《圆的一般方程》教学设计与反思

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《圆的一般方程》教学设计(优质课)

圆的一般方程（一）教学目标1．知识与技能（1）在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径，掌握方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件.（2）能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法求圆的方程.（3）培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.2．过程与方法通过对方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.3．情感态度与价值观渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索.（二）教学重点、难点教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F .教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用.（三）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图课题引入问题：求过三点A(0，0)，B (1，1)，C(4，2)的圆的方程.让学生带着问题进行思考设疑激趣导入课题.利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程.概念形成与深化请同学们写出圆的标准方程：(x–a)2+(y –b)2 = r2，圆心(a，b)，半径r.把圆的标准方程展开，并整理：x2 + y2 –2ax – 2by + a2 + b2 –r2=0.取D = –2a，E = –2b，F = a2 + b2–r2得x2 + y2 + Dx + Ey+F = 0①这个方程是圆的方程.反过来给出一个形如x2 + y2 + Dx + Ey +F= 0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0配方得22224()()224D E D E Fx y+-+++=②(配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？（1）当D2 + E2– 4F＞0时，方程②表示以(,)22D E--为圆心，整个探索过程由学生完成，教师只做引导，得出圆的一般方程后再启发学生归纳.圆的一般方程的特点：（1）①x2和y2的系数相同，不等于0.②没有xy这样的二次项.（2）圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了.通过学生对圆的一般方程的探究，使学生亲身体会圆的一般方程的特点，及二元二次方程表示圆所满足的条件.22142D E F +-为半径的圆；（2）当D 2 + E 2 – 4F = 0时，方程只有实数解,22D Ex y =-=-，即只表示一个点(,)22D E--；（3）当D 2 + E 2 – 4F ＜0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.综上所述，方程x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0表示的曲线不一定是圆.只有当D 2 + E 2 – 4F ＞0时，它表示的曲线才是圆，我们把形如x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0的表示圆的方程称为圆的一般方程.（3）与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显. 应用举例例1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径.（1）4x 2 + 4y 2 – 4x + 12y + 9 = 0 （2）4x 2 + 4y 2 – 4x + 12y + 11 = 0解析：（1）将原方程变为x 2 + y 2 – x + 3y +94= 0 D = –1，E =3，F =94. ∵D 2 + E 2 – 4F = 1＞0学生自己分析探求解决途径：①用配方法将其变形化成圆的标准形式.②运用圆的一般方程的判断方法求解.但是，要注意对于（1）4x 2 + 4y 2 – 4x + 12y + 9 = 0来说，这里的D = –1，E = 3，94F =通过例题讲解使学生理解圆的一般方程的代数特征及与标准方程的相互转化更进一步培养学生探索发现及分析解决∴此方程表示圆，圆心（12，32-），半径r =12.（2）将原方程化为x2 + y2 –x + 3y +114= 0D = –1，E =3，F =114. D2 + E2– 4F = –1＜0∴此方程不表示圆. 而不是D= –4，E=12，F = 9.问题的能力.例2 求过三点A (0，0)，B(1，1)，C(4，2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标.分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程.解：设所求的圆的方程为：x2 + y2+ Dx + Ey + F = 0∵A (0，0)，B(1，1)，C(4，2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D、E、F的三元一次方程组：即2042200FD E FD E F=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩例2 讲完后学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤：1．根据题设，选择标准方程或一般方程.2．根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；3．解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程.解此方程组，可得：D = –8，E =6，F = 0 ∴所求圆的方程为：x 2 + y 2 – 8x + 6y = 0221452r D E F =+-=； 4,322D F-=-=-. 得圆心坐标为(4，–3).或将x 2 + y 2 – 8x + 6y = 0左边配方化为圆的标准方程，(x – 4)2 + (y + 3)2 = 25，从而求出圆的半径r = 5，圆心坐标为(4，–3).例3 已知线段AB 的端点B 的坐标是(4，3)，端点A 在圆上(x + 1)2 + y 2 = 4运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.解：设点M 的坐标是(x ，y )，点A 的坐标是(x 0，y 0)由于点B 的坐标是(4，3)且M 是线段AB 中重点，所以0043,22x y x y ++==，① 于是有x 0 = 2x – 4，y 0 = 2y – 3因为点A 在圆(x + 1)2 + y 2 = 4上运动，所以点A 的坐标满足方程(x + 1)2 + y 2 = 4，即 (x 0 + 1)2 + y 02 = 4 ② 把①代入②，得(2x – 4 + 1)2 + (2y – 3)2 = 4，教师和学生一起分析解题思路，再由教师板书.分析：如图点A 运动引起点M 运动，而点A 在已知圆上运动，点A 的坐标满足方程(x + 1)2 + y 2 = 4.建立点M 与点A 坐标之间的关系，就可以建立点M 的坐标满足的条件，求出点M 的轨迹方程.备选例题例1 下列各方程表示什么图形？若表示圆，求出圆心和半径.（1）x2 + y2 + x + 1 = 0；（2）x2 + y2 + 2ac + a2 = 0 (a≠0)；（3）2x2 + 2y2 + 2ax– 2ay = 0 (a≠0).【解析】（1）因为D＝ 1，E＝ 0，F＝ 1，所以D2 + E2– 4F＜0 方程（1）不表示任何图形；（2）因为D＝ 2a，E＝ 0，F＝a2，所以D2 + E2– 4F＝ 4a2– 4a2 = 0，所以方程（2）表示点(–a，0)；（3）两边同时除以2，得x 2 + y 2+ ax – ay = 0，所以D = a ，E = – a ，F = 0. 所以D 2 + E 2 – 4F ＞0，所以方程（3）表示圆，圆心为(,)22a a-，半径|r a =. 点评：也可以先将方程配方再判断.例2 已知一圆过P (4，–2)、Q (–1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为的方程.【分析】涉及与圆的弦长有关的问题时，为简化运算，则利用垂径直径定理和由半弦长、弦心距、半径所构成的三角形解之.【解析】法一：设圆的方程为：x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ① 将P 、Q 的坐标分别代入①得4220310D E F D E F -+=-⎧⎨--=⎩令x = 0，由①，得y 2 + Ey + F = 0 ④由已知|y 1 – y 2| = y 1，y 2是方程④的两根. ∴(y 1 – y 2)2 = (y 1 + y 2) – 4y 1y 2 = E 2 – 4F = 48 ⑤ 解②③⑤联立成的方程组，得2012D E F =-⎧⎧⎪⎪=⎨⎨⎪⎪=-⎩⎩D=-10或E=-8F=4 故所求方程为：x 2 + y 2 – 2x – 12 = 0或x 2 + y 2 – 10x – 8y + 4 = 0. 法二：求得PQ 的中垂线方程为x – y – 1 = 0 ① ∵所求圆的圆心C 在直线①上，故设其坐标为(a ，a – 1)，又圆C的半径||r CP == ②由已知圆C 截y轴所得的线段长为C 到y 轴的距离为|a |.② ③222r a =+ 代入②并将两端平方，得a 2 – 5a + 5 = 0，解得a 1 = 1，a 2 = 5.∴12r r ==故所求的圆的方程为：(x – 1)2 + y 2 = 13或(x – 5)2 + (y – 4)2 = 37.【评析】(1)在解本题时，为简化运算，要避开直接去求圆和y 轴的两个交点坐标，否则计算要复杂得多.（2）涉及与圆的弦长有关问题，常用垂径定理和由半弦长、弦心距及半径所构成的直角三角形解之，以简化运算.例3 已知方程x 2 + y 2 – 2(t + 3)x + 2(1 – t 2)y + 16t 4 + 9 = 0表示一个圆，求（1）t 的取值范围；（2）该圆半径r 的取值范围. 【解析】原方程表示一个圆的条件是D 2 +E 2 – 4F = 4(t + 3)2 + 4(1 – t 2)2 – 4(16t 4 + 9)＞0 即7t 2 – 6t – 1＜0，∴117t -<<（2）2222224224(3)(1)(169)76143167()77D E F r t t t t t t +-==++--+=-++=--+∴2160,07r r <≤<<。

圆的标准方程教学反思6篇

圆的标准方程教学反思6篇圆的标准方程教学反思1本节课通过提问引入，在初中学过圆的概念，那么具有什么性质的点的轨迹成为圆呢？然后建立圆的标准方程。

本节课采用ppt多媒体演示，增加了信息量，动态演示图形，引起学生更强的注意，提高课堂的教学效率。

为了激发学生的主体意识，教学生学会学习和学会创造，同时培养学生的应用意识，本节内容可采用“引导探究”教学模式进行教学设计。

教师在教学过程中，主要着眼于“引”，启发学生“探”，把“引”和“探”有机的结合起来。

教师的每项教学措施，都是给学生创造一种思维情景，一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会，激发学生的求知欲，促使学生解决问题。

这节课学生很投入，他们通过独立思考，相互讨论，交流合作发现知识，教学不仅仅是知识的传授，更重要的是让学生参与获得知识的活动，教师应培养学生主动获取知识的能力。

本节课的失误在于：①课前我以为同学在初中学过圆，并且对圆的定义有深入的了解，但实际情况比我想象的更糟糕，同学的基础有点差，在问题的设计处没有达到预期的效果。

②在解决圆的.问题中多次用到配方法，待定系数法等思想方法，应该多加总结。

③有关圆的内容非常丰富，有很多有价值的问题，应该选取一些较难的题目供学习好的学生研究。

圆的标准方程教学反思2 今天开一节新课，课题是《圆的标准方程》。

教学上，我用了奥运五环旗来引入，通过五环的圆形状，让学生举例生活中的圆，借以活跃课堂的气氛并提出本节研究的课题。

接下来，设计两个问题作为课堂的串联。

问题一：如何作出一个圆？先让学生上来画圆，再结合画圆的呈现的情境，引导学生回顾圆的'定义；问题二：如果圆心为C（a,b)，半径为r，如何求圆的方程？教师根据学生作出的圆，添上坐标轴，让学生根据求曲线方程的步骤推导圆的方程。

两个问题一解决，圆的标准方程也就浮出水面了。

结合例题，教师对圆的标准方程的结构作了进一步说明，特别强调了圆心在原点的情况，然后，就进入了练习巩固阶段。

《圆的一般方程》教学设计与反思教学提纲

《圆的一般方程》教学设计与反思《圆的一般方程》教学设计与反思一、教学基本信息课题：本课选自《中等职业教育课程改革国家规划新教材数学（基础模块）下册》，第八章直线和圆的方程第七节圆的方程的第二课时§8.7.2圆的一般方程。

二、指导思想与理论依据随着《普通高中数学课程标准》（实验）的实施，新课程标准中提出了许多先进的教育理念，这些理念对职业高中的数学课程改革和课堂教学具有极强的指导作用。

然而由于职业教育对象的复杂性，在具体的数学课堂教学中应考虑职业学校学生的心理特点和不同水平、不同学生的兴趣需要，体现“以人为本”教学理念，把“过程与方法”作为与“知识与技能”、“情感态度与价值观”同等重要的目标维度，倡导学生“主动参与、乐于探索、勤于思考”，培养学生“获取新知识”、“分析和解决问题”的能力。

三、教材分析：《圆的一般方程》是解析几何的内容，是在学习了直线方程后，继圆的标准方程之后学习的，圆是一种特殊的曲线。

在现行职业学校的教材中，圆是唯一一种必修的曲线，也是职业学校学生认识曲线和方程的途径，在解析几何中占有重要的地位。

四、学情分析：对于职业学校的学生来说，数学属于“难攻”的科目，基础差，学习兴趣不高，缺乏主动性。

因此在教学设计上要多考虑学生的实际因素，由易到难，层层递进，激发并引导学生自主学习是教师教学的主要目的之一。

五、教学目标：（一）知识与技能：1 •理解并掌握圆的一般方程的形式，会将圆的标准方程化为一般方程；2•明确圆的标准方程和一般方程的常数之间的关系，会用这种关系求圆的圆心坐标和半径；3 •逐步学会用配方法将圆的一般方程表示为标准方程.（二）过程与方法：1. 从不同的角度得出圆的方程表示形式，培养学生从多角度认识事物、研究问题的习惯和能力；2. 随着探索研究的不断推进，逐步让学生发现圆的一般方程的特点，培养学生观察、归纳能力；3 •通过一题多解，培养学生发散思维；4•在合作交流中采用问题呈现的方式，引导学生积极探索，主动学习，培养合作精神.（三）情感态度与价值观：借助于多媒体课件，让学生感受数与式之间的内部的和谐美，提高学习数学的兴趣.六、教学重点：1. 圆的一般方程的形式；2. 在圆的一般方程中，求圆心坐标和半径.七、教学难点：用配方法求圆心坐标和半径.八、教学流程：知识回顾一探索研究-合作交流一知识应用一课堂小结一布置作业一课后反思九、教学过程：（2）（x-2）+y=9;（3）x2+（y-1）2=3; ____ （4）x 2+y2=5;问题二：下列二元二次方程是否表示圆？（1）2x2+y2-2x+3y-6=0; ____2 2（2）x +2xy+y -3x+5y-1=0;（3）x2+y2-2x+4y+5=0; _____ （4）3x2+3y2-6x+12y=0; _____ 问题三：（1）圆的方程一定是二元二次方程吗？（2）二元二次方程一定表示圆吗？问题四：已知圆的一般方程，如何求圆心坐标和半径？多媒体呈现问题，根据学生的回答情况分析讲评学生分组讨论，每组委派一名代表回答采用问题串呈现的方式，引导学生积极探索，主动学习，培养合作精神.四.知识应用：1.例题讲解：例4.求下列各圆的圆心坐标和半径：（1）x 2+y2-6y=0;（2）2x 2+2y2+8x-10y=0. 解：（1）解法一设圆心的坐标为（a, b）,半径为r,由圆的一般方程得：D=0, E=-6, F=0而a D 0, b 旦 3,2 2r2=a2+b2-F=32所以，圆心坐标为（0, 3）,半径为3(2)解法二(配方法)2 2 2 22x +2y +8x-10y= x +y +4x- 5y=0 (x2+4x)+(y2-5y)=0(x2+4x+2)+[y 2-5y+ 弓)2]- 22-(5)2=0 (x+2)2+(y-5)2=412 2 4 从而得出圆心坐标为(-2, 第（1）小题用常数D E、F与a、b、r之间的关系：r2=a2+b2-F 来解；第（2）小题用配方法来解.出示练习题，讲通过一题多解，培养学生发散思维.学生讨论，分别选用另一种方法来解答，选两名学生板演.学生解答，订巩固所学知识，在练习中添加圆周长和面积的计算，紧密联系实十、课后反思:1. 针对教材内容和学生学情，采用发现式教学法，由具体的圆的标准方程展开整理,让学生从感性上认识圆的一般方程的形式，再进行一般情况下的探索研究，随着研究的不断推进，引导学生逐步发现圆的一般方程的特点，教学气氛活跃，学生积极参与，培养了学生观察、归纳的能力，也激发了学习兴趣。

(完整word版)《圆的一般方程》教学设计与反思

《圆的一般方程》教学设计与反思一、教材分析：《圆的一般方程》是解析几何的内容，是在学习了直线方程后，继圆的标准方程之后学习的，圆是一种特殊的曲线。

在现行职业学校的教材中，圆是唯一一种必修的曲线，也是职业学校学生认识曲线和方程的途径，在解析几何中占有重要的地位。

二、学情分析：对于职业学校的学生来说，数学属于“难攻”的科目，基础差，学习兴趣不高，缺乏主动性。

因此在教学设计上要多考虑学生的实际因素，由易到难，层层递进，激发并引导学生自主学习是教师教学的主要目的之一。

三、教学目标：（一）知识与技能：1．理解并掌握圆的一般方程的形式，会将圆的标准方程化为一般方程；2．明确圆的标准方程和一般方程的常数之间的关系，会用这种关系求圆的圆心坐标和半径；3．逐步学会用配方法将圆的一般方程表示为标准方程．（二）过程与方法：1.从不同的角度得出圆的方程表示形式，培养学生从多角度认识事物、研究问题的习惯和能力；2.随着探索研究的不断推进，逐步让学生发现圆的一般方程的特点，培养学生观察、归纳能力；3．通过一题多解，培养学生发散思维；4．在合作交流中采用问题呈现的方式，引导学生积极探索，主动学习，培养合作精神．（三）情感态度与价值观：借助于多媒体课件，让学生感受数与式之间的内部的和谐美，提高学习数学的兴趣．四、教学重点：1.圆的一般方程的形式；2.在圆的一般方程中，求圆心坐标和半径.五、教学难点：用配方法求圆心坐标和半径.六、教学过程：教学环节教师活动预设学生活动设计意图一、复习回顾： 1．圆的标准方程 2．写出圆心为（2，-1），半径为3的圆的标准方程二．探索研究： 1.问题引入：方程(x-2)2+(y+1)2=9为几元几次方程？（展开整理） 2．将圆的标准方程展开整理： (x-a)2+(y-b)2=r 2⇒x 2+y 2-2ax-2by+(a 2+b 2-r 2)=0 令D=-2a ，E=-2b ，F= a 2+b 2-r 2，则 x 2+y 2+Dx+Ey+F=0 注意： ①圆的方程是二元二次方程； ②x 2、y 2的系数相等；③不含xy 项。

《圆的一般方程》教学设计和教案

《圆的一般方程》教学设计和教案教学设计教学目标：1.知识目标：掌握圆的一般方程的概念和求解方法；2.能力目标：能够正确理解和应用圆的一般方程解决相关问题；3.情感目标：培养学生对几何图形的兴趣，激发学生学习数学的积极性。

教学内容：1.圆的一般方程的定义和性质；2.使用圆的一般方程解决相关问题；教学步骤：Step 1 引入新知1.引导学生回顾圆的定义和性质，并回忆圆的直角坐标的一般方程；2.提出一个问题：“如何表示任意圆的方程？”引导学生思考。

Step 2 探究圆的一般方程1.结对讨论，指导学生以模仿法找出圆心在原点的圆的一般方程，并让学生将结论进行总结；2.通过实例引导学生进一步推广到圆心不在原点的情况，让学生发现圆的一般方程的一般表达形式。

Step 3 练习巩固1.给学生提供一些圆心在不同位置的圆的方程，让学生推算出对应的方程；2.带领学生分析和讨论解题过程，并纠正学生可能出现的错误。

Step 4 拓展应用1.引导学生思考如何利用圆的一般方程求圆的切线和法线；2.分组合作，让学生收集相关问题并解答；3.学生展示解题过程和结果，并带领全班讨论。

Step 5 总结归纳1.小组成员合作撰写一篇关于圆的一般方程的总结性文章；2.整理学生的思路，总结圆的一般方程的概念和方法，以及应用。

Step 6 练习检测1.布置一些练习题，让学生独立完成；2.教师检查学生的答题情况，并与学生一起讨论解题过程中的疑问。

Step 7 总结反思1.学生回顾所学内容，自评自己的学习效果，并写下自己的学习感想；2.教师对本节课进行总结和反思，并对学生的学习进行评价。

教案教案一：圆的一般方程的引入教学目标：明确圆的一般方程的定义和性质。

教学步骤：Step 1 引入新知1.引导学生回归几何的基本概念，复习圆的基本定义和性质；2.引出一个问题：“如何用方程表示圆？”Step 2 引入问题1. 使用ppt展示一个以原点为圆心的圆，采用不同的半径和圆心坐标方程；2.让学生思考圆的方程与圆的性质之间的关系。

对圆的一般方程的教学反思

对圆的一般方程的教学反思几何学是数学中的一个重要分支，它研究的是空间中的形状、大小和位置关系。

而对于圆的一般方程的教学，旨在让学生了解圆的基本特性以及如何使用数学的语言来描述圆。

然而，在教学实践中，我发现一些问题和困惑，以下是对圆的一般方程的教学反思。

一、教学目标设定不够明确在课堂上，我发现学生对于圆的一般方程往往存在一些混淆和误解。

这可能是因为我在设定教学目标时不够明确。

在今后的教学中，我打算明确地表达教学目标，例如“通过学习，学生应该能够理解圆的一般方程并能够使用它来解决相关问题”。

二、缺乏实际应用的示例在教学中，我往往只注重理论的讲解，而忽略了实际应用的示例。

这导致学生对于圆的一般方程的应用能力有所欠缺。

在今后的教学中，我计划引入一些实际生活中的例子，如汽车的轮胎、建筑物的圆形窗户等，以激发学生对于圆的一般方程的兴趣，并帮助他们将理论与实际问题相结合。

三、教学方法单一在我以往的教学中，主要采用了讲解和演示的形式，缺乏互动和多元化的教学方法。

这使得学生的参与度较低，难以全面理解和掌握圆的一般方程。

为了改变这种情况，我打算采用更多的小组讨论、问题解决和实践操作等活动，以提高学生的学习兴趣和主动性。

四、评价方式不够灵活在对学生的学习成果进行评价时，我通常只使用传统的笔试形式，这往往无法全面地反映学生对于圆的一般方程的理解和应用能力。

因此，在今后的教学中，我计划采取更多的形式，如小组讨论、项目展示和实践操作，以便全面了解学生的学习情况。

总结：通过对圆的一般方程的教学反思，我意识到教学目标设定、实际应用示例、教学方法和评价方式等方面存在的问题。

在今后的教学中，我将更加明确地设定教学目标，并引入实际应用的示例，采用多样化的教学方法，灵活运用评价方式，以提高学生对于圆的一般方程的理解和应用能力。

我相信通过这些改进，学生对于圆的一般方程的学习效果将会得到进一步提高。

圆的一般方程教学反思

圆的一般方程教学反思圆的一般方程教学反思1成功之处：“圆的一般方程”一节课是高二数学中圆锥曲线的一个重要内容。

通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解圆的一般方程的求法及圆的一般方程圆的特点,又可使学生加深对圆的一般方程同圆的标准方程间的相互转化，还为日后解决解析几何综合题的教学做好准备,起到承上启下的重要作用。

根据本节课的内容及学生的`实际水平，我采取提出问题引导发现式教学方法,提出问题让学生思考得出答案,并让学生自己动手操作解决问题。

教学过程中，教师采用点拨的方法，启发学生通过主动思考、动手操作来达到对知识的“发现”和接受，进而完成知识的内化，使书本的知识成为自己的知识。

课堂不再成为“一言堂”，学生也不会变成教师注入知识的“容器”，通过自己动脑和动手解决了问题,体验到成功的快乐和喜悦.采取这种形式，可以极大提高学生的学习兴趣，使教学目标更完美地体现。

不足之处：本节课教学内容上主要是强调圆的一般方程的判别式,用其判断曲线是否是圆,应该同时指点学生将方程配方也可以.而这一点能很好的树立学生对立统一的辩证思维观点。

总之，在整个教学过程中，我抓住学生的“主体”作用作文章，不浪费任何一个促使学生“自省”的机会，以积极的双边活动使学生主动自觉地发现结果、发现方法。

培养了学生的观察分析能力和思维的全面性。

具体教学中，教师创设问题情境，学生在这一情境中去讨论分析、探究发现，以符合学生思维的形式发展了学生的能力，达到了教学目标，优化了整个教学。

<圆的一般方程教学反思2数学家华罗庚曾经说过：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学。

这是对数学与生活的精彩描述。

数学是生活的组成部分，数学问题来源于生活，而应用于生活。

生活中常用的各种知识像按比例分配水电费、计算储蓄利息、日常购物问题均发生在身边，我们买东西、做衣服、外出旅游，都离不开数学。

既然如此，那么，数学教师能否布置让学生写日记或周记之类的“数学生活”手记呢?让学生把用数学知识解决生活中实际问题的事例、感受或自己的独特想法记录下来，让他们体验到生活须臾离不开数学，从而增强他们对数学的应用意识，使其对数学产生亲切感和浓厚的兴趣，并且养成事事、时时、处处吸收运用数学知识的习惯，调动他们主动学习数学、创新性运用数学的积极性。

圆方程教学设计(精选4篇)_圆的方程教学设计

圆方程教学设计（精选4篇）_圆的方程教学设计圆方程教学设计（精选4篇）由作者整理，希望给你工作、学习、生活带来方便。

第1篇：圆的一般方程教学设计一、学习目标知识与技能：在熟练记忆圆的标准方程的基础上，能通过配方法将方程配方，从而得出此方程表示圆的条件，记住此条件，并会求圆心和半径；熟练进行标准方程和一般方程之间的互化；通过比较得出求圆方程的两种方法（待定系数法和几何性质法）。

过程与方法：通过对方程表示圆的条件的探究，培圆的一般方程教学设计养学生探索发现和解决问题的能力，通过比较例题，感悟归纳和总结的学习方法。

情感态度与价值观：通过对数学思想和方法的渗透，让学生感受解决问题的不同思考角度和过程，激励学生积极思考，勇于探索的精神。

二、重点难点：探究方程的两种方法（待定系数法和几何性质法）。

三、学法提示：探究式；比较归纳式四、学习过程：包括相关预习、学习探究、反馈和展示、启发点拨、归纳小结、释疑答难、训练巩固、点拨校正、作业等。

1、自主预习（用10分钟时间阅读教材内容，勾勒自己的疑惑，查阅相关的资料辅助解决疑惑，记录自己一些独特的见解，完成学业质量模块测评的环节1，包括基础知识的记忆、思维提升的判断及A、B、C不同层级的练习）2、思考探究（引入）：问题1：圆的标准方程是什么？你能正确展开吗？此时重点观察和发现后进生的练习过程，及时地予以真诚的语言鼓励或者一个肯定的眼神、一个手势，让这些学生从一开始投入到我能学会的自信心当中来。

问题2：方程方程表示圆的条件；求圆方程在解决这两个问题之前老师紧接着问：由问题1你能想到解决这两个问题的办法吗？或者由这两个方程的形式特点你想到了什么方法来处理这两个方程？这样培养学生善于发现问题之间的内在联系的意识，也培养学生观察分析问题的能力。

这样学生自然采用配方法处理，第一个表示一个圆，第二个不表示任何图形。

问题3：将问题2一般化，方程都表示圆吗？在什么条件下表示圆？3、小组展示先给学生5分钟自主探究（因为涉及到分情况讨论，可能有一半学生会出错），而后各个小组在小组长的展示下相互完善，达成共识。

圆的一般式方程教案

普通高中课程标准实验教科书人教A版必修②
4.1.2 圆的一般方程
(教学设计)
一、教学目标
（一）知识与技能
(1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心、半径.掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件.
(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程.能用待定系数法求圆的方程.会用坐标法求动点的轨迹方程.
(3)培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.
（二）过程与方法
通过对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件的探究，渗透数形结合、分类讨论、化归等数学思想方法.
（三）情感、态度与价值观
通过探索、发现、分析、解决问题，激励学生勇于探究和合作交流并养成严密的逻辑思维习惯和严谨的科学态度.
二、重点、难点
重点：⑴掌握圆的一般方程及其特点.
⑵能根据某些具体条件，运用待定系数法求圆的方程.
⑶会用坐标法求动点的轨迹方程.
难点：对坐标法的理解.
三、教法、学法
本课采用“探究——发现——理解——应用”的教学模式,
教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导；学生的学法突出探究、发现与交流.
1
2
是线段
3。

圆的一般方程(教学设计)

《圆的一般方程》教案设计一、学情分析:圆的一般方程是学生在掌握了求曲线方程一般方法的基础上，在学习过圆的标准方程之后进行研究的，是研究二次曲线的开始。

这里主要是用解析法研究它的方程及与其它图形的位置和应用。

但由于学生学习解析几何的时间还不长，学习程度较浅，对坐标法的运用还不够熟练，学生在探究问题的能力方面比较薄弱。

因此，根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认识结构，我特制定如下教学目标。

二、教学目标： 1、知识与技能目标：（1）将圆的标准方程(x –a)2+(y –b)2=r 2，展开得x 2+y 2–2ax –2by+a 2+b 2–r 2=0——①令D=–2a ，E=–2b ，F=a 2+b 2–r 2，则①式可写成x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，从而得到圆的一般方程及其方程特点，同时也让学生掌握了这一知识点。

（2）通过设问：是不是任何一个形如x 2+y 2+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲线都是圆？将方程配方得(x+D 2)2+(y+E 2)2=D 2+E 2–4F 4，对比圆的标准方程：(x –a)2+(y –b)2=r 2，让学生学会能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出其圆心(–D 2，–E2)，r=D 2+E 2–4F 2。

（3）通过例2，培养学生能用待定系数法来求圆的方程。

（4）通过例3，提高学生用坐标法求动点轨迹方程的通知。

2、过程与方法目标：通过展开圆的标准方程(x –a)2+(y –b)2=r 2导出圆的一般方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0这一过程加深了学生在研究问题中由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想，培养了学生严密的逻辑思维和严谨的科学态度，通过例1、例3补充题的练习，培养学生数形结合思想、方程思想，提高学生分析问题和解决问题的能力，同时学生用代数方法研究几何问题的能力也得到了一定的提高。

3、情感、态度与价值目标：由学生动手，展开圆的标准方程：(x–a)2+(y–b)2=r2得x2+y2–2ax–2by+a2+b2–r2=0中令D=–2a，E=–2b，F=a2+b2–r2得x2+y2+Dx+Ey+F=0——①，由学生分组讨论得出方程①表示圆的条件，圆的一般方程形式以及圆的一般方程与标准方程的转化和关系，培养了学生勇于思考问题，主动探究知识和合作交流的价值，同时在探讨中也激发了学生的学习兴趣，因此这一过程体现了情感、态度和价值目标。

圆的一般方程教学设计

这节课主要采用讲练结合的方法．首先由圆的标准方程展开得到圆的一般方程，然后讨论一个二元二次方程满足什么样的条件才能表示圆．最后通过例题，让学生初步感悟待定系数法和求曲线方程的一般步骤．
【教学过程】
环节
教学内容
师生互动
设计意图
引
入
1.圆心为C(a，b)，半径为r(r＞0)的圆的标准方程是什么？
2.回答下列问题
表示圆？
将方程配方，得
(x＋)2＋0时，方程①表示以(－，－)为圆心，且半径为的圆；
（2）当D2＋E2－4F＝0时，方程①表示点(－，－)；
（3）当D2＋E2－4F<0时，方程①
不表示任何图形．
圆的一般方程
当D2＋E2－4F>0时，方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
（1）以原点为圆心，半径为3的圆的方程是；
（2）圆(x－1)2＋(y＋2)2＝25的圆心坐标是，半径是．
3.直线方程有多种形式，圆的方程是否还有其他的形式？
师：上节课我们学习了圆的标准方程，请同学们回顾一下，圆心坐标为(a，b)，半径为r的圆的方程是什么？
学生回答教师提出的问题．
学生口答，教师点评．
师：将方程②同圆的标准方程比较，如果方程②表示圆，必须满足怎样的条件？
此时圆的圆心坐标是多少？圆的半径呢？
学生回答，教师点评．
师：由以上探究可知，只有当D2＋E2－4F>0时，方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
才表示一个圆．
师：圆的标准方程指明了圆的圆心和半径，圆的一般方程表明了圆的方程形式是二元二次方程．
8.3.2圆的一般方程
【教学目标】
1．掌握圆的一般方程，能判断一个二元二次方程是否是圆的方程．

《6.4.2 圆的一般方程》教学设计教学反思-2023-2024学年中职数学高教版2021基础模块下

《圆的一般方程》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 掌握圆的一般方程的表达式及其含义。

2. 能够运用圆的一般方程解决简单的数学问题。

3. 培养数学建模的思想和方法。

二、教学重难点1. 教学重点：圆的一般方程的推导和应用。

2. 教学难点：将圆的几何性质转化为一般方程表示。

三、教学准备1. 准备教学用具：黑板、粉笔、圆规、三角板等。

2. 准备教学材料：教材、习题集等。

3. 设计教学流程：引入课题、讲解知识、组织练习等。

4. 制定考核方法：检查学生运用圆的一般方程解决数学问题的能力。

四、教学过程：（一）导入1. 回顾初中所学圆的方程，提问学生圆的标准方程，强调圆的一般方程的概念。

2. 介绍圆的参数方程，通过图形直观引入圆的普通方程，引出圆的方程的概念。

（二）新课1. 圆的一般方程的推导（1）通过观察圆的标准方程，分析圆的一般形式，引导学生得出圆的方程的一般式。

（2）介绍平方差公式，并利用此公式化简圆的方程的一般式。

（3）通过举例子，让学生自己验证化简后的结果。

2. 圆的方程的解读（1）重点讲解坐标法，说明点与圆的位置关系，以及圆与圆的位置关系。

（2）举例说明圆的方程在生活中的应用，以及圆的方程在实际中的应用。

（三）实践探究设计几个问题，让学生利用课余时间进行探究，如：（1）椭圆的标准方程是什么？与圆的方程有哪些联系和区别？（2）对于不同的圆，如何写出它们的方程？能否通过一个例子来解释圆的方程在实际中的应用？（四）课堂小结通过回顾本节课的教学内容，引导学生总结本节课的重点和难点，让学生对圆的方程有一个整体的认识。

同时，也鼓励学生提出自己的问题和困惑，教师给予解答和指导。

（五）作业布置给学生布置一些与圆的方程相关的作业，如：写几个不同形式的圆的方程，分析它们的特点和应用场景；结合实际例子，说明圆的方程在实际中的应用等。

教学设计方案（第二课时）一、教学目标1. 掌握圆的一般方程的表达式及其意义。

2. 能够运用圆的一般方程解决实际问题。

2.4.2圆的一般方程教学设计-2024-2025学年高二上学期数学人教A版选择性

2.4.2圆的一般方程一、教学内容与解析（一）教学内容圆的一般方程.（二）内容解析在学习了圆的标准方程，并能根据圆的标准方程求出圆心坐标、半径后，会用待定系数法求圆的一般方程.以圆的几何性质为基础，用代数方法研究圆的方程形式，首先从圆的标准方程着手，确定圆的圆心与圆的半径，从而写出圆的一般方程，并掌握这两种方程之间的转化.二、教学目标及分析（一）教学目标1.理解圆的一般方程及其特点；2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化；3.会求圆的一般方程以及简单的轨迹方程.（二）目标分析1.使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程;2.使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力;3.理解轨迹方程的定义，通过题意求出轨迹方程.三、教学重难点重点：圆的一般方程难点：圆的一般方程的运用四、教学过程设计问题一、什么是圆的一般方程？问题1、将圆的标准方程222()()x a y b r -+-=展开得到什么样的式子？师生活动：学生将几个不同的圆的标准方程展开，观察几个展开式的结构发现他们的共同点。

教师总结出圆的一般方程任何一个圆的方程都可以写成x 2+y 2+Dx+Ey+F=0．问题2、形如x 2+y 2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？师生活动：教师利用两个二元二次方程讲解，方程222410x y x y +-++=与222460x y x y +--+=表示的图形都是圆吗？为什么？通过简单例子让学生掌握圆的一般方程的条件。

方程220x y Dx Ey F ++++=可化为22224()()224D E D E F x y +-+++=，（1）当2240D E F +->时，方程表示圆，圆心为)22D E （-，-，半径为；（2）当2240D E F +-=时，方程表示一个点)22D E （-，- （3）当2240D E F +-<时，方程不表示任何图形问题3、圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=22(40)D E F +-> 有何结构特征？问题4、当D=0，E=0或F=0时，圆220x y Dx Ey F ++++=的位置分别有什么特点？师生活动：学生观察或动手画出圆的图形回答上述两个问题，教师指导，特别是书写圆的一般方程时，要注意方程的结构特征。

高中数学教师资格面试《圆的一般方程》教案

高中数学教师资格面试《圆的一般方程》教案一、教学目标1. 知识目标：掌握圆的一般方程的概念、性质及其应用。

2. 技能目标：能够利用圆的一般方程解决实际问题。

3. 情感目标：通过本课的学习，学会感受数学美，提高数学学科素养。

二、教学内容1. 圆的一般方程的定义。

2. 圆的一般方程的性质（方程的标准形式、圆心及半径的求解）。

3. 利用圆的一般方程解决实际问题。

三、教学重点和难点1. 圆的一般方程的标准形式的求解和圆心半径的求解。

2. 圆的一般方程的应用。

四、教学过程1. 导入新课（5分钟）通过导入相关的数学问题，激发学生学习本课的兴趣，引导学生对本课内容感兴趣。

2. 课堂讲解主体（35分钟）（1）讲解圆的一般方程的定义及标准形式。

（2）讲解圆的一般方程的性质（圆心及半径的求解）。

（3）讲解圆的一般方程的应用。

3. 讲解结束，小结复习（10分钟）回归本课的内容要点，向学生总结本节课的知识点。

同时，老师可以针对学生提出的问题进行一些讲解，并引导学生完成相关的习题。

4. 课后作业（10分钟）要求学生结合本节课讲解的内容完成课后作业，并留下需要在下节课讨论的问题。

五、教学方法1. 演示法2. 讨论法3. 课堂互动法六、教学资源1. 教材及教辅材料2. 多媒体设备3. 白板、彩笔七、教学评价1. 考勤记录2. 课堂表现评价3. 课后作业完成评价4. 错误习题纠正评价八、教学安排本课程安排两个课时，第一课时为理论讲解和部分实例演示，第二课时为实例讲解和习题课。

对“圆的一般方程”的教学反思

对“圆的一般方程”的教学反思“圆的一般方程”一直是高中生学习的难点和重点，此部分知识具有一定的抽象性，使得高中生在学习中经常出现吃力的状况，甚至产生厌学心理，无法激发高中生的数学潜能。

基于此，本文就“圆的一般方程”的教学设计展开探讨，供广大教师参考。

标签：苏教版高中数学圆的一般方程教学设计教学案例引言圆的一般方程（x2+y2+Dx+Ey+F=0且D2+E2-4F〉0），高中生要想快速掌握，需要具备一定的基础知识。

教师在“圆的一般方程”授课阶段，需要结合高中生的学习特点，以高中生为主体，合理设置教学问题，严格做好教学设计，确保高中生能够主动探究，高效学习。

一、“圆的一般方程”教学要注重推导过程的详细讲解众所周知，圆的标准方程为（x-a）+（y-b）=r2，高中生对圆的标准方程都有非常细致的了解。

在此种情况下，教师就可以通过圆的标准方程推导圆的一般方程，将圆的标准方程（x-a）+（y-b）=r2的左边展开，整理得到圆的一般方程。

然后教师还要利用配方法，将一般方程化为标准方程的形式，从而让学生在对比中了解半径、圆心坐标的求法。

圆的标准方程的优点在于它明确指出了圆心和半径，而一般方程突出了方程式的特点，便于区分曲线的形状。

在标准方程和一般方程的互化过程中，每位学生对圆的一般方程有了更加准确的了解，为后续的教学奠定了坚实的基础。

二、“圆的一般方程”教学要注重问题引导问题训练对培养高中生发散思维，数学思维能力等多要素有着非常重要的意义，在苏教版高中数学课本中，涉及“圆的一般方程”的数学习题非常多。

教师要引导高中生探索一些与圆有关的数学习题，帮助高中生锻炼数学思维能力，提升高中生的数学综合素养。

又因为x+y+3x+1=（x+1）+（y+2）x+1=1+y+2x+1，所以题目转化为求y+2x+1的最小值，令k=y+2x+1，则k表示半圆上的点和点P（-1，-2）连线的斜率，当这条直线与圆相切时斜率最小，设切点为Q，分别连接OQ、OP，设直线的方程为y+2=k（x+1），即kx-y+k-2=0，所以|OQ|=|k-2|1+k2=1，解得k=34，所以原式的最小值为1+34=74。

圆的一般方程教案

圆的一般方程教案一、教学目标1.知识与技能目标：学生能够掌握圆的一般方程的基本概念和推导过程；能够根据已知条件，确定圆的一般方程。

2.过程与方法目标：通过引入问题，激发学生的探究兴趣，培养学生的思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度价值观目标：培养学生对数学的兴趣，培养学生的观察力和分析问题的能力，培养学生认真负责的学习态度。

二、教学重难点1.教学重点：圆的一般方程的基本概念，圆的一般方程的推导过程。

2.教学难点：通过引导学生分析，理解圆的一般方程的推导过程。

三、教学过程1.导入（5分钟）老师在黑板上画一个圆，问学生：你们对圆的一般方程有了解吗？有什么想法？2.引入问题（5分钟）老师出示一张图片，画有一个坐标系和一个圆，问学生：如何确定这个圆的方程？请你们思考一下。

3.讲解圆的一般方程的基本概念（10分钟）a.老师引导学生思考：圆的一般方程是什么意思？它包括哪些内容？b.学生回答：圆的一般方程是指坐标系中，所有满足其方程的点的集合。

它包括圆心、半径的信息。

c.老师给出圆的一般方程的定义：圆的一般方程是指平面直角坐标系中，满足方程的所有点的集合。

4.推导圆的一般方程（20分钟）a.老师先引导学生思考：圆的特点是什么？如何用代数表示？b.学生回答：圆的特点是所有到圆心距离等于半径的点。

可以用勾股定理表示。

c.老师给出推导圆的一般方程的步骤：-假设圆心坐标为(x0,y0)，半径为r。

-任取圆上一点P(x,y)，根据勾股定理，有(x-x0)²+(y-y0)²=r²。

-展开可得到一般方程：x²+y²+Ax+By+C=0。

其中A=-2x0，B=-2y0，C=x0²+y0²-r²。

d.老师给出实例，通过具体计算，将圆的一般方程推导出来。

5.圆的一般方程的应用（15分钟）a.老师出示一道问题：圆心在原点，且与x轴和y轴的交点分别为(5,0)和(0,3)的圆的方程是什么？b.学生通过对问题分析，发现可以利用已知条件得到方程的三个参数：圆心坐标和半径。

圆的一般方程实践反思08

3．通过对圆的一般方程的特点的讨论，培养学生严密的逻辑思维和严谨的科学态度；通过例题的分析讲解，培养学生分析问题的能力．
通过研修，在课堂上能充分利用信息技术，能够提高课堂教学效果，一些难以用语言描述的知识通过信息技术展示变得简单明了，易于理解，便于操作，使学生学得更有味道，难以理解的知识变得简单易接受，图形更易于形象掌握
问题建议
信息技术教学应用实践中的主要问题、困惑与建议。
圆的一般方程的探求过程的素材有点少，多媒体技术掌握的还不够熟练，对备课的速度有所滞后，建议给一些简易模板，只要输入数据，就可以操作的软件能多一点
证明材料
教师在培训期间进行课堂实践、线下研修等的照片、活动记录等证明材料。
备注：本模板仅供参考，参训教师可根据实际情况，自来自修改创新。实践反思模板
实践收获
通过研修所学，学着将信息技术与我任教的数学结合，追求教学的网络效果，以期能体现学生学习的主体地位，让学生有主动寻找资源的欲望，激发学生寻找资源的动机和热情。并能完成以下三点：
1．讨论并掌握圆的一般方程的特点，并能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心的坐标和半径．
2．能分析题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题，解题过程中能分析和运用圆的几何性质．