微积分期末考试题2005

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05级高数(A-2)期末试卷

2005级《高等数学A-2》期末试卷一、单项选择题（将答案写在括号内,每题4分，共 48分）1．微分方程20y y y '''-+=的一个解是( ).(A) 2y x = (B) x y e = (C) sin y x = (D) x y e -=2．微分方程 x e x y y y 228644+=+'-'' 的一个特解应具形式 ( ).（a,b,c,d 为常数）(A) x ce bx ax 22++ (B) x e dx c bx ax 222+++(C) x x c x e be ax 222++ (D) x e cx bx ax 222)(++3．若0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y ，则在点),(00y x 处，函数),(y x f ( ).)A (连续. )B (取得极值. )C (可能取得极值. )D (全微分0d =z .4．设()f u 可微,⎰⎰≤++=222x 22d )()(t y y x f t F σ,则()F t '=( ).(A) ()tf t π (B) 22()tf t π (C) 22()tf t (D) 2()tf t π5．设曲面06333=-+++xyz z y x ，则在点)1,2,1(-处的切平面方程为( ).)A ( 018511=-++z y x )B ( 018511=-+-z y x)C ( 018511=--+z y x )D ( 018511=+++z y x6．)(d d 12222==⎰⎰≤++y x e I y x y x . (A))1(-e π (B)e π (C)1-e π (D)e π27. 函数),(y x f 在点),(00y x 处连续，且两个偏导数),(),,(0000y x f y x f y x存在是),(y x f 在该点可微的( ).)A ( 充分条件，但不是必要条件. )B (必要条件，但不是充分条件.)C ( 充分必要条件. )D (既不是充分条件，又不是必要条件.8. 已知)0,0(，)1,1(为函数22442),(y xy x y x y x f ---+=的两个驻点，则(). )A ()0,0(f 是极大值. )B ()0,0(f 是极小值.)C ()1,1(f 是极小值. )D ()1,1(f 是极大值.9. 周期为2的函数)(x f ，它在一个周期上的表达式为x x f =)(11 <≤-x ，设它的傅里叶级数的和函数为)(x S ，则=)23(S ( ). (A) 0 (B) 1 (C) 21 (D) 21- 10．设∑是平面4=++z y x 被圆柱面122=+y x 截出的有限部分，则曲面积分=⎰⎰∑S y d ( ). (A)34 (B)π34 (C)0 (D) π11．下列级数收敛的是( ).∑∞=1!)(n n n n n e A ∑∞=1!2)(n n n n n B ∑∞=1!2)(n n n n n C ∑∞=1!)(n nn n D . 12. 设幂级数∑∞=-1)2(n n n x a 在2-=x 时收敛，则该级数在5=x 处( ).)(A 发散 )(B 条件收敛 )(C 绝对收敛 )(D 不能判定其敛散性.二、填空题（将答案填在横线上，每题4分，共24分）1.=-+=)1,(,arcsin )1(),(x f yx y x y x f x 则设 2． ⎰⎰=∑S x I d 2＝ .(其中∑是2222R z y x =++) 3．分表达式为化为球坐标下的三次积z z y x y x y x x d d d 22222221010⎰⎰⎰--+-4．=+⎰⎰≤+y x x y y x y x d d )sin sin (1225．设z yx z y x f 1)(),,(=，则=)1,1,1(df 6．=++⎰⎰⎰≤++1222222d d d )(z y x z y x z y x三、（6分）求幂级数∑∞=--111)1(n n n x n的收敛半径、收敛域及和函数. 四、（5分）计算I=y x z x x z z y z y y x ⎰⎰∑-+-+-d d )33(d d )3(d d )2(,其中:0,0,0x y z ∑===及1=++z y x 所围立体表面的外侧.五、（5分）设,)(22ba z y e u ax ++=而b a x b z x a y ,,cos ,sin ==为常数，求.d d x u 六、（6分）设L 为x y x =+22从点)0,1(A 到点)0,0(O 的上半圆弧，求曲线积分⎰-++-L x x y y e x y y e d )1cos (d )1sin ( .七、（6分）设)(x f 有连续的二阶导数且满足[]0d )(d )(ln ='+'-⎰y x f x xy x f x c 其中c 为xoy 面上第一象限内任一简单闭曲线，且,0)1()1(='=f f 求)(x f。

混合班04-05微积分(下)期末考试试卷解答

3x2
x
∫ = lim
sin 3tdt
0
=
lim
sin 3x
=
lim
3x
=
1
.
x→0 3x2
x→0 6x
x→0 6x 2
∫ 3.
+∞ 0
x4 ex
dx
=
24
.
∫ 解原式= +∞ x4e−x dx = Γ(5) = 4!= 24 . 0
4.
已知
z = xy
,则
∂z ∂y
(e, 1) = e
.
解 z(e , y) = e y , z y (e , 1) = (e y )′ |y=1 = e .
2 cos xdx = 2sin
0
x |02
=
2
.
2
2
x
∫ 2.
lim
x→0
(x − t) sin 3tdt
0
x3
=
1 2
.
x
x
x
∫ ∫ ∫ x sin 3tdt − t sin 3tdt
sin 3tdt + x sin 3x − x sin 3x
解原式= lim 0 x→0
0
x3
= lim 0 x→0
( C ) 动点 (x , y) 沿过定点 (x0 , y0 ) 的任意直线趋于定点 (x0 , y0 ) 时, f (x , y) 的极限均存在且相等
第2页共8页
浙江工商大学章乃器学院 04/05 微积分(下)期末考试试卷解答
( D ) f (x , y) 在点 (x0 , y0 ) 处连续 3. 下列二元函数中,在点 (0, 0) 处取得极小值的是( A ).

2005(1)微积分理工(A)

2005（1）理工科专业微积分试题（A 卷）一、求极限：（每题 5 分，共 20 分）1． 22sin lim 1x x x x x→∞--2. 1lim()x xx x e →+3．01cos lim()sin x x x x→- 4.20sin()limsin xx t dtx x→-⎰二、求导数或微分：（每题 5 分，共 20 分）1．arcsin :'2xy x y =求2．设1(1)(0),xy x y x=+>求d3.设y=y (x )由方程0y x e e xy --+=所确定，求dydxy ’(0)4．22ln sin :cos sin x t d y y t t t dx =⎧⎨=+⎩求三、求下列积分：（每题 6 分，共30 分）1．22.1x x dx x ++⎰2．2ln (1)xdx x -⎰3. 252(cos )x x x dx -⎰4.2sin )'()xx xf x dx x ππ⎰设f(的原函数为，求 5.求11dx e e+∞+⎰四、[本题10分] 设x 为实数，212()()xt f x edt y f x -==⎰，讨论的单调性，凹凸性，奇偶性。

五、[本题12分]在曲线2(0)2x y x =≥上点M 处作一切线使其与曲线及x 轴所围平面图形面积为13，求 1. 切点M 的坐标及过切点M 的切线方程。

2. 上述平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积。

六、[本题8分] 设函数f(x)满足f ”(x) –f(x)=0 且曲线 y=f(x) 在原点外与直线 y=x 相切，求f(x).。

微积分期末考试试题

经济应用数学2004~2005学年第二学期期末试题A一、填空题（每空2分，共20分）1. 123213321= . 2．设矩阵235,14a b c d A B a bc d +-⎛⎫⎛⎫==⎪⎪--⎝⎭⎝⎭，若A B =，则a = ，b = ，c = ，d = . 3. 将10本书任意排列在书架上，其中仅有3本外文书排在一起的概率是 .4. 在6张记有号码1、2、……、6的卡片中任意抽取两张，则抽到的都是偶数的概率是 .5. 随机变量ξ的分布函数是()arctan F x A B x =+，则A = ，B = .6. 设随机变量ξ~(,)U a b ，则E ξ= . 二、计算题（76=42） 1. 求cos sin sin cos A θθθθ-⎛⎫= ⎪⎝⎭的逆矩阵2. 计算431712325701⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3. 判断下列方程组是否有解，若有解，是唯一解还是无穷多解 123231232421224227x x x x x x x x ++=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩4. 求解齐次线性方程组123451234523451234503230326054330x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩5. 三个人独立地破译一份密码，他们各自能译出的概率分别是111,,534，问此密码能被破译的概率是多少？6. 袋中装有10个球，3个白球，7个红球，现从中任取两个球，求这两个球中的白球的数学期望与方差.7. 随机变量ξ~(,)U a b ，其概率密度函数为1,()()0,()a x b f x b a ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其他，求ξ的分布函数()F x .三、应用题（8分）某公司1999年初准备购入一台设备，有三个方案可供选择：（1）向甲公司购入，一次性付款200,000元，（2）向乙公司购入，分两年付款，每年末支付102,500元，(3) 向丙公司购入，分四年付款，每年末支付52,500元，假定其资金成本率为10%，那么，这三个方案哪个最优？（2 1.736F =，4 3.170F =）经济应用数学2004~2005学年第二学期期末试题B一、填空题（2 10=20 ）1. xa aax a aax= 2. 设矩阵245,2223a b c d A B a bc d +-⎛⎫⎛⎫==⎪⎪-+⎝⎭⎝⎭，若A B =，则a = ，b = ，c = ，d = . 3.从分别标有1~10十个数字的十张卡片中任意抽取三张，其中最小数字为5的概率是 . 4、在6张记有号码1、2、……、6的卡片中任意抽取两张，则抽到的都是奇数的概率是 . 5、随机变量ξ的分布函数是()arctan F x A B x =+，则A = ，B . 6、设随机变量ξ2~(,)N μσ，则E ξ= . 二、计算题（7 6=42） 1. 求(0)a b A ad bc cd ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭的逆矩阵2. 计算()213105-⎛⎫ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎝⎭3. 判断下列方程组是否有解，若有解，是唯一解还是无穷多解 123122342325x x x x x x x ++=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩4．求解齐次线性方程组 1234512345123452355043035670x x x x x x x x x x x x x x x +++-=⎧⎪+++-=⎨⎪+++-=⎩5. 甲乙丙三人独立地向同一目标射击，击中的概率分别是0.5、0.6、0.7，求目标被击中的概率是多少.6. 对一盒8只三极管作不放回抽样检查，每次1只，直至抽到次品为止，已知盒中有3只次品管，求抽样次数的分布律.7. 随机变量ξ的分布函数()F x =11arctan 2x π+，求（1）{}11P ξ-<<；（2）ξ的概率密度函数.三、应用题（8）某公司准备租用一套设备，每年年末支付租金80,000元，每年增加收益100,000元，租用期6年，年利率为10%，试问净收益现值是多少？试卷A 答案一、填空题1. 122. a = 2 b = 1 c = 3 d = -13. 0.0674. 0.25. A =12，B =1π6.2a b +二、计算题 1. 解： cos sin 1sin cos A θθθθ-==，*cos sin sin cos A θθθθ⎛⎫=⎪-⎝⎭，*cos sin sin cos AA A θθθθ⎛⎫== ⎪-⎝⎭2.解：431712325701⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=35649⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 3.解：2421212271001012401240102122700220011⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为()()R AB R A =，所以方程组有唯一解。

微积分期末试卷及答案

中南民族大学试卷
院系:班级: 学生: 学号: 成绩:
试卷名称:2005-2006学年度上学期期末考试
《高等数学B(一)》试卷
(A卷共8页)
适用范围:经院、管院2005级各专业本科学生
一、填空题(每小题3分,共15分)
1、已知 , ,且 ,则 .
答案：王丽君
解： , , .
2、已知为常数, ,则 .
(4)列表如下：
+
0
-
0
+
凹
拐点
凸
拐点
凹
(5)曲线的拐点为、．
(6)曲线在区间和是凹的,在区间是凸的．(6分)
8、计算．
答案：俞诗秋
解： (3分)
．
．(6分)
9、计算．
答案：俞诗秋
解： (3分)
,
．(6分)
10、设某商品的需求函数为 ,其中分别表示需求量和价格,试求当总收益达到最大时,此时的需求弹性,并解释其经济意义.
答案： ,当总收益达到最大时,价格上涨 ,需求则相应减少 .俞诗秋
解：总收益函数为 ,
令 ,得 ,而 ,
可见,当时,总收益达到最大.(3分)
此时需求弹性 ,(5分)
说明,当总收益达到最大时,价格上涨 ,需求则相应减少 .(6分)
四、证明题(每小题5分,共10分)
1、证明方程在区间内有且只有一个实根.孙仁斌,俞诗秋
(D) 在处的左导数与右导数必有一个不存在.
答案：B江美英
4、仅考虑收益与成本的情况下,获得最大利润的必要条件是：
(A) ；(B) ；
(C) ；(D) .
答案：D俞诗秋
5、若函数存在原函数,下列错误的等式是：

《微积分》期末考试试卷附答案

《微积分》期末考试试卷附答案一、填空题(共5小题，每小题4分,共20分)1、已知2)(x e x f =,x x f -=1)]([ϕ,且0)(≥x ϕ,则=)(x ϕ2、已知a 为常数,1)12(lim 2=+-+∞→ax x x x ,则=a .3、已知2)1(='f ,则=+-+→xx f x f x )1()31(lim 0 . 4、函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的拐点数为 . 5、=⎰xx dx 22cos sin .二、选择题（共5小题，每小题4分，共20分）1、设)(x f 为偶函数,)(x ϕ为奇函数,且)]([x f ϕ有意义,则)]([x f ϕ是(A) 偶函数； (B) 奇函数；(C) 非奇非偶函数； (D) 可能奇函数也可能偶函数.2、0=x 是函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=.0 ,0,0 ,cos 1)(2x x x x x f 的(A) 跳跃间断点； (B) 连续点； (C) 振荡间断点； (D) 可去间断点.3、若函数)(x f 在0x 处不可导，则下列说法正确的是(A) )(x f 在0x 处一定不连续； (B) )(x f 在0x 处一定不可微；(C) )(x f 在0x 处的左极限与右极限必有一个不存在；(D) )(x f 在0x 处的左导数与右导数必有一个不存在.4、仅考虑收益与成本的情况下,获得最大利润的必要条件是：(A) )()(Q C Q R ''>''； (B) )()(Q C Q R ''<''； (C) )()(Q C Q R ''=''；(D) )()(Q C Q R '='.5、若函数)(x f '存在原函数,下列错误的等式是： (A) )()(x f dx x f dx d ⎰=； (B) )()(x f dx x f ⎰='；(C) dx x f dx x f d )()(⎰=； (D) C x f x df +=⎰)()(.三、计算题（共4小题，每小题15分，共60分）1、设x x f x x-=--422)2(,求)2(+x f .2、计算)1cos(lim n n n -+∞→.3、求极限)21(lim 222n n n n n n n n ++++++∞→ .4、求极限xx x x cos sec )1ln(lim 20-+→.微积分参考答案：一、填空1. 答案：)1ln(x -2. 答案：13. 答案：44. 答案：25. 答案：C x x +-cot tan二、选择1. A2. D3. B4. D5. B三、计算题1、设x x f x x -=--422)2(,求)2(+x f .答案：42)2(42--=++x x f xx解：令2-=x t ,则 2222)2(2)(48444)2(4)2(222--=+-=+-=---+++-+t t t t f t t t t t t ,于是 42422)2(2)2(44444)2(222--=--=-+-=++-++-+x x x x f x x x x x .2. 计算)1cos(lim n n n -+∞→. 答案：1 解：nn n n n n ++=-+∞→∞→11cos lim )1cos(lim 11010cos 1111cos lim =++=++=∞→nn n .3、求极限)21(lim 222n n n n n n n n ++++++∞→ . 答案：1解：由于1)21(2222222+≤++++++≤+n n n n n n n n n n n n ，而1111lim lim 22=+=+∞→∞→n n n n n n , 1111lim 1lim 222=+=+∞→∞→n n n n n , 所以1)21(lim 222=++++++∞→n n n n n n n n .4、求极限xx x x cos sec )1ln(lim 20-+→. 答案：1 解：x x x xx x x x x x x x x x cos sin 212lim sin )1ln(lim cos lim cos sec )1ln(lim 20220020+=+=-+→→→→ 1sin lim cos )1(1lim020=+=→→x x x x x x .。

微积分下期末考试

z (0,0) = 0,
z (3,0) = −9,
z (0,2) = −4,
z (0,3) = −3,
z (2,1) = −11.
所以 z min = z ( 2,1) = −11, z max = z (0,0) = 0. 评分：解 2：求 D 内嫌疑点 3 分，求 y=0，x=0，x+y=3 上嫌疑点分别为 1、1、3 分. 结论 1 分. 13．计算
π /4
4 ⎡15a 4 ⎤ ⎡ 1 1 π 1 ⎤ 15πa = 2π ⎢ (2 + π ) ⎥ ⎢ + ( − ) − (0 + 0)⎥ = 16 ⎦ ⎣ 4 ⎦⎣ 2 2 4 2
评分:得第一行 3 分, 得第二行再加 4 分(每对积分限各 1 分,被积函数 1 分),最后结果再加 2分 14．求幂级数
∫∫ zxdydz + yzdzdx + z
Σ
x 2 + y 2 dxdy ，
其中
Σ是由 a 2 ≤ x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4a 2 , z ≥ x 2 + y 2 所确定的立体的表面的外侧(a>0).
解:原式=
∫∫∫ ( z + z +
Ω
x 2 + y 2 )dxdydz
2a
(用球坐标)
评分：对应以上各等号分别给到 1、2、4、5 分。 6．交换二次积分 I = dx
0
∫
2
4− x 2
2 x− x2
∫ f ( x, y)dy 的积分次序.
1 4− y 2 2 4− y 2
解： I = dy
0
∫
1
1− 1− y 2

微积分复习试题及答案10套(大学期末复习资料)

微积分复习试题及答案10套（大学期末复习资料）习题一(A) 1、求下列函数的定义域:ln(4),x2(1) (2) (3) y,y,logarcsinxyx,,4a||2x,113y,，log(2x,3)(4) (5) yx,,，1arctanax,2x2、求下列函数的反函数及其定义域xx,32(1) (2) (3) yy,,yx,，，1ln(2)x2，1x，3x,,(4)yx,,,2sin,[,] 3223、将下列复合函分解成若干个基本初等函数2x(1) (2) (3) yx,lnlnlnyx,，(32ln)ye,,arcsin123(4) y,logcosxa4、求下列函数的解析式:112，求. (1)设fxx()，,，fx()2xx2(2)设，求 fgxgfx[()],[()]fxxgxx()1,()cos,,,5、用数列极限定义证明下列极限:1232n，1,,(1)lim(3)3 (2) lim, (3) ,lim0nn,,n,,n,,3353n,n6、用函数极限定义证明下列极限:x，31x，32lim(8)1x,,lim1,lim,(1) (2) (3) 23x,x,,x,,3xx,967、求下列数列极限22nn，，211020100nn，，3100n，limlimlim(1) (2) (3)32n,,n,,n,,54n,n,144nn,,,12n111,,，，？，lim,,lim，，，(4)？ (5) ,,222,,x,,x,,1223n(n1),,，nnn,,,,1111,,k,0(6) (7)() lim，，，？lim,,2x,,x,,n,31541,,nknnkn，,,111，，，，？12n222lim(1)nnn，,(8) (9) limx,,x,,111，，，，？12n5558、用极限的定义说明下列极限不存在:1x,3limcosx(1) (2) (3) limsinlimx,,x,0x,3x|3|x,9、求下列函数极限:22xx,，56xx,，562(1) (2) (3) limlimlim(21)xx,，x,x,13x,3x,3x,2222256x，xx,，44()xx，,,(4) (5) (6) limlimlim2x,x,,,220xx，，21x,2,nx,1x,9x,1(7) (8) (9) limlimlimm3,1xx,9x,1x,1x,3x,1 2nnxxx,,,,？13x，,12(10), (11)lim() (12)limlim33x,1,x1x,1xx,,111,xx,110、求下列函数极限:22xx,，56xx,，56 (2) (1)limlim2x,,x,,x,3x,3nn,1axaxaxa，，，，？011nn,lim(11)xx,,，(3) (4)lim,(,0)ab,00mm,1x,,x,,bxbxbxb，，，，？011mm,lim(11)xxx,,，(5) x,,11、求下列极限式中的参变量的值:2axbx,，6lim3,(1)设，求的值; ab,x,,23x,2xaxb，，lim5,,(2)设，求的值; ab,x,11x,22axbxc,，lim1,(3)设，求的值; abc,,x,,31x,12x,0arcsin~xxtan~xx1cos~,xx12、证明:当时，有:(1)，(2) ，(3); 213、利用等价无穷小的性质，求下列极限:sin2xsin2xsecxlimlimlim(1) (2) (3) 2x,0x,0x,0，tan5x3x2x3sinx21111sin,，x,limlim()(4) (5)lim (6)x,0x,0x,0xxx,tansinxxtansin1cos,x14、利用重要极限的性质，求下列极限:sin2xsinsinxa,xxsin(1) (2) (3) limlimlimx,0xa,x,0,sin3xxa,1cos2x xsinxx,tan3sin2xx,4,,(4) (5) (6) limlimlim1，,,x,0x,0,,xsinxx，3xx,, xxx,3xk,21,,,,,,(7) (8) (9) limlim1,，lim1,,,,,,,,,,xxx,,xxxk，,,,,,, 1/x(10)lim12,x ，，,,x15、讨论下列函数的连续性:,,,xx1,,2fxxx()11,,,,(1) ,,211xx,,,x,x,0,sinx,x,0(2)若，在处连续，则为何值. fxax()0,,a,,1,1sin1，,xxx,x,e(0,x,1)(3) 为何值时函数f(x),在[0，2]上连续 a,a，x(1,x,2),53xx,，,52016、证明方程在区间上至少有一个根. (0,1)32x,0x,317、证明曲线在与之间至少与轴有一交点. xyxxx,,，,252(B)arccoslg(3,x)y,1、函数的定义域为 ( ) 228,3x,x(A) ,，，,,7,3 (B) (-7, 3) (C) ,7,2.9 (D) (-7, 2.9),1 2、若与互为反函数，则关系式( )成立。

微积分期末试卷(考试必做)

一、填空题（每小题2分，共16分）1、=+⎰-22d )cos e(4ππx x x x 2 .fxe^(x^4)dx =0.5fe^(x^4)d(x^2)=1/(4x^2)*e^(x^4)+sinx+c2、=⎰∞+12d ln x x x. 1 ∫lnx/x ² dx = (-1/x)·lnx - ∫(-1/x)·(lnx)' dx= (-1/x)·lnx + ∫1/x ² dx = (-1/x)·lnx + (-1/x) = (-1/x)(lnx + 1)3、设x y y x z +=，则函数在)1,1(处的全微分为 dx+dy . (1,1) zx=y*x^(y-1)+y^x*lny=1 zy=1∴dz=dx+dyD 是由0,1,0,e ====y x x y x 所围成区域，则⎰⎰=Dσd e^x-1 .5、当a 满足 0<=a<0.5 时，∑∞=--121)1(n a nn条件收敛.lim(-1)^n/n^(1-2a)6、幂级数∑∞=⋅-14)1(n nnn x 的收敛域为 [-3,5) . 7、交换积分次序后 =⎰⎰-y yx y x f y d ),(d 10∫1/-1dx ∫x/x^2f(x,y)dy .8、微分方程1d d -=-xyx y 的通解为 y=cx-xlnx . dy/dx=y/x dy/y=dx/x lny=lnx+lnc y=cxc-y/x=-1 y/x=c+1 y=cx+x二、单项选择题（每小题3分，共15分）1、下列广义积分收敛的是（ b ）. （A ）⎰∞+ 1d ln x x （B ）⎰∞+ 12d 1x x（C ）⎰∞+ 1 d 1x x （D ）⎰∞+ 1 d e x x2、设f 是连续函数，积分区域01:22≥≤+y y x D 且，则⎰⎰+Dy x y x f d d )(22可化为（ a ）.（A ）⎰1d )(r r f r π （B ）⎰1d )(2r r f r π （C ）⎰1d )(2r r f π （D ）⎰1d )(r r f π3、设)s i n (2y x z +=, 则=∂∂22xz（ a ）.（A ）)s i n (2y x +- （B ）)c o s (2y x +- （C ）)s i n (2y x + （D ）)c o s (2y x + Cos(x+y^2)4、极限xt x x c o s 1dt)1ln(lim2sin 0-+⎰→等于（ c ）.（A ）1 （B ）2 （C ）4（D ）8(1+t)ln(1+t)-(1+t) -15、微分方程0=+''y y 的通解是( a ).（A ）x C x C y sin cos 21+= （B ）x x C C y -+=e e 21 （C ）x x C C y e )(21+=（D ）21e C C y x +=三、计算题(一)（每小题5分，共20分）1、已知⎰+=203d )()(x x f x x f , 求)(x f .设⎰=2d )(x x f I ，两边从0到2积分,I I x x I 242d 23+=+=⎰,即4-=I ,所以 4)(3-=x x f .2、设),(y x f z =是由方程0121e 2=-++z xyz z x 确定的隐函数，求yz x z ∂∂∂∂,. 方程两边关于x 求偏导，0221)()e e (=∂∂⋅⋅+∂∂++∂∂+xz z x z xy yz x z z xx ， z xy yzz x z x x +++-=∂∂⇒e e （3分）方程两边关于y 求偏导，0221)(e =∂∂⋅⋅+∂∂++∂∂y zz y z xy xz y z x ，zxy xz y z x ++-=∂∂e3、判断∑∞=+-1)11ln()1(n n n 的敛散性；若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛.\ 解：因为 11)11ln(lim =+∞→n n n ，而∑∞=11n n发散，故原级数非绝对收敛原级数为交错级数，且)}11{ln(n+单调下降趋向于零，故原级数条件收敛.4、求微分方程 5d d tan =-y xyx的通解. 另tanx dy/dx -y=0 dy/y=dx/tanx=cotxdx lny=ln|sinx|+ln|c| y=csinx tanx dy/dx -y=5 tanx*ccosx-y=5 csinx-y=5 y=csinx-5四、计算题(二)（每小题7分，共28分） 1、求⎰++3d 1ln)1(x x x .令t x =+1，⎰=41d ln 21t t t 原式⎰=412)d(ln 41t t)d 1|ln (41412412⎰⋅-=t tt t t )|214ln 16(41412t -= 8152ln 8-=. 2、计算 ⎰⎰-=110d e d 12xy y x xI .⎰⎰-=2210d 1d ey y x xy 原式⎰-=1d e 22y y y102ey --=.e11-= 3、求幂级数 ∑∞=⋅13n nnn x 的收敛域及和函数.4、求微分方程 x y y y sin 1034=+'-'' 的通解. y ’=dy/dx y ”=五、应用题（每小题8分，共16分）1、设某厂生产甲、乙两种产品，其销售单价分别为10万元、9万元。

05-06微积分BII期末(答案)

浙江大学城市学院2005— 2006学年第二学期期末考试试卷《微积分（B ）》解答一．微分方程问题(本大题共 3 题，每题 5分，共15 分)1. 求解微分方程 xxx y dx dy sin =+. 解：()11ln ln sin sin 11sin cos dx dx x x x x x x y e e dx C e e dx C x x xdx C x C x x --⎡⎤⎡⎤⎰⎰=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤=+=-+⎣⎦⎰⎰⎰2. 求解微分方程01tan 22=--dx dyx dx y d . 解令dy p dx =，得 tan 10p x p '--=，cos tan 1,,1sin ln 1ln sin , 1sin ,c dp dp x x p dx dx p x p x C p e x =+=++=++=±⎰⎰即 11sin p C x += 1sin 1y C x '=-，()112sin 1cos y C x dx C x x C=-=-+⎰所以通解 12cos y C x x C =-+3. 已知曲线过点)3,1(，且曲线上任一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线的斜率的二倍，求此曲线方程。

解设曲线为()y f x =，则2yy x'=，且(1)3f = 22　,　dy y dy dx dx x y x == 2,　　ln 2ln dy dx y x C y x ==+⎰⎰ 即 2y Cx =，由(1)3f =得3C =，所以曲线方程为23y x =二.求下列各题(本大题共 3 题,每题 5 分，共 15 分)1．设向量 k j i a32-+=，向量 k j i b 23+-=。

求（1）→⋅-b b a )32(,（2）a b a ⨯+)2(.解： (1) (23){1,11,12}{1,3,2}56a b b →-⋅=-⋅-=-;a b a⨯+)2(=2,b a ⨯而b a ⨯＝132777213i jki j k -=++-，所以ab a⨯+)2(=2227b a ⨯=+=2．求过点（1，3，2）且与直线⎩⎨⎧=++-=+-+,022;0332z y x z y x 平行的直线方程。

《微积分》期末考试试卷(含ABC三套)

四、计算题 1、求极限 lim
x 。（6 分） x 0 2 4 x
B、 lim f (0 x) f (0)
x 0
f (x) f (0) x
）
D、 lim
x 0
f ( x x) f ( x) x
4、 (ln x)dx =（ A、 ln x
2
B、 ln x C ）
C、
2
1 x
1 D、 C x
5、定积分为零的是（ A、 ( x 3 x 5 )dx
四、计算题 1、求极限 lim
1 cos x 。（6 分） x 0 x2
2、 y ln( x x 2 a 2 ), 求y 。（8 分）
3、 y cos x , 求dy 。（8 分）
4、求 arctan xdx 。（10 分）
2 sin 3 xdx 。 5、求（10 分） 2
sin x A、 lim 1 x x
2
sin
B、 lim
x 0
1 x
1 x 1
C、 lim
x

2
tan x 1 x
D、 lim x sin
x
1 1 x
）
3、若函数 y f ( x) 在点 x=0 处可导，则 f (0) =（ A、 f (0) C、 lim
x 0
2 2
B、 ( x 3 x 5 1)dx
2 2
C、 x sin xdx
2
D、 x 2 cos xdx
2
二、填空题（每空 3 分，共 18 分） 1、若函数 y f ( x) 在点 x。连续，则 lim f ( x) f ( x0 ) =

微积分(下)期末复习题完整版

期末复习题一、填空题1、=⎰→xt t xx 020d cos lim.2、若)(x f 在],[b a 上连续, 则=⎰bxx x f x 2d )(d d .3、已知)(x F 是)(x f 的原函数，则⎰>+x x t a t f t)0( d )(1等于 . 4、若2e x -是)(xf 的一个原函数，则='⎰10d )(x x f .5、=++⎰-112d 1||x x x x .6、已知21)(xxx f +=，则)(x f 在]2,0[上的平均值为 .7、设⎰=+π0),(sin d )(x f x x x f 且)(x f 连续，则=)(x f .8、设曲线kx y =(0,0>>x k )与直线1=y 及y 轴围成的图形面积为31，则=k . 9、设yxy y x y x f arcsin)1()2(),(22---=，则=∂∂)1,0(y f .10、设yx z 2e =，则=∂∂∂yx z2 . 11、交换积分次序 =⎰⎰x y y x f x ln 0e 1d ),(d .12、交换积分次序 =⎰⎰---xx y y x f x 11122d ),(d .13、交换积分次序⎰⎰-2210d ),(d y yx y x f y ＝ .二、选择题1、极限xtt x x cos 1d )1ln(lim2sin 0-+⎰→等于（）（A ）1（B ）2（C ）4（D ）82、设x x t t f xe d )(d d e 0=⎰-，则=)(xf （） (A)21x(B) 21x - (C) x 2e - (D) x2e -- 3、设)(x f 是连续函数，且C x F x x f +=⎰)(d )(，则必有（）B（A ）)(d )(x F t t f x a =⎰ （B ）)(]d )([x F t t F x a ='⎰ （C ）)(d )(x f t t F x a='⎰（D ）)()(]d )([a f x f t t F xa-=''⎰—4、设)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上的平均值是（）（A ）2)()(b f a f + （B ）⎰b a x x f d )(（C ）⎰-b a x x f a b d )(1 （D ）⎰-b a x x f ba d )(15、积分⎰=t sx x t f tI 0d )(与（）有关。

微积分期末上下试卷

2005级《微积分》试题开卷（）闭卷（√ ）适用专业年级：2005级化生等姓名学号专业班级本试题一共四道大题，共4 页，满分100分。

考试时间120分钟。

注： 2.试卷若有雷同以零分计。

一、单项选择填空（每小题2分，共20分）1、下列函数中，当0→x 时，是同阶无穷小的是（）A 、x tan 与2x B 、2sin x 与22x C 、1+x 与)1ln(x + D 、x 与x cos 1-2、)()(lim 00x f x f x x =→是函数)(x f 在点0x x =连续的（）A 、必要条件B 、充分条件C 、充要条件D 、无关条件 3、设)0(''),0('f f 存在，则=--+→2)0(2)()(limh f h f h f h （）A 、)0(''fB 、0C 、)0('fD 、2 4、若)(x f 是奇函数，且)0('f 存在，则0=x 是函数xx f x F )()(=的（） A 、无穷间断点 B 、可去间断点 C 、连续点 D 、振荡间断点 5、函数)(x f 在0x x =的某邻域有定义，已知0)('0=x f 且0)(''0=x f ，则在点0x x =处，)(x f （）A 、必有极值B 、必有拐点C 、必有极大值D 、可能有拐点也可能没有拐点 6、⎰⎰b a xady y f dx )(=（）A 、⎰⎰b ax adx y f dy)( B 、⎰⎰b ab ady y f dx )( C 、⎰⎰b ax bdy y f dx )( D 、⎰-bady y f y b )()(7、设函数⎰-=xdt t y 0)12( 则y 在21=x 有( )A 、极小值B 、极大值C 、无极值D 、以上答案都不对 8、c x F x f +=⎰)()( ，则 =⎰dx x f x )(ln 1（）A 、c x F +)(lnB 、c x F +-)(lnC 、c x F +)1(D 、c x F x+)(ln 19、微分方程()32x xy y -+'的阶数是（） A 、1 B 、2 C 、3 D 、010、函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001sin )(2x x xx x f 在0=x 是（）A 、可导B 、不连续也不可导C 、不连续但可导D 、连续但不可导二、填空题（每小题3分，共30分） 1、函数22)(2---=x x x x f 的连续区间是___________________.2、=+⋅⎰-dx x xx 1cos 23333________________________. 3、从二重积分的几何意义知__________122=--⎰⎰Ddxdy y x .其中,}0,0,1),({22≥≥≤+=y x y x y x D4、设)(x y y =由方程e xy e y =+所确定，则=dy ________________________.5、=-+→→xyxy y x 11lim0_________________________________,6、若已知⎪⎩⎪⎨⎧-=-=3211ty tx ，则22dx y d =________________________________. 7、)(x f 一个原函数为2arctan x ，则⎰=dx x f )('_______________________.8、)1ln(4222y x y x z ---=的定义域为_______________________________.9、dx e x x ⎰∞+-02=___________________________.10、函数xe y 2=的n 阶导数为_________________________________.三、计算题（每小题8分，共32分） 1、xxx ln cot ln lim 0+→2、设x y u u xf xy z =+=),(，验证xy z yz y x z x +=∂∂+∂∂ 3、计算dx e x x 211⎰-4、计算dxdy y x y x ⎰⎰≤+--122224四、证明当1>x 时，xx x +->1)1(2ln （8分）五、求由曲线2x y =与x y =2围成的图形的面积以及绕Y 轴旋转而成的立体体积. （10分）。

AP微积分2005真题

满分网——AP真题 AP® Calculus BC2005 Free-Response QuestionsThe College Board: Connecting Students to College SuccessThe College Board is a not-for-profit membership association whose mission is to connect students to college success and opportunity. Founded in 1900, the association is composed of more than 4,700 schools, colleges, universities, and other educational organizations. Each year, the College Board serves over three and a half million students and their parents, 23,000 high schools, and 3,500 colleges through major programs and services in college admissions, guidance, assessment, financial aid, enrollment, and teaching and learning. Among its best-known programs are the SAT®, the PSAT/NMSQT®, and the Advanced Placement Program® (AP®). The College Board is committed to the principles of excellence and equity, and that commitment is embodied in all of its programs, services, activities, and concerns.Copyright © 2005 by College Board. All rights reserved. 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Let f and g be the functions given by ()()1sin 4f x x p =+ and ()4.x g x -= Let R be the shaded region in the first quadrant enclosed by the y -axis and the graphs of f and g , and let S be the shaded region in the firstquadrant enclosed by the graphs of f and g , as shown in the figure above. (a) Find the area of R . (b) Find the area of S .(c) Find the volume of the solid generated when S is revolved about the horizontal line y 1.=-WRITE ALL WORK IN THE TEST BOOKLET.2. The curve above is drawn in the xy -plane and is described by the equation in polar coordinates ()sin 2r q q =+for 0,q p ££ where r is measured in meters and q is measured in radians. The derivative of r with respectto q is given by ()12cos 2.drd q q =+(a) Find the area bounded by the curve and the x -axis.(b) Find the angle q that corresponds to the point on the curve with x -coordinate 2.- (c) For2,33p p q << dr d q is negative. What does this fact say about r ? What does this fact say about the curve?(d) Find the value of q in the interval 0pq ££ that corresponds to the point on the curve in the first quadrant with greatest distance from the origin. Justify your answer.WRITE ALL WORK IN THE TEST BOOKLET.Distance x (cm) 0 1 5 6 8 Temperature ()T x ()C ∞100 93 7062553. A metal wire of length 8 centimeters (cm) is heated at one end. The table above gives selected values of thetemperature (),T x in degrees Celsius ()C ,∞ of the wire x cm from the heated end. The function T is decreasing and twice differentiable.(a) Estimate ()7.T ¢ Show the work that leads to your answer. Indicate units of measure.(b) Write an integral expression in terms of ()T x for the average temperature of the wire. Estimate the averagetemperature of the wire using a trapezoidal sum with the four subintervals indicated by the data in the table. Indicate units of measure. (c) Find ()8,T x dx ¢Ú and indicate units of measure. Explain the meaning of ()8T x dx ¢Ú in terms of thetemperature of the wire.(d) Are the data in the table consistent with the assertion that ()0T x >¢¢ for every x in the interval 08?x <<Explain your answer.WRITE ALL WORK IN THE TEST BOOKLET.END OF PART A OF SECTION IICALCULUS BC SECTION II, Part BTime—45 minutes Number of problems—3No calculator is allowed for these problems.4. Consider the differential equation2.dyx y =- (a) On the axes provided, sketch a slope field for the given differential equation at the twelve points indicated,and sketch the solution curve that passes through the point ()0,1.(Note: Use the axes provided in the pink test booklet.)(b) The solution curve that passes through the point ()0,1 has a local minimum at ()3ln.x = What is the y -coordinate of this local minimum?(c) Let ()y f x = be the particular solution to the given differential equation with the initial condition()0 1.f = Use Euler’s method, starting at 0x = with two steps of equal size, to approximate ()0.4.f - Show the work that leads to your answer. (d) Find 22d ydxin terms of x and y . Determine whether the approximation found in part (c) is less than orgreater than ()0.4.f - Explain your reasoning.WRITE ALL WORK IN THE TEST BOOKLET.5. A car is traveling on a straight road. For 024t ££ seconds, the car’s velocity (),v t in meters per second, ismodeled by the piecewise-linear function defined by the graph above.(a) Find ()24.v t dt Ú Using correct units, explain the meaning of ()24.v t dt Ú(b) For each of ()4v ¢ and ()20,v ¢ find the value or explain why it does not exist. Indicate units of measure. (c) Let ()a t be the car’s acceleration at time t , in meters per second per second. For 024,t << write apiecewise-defined function for ().a t (d) Find the average rate of change of v over the interval 820.t ££ Does the Mean Value Theorem guaranteea value of c , for 820,c << such that ()v c ¢ is equal to this average rate of change? Why or why not?6. Let f be a function with derivatives of all orders and for which ()27.f = When n is odd, the n th derivativeof f at 2x = is 0. When n is even and 2,n ≥ the n th derivative of f at 2x = is given by ()()()1!2.3n nn f -=(a) Write the sixth-degree Taylor polynomial for f about 2.x =(b) In the Taylor series for f about 2,x = what is the coefficient of ()22nx - for 1?n ≥(c) Find the interval of convergence of the Taylor series for f about 2.x = Show the work that leads to youranswer.WRITE ALL WORK IN THE TEST BOOKLET.END OF EXAM。