高中数学综合练习(点斜式、斜截式)新课标人教版必修2(A)

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人教版高中数学必修二教材用书直线与方程3.2-1直线的点斜式方程word版含答案2

3．2直线的方程3．2.1直线的点斜式方程点斜式、斜截式[提出问题]如图，过点A(1,1)作直线l.问题1：试想直线l确定吗？提示：不确定．因为过一点可画无数条直线．问题2：若直线l的倾斜角为45°，直线确定吗？提示：确定．问题3：若直线l的斜率为2，直线确定吗？提示：确定．[导入新知]1．直线的点斜式方程(1)定义：如图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程y－y0＝k(x－x0)叫做直线l的点斜式方程，简称点斜式．(2)说明：如图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x－x0＝0，或x＝x0.2．直线的斜截式方程(1)定义：如图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程y＝kx＋b叫做直线l的斜截式方程，简称斜截式．(2)说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距．倾斜角是直角的直线没有斜截式方程．[化解疑难]1．关于点斜式的几点说明：(1)直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一点P(x0，y0)和斜率k；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．(2)方程y －y 0＝k (x －x 0)与方程k ＝y －y 0x －x 0不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P (x 0，y 0)的一条直线．(3)当k 取任意实数时，方程y －y 0＝k (x －x 0)表示恒过定点(x 0，y 0)的无数条直线．2．斜截式与一次函数的解析式相同，都是y ＝kx ＋b 的形式，但有区别，当k ≠0时，y ＝kx ＋b 即为一次函数；当k ＝0时，y ＝b 不是一次函数，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离，可正、可负也可为零.直线的点斜式方程[例1] (1)经过点(－5,2)且平行于y 轴的直线方程为________________．(2)直线y ＝x ＋1绕着其上一点P (3,4)逆时针旋转90°后得直线l ，则直线l 的点斜式方程为________________．(3)求过点P (1,2)且与直线y ＝2x ＋1平行的直线方程为________________． [答案] (1)x ＝－5 (2)y －4＝－(x －3) (3)2x －y ＝0 [类题通法]已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用．当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝x 0.[活学活用]若直线l 过点(2,1)，分别求l 满足下列条件时的直线方程：(1)倾斜角为135°；(2)平行于x 轴；(3)平行于y 轴；(4)过原点．解：(1)直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以由点斜式方程得y －1＝－1×(x －2)，即方程为x ＋y －3＝0.(2)平行于x 轴的直线的斜率k ＝0，故所求的直线方程为y ＝1. (3)过点(2,1)且平行于y 轴的直线方程为x ＝2. (4)过点(2,1)与点(0,0)的直线的斜率k ＝12，故所求的直线方程为y ＝12x .直线的斜截式方程[例2] (1)倾斜角为________________．(2)已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程．[解] (1)y ＝－33x －3 (2)由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2，又∵l ∥l 1，∴l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，∴l 在y 轴上的截距b ＝－2，由斜截式可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.[类题通法]1．斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b ＝0时，y ＝kx 表示过原点的直线；当k ＝0时，y ＝b 表示与x 轴平行(或重合)的直线．2．截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而距离是一个非负数．[活学活用]写出下列直线的斜截式方程：(1)直线斜率是3，在y 轴上的截距是－3； (2)直线倾斜角是60°，在y 轴上的截距是5； (3)直线在x 轴上的截距为4，在y 轴上的截距为－2. 解：(1)y ＝3x －3.(2)∵k ＝tan 60°＝3，∴y ＝3x ＋5.(3)∵直线在x 轴上的截距为4，在y 轴上的截距为－2，∴直线过点(4,0)和(0，－2)， ∴k ＝－2－00－4＝12，∴y ＝12x －2.两直线平行与垂直的应用[例3] 当a (1)两直线y ＝ax －2与y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直？ (2)两直线y ＝－x ＋4a 与y ＝(a 2－2)x ＋4互相平行？ [解] (1)设两直线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＝a ，k 2＝a ＋2. ∵两直线互相垂直，∴k 1k 2＝a (a ＋2)＝－1，解得a ＝－1. 故当a ＝－1时，两条直线互相垂直． (2)设两直线的斜率分别为k 3，k 4，则k 3＝－1，k 4＝a 2－2. ∵两条直线互相平行，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2＝－1，4a ≠4，解得a ＝－1. 故当a ＝－1时，两条直线互相平行． [类题通法]判断两条直线位置关系的方法直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2. (1)若k 1≠k 2，则两直线相交． (2)若k 1＝k 2，则两直线平行或重合，当b 1≠b 2时，两直线平行；当b 1＝b 2时，两直线重合．(3)特别地，当k 1·k 2＝－1时，两直线垂直． (4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑． [活学活用]1．若直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直，则a ＝________. 答案：382．若直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝－7＋a 平行，则实数a 的值为________．答案：37.斜截式判断两条直线平行的误区[典例] 已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)·x ＋3y ＋2m ＝0，当l 1∥l 2时，求m 的值． [解] 由题设l 2的方程可化为y ＝－m －23x －23m ，则其斜率k 2＝－m －23，在y 轴上的截距b 2＝－23m .∵l 1∥l 2，∴l 1的斜率一定存在，即m ≠0. ∴l 1的方程为y ＝－1m x －6m .由l 1∥l 2，得⎩⎪⎨⎪⎧－m －23＝－1m，－23m ≠－6m，解得m ＝－1. ∴m 的值为－1. [易错防范]1．两条直线平行时，斜率存在且相等，截距不相等．当两条直线的斜率相等时，也可能平行，也可能重合．2．解决此类问题要明确两直线平行的条件，尤其是在求参数时要考虑两直线是否重合． [成功破障]当a 为何值时，直线l 1：y ＝－2ax ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－3)x ＋2平行？解：∵l 1∥l 2，∴a 2－3＝－2a 且2a ≠2，解得a ＝－3.[随堂即时演练]1．直线的点斜式方程y －y 1＝k (x －x 1)( ) A ．可以表示任何一条直线 B ．不能表示过原点的直线 C ．不能表示与坐标轴垂直的直线 D ．不能表示与x 轴垂直的直线答案：D2．直线l 经过点P (2，－3)，且倾斜角α＝45°，则直线的点斜式方程是( ) A ．y ＋3＝x －2 B ．y －3＝x ＋2 C ．y ＋2＝x －3 D ．y －2＝x ＋3答案：A3．直线y ＝3x －2在y 轴上的截距为________．答案：－24．在y 轴上的截距为2，且与直线y ＝－3x －4平行的直线的斜截式方程为________________．答案：y ＝－3x ＋25．(1)求经过点(1,1)，且与直线y ＝2x ＋7平行的直线的方程； (2)求经过点(－2，－2)，且与直线y ＝3x －5垂直的直线的方程．解：(1)2x －y －1＝0 (2)x ＋3y ＋8＝0[课时达标检测]一、选择题1．已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( ) A ．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B ．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D ．直线经过点(－2，－1)，斜率为1 答案：C2．直线y ＝ax ＋b 和y ＝bx ＋a 在同一直角坐标系中的图形可能是( )答案：D3．与直线y ＝2x ＋1垂直，且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( ) A ．y ＝12x ＋4B ．y ＝2x ＋4C ．y ＝－2x ＋4D ．y ＝－12x ＋4答案：D4．过点(－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( ) A ．2x ＋y －1＝0 B ．2x ＋y －5＝0 C ．x ＋2y －5＝0 D ．x －2y ＋7＝0 答案：A5．直线y ＝2x ＋3与y －2＝2(x ＋3)的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．重合 D ．无法判断答案：A 二、填空题6．过点(－3,2)且与直线y －1＝23(x ＋5)平行的直线的点斜式方程是________________．答案：y －2＝23(x ＋3)7．直线y ＝ax －3a ＋2(a ∈R)必过定点____________．答案：(3,2)8．已知斜率为2的直线的方程为5ax －5y －a ＋3＝0，此直线在y 轴上的截距为________．答案：15三、解答题9．已知三角形的顶点坐标是A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，试求这个三角形的三条边所在直线的方程．解：直线AB 的斜率k AB ＝－3－03－?－5?＝－38，过点A (－5,0)，由点斜式得直线AB 的方程为y ＝－38(x ＋5)，即3x ＋8y ＋15＝0；同理，k BC ＝2＋30－3＝－53，k AC ＝2－00＋5＝25，直线BC ，AC 的方程分别为5x ＋3y －6＝0,2x －5y ＋10＝0.10．已知直线l 的斜率与直线3x －2y ＝6的斜率相等，且直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 的方程．解：由题意知，直线l 的斜率为32，故设直线l 的方程为y ＝32x ＋b ，l 在x 轴上的截距为－23b ，在y 轴上的截距为b ，所以－23b －b ＝1，b ＝－35，直线l 的方程为y ＝32x －35，即15x －10y －6＝0.。

高中数学人教A版必修2一课三测：3.2.1 直线的点斜式方程

3．2.1 直线的点斜式方程填一填1.直线的点斜式方程点斜式已知条件点P(x 0，y 0)和斜率k图示方程式 y －y 0＝k(x －x 0) 适用条件斜率存在 2.直线的斜截式方程斜截式已知条件斜率k 和直线在y 轴上的截距b图示方程式 y ＝kx ＋b 适用条件斜率存在判一判1.当直线的倾斜角为000)2．过点(x 0，y 0)斜率为k 的直线的点斜式方程也可写成y －y 0x －x 0＝k.(×)3．y 轴所在直线方程为y ＝0.(×)4．直线的点斜式方程能表示坐标平面上的所有直线．(×) 5．直线在y 轴上的截距是直线与y 轴交点到原点的距离．(×) 6．过点(1,1)的所有直线都可以用点斜式的形式表示出来．(×) 7．在y 轴上的截距为2，且与直线y ＝－3x －4平行的直线的斜截式方程为y ＝－3x ＋2.(√) 8．直线y ＝k(x －2)想一想1.直线与y 提示：不是同一概念，距离非负，而截距可正，可负，可为0. 2．直线方程的斜截式等同于一次函数的解析式吗？提示：不一定．当k ≠0时，y ＝kx ＋b 即为一次函数，k ＝0时，y ＝b 不是一次函数．3．求直线的点斜式方程的步骤是什么？提示：斜率不存在时，过点P(x0，y0)的直线与x轴垂直，直线上所有点的横坐标相等，都为x0，故直线方程为x＝x0.4．求直线的斜截式方程的策略是什么？提示：(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示．(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程，只需知道参数k，b的值即可．(3)利用直线的斜截式求方程务必灵活，如果已知斜率k，只需引入参数b；同理，如果已知截距b，只需引入参数k.思考感悟：练一练1.已知直线的方程是A．直线经过点(2，－1)，斜率为－1B．直线经过点(1，－2)，斜率为－1C．直线经过点(－2，－1)，斜率为1D．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1答案：D2．方程y＋1＝k(x－1)表示()A．通过点(1，－1)的所有直线B．通过点(－1,1)的所有直线C．通过点(1，－1)且不垂直于x轴的所有直线D．通过点(－1,1)且不垂直于x轴的所有直线答案：C3．经过点(－2，2)且倾斜角为30°的直线的点斜式方程为()A．y－2＝33(x＋2)B．y－2＝33(x＋2)C．y－2＝3(x＋2)D．y－2＝3(x＋2)答案：B4．直线y＝3x－2的斜率为________，在y轴上的截距为________．答案：3－25．(1)过点(2,1)，平行于y轴的直线方程为________．(2)过点(2,1)，平行于x轴的直线方程为________．答案：(1)x ＝2 (2)y ＝1知识点一直线的点斜式方程1.经过点A ．y ＋2＝3(x －3) B ．y －2＝33(x ＋3)C ．y －2＝3(x ＋3)D ．y ＋2＝33(x －3)解析：因为倾斜角为60°的直线的斜率为3，由点斜式方程可得C 正确．答案：C2．方程y ＝k(x －2)表示( ) A ．通过点(－2,0)的所有直线 B ．通过点(2,0)的所有直线C ．通过点(2,0)且不垂直于x 轴的所有直线D ．通过点(2,0)且除去x 轴的所有直线解析：通过点斜式方程，当直线垂直于x 轴时，k 不存在．易知选C . 答案：C 知识点二直线的斜截式方程3.直线A ．－2 B ．－1C ．－12D ．1解析：直线2x ＋y －1＝0化为y ＝－2x ＋1，则在y 轴上的截距为1.故选D . 答案：D4．已知直线的斜率是2，在y 轴上的截距是－3，则此直线方程是( ) A ．2x －y －3＝0 B ．2x －y ＋3＝0 C ．2x ＋y ＋3＝0 D ．2x ＋y －3＝0解析：由直线方程的斜截式得方程为y ＝2x －3，即2x －y －3＝0. 答案：A知识点三直线过定点问题5. ) A ．(1,2) B ．(1，－2)C ．(－1,2)D ．(－1，－2)解析：因为直线y －2＝k(x ＋1)表示过点(－1,2)，斜率为k 的直线，因此M 的坐标为(－1,2)．答案：C6．直线方程为y ＋2＝2x －2，则( ) A ．直线过点(2，－2)，斜率为2 B ．直线过点(－2,2)，斜率为2C ．直线过点(1，－2)，斜率为12D ．直线过点(1，－2)，斜率为2解析：把直线方程写成点斜式方程：y －(－2)＝2·(x －1)，故直线过点(1，－2)，斜率为2.答案：D 知识点四平行与垂直的应用7.过点(－1,3)且平行于直线y ＝12(x ＋3)的直线方程为( )A ．y ＋3＝12(x ＋1)B ．y ＋3＝12(x －1)C ．y －3＝12(x ＋1)D ．y －3＝12(x －1)解析：由直线y ＝12(x ＋3)，得所求直线的斜率等于12，其方程为y －3＝12(x ＋1)，选C .答案：C8．直线l 过点(－3,0)，且与直线y ＝2x －3垂直，则直线l 的方程为( )A ．y ＝－12(x －3)B ．y ＝－12(x ＋3)C ．y ＝12(x －3)D ．y ＝12(x ＋3)解析：因为直线y ＝2x －3的斜率为2，所以直线l 的斜率为－12.又直线l 过点(－3,0)，故所求直线的方程为y ＝－12(x ＋3)，选B .综合知识直线的点斜式、斜截式方程9.(1)斜率是3，在y 轴上的截距是－3； (2)倾斜角是60°，在y 轴上的截距是5； (3)倾斜角是30°，在y 轴上的截距是0. 解析：(1)y ＝3x －3. (2)因为k ＝tan 60°＝3，所以y ＝3x ＋5.(3)因为k ＝tan 30°＝33，所以y ＝33x.10．求满足下列条件的直线方程： (1)过点P(－4,3)，斜率k ＝－3； (2)过点P(3，－4)，斜率k ＝3； (3)过点P(5,2)，且与x 轴平行； (4)过点P(3,2)，且与y 轴平行．解析：(1)因为直线过点P(－4,3)，斜率k ＝－3.所以直线的点斜式方程为y －3＝－3(x ＋4)，即y ＝－3x －9.(2)因为直线过点P(3，－4)，斜率k ＝3，所以直线的点斜式方程为y ＋4＝3(x －3)，即y ＝3x －13.(3)直线过点P(5,2)，且与x 轴平行，故斜率k ＝0，由直线的点斜式方程得y －2＝0(x －5)，即y ＝2.(4)直线过点P(3,2)，且与y 轴平行，故斜率k 不存在，所以直线方程为x ＝3.基础达标一、选择题1．经过点A(－1,4)且在x 轴上的截距为3的直线方程是( ) A ．x ＋y ＋3＝0 B ．x －y ＋5＝0C．x＋y－3＝0 D．x＋y－5＝0解析：过点A(－1,4)且在x轴上的截距为3的直线的斜率为4－0－1－3＝－1.所求的直线方程为y－4＝－(x＋1)，即x＋y－3＝0.答案：C2．一直线过点A(0,2)，它的倾斜角等于直线y＝33x的倾斜角的2倍，则这条直线的方程是()A．y＝33x＋2 B．y＝3x＋2C．y＝33x－2 D．y＝3x－2解析：因为直线y＝33x的斜率为33，所以其倾斜角为30°，所以所求直线的倾斜角为60°，则斜率k＝ 3.直线过点A(0,2)，即直线在y轴上的截距为2.由斜截式易得直线的方程为y＝3x＋2.另解：所求直线斜率为3，过点A(0,2)，则点斜式方程为y－2＝3(x－0)，即y＝3x＋2.答案：B3．已知直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有()A．k>0，b>0 B．k>0，b<0C．k<0，b>0 D．k<0，b<0解析：若y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则必有斜率k>0，在y轴上的截距b<0，选B.答案：B4．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是()解析：当a>0，b>0时，－a<0，－b<0.选项B符合．故选B.答案：B5．已知三角形的三个顶点A(4,3)，B(－1,2)，C(1，－3)，则△ABC的高CD所在的直线方程是()A．5x＋y－2＝0 B．x－5y－16＝0C．5x－y－8＝0 D．x＋5y＋14＝0解析：△ABC的高CD与直线AB垂直，故有直线CD的斜率k CD与直线AB的斜率k AB满足k CD·k AB＝－1，k AB＝2－3－1－4＝15，所以k CD＝－5.直线CD过点C(1，－3)，故其直线方程是y＋3＝－5(x－1)整理得5x＋y－2＝0，选A.答案：A6．已知直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行，则a的值为()A．±3 B．±1C．1 D．－1解析：直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行，所以a2－2＝－1,2≠2a，解得a＝－1.故选D.答案：D7．已知直线l 1：y ＝－m 4x ＋12与直线l 2：y ＝25x ＋n5垂直，垂足为H(1，p)，则过点H 且斜率为m ＋p m ＋n的直线方程为( )A ．y ＝－4x ＋2B ．y ＝4x －2C ．y ＝－2x ＋2D ．y ＝－2x －2解析：∵l 1⊥l 2，∴－m 4×25＝－1，∴m ＝10，所以直线l 1的方程为y ＝－52x ＋12.又点H(1，p)在l 1上，∴p ＝－52×1＋12＝－2，即H(1，－2)．又点H(1，－2)在l 2上，∴－2＝25×1＋n5，∴n ＝－12，∴所求直线的斜率为m ＋pm ＋n＝－4，其方程为y ＋2＝－4(x －1)，即y ＝－4x ＋2，选A .答案：A 二、填空题 8．直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为________．解析：因为l 1∥l 2，且l 1的斜率为2，则直线l 2的斜率k ＝2，又直线l 2过点(－1,1)，所以直线l 2的方程为y －1＝2(x ＋1)，整理得y ＝2x ＋3，令x ＝0，得y ＝3，所以P 点坐标为(0,3)．答案：(0,3)9．经过点(－4,1)且倾斜角为直线y ＝－3x ＋1的倾斜角一半的直线方程为________．解析：因为直线y ＝－3x ＋1的倾斜角为120°，所以所求直线的倾斜角为60°，斜率k ＝3，故所求直线方程为y ＝3x ＋43＋1.答案：y ＝3x ＋43＋110．已知点A(1,3)，B(5,7)，C(10,12)，则过点A 且垂直于BC 的直线的方程为________．解析：因为k BC ＝12－710－5＝1，所以所求直线的斜率为－1，又因为直线过点A(1,3)，所以方程为y －3＝－(x －1)，即y ＝－x ＋4.答案：y ＝－x ＋411．已知△ABC 在第一象限，若A(1,1)，B(5,1)，∠A ＝60°，∠B ＝45°，则边AB ，AC ，BC 所在直线的方程分别为________．解析：AB 边的方程为y ＝1；因为AB 平行于x 轴，且△ABC 在第一象限，k AC ＝tan 60°＝3，k BC ＝tan (180°－45°)＝－tan 45°＝－1，所以直线AC 的方程为y －1＝3(x －1)，即y ＝3x －3＋1，所以直线BC 的方程为y －1＝－(x －5)，即y ＝－x ＋6.答案：y ＝1，y ＝3x －3＋1，y ＝－x ＋6 12．已知直线l 的倾斜角为135°，直线l 1经过点A(3,2)和B(a ，－1)，且直线l 1与直线l垂直，直线l 2的方程为y ＝－2b x －1b，且直线l 2与直线l 1平行，则a ＋b 等于________．解析：由直线l 的倾斜角为135°，得直线l 的斜率为－1.由A(3,2)，B(a ，－1)得直线l 1的斜率为33－a.∵直线l 与l 1垂直，∴33－a ×(－1)＝－1，解得a ＝0.又直线l 2的斜率为－2b ，l 1∥l 2，∴－2b＝1，解得b ＝－2.因此a ＋b ＝－2. 答案：－2 三、解答题13．一条直线经过点A(2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y ＝33x 的倾斜角的2倍，求这条直线的点斜式方程．解析：∵直线y＝33x 的斜率为33， ∴它的倾斜角为30°，∴所求直线的倾斜角为60°，斜率为 3. 又直线经过点A(2，－3)，∴这条直线的点斜式方程为y ＋3＝3(x －2)．14．求倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的14，且分别满足下列条件的直线方程．(1)经过点(3，－1)； (2)在y 轴上的截距是－5.解析：因为直线y ＝－3x ＋1的斜率k ＝－3，所以其倾斜角α＝120°.由题意得所求直线的倾斜角α1＝14α＝30°，故所求直线的斜率k 1＝tan 30°＝33.(1)因为所求直线经过点(3，－1)，斜率为33，所以所求直线方程是y ＋1＝33(x －3)，即3x －3y －6＝0.(2)因为所求直线的斜率是33，在y 轴上的截距为－5，所以所求直线的方程为y ＝33x －5，即3x －3y －15＝0.能力提升15.已知直线l ：5ax －5y (1)求证：不论a 为何值，直线l 总过第一象限； (2)为了使直线l 不过第二象限，求a 的取值范围．解析：(1)证明：直线l 的方程可化为y －35＝a ⎝⎛⎭⎫x －15，由点斜式方程可知直线l 的斜率为a ，且过定点A ⎝⎛⎭⎫15，35，由于点A 在第一象限，所以直线一定过第一象限．(2)如图，直线l 的倾斜角介于直线AO 与AP 的倾斜角之间，k AO ＝35－015－0＝3，直线AP 的斜率不存在，故a ≥3.即a 的取值范围为[3，＋∞)．16．已知直线l ：y ＝kx ＋2k ＋1.(1)求证：对于任意的实数k ，直线l 恒过一个定点；(2)当－3<x<3时，直线l 上的点都在x 轴的上方，求实数k 的取值范围．解析：(1)由y ＝kx ＋2k ＋1，得y －1＝k(x ＋2)．由直线的点斜式方程，可知直线l 恒过定点(－2,1)． (2)设函数f(x)＝kx ＋2k ＋1.若－3<x<3时，直线l 上的点都在x 轴的上方，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (－3)≥0，f (3)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋2k ＋1≥0，3k ＋2k ＋1≥0，解得－15≤k ≤1.所以实数k 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－15，1.由Ruize收集整理。

新教材高中数学第二章直线和圆的方程2-1直线的点斜式方程练习含解析新人教A版选择性必修第一册

直线的点斜式方程学习目标 1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的问题．知识点直线的点斜式方程和斜截式方程类别点斜式斜截式适用范围斜率存在已知条件点P (x 0,y 0)和斜率k斜率k 和在y 轴上的截距b图示方程 y －y 0＝k (x －x 0) y ＝kx ＋b截距直线l 与y 轴交点(0,b )的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距思考1 经过点P 0(x 0,y 0)且斜率不存在的直线能否用点斜式方程来表示？答案不能用点斜式表示,过点P 0且斜率不存在的直线为x ＝x 0. 思考2 直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1,l 2：y ＝k 2x ＋b 2平行、垂直的条件？答案 (1)l 1∥l 2⇔k 1＝k 2且b 1≠b 2, (2)l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.思考3 直线在y 轴上的截距是距离吗？答案不是,距离和截距是两个不同的概念,距离非负,而截距是一个数值．1．直线的点斜式方程也可写成y －y 0x －x 0＝k ( × ) 2．y 轴所在直线方程为x ＝0.( √ )3．直线y －3＝k (x ＋1)恒过定点(－1,3)．( √ ) 4．直线y ＝2x －3在y 轴上的截距为3.( × )一、求直线的点斜式方程例1 已知在第一象限的△ABC 中,A (1,1),B (5,1),∠A ＝60°,∠B ＝45°,求： (1)AB 边所在直线的方程； (2)AC 边与BC 边所在直线的方程．解 (1)如图所示,因为A (1,1),B (5,1),所以AB ∥x 轴, 所以AB 边所在直线的方程为y ＝1. (2)因为∠A ＝60°, 所以k AC ＝tan 60°＝3,所以直线AC 的方程为y －1＝3(x －1)．因为∠B ＝45°,所以k BC ＝tan 135°＝－1,所以直线BC 的方程为y －1＝－(x －5)．反思感悟求直线的点斜式方程的步骤及注意点(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x 0,y 0)→定斜率k →写出方程y －y 0＝k (x －x 0)． (2)点斜式方程y －y 0＝k ·(x －x 0)可表示过点P (x 0,y 0)的所有直线,但x ＝x 0除外．跟踪训练1 求满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)过点P (4,－2),倾斜角为150°； (2)过两点A (1,3),B (2,5)．解 (1)∵α＝150°,∴k ＝tan 150°＝－33, ∴直线的点斜式方程为y ＋2＝－33(x －4)． (2)∵k ＝5－32－1＝2,∴直线的点斜式方程为y －3＝2(x －1)．二、直线的斜截式方程例2 已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3,l 2的方程为y ＝4x －2,直线l 与l 1平行且与l 2在y轴上的截距相同,求直线l 的方程．解由斜截式方程知,直线l 1的斜率k 1＝－2, 又因为l ∥l 1,所以k l ＝－2. 由题意知,l 2在y 轴上的截距为－2, 所以直线l 在y 轴上的截距b ＝－2. 由斜截式可得直线l 的方程为y ＝－2x －2. 延伸探究本例中若将“直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相等”改为“直线l 与l 1垂直且与l 2在y 轴上的截距互为相反数”,求l 的方程．解 ∵l 1⊥l ,直线l 1：y ＝－2x ＋3,∴l 的斜率为12.∵l 与l 2在y 轴上的截距互为相反数, 直线l 2：y ＝4x －2, ∴l 在y 轴上的截距为2. ∴直线l 的方程为y ＝12x ＋2.反思感悟求直线的斜截式方程的策略 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．(2)直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 中只有两个参数,因此要确定直线方程只需两个独立条件即可．跟踪训练2 根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2,在y 轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°,在y 轴上的截距是－2；(3)倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的14,且在y 轴上的截距是－5.解 (1)y ＝2x ＋5.(2)∵α＝150°,∴k ＝tan 150°＝－33,∴y ＝－33x －2. (3)∵y ＝－3x ＋1的倾斜角为120°, ∴所求直线的倾斜角为α＝120°×14＝30°,∴k ＝tan 30°＝33,∴y ＝33x －5.点斜式方程和斜截式方程的应用典例 (1) 求证：不论a 为何值,直线y ＝ax －3a ＋2(a ∈R )恒过定点； (2)当a 为何值时,直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直？ (1)证明将直线方程变形为y －2＝a (x －3), 由直线方程的点斜式可知,直线过定点(3,2)． (2)解由题意可知,1l k ＝2a －1,2l k ＝4, ∵l 1⊥l 2,∴4(2a －1)＝－1,解得a ＝38.故当a ＝38时,直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直．[素养提升] (1)直线过定点问题可以结合直线方程的点斜式的意义结合图形探求和证明． (2)在斜截式形式下判断两条直线平行和垂直,要能从斜截式中找出斜率和截距,突出考查直观想象和数学运算的核心素养．1．下面四个直线方程中,可以看作是直线的斜截式方程的是( ) A ．x ＝3 B ．y ＝－5 C ．2y ＝x D ．x ＝4y －1答案 B2．方程y ＝k (x －2)表示( ) A ．通过点(－2,0)的所有直线 B ．通过点(2,0)的所有直线C ．通过点(2,0)且不垂直于x 轴的所有直线D ．通过点(2,0)且除去x 轴的所有直线答案 C解析易验证直线通过点(2,0),又直线斜率存在,故直线不垂直于x 轴． 3．已知直线l 的方程为y ＋274＝94(x －1),则l 在y 轴上的截距为( ) A ．9 B ．－9 C.274 D ．－274答案 B解析由y ＋274＝94(x －1),得y ＝94x －9,∴l 在y 轴上的截距为－9.4．已知直线的倾斜角为60°,在y 轴上的截距为－2,则此直线的方程为( ) A ．y ＝3x ＋2B ．y ＝－3x ＋2C．y＝－3x－2 D．y＝3x－2答案 D解析∵α＝60°,∴k＝tan 60°＝3,∴直线l的方程为y＝3x－2.5．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限,则有( )A．k>0,b>0 B．k>0,b<0C．k<0,b>0 D．k<0,b<0答案 B解析∵直线经过第一、三、四象限,∴图形如图所示,由图知,k>0,b<0.1．知识清单：(1)直线的点斜式方程．(2)直线的斜截式方程．2．方法归纳：待定系数法、数形结合思想．3．常见误区：求直线方程时忽视斜率不存在的情况；混淆截距与距离．1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1,则( )A．直线经过点(－1,2),斜率为－1B．直线经过点(2,－1),斜率为－1C．直线经过点(－1,－2),斜率为－1D．直线经过点(－2,－1),斜率为1答案 C解析由y＋2＝－x－1,得y＋2＝－(x＋1),所以直线的斜率为－1,过点(－1,－2)．2．直线y－2＝－3(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为( )A．60°,2 B．120°,2－ 3C ．60°,2－ 3D ．120°,2答案 B解析该直线的斜率为－3,当x ＝0时,y ＝2－3, ∴其倾斜角为120°,在y 轴上的截距为2－ 3.3．与直线y ＝32x 的斜率相等,且过点(－4,3)的直线方程为( )A ．y －3＝－32(x ＋4)B ．y ＋3＝32(x －4)C ．y －3＝32(x ＋4)D ．y ＋3＝－32(x －4)答案 C4．过点(－1,3)且平行于直线y ＝12(x ＋3)的直线方程为( )A ．y ＋3＝12(x ＋1)B ．y ＋3＝12(x －1)C ．y －3＝12(x ＋1)D ．y －3＝12(x －1)答案 C解析由直线y ＝12(x ＋3),得所求直线的斜率为12,其方程为y －3＝12(x ＋1),故选C.5．与直线y ＝2x ＋1垂直,且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程为( ) A ．y ＝12x ＋4B ．y ＝2x ＋4C ．y ＝－2x ＋4D ．y ＝－12x ＋4答案 D解析由题意可设所求直线方程为y ＝kx ＋4,又由2k ＝－1,得k ＝－12,∴所求直线方程为y ＝－12x ＋4.6．在y 轴上的截距为－6,且与y 轴相交成30°角的直线的斜截式方程是______________．答案 y ＝3x －6或y ＝－3x －6 解析因为直线与y 轴相交成30°角, 所以直线的倾斜角为60°或120°, 所以直线的斜率为3或－3,又因为在y 轴上的截距为－6,所以直线的斜截式方程为y ＝3x －6或y ＝－3x －6. 7．不管k 为何值,直线y ＝k (x －2)＋3必过定点________．答案 (2,3)解析化为点斜式y －3＝k (x －2)．8．已知直线l 的方程为y －m ＝(m －1)(x ＋1),若l 在y 轴上的截距为7,则m ＝________. 答案 4解析直线l 的方程可化为y ＝(m －1)x ＋2m －1, ∴2m －1＝7,得m ＝4.9．求满足下列条件的m 的值．(1)直线l 1：y ＝－x ＋1与直线l 2：y ＝(m 2－2)x ＋2m 平行； (2)直线l 1：y ＝－2x ＋3与直线l 2：y ＝(2m －1)x －5垂直．解 (1)∵l 1∥l 2,∴两直线斜率相等． ∴m 2－2＝－1且2m ≠1,∴m ＝±1. (2)∵l 1⊥l 2,∴2m －1＝12,∴m ＝34.10．已知直线l 的斜率与直线3x －2y ＝6的斜率相等,直线l 与x 轴交点坐标为(a ,0),且a 比直线在y 轴上的截距大1,求直线l 的斜截式方程．解由题意知,直线l 的斜率为32,故设直线l 的方程为y ＝32x ＋b ,由32x ＋b ＝0得a ＝－23b ,在y 轴上的截距为b , 所以－23b －b ＝1,b ＝－35,所以直线l 的斜截式方程为y ＝32x －35.11．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°,再向右平移1个单位长度,所得到的直线为( ) A ．y ＝－13x ＋13B ．y ＝－13x ＋1C ．y ＝3x －3D ．y ＝13x ＋1答案 A解析将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°,得到直线y ＝－13x ,再向右平移1个单位长度,所得到的直线为y ＝－13(x －1),即y ＝－13x ＋13.12．直线l 1：y ＝ax ＋b 与直线l 2：y ＝bx ＋a (ab ≠0,a ≠b )在同一平面直角坐标系内的图象可能是( )答案 D解析对于A,由l 1得a >0,b <0,而由l 2得a >0,b >0,矛盾；对于B,由l 1得a <0,b >0,而由l 2得a >0,b >0,矛盾；对于C,由l 1得a >0,b <0,而由l 2得a <0,b >0,矛盾；对于D,由l 1得a >0,b >0,而由l 2得a >0,b >0.故选D.13．直线y ＝kx ＋2(k ∈R )不过第三象限,则斜率k 的取值范围是________．答案 (－∞,0]解析当k ＝0时,直线y ＝2不过第三象限；当k >0时,直线过第三象限；当k <0时,直线不过第三象限．14．将直线y ＝x ＋3－1绕其上面一点(1,3)沿逆时针方向旋转15°,所得到的直线的点斜式方程是________________．答案 y －3＝3(x －1)解析由y ＝x ＋3－1得直线的斜率为1,倾斜角为45°. ∵沿逆时针方向旋转15°后,倾斜角变为60°, ∴所求直线的斜率为 3. 又∵直线过点(1,3),∴由直线的点斜式方程可得y －3＝3(x －1)．15．(多选)若AC ＜0,BC ＜0,则直线Ax ＋By ＋C ＝0通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 ABD解析将Ax ＋By ＋C ＝0化为斜截式为y ＝－AB x －C B, ∵AC ＜0,BC ＜0,∴AB ＞0,∴k ＜0,b ＞0.故直线通过第一、二、四象限．16．直线l 过点(2,2),且与x 轴和直线y ＝x 围成的三角形的面积为2,求直线l 的方程．解当直线l 的斜率不存在时,l 的方程为x ＝2,经检验符合题目的要求．当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y －2＝k (x －2),即y ＝kx －2k ＋2. 令y ＝0得,x ＝2k －2k,由三角形的面积为2,得12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2k －2k ×2＝2.解得k ＝12.可得直线l 的方程为y －2＝12(x －2),综上可知,直线l 的方程为x ＝2或y －2＝12(x －2)．。

新课标人教A版高中数学必修二第三章第2节《直线的两点式方程与截距式方程》专题练习(含精品解析)

由截距式可得：
，将
所以代入直线方程化简可得，
代入直线方程，解得：
或
.
或 3，
【点睛】本题考查直线方程的截距式，根据题意假设参数，最后代入已知点解出即可，
注意截距式的标准形式与限制条件.
14. 过点 P(3，－1)，且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 2 倍的直线 l 的方程是___
【答案】
【答案】
【解析】
设直线 l 的方程为：
令 x=0 得：纵截距为 b
令 y=0 得：横截距为
又截距之和为 10，即 b
，
∴
∴此直线 l 的方程为
故答案为：
18. 如右图所示，直线 l 的截距式方程是＋＝1，则有 ( )
A. a>0，b>0 B. a>0，b<0 C. a<0，b>0 D. a<0，b<0
【详解】由截距式的标准方程：
，其中 a、b 为截距，可直接得出截距分别为：-2、-3.
【点睛】本题考查截距式的标准形式，注意截距有正负即可.
9. 直线
在 y 轴上的截距是_____
【答案】【解析】【分析】将直线方程化为截距式的标准形式，即可得到 y 轴上截距.
【详解】将直线方程化为截距式标准形式：
【答案】B
【解析】
【分析】
由直线与坐标轴交点的位置及截距式中参数的几何意义直接得出参数的符号.
【详解】直线与 x 轴交于正半轴，与 y 轴交于负半轴，所以横截距与纵截距符号一正一负，根据截距式参
数的意义可知：
.
故选 B.
【点睛】本题考查直线的图像与解析式的关系，根据直线方程中参数的几何意义解题，只需要观察图像以

高中数学第三章3.2.1直线的点斜式方程练习(含解析)新人教A版必修2

第22课时直线的点斜式方程A．直线经过点(－3，4)，斜率为2B．直线经过点(4，－3)，斜率为2C．直线经过点(3，－4)，斜率为2D．直线经过点(－4，3)，斜率为－2答案 C解析直线方程y＋4＝2x－6可化为y－(－4)＝2(x－3)，故直线经过点(3，－4)，斜率为2．2．经过点(－3，2)，倾斜角为60°的直线方程是( )A．y＋2＝3(x－3) B．y－2＝33(x＋3)C ．y －2＝3(x ＋3)D ．y ＋2＝33(x －3) 答案 C解析直线的斜率k ＝tan60°＝3，由点斜式可得直线的方程为y －2＝3(x ＋3)，所以选C ．A ．y ＝－x －3B ．y ＝x ＋3C ．y ＝－x ＋3D ．y ＝x －3 答案 C解析直线在y 轴上的截距为3的直线方程可以设为y ＝kx ＋3．将点A(－1，4)代入方程，得4＝－k ＋3，解得k ＝－1，即所求直线方程为y ＝－x ＋3．4．直线y ＝ax ＋1a的图象可能是( )答案 B解析根据斜截式方程，得其斜率与在y 轴上的截距同号，故选B ．5．已知过点A(－2，m)和点B(m ，4)的直线为l 1，l 2：y ＝－2x ＋1，l 3：y ＝－n x －n ．若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则m ＋n 的值为( )A ．－10B ．－2C ．0D ．8 答案 A解析 ∵l 1∥l 2，∴k AB ＝4－m m ＋2＝－2，解得m ＝－8．又∵l 2⊥l 3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－1n ×(－2)＝－1，解得n ＝－2．∴m＋n ＝－10．故选A ．6．已知直线l 1的方程是y ＝ax ＋b ，l 2的方程是y ＝bx －a(ab≠0，a≠b)，则下列各示意图形中，正确的是 ( )答案 D解析逐一判定即可，对于选项A ，由l 1的图象知a>0，b>0，由l 2的图象知a<0，b<0，矛盾，故A 错误；对于选项B ，由l 1的图象知a>0，b<0，由l 2的图象知a<0，b>0，矛盾，故B 错误；对于选项C ，由l 1的图象知a<0，b>0，由l 2的图象知a<0，b<0，矛盾，故C 错误；对于选项D ，由l 1的图象知a<0，b>0，由l 2的图象知a<0，b>0，故D 正确．7．求斜率为4，且与坐标轴围成的三角形周长是12的直线l 的方程．解设直线l 的方程为y ＝34x ＋b ，易求与x ，y 轴的交点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43b ，0，B(0，b)， ∴|AB|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－43b 2＋b 2＝53|b|．∴53|b|＋43|b|＋|b|＝12，∴b＝±3． ∴直线l 的方程为y ＝34x±3，即：3x －4y±12＝0．8．已知直线l ：3ax －5y －a ＋2＝0，求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限．证明方程3ax －5y －a ＋2＝0可化为 5y －2＝a(3x －1)，即y ＝35a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13＋25，∴它表示过点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，25的直线． ∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，25在第一象限， ∴直线l 不论a 取何值，总过第一象限．一、选择题1．直线y ＝k(x －1)＋2恒过定点( )A ．(－1，2)B ．(1，2)C ．(2，－1)D ．(2，1) 答案 B解析根据直线点斜式的定义可知，直线y ＝k(x －1)＋2恒过定点(1，2)． 2．过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0垂直的直线方程为( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0 答案 C解析 ∵x－2y －2＝0的斜率为12，由题意得，所求直线的斜率为－2，由点斜式得y －0＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0．3．在同一直角坐标系中，表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a 正确的是( )答案 C解析解法一：(1)当a>0时，直线y ＝ax 的倾斜角为锐角且过原点，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距a>0，A ，B ，C ，D 都不成立；(2)当a ＝0时，直线y ＝ax 的倾斜角为0°，所以A ，B ，C ，D 都不成立；(3)当a<0时，直线y ＝ax 的倾斜角为钝角且过原点，直线y ＝x ＋a 的倾斜角为锐角，且在y 轴上的截距a<0．C 正确．解法二(排除法)：直线y ＝x ＋a 的倾斜角为锐角，排除B 、D ，A 选项中：直线y ＝ax 的倾斜角为锐角，所以a>0，而直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距a<0，所以不满足．从而得C 正确．4．下列叙述中正确的是( )A ．点斜式方程y －y 1＝k(x －x 1)适用于过点(x 1，y 1)且不垂直于x 轴的任何直线B ．y －y 1x －x 1＝k 表示过点P(x 1，y 1)且斜率为k 的直线方程 C ．斜截式y ＝kx ＋b 适用于不平行于x 轴的任何直线 D ．直线y ＝kx ＋b 与y 轴交于点B(0，b)，其中截距b ＝|OB| 答案 A解析对于选项A ，点斜式方程y －y 1＝k(x －x 1)适用于过点(x 1，y 1)且不垂直于x 轴的任何直线，满足点斜式方程的条件，所以正确；对于选项B ，显然P(x 1，y 1)不满足方程，不正确；对于选项C ，斜截式y ＝kx ＋b 适用于不垂直于x 轴的任何直线，所以不正确；对于选项D ，直线y ＝kx ＋b 与y 轴交于点B(0，b)，其中截距b ＝|OB|不正确，因为截距是b ，其值可正、可负、可为零．故选A ．5．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为( ) A ．y ＝－13x ＋13 B ．y ＝－13x ＋1C ．y ＝3x －3D ．y ＝13x ＋1答案 A解析将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，得到直线y ＝－13x ，再向右平移1个单位，所得到的直线为y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋13．二、填空题6．已知直线l 在y 轴上的截距为1，且垂直于直线y ＝12x ，则l 的方程是________．答案 y ＝－2x ＋1解析设垂直于直线y ＝12x 的直线l 的方程为y ＝－2x ＋m ．因为直线l 在y 轴上的截距为1，所以m ＝1，所以直线l 的方程是y ＝－2x ＋1．7．已知点M 是直线l ：y ＝3x ＋3与x 轴的交点，将直线l 绕点M 旋转30°，则所得到的直线l′的方程为________．答案 x ＋3＝0或x －3y ＋3＝0解析在y ＝3x ＋3中，令y ＝0，得x ＝－3，即M(－3，0)．因为直线l 的斜率为3，所以其倾斜角为60°．若直线l 绕点M 逆时针旋转30°，则得到的直线l′的倾斜角为90°，此时直线l′的斜率不存在，故其方程为x ＋3＝0；若直线l 绕点M 顺时针旋转30°，则得到的直线l′的倾斜角为30°，此时直线l′的斜率为tan30°＝33，故其方程为y ＝33(x ＋3)．即x －3y ＋3＝0．综上所述，所求直线l′的方程为x ＋3＝0或x －3y ＋3＝0．8．设点A(－1，0)，B(1，0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．答案 [－2，2]解析 b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A(－1，0)和点B(1，0)时b 分别取得最小值和最大值． ∴b 的取值范围是[－2，2]．三、解答题9．求过点M(m ，0)和点N(2，1)的直线方程．解当m ＝2时，过点M(m ，0)和点N(2，1)的直线斜率不存在，其方程为x ＝2．当m≠2时，直线的斜率为k ＝0－1m －2＝－1m －2．又直线过点N(2，1)，∴直线的点斜式方程为y －1＝－1m －2(x －2)．综上，当m ＝2时，所求的直线方程为x ＝2．当m≠2时，所求的直线方程为y －1＝－1m －2(x －2)．10．等腰△ABC 的顶点A(－1，2)，AC 的斜率为3，点B(－3，2)，求直线AC ，BC 及∠A 的平分线所在的直线方程．解 AC ：y ＝3x ＋2＋3． ∵AB∥x 轴，AC 的倾斜角为60°， ∴BC 的倾斜角α为30°或120°．当α＝30°时，BC 的方程为y ＝33x ＋2＋3，∠A 平分线的倾斜角为120°，即其所在直线方程为y ＝－3x ＋2－3．当α＝120°时，BC 的方程为y ＝－3x ＋2－33， ∠A 平分线的倾斜角为30°，即其所在直线方程为y ＝33x ＋2＋33．。

高中数学 3.2.1 直线的点斜式方程课件新人教A版必修2(1)

• [解析] (1)由直线的点斜式方程得y－3＝2(x＋2)，即2x－y ＋7＝0.
• (2)直线垂直于y轴，故其斜率为0，所以此直线方程为y＝1.
• (3)因为倾斜角为45°，所以直线斜率为tan45°＝1，由点斜式方程得y－5＝x－2，即y＝x＋3.
• [答案] (1)2x－y＋7＝0 (2)y＝1 (3)y＝x＋3
截式．
y＝kx＋b
• (2)说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线
在y轴上的______．倾斜角是______的直线没有斜截式方
程．
截距
90°
• [破疑点] 值得强调的是，截距是坐标，它可能是正数，也可能是负数，还可能是0，不能将其理解为“距离”而恒为非负数．
• [拓展] 1.直线与x轴的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ点(a,0)的横坐标a称为此直线的横截距．并不是每条直线都有横截距和纵截距，如直线x＝1没有纵截距，直线y＝2没有横截距．
•
规律总结：求直线的点斜式方程的步骤：
• ①确定定点坐标；
• ②求出直线的斜率；
• ③代入公式，写出方程．
• 特别提醒：斜率不存在时，过点P(x0，y0)的直线与x轴垂直，直线上所有点的横坐标相等都为x0，故直线方程为x＝x0.
• 你能写出下列直线的点斜式方程吗？没有点斜式方程的直线和斜率为0的直线如何表示？
• 2．直线的点斜式方程和斜截式方程的联系与区别
• 剖析：直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)中，(x，y)是直线上任意一点的坐标，(x0，y0)是直线上的一个定点，k是直线的斜率；直线的斜截式方程y＝kx＋b中，(x，y)是直线上任意一点的坐标，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，即过点(0，b)．

新课标人教A版高中数学二第三章第2节《直线的两点式方程与截距式方程》专项练习

新课标人教A 版高中数学二第三章第2节《直线的两点式方程与截距式方程》专项练习一、知识梳理知识点一：直线方程的两点式摸索1：已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2，求通过这两点的直线方程．答案：y －y1＝y2－y1x2－x1(x －x1)，即y －y1y2－y1＝x －x1x2－x1.摸索2：过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？什么缘故？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？答案：不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示．结论梳理：名称已知条件示意图方程使用范畴两点式P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1斜率存在且不为0知识点二：直线方程的截距式摸索1：过点(5,0)和(0,7)的直线能用x 5＋y7＝1表示吗？答案：能．由直线方程的两点式得y －07－0＝x －50－5，即x 5＋y7＝1.摸索2：已知两点P1(a,0)，P2(0，b)，其中a ≠0，b ≠0，求通过这两点的直线方程．答案：由直线方程的两点式，得y －0b －0＝x －a 0－a，即x a ＋yb ＝1.结论梳理：名称已知条件示意图方程使用范畴截距式在x ，y 轴上的截距分别为a ，b 且a ≠0，b ≠0x a ＋yb＝1 斜率存在且不为0，只是原点二、题型讲解类型一：直线的两点式方程1、过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为x-y ＋3=02、通过M(3,2)与N(6,2)两点的直线方程为y ＝23、已知点A(3,2)，B(－1,4)，则过点C(2,5)且过线段AB 的中点的直线方程为2x －y ＋1＝04、过点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距是－325、已知△ABC 三顶点A(1,2)、B(3,6)、C(5,2)，M 为AB 中点，N 为A C 中点，则中位线MN 所在直线方程为2x ＋y －8＝06、已知点P(－1,2m －1)在通过M(2，－1)、N(－3,4)两点的直线上，则m ＝__327、若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m ＝－28、在△ABC 中，已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)， (1)求BC 边的方程；(2)求BC 边上的中线所在直线的方程．答案：(1) 2x ＋5y ＋10＝0(0≤x ≤5)．(2) 10x ＋11y ＋8＝0. 类型二：直线方程的截距式1、直线x －2＋y－3＝1在x 轴，y 轴上的截距分别为－2，－32、直线x a2－yb2＝1在y 轴上的截距是－b23、过P1(2,0)，P2(0,3)两点的直线方程是x 2＋y3＝14、直线x 3－y4＝1在两坐标轴上的截距之和为－15、过点P(2,3)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是x －y ＋1＝0或3x －2y ＝06、已知直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，且过点(6，－2)，则直线l 的方程为答案：0632022=-+=-+y x y x 或7、过点P(3，－1)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线l 的方程是___答案：x ＋2y －1＝0或x ＋3y ＝08、过(3,0)点且与x 轴垂直的直线方程为x ＝3，纵截距为－2且与y 轴垂直的直线方程为___答案：y ＝－29、已知直线l 的斜率是直线2x －3y ＋12＝0的斜率的12，l 在y 轴上的截距是直线2x －3y ＋12＝0在y 轴上的截距的2倍，则直线l 的方程为x －3y ＋24＝010、已知直线l 的斜率为6，且在两坐标轴上的截距之和为10，则此直线l 的方程为___答案： 6x －y ＋12＝0 类型三：直线图像识别1、如右图所示，直线l 的截距式方程是x a ＋yb ＝1，则有 ( B ) A ．a>0，b>0 B ．a>0，b<0 C ．a<0，b>0 D ．a<0，b<02、两条直线l1：x a －y b ＝1和l2：x b －ya ＝1在同一直角坐标系中的图象能够是( A )3、两直线x m －y n ＝1与x n －ym ＝1的图象可能是图中的哪一个 ( B ) 4、已知直线ax ＋by ＋c ＝0的图象如图，则( D )A ．若c ＞0，则a ＞0，b ＞0B ．若c ＞0，则a<0，b ＞0C ．若c ＜0，则a>0，b<0D ．若c<0，则a>0，b ＞05、直线x a ＋yb ＝1过第一、二、三象限，则( C )A ．a ＞0，b ＞0B ．a ＞0，b ＜0C ．a ＜0，b ＞0D ．a ＜0，b ＜0类型四：判定直线的条数1、过点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有2条，方程为：023=-y x 、05-=+y x2、过P(4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有2条方程为：043=+y x 、01-=+y x3、过点A(3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有3条，方程为：03=+y x 、02-=+y x 、04--=y x 、4、通过点A(－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程为答案：x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0 类型五：与三角形有关的直线方程1、已知直线x a ＋y6＝1与坐标轴围成的图形面积为6，则a 的值为±2 2、过点P(1,3)且与x 轴、y 轴的正半轴围成的三角形的面积为6的直线方程是3x ＋y －6＝03、斜率与直线4x ＋3y ＝0相等，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x 轴上的截距是3或－34、直线ax ＋by －1＝0(ab ≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积是 ( D )A ．12abB ．12|ab|C ．12abD ．12|ab|5、求通过点P(－5，－4)且与两坐标轴围成的面积为5的直线方程．答案： 8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0. 类型六：直线方程的简单应用1、平面直角坐标系中，直线x ＋3y ＋2＝0的斜率为－332、已知直线l 的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－4，则直线l 的点斜式方程为________；截距式方程为________；斜截式方程为________；一样式方程为________．答案：点斜式方程：y ＋4＝3(x －0)，截距式方程：x433＋y－4＝1，斜截式方程：y ＝3x －4，一样式方程：3x －y －4＝0. 3、若直线Ax ＋By ＋C ＝0通过第二、三、四象限，则系数A ，B ，C 需满足条件( A )A ．A ，B ，C 同号 B ．AC ＜0，BC ＜0 C ．C ＝0，AB ＜0D ．A ＝0，BC ＜04、直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率为5，且A －2B ＋3C ＝0，则直线的方程是15x －3y －7＝05、光线从A(－3，4)点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射，这时反射光线恰好过点C(1，6)，则BC 所在直线的方程为5x －2y ＋7＝0 6、求分别满足下列条件的直线l 的方程：(1)斜率是34，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6； (2)通过两点A(1,0)、B(m,1)；(3)通过点(4，－3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等．答案：（1）y ＝43x ±3；（2）当m ≠1时，直线l 的方程是y ＝1m －1(x －1)；当m ＝1时，直线l 的方程是x ＝1.(3) x ＋y ＝1或x 7＋y －7＝1或y ＝－34x.7、设直线l 的方程为y ＝(－a －1)x ＋a －2.(1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不通过第二象限，求实数a 的取值范畴．答案：(1) 3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)由l 的方程为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，欲使l 不通过第二象限，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋1≥0，a －2≤0，解得a ≤－1，故所求的a 的取值范畴为(－∞，－1]．8、(选做题)如图所示，已知直线l 过点P(3，2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，求△AOB 面积最小时l 的方程．解：设A(a ，0)，B(0，b)，明显a>3，b>2，则直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，因为P(3，2)在直线l 上，因此3a ＋2b ＝1，因此b ＝2aa －3，因此S △AOB ＝12ab ＝a2a －3，整理得a2－S △AOB ·a ＋3S △AOB ＝0(*)．因为此方程有解，因此Δ＝S2△AOB －12S △AOB ≥0，又因为S △AOB>0，因此S △AOB ≥12，S △AOB 最小值＝12．将S △AOB ＝12代入(*)式，得a2－12a ＋36＝0，解得a ＝6，b ＝4．现在直线l 的方程为x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0．。

新课标人教A版高中数学必修二第三章第2节《直线的点斜式方程与斜截式方程》专题练习

直线的点斜式方程与斜截式方程知识点一：直线的点斜式方程思考1：直线l 经过点P 0(x 0，y 0)，且斜率为k ，设点P (x ，y )是直线l 上不同于点P 0的任意一点，那么x ，y 应满足什么关系？答案：由斜率公式得k ＝y －y 0x －x 0，则x ，y 应满足y －y 0＝k (x －x 0)．思考2：经过点P 0(x 0，y 0)的所有直线是否都能用点斜式方程来表示？答案：斜率不存在的直线不能用点斜式表示，过点P 0斜率不存在的直线为x ＝x 0. 结论梳理：知识点二直线的斜截式方程思考1：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为(0，b )，得到的直线l 的方程是什么？答案：将k 及点(0，b )代入直线方程的点斜式得：y＝kx ＋b .思考2：方程y ＝kx ＋b ，表示的直线在y 轴上的截距b 是距离吗？b 可不可以为负数和零？答案：y 轴上的截距b 不是距离，可以是负数和零．结论梳理斜截式已知条件斜率k 和直线在y 轴上的截距b图示方程式 y ＝kx ＋b 适用条件斜率存在备注：（1）横截距：令0=y ，解出；横截距：令0=x ，解出y ；（2）直线过点)0,(a ，即横截距为a ,直线过点),0(b ，即纵截距为b .题型一：直线的点斜式方程例1、写出下列直线的点斜式方程．1、过点(4，－2)，倾斜角为150°的直线方程：y －(－2)＝－33(x －4) 点斜式已知条件点P (x 0，y 0)和斜率k图示方程形式 y －y 0＝k (x －x 0) 适用条件斜率存在2、过点A (2，－1)且斜率为33的直线的点斜式方程是y ＋1＝33(x －2) 3、若过原点的直线l 的斜率为－3，则直线l 的方程是3x ＋y ＝04、与直线3x －2y ＝0的斜率相等，且过点(－4,3)的直线方程为y －3＝32(x ＋4)5、经过点(－1,1)，斜率是直线y ＝22x －2斜率的2倍的直线方程是y －1＝2(x ＋1) 6、经过点D (1,2)，且与x 轴垂直：x ＝1（没有点斜式方程） 7、经过点(－3,1)且平行于y 轴的直线方程是x ＝－3 8、一直线l 1过点A (－1，－2)，其倾斜角等于直线l 2：y ＝33x 的倾斜角的2倍，则l 1的点斜式方程为y ＋2＝3(x ＋1)9、直线l 过点(－1，－1)和(2,5)，点(1 007，b )在直线l 上，则b 的值为__2_015__. 10、已知直线l 过点P (2,1)，且直线l 的斜率为直线x －4y ＋3＝0的斜率的2倍，则直线l 的方程为x －2y ＝011、经过点A (2,5)，且与直线y ＝2x ＋7平行： y －5＝2(x －2) 12、经过点C (－1，－1)，且与x 轴平行：y －(－1)＝0.13、直线y ＝2x ＋1绕着其上一点P (1,3)逆时针旋转90°后得到直线l ，则直线l 的点斜式方程是y －3＝－12(x －1)题型二：直线的斜截式方程1、在x 轴上截距为2，在y 轴上截距为－2的直线方程为x －y ＝22、直线y ＝－2x －7在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则a ＝－72、b ＝－73、已知直线的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－2，则此直线的方程为y ＝3x －24、倾斜角为60°，与y 轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是y ＝3x ＋3或y ＝3x －35、已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的方程是y ＝－2x －2.6、过点(1,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为__2x －y ＝0或x ＋y －3＝0__.7、已知直线l 的方程为y －m ＝(m －1)(x ＋1)，若l 在y 轴上的截距为7，则m ＝48、在y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成30°角的直线方程是y ＝3x －6或y ＝－3x －6 9、经过点(1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线是x ＋y ＝2或y ＝x10、已知点(1，－4)和(－1,0)是直线y ＝kx ＋b 上的两点，则k ＝__－2__，b ＝__－2__ 11、直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2的位置关系如图所示，则有( A )A ．k 1＜k 2且b 1＜b 2B ．k 1＜k 2且b 1＞b 2C ．k 1＞k 2且b 1＞b 2D ．k 1＞k 2且b 1＜b 2题型三：过定点问题1、方程y ＝k (x －2)表示( C )A ．通过点(－2,0)的所有直线B ．通过点(2,0)的所有直线C ．通过点(2,0)且不垂直于x 轴的所有直线D ．通过点(2,0)且除去x 轴的所有直线 2、直线y ＝k (x －2)＋3必过定点，该定点坐标是(2，3)已知直线kx －y ＋1－3k ＝0，当k 变化时，所有的直线恒过定点(3,1) 3、不论m 为何值，直线mx －y ＋2m ＋1＝0恒过定点(－2,1)题型四：图像分析1、直线y ＝kx ＋b 通过第一、三、四象限，则有( B ) A ．k >0，b >0 B ．k >0，b <0 C ．k <0，b >0D ．k <0，b <02、直线y ＝ax －1a的图象可能是( B )3、直线y ＝kx ＋b 经过第二、三、四象限，则有( D ) A ．k >0，b <0 B ．k >0，b >0 C ．k <0，b >0D ．k <0，b <04、直线y ＝kx ＋2(k ∈R )不过第三象限，则斜率k 的取值范围是(－∞，0]5、已知直线y ＝(3－2k )x －6不经过第一象限，则k 的取值范围为[32，＋∞)题型五：综合题型1、下列四个结论：①方程k ＝y －2x ＋1与方程y －2＝k (x ＋1)可表示同一直线；②直线l 过点P (x 1，y 1)，倾斜角为90°，则其方程为x ＝x 1； ③直线l 过点P (x 1，y 1)，斜率为0，则其方程为y ＝y 1； ④所有直线都有点斜式和斜截式方程．其中正确的为②③ 2、已知直线y ＝－33x ＋5的倾斜角是直线l 的倾斜角的大小的5倍，分别求满足下列条件的直线l 的方程.(1)过点P (3，－4)；(2)在x 轴上截距为－2；(3)在y 轴上截距为3.答案：直线y ＝－33x ＋5的斜率k ＝tan α＝－33，∴α＝150°，故所求直线l 的倾斜角为30°，斜率k ′＝33. (1) y ＝33x －3－4；(2) y ＝33x ＋233；(3) y ＝33x ＋3. 11、过点()2,1,且只经过两个象限的直线的方程是x y 21=、2=x 、1=y 12、ΔABC 的顶点是A(0,5)、B(1,-2)、C(-5,4)，则BC 边上的中线所在的直线方程为52+=x y 13、若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 为2或－1214、将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得直线为y ＝－13x ＋1315、直线l 经过点(3，－2)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．答案： y ＝－x ＋1或y ＝－23x .16、已知，直线l 的方程为4x-y+8=0（1）求直线l 的斜率、在y 轴上的截距（2）求直线l 与坐标轴围成的三角形的面积答案：（1）8,4==y k ；（2）8=S17、已知直线l 的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l 的斜截式方程．答案：y ＝16x ＋1或y ＝16x －1.18、斜率为34，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线方程是y ＝34x ±319、已知斜率为－43的直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求l 的方程．答案：y ＝－43x ±4.20、(选做题)已知直线l ：y ＝kx ＋2k ＋1． (1)求证：直线l 恒过一个定点；(2)当－3<x <3时，直线上的点都在x 轴上方，求实数k 的取值范围．解：(1)证明：由y ＝kx ＋2k ＋1，得y －1＝k (x ＋2)．由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2，1)． (2)设函数f (x )＝kx ＋2k ＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)，若使当－3<x <3时，直线上的点都在x 轴上方，需满足⎩⎪⎨⎪⎧f （－3）≥0，f （3）≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋2k ＋1≥0，3k ＋2k ＋1≥0.解得－15≤k ≤1．所以，实数k 的取值范围是－15≤k ≤1．。

高中数学人教A版必修2练习第20课时直线的点斜式方程 Word版含解析

第课时直线的点斜式方程课时目标．会应用点斜式、斜截式公式求直线方程．解析：①错误，方程＝不含有(－)；②③正确；④错误，与轴垂直的直线没有点斜式．．经过点(－)，倾斜角是直线＝－的倾斜角的倍的直线方程是( )．＝－．＝．－＝(＋) ．－＝(＋)答案：解析：由＝，所以α＝，所以α＝°，α＝°，所以α＝.故所求直线方程为－＝(＋)．．直线：＝＋与直线：＝＋(≠，≠)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是( )答案：解析：对于选项，由得＞，＜，而由得＞，＞，矛盾；对于选项，由得＜，＞，而由得＞，＞，矛盾；对于选项，由得＞，＜，而由得＜，＞，矛盾；对于选项，由得＞，＞，而由得＞，＞.故选.二、填空题(每个分，共分)．无论实数取何值，直线－＋＋＝恒过定点．答案：(－)解析：直线方程可化为－＝(＋)，所以过定点(－)．已知直线的倾斜角为°，在轴上的截距为－，则直线的斜截式方程为．答案：＝－解析：由题意知直线的斜率为，故由直线方程的斜截式可得所求直线方程为＝－.．过点(，－)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为．答案：＝－或－－＝解析：分直线过原点和直线斜率为两种情况讨论．三、解答题．(分)一条直线经过点(，－)，并且它的倾斜角等于直线＝的倾斜角的倍，求这条直线的点斜式方程．解：∵直线＝的斜率为，∴它的倾斜角为°，∴所求直线的倾斜角为°，斜率为.又直线经过点(，－)，∴这条直线的点斜式方程为＋＝(－)．．(分)已知直线过点()，(－，)，直线过点()，(－)．()当为何值时，∥?()当为何值时，⊥?解：()由已知得＝＝.∵∥，∴＝，即＝，解得＝.()∵⊥，∴·＝－，即×＝－，解得＝－.能力提升。

直线的点斜式、斜截式方程-学易试题君之每日一题君2019学年上学期高一数学人教版(必修2)

11月22日直线的点斜式、斜截式方程
高考频度：★☆☆☆☆难易程度：★★☆☆☆
已知点A（3，3）和直线l：y= x– ．求：
（1）过点A且与直线l平行的直线的点斜式方程；
（2）过点A且与直线l垂直的直线的点斜式方程．
【参考答案】（1）为y–3= （x–3）；（2）y–3= （x–3）．
【解题必备】求直线的点斜式方程的步骤：
①确定定点坐标；
②求出直线的斜率；
③代入公式，写出方程．
特别提醒：斜率不存在时，过点的直线与轴垂直，直线上所有点的横坐标相等都为，故直线方程为 .学科&网
1．经过点（–1，2）且斜率为2的直线方程为
A．2x–y+4=0B．2x–y–5=0
C．2x–y–4=0D．2x–y+5=0
2．过P（–2，0），倾斜角为120°的直线的方程为
A． B．
C． D．
3．直线y=–3x–6的斜率为k，在y轴上的截距为b，则
A．k=3，b=6B．k=–3，b=–6
C．k=–3，b=6D．k=3，b=–6
1．【答案】A
【解析】经过点（–1，2）且斜率为2的直线方程为：y–2=2（x+1），即2x–y+4=0．故选A．
3．【答案】B
【解析】直线yΒιβλιοθήκη –3x–6的斜率为k，在y轴上的截距为b，可得斜率k=–3，在y轴上的截距为b=–6．故选B．

高中数学必修2-3.2.1直线的点斜式、斜截式方程教案新人教A版必修2

课题：2.3.2.1直线的点斜式、斜截式方程课型：新授课教学目标： 1、知识与技能（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。

（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系. 2、过程与方法在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程；学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别。

3、情态与价值观通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。

教学重点：直线的点斜式方程和斜截式方程。

教学难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用教学过程：问题设计意图师生活动 1、在直线坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？使学生在已有知识和经验的基础上，探索新知。

学生回顾，并回答。

然后教师指出，直线的方程，就是直线上任意一点的坐标),(y x 满足的关系式。

2、直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k 。

设点),(y x P 是直线l 上的任意一点，请建立y x ,与00,,y x k 之间的关系。

yxOP P 0培养学生自主探索的能力，并体会直线的方程，就是直线上任意一点的坐标),(y x 满足的关系式，从而掌握根据条件求直线方程的方法。

学生根据斜率公式，可以得到，当0x x ≠时，x x y y k --=，即)(00x x k y y -=-（1）教师对基础薄弱的学生给予关注、引导，使每个学生都能推导出这个方程。

3、（1）过点),(000y x P ，斜率是k 的直线l 上的点，其坐标都满足方程（1）吗？使学生了解方程为直线方程必须满两个条件。

学生验证，教师引导。

问题设计意图师生活动（2）坐标满足方程（1）的点都在经过),(000y x P ，斜率为k 的直线l 上吗？使学生了解方程为直线方程必须满两个条件。

高一数学必修2 直线的点斜式方程练习题

高一数学必修2直线的点斜式方程练习题一、选择题1、过点P （3，0），斜率为2的直线方程是（）.A. y=2x-3 B. y=2x+3C. y=2(x+3)D. y=2(x-3)2、经过点（-3，2），倾斜角为 60的直线方程是（）A. )3(32-=+x yB. )3(332+=-x y C. )3(32+=-x y D.)3(332-=+x y 3、过点（-1，3）且垂直于直线032=+-y x 的直线方程（）A. 052=-+y xB. 012=-+y xC. 052=-+y xD.072=+-y x4、方程)2(-=x k y 表示（）A. 过点（-2，0）的一切直线.B. 过点（2，0）的一切直线.C. 过点（2，0）且不垂直于x 轴的一切直线.D. 过点（2，0）且除去x 轴的一切直线.5、点 M （1，2）在直线L 上的射影H （-1，4），则直线L 的方程是（）A. 05=+-y xB. 03=-+y xC. 05=-+y xD.01=+-y x二、填空题6、在y 轴上的截距是-6，倾斜角的正弦值是54的直线方程是__________________. 7、(2000年某某春季高考)若直线的倾斜角为π－arctan 21，且过点(1，0)，则直线L 的方程为． 8、直线l 1，l 2的方程分别为y=mx ，y=nx(m ，n ≠0)，l 1的倾斜角是l 2倾斜角的2倍，l 1的斜率是l 2的斜率的4倍，则mn=．9、已知点A （2，3）是直线l ：y=2x-1上的一点，将l 绕A 点逆时针方向旋转 45得到直线'l ，则直线'l 的方程为：__________________.10、等边三角形OAB ，A （4，0），B 在第四象限，则边AB 所在的直线方程为__________________.三、解答题11、直线l 过点P （2，-3），倾斜角比直线y=2x-1的倾斜角大 45，求直线l 的方程。

人教新课标A版必修2《3.2.1 直线的点斜式方程》教学设计(表格式)

请学生作答
提示：由直线的点斜式方程需要直线上的一点),(000y x P 和斜率k 共同确定，但当倾斜角为90°时直线没有斜率，故此时直线没有点斜式方程.
3.考虑两种特殊直线：
过点),(000y x P
（1）平行于x 轴或与x 轴重合的直线方程是什么？
（2）平行于y 轴或与y 轴重合的直线方程是什么？
在黑板上板书：
000)
-(0-0
0tan 0αy y x x y y k ===°=°
=即： 0090tan 90αx x x l k =°=°=故上每一点的横坐标均为此时直线不存在
4.课本P93例1.直线l 经过点）（3
,20P ，且倾斜角为45°，求直线l 的点斜式方程，并画出直线. 请学生回答
分析：（1）点斜式方程为)-(-00x x k y y =，将点）（3
,20P 与斜率k 代入即可；（2）确定一条直线需要两个点的坐标.
5.写出下列直线的点斜式方程：
（1）经过点（2，1），且倾斜角为150°；
（2）经过点（3,2），且垂直于y 轴的直线；
（3）经过点（2,1），且斜率是-1的直线.
请学生上黑板做，根据情况进行订正.
6.已知直线的方程是y+7=-x-3，则（）
A.直线经过点（-3,7），斜率为-1;
B.直线经过点（7，-1），斜率为-1；
C.直线经过点（-3，-7），斜率为-1；
D.直线经过点（-7，-3），斜率为1.
请学生回答，并给出正确答案C.
7. 过点(1,3)，且斜率不存在的直线方程是（）
A.x=1
B.x=3。

人教课标版高中数学必修2《直线的点斜式方程》基础训练

《直线的点斜式方程》基础训练一、选择题1.直线方程()00y y k x x -=-( )A.可以表示任何直线B.不能表示过原点的直线C.不能表示与y 轴垂直的直线D.不能表示与x 轴垂直的直线2.直线l 过点()3,0-，且与直线12y x +=垂直，则直线l 的方程为( ) A.()132y x =-- B.()132y x =-+ C.()132y x =- D.()132y x =+3.下列说法：①任何一条直线在y 轴上都有截距；②直线在y 轴上的截距一定是正数；③直线方程的斜截式可以表示不垂直于x 轴的任何直线.其中正确的是( )A.①②B.②③C.①③D.③4.已知直线l 的倾斜角为60，在y 轴上的截距为2-，则直线l 的方程为()A.2y =+B.2y =+C.2y =-D.32y x =-5.[2017河北石家庄一中月考]直线1:l y ax b =+与直线()2:0,l y bx a ab a b =+≠≠在同一平面直角坐标系内的图像只可能是( )二、填空题6.[2017江苏盐城中学高一（下）月考]已知一条直线经过点()1,2P ，且其斜率与直线23y x =+的斜率相同，则该直线的方程是___.7.[2016四川成都新津中学高二（上）月考]已知直线l 与直线1:26l y x =+在y 轴上有相同的截距，且l 的斜率与1l 的斜率互为相反数，则直线l 的方程为___.三．解答题8.[2017山东济宁一种高一(下)期中考试]已知直线313y x =+的倾斜角是直线l 的倾斜角的1,2求当直线l 分别满足下列条件时直线l 的方程： (1)过点()3,4P -；(2)与y 轴的交点为()0,3-.9.[2017山西运城康杰中学高二（上）期中考试]求斜率为34，且与两坐标轴所围成的三角形的周长是20的直线方程.参考答案一、选择题1.答案：D解析：直线的点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，即不能表示与x 轴垂直的直线.2.答案：B解析：因为直线23y x =-的斜率为2，所以直线l 的斜率为12-.又直线l 过点()3,0,-故所求直线的方程为()132y x =-+，选B.3.答案：D解析：因为当直线垂直于x 轴时,直线在y 轴上的截距不存在，所以①错误.直线在y 轴上的截距是直线与y 轴交点的纵坐标，截距是一个数值,可正、可负、可为0,所以②错误.不垂直于x 轴的任何直线都有斜率，所以都能用直线方程的斜截式表示，所以③正确.4.答案：D解析：直线l 的倾斜角为60,∴又直线l 在y 轴上的截距为-2，∴直线l 的方程为2y =-,选D.5.答案：D解析：对于A 选项，由1l 得0,0,a b ><而由2l 得0,0,a b >>矛盾;对于B 选项，由1l 得0,0,a b <>而由2l 得0,0,a b >>矛盾;对于C 选项，由1l 得0,0,a b ><而由2l 得0,0,a b <>矛盾;对于D 选项，由1l 得0,0,a b >>而由2l 得0,0.a b >>故选D.二、填空题6.答案：2y x =解析：由题意知该直线的斜率为2,又该直线经过点()1,2P ，∴该直线的方程为()221y x -=-，即2y x =.7.答案：26y x =-+解析：由题意,知直线l 在y 轴上的截距为6,其斜率为-2,故直线l 的方程为26y x =-+.三、解答题8．答案：见解析解析：⑴直线13y x =+的倾斜角为30，∴直线l 的倾斜角为60，∴直线l 的斜率为tan 603=.直线l 过点()3,4P -,∴由直线的点斜式方程，可知())43,4y x y --=-=+即.(2)直线l 与y 轴的交点为()0,3-，∴直线l 的方程为3y =-. 9.答案：见解析解析：设所求直线方程为34y x b =+，令0x =，得y b =;令0y =，得43x b =-.由已知，得4|b ||b |20.3+-=即45|b ||b ||b |20,33++=解得 5.b =± 故所求直线方程为3 5.4y x =±。

高一数学人教A版必修2课后训练：3.2.1直线的点斜式方程 Word版含解析

3．2.1 直线的点斜式方程练习1．直线y＝－2x＋3的斜率和在y轴上的截距分别是()A．－2,3 B．3，－2 C．－2，－2 D．3,3 2．过点(1,3)且斜率不存在的直线方程为()A．x＝1 B．x＝3 C．y＝1 D．y＝3 3．方程y－y0＝k(x－x0)()A．可以表示任何直线B．不能表示过原点的直线C．不能表示与y轴垂直的直线D．不能表示与x轴垂直的直线4．已知两条直线y＝ax－2和y＝(2－a)x＋1互相平行，则a等于() A．2 B．1 C．0 D．－15．方程y＝ax＋1a表示的直线可能是()6．过点(－1,3)，且斜率为－2的直线的斜截式方程为__________．7．已知直线l1过点P(2,1)且与直线l2：y＝x＋1垂直，则l1的点斜式方程为__________．8．已知点(1，－4)和(－1,0)是直线y＝kx＋b上的两点，则k＝__________，b＝__________.9．已知△ABC的三个顶点分别是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，试求BC边上的高所在直线的点斜式方程．10．当－1<x<1时，直线l：y＝mx＋1在x轴上方，求实数m的取值范围．参考答案1. 答案：A2. 答案：D3. 答案：B4. 答案：B5. 答案：B6. 答案：y ＝－2x ＋17. 答案：y －1＝－(x －2)8. 答案：－2 －29. 解：设BC 边上的高为AD ，则BC ⊥AD ，∴k BC k AD ＝－1， ∴2303+-k AD ＝－1，解得k AD ＝35. ∴BC 边上的高所在直线的点斜式方程是 y －0＝35 (x ＋5)． 10. 解：由题意，得当－1＜x ＜1时，y ＞0，如图所示．由图知只需点A (－1，－m ＋1)，B (1，m ＋1)在x 轴上方， ∴10,10,m m -+⎧⎨+⎩解得－1＜m ＜1，即实数m 的取值范围是(－1,1)．。