7章

例题7.1、
采用abc坐标系统或dqo坐标系统表示的电量是交 直流互换的，因此为分析发电机运行带来了方便。
定子的对称三相交流电流变换到d、q、0坐标系统 后，成为直流电流，且由于ia、ib、ic之和为零， 因此零轴分量i0=0; 三相电流若为直流量，经派克变换后成为交流电 流。
7.2.2 d、q、o坐标系统的发电机基本方程
•
正方向的选取：
六个回路：三相定子绕组、一个励磁绕组、直轴及交 轴阻尼绕组。定子电流的正方向取为由发电机侧指向 负荷侧.
图7.1 同步发电机各绕组电路图
• 各绕组轴线方向为各 绕组磁链的正方向；
• d轴滞后q轴90°； • 定子电流产生磁通方 向与该绕组轴线方向 相反时，电流为正值； • 转子电流产生磁通方 向与相应磁链相同时， 电流为正值。
M af maf cos M bf maf cos( 120 )

M cf maf cos( 120 )

7.1.2 电压方程及磁链方程
定子与励磁绕组、直轴阻尼绕组间
900
＝2700时，互感为零； 或 00 时，互感为正最大 ＝ 0 180 时，互感为负最大

（7.16）
可见，经过派克变换后，在d、q、o坐标系统中， 发电机的磁链方程转化为线性代数方程组； 电压方程变为线性微分方程组，求解将大为简化。
改变三相电源电压的相位，使定子旋转磁场与q轴重 合，则id=0, Ψd=0，气隙中只有交轴磁场。 与定子各相磁链相对应的等值电感为：
•交轴等效绕组的自感系数是在励磁绕组开路、零轴电流为 零、气隙中只有交轴磁场的情况下，任意一相定子绕组的 自感系数，称为同步发电机的交轴同步电感系数。 •相应的电抗
xq Lq为同步发电机的交轴同步电抗。
Laa l0 l2 cos 2 Lbb l0 l2 cos 2( 120 ) Lcc l0 l2 cos 2( 120 )

• 式中，l0为傅里叶级数的常数项，l2为二次谐波 的幅值。
凸极机时定子绕组自感系数随转子旋转以二倍频周期性变化，
定子绕组间的互感系数
特点：（1）定子等效绕组与转子绕组间的互感系 数是不可逆的，即电感矩阵不对称，给分析问题带 来了不便；（2）方程中的各项电感系数都变成常 数。（3）磁链方程为线性代数方程组。
定子三相的电流和磁链为：
直轴等效绕组的自感系数Ld是在励磁绕组开路、 零轴电流为零、气隙中只有直轴磁场的情况下，任 意一相定子绕组的自感系数，称为同步发电机的直 轴同步电感系数。 相应的电抗 xd Ld 为同步发电机的直轴同步电 抗。
d dt
ra rb rc r
交链到每相绕组的磁链，由定子 电流和转子电流的合成磁势产生
7.1.2 电压方程及磁链方程
励磁绕组及直轴和交轴阻尼绕组电压平衡方程：
u f f r f u D D 0 u Q Q 0
的运行状态十分不便。美国工程师提出的派克变换， 可将变系数微分方程转化为常系数微分方程。
7.2
d、q、o坐标系统的发电机 基本方程
7.2.1 派克变换及d、q、o坐标系统
7.2.2 d、q、o坐标系统的发电机基本方程
7.2.3 同步电机派克方程式的标幺制
7.2.1 派克变换及d、q、o坐标系统
美国工程师派克（park）于1929年提出了一种坐标变 换的方法。 abc坐标系下的同步发电机基本方程中定子的自感、互感 及定子与转子间的互感为时变量，发电机磁链方程为变 系数方程，为了把变系数微分方程化为常系数微分方程， 将坐标轴建立在转子上。
因为a、b绕组在空间相差120度，a相绕组的负值 电流所产生的磁链为正值时，交链到b相绕组为负 磁链，故Mab恒为负值，且Mab=Mba。
M ab M ba [m0 m2 cos 2( 30 )]

M bc M cb [m0 m2 cos 2( 90 )]

第7章
本章提示
同步发电机的基本方程
7.1 同步发电机的原始方程
7.2 d、q、o坐标系统的发电机基本方程
7.3 基本方程的拉氏运算形式
7.4 同步电机的稳态运行
本章提示
在一定前提条件下，提出同步发电机的原始方程； 通过派克变换，实现从a、b、c系统到 d、q、o 坐标系统的转换，得到发电机的基本方程及其标 幺制形式； 为简化求解，提出同步发电机基本方程的拉氏运 算形式； 结合相量图，对同步发电机的稳态运行进行了分 析。
式中： 对角元素L为各绕组的自感系数， 非对角元素M为两绕组间的互感系数， 有 M ab M ba , M af M fa 等可逆关系。
对磁链方程的分析：
定子绕组的 自感 定子绕组间的互感
a Laa b M ba c M ca f M fa M D Da Q M Qa
定字与交轴阻尼绕组间 转子q轴超前d轴90º
凸极机和隐极机时定子绕组与转子绕组互感系数随转 子旋转以同步频率周期性变化
定子绕组与直轴阻尼绕组间的互感系数
M aD maD cos M bD maD cos( 120 )

M cD maD cos( 120 )

定子绕组与交轴阻尼绕组间的互感系数
7.1.2
电压方程及磁链方程
三相定子绕组电压平衡方程
u a a r 0 0 ia u 0 r 0 i b b b u c c 0 0 r ic
M aQ maQ cos( 90 )

M bQ mbQ cos(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 30 )

M cQ mcQ cos( 150 )

7.1.2 电压方程及磁链方程
abc三相数学模型分析的困难
变系数微分方程 分析困难
由上可见，绕组的自感系数以及绕组间的互感系数，
大部分是随角度的变化而周期性变化，求解发电机
M ca M ac [m0 m2 cos 2( 150 )]

• 式中，m0为傅里叶级数的常数项，m2为二次谐 波的幅值。
凸极机时定子绕组间的互感系数随转子旋 转以二倍频周期性变化
转子绕组的自感系数
• 转子各绕组电流产生的磁通，由于所经磁路的磁 阻不变，各绕组的自感系数为常数，分别记为Lf， LD，LQ
派克变换就是将a、b、c三相电流、电压及磁链经过某种 变换（变换的方法不唯一）转换成另外三组量，即d轴、 q轴、零轴分量，完成了从a、b、c坐标系到d、q、o坐 标系的变换。
定子a、b、c三相绕组对转子的影响可考虑为其对 转子d、q轴的影响效应之和，所以我们引入派克 变换（数学变换）。 从数学角度考虑，派克变换是一种线性变换； • 从物理意义上理解， 它将观察者的角度从 静止的定子绕组转移 到随转子一同旋转的 转子上，从而使得定 子绕组自、互感、定 转子绕组间互感变为 常数，大大简化了同 步电机的原始方程。
转子绕组的 自感
定转子绕组间的互感
转子绕组间的互感
定子各绕组的自感系数
• 以a相为例，角α代表转子d轴沿旋转方向超前 于a相轴线的角度。
• 当α为0度和180度时，a相绕组磁通的磁阻最 小，自感系数Laa最大；α为90度和270度时， Laa最小。
a相自感系数的变化规律为一个周期为π的偶函数。 分解为傅里叶级数并忽略4次及以上谐波后，各相 的自感系数表示为：
转子各绕组间的互感系数
转子各绕组间的互感系数也为常数。由于转子结 构对称，纵轴绕组与横轴绕组间没有互感。
M Df M fD 常数 M fQ M Qf M QD M DQ 0
转子各绕组的自感系数和互感系数均为常数
定子绕组与励磁绕组间的互感系数
以a相绕组与励磁绕组的互感系数Maf为例，转子d 轴与定子a相轴线重合时，α为0度，磁阻最小， Maf最大；α=90度时，Maf为零。变化周期为2π。
7.1 同步发电机的原始方程
7.1.1 前提条件 7.1.2 电压方程及磁链方程
7.1.1 前提条件
•
理想同步发电机的假定
电机铁芯部分的导磁系数为常数，即忽略磁性材 料磁饱和、磁滞和涡流的影响，铁芯工作于线性 区。。 对纵轴和横轴而言，电机转子的结构是完全对称 的。 定子三相绕组结构完全相同，彼此互差 120度电 角度，在气隙中产生正弦分布的磁动势。 电机空载，转子恒旋转时，其磁动势在定子绕组 中感应的空载电势是时间的正弦函数。 假设定子与转子具用光滑的表面，其槽与通风沟 等不影响定子及转子的电感。
定子各等值电感为： -
a
ia
-
b
ib
-
c
ic
-
0
i0
L0
L0 即为零序自感系数。 与之对应的电抗 xo L0 称为同步发电机的零序电抗。
电压方程的派克变换形式：
u d rs i d d q u q rS i q q d u o rS io o u f rf i f f u D rD i D D 0 u Q rQ iQ Q 0
0 rD 0
0 i f 0 i D rQ iQ

为交链到转子绕组的磁链
阻尼绕组为短路回路，u D 0 , uQ 0
•
发电机各绕组的磁链是由本绕组的自感磁链和 其他绕组与本绕组间的互感磁链组成，各绕组 的磁链方程：
a Laa M b ba c M ca f M fa D M Da Q M Qa M ab Lbb M cb M fb M Db M Qb M ac M bc Lcc M fc M Dc M Qc M af M bf M cf L ff M Df M Qf M aD M bD M cD M fD LDD M QD M aQ M bQ M cQ M fQ M DQ LQQ ia i b ic if iD iQ