00,D x y ，若存在以D 为中点的弦BC ， 设()()1122,,,B m n C m n ， 则12120120122,2,BC n n m m x n n y k m m -+=+==-则21122244n m n m ⎧=⎨=⎩，两式相减化为()1212124n n n n m m -+=-， 121202BC n n k m m y -==-，所以总存在以D 为中点的弦BC ， 所以这样的三角形有无数个，故选D. 【点睛】本题主要考查平面向量的基本运算以及“点差法”的应用，属于难题.对于有弦关中点问题常用“ 点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.二、填空题5．复数()()22563z m m m m i =-++-，m R ∈，为纯虚数，i 为虚数单位，实数m =______；【答案】2【解析】根据纯虚数定义可知实部为零，虚部不等于零，由此构造方程组求得结果. 【详解】由纯虚数定义可知：2256030m m m m ⎧-+=⎨-≠⎩，解得：2m =故答案为：2 【点睛】本题考查纯虚数的定义，易错点是忽略虚部不等于零的要求，属于基础题. 6．复数(2)(1)z i i =+-，其中i 为虚数单位,则z 的虚部为_______. 【答案】-1 【解析】()()21z i i =+-22i i 13i =-++=-，z ∴的虚部为1-，故答案为1-.7．抛物线212x y =的准线方程为__________. 【答案】3y =-【解析】2212,32p x py y ==∴=，∴抛物线212x y =的准线方程为32py =-=-，故答案为3y =-.8．已知向量()1,2a =-，()1,1b =，m a b =-r r r ，n a b λ=+r r r，如果m n ⊥，则实数λ=______；【答案】2；【解析】根据向量垂直可得数量积等于零，由此构造方程求得结果. 【详解】由题意得：()0,3m =-，()1,2n λλ=+-+ m n ⊥ 630m n λ∴⋅=-=，解得：2λ= 故答案为：2 【点睛】本题考查根据平面向量垂直关系求解参数值的问题，关键是明确向量垂直等价于数量积为零，属于基础题.9．若直线1:20l ax y +=和()2:3110l x a y +++=平行，则实数的值为 ． 【答案】3-或2【解析】试题分析：依题意可得20311a a =≠+,解得3a =-或2a =． 【考点】两直线平行．10．设双曲线22219x y b -=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =________【答案】11 【解析】【详解】由双曲线的方程2221(0)9x y b b-=>，可得3a =，根据双曲线的定义可知1226PF PF a -=±=±， 又因为15PF =，所以2||11PF =.11．已知实数满足10{103x y x y x -+≥+-≥≤，则23z x y =-的最小值是______．【答案】6-【解析】试题分析：作出约束条件表示的可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线0:230l x y -=，平移直线0l ，当直线0l 过点(3,4)B 时，23z x y =-取得最小值6-.【考点】线性规划.12．若复数z 满足221z i z ⋅=+（其中i 为虚数单位），则z =________. 【答案】1【解析】设i,,z a b a b =+∈R ，则由22i 1z z ⋅=+，得2222i 1b a a b -+=++，则222120b a b a ⎧-=++⎨=⎩，解得01a b =⎧⎨=-⎩，即i z =-，即||1z =.13．（理）在直角坐标系x 、y 中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C 在∠AOB 的平分线上，且|OC |＝2，求OC 的坐标为_____________________．【答案】( 【解析】根据向量加法平行四边形法则以及菱形性质得OA OB OC t OA OB ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭,再根据|OC |＝2，求t,即得结果. 【详解】由题意可设0OA OB OC t t OA OB ⎛⎫⎪=+> ⎪⎝⎭，， 所以39(,)55t tOC =-，因为|OC |＝2，所以253t t =∴=,即OC 的坐标为⎛ ⎝⎭. 【点睛】与a 共线的向量为a λ，当0λ>时，为同向；当0λ<时，为反向；与a 共线的单位向量为||aa λ；与(,)a x y =垂直的向量为(,)y x λ-.与AOB ∠平分线共线的向量为()||||OA OBOA OB λ+. 14．参数方程231121t x tt y t +⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（t 为参数）化成普通方程为______；【答案】()3703x y x +-=≠； 【解析】通过分离常数法可求得131x t =-+、1213y t +=+且3x ≠，由此构造关于,x y的等式，整理可得结果. 【详解】()3112313111t t x t t t +-+===-+++ 3x ∴≠且131x t =-+ ()2131232111t t y t t t -++-===-++++ 1213y t +∴=+ ()2333y x x +∴-=≠，即()3703x y x +-=≠ 故答案为：()3703x y x +-=≠ 【点睛】本题考查参数方程化普通方程的问题，易错点是忽略自变量的取值范围，造成求解错误.15．在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为，1(2,1)e =、2(2,1)e =-分别是两条渐近线的方向向量,任取双曲线Γ上的点P ，若12OP ae be =+（a 、b R ∈），则a 、b 满足的一个等式是 ． 【答案】4ab=1 【解析】【详解】因为、是渐进线方向向量，所以双曲线渐近线方程为 ，又双曲线方程为 ，12OP ae be =+ =，，化简得4ab=116．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在椭圆221259x y +=上，点P 满足()()1AP OA R λλ=-∈uu u r uu r ，且48OA OP ⋅=uu r uu u r，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为______； 【答案】10；【解析】由()1AP OA λ=-可知,,O A P 三点共线，得到48OA OP ⋅=；根据投影的定义可将所求投影长度转化为248925xx +，当0x =时，cos 0OP θ=；当0x ≠时，利用基本不等式可求得最大值；综合可得最终结果. 【详解】()1AP OA λ=- O A A P O A OP λ∴+== ,,O A P ∴三点共线 48OA OP OA OP ∴⋅=⋅=设OP 与x 轴夹角为θ，(),A x y ，B 为点A 在x 轴上的投影OP ∴在x 轴上的投影长度为222484848cos cos OB x OP x y OAOAθθ===+A 在椭圆221259x y +=上 229925y x ∴=- 248c o s 925x OP x θ∴=+ 当0x =时，cos 0OP θ=当0x ≠时，48cos 1016925OP x x θ=≤=+ 当且仅当16925x x =，即154x =±时取等号 综上所述：OP 在x 轴上的投影长度的最大值为10 故答案为：10 【点睛】本题考查平面向量投影长度的求解，关键是能够将所求的投影长度转化为关于某一变量的函数，利用函数最值的求解方法求得结果.三、解答题17．设1z +为关于x 的方程()20,x mx n m n R ++=∈的虚根，i 为虚数单位.（1）当1z i =-+时，求,m n 的值；（2）若1n =，在复平面上，设复数z 所对应的点为P ，复数24i +所对应的点为Q ，试求PQ 的取值范围.【答案】（1）0m =，1n =；（2）[]4,6；【解析】（1）由z 可确定方程两根为,i i -，由韦达定理可求得结果；（2）可确定1z +，1z +为方程的两根，令z a bi =+，韦达定理可得()111z z +⋅+=；令1cos a θ=-+，sin b θ=，利用两点间距离公式可表示出PQ ，利用三角函数的知识求得范围. 【详解】（1）当1z i =-+时，1z i +=∴方程20x mx n ++=的两根分别为：,i i -()()i i m i i n ⎧+-=-⎪∴⎨⋅-=⎪⎩，即0m =，1n =（2）当1n =时，方程为210x mx ++= 1z ∴+，1z +为方程的两根 设(,)z a bi a b R =+∈，则11z a bi +=++，11z a bi +=+-()()221111z z a b ∴+⋅+=++=设1cos a θ=-+，sin b θ=，[)0,2θ∈πPQ ∴===其中3tan 4ϕ=，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()[]sin 1,1θϕ+∈- []4,6PQ ∴∈即PQ 的取值范围为[]4,6 【点睛】本题考查复数的定义、几何意义的应用，涉及到复数对应的复平面当中的点的知识；关键是能够通过方程的一个虚根确定方程两根，利用韦达定理构造等量关系.18．（1）已知非零复数z 满足22z +=，4z R z+∈，求复数z .（2）已知虚数z 使21z z +和21z z +都是实数，求虚数z .【答案】（1）1z =-±；（2）122z =-±； 【解析】（1）设z a bi =+，根据复数运算表示出4z z+，令虚部为零可求得0b =或224a b +=；当0b =时，可验证不满足题意；当224a b +=时，利用22z +=可得关于,a b 的方程，联立可求得,a b ，从而得到z ；（2）令21z m z =+，21z n z =+，得到()21z m z =+，()21z n z =+，设z a bi =+，代入整理后，根据复数相等条件可分别得到关于,a b 的方程，解方程组求得,a b ，进而得到z . 【详解】（1）设,(,)z a bi a b R =+∈则()()22222244444a b z a bi a bi a bi a b i z a bi a b a b a b ⎛⎫+=++=++-=++- ⎪++++⎝⎭4z R z +∈ 22224410b b b a b a b ⎛⎫∴-=-= ⎪++⎝⎭0b ∴=或224a b += 当0b =时，z a = 22a ∴+=，解得：0a =，与z 为非零复数矛盾，不合题意 当224a b +=时，由222z a bi +=++=得：()22222444a b a b a ++=+++=844a ∴+=，解得：1a =- b ∴=1z ∴=-±（2）21z z +与21z z +都是实数 ∴可设21z m z =+，21z n z =+ ()21z m z ∴=+，()21z n z =+设()0(,)z a bi b a b R =+≠∈由()21z m z =+得：()()21a bi m a bi +=++，即()2221a b abi m a mbi -+=++()2212a b m a ab mb⎧-=+∴⎨=⎩ 22220m aa b a =⎧∴⎨++=⎩ 由()21z n z =+得：()2212a bi n a b abi +=-++，即()2212a bi n a b abni +=-++()2212a n a b b abn ⎧=-+⎪∴⎨=⎪⎩ 221210n aa b ⎧=⎪∴⎨⎪+-=⎩ 21a ∴=-，解得：12a =-b ∴==122z ∴=-±【点睛】本题考查复数的定义及运算，涉及到实数的定义、复数的模长、复数相等的条件、复数运算等知识，关键是能够采用待定系数法，通过实数定义和复数相等构造出方程组求得未知数，进而得到所求复数.19．已知椭圆22142x y +=.（1）M 为直线:142x yl +=上动点，N 为椭圆上动点，求MN 的最小值； （2）过点12P ⎫⎪⎭，作椭圆的弦AB ，使3AP PB =，求弦AB 所在的直线方程.【答案】（1；（2）x =或8100y +-=； 【解析】（1）设()2c os ,N θθ，可知所求最小值为N 到直线l 距离d 的最小值；利用点到直线距离公式表示出d ，利用三角函数知识可求得最小值；（2）设直线AB 参数方程，且,A B 对应参数为12,t t ，根据向量关系可知123t t -=；将参数方程代入椭圆方程，根据韦达定理可求得22t -和223t -，利用22t 构造方程可求得cos 0β=或tan 8β=-，从而得到直线方程. 【详解】（1）设()2cos ,N θθ，∴MN 的最小值即为N 到直线l 距离d 的最小值，又:240l x y +-=d ∴==tan φ=，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭） ∴当()sin 1θϕ+=时，d取最小值m i n 5155d ∴==即MN（2）设直线AB的参数方程为：cos 1sin 2x t y t ββ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数且β为直线AB 倾斜角） 设点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则由3AP PB =得：123t t -= 将AB 的参数方程代入椭圆方程化简得：()()2222sin 4sin 30t t βββ+++-=12222sin 21sin t t t βββ+∴+=-=-+，212223322sin t t t β=-=-+22122sin β∴=+⎝⎭，整理可得：2cos 3cos 0βββ+= 解得：cos 0β=或tan β= ∴弦AB所在的直线方程为x =128y x -=-即x =或8100y +-= 【点睛】本题考查直线参数方程、椭圆参数方程的应用问题；涉及到椭圆上的点到直线距离的最值的求解、定点分弦成比例问题的求解；本题求解弦所在直线方程的关键是能够灵活运用直线参数方程中t 的几何意义，利用韦达定理构造等量关系，从而得到直线的倾斜角，属于较难题.20．圆(22219:4M x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，圆(22221:4M x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，动圆P 与两圆1M 、2M 外切.（1）动圆圆心P 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,0N 的直线与曲线C 交于不同的两点12,N N ，求直线12N N 斜率的取值范围；（3）是否存在直线:l y kx m =+与轨迹C 交于点,A B ，使2OAB π∠=，且2AB OA =，若存在，求,k m 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）()2211y x y -=≥；（2）1,2⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭；（3）存在)1k =±，m =【解析】（1）确定圆1M 和圆2M 的圆心与半径，根据两圆外切时圆心距和半径之间的关系可得1PM ，2PM ，可知P 点轨迹满足双曲线轨迹，为双曲线的上半支；从而根据定义可求得轨迹方程；（2）设()12:1N N y k x =-，结合渐近线斜率可确定10k -<<，联立直线方程与双曲线方程，利用>0∆即可求得k 的范围；（3）当0k =时，显然不成立；当0k ≠时，设1:OA y x k=-；与抛物线方程联立可求得22,A A x y ，从而表示出2OA ；将l 与抛物线联立，利用弦长公式可求得2AB ，由224AB OA =可整理得到2222m k =-；两直线方程联立可求得A 点坐标，利用A x 建立等式，可得()222211k m k+=-，从而得到方程组，解方程组可求得,m k 的值.【详解】（1）由圆的方程可知，圆1M 的圆心(10,M ，半径194r =；圆2M 的圆心(2M ，半径214r =设(),P x y ，且动圆P 半径为R则194PM R ==+，214PM R ==+122PM PM ∴-==即P 到1M ，2M 的距离之差为定值2，且122M M >，满足双曲线定义P ∴点轨迹为双曲线的上半支，轨迹方程为：()2211y x y -=≥（2）设直线12N N 方程为：()1y k x =-双曲线渐近线方程为y x =±，且12N N 与双曲线上半支有两个交点 10k ∴-<<联立()2211y k x y x ⎧=-⎨-=⎩得：()22221210k x k x k --+-=()2422441840k k k ∴∆=--=->，解得：2k <-或2k >（舍）1,2k ⎛∴∈-- ⎝⎭，即直线12N N斜率的取值范围为1,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭（3）当0k =时，直线为y m =，显然不成立 当0k ≠时，直线OA 的方程为：1=-y x k 11k ∴->或11k-<- 10k ∴-<<或01k <<联立2211y x k y x ⎧=-⎪⎨⎪-=⎩得：2221k x k =-，即2221A k x k =-，2211A y k =- 2222211AAk OA x y k+∴=+=- 联立221y kx m y x =+⎧⎨-=⎩得：()2221210k x kmx m -++-= 则()()222244110k m k m ∆=--->，即2210k m +->设()11,A x y ，()22,B x y ，则12221km x x k +=--，212211m x x k -=- ()()()()()2222222121222241414111m k m AB k x x x x k k k ⎛⎫- ⎪⎡⎤∴=++-=+-⎣⎦ ⎪--⎝⎭2AB OA = 224AB OA ∴=即()()()222222222414441111m k m k k k k k ⎛⎫-+ ⎪+-= ⎪---⎝⎭，整理可得：2222m k =- 联立1y x k y kx m⎧=-⎪⎨⎪=+⎩得：22,11km m A k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭ 222211k km k k ⎛⎫∴=- ⎪-+⎝⎭ 整理可得：()222211k m k+=-()22221221kk k+∴-=-，201k <<，解得：)1k =±m ∴=当m =-时，直线l 与轨迹C 无交点，不合题意∴存在)1k =±，m =【点睛】本题考查直线与双曲线综合应用问题，涉及到圆与圆的位置关系的应用、利用定义求解轨迹方程、根据直线与曲线交点个数求解参数范围、存在性问题的求解；求解存在性问题的关键是能够通过已知的等量关系构造出关于变量的方程，通过解方程的方式求得结果；本题整体计算难度和计算量较大，对于学生运算求解能力有较高的要求，属于难题. 21．过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于,M N 两点，且,M N 两点的纵坐标之积为4-. （1）求抛物线的方程；（2）求OM ON ⋅的值（其中O 为坐标原点）；（3）已知点()1,2A ，在抛物线上是否存在两点B 、C ，使得AB BC ⊥？若存在，求出C 点的纵坐标的取值范围；若不存在，则说明理由.【答案】（1）24y x =；（2）3-；（2）存在， C 点的纵坐标的取值范围为()[),610,-∞-+∞U ；【解析】（1）设直线:2pMN x my =+，与抛物线联立，利用韦达定理可得2124y y p =-=-，解方程求得p 即可得到抛物线方程；（2）根据221212121216y y OM ON x x y y y y ⋅=+=+，利用（1）中韦达定理的结论可求得结果；（3）设233,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，244,4y C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据垂直关系可得0AB BC ⋅=，从而整理得到()43316222y y y =--+++，分别在320y +<和320y +>两种情况下利用基本不等式求得4y 的范围即可. 【详解】（1）由22y px =得：,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线MN 方程为：2p x my =+与抛物线方程联立可得：2220y mpy p --=设()11,M x y ，()22,N x y ，则2124y y p =-=-，解得：2p =∴抛物线方程为：24y x =（2）由（1）知：221212121214316y y OM ON x x y y y y ⋅=+=+=-=-（3）设233,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，244,4y C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭则2334,24y AB y ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，224343,4y y BC y y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ AB BC ⊥ 0A B B C ∴⋅=，即()()()()22234334342016yy y y y y --+--=由题意知：32y ≠，43y y ≠ ()()3432160y y y ∴+++= ()4333316162222y y y y y ∴=--=--++++ ①当320y +<时，4210y ≥= 当且仅当()331622y y -=-++，即36y =-时等号成立 ②当320y +>时，426y ≤-=- 当且仅当()331622y y -=-++，即32y =时取等号 又32y ≠ 46y ∴<-综上所述：存在点,B C ，使得AB BC ⊥；C 点纵坐标的取值范围为()[),610,-∞-+∞U 【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用问题，涉及到抛物线方程的求解、向量数量积的运算、垂直关系的向量表示、存在性问题的求解等知识；求解存在性问题的关键是能够利用已知的等量关系将问题转化为关于某一变量的方程，通过方程求得结果；本题易错点是在运用基本不等式求最值时，忽略等号成立的条件，造成范围求解错误.。
2018年上海市交大附中高考数学模拟试卷含参考答案
2018年上海市交大附中高考数学模拟试卷一、填空题（本大题共12小题, 1-6题每题4分, 7～12题每题5分, 满分54分）1．（4分）函数f（x）＝的定义域为．2．（4分）双曲线3x2﹣y2＝12的两渐近线的夹角大小为．3．（4分）用行列式解线性方程组, 则D y的值为．4．（4分）湖面上浮着一个球, 湖水结冰后将球取出, 冰上留下一个直径为24厘米, 深为8厘米的空穴, 则这个球的半径为厘米．5．（4分）直线2x+y﹣4＝0经过抛物线y2＝2px的焦点, 则抛物线的准线方程是．6．（4分）已知函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0, 0＜φ≤）的部分图象如图所示, 则点P （ω, φ）的坐标为．7．（5分）设函数f（x）＝的反函数为f﹣1（x）, 若, 则f（a+4）＝．8．（5分）二项展开式（2x+3）7中, 在所有的项的系数、所有的二项式系数中随机选取一个, 恰好为奇数的概率为．9．（5分）在平面直角坐标系xOy内, 曲线|x+1|+|x﹣3|+|y|＝7所围成的区域的面积为．10．（5分）已知梯形ABCD中, AD＝DC＝CB＝AB, P是BC边上一点, 且＝x+y, 当P在BC边上运动时, x+y的最大值是．11．（5分）求方程2sin x﹣sec x+tan x﹣1＝0在x∈[0, 2π]的解集．12．（5分）已知底面为正方形且各侧棱长均相等的四棱锥V﹣ABCD可绕着AB任意旋转, AB⊂平面α, M是CD的中点, AB＝2, VA＝, 点V在平面α上的射影点为O, 则|OM|的最大值为．二、选择题（本大题共4道小题, 每小题只有一个正确选项, 答对得5分, 满分20分）13．（5分）下列以t为参数的方程所表示的曲线中, 与曲线xy＝1完全一致的是（）A．B．C．D．14．（5分）已知无穷数列{a n}是公比为q的等比数列, S n为其前n项和, 则“0＜|q|＜1”是“存在M＞0, 使得|S n|＜M对一切n∈N*恒成立”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要15．（5分）已知z均为复数, 则下列命题不正确的是（）A．若z＝, 则z为实数B．若z2＜0, 则z为纯虚数C．若|z+1|＝|z﹣1|, 则z为纯虚数D．若z3＝1, 则＝z216．（5分）直线l在平面α内, 直线m平行于平面α, 且与直线l异面, 动点P在平面α上, 且到直线l、m距离相等, 则点P的轨迹为（）A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线三、解答题（本大题共5道小题, 每一问均需写出必要步骤, 满分共76分）17．（12分）如图, 在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中, AA1＝A1B1＝4, D、E分别为AA1与A1B1的中点．（1）求异面直线C1D与BE所成角的大小；（2）求四面体BDEC1的体积．18．（14分）某工厂在制造产品时需要用到长度为698m的A型和长度为518m的B型两种钢管．工厂利用长度为4000m的钢管原材料, 裁剪成若干A型和B型钢管．假设裁剪时损耗忽略不计, 裁剪后所剩废料与原材料的百分比称为废料率．（1）有两种裁剪方案的废料率小于4.5%, 请说明这两种方案并计算它们的废料率；（2）工厂现有100根原材料钢管, 一根A型和一根B型钢管为一套毛胚, 按（1）中的方案裁剪, 最多可裁剪多少套毛胚？最终的废料率为多少？19．（16分）设函数f（x）＝x2+|x﹣a|（x∈R, a∈R）．（1）讨论f（x）的奇偶性；（2）当a＝1时, 求f（x）的单调区间；（3）若f（x）＜10对x∈（﹣1, 3）恒成立, 求实数a的取值范围．20．（16分）已知椭圆+y2＝1, A是它的上顶点, 点P n, Q n（n∈N*）各不相同且均在椭圆上（1）若P1, Q1恰为椭圆长轴的两个端点, 求△AP1Q1的面积；（2）若•＝0, 求证：直线P n Q n过一定点；（3）若＝＝1﹣, △AP n Q n的外接圆半径为R n, 求R n的值21．（18分）对任意正整数m, 若存在数列a1, a2, ……, a k, 满足m＝a1•1！+a2•2！+a3•3！+L+a k•k！, 其中a1∈N, a1≤i, a k＞0, i＝1, 2, ……, k, 则称数列a1, a2, ……, a k为正整数m的生成数列, 记为A[m]．（1）写出2018的生成数列A[2018]；（2）求证：对任意正整数m, 存在唯一的生成数列A[m]；（3）求生成数列A[2025！﹣1949！]的所有项的和．2018年上海市交大附中高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12小题, 1-6题每题4分, 7～12题每题5分, 满分54分）1．（4分）函数f（x）＝的定义域为（﹣1, 0）∪（0, 1]．【解答】解：∵∴∴﹣1＜x≤1且x≠0,∴f（x）的定义域为（﹣1, 0）∪（0, 1]．故答案为：（﹣1, 0）∪（0, 1]．2．（4分）双曲线3x2﹣y2＝12的两渐近线的夹角大小为60°．【解答】解：由双曲线3x2﹣y2＝12, 可知双曲线的两条渐近线方程为y＝±x, ∴两条渐近线的倾斜角分别为60°, 120°,∴双曲线3x2﹣y2＝12的两条渐近线的夹角是60°,故答案为：60°．3．（4分）用行列式解线性方程组, 则D y的值为﹣9．【解答】解：行列式解线性方程组, 则D y＝＝2×（﹣1）﹣7×1＝﹣9,故答案为：﹣94．（4分）湖面上浮着一个球, 湖水结冰后将球取出, 冰上留下一个直径为24厘米, 深为8厘米的空穴, 则这个球的半径为13厘米．【解答】解：设球的半径为Rcm,由将球取出, 扭留下空穴的直径为24cm, 深8cm则截面圆的半径r＝12cm, 球心距d＝（R﹣8）cm,由R2＝r2+d2得：R2＝144+（R﹣8）2,即208﹣16R＝0解得R＝13故答案为：13cm5．（4分）直线2x+y﹣4＝0经过抛物线y2＝2px的焦点, 则抛物线的准线方程是x＝﹣2．【解答】解：抛物线y2＝2px的焦点坐标为（, 0）,又焦点在直线2x+y﹣4＝0上,∴p﹣4＝0,解得p＝4,则抛物线的准线方程是：x＝﹣2．故答案为：x＝﹣2．6．（4分）已知函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0, 0＜φ≤）的部分图象如图所示, 则点P （ω, φ）的坐标为（2, ）．【解答】解：∵T═﹣＝, ω＞0,∴T＝＝π,∴ω＝2；又曲线过（, 0）且为单调递减区间上的零点,∴ω+φ＝π+2kπ（k∈Z）,∴φ＝+2kπ（k∈Z）, 而0＜φ≤,∴φ＝,∴点P（ω, φ）的坐标为（2, ）．故答案为：（2, ）．7．（5分）设函数f（x）＝的反函数为f﹣1（x）, 若,则f（a+4）＝﹣2．【解答】解：∵,∴f（a）＝．当x≥6时, f（x）＝﹣log3（x+1）≤﹣log37＜0, 不符合条件, 舍去；当x＜6时, f（x）＝3x﹣6, 令＝3﹣2, ∴a﹣6＝﹣2, 解得a＝4, 满足条件．∴f（8）＝﹣log39＝﹣2．故答案为：﹣2．8．（5分）二项展开式（2x+3）7中, 在所有的项的系数、所有的二项式系数中随机选取一个, 恰好为奇数的概率为．【解答】解：二项展开式（2x+3）7中, 所有的项的系数为•3r•27﹣r, 其中, r＝0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,即所有的项的系数共有8个, 其中, r＝7时为奇数, 其余都为偶数．有的二项式系数为, 其中, r＝0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 共有8个, 都是奇数．在所有的项的系数、所有的二项式系数中, 共有9个奇数, 7个偶数, 从中随机选取一个, 恰好为奇数的概率为＝,故答案为：．9．（5分）在平面直角坐标系xOy内, 曲线|x+1|+|x﹣3|+|y|＝7所围成的区域的面积为33．【解答】解：在平面直角坐标系xOy内, 曲线|x+1|+|x﹣3|+|y|＝7所围成的区域如下图所示：其面积为：2××6×+4×6＝33,故答案为：3310．（5分）已知梯形ABCD中, AD＝DC＝CB＝AB, P是BC边上一点, 且＝x+y, 当P在BC边上运动时, x+y的最大值是．【解答】解：设AB的中点为E, 则由题意可得△BCE为等边三角形, 且＝﹣＝﹣,再根据、共线, 可得＝λ＝λ（﹣）, λ∈[0, 1],∴＝+＝（1﹣）+λ．又＝x+y, ∴, ∴x+y＝1﹣+λ＝1+≤1+＝,故x+y的最大值是,故答案为：．11．（5分）求方程2sin x﹣sec x+tan x﹣1＝0在x∈[0, 2π]的解集{, , π}．【解答】解：方程2sin x﹣sec x+tan x﹣1＝0⇒．⇒2sin x cos x﹣1+sin x﹣cos x＝0．（cos x≠0）⇒sin x﹣cos x＝（sin x﹣cos x）2, （cos x≠0）．⇒sin x﹣cos x＝0或sin x﹣cos x＝1⇒tan x＝1⇒或cos x＝﹣1．x∈[0, 2π]∴x＝, , π．故答案为：{, , π}．12．（5分）已知底面为正方形且各侧棱长均相等的四棱锥V﹣ABCD可绕着AB任意旋转, AB⊂平面α, M是CD的中点, AB＝2, VA＝, 点V在平面α上的射影点为O, 则|OM|的最大值为1+．【解答】解：设∠VNO＝θ,则∵N、M分别是AB、CD的中点, AB＝2, VA＝,∴AN＝1, VN＝2,MN＝BC＝AB＝2, VN＝VM＝2,则三角形VNM为正三角形, 则∠MNV＝60°,则ON＝2cosθ,在三角形OMN中,OM2＝MN2+ON2﹣2MN•ON cos（60°+θ）＝4+4cos2θ﹣2×2×2cosθcos（60°+θ）＝4+4cos2θ﹣8cosθ（cosθ﹣sinθ）＝4+4cos2θ﹣4cos2θ+4sinθcosθ＝4+2sin2θ＝（2,∴要使OM最大, 则只需要sin2θ＝1, 即2θ＝90°即可, 则θ＝45°,此时OM＝+1．故答案为：1+．二、选择题（本大题共4道小题, 每小题只有一个正确选项, 答对得5分, 满分20分）13．（5分）下列以t为参数的方程所表示的曲线中, 与曲线xy＝1完全一致的是（）A．B．C．D．【解答】解：在A中, t＞0, 在xy＝1时, x, y∈（﹣∞, 0）∪（0, +∞）, 故A 错误；在B中, t≠0, 在xy＝1时, x, y∈（﹣∞, 0）∪（0, +∞）, 故B正确；在C中, t的终边不能在y轴上, 在xy＝1时, x, y∈（﹣∞, 0）∪（0, +∞）, 故C错误；在D中, t的终边不能在y轴上, x, y∈（﹣∞, 0）∪（0, +∞）, 故D错误．故选：B．14．（5分）已知无穷数列{a n}是公比为q的等比数列, S n为其前n项和, 则“0＜|q|＜1”是“存在M＞0, 使得|S n|＜M对一切n∈N*恒成立”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【解答】解：∵{a n}是公比为q的等比数列, 当0＜|q|＜1时, S n＝,|S n|＝||,即“存在M＞||, 使得|S n|＜M对一切n∈N*恒成立”,即“0＜|q|＜1”是“存在M＞0, 使得|S n|＜M对一切n∈N*恒成立”的充分条件,当q＝﹣1时, |S n|＝即取M＝2|a1|即可,即“0＜|q|＜1”是“存在M＞0, 使得|S n|＜M对一切n∈N*恒成立”的不必要条件, 综上可知：即“0＜|q|＜1”是“存在M＞0, 使得|S n|＜M对一切n∈N*恒成立”的充分不必要条件．故选：A．15．（5分）已知z均为复数, 则下列命题不正确的是（）A．若z＝, 则z为实数B．若z2＜0, 则z为纯虚数C．若|z+1|＝|z﹣1|, 则z为纯虚数D．若z3＝1, 则＝z2【解答】解：对于A, 设z＝a+bi（a, b∈R）, 由, 可得a+bi＝a﹣bi, 则2bi＝0, b＝0, ∴z为实数, 故A正确；对于B, 设z＝a+bi（a, b∈R）, 则z2＝a2+b2+2abi＜0, ∵z2＜0, ∴a＝0, 则z纯虚数, 故B正确；对于C, 当z＝0时, 有|z+1|＝|z﹣1|, 故C错误；对于D, 由z3＝1, 得z3﹣1＝0, 即（z﹣1）（z2+z+1）＝0, 可得z＝1或z＝, ∴, 故D正确．∴错误的是C．故选：C．16．（5分）直线l在平面α内, 直线m平行于平面α, 且与直线l异面, 动点P在平面α上, 且到直线l、m距离相等, 则点P的轨迹为（）A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线【解答】解：设直线m在平面α的射影为直线n, 则l与n相交,不妨设l与n垂直, 设直线m与平面α的距离为d,在平面α内, 以l, n为x轴, y轴建立平面坐标系,则P到直线l的距离为|y|, P到直线n的距离为|x|,∴P到直线m的距离为,∴|y|＝, 即y2﹣x2＝d2,∴P点轨迹为双曲线．故选：D．三、解答题（本大题共5道小题, 每一问均需写出必要步骤, 满分共76分）17．（12分）如图, 在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中, AA1＝A1B1＝4, D、E分别为AA1与A1B1的中点．（1）求异面直线C1D与BE所成角的大小；（2）求四面体BDEC1的体积．【解答】解：（1）以C为原点, 在平面ABC中过C作BC的垂线为x轴,以CB为y轴, CC1为z轴, 建立空间直角坐标系,则C1（0, 0, 4）, D（2, 2, 2）, B（0, 4, 0）,A1（2, 2, 4）, B1（0, 4, 4）, E（）,＝（2, 2, ﹣2）, ＝（）,设异面直线C1D与BE所成角的大小为θ,则cosθ＝＝＝,∴θ＝arccos．∴异面直线C1D与BE所成角的大小为arccos．（2）点C1到平面BDE的距离d＝＝2,S△BDE＝﹣﹣﹣S△ADB＝＝6,∴四面体BDEC1的体积：V＝＝＝4．18．（14分）某工厂在制造产品时需要用到长度为698m的A型和长度为518m的B型两种钢管．工厂利用长度为4000m的钢管原材料, 裁剪成若干A型和B型钢管．假设裁剪时损耗忽略不计, 裁剪后所剩废料与原材料的百分比称为废料率．（1）有两种裁剪方案的废料率小于4.5%, 请说明这两种方案并计算它们的废料率；（2）工厂现有100根原材料钢管, 一根A型和一根B型钢管为一套毛胚, 按（1）中的方案裁剪, 最多可裁剪多少套毛胚？最终的废料率为多少？（1）设每根原材料可裁剪a根A型和b根B型钢管, 则, 【解答】解：方案一：, 废料率最小为（1﹣）×100%＝0.35%,方案二：, 废料率最小为（1﹣）×100%＝4.3%,（2）设用方案一裁剪x根原材料, 用方案二裁剪y根原材料, 共裁剪得z套毛胚, 则, z＝2x+4y,得, z max＝320套,废料率为＝2.72%,答：最多可裁剪320套毛胚, 最终的废料率为2.72%19．（16分）设函数f（x）＝x2+|x﹣a|（x∈R, a∈R）．（1）讨论f（x）的奇偶性；（2）当a＝1时, 求f（x）的单调区间；（3）若f（x）＜10对x∈（﹣1, 3）恒成立, 求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝0时, f（x）为偶函数；当a≠0时, f（x）为非奇非偶函数（2）a＝1时, f（x）＝x2+|x﹣1|＝＝∴函数的单调减区间为（﹣∞, ）, 函数的单调增区间为（, +∞）（3）f（x）＝x2+|x﹣a|＜10对x∈（﹣1, 3）恒成立, 等价于x2﹣10＜x﹣a＜10﹣x2, 等价于对x∈（﹣1, 3）恒成立∴2≤a≤420．（16分）已知椭圆+y2＝1, A是它的上顶点, 点P n, Q n（n∈N*）各不相同且均在椭圆上（1）若P1, Q1恰为椭圆长轴的两个端点, 求△AP1Q1的面积；（2）若•＝0, 求证：直线P n Q n过一定点；（3）若＝＝1﹣, △AP n Q n的外接圆半径为R n, 求R n的值【解答】解：（1）椭圆+y2＝1, A（0, 1）, P1（﹣2, 0）, Q1（2, 0）,△AP1Q1的面积为×1×4＝2；（2）证明：设直线AP n的方程为y＝kx+1,由•＝0, 即⊥,可得直线AQ n的方程为y＝﹣x+1,由y＝kx+1和x2+4y2＝4联立, 可得（1+4k2）x2+8kx＝0,解得x1＝﹣, x2＝0,可得P n（﹣, ）,将k换为﹣可得Q n（, ）,直线P n Q n的斜率为＝,直线P n Q n的方程为y﹣＝（x+）,化简可得y＝x﹣,则直线P n Q n过一定点（0, ﹣）；（3）＝＝1﹣, △AP n Q n的外接圆半径为R n,由椭圆方程可得＝﹣, ＝,△AP n Q n为等腰三角形, △AP n Q n的外接圆圆心在y轴上,设为（0, t）, （0＜t＜1）,由圆的定义可得1﹣t＝,化为1﹣t＝4﹣,可得R n＝4﹣,可得R n＝（4﹣）＝4﹣0＝4．21．（18分）对任意正整数m, 若存在数列a1, a2, ……, a k, 满足m＝a1•1！+a2•2！+a3•3！+L+a k•k！, 其中a1∈N, a1≤i, a k＞0, i＝1, 2, ……, k, 则称数列a1,a2, ……, a k为正整数m的生成数列, 记为A[m]．（1）写出2018的生成数列A[2018]；（2）求证：对任意正整数m, 存在唯一的生成数列A[m]；（3）求生成数列A[2025！﹣1949！]的所有项的和．【解答】（1）解：2018＝1×2!+4×4!+4×5!+2×6!,故数列A[2018]为a1＝0, a2＝1, a3＝0, a4＝4, a5＝4, a6＝2；（2）证明：对于恰有k项生成数列, 其表示的正整数最小值为k!,表示的正整数最大值为1•1!+2•2!+3•3!+…+k•k!＝（k+1）!﹣1,即k项的不同生成数列共有2•3•4…k•k＝k•k!＝（k+1）!﹣k!,而满足k!≤n≤（k+1）!﹣1的正整数n恰好有（k+1）!﹣k!个．下面只需证明两个不同的k项生成数列表示的正整数不同．设生成数列a1, a2, a3, …, a k和b1, b2, b3, …, b k表示的数为A和B, 若a k＜b k,则a1•1!+a2•2!+…+a k•k!≤1•1!+2•2!+…+（k﹣1）•（k﹣1）!+a k•k!＝（a k+1）•k!﹣1＜b k•k!．即A＜B；同理若有a k＝b k, a k﹣1＜b k﹣1, 也可到A＜B；依此类推可得A＝B的充要条件是生成数列a1, a2, a3, …, a k和b1, b2, b3, …, b k相同．综上可得, 对任意正整数m, 存在唯一的生成数列A[m]；（3）解：∵（k+1）!﹣k!＝k•k!,∴2025！﹣1949！＝1949•1949!+1950•1950!+…+2024•2024!,即数列A[2025！﹣1949！]的通项为：．故所有项的和为：＝150974．。
2018-2019学年上海市交大附中高二上学期9月摸底考试数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市交大附中高二上学期9月摸底考试数学试题一、单选题1．若平面向量()1,a x =和()23,b x x =+-互相平行，其中x ∈R ，则a b -=（ ）A. B.2或 C.2-或0D.2或10【答案】B【解析】先根据向量平行得方程解得x ，再根据向量模的坐标表示得结果. 【详解】因为向量()1,a x =和()23,b x x =+-互相平行，所以()1(23)02x x x x x ⋅-=+⇒==-或，因为(22,2),a b x x -=--则(2,0)2a b -=-=或(2,-4)a b -== B.【点睛】本题考查向量平行、向量模的坐标表示，考查基本求解能力.2．已知ABC ∆两内角A 、B 的对边边长分别为a ，b ，则“A B =”是“cos cos a A b B =”（ ）． A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件【答案】A【解析】当A B =时，易得cos cos a A b B =，反过来，cos cos a A b B =时，根据正弦定理和两角和的正弦公式变形为sin 2sin 2A B =，再判断是否能推出A B =. 【详解】cos cos sin cos sin cos sin 2sin 2a A b B A A B B A B =⇒=⇒=，则A B =或2A B π+=，故“A B =”是“cos cos a A b B =”充分非必要条件.故选：A. 【点睛】本题考查判断命题的充分非必要条件，意在考查充分必要条件的判断方法，以及三角函数恒等变形，属于基础题型.3．函数()321f x ax a =-+，若存在()01,1x ∈-，使()00f x =，那么（ ）A.115a -<< B.1a <-C.1a <-或15a >D.15a <【答案】C【解析】根据零点存在定理列不等式，解得结果，即得选项. 【详解】由题意得()11(1)05f f a -⇒或1a <-，选C 【点睛】本题考查零点存在定理应用，考查基本求解能力.4．定义域为[],a b 的函数()y f x =图像的两个端点为,A B ，向量()1ON OA OB λλ=+-，(),M x y 是()f x 图像上任意一点，其中()1x a b λλ=+-，[]0,1λ∈。
上海市交通大学附属中学2019_2020学年高二数学上学期9月月考试题(含解析)
如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！ 上海市交通大学附属中学2019-2020学年高二数学上学期9月月考试题（含解析）一、填空题1.若()3,1a =-r ，()1,b t =r，且()2a b a +⊥r r r ，则t =______.【答案】23 【解析】 【分析】根据向量坐标运算,可得2a b +r r,再由向量垂直的坐标关系即可求得t 的值.【详解】根据向量坐标运算,可得()27,2a b t +=-+r r由向量()2a b a +⊥r r r,可得()22120a b a t +⋅=+-=r r r .解得23t =【点睛】本题考查了向量加法运算,根据向量垂直的坐标关系求参数,属于基础题.2.已知集合2|05x A x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，{}2|230,B x x x x R =--≥∈，则A B =U ______. 【答案】()[),23,-∞+∞U 【解析】 【分析】分别解分式不等式和二次不等式,得集合A 与集合B,即可求得A B U . 【详解】因为集合2|05x A x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭,解得{}52A x x =-<< 集合{}2|230,B x x x x R =--≥∈,解得{}|13B x x x =≤-≥或 则()[),23,A B =-∞+∞U U .【点睛】本题考查了分式不等式与二次不等式的解法,并集的运算,属于基础题.3.函数()()20.5log 32f x x x =-+-的单调递增区间为______.【答案】3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】先求得函数的定义域,再结合复合函数单调性的性质即可求得单调递增区间. 【详解】由对数函数真数大于0,可得2320x x -+->,解得()1,2x ∈函数()()20.5log 32f x x x =-+-是由对数与二次函数的复合函数构成,由”同增异减”的单调性质,可知对数部分为单调递减函数,则二次函数部分为单调递减函数即可 二次函数单调递减区间是3,+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭结合函数定义域,所以整个函数单调递减区间为3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查了复合函数单调性的判断,注意对数函数对定义域的特殊要求.4.已知函数()()arcsin 21f x x =+，则16f π-⎛⎫= ⎪⎝⎭______. 【答案】14- 【解析】 【分析】根据反函数定义,先求得()()arcsin 21f x x =+的反函数,再代入求解即可. 【详解】因为()()arcsin 21f x x =+ 即()arcsin 21y x =+令y x =,则()arcsin 21x y =+ 化简可得11sin 22y x =-+,（x ,22ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦），即()111sin 22f x x -=-+所以1111162224fπ-⎛⎫=-+⨯=- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了反函数解析式的求法,三角函数的求值,属于中档题.5.若实数λ满足()1AD AB AC λλ=+-uuu r uu u r uu u r，其中D 是ABC ∆边BC 延长线（不含C ）上一点，则λ的取值范围为______. 【答案】(),0-∞ 【解析】 【分析】根据题意,画出示意图,根据平面向量基本定理及向量共线条件,化简即可得λ的取值范围. 【详解】由题意可知,示意图如下图所示:根据向量线性运算可得()1AD AB AC λλ=+-uuu r uu u r uu u r AB AC AC λλ=+-uu u r uuu r uuu r 即()AD AC AB AC λ-=-uuu r uuu r uu u r uuu r所以CD CB BC λλ==-uu u r uu r uu u r因为D 是ABC ∆边BC 延长线（不含C ）上一点 所以CD uuu r 与u u rCB 反向 即0λ<.所以(),0λ∈-∞【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用,向量共线的条件应用,属于中档题.6.若对任意x ∈R ，不等式2sin 22sin 0x x m +-<恒成立，则m 的取值范围是_____. 【答案】(21,)+∞【解析】 【分析】问题转化为m ＞sin2cos21m x x >-+对任意x ∈R 恒成立，只需由三角函数求出求y ＝sin2cos21x x -+的最大值即可．【详解】不等式2sin22sin 0x x m +-<，即sin2cos212sin 214m x x x π⎛⎫>-+=-+ ⎪⎝⎭.由于2sin 214x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最大值为21+，21m ∴>+， 故答案为：()21,++∞.【点睛】本题考查三角函数的最值，涉及恒成立问题和三角函数公式的应用，属基础题．7.若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于________． 【答案】9 【解析】 【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p ，ab=q ，再由a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a ，b 的方程组，求得a ，b 后得答案． 详解】由题意可得：a+b=p ，ab=q ，∵p＞0，q ＞0，可得a ＞0，b ＞0，又a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列， 也可适当排序后成等比数列， 可得①或②． 解①得：；解②得：．∴p=a+b=5，q=1×4=4， 则p+q=9．故答案为9．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题．【思路点睛】解本题首先要能根据韦达定理判断出a ，b 均为正值，当他们与-2成等差数列时，共有6种可能，当-2为等差中项时，因为，所以不可取，则-2只能作为首项或者末项，这两种数列的公差互为相反数；又a,b 与-2可排序成等比数列，由等比中项公式可知-2必为等比中项，两数列搞清楚以后，便可列方程组求解p ，q ．8.已知梯形ABCD ，AB CD ∥，设1AB e =uu u r u r，向量2e u u r 的起点和终点分别是A 、B 、C 、D 中的两个点，若对平面中任意的非零向量a r，都可以唯一表示为1e u r 、2e u u r 的线性组合，那么2e u u r 的个数为______. 【答案】8 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理可知, 1e u r 与2e u u r不平行.从A 、B 、C 、D 中任意选取两个点作为向量,可得总向量个数,排除共线向量的个数后即可得2e u u r的个数. 【详解】由题意可知, 1e u r 与2e u u r不平行则从A 、B 、C 、D 中任意选取两个点作为向量,共有244312A =⨯=个向量在这些向量中,与1e u r 共线的向量有AB u u u r ,BA u uu r ,CD uuu r ,DC u u u r 所以2e u u r的个数为1248-= 个【点睛】本题考查了平面向量共线的简单应用,注意向量的方向性,属于基础题.9.已知数列{}n a (*n ∈N )，若11a =，112nn n a a +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2lim n n a →∞= ． 【答案】23-【解析】 【分析】 由已知推导出2n S =23(11)4n -，21n S -=1+13（1114n --），从而22n n a S =-21n S -=21132n -n -23，由此能求出2lim n n a →∞【详解】∵数列{}n a 满足：1 1a =，112nn n a a +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴（12a a +）+（34 a a +）+……+（212 n n a a -+）=12+312⎛⎫ ⎪⎝⎭+……+2112n -⎛⎫ ⎪⎝⎭=11124114n ⎛⎫-⎪⎝⎭-=23(11)4n-， ∴2n S =23(11)4n -； 又12345a a a a a +++++……+（2221 n n a a --+）=1+212⎛⎫ ⎪⎝⎭+412⎛⎫ ⎪⎝⎭+……+2212n -⎛⎫ ⎪⎝⎭=1+2111124114n -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=1+13（1114n --）， 即21n S -=1+13（1114n --） ∴22n n a S =-21n S -=21132n -n -23 ∴2211lim lim(32n n n n a n -→∞→∞=-2)3=-23，故答案为：-23【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，数列的极限的求法，考查逻辑思维能力及计算能力，属于中档题．10.已知函数()22x x x af x xx a ⎧--≤=⎨->⎩，若函数()f x 无最大值，则实数a 的取值范围为______.【答案】(),1-∞- 【解析】 【分析】画出分段函数的图像,根据函数图像讨论a 的不同取值,分析是否存在最大值即可.【详解】根据()22x x x af x xx a ⎧--≤=⎨->⎩,画出函数图像如下图所示:由图像可知,当1a ≥-，()f x 取得二次函数顶点,此时存在最大值为1，当1a <-时，最大值在一次函数左端点,但左端点没有取得等号，所以1a <-时没有最大值 综上, 实数a 的取值范围为(),1-∞-.【点睛】本题考查了分段函数的图像与性质的简单应用,注意端点处的值是否可以取到,属于中档题.11.设[0,2)ϕπ∈，若关于x 的方程sin(2)x a ϕ+=在区间[0,]π上有三个解，且它们的和为43π，则ϕ=________ 【答案】6π或76π【解析】 【分析】由关于x 的方程()sin 2x a ϕ+=在区间[]0,π上有三个解，且函数()y sin 2x ϕ=+的最小正周期为π可得，最大和最小的解分别为π和0，根据它们的和为43π，可求出中间的解，列出等式，根据ϕ的范围即可求出结果.【详解】因为关于x 的方程()sin 2x a ϕ+=在区间[]0,π上有三个解，且函数()y sin 2x ϕ=+的最小正周期为π，再由三角函数的对称性可知：方程()sin 2x a ϕ+=在区间[]0,π上的解的最小值与最大值分别为0和π； 又它们的和为43π，所以中间的解为3π， 所以有2sin sin 3a πϕϕ⎛⎫==+⎪⎝⎭，即31sin cos sin 2ϕϕϕ=-，故3tan ϕ=， 又[)0,2ϕπ∈，所以6πϕ=或76π. 故答案为6π或76π 【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质，熟记正弦型函数的性质即可，属于常考题型.12.设点P 在以A 为圆心，半径为1的圆弧BC 上运动（包含B 、C 两个端点），23BAC π∠=，且AP xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r，则x y xy ++的取值范围为______.【答案】[]1,3 【解析】 【分析】根据共线向量基本定理,设AP mAM =uu u r uuu r,结合条件AP xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r 可求得x y m +=的等量关系，根据M 的位置可求得x y +的范围，同时根据基本不等式，求得xy 的取值范围， 即可得x y xy ++的取值范围。
上海市交大附中20182019学年上学期高二数学期末试卷解析版.doc
2018-2019学年上海市交大附中高二（上）期末数学试卷一、填空题：1．（3分）若复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i（m为实数，i为虚数单位）是纯虚数，则m ＝．2．（3分）复数z＝（2+i）（1﹣i），其中i为虚数单位，则z的虚部为．3．（3分）抛物线x2＝12y的准线方程为4．（3分）已知向量＝（1，﹣2），，，，如果，则实数λ＝．5．（3分）若直线l1：ax+2y＝0和l2：3x+（a+1）y+1＝0平行，则实数a的值为．6．（3分）设双曲线﹣＝1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|＝5，则|PF2|＝．7．（3分）设x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x﹣3y的最小值是．8．（3分）若复数z满足z•2i＝|z|2+1（其中i为虚数单位），则|z|＝．9．（3分）在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1）和点B（﹣3，4），若点C在∠AOB的平分线上且||＝2，则＝．10．（3分）参数方程（t为参数）化成普通方程为；11．（3分）在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为，、分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P，若（a、b∈R），则a、b满足的一个等式是．12．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A在椭圆上，点P满足，且，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为．二、选择题：13．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（其中a，b，c∈R，a≠0）下列命题不正确的是（）A．两根x1，x2满足，B．两根x1，x2满足C．若判别式△＝b2﹣4ac＞0时，则方程有两个相异的实数根D．若判别式△＝b2﹣4ac＝0时，则方程有两个相等的实数根14．（3分）已知两点A（1，2），B（4，﹣2）到直线l的距离分别为1，4，则满足条件的直线l共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条15．（3分）如图．在四边形ABCD中．AB⊥BC，AD⊥DC，若||＝a，||＝b．则＝（）A．b2﹣a2B．a2﹣b2C．a2+b2D．ab16．（3分）已知F为抛物线C：y2＝4x的集点，A，B，C为抛物线C上三点，当时，称△ABC为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（）A．0个B．1个C．3个D．无数个三、解答题：17．设z+1为关于x的方程x2+mx+n＝0，m，n∈R的虚根，i为虚数单位．（1）当z＝﹣1+i时，求m、n的值；（2）若n＝1，在复平面上，设复数z所对应的点为P，复数2+4i所对应的点为Q，试求|PQ|的取值范围．18．（1）已知非零复数z满足|z+2|＝2，，求复数z．（2）已知虚数z使和都是实数，求虚数z．19．已知椭圆．（1）M为直线上动点，N为椭圆上动点，求|MN|的最小值；（2）过点，作椭圆的弦AB，使，求弦AB所在的直线方程．20．圆，圆，动圆P与两圆M1、M2外切．（1）动圆圆心P的轨迹C的方程；（2）过点N（1，0）的直线与曲线C交于不同的两点N1，N2，求直线N1N2斜率的取值范围；（3）是否存在直线l：y＝kx+m与轨迹C交于点A，B，使，且|AB|＝2|OA|，若存在，求k，m的值；若不存在，说明理由．21．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于M，N两点，且M，N两点的纵坐标之积为﹣4．（1）求抛物线的方程；（2）求的值（其中O为坐标原点）；（3）已知点A（1，2），在抛物线上是否存在两点B、C，使得AB⊥BC？若存在，求出C点的纵坐标的取值范围；若不存在，则说明理由．2018-2019学年上海市交大附中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：1．【解答】解：∵复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i（i为虚数单位）是纯虚数，∴m2﹣5m+6＝0且m2﹣3m≠0，解得m＝2，故答案为：2．2．【解答】解：z＝（2+i）（1﹣i）＝3﹣i．则z的虚部为﹣1．故答案为：﹣1．3．【解答】解：抛物线x2＝12y的准线方程为：y＝﹣3．故答案为：y＝﹣3．4．【解答】解：∵＝（0，﹣3），＝（1+λ，﹣2+λ），，∴＝﹣3（﹣2+λ）＝0，解得λ＝2．∴实数λ＝2．故答案为2．5．【解答】解：∵l1：ax+2y＝0与l2：3x+（a+1）y+1＝0平行∴∴a＝﹣3或2故答案为：﹣3或26．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：﹣＝1，其中a＝＝3，则有||PF1|﹣|PF2||＝6，又由|PF1|＝5，解可得|PF2|＝11或﹣1（舍）故|PF2|＝11，故答案为：11．7．【解答】解：由约束条件，得可行域如图，使目标函数z＝2x﹣3y取得最小值的最优解为A（3，4），∴目标函数z＝2x﹣3y的最小值为z＝2×3﹣3×4＝﹣6．故答案为：﹣6．8．【解答】解：设z＝a+bi，∵复数z满足z•2i＝|z|2+1（其中i为虚数单位），∴（a+bi）•2i＝a2+b2+1，∴2ai﹣2b＝a2+b2+1，∴，解得a＝0，b＝﹣1，∴|z|＝＝1．故答案为：1．9．【解答】解：∵，，设OC与AB交于D（x，y）点则：AD：BD＝1：5即D分有向线段AB所成的比为则解得：∴又∵||＝2∴＝（﹣，）故答案为：（﹣，）10．【解答】解：由题意，可知：，对于①式，可化成用x表示t的函数形式，x（1+t）＝2+3t化简，整理得：，其中x≠3同理，对于②式，可化成用y表示t的函数形式，y（1+t）＝1﹣2t化简，整理得：，其中y≠﹣2联立两个t的表达式，得：＝两式交叉相乘，得：（x﹣3）（1﹣y）＝（2﹣x）（y+2）化简，整理，得：3x+y﹣7＝0（x≠3）．故答案为3x+y﹣7＝0（x≠3）．11．【解答】解：因为、是渐近线方向向量，所以双曲线渐近线方程为，又，∴a＝2，b＝1双曲线方程为，＝（2a+2b，a﹣b），∴，化简得4ab＝1．故答案为4ab＝1．12．【解答】解：∵，∴＝，则O，A，P三点共线，∵，设Op与x轴的夹角为θ，B为A（x，y）在x轴上的投影，则线段OP在x轴上的投影长度为||cosθ＝＝＝≤48×＝10，当且仅当即|x|＝时取得最大值10．故答案为：10．二、选择题：13．【解答】解：由根与系数之间的关系得对实系数二次方程，无论判别式△≥0还是△＜0，两根x1，x2满足，，故A正确，若两根x1，x2为虚根，则不成立，故B错误，判别式△＝0时，方程有两个相等的实数根，△＝b2﹣4ac＞0时，则方程有两个相异的实数根，故C，D，正确，故选：B．14．【解答】解：由点A（1，2），B（4，﹣2），易得|AB|＝5，以点A为圆心，半径1为的圆，与以点B为圆心，半径为4的圆外切，故满足条件的直线l即两个圆的公切线，显然，两个圆的公切线共有3条，故选：C．15．【解答】解：∵AD⊥DC，∴•＝0，∴•＝（+）•（﹣）＝﹣•（+）＝﹣•（+），∵AB⊥BC，∴•＝0，∴﹣•（+）＝﹣，∵||＝a，||＝b，∴＝b2﹣a2，故选：A．16．【解答】解：抛物线方程为y2＝4x，A、B、C为抛物线C三点，当满足时时，F为△ABC的重心，连接AF并延长至D，使FD＝AF，当D在抛物线内部时，存在以D为中点的弦BC，则这样的三角形有无数个．故“和谐三角形”有无数个，故选：D．三、解答题：17．【解答】解：（1）∵z＝﹣1+i，∴z+1＝i，则方程x2+mx+n＝0的两根分别为i，﹣i．由根与系数的关系可得，即m＝0，n＝1；（2）设z＝a+bi（a，b∈R），则＝＝a+1﹣bi．由题意可得：（z+1）＝（a+1）2+b2＝1．令a+1＝cosθ，b＝sinθ，θ∈[0，2π）．|PQ|＝＝∈[4，6]．18．【解答】解：（1）设z＝a+bi，则z+＝a+bi+＝a+bi+＝a++（b ﹣）i，∵，∴b﹣＝0，得b（1﹣）＝0，得b＝0或1﹣＝0，得a2+b2＝4，若b＝0，则z＝a，由|z+2|＝2得|a+2|＝2得a＝0，此时z＝0，不满足条件．若a2+b2＝4，由|z+2|＝2得|a+bi+2|＝2，得＝2，即（a+2）2+b2＝4，即a2+4a+4+b2＝4，得4+4a+4＝4，得a＝﹣1，此时b＝±，即z＝﹣1±i．（2）设z＝a+bi，（b≠0），∵和都是实数，∴设＝m和＝n，即z2＝m（z+1），z＝n（z2+1），即a2﹣b2+2abi＝m（a+1+bi）＝m（a+1）+mbi，则，即m＝2a，即a2+b2+2a＝0，①由z＝n（z2+1），得a+bi＝n（a2﹣b2+2abi+1）即，得n＝，a＝（a2﹣b2+1），即a2+b2﹣1＝0，②则2a＝﹣1，得a＝﹣，b＝±，即z＝﹣±i．19．【解答】解：（1）设点N的坐标为，则点N到直线l的距离为＝＝，所以，|MN|的最小值为；（2）设直线AB的参数方程为（t为参数，且β为倾斜角），设点A、B 对应的参数分别为t1、t2，由于，则﹣t1＝3t2，将直线AB的参数方程代入椭圆的方程，并化简得，由韦达定理得＝，，则，所以，，化简得，得cosβ＝0或，因此，弦AB所在的直线方程为或y，即或．20．【解答】解：（1）圆M1的圆心为M1（0，﹣），半径为r1＝，圆M2的圆心为M2（0，），半径为r2＝．设P（x，y），动圆P的半径为R，则|PM1|＝＝R+，|PM2|＝＝R+，∴＝+2，整理得：y2﹣x2＝1．∴动圆圆心P的轨迹C的方程y2﹣x2＝1（y≥1）．（2）设y＝k（x﹣1），则﹣1＜k＜0．联立，化为：（k2﹣1）x2﹣2k2x+k2﹣1＝0，△＝4k4﹣4（k2﹣1）（k2﹣1）＞0，解得：﹣1＜k＜﹣．∴．（3）k＝0时，不成立．k≠0时，直线OA的方程为：y＝﹣x，则＞1或＜﹣1，解得﹣1＜k＜0，或0＜k＜1．联立，解得＝，＝．∴|OA|2＝+＝．设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为（k2﹣1）x2+2kmx+m2﹣1＝0，△＝4k2m2﹣4（k2﹣1）（m2﹣1）＞0，化为：k2+m2﹣1＞0．∴x1+x2＝，x1x2＝，∴|AB|2＝（1+k2）[﹣4x1x2]＝（1+k2）[﹣4×]，∵|AB|＝2|OA|，∴|AB|2＝4|OA|2，∴（1+k2）[﹣4×]＝4×．化为：m2＝2﹣2k2．联立，解得：A．∴＝，化为：m2＝．∴2﹣2k2＝，0＜k2＜1．∴（1﹣k2）＝k2+1，解得．因此存在k，m满足题意．21．【解答】（1）y2＝4x；（2）﹣3；（2）（﹣∞，﹣6）∪[10，+∞）；解：（1）设点M（x1，y1）、N（x2，y2），抛物线的焦点F的坐标为，设直线MN的方程为，将直线MN的方程与抛物线的方程联立，消去x并整理得y2﹣2mpy﹣p2＝0．由韦达定理得，由于p＞0，解得p＝2．因此，抛物线的方程为y2＝4x；（2）＝；（3）设点、．，．∵AB⊥BC，则．易知，y3≠2，y4≠y3，化简得（y3+2）（y4+y3）+16＝0，所以，．①当y3+2＜0时，由基本不等式可得，当且仅当，即当y3＝﹣6时，等号成立；②当y3+2＞0时，．当且仅当时，即当y3＝2时，等号成立，事实上，y3≠2，此时，有y4＜﹣6．综上所述，C点纵坐标的取值范围是（﹣∞，﹣6）∪[10，+∞）．。
上海市交大附中2018-2019学年上学期高二数学期末试卷(解析版)
2018-2019学年上海市交大附中高二（上）期末数学试卷一、填空题：1．（3分）若复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i（m为实数，i为虚数单位）是纯虚数，则m ＝．2．（3分）复数z＝（2+i）（1﹣i），其中i为虚数单位，则z的虚部为．3．（3分）抛物线x2＝12y的准线方程为4．（3分）已知向量＝（1，﹣2），，，，如果，则实数λ＝．5．（3分）若直线l1：ax+2y＝0和l2：3x+（a+1）y+1＝0平行，则实数a的值为．6．（3分）设双曲线﹣＝1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|＝5，则|PF2|＝．7．（3分）设x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x﹣3y的最小值是．8．（3分）若复数z满足z•2i＝|z|2+1（其中i为虚数单位），则|z|＝．9．（3分）在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1）和点B（﹣3，4），若点C在∠AOB的平分线上且||＝2，则＝．10．（3分）参数方程（t为参数）化成普通方程为；11．（3分）在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为，、分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P，若（a、b∈R），则a、b满足的一个等式是．12．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A在椭圆上，点P满足，且，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为．二、选择题：13．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（其中a，b，c∈R，a≠0）下列命题不正确的是（）A．两根x1，x2满足，B．两根x1，x2满足C．若判别式△＝b2﹣4ac＞0时，则方程有两个相异的实数根D．若判别式△＝b2﹣4ac＝0时，则方程有两个相等的实数根14．（3分）已知两点A（1，2），B（4，﹣2）到直线l的距离分别为1，4，则满足条件的直线l共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条15．（3分）如图．在四边形ABCD中．AB⊥BC，AD⊥DC，若||＝a，||＝b．则＝（）A．b2﹣a2B．a2﹣b2C．a2+b2D．ab16．（3分）已知F为抛物线C：y2＝4x的集点，A，B，C为抛物线C上三点，当时，称△ABC为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（）A．0个B．1个C．3个D．无数个三、解答题：17．设z+1为关于x的方程x2+mx+n＝0，m，n∈R的虚根，i为虚数单位．（1）当z＝﹣1+i时，求m、n的值；（2）若n＝1，在复平面上，设复数z所对应的点为P，复数2+4i所对应的点为Q，试求|PQ|的取值范围．18．（1）已知非零复数z满足|z+2|＝2，，求复数z．（2）已知虚数z使和都是实数，求虚数z．19．已知椭圆．（1）M为直线上动点，N为椭圆上动点，求|MN|的最小值；（2）过点，作椭圆的弦AB，使，求弦AB所在的直线方程．20．圆，圆，动圆P与两圆M1、M2外切．（1）动圆圆心P的轨迹C的方程；（2）过点N（1，0）的直线与曲线C交于不同的两点N1，N2，求直线N1N2斜率的取值范围；（3）是否存在直线l：y＝kx+m与轨迹C交于点A，B，使，且|AB|＝2|OA|，若存在，求k，m的值；若不存在，说明理由．21．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于M，N两点，且M，N两点的纵坐标之积为﹣4．（1）求抛物线的方程；（2）求的值（其中O为坐标原点）；（3）已知点A（1，2），在抛物线上是否存在两点B、C，使得AB⊥BC？若存在，求出C点的纵坐标的取值范围；若不存在，则说明理由．2018-2019学年上海市交大附中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：1．【解答】解：∵复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i（i为虚数单位）是纯虚数，∴m2﹣5m+6＝0且m2﹣3m≠0，解得m＝2，故答案为：2．2．【解答】解：z＝（2+i）（1﹣i）＝3﹣i．则z的虚部为﹣1．故答案为：﹣1．3．【解答】解：抛物线x2＝12y的准线方程为：y＝﹣3．故答案为：y＝﹣3．4．【解答】解：∵＝（0，﹣3），＝（1+λ，﹣2+λ），，∴＝﹣3（﹣2+λ）＝0，解得λ＝2．∴实数λ＝2．故答案为2．5．【解答】解：∵l1：ax+2y＝0与l2：3x+（a+1）y+1＝0平行∴∴a＝﹣3或2故答案为：﹣3或26．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：﹣＝1，其中a＝＝3，则有||PF1|﹣|PF2||＝6，又由|PF1|＝5，解可得|PF2|＝11或﹣1（舍）故|PF2|＝11，故答案为：11．7．【解答】解：由约束条件，得可行域如图，使目标函数z＝2x﹣3y取得最小值的最优解为A（3，4），∴目标函数z＝2x﹣3y的最小值为z＝2×3﹣3×4＝﹣6．故答案为：﹣6．8．【解答】解：设z＝a+bi，∵复数z满足z•2i＝|z|2+1（其中i为虚数单位），∴（a+bi）•2i＝a2+b2+1，∴2ai﹣2b＝a2+b2+1，∴，解得a＝0，b＝﹣1，∴|z|＝＝1．故答案为：1．9．【解答】解：∵，，设OC与AB交于D（x，y）点则：AD：BD＝1：5即D分有向线段AB所成的比为则解得：∴又∵||＝2∴＝（﹣，）故答案为：（﹣，）10．【解答】解：由题意，可知：，对于①式，可化成用x表示t的函数形式，x（1+t）＝2+3t化简，整理得：，其中x≠3同理，对于②式，可化成用y表示t的函数形式，y（1+t）＝1﹣2t化简，整理得：，其中y≠﹣2联立两个t的表达式，得：＝两式交叉相乘，得：（x﹣3）（1﹣y）＝（2﹣x）（y+2）化简，整理，得：3x+y﹣7＝0（x≠3）．故答案为3x+y﹣7＝0（x≠3）．11．【解答】解：因为、是渐近线方向向量，所以双曲线渐近线方程为，又，∴a＝2，b＝1双曲线方程为，＝（2a+2b，a﹣b），∴，化简得4ab＝1．故答案为4ab＝1．12．【解答】解：∵，∴＝，则O，A，P三点共线，∵，设Op与x轴的夹角为θ，B为A（x，y）在x轴上的投影，则线段OP在x轴上的投影长度为||cosθ＝＝＝≤48×＝10，当且仅当即|x|＝时取得最大值10．故答案为：10．二、选择题：13．【解答】解：由根与系数之间的关系得对实系数二次方程，无论判别式△≥0还是△＜0，两根x1，x2满足，，故A正确，若两根x1，x2为虚根，则不成立，故B错误，判别式△＝0时，方程有两个相等的实数根，△＝b2﹣4ac＞0时，则方程有两个相异的实数根，故C，D，正确，故选：B．14．【解答】解：由点A（1，2），B（4，﹣2），易得|AB|＝5，以点A为圆心，半径1为的圆，与以点B为圆心，半径为4的圆外切，故满足条件的直线l即两个圆的公切线，显然，两个圆的公切线共有3条，故选：C．15．【解答】解：∵AD⊥DC，∴•＝0，∴•＝（+）•（﹣）＝﹣•（+）＝﹣•（+），∵AB⊥BC，∴•＝0，∴﹣•（+）＝﹣，∵||＝a，||＝b，∴＝b2﹣a2，故选：A．16．【解答】解：抛物线方程为y2＝4x，A、B、C为抛物线C三点，当满足时时，F为△ABC的重心，连接AF并延长至D，使FD＝AF，当D在抛物线内部时，存在以D为中点的弦BC，则这样的三角形有无数个．故“和谐三角形”有无数个，故选：D．三、解答题：17．【解答】解：（1）∵z＝﹣1+i，∴z+1＝i，则方程x2+mx+n＝0的两根分别为i，﹣i．由根与系数的关系可得，即m＝0，n＝1；（2）设z＝a+bi（a，b∈R），则＝＝a+1﹣bi．由题意可得：（z+1）＝（a+1）2+b2＝1．令a+1＝cosθ，b＝sinθ，θ∈[0，2π）．|PQ|＝＝∈[4，6]．18．【解答】解：（1）设z＝a+bi，则z+＝a+bi+＝a+bi+＝a++（b ﹣）i，∵，∴b﹣＝0，得b（1﹣）＝0，得b＝0或1﹣＝0，得a2+b2＝4，若b＝0，则z＝a，由|z+2|＝2得|a+2|＝2得a＝0，此时z＝0，不满足条件．若a2+b2＝4，由|z+2|＝2得|a+bi+2|＝2，得＝2，即（a+2）2+b2＝4，即a2+4a+4+b2＝4，得4+4a+4＝4，得a＝﹣1，此时b＝±，即z＝﹣1±i．（2）设z＝a+bi，（b≠0），∵和都是实数，∴设＝m和＝n，即z2＝m（z+1），z＝n（z2+1），即a2﹣b2+2abi＝m（a+1+bi）＝m（a+1）+mbi，则，即m＝2a，即a2+b2+2a＝0，①由z＝n（z2+1），得a+bi＝n（a2﹣b2+2abi+1）即，得n＝，a＝（a2﹣b2+1），即a2+b2﹣1＝0，②则2a＝﹣1，得a＝﹣，b＝±，即z＝﹣±i．19．【解答】解：（1）设点N的坐标为，则点N到直线l的距离为＝＝，所以，|MN|的最小值为；（2）设直线AB的参数方程为（t为参数，且β为倾斜角），设点A、B 对应的参数分别为t1、t2，由于，则﹣t1＝3t2，将直线AB的参数方程代入椭圆的方程，并化简得，由韦达定理得＝，，则，所以，，化简得，得cosβ＝0或，因此，弦AB所在的直线方程为或y，即或．20．【解答】解：（1）圆M1的圆心为M1（0，﹣），半径为r1＝，圆M2的圆心为M2（0，），半径为r2＝．设P（x，y），动圆P的半径为R，则|PM1|＝＝R+，|PM2|＝＝R+，∴＝+2，整理得：y2﹣x2＝1．∴动圆圆心P的轨迹C的方程y2﹣x2＝1（y≥1）．（2）设y＝k（x﹣1），则﹣1＜k＜0．联立，化为：（k2﹣1）x2﹣2k2x+k2﹣1＝0，△＝4k4﹣4（k2﹣1）（k2﹣1）＞0，解得：﹣1＜k＜﹣．∴．（3）k＝0时，不成立．k≠0时，直线OA的方程为：y＝﹣x，则＞1或＜﹣1，解得﹣1＜k＜0，或0＜k＜1．联立，解得＝，＝．∴|OA|2＝+＝．设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为（k2﹣1）x2+2kmx+m2﹣1＝0，△＝4k2m2﹣4（k2﹣1）（m2﹣1）＞0，化为：k2+m2﹣1＞0．∴x1+x2＝，x1x2＝，∴|AB|2＝（1+k2）[﹣4x1x2]＝（1+k2）[﹣4×]，∵|AB|＝2|OA|，∴|AB|2＝4|OA|2，∴（1+k2）[﹣4×]＝4×．化为：m2＝2﹣2k2．联立，解得：A．∴＝，化为：m2＝．∴2﹣2k2＝，0＜k2＜1．∴（1﹣k2）＝k2+1，解得．因此存在k，m满足题意．21．【解答】（1）y2＝4x；（2）﹣3；（2）（﹣∞，﹣6）∪[10，+∞）；解：（1）设点M（x1，y1）、N（x2，y2），抛物线的焦点F的坐标为，设直线MN的方程为，将直线MN的方程与抛物线的方程联立，消去x并整理得y2﹣2mpy﹣p2＝0．由韦达定理得，由于p＞0，解得p＝2．因此，抛物线的方程为y2＝4x；（2）＝；（3）设点、．，．∵AB⊥BC，则．易知，y3≠2，y4≠y3，化简得（y3+2）（y4+y3）+16＝0，所以，．①当y3+2＜0时，由基本不等式可得，当且仅当，即当y3＝﹣6时，等号成立；②当y3+2＞0时，．当且仅当时，即当y3＝2时，等号成立，事实上，y3≠2，此时，有y4＜﹣6．综上所述，C点纵坐标的取值范围是（﹣∞，﹣6）∪[10，+∞）．。
上海市交通大学附属中学2018学年高二上学期摸底考试数
上海交通大学附属中学2018-2018学年度第一学期高二数学摸底考试卷（满分150分，120分钟完成，允许使用计算器，答案一律写在答题纸质上） 一．填空题（满分56分）（本大题共14小题，每小题只要求直接填写结果，填对得4分否则一律得零分） 1.若202137x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭则x y +=__________________. 12. 已知集合{}1,3,21A m =-- 集合{}23,B m = 若B A ⊆ 则实数m = ___________.1 3. 已知θ 为象限角且cot(sin )0θ> 则θ是第__________________.象限的角。
一三 4.已知函数22()(1)(1)3f x a x a x =-+-+ 写出对任意的,()0x R f x ∈> 的一个充分非必要条件__________________.a =1（答案不唯一）5.把行列式112233322a b a b a b -按照第二列展开,则__________________. 6.已知||3,||5,a b ==12a b ⋅=-则向量a 与向量b 夹角的余弦为__________________. 7.我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，这个伟大创举与古老的算法----“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图源于“辗转相除法”．当输入6102,2016a b ==时，输出的a =__________________.8.若sin cos (0)θθθπ+=<< 则tan θ=__________________. 9.{}{}2|2530,|1M x x x N x mx =--===若N M ⊆则实数m 的取值集合是__________________. 10．实数x 满足221122x x x x x x--+=--+，则x 的解集为__________________. 11．已知函数21211()log 1x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩ 若关于x 的方程()f x k =有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是__________________.12.幂函数223())mm f x x m Z --=∈（的图像与坐标轴无公共点，且关于y 轴对称，则m 的值为__________________.13.已知函数2()2()f x x ax a x R =-+∈ 给出下列4个命题①当且仅当0a =时()f x 是偶函数②函数()f x 一定存在零点③函数在区间(],a -∞上单调递减④当01a <<时函数()f x 的最小值为2a a -那么所有真命题的序号是__________________.14.已知命题：若数列{}n a 为等差数列，且,(,,)m n a a a b m n m n N ==≠∈则m n bn am a n m+-=-现已知数列{}(0,)n n b b n N >∈为等比数列且,(,,)m n b a b b m n m n N ==≠∈若类比上述结论则可得到m n b +=__________________.二．选择题（满分20分）（本大题共4小题，每小题5分，均为单选题） 15.若23()lg(2)2f x x ax a =-+在区间(],1-∞ 上递减则a 的取值范围是（ ） A ．[)1,2 B ．[]1,2 C ．[)1,+∞ D ．[)2,+∞ 16．设0,0,a b >>则以下不等式中恒成立．．．的是（ ） A ．11()()4a b a b++≥B ．332a b ab +≥C ．2222a b a b +≥+ D≥17.已知函数()2sin sin(3)f x x x ϕ=+ 是奇函数，期中(0,)2πϕ∈ ，则函数()cos(2)g x x ϕ=- 的图像（ ）A ．关于点(,0)12π对称 B ．可由函数()f x 的图像向右平移3π个单位得到C ．可由函数()f x 的图像向左平移6π个单位得到 D ．可由函数()f x 的图像向左平移3π个单位得到18.数列{}n a 满足1110,1810(*)n n a a a n n N +==++∈记[]x 表示不超过实数x 的最大整数则)n →∞= （ ）A ．1B ．12C ．13D ．16三．解答题（满分74分）（本大题共5题，写出必要的解题步骤和说明） 19.（本题满分12分）解不等式2(2)20()ax a x a R +--<∈20．（本题满分14分，第1问7分，第2问7分）已知数列{}n a 的前项和为n S ，n 1(10,*)n S ta t t n N =+≠≠∈且（1）求证：数列{}n a 是等比数列 （2）若lim 1n n S →∞=求实数t 的取值范围21．（本题满分14分，第1问6分，第2问8分）如图，ABCD 是边长为10海里的正方形海域.现有一架飞机在该海域失事，两艘海事搜救船在A 处同时出发，沿直线AP 、AQ 向前联合搜索，且4PAQ π∠=（其中点P 、Q 分别在边BC 、CD 上），搜索区域为平面四边形APCQ 围成的海平面.设PAB θ∠=，搜索区域的面积为S .（1）试建立S 与tan θ的关系式，并指出θ的取值范围； （2）求S 的最大值，并求此时θ的值.BDCAP解：（1）ABCD ABP ADQ S S S S ∆∆=-- ……………………………………………………2分10050tan 50tan()4πθθ=--- ……………………………………………4分1tan 10050tan ,(0)1tan 4θπθθθ-⎛⎫=-+<< ⎪+⎝⎭ …………………………………6分 （2）令1tan ,(1,2)t t θ=+∈ …………………………………………………………8分21(1)221005010050(2)20050()t S t t t t t ⎡⎤+-=-=-+-=-+⎢⎥⎣⎦……………10分2t t +≥=（当且仅当2t t =时，即()1,2t =，等号成立）…12分 ∴当t =S的最大值为200-此时，1)θ= …………………………………………………………14分22．（本题满分16分，第1问4分，第2问6分，第3问6分） 定义区间),(d c ，),[d c ，],(d c ，],[d c 的长度均为c d -，其中c d >．（1）已知函数21xy =-的定义域为[],a b ，值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，写出区间[],a b 长度的最大值与最小值.（2）已知函数()M f x 的定义域为实数集[2,2]D =-,满足(),,M x x Mf x x x M∈⎧=⎨-∉⎩ (M 是D 的非空真子集) . 集合[]1,2A =,[]2,1B =-- ,求()()()()3A B A B f x F x f x f x =++的值域所在区间长度的总和．（3）定义函数1234()11234f x x x x x =+++-----，判断函数()f x 在区间(2,3)上是否有零点，并求不等式()0f x >解集区间的长度总和．解：（1）1212x-=， 解得1x =-或23log 2x =，…………………1分 210x -=，解得0x =， …………………2分画图可得：区间[],a b 长度的最大值为2log 3， 最小值为23log 2.………………………………4分 （2）(),3,(1,1)23xx A B F x x x x ⎧∈⎪⎪=⎨⎪∈-⎪-⎩ …………………………………………………………6分当x AB ∈，2112(),,3333F x ⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ……………………………………………7分 当(1,1)x ∈-，1()(1,)5F x ∈-， ……………………………………………………………8分 所以[2,2]x ∈-时，112()(1,),533F x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦………………………………………………9分 所以值域区间长度总和为2315。
交大二附中2018-2019学年高二9月月考数学试题解析
交大二附中2018-2019学年高二9月月考数学试题解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（ ）A ．2sin 2cos 2αα-+B ．sin 3αα+C. 3sin 1αα+ D ．2sin cos 1αα-+2． 如图，1111D C B A ABCD -为正方体，下面结论：① //BD 平面11D CB ；② BD AC ⊥1；③ ⊥1AC 平面11D CB .其中正确结论的个数是（ ）A ．B ．C ．D ．3． 已知的终边过点()2,3，则7tan 4πθ⎛⎫+⎪⎝⎭等于（ ） A ．15- B ．15C ．-5D ．54． 2016年3月“两会”期间，有代表提出适当下调“五险一金”的缴存比例，现拟从某工厂职工中抽取20名代表调查对这一提案的态度，已知该厂青年，中年，老年职工人数分别为350，500，150，按分层抽样的方法，应从青年职工中抽取的人数为（ ） A. 5 B.6 C.7D.10【命题意图】本题主要考查分层抽样的方法的运用，属容易题.5． 设{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．6 6． 如果集合 ,A B ，同时满足{}{}{}{}1,2,3,41,1,1AB B A B =≠≠，A =,就称有序集对(),A B 为“ 好集对”. 这里有序集对(),A B 是指当A B ≠时，(),A B 和(),B A 是不同的集对， 那么“好集对” 一共有（ ）个A ．个B ．个C ．个D ．个 7． 某几何体的三视图如下（其中三视图中两条虚线互相垂直）则该几何体的体积为（ ）A.83 B ．4 C.163D ．2038． 若圆心坐标为()2,1-的圆在直线10x y --=上截得的弦长为22，则这个圆的方程是（ ）A ．()()22210x y -++= B ．()()22214x y -++= C ．()()22218x y -++= D ．()()222116x y -++= 9． 设集合(){,|,,1A x y x y x y =--是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域是（ ）A ．B ．C ．D ． 10．直角梯形OABC 中,,1,2AB OC AB OC BC ===,直线:l x t =截该梯形所得位于左边图形面积为，则函数()S f t =的图像大致为（ ）11．如图甲所示， 三棱锥P ABC - 的高8,3,30PO AC BC ACB ===∠= ，,M N 分别在BC 和PO 上，且(),203CM x PN x x ==∈（，，图乙的四个图象大致描绘了三棱锥N AMC -的体积y 与 的变化关系，其中正确的是（ ）A ．B ． C. D ．1111] 12．复数满足2＋2z1－i ＝i z ，则z 等于（ ）A ．1＋iB ．－1＋iC ．1－iD ．－1－i二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．已知f （x ）＝x （e x ＋a e －x ）为偶函数，则a ＝________．14．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且 仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是 .（注：结果请用数字作答）【命题意图】本题考查计数原理、排列与组合的应用，同时也渗透了分类讨论的思想，本题综合性强，难度较大.15．已知函数()()31,ln 4f x x mxg x x =++=-.{}min ,a b 表示,a b 中的最小值，若函数()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．16．等差数列{}n a 中，39||||a a =，公差0d <，则使前项和n S 取得最大值的自然数是________.三、解答题（本大共6小题，共70分。
2018-2019学年上海市上海交通大学附属中学高二月考数学试题及答案
2018-2019学年上海市上海交通大学附属中学高二月考数学试题及答案一、单选题1．在下列命题中，不是公理的是（）A．平行于同一个平面的两个平面平行B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线【答案】A【解析】试题分析：选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的．B,C,D四个命题是平面性质的三个公理，所以选A．【考点】点，线，面的位置关系．2．(2017·吉安二模)若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c()A．一定平行B．一定相交C．一定是异面直线D．一定垂直【答案】D【解析】两条平行线中一条与第三条直线垂直，另一条直线也与第三条直线垂直， 故选D.3．在四边形()()1,2,4,2,ABCD AC BD ==-中，则该四边形的面积为（ ）A ．5B ．25C ．5D ．10【答案】C【解析】注意到两向量的纵坐标都为2，所以借助坐标系如图，1(14)*252S =+=.或者注意到·0AC BD =分为四个小直角三角形算面积.【考点定位】本题的处理方法主要是向量的平移，所以向量只要能合理的转化还是属于容易题. 4．已知动点P 的横坐标x 、纵坐标y 满足：①cos sin 1()x y R ααα+=∈；②224x y +≤，那么当α变化时，点P 形成的图形的面积为（ ） A ．π B ．3π C ．4π D ．4π-【答案】B【解析】根据方程cos sin 1x y αα+=表示单位圆的切线，可知P 点形成的图形为圆环，由两圆面积作差可求得结果.【详解】方程cos sin 1x y αα+=表示单位圆的切线P ∴形成的区域为222214x y x y ⎧+≥⎨+≤⎩构成的圆环 ∴区域面积43S πππ=-=故选：B 【点睛】本题考查动点轨迹形成区域面积的求解问题，关键是能够通过动点满足条件，准确找到所构成的平面区域.二、填空题5．复数23i +（i 是虚数单位）的模是__________． 【答案】13【解析】根据复数模长的定义直接求解即可得到结果. 【详解】22232313i +=+=故答案为：13【点睛】本题考查复数的模的求解，属于基础题.6．在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中,异面直线1A B 与1B C 所成角的大小为_______.【答案】3π【解析】试题分析：将1B C 平移到1A D 的位置，所以异面直线所成角转化为1BA D ∠，由于1BA D ∆是正三角形，所以13BA D π∠=【考点】异面直线所成角7．已知点(1,3)A ，(4,1)B -，则与向量AB 方向相同的单位向量的坐标为____________. 【答案】34(,)55-【解析】∵点()1,3A ，()4,1B -， ∴()3,4AB =-，可得235AB ==，因此，与向量AB 同方向的单位向量为：()1343,4,555AB e AB⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭故答案为：34,55⎛⎫-⎪⎝⎭8．以双曲线22145x y -=的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为_____．【答案】22195x y +=【解析】本题首先可以确定双曲线的焦点、顶点坐标，然后通过题意可以确定椭圆的顶点、焦点坐标，最后通过椭圆的相关性质即可求椭圆的方程。
上海市交大附中2019届高三数学9月开学摸底考试试题含解析
上海市交大附中2019届高三数学9月开学摸底考试试题（含解析）一、填空题.方程组的增广矩阵是1.______．【答案】【解析】.试题分析：根据增广矩阵的定义可知为.考点：本小题主要考查增广矩阵的定义和应用点评：增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是线性方程组的等号右边的值。
的参数方程为，则直线2的倾斜角是______若直【答案】【解析】【分析】，求出其斜率，结合直线）x根据题意，将直线的参数方程变形为普通方程为（y+2﹣3，结合的斜率与倾斜角的关系可得tθanθ的范围，分析可得答案．的参数方程为l，【详解】根据题意，直线y+2（x﹣3则其普通方程为），k，其斜率 tanθ则有，且0°≤θ＜180°，θ＝120°；则故答案为：120°．【点睛】本题考查直线的参数方程，关键是将直线的参数方程变形为普通方程,熟记斜率与倾斜角的关系是关键，是基础题3._______．【答案】【解析】【分析】- 1 -利用二项式定理系数的性质，求解分子，然后利用数列极限的运算法则求解即可．【详解】由二项式定理系数的性质可得，．故答案为：．【点睛】本题考查二项式定理系数的性质，数列的极限的运算法则的应用，考查计算能力，是基础题为正偶数时， ______4.，则当的前已知数列．项的和【答案】【解析】【分析】nn，验＝＝由已知求得，当n≥2且n为正偶数时，aS﹣S2﹣[2（n﹣12n+3＝2﹣）﹣1]1n﹣nn证a＝3适合，由此可得当n为正偶数时的a．n2【详解】由，；＝1，得当n≥2且n为正偶数时，．1]1）﹣＝2﹣﹣﹣a＝SS＝2[2（n﹣1nnn﹣ 3适合上式，验证＝nn2n+3∴当n ．为正偶数时，n2n+3．故答案为：2﹣【点睛】本题考查数列通项公式，考查利用数列的前n项和求数列的通项公式，是中档题．函数是奇函数，那么______．5.【答案】【解析】【分析】可得，函为＝﹣f求（x）xf根，再据（）奇数出＝- 2 -的值．-整理化简即可求出a（﹣x是奇函数，∴- ）＝f函数【详解】由题f（﹣,∴x2-）＝，即解得-1 故答案为【点睛】本题考查奇函数的定义，多项式的运算，多项式相等的充要条件，准确利用定义计算是关键，是基础题_____若函数无最值，则6的取值范围是aa或【答案】【解析】【分析】22x ＝，+∞）是yx由题意函数f（x）＝lg（）的值域为﹣ax+2）无最值，即f（x R，那么（0 的取值范围．的值域的子集，即△≥0，可得a﹣ax+22，f【详解】由题意，函数（x）＝lg（x﹣ax+2）无最值，即f（x）的值域为R2的值域的子集，﹣＝xax+2那么（0，+∞）是y 即△≥0，2∴a﹣8≥0， a或；a则a或 a故答案为：．【点睛】本题考查对数型复合函数的值域，考查对数函数的性质，明确真数无最值是突破点，解决问题是关键，是中档题准确利用二次函数的△≥0，，已知△的面积为，，7.△的内角，，，的对边分别为则______．【答案】【解析】【分析】的值，进一步利用三角函数关系式的变直接利用三角形的面积公式和正弦定理求出sinBsinC-3 -换即可求出A的值．acsinB，则：的面积为S，【详解】已知△ABC △ABC整理得：3csinBsinA，＝2a ，3sinCsinBsinA ＝2sinA由正弦定理得： sinA≠0，由于 sinBsinC故：，由于：6cosBcosC＝1，cosBcosC，所以：sinBsinC，所以：cosBcosC，（B+C 所以：cos故：A，cosA所以：A．故答案为：．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．，，8.是虚数单位，已知集合，若设 ________．，则的取值范围是【答案】【解析】【分析】）为圆心，半径，1根据复数的代数表示法及其几何意义可知集合A表示的点的轨迹是以（0的取值；两圆面有交点即可求解b）表示圆的圆心移动到了（为2的圆及内部；集合B1，1+b 范围．表示的点的轨迹是以（【详解】由题意，集合A0，12的圆及内部；）为圆心，半径为的圆及内部）为圆心，半径为，表示点的轨迹为以（集合B11+b2 ?，∵A∩B≠说明，两圆面有交点；- 4 -∴．，可得：故答案：，A.B【点睛】本题考查复数几何意义，圆与圆的位置关系，体现了数学转化思想方法，明确集合的意义是关键，是中档题，延长）的左焦点（引圆9.，从双曲线的切线，切点为是线段的中点，交双曲线右支于点为坐标原点，则，若的值是____．【答案】【解析】在设双曲线的右焦点为连接，则，试题分析：如图所示，，，，是线段的中点，中，又中，，，所以为点，即，所以所以.，故应填入. 3.数形结合的应用直线与圆相切；考点：1.双曲线的定义；2.时，他投10.，当，首先，他令胡涂涂同学用一颗均匀的骰子来定义递推数列的概率，即令，否则，令一次骰子，若所得点数大于，则 ______（结果用最简分数表示）．为【答案】- 5 -【解析】【分析】，分两种情况讨论，再利用古典概型求的概率轮，要使得.胡涂涂同学掷了3要使得，有两种情况，①一轮点数为1，【详解】胡涂涂同学掷了3轮，二轮点数为1、2、3、4、5、6，三轮点数为1；②一轮点数为2、3、4、5、6，二轮点数为1、2，三轮点数为1；.∴由古典概型得所求的概率为故答案为：【点睛】本题主要考查排列组合的应用，考查古典概型，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.，个实数根11.，，则关于恰有3的方程__________．2 【答案】 【解析】 【分析】2，0，求得a ）＝，判断x 令f （）＝x+arcsin （cosx ）+af （x ）的奇偶性，由题意可得f （0 0的解，即可得到所求和．x 再由反三角函数的定义和性质，化简函数，求得f （）＝2x 【详解】令f （）＝x+a+arcsin （cosx ），2x ），（）（cos （﹣x ）+a ＝fxf 可得（﹣x ）＝（﹣）+arcsin x ）为偶函数，则f （ 有三个实数根，x ∵f （）＝0a ，0∴f （0）＝，即00a ＝，故有2）+arcsinx （cosx ，0 关于x 的方程即可设＝0，2）0cos ，且+arcsin （2）cos+arcsin （ ，0＝﹣，- 6 -2arcsin （cosx ）y ＝x 和， y 由yx ＜π时，x ＞0，且arcsin ）（sin0＜（x ）） arcsin （cosx 当（x ））＝x ，yarcsin（cosx）＝﹣x，则﹣π＜x＜0时，2arcsin和（y＝xcosx）的图象可得：由y它们有三个交点，且为（0，0），（﹣1，1），（1，1），0+1+1＝+2．则+故答案为：2．222＝【点睛】本题考查函数与方程，函数的奇偶性，反三角函数的定义和性质，函数方程的转化思想，以及化简整理的运算能力，属于中档题．12.由无理数论引发的数字危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学与史上的第一次大危机，所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集，且中的每一个元素，则称为戴德，满足中的每一个元素都小于，试判断，对于任一戴德金分割金分割.，下列选项中，可能成立的是____．没有最大元素，也没有最小元素；有一个最小元素；②①没有最大元素，有一个最大元素，有一个最大元素，没有最小元素有一个最小元素；④. ③【答案】①②④【解析】【分析】由题意依次举例对四个命题判断，从而确定答案．- 7 -【详解】若M＝{x∈Q|x＜0}，N＝{x∈Q|x≥0}，则M没有最大元素，N有一个最小元素0，故①可能成立；|x}；则M没有最大元素，N也没有最小元素，故②可能N}，若M＝{x∈Q＝{x∈Q|x 成立；没有最小元素，故④可能成立；M有一个最大元素，NN＝{x∈Q|x＞0}；若M＝{x∈Q|x≤0}，两个集M和NM有一个最大元素，N有一个最小元素不可能，因为这样就有一个有理数不存在 N的并集是所有的有理数矛盾，故③不可能成立．合中，与M和故答案为：①②④【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查列举法和推理能力，对每个选项举出反例说明是关键，属于基础题．二、选择题。
数学2018交大附中高二上期末
上海交通大学隶属中学2018-2019 学年度第一学期高二数学期末考试一试卷一、填空题1.复数 z = (m2 - 5m + 6)+ (m2 - 3m)i, m R ，i 为虚数单位，实数 m = ____________时z是纯虚数．2.复数 z = (2+ i )(1- i )，此中 i 为虚数单位，则z 的虚部为____________．3.抛物线 x2 = 12 y 的准线方程为____________．r r ur r r r r r ur r= ____________．4.已知向量 a =(1,- 2),b = (1,1), m = a - b, n = a + b ，假如 m ⊥n ，则实数5.若直线 l1 : ax + 2 y = 0 和 l2: 3x + (a + 1) y + 1 = 0平行，则实数 a 的值为____________．设双曲线x226.-y2 = 1(b0)的焦点为F1、F2；P为该双曲线上的一点，若PF1=5，则9bPF2= ____________．x -y +107.设 x, y 知足拘束条件x + y - 10 ，则z = 2x -3y 的最小值是____________．x38.2若复数 z 知足z 2i = z + 1（此中i为虚数单位），则z =____________．9.在直角坐标系xOy 中，已知点A(0,1)和点B(- 3,4)，若点 C 位于第二象限，且在AOB 的uuur uuur均分线上， OC = 2 ，则 OC = ____________．x =2 + 3t1+ t（ t 为参数）化成一般方程是10.参数方程____________ ．y = 1 - 2t1+ t11.在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，它的一个焦点坐标为( 5,0)，ur uur uuur uuur uuur e1 = (2,1), e2 = (2,- 1)分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线上的点 P ，若 OP = ae1 + be2（ a 、b R），则 a 、b知足的一个等式是____________．12.在平面直角坐标系 xOy 中，已知点A在椭圆x2+ y2=1上，点P满足259uuur uuur uuur uuurAP = ( - 1)OA(R )，且 OA OP = 48 ，则线段 OP 在x轴上的投影长度的最大值为第1页/共5页____________ ．二、选择题13.对于一元二次方程ax2 + bx + c = 0（此中 a, b, c R, a 0 ）以下命题不正确的选项是（）A.两根 x1 , x2知足x1+ x2= -b；x1x2=ca aB. 两根x1, x2知足x1- x2=(x1- x2 )2C. 若鉴别式= b2 - 4ac 0 时，则方程有两个相异的实数根D. 若鉴别式= b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的根14.已知两点 A(1,2), B (4, - 2)到直线 L 距离分别是1,4，则知足条件的直线L 共有（）条条条条uuur uuur uuur uuur15.如图，在四边形 ABCD 中，AB ⊥BC, AD ⊥DC ．若 AB = a, AD = b ，则 AC BD =（）A.b2 - a2B. a 2 - b2C. a2+ b2D.abuuur uuur uuur r 16.已知 F 为抛物线 C : y2 = 4x 的焦点，A, B,C为抛物线C上三点，当FA + FB + FC = 0时，称 VABC 为“和睦三角形” ，则“和睦三角形”有（）个个个 D. 无数个三、解答题17.设z + 1为对于x的方程x2+ mx + n = 0（m, n R ）的虚根，i为虚数单位．（1）当z = - 1+ i时，求m, n的值；（2）若n = 1，在复平面上，设复数z所对应的点为P，复数2 + 4i所对应的点为Q，试求PQ的取值范围．第2页/共5页18. （ 1）已知非零复数z 知足 z + 2 = 2, z +4 z ；R ，求复数z（ 2）已知虚数 z 使z 2和z都是实数，求虚数 z ． z +1z 2 +119. 已知椭圆x 2+y 2= 1．42（ 1） M 为直线 l : x + y= 1 上动点， N 为椭圆上动点，求MN 的最小值；4 2（2）过点 P 2,1uuur uuur，作椭圆的弦 AB ，使 AP = 3PB ，求弦 AB 所在的直线方程．22222292120. 圆 M 1 : x + (y + 2 )=，圆 M 2 : x + (y - 2 )=，动圆 P 与两圆 M 1,M 2外切．4 4（ 1）动圆圆心 P 的轨迹 C 的方程；（ 2）过点 N (1,0 ) 的直线与曲线 C 交于不一样的两点N 1, N 2 ，求直线 N 1 N 2 斜率的取值范围；（ 3）能否存在直线 l : y = kx + m 与轨迹 C 交于点 A, B ，使 OAB =，且 AB = 2 OA ，若存在，2求 k, m 的值；若不存在，说明原因．第3页/共5页21.过抛物线y2= 2 px(p0)的焦点 F 的直线交抛物线于M , N 两点，且 M , N 两点的纵坐标之积为 -4．（ 1）求抛物线的方程；uuuur uuur（ 2）求OM ON 的值（此中 O 为坐标原点）；（ 3）已知点A(1,2)，在抛物线上能否存在两点 B 、C，使得AB⊥BC？若存在，求 C 点的纵坐标的取值范围；若不存在，则说明原因．第4页/共5页参照答案1、m = 22、-13、y = - 34、25、-3或 26、11、、、-1031010、2x + y - 7 = 0（x 3）7 - 68 195,511、ab =112、 10 413-16 、 BCAD17、（ 1）m = 0，n = 1；（2）4,6；18、（ 1）z = - 13i ；（2） z = - 13 i 224 5-215；（）x = 2或 3 2x + 8 y - 10 = 019、（ 1）5220、（ 1）y2- x2= 1（ y 1 ）；（2）- 1,-2221、（ 1）y2= 4x ；（2）- 3；（3）(, - 6)U 10,+ )第5页/共5页。
上海市交大附中2018-2019学年高二上学期9月摸底考试数学试题
绝密★启用前上海市交大附中2018-2019学年高二上学期9月摸底考试数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．若平面向量()1,a x =和()23,b x x =+-互相平行，其中x ∈R ，则a b -=（ ） A. B.2或 C.2-或0D.2或102．已知ABC ∆两内角A 、B 的对边边长分别为a ，b ，则“A B =”是“cos cos a A b B =”（ ）． A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分也非必要条件3．函数()321f x ax a =-+，若存在()01,1x ∈-，使()00f x =，那么（ ） A.115a -<<B.1a <-C.1a <-或15a >D.15a <4．定义域为[],a b 的函数()y f x =图像的两个端点为,A B ，向量()1ON OA OB λλ=+-，(),M x y 是()f x 图像上任意一点，其中()1x a b λλ=+-，[]0,1λ∈。
若不等式MN k ≤恒成立，则称函数()f x 在[],a b 上满足“k 范围线性近似”，其中最小的的正实数k 称为该函数的线性近似阈值。
下列定义在[]1,2上函数中，线性近似阈值最小的是（ ） A.2y x = B.2y x=C.sin3y x π= D.1y x x=-第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题5．若集合{}0,A m=，{}0,2B=，{}0,1,2A B=，则实数m=_______；6．已知关于,x y的二元一次方程组111222a xb y ca xb y c+=⎧⎨+=⎩的增广矩阵是111113-⎛⎫⎪⎝⎭，则此方程组的解是______________；7．函数y=的定义域_______________；8．已知向量a→，b→均为单位向量，若它们的夹角是60°，则3a b-等于___________；9．函数()2sin sin44f x x xππ⎛⎫⎛⎫=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期为________.10．等差数列{}n a中，67812a a a++=，则该数列的前13项的和13S=__________. 11．已知函数()142xf x=+，若函数()14y f x m=+-为奇函数，则实数m为_______；12．数列{}n a中，若11a=，()112n n na a n N*++=∈，则()122limnna a a→∞+++=______；13．设函数()y f x=在R上有定义，对于任意给定正数M，定义函数()()(),(),Mf x f x Mf xM f x M⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则称函数()Mf x 为()f x的“孪生函数”，若给定函数()22f x x=-，1M=，则(2)Mf=_______________.14．在△ABC 中，AB边上的中线CO＝2，若动点P满足＝sin2θ·＋cos2θ·(θ∈R)，则(＋)·的最小值是________．15．定义平面向量之间的一种运算“*”如下：对任意的(,),(,)a m nb p q==，令*a b mq mp=-，给出以下四个命题：①若a与b共线，则*0a b=；②**a b b a=；③对任意的Rλ∈，有()*(*)a b a bλλ=；④2222(*)()||||a b a b a b +⋅=⋅（注：这里a b ⋅指a 与b 的数量积）； 其中所有真命题的序号是__________． 16．已知O 为ABC ∆的外心，且3A π=，cos cos 2sin sin B CAB AC mAO C B+=，则实数m =_____ 三、解答题17．已知不等式230x x t -+<的解集为{}1,x x m x R <<∈ （1）求实数,t m 的值；（2）若函数()24f x x ax =-++在区间(],1-∞上递增，求关于x 的不等式()2log 320a mx x t -++-<的解集。
2018-2019学年上海市交大附中高二(上)期末数学试卷
2018-2019学年上海市交大附中高二（上）期末数学试卷一、填空题：1.（3分）若复数（m2- 5m+6）+ （m2- 3m）i （m为实数，i为虚数单位）是纯虚数，则m 2. _________________________________________________________________ （3分）复数z=（2+i）（1 - i）,其中i为虚数单位，则z的虚部为________________________ .23. （3分）抛物线x = 12y的准线方程为_______4. （3分）已知向量（1，- 2）, ,, , ，如果，则实数X= ______ .5. （3分）若直线I仁ax+2y= 0和12: 3x+ （a+1）y+1 = 0平行，则实数a的值为_______.6. （3分）设双曲线一一1 （b>0）的焦点为F i、F2, P为该双曲线上的一点，若|PF i|=5，贝V |PF2|= ______ .7. （3分）设x, y满足约束条件 _______________，则目标函数z= 2x- 3y的最小值是.2& （ 3分）若复数z满足z?2i = |z| +1 （其中i为虚数单位），则|z|= _________ .9. （3分）在直角坐标系xOy中，已知点A （0, 1）和点B （- 3, 4）,若点C在/ AOB的平分线上且| | = 2,则 ___________ .10. （3分）参数方程__________________ （t为参数）化成普通方程为;11. （3分）在平面直角坐标系中，双曲线r的中心在原点，它的一个焦点坐标为一，，,、, 分别是两条渐近线的方向向量.任取双曲线r上的点P,若（a、b €R）,贝U a、b满足的一个等式是 ______ .12. （3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A 在椭圆一一上，点P满足€ ，且，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为________ .二、选择题：213. （3分）对于一元二次方程ax+bx+c= 0 （其中a, b, c€R, a工0）下列命题不正确的是（）A .两根X 1, X 2满足B .两根X 1, X 2满足C .若判别式△= b 2 - 4ac > 0 时,则方程有两个相异的实数根D .若判别式△=b 2- 4ac = 0 时,则方程有两个相等的实数根 14. ( 3分)已知两点 A (1, 2), B (4, - 2)到直线I 的距离分别为1 , 4,则满足条件的 直线I 共有(C . 3条15. (3分)如图.在四边形 ABCD 中.AB 丄BC , AD 丄DC ,若||= a , ||= b .则a 2-b 2C . a 2+b 2D . ab16.( 3分)已y 2= 4x 的集点，A,B,C 为抛物线C 上三点，当 时，称△ ABC 为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有(C . 3个D .无数个三、解答题:17.设 z+1 为关于x 的方程2x +mx+ n = 0, m , n €R 的虚根, i 为虚数单位. (1 )当z =- 1 + i 时，求m 、n 的值;(2 )若 n =1，在复平面上，设复数z 所对应的点为 P ,复数2+4i 所对应的点为 Q , A . b - a( )20.圆： ——，圆： 一 —，动圆P 与两圆M i 、M 2外切.(1 )动圆圆心P 的轨迹C 的方程；(2) 过点N (1 , 0)的直线与曲线 C 交于不同的两点 N i , N 2,求直线N i N 2斜率的取值 范围； (3) 是否存在直线I : y = kx+m 与轨迹C 交于点A , B ，使/ —,且|AB|= 2|OA|,若存在，求k , m 的值；若不存在，说明理由.221. 过抛物线y = 2px (p > 0)的焦点F 的直线交抛物线于 M , N 两点，且M , N 两点的纵 坐标之积为-4.(1) 求抛物线的方程； (2) 求 的值(其中O 为坐标原点)；(3) 已知点A (1 , 2),在抛物线上是否存在两点B 、C ,使得AB 丄BC ?若存在，求出 C 点的纵坐标的取值范围；若不存在，则说明理由.试求|PQ|的取值范围.18. (1)已知非零复数z 满足|z+2| = 2,- € ，求复数 乙(2)已知虚数z 使一和 --------- 都是实数，求虚数 乙19. 已知椭圆—— (1) M 为直线上动点，N 为椭圆上动点，求|MN|的最小值;(2)过点一，-，作椭圆的弦AB ,使，求弦AB 所在的直线方程.。
上海交大附中高二上学期摸底考试(数学).doc
上海交大附中高二上学期摸底考试（数学）（满分100分，90分钟完成，允许使用计算器，答案一律写在答题纸上）一、填空题（每小题3分，共36分）1、5弧度的角位于第_________象限。
2、已知31)4sin(=-πα，则)4cos(πα+= ____ 。
3、从等差数列84，80，76，…, 的第________项开始，以后各项均为负值。
4、函数xxy sin cos 1-=的最小正周期是 _______ 。
5、等差数列}{n a 中，2037=-a a ，则20002008a a -=__________。
6、数列}{n a 的前n 项的和为n S ，)12(1-=nn a S ，n 为正整数，若244=a ，则1a =_________。
7、函数)21arctan(2arcsin )(-+=x x x f 的值域是 。
8、数列}{n a 和{}n b 满足2n a n =，4+=n n a b *)(N n ∈，设)20(41--=n n n a b c ， 则数列}{n c 前n 项的和n T =_________。
9、在A B C ∆中，a b c 、、分别C B A ∠∠∠,,的对边，已知 60=∠A ，1=b ，3=∆ABC S ，则CB A cb a s in s in s in ++++= 。
10、已知等比数列}{n a 的前n 项的和为n S ，若13+⋅=nn x S ，则x 的值为 ______。
11、若n S 和n T 分别表示数列}{n a 和{}n b 的前n 项的和，对任意的正整数n ，1+=n a n ，n S T n n 42=-，则数列{}n b 的通项公式为 。
12、 有穷数列{}n a ，S n 为其前n 项和，定义nS S S T nn +++=21为数列{}n a 的“凯森和”，如果有99项的数列9921,,,a a a 的“凯森和”100099=T ，则有100项的数列9921,,,,1a a a 的“凯森和”100T = 。