高等数学2第三次机考模拟题
高等数学二机考复习题
高等数学（二）机考复习题一．单项选择题(在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题干后的括号内.) 1.设y=2cosx ,则y '=( )A.2cosx ln2B.-2cosx sinxC.2cosx (ln2)sinxD.-2cosx-1sinx 2.设f(x 2)=)x (f ),0x (x11'≥+则=( ) A.-2)x 1(1+ B.2x 11+ C.-2)x 1(x 21+ D.2)x 1(x 21+3.曲线y=1x x132=在处切线方程是( )A.3y-2x=5B.-3y+2x=5C.3y+2x=5D.3y+2x=-5 4.设y=f(x),x=e t ,则22dty d =( )A. )x (f x 2''B. )x (f x 2''+)x (f x 'C.)x (f x ''D. )x (f x ''+xf(x) 5.设y=lntg x ，则dy=( ) A.xtg dx B.xtg x d C.dx xtg x sec 2 D.xtg )x tg (d6.下列函数中，微分等于xln x dx的是( ) A.xlnx+c B.21ln 2x+c C.ln(lnx)+c D.xx ln +c 7.下列函数在给定区间满足拉格朗日中值定理条件的是( )A.y=|x|,[-1,1]B.y=x 1,[1,2] C.y=32x ,[-1,1] D.y=2x 1x -,[-2,2] 8.函数y=sinx-x 在区间［０,π］上的最大值是( )A.22B.0C.-πD.π 9.下列曲线有水平渐近线的是（ ）A.y=e xB.y=x 3C.y=x 2D.y=lnx 10.⎰-2x xdee =( )A.-c e 21x 2+ B. -c e 2x+ C-c e 212x +- D.c e 412x+-11.⎰=dx 2x 3( )A.c 2ln 231x 3+ B.31(ln2)23x+c C. 3123x +c D.c 2ln 2x 3+ 12.⎰+πdx )14(sin =( )A.-cos 4π+x+cB.-c x 4cos 4++ππC.c 14sin x ++πD. c x 4sin x ++π13.⎰-)x cos 1(d =( )A.1-cosxB.x-sinx+cC.-cosx+cD.sinx+c 14.⎰-aax 〔f(x)+f(-x)〕dx=( )A.4⎰axf(x)dx B.2⎰ax 〔f(x)+f(-x)〕dx C.0 D.以上都不正确15.设F(x)=⎰-x adt )t (f a x x，其中f(t)是连续函数，则)x (F lim a x +→=( )A.0B.aC.af(a)D.不存在16.下列积分中不能直接使用牛顿—莱布尼兹公式的是( )A.⎰+1xe1dxB.⎰π40tgxdx C.dx x1x12⎰+ D.⎰π40ctgxdx17.设f(x)=⎩⎨⎧≤≤<≤-1x 0,20x 1,1，则⎰-11dx )x (f 21=( )A.3B.23C.1D.2 18.当x>2π时，⎰π'x2dt )ttsin (=( ) A.x x sin B. x x sin +c C x x sin -π2 D. xx sin -π2+c19.下列积分中不是广义积分的是( )A.⎰-21022)x 1(dx B.⎰e1xln x dxC.⎰-113xdx D.⎰+∞-0x dx e20.下列广义积分中收敛的是( )A. ⎰+∞xdx sin B.⎰-11x dxC.⎰--012x 1dx D.⎰∞--0x dx e21.函数y=x 1-+arccos21x +的定义域是( ) A. x<1 B.-3≤x ≤1 C. (-3，1) .{x|x<1}∩{x|-3≤x ≤1} 22.下列函数中为奇函数的是（ ）A.y=cos 3xB.y=x 2+sinxC.y=ln(x 2+x 4) D.y=1e 1e x x +-23.设f(x+2)=x 2-2x+3,则f[f(2)]=( )A.3B.0C.1D. 2 24.y=的反函数是xx323+( )A.y=233x x +--B.y=xx 332+ C.y=log 3x 1x 2- D.y=log 3x 2x1- 25.设n n u ∞→lim =a,则当n →∞时，u n 与a 的差是（ ）A ．无穷小量 B.任意小的正数 C ．常量 D.给定的正数26.设f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>0x ,x 1sin x 0x ,x1sin ,则)x (f lim 0x +→=（ ）A ．-1 B.0 C.1 D.不存在27.当0x →时,x cos x sin 21是x 的( )A.同阶无穷小量B.高阶无穷小量C.低阶无穷小量D.较低阶的无穷小量 28.x21sinx 3lim x •∞→=( )A.∞B.0C.23D.3229.设函数⎩⎨⎧≤<-≤<-=3x 1,x 21x 0,1x )x (f 在x=1处间断是因为( )A.f(x)在x=1处无定义B.)x (f lim 1x -→不存在C. )x (f lim 1x +→不存在 D. )x (f lim 1x →不存在30.设f(x)=⎩⎨⎧≥+<0x )x 1ln(0x ,x ,则f(x)在x=0处( )A.可导B.连续,但不可导C.不连续D.无定义31．函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠0x ,00x ,x1sin x ，在点x=0处 （ ） A ．极限不存在B ．极限存在但不连续C ．可导D ．连续但不可导32．设f(x)为可导函数，且1x2)x (f )x x (f lim 000x =∆-∆+→∆，则=')x (f 0（ ）A ．1B ．0C ．2D ．2133．设F(x)=f(x)+f(-x)，且)x (f '存在，则)x (F '是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数C ．非奇非偶的函数 D ．不能判定其奇偶性的函数 34．设y=xxln ，则dy=（ ）A ．2x xln 1- B ．dx x xln 12- C ．2x 1x ln - D ．dx x 1x ln 2-35.函数y=2｜x ｜－1在x=0处( ) A.无定义 B.不连续 C.可导 D.连续但不可导36．下列四个函数中，在[-1，1]上满足罗尔定理条件的是（ ）A ．y=|x|+1B ．y=4x 2+1C ．y=2x1D ．y=|sinx|37．函数y=3x3x ln 2-+的水平渐近线方程是（ ） A ．y=2B ．y=1C ．y=-3D ．y=038．若)x (F '=f(x)，则⎰'dx )x (F =（ ） A ．F(x)B ．f(x)C ．F(x)+CD ．f(x)+C39．设f(x)的一个原函数是x ，则⎰xdx cos )x (f =（ ） A ．sinx+C B ．-sinx+C C ．xsinx+cosx+C D ．xsinx -cosx+C40．设F(x)=dt te 1xt 2⎰-，则)x (F '=（ ）A ．2x xeB ．2x xe - C ．2x xe - D ．2x xe --41．设广义积分⎰+∞α1x1发散，则α满足条件（ ）A ．α≤1B ．α<2C ．α>1D ．α≥142.设z=cos(3y -x)，则xz∂∂=（ ） A ．sin(3y -x) B ．-sin(3y -x) C ．3sin(3y -x) D ．-3sin(3y -x) 43．函数z=x 2-y 2+2y+7在驻点（0，1）处（ ） A ．取极大值 B ．取极小值 C ．无极值 D ．无法判断是否取极值 44．设D={(x,y)|x ≥0，y ≥0,x+y ≤1}，⎰⎰⎰⎰βα+=+=D2D1dxdy )y x (I ,dxdy )y x (I ，0<α<β，则（ ） A ．I 1>I 2 B ．I 1<I 2 C ．I 1=I 2 D ．I 1，I 2之间不能比较大小45．级数5n 7n)1(1n 1n --∑∞=-的收敛性结论是（ ） A ．发散 B ．条件收敛 C ．绝对收敛 D ．无法判定46．幂级数n1n n x 3n 3∑∞=+的收敛半径R=（ ）A ．41 B ．4 C ．31D ．3 47．微分方程y ln y y x ='的通解是（ ）A ．e x +CB ．e -x +C C ．e CxD ．e -x+C48.下列集合中为空集的是（ ） A.{x|e x =1} B.{0} C.{(x, y)|x 2+y 2=0}D.{x| x 2+1=0,x ∈R}49.函数f(x)=2x 与g(x)=x 表示同一函数，则它们的定义域是（ ） A.(]0,∞-B.[)+∞,0C.()+∞∞-,D.()+∞,050.函数f(x)==π-⎩⎨⎧≥<)4(f ,1|x |,01|x ||,x sin |则（ ）A.0B.1C.22D.-22 51.设函数f(x)在[-a, a] (a>0)上是偶函数，则f(-x)在[-a, a]上是（ ） A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.可能是奇函数，也可能是偶函数 52.=+→)2x (x x2sin lim 0x （ ）A.1B.0C.∞D.253.设2x10x e )mx 1(lim =-→，则m=（ ）A.21 B.2 C.-2D.21-54.设f(x)=⎩⎨⎧=≠2x ,12x ,x 2,则=→)x (f lim 2x （ ）A.2B.∞C.1D.455.设x1ey -=是无穷大量，则x 的变化过程是（ ）A. x →0+B. x →0-C. x →+∞D. x →-∞56.函数在一点附近有界是函数在该点有极限的（ ） A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 57.定义域为[-1，1]，值域为（-∞，+∞）的连续函数（ ） A.存在 B.不存在 C.存在但不唯一 D.在一定条件下存在 58.下列函数中在x=0处不连续的是（ ）A. f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠0x ,10x ,|x |xsinB. f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠0x ,00x ,x1sin x C. f(x)=⎩⎨⎧=≠0x ,10x ,e xD. f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠0x ,00x ,x1cos x 59.设f(x)=e 2+x,则当△x →0时，f(x+△x)-f(x)→（ ）A.△xB.e 2+△xC.e 2D.060.设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<-≥0x ,1x 0x ,e 2x ，则=---→0x )0(f )x (f lim 0x （ ）A.-1B.-∞C.+∞D.161.设总收益函数R(Q)=40Q-Q 2，则当Q=15时的边际收益是（ ） A.0 B.10 C.25 D.375 62.设函数f(x)=x(x-1)(x-3)，则f ＇(0)=（ ） A.0 B.1 C.3 D.3！ 63.设y=sin 33x，则y ＇=（ ）A.3x sin32B.3x sin2C.3x cos 3x sin 32D.3xcos 3x sin264.设y=lnx,则y (n)=（ ）A.(-1)n n!x -nB.(-1)n (n-1)!x -2nC.(-1)n-1(n-1)!x -nD.(-1)n-1n!x -n+165.=)x (d )x (sin d 2（ ）A.cosxB.-sinxC.2xcos D.x2xcos 66.f ＇(x)<0,x ∈(a, b) ，是函数f(x)在(a, b)内单调减少的（ ） A.充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D.无关条件 67.函数y=|x-1|+2的极小值点是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 68.函数y=2ln3x3x -+的水平渐近线方程为（ ） A. y=2 B. y=1 C. y=-3 D. y=069.设f(x)在[a, b](a<b)上连续且单调减少，则f(x)在[a, b]上的最大值是（ ） A. f(a)B. f(b)C.)2ba (f + D.)3a2b (f + 70.=-⎰2)3y 2(dy（ ）A.C )3y 2(613+--B.C )3y 2(613+- C.C 3y 21+-D.C )3y 2(21+--71.设f(x)在（-∞，+∞）上有连续的导数，则下面等式成立的是（ ） A.⎰+='C )x (f dx )x (f x 22 B.⎰+='C )x (f 21dx )x (f x 22C.⎰=')x (f 21)dx )x (xf (22D.⎰=)x (f dx )x (xf 2272.⎰=)tgx (xd sin ln （ ） A. tgxlnsinx-x+C B. tgxlnsinx+x+C C. tgxlnsinx-⎰x cos dx D . tgxlnsinx+⎰x cos dx73.=+⎰--21dx 3x x（ ） A.-1-3ln2B.-1+3ln2C.1-3ln2D.1+3ln274.⎰=π210dx )x 2(tg （ ） A.2ln 21-B.2ln 21 C.2ln 1πD.2ln 1π-75.经过变换x t =，⎰=-94dx 1x x ( )A.⎰-94dt 1t tB.⎰-942dt 1t t 2 C. ⎰-32dt 1t tD.⎰-322dt 1t t 2 76.⎰∞+-=1x dx e x1 ( )A.e2B.-e2C.2eD.-2e77.⎰=-211x dx ( )A.2B.1C.∞D.32 78.级数∑∞=-1n nn25)1(的和等于 ( )A.35B.－35C.5D.－579.下列级数中，条件收敛的是( ) A.∑∞=--1n n 1n )32()1( B.∑∞=-+-1n 21n 2n n )1(C.∑∞=--1n 31n n1)1( D.∑∞=--1n 31n n51)1(80.幂级数 ∑∞=---1n n1n n)1x ()1( 的收敛区间是（ ） A.(]2,0B.(]1,1-C.[]0,2-D.()+∞-∞,94.点（－1，－1，1）在下面哪一张曲面上 ( ) A.z y x 22=+B.z y x 22=-C.1y x 22=+D.z xy =81.设 f(u,v)=(u+v)2，则 )yx ,xy (f =( ) A.22)x1x (y +B.22)y 1y (x +C.2)y1y (x +D.2)x1x (y +82.设 )x2y x ln()y ,x (f +=，则=')0,1(f y ( ) A.21B.1C.2D.083.设22y xy 3x 2z -+=，则=∂∂∂yx z2( ) A.6 B.3 C.－2 D.284.下列级数中发散的是( ) A.∑∞=--1n 1n n 1)1( B. ∑∞=-++-1n 1n )n 11n 1()1(C.∑∞=-1n nn1)1( D.∑∞=-1n )n 1( 85.下列级数中绝对收敛的是( A ) A.∑∞=--1n 1n nn )1( B.∑∞=--1n 1n n1)1( C. ∑∞=-3n nn ln )1( D.∑∞=--1n 321n n)1(86.设+∞=∞→n n u lim ，则级数)u 1u 1(1n 1n n ∑∞=+- ( ) A.必收敛于1u 1B.敛散性不能判定C.必收敛于0D.一定发散 87.设幂级数∑∞=-0n n n)2x (a在x=-2处绝对收敛，则此幂级数在x=5处 (C )A.一定发散B.一定条件收敛C.一定绝对收敛D.敛散性不能判定88.设函数z=f(x,y)的定义域为D={(x,y)|0≤x ≤1,0≤y ≤1}，则函数f(x 2,y 3)的定义域为( ) A.{(x,y)|0≤x ≤1,0≤y ≤1} B.{(x,y)|-1≤x ≤1,0≤y ≤1} C.{(x,y)|0≤x ≤1,-1≤y ≤1} D.{(x,y)|-1≤x ≤1,-1≤y ≤1} 89.设z=(2x+y)y ，则=∂∂)1,0(xz ( )A.1B.2C.3D.090.设z=xy+yx,则dz=( ) A.(y+dy )y x x (dx )y 12-+ B. dy )y 1y (dx )y x x (2++-C. (y+dy )y x x (dx )y 12++D. dy )y 1y (dx )yx x (2+++91.过点(1，-3，2)且与xoz 平面平行的平面方程为(C )A.x-3y+2z=0B.x=1C.y=-3D.z=2 92.⎰⎰≤≤-≤≤1y 11x 0dxdy=( )A.1B.-1C.2D.-2 93.微分方程y x 10y +='的通解是( )A.c 10ln 1010ln 10y x =--B. c 10ln 1010ln 10yx =-C.10x +10y =cD.10x +10-y =c94．设函数f )x 1x (+=x 2+2x1，则f(x)=（ ）A ．x 2B ．x 2-2C ．x 2+2D ．24x 1x +95．在实数范围内，下列函数中为有界函数的是（ ） A ．e x B ．1+sinx C ．lnx D ．tanx 96．=++++∞→2x 1x x limx （ ）A ．1B ．2C ．21D ．∞ 97.下列函数中为微分方程0y y =+'的解的是( )A.x eB.-x eC.x e -D.x e +x e - 98.下列微分方程中可分离变量的是( ) A.2x x y dx dy += B.y x y dx dy += C.)0k (1)b y )(a x (k dxdy ≠+++=， D.x y sin dx dy =- 99.设函数f(x)=x x x kx +-≠=⎧⎨⎪⎩⎪4200,,在点x=0处连续，则k 等于( ) A. 0B.14 C. 12D. 2100.设D ：0≤x ≤1，0≤y ≤2，则⎰⎰+Ddxdy x1y=( ) A.ln2B.2+ln2C.2D.2ln2101.函数y=5-x +ln(x －1)的定义域是( )A. (0，5］B. (1，5］C. (1，5)D. (1，+∞) 102. limsin2xxx →∞等于( )A. 0B. 1C.12D. 2 103.二元函数f(x,y)=ln(x －y)的定义域为( )A. x －y>0B. x>0, y>0C. 12D. 2104.函数y=2｜x ｜－1在x=0处( ) A.无定义 B.不连续 C.可导 D.连续但不可导 105.设函数f(x)=e 1－2x ，则f(x)在x=0处的导数f ′(0)等于( ) A. 0 B. e C. –e D. －2e 106.函数y=x －arctanx 在［－1，1］上( ) A.单调增加 B.单调减少 C.无最大值 D.无最小值 107.设函数f(x)在闭区间［0，1］上连续，在开区间(0，1)内可导，且f ′(x)>0，则( ) A. f(0)<0 B. f(1)>0 C. f(1)>f(0) D. f(1)<f(0) 108.以下式子中正确的是( ) A. dsinx=－cosx B. dsinx=－cosxdx C. dcosx=－sinxdx D. dcosx=－sinx 109.下列级数中，条件收敛的级数是( )A. n nnn =∞∑-+111() B.n nn =∞∑-11()C.n nn=∞∑-111()D.n nn=∞∑-1211()110.方程y ′—y=0的通解为( ) A. y=ce x B. y=ce －x C. y=csinxD. y=c 1e x +c 2e －x二.判断题（正确的在括弧里用R 表示，错误的在括弧里用F 表示。
高二理科数学第二学期第三次试题及答案
高二数学理科答案考试时间120分钟，试卷满分150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．把答案填写在答题纸相应位置上．1．命题:p 2,11x x ∀∈+≥R ，则p ⌝是 （ ） A ．2,11x x ∀∈+<R B ．11,2≥+∈∀x R x C ．11,200<+∈∃x R x D ．11,200≥+∈∃x R x【答案】C2．总体容量为203，若采用系统抽样法抽样，当抽样间距为多少时不需要剔除个体( ) A ．4 B ．5C ．6 D ．7 【答案】D3．不等式组⎩⎨⎧<-<-030122x x x 的解集是（ ）A ．｛x ｜－1＜x ＜1}B ．｛x ｜0＜x ＜３}C ．｛x ｜0＜x ＜1}D ．｛x ｜－1＜x ＜３}【答案】C4．已知双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的虚轴长为2，焦距为方程为（ ）A. y =B. 2y x =±C. y x =D. 12y x =±【答案】C5 .如图是计算函数2x ,x 1y 0,1x 2x ,x 2⎧-≤-⎪=-<≤⎨⎪>⎩的值的程序框图，则在①、②、③处应分别填入的是A ．y x =-，y 0=，2y x =B ．y x =-，2y x =，y 0= C ．y 0=，2y x =，y x =- D ．y 0=，y x =-， 2y x = 【答案】B6．若点 M(x,y) 为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+2y 12x y x 上的一个动点，则y-x 的最大值是（ ）A. 0B. -1C. 2D. 1 【答案】C7．“1＜m ＜3”是“方程22113x y m m+=--表示椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B8. 已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为 （ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 【答案】B9. 如图：在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为11C A 与11D B 的交点。
2020届高三第三次模拟考试卷 理科数学(二) 解析版
2020届高三第三次模拟考试卷理 科 数 学（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．已知全集为实数集R ，集合2{|280}A x x x =+->，2{|log 1}B x x =<，则()A B =R I ð（ ）A ．[4,2]-B ．[4,2)-C ．(4,2)-D ．(0,2)答案：D解：依题意，[4,2]A =-R ð，(0,2)B =，则()(0,2)A B =R I ð． 2．已知,a b ∈R ，若i a +与3i b -互为共轭复数，则2(i)a b -=（ ） A ．86i + B ．86i - C ．86i --D ．86i -+答案：B解：因为3a =，1b =，所以2(3i)86i -=-．3．若双曲线22221(0)2x y m m m -=>+的离心率为2，则实数m 的值为（ ）A ．1B ．13C ．2D ．3答案：A解：由题意，得2222m m m++=，解得1m =（1m =-舍去）．4．若π1cos()36α+=-，且π2π63α<<，则7πsin()12α+=（ ） A ．70212+B ．70212-C ．27012-D ．70212+-答案：B 解：因为π2π63α<<，所以πππ23α<+<，所以πsin()03α+>， 所以2π135sin()1()366α+=--=， 所以7πππππππsin()sin()sin()cos cos()sin 12343434αααα+=++=+++ 35212702626212-=⨯-⨯=． 5．在ABC Rt △中，90A =︒，AB AC a ==，在边BC 上随机取一点D ，则事件“104AD a >”发生的概率为（ ） A ．34B ．23C ．12D ．13答案：C解：设事件事件“104AD a >”为M ， 设BC 的中点为P ，则2222210()24AD AP DP a DP a=+=+>，解得24DP a >， 所以222()124()22a a P M a-==． 6．已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为3π6+，则x 等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7答案：A解：由三视图知，该几何体由四分之一个圆锥与三棱锥组成， 所以体积为：21111π3333π64332V x x =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+，解得4x =． 7．已知抛物线24y x =的焦点为F ，抛物线上任意一点P ，且PQ y ⊥轴于点Q ，则PQ PF ⋅u u u r u u u r的此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号最小值为（ ） A ．14-B ．12-C ．1-D ．1答案：A解：因为(1,0)F ，设点2(,2)P m m ，则(0,2)Q m ，则2(,0)PQ m =-u u u r ，2(1,2)PF m m =--u u u r ，则2422111()244PQ PF m m m ⋅=-+=--≥-u u u r u u u r ．8．“2020”含有两个数字0，两个数字2，“2121”含有两个数字1，两个数字2，则含有两个数字0，两个数字2的四位数的个数与含有两个数字1、两个数字2的四位数的个数之和为（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．12答案：B解：第一类：含有两个数字0、两个数字2的四位数的个数为23C 3=， 第二类：含有两个数字1，两个数字2的四位数的个数为24C 6=， 由分类加法计数原理，得满足题意的个数为369+=． 9．已知函数π()sin()(0)6f x x ωω=+>的两个零点之差的绝对值的最小值为π2，将函数()f x 的 图象向左平移π3个单位长度得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） ①函数()g x 的最小正周期为π；②函数()g x 的图象关于点7π(,0)12对称； ③函数()g x 的图象关于直线2π3x =对称；④函数()g x 在π[,π]3上单调递增． A ．①②③④ B ．①②C ．②③④D ．①③答案：B解：由题意知函数π()sin()(0)6f x x ωω=+>的最小正周期为π，则2π2πω==， 所以π()sin(2)6f x x =+． 将函数()f x 的图象向左平移π3个单位长度得到函数ππ5πsin[2()]sin(2)366y x x =++=+的图象，即5π()sin(2)6g x x =+， 则()g x 的最小正周期为2ππ2T ==，故①正确； 令5π2π()6x k k +=∈Z ，解得π5π()212k x k =-∈Z ， 令2k =，得函数()g x 的图象关于点7π(,0)12对称，故②正确； 令5ππ2π()62x k k +=+∈Z ，解得ππ()26k x k =-∈Z ． 令1,2k =，得函数()g x 的图象关于直线π3x =，5π6x =对称，故③错误； 令π5ππ2π22π()262k x k k -≤+≤+∈Z ，得2ππππ()36k x k k -≤≤-∈Z ， 所以函数()g x 在π5π[,]36上单调递增，故④错误． 10．杨辉三角是二项式系数在只角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．在欧洲，帕斯卡(16231662～)在1654年发现这一规律，比杨辉要迟了393年．如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，⋯，则在该数列中，第37项是（ ）A ．153B ．171C ．190D ．210答案：C解：考查从第3行起每行的第三个数：1，312=+，6123=++，101234=+++， 归纳推理可知第k （3k ≥）行的第3个数为12(2)k +++-L ， 在该数列中，第37项为第21行第3个数， 所以该数列的第37项为19(191)12191902++++==L ． 11．已知双曲线2222:1x y C a b -=（0a >，0b >）的右焦点为F ，过原点O 作斜率为43的直线交C的右支于点A ，若||||OA OF =，则双曲线的离心率为（ ） A 3B 5C ．2D 31答案：B解：设双曲线左焦点为F '，因为OA OF OF c '===，所以90FAF '∠=︒，设点4(,)3A m m ，则2163()()95m c m c m m c =+-⇒=，所以点34(,)55A c c ， 所以222291612525c ca b -=， 所以224222216925991625251ee e e e e e -=⇒--=--42222950250(95)(5)05e e e e e e ⇒-+=⇒--=⇒=⇒=12．设函数()f x 的定义域为R ，()f x '是其导函数，若3()()0(0)1f x f x f +'>=，，则不等式3()x f x e >－的解集是（ ）A ．(0,)+∞B ．(1,)+∞C ．(,0)-∞D ．(0,1)答案：A解：令3()()xg x e f x =，则333()()()xxe f x e f x g x '=+'，因为3()()0f x f x '+>，所以333()()0xxe f x e f x '+>，所以()0g x '>， 所以函数3()()xg x e f x =在R 上单调递增， 而3()xf x e>－可化为3()1xe f x >等价于()(0)g x g >，解得0x >，所以不等式3()xf x e >－的解集是(0,)+∞．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知函数3log (1)2,0()(3),0x x f x f x x +-≥⎧=⎨+<⎩，则20()20f =－________． 答案：1-解：3()()(1)(2)log (21)2120202017f f f f ===-==+-=-L －－．14．已知7270127(21)x a a x a x a x -=++++L ，则2a =________．答案：84-解：52527C 2(1)84a =⨯⨯-=-．15．已知抛物线29y x =的焦点为F ，其准线与x 轴相交于点M ，N为抛物线上的一点，且满足|2||NF MN =，则点F 到直线MN 的距离为___________．解：由抛物线29y x =，可得9||2MF =， 设点N 到准线的距离为d ，由抛物线定义可得||d NF =，|2||NF MN =，由题意得||cos ||||d NF NMF MN MN ∠===，所以sin NMF ∠==，所以点F 到直线MN的距离为9||sin 2MF NMF ∠== 16．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2()2cos cos sin sin A C b c B C -=，2a =，则ABC △的面积的最大值是________．解：由2()2cos cos sin sin A C b c B C -=及正弦定理，得222cos cos sin sin si (n )A C B B C -=．显然sin 0B ≠，所以222cos cos sin A C C -=．所以222cos sin cos 1A C C =+=，所以1cos 2A =． 又(0,π)A ∈，所以sin A =，所以2222b c bc +-=，则2242bc b c bc +=+≥， 所以4bc ≤，当且仅当2b c ==时取等号， 所以ABC △的面积：11sin 2224S bc A bc ==⨯=≤ 故ABC △三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）在等差数列{}n a 中，46a =-，且235a a a ，，成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 的公差不为0，设3n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．答案：（1）见解析；（2）129988nn n n T -=-+-．解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，因为235a a a ，，成等比数列，所以2325a a a =，又46a =-，所以2(6)(62)(6)d d d --=---+，即3(2)0d d +=，解得0d =或2d =-． 当0d =时，6n a =-；当2d =-时，4(4)6(4)(2)22n a a n d n n -=-+--=-=+． （2）若数列{}n a 的公差不为0，由（1）知，22n a n =-，则22223nn b n -=-+，所以1211[1()](022)999128819n n n n n n T n -⨯-+-=+=-+--．18．（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 是菱形，2AC BC ==，1π3CBB ∠=，点A 在平面11BCC B 上的投影为棱1BB 的中点E ．（1）求证：四边形11ACC A 为矩形；（2）求二面角11E B C A --的平面角的余弦值． 答案：（1）证明见解析；（2）217-． 解：（1）因为AE ⊥平面11BB C C ，所以1AE BB ⊥， 又因为1112BE BB ==，2BC =，π3EBC ∠=，所以3CE =， 因此222BE CE BC +=，所以1CE BB ⊥，因此1BB ⊥平面AEC ，所以1BB AC ⊥， 从而1AA AC ⊥，即四边形11ACC A 为矩形．（2）如图，以E 为原点，EC ，1EB ，EA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，所以(0,0,1)A ，1(0,2,1)A ，1(0,1,0)B ，(3,0,0)C ．平面1EB C 的法向量(0,0,1)=m ，设平面11A B C 的法向量为(,,)x y z =n ，由1303CB x y y x ⊥⇒-+=⇒=u u u r n ，由110B A y z ⊥⇒+=u u u u rn ， 令13x y =⇒=，3z =-，即(1,3,3)=-n ，所以321cos ,717-<>==-⨯m n ， 所以二面角11E B C A --的余弦值是217-． 19．（12分）“互联网+”是“智慧城市”的重要内士，A 市在智慧城市的建设中，为方便市民使用互联网，在主城区覆盖了免费WiFi ．为了解免费WiFi 在h 市的使用情况，调査机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调査的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到如下列联表(单位：人)：（1）根据以上数据，判断是否有90%的把握认为A 市使用免费WiFi 的情况与年龄有关； （2）将频率视为概率，现从该市45岁以上的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次．记被抽取的3人中“偶尔或不用免费WiFi ”的人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，数学期望()E X 和方差()D x ．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．答案：（1）没有90%的把握认为；（2）分布列见解析，6()5E X =，18()25D X =．解：（1）由列联表可知22200(70406030) 2.19813070100100K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯， 因为2.198 2.706<，所以没有90%的把握认为A 市使用免费WiFi 的情况与年龄有关． （2）由题意可知2(3,)5X B :，X 的所有可能取值为0,1,2,3，033327(0)C ()5125P X ===，1232354(1)C ()()55125P X ==⨯=， 2232336(2)C ()55125P X ==⨯=，33328(3)C ()5125P X ===． 所以X 的分布列为26()355E X =⨯=，2218()3(1)5525D X =⨯⨯-=． 20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，圆心为坐标原点的单位圆O 在C 的内部，且与C 有且仅有两个公共点，直线22x +=与C 只有一个公共点．（1）求C 的标准方程；（2）设不垂直于坐标轴的动直线l 过椭圆C 的左焦点F ，直线l 与C 交于A ，B 两点，且弦AB 的中垂线交x 轴于点P ，试求ABP △的面积的最大值．答案：（1）2212x y +=；（236．解：（1）依题意，得1b =，将22x y =代入222(2)240a y y a +-+-=，由22324(2)(4)0Δa a =-+-=，22a =，所以椭圆的标准方程为2212x y +=． （2）由（1）可得左焦点(1,0)F -，由题设直线l 的方程为1(0)x my m =-≠， 代入椭圆方程，得22(2)210m y my +--=． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12222m y y m +=+，12212y y m -=+， 所以121224()22x x m y y m -+=+-=+，AB 的中点为222(,)22m Q m m -++， 设点0(,0)P x ，则202(2)PQ m k m m x -==-++，解得0212x m -=+， 故222012121222|1|12(1)1||||()422(2)ABPx m m S PF y y y y y y m +++=⋅-=+-=+△， 令21(1)t m t =+>，则221m t =-，且32232221(1)ABPt S t t t t==+++△， 设321()(1)f x t t t t=++>，则22423(3)(3)(1)()1t t t f t t t -++'=--=，所以236163ABP S ≤=△ABP △36．21．（12分）已知函数2()xf x e x kx =--（其中e 为自然对数的底，k 为常数）有一个极大值点和一个极小值点．（1）求实数k 的取值范围；（2）证明：()f x 的极大值不小于1．答案：（1）(22ln 2,)-+∞；（2）证明见解析．解：（1）()2xf x e x k '=--，由()02xf x e x k '=⇒-=，记()2xg x e x =-，()2xg x e '=-，由()0ln 2g x x '=⇒=，且ln 2x <时，()0g x '<，()g x 单调递减，()(22ln 2,)g x ∈-+∞；ln 2x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，()(22ln 2,)g x ∈-+∞，由题意，方程()g x k =有两个不同解，所以(22ln 2,)k ∈-+∞．（2）解法一：由（1）知()f x 在区间(,ln 2)-∞上存在极大值点1x ，且112xk e x =-，所以()f x 的极大值为11122111111()(2)(1)xxxf x e x e x x x e x =---=-+，记2()(1)((,ln 2))t h t t e t t =-+∈-∞，则()2(2)t th t te t t e '=-+=-，因为(,ln 2)t ∈-∞，所以20te ->，所以0t <时，()0h t '<，()h t 单调递减；0t >时，()0h t '>，()h t 单调递增， 所以()(0)1h t h ≥=，即函数()f x 的极大值不小于1．解法二：由（1）知()f x 在区间(,ln 2)-∞上存在极大值点1x ，且112xk e x =-，所以()f x 的极大值为11122111111()(2)(1)xxxf x e x e x x x e x =---=-+，因为110x ->，111xe x ≥+，所以21111()(1)(1)1f x x x x ≥-++=，即函数()f x 的极大值不小于1．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为1x ty bt=⎧⎨=-+⎩(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立的极坐标系中，曲线C 的方程为22sin cos 0θρθ-=． （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A B ，两点，且4AB =，求b 的值． 答案：（1）22x y =；（2）b =解：（1）因为22sin cos 0θρθ-=，所以222sin cos 0ρθρθ-=，代入sin cos y xρθρθ=⎧⎨=⎩，得220y x -=，即22x y =．（2）由1x ty bt=⎧⎨=-+⎩，得1y bx =-+，联立212y bxx y=-+⎧⎨=⎩，消去y ，得2220x bx -+=，2(2)420Δb =--⨯>，解得b >b <，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122x x b +=，122x x ⋅=．又||4AB ===，解得b = 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()321||||(0)f x x m x m -=+->． （1）若1m =，解不等式()4f x ≥；（2）若函数()f x 的图象与x 轴围成的三角形的面积为203，求m 的值． 答案：（1）(][),71,-∞-+∞U ；（2）2m =． 解：（1）若1m =，()31||2||2f x x x -=+-，当13x <-时，()4f x ≥可化为(31)(22)4x x -++-≥，解得7x ≤-； 当113x -≤<时，()4f x ≥可化为(31)(22)4x x ++-≥，解得1x ≥，无解； 当1x ≥时，()4f x ≥可化为(31)(22)4x x +--≥，解得1x ≥， 综上，不等式()4f x ≥的解集是(][),71,-∞-+∞U ． （2）因为()3|||2|1f x x m x -=+-，又因为0m >，所以2()3()52(1)32(1)m x m x m f x x m x x m x ⎧---<-⎪⎪⎪=+--≤<⎨⎪++≥⎪⎪⎩，因为2()2033m m f -=--<，(1)30f m =+>， 所以()f x 的图象与x 轴围成的ABC △的三个顶点的坐标为(2,0)A m --，2(,0)5mB -，2(,2)33m m C ---， 所以214(3)20||||2153ABCC m S AB y +=⋅==△，解得2m =或8m =-（舍去）．。
高三数学第三次模拟考试试题理含解析试题
卜人入州八九几市潮王学校2021届高三第三次模拟考试数学〔理科〕试卷一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.{}2|20A x x x =--<，{}2|log 0B x x =<，那么A B =〔〕A.(1,2)-B.(0,1)C.(,2)-∞D.(1,1)-【答案】A 【解析】 【分析】 分别求出集合A 和B ，再求并集即可.【详解】解不等式220x x --<得12x -<<，即()1,2A =-；由20log x<得01x <<，即()B 0,1=；所以()A B 1,2⋃=-.应选A【点睛】此题主要考察集合的并集运算，熟记概念即可求解，属于根底题型.11iz i+=-，z 是z 的一共轭复数，那么z z⋅=〔〕A.-1B.iC.1D.4【答案】C 【解析】 【分析】利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，求得z 的值，可得z ，从而求得z z ⋅的值．【详解】()()()211111i iz i i i i ++===--+，那么z i =-，故()1z zi i ⋅=⋅-=，应选C.【点睛】此题主要考察复数根本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，属于根底题．3.“搜索指数〞是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为根底所得到的统计指标.“搜索指数〞越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高.如图是2021年9月到2021年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图. 根据该走势图，以下结论正确的选项是〔〕A.这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B.这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C.从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差D.从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值 【答案】D 【解析】选项A 错，并无周期变化，选项B 错，并不是不断减弱，中间有增强。
高等数学(大二、三)题库
（一）函数、极限、连续一、选择题：1、 在区间(-1,0)内，由( )所给出的函数是单调上升的。
(A);1+=x y (B);2x x y -= (C)34+-=x y (D)25-=x y2、 当+∞→x 时，函数f (x )=x sin x 是( )（A ）无穷大量 （B ）无穷小量 （C ）无界函数 （D ）有界函数 3、 当x →1时，31)(,11)(x x xxx f -=+-=ϕ都是无穷小，则f (x )是)(x ϕ的( ) （A ）高阶无穷小 （B ）低阶无穷小 （C ）同阶无穷小 （D ）等阶无穷小 4、 x =0是函数xarctgx f 1)(=的( ) （A ）可去间断点 （B ）跳跃间断点； （C ）振荡间断点 （D ）无穷间断点 5、 下列的正确结论是（ ）（A ）)(lim x f xx →若存在，则f (x )有界；（B ）若在0x 的某邻域内，有()()(),g x f x h x ≤≤且),(lim 0x g x x →),(lim 0x h x x →都存在，则),(lim 0x f x x →也 存在；（C ）若f(x)在闭区间[a , b ]上连续，且f (a ), f (b )<0则方程f (x )=0,在(a , b )内有唯一的实根;（D ） 当∞→x 时，xx x x x a sin )(,1)(==β都是无穷小，但()x α与)(x β却不能比. 二、填空题：1、 若),1(3-=x f y Z且x Zy ==1则f (x )的表达式为 ;2、 已知数列n x n 1014-=的极限是4, 对于,1011=ε满足n >N 时，总有ε<-4n x 成立的最小N 应是 ;3、 3214lim1x x ax x b x →---+=+(b 为有限数) , 则a = , b = ; 4、 设,)(ax ax x f --=则x =a 是f (x )的第 类 间断点; 5、,0,;0,)(,sin )(⎩⎨⎧>+≤-==x n x x n x x g x x f 且f [g (x )]在R 上连续，则n = ； 三、 计算题:1、计算下列各式极限： （1）x x x x sin 2cos 1lim0-→； （2）xxx x -+→11ln 1lim 0；（3）)11(lim 220--+→x x x （4）xx x x cos 11sinlim30-→（5）x x x 2cos 3sin lim 0→ （6）xx xx sin cos ln lim0→2、确定常数a , b ，使函数⎪⎩⎪⎨⎧-<<∞---=<<-+=1,11,11,arccos )(2x x x b x x a x f 在x =-1处连续.四、证明：设f (x )在闭区间[a , b ]上连续，且a <f (x )<b , 证明在(a , b )内至少有一点ξ，使()f ξξ=.（二）导数与微分一、填空题:1、 设0()f x '存在，则t t x f t x f t )()(lim 000+--+→= ;2、 ,1,321,)(32⎪⎩⎪⎨⎧≤>=x x x x x f 则(1)f '= ; 3、 设xey 2sin =, 则dy = ;4、 设),0(sin >=x x x y x则=dxdy; 5、 y =f (x )为方程x sin y + y e 0=x确定的隐函数, 则(0)f '= .二、选择题:1、)0(),1ln()(2>+=-a a x f x 则(0)f '的值为( )(A) –ln a (B) ln a (C)a ln 21 (D) 21 2、 设曲线21xey -=与直线1x =-相交于点P , 曲线过点P 处的切线方程为( ) (A) 2x -y -2=0 (B) 2x +y +1=0 (C) 2x +y -3=0 (D) 2x -y +3=03、 设⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=0),1(0)(2x x b x e x f ax 处处可导，则( )(A) a =b =1 (B) a =-2, b =-1 (C) a =0, b =1 (D) a =2, b =14、 若f (x )在点x 可微,则xdyy x ∆-∆→∆0lim 的值为( ) (A) 1 (B) 0 (C) -1 (D) 不确定 5、设y =f (sin x ), f (x )为可导函数，则dy 的表达式为( ) (A)(sin )f x dx ' (B)(cos )f x dx ' (C)(sin )cos f x x ' (D)(sin )cos f x xdx '三、计算题：1、 设对一切实数x 有f (1+x )=2f (x ),且(0)0f '=,求(1)f '2、若g(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠0,00,1cos 2x x x x 又f (x )在x =0处可导，求))((=x x g f dx d3、 求曲线⎩⎨⎧=++=-+010)1(y te t t x y 在t =0处的切线方程4、 f (x )在x =a 处连续,),()sin()(x f a x x -=ϕ求)('a ϕ5、 设3222()x y y u x x =+⋅=+, 求.dudy 6、 设()ln f x x x =, 求()()n fx . 7、.（三）中值定理与导数的应用一、填空题：1、 函数f (x )=arctan x 在[0 ,1]上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ= ;2、 若01lim sin 22ax x e b x →-=则a = , b = ; 3、 设f (x )有连续导数，且(0)(0)1f f '==则)(ln )0()(sin limx f f x f x -→= ;4、x e y x sin =的极大值为 ，极小值为 ;5、 )10(11≤≤+-=x xxarctgy 的最大值为 ，最小值为 . 二、选择题：1、 如果a,b 是方程f(x)=0的两个根，函数f(x)在[a,b]上满足罗尔定理条件，那么方程f’(x)=0在(a,b)内（ ）（A ）仅有一个根； （B ）至少有一个根； （C ）没有根； （D ）以上结论都不对。
2025届云南省丘北二中高考数学三模试卷含解析
2025届云南省丘北二中高考数学三模试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知椭圆2222:1x y C a b +=的短轴长为2，焦距为1223F F ，、分别是椭圆的左、右焦点，若点P 为C 上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为（ ） A ．[]1,2B ．2,3⎡⎤⎣⎦C ．2,4⎡⎤⎣⎦D ．[]1,4 2．已知函数22log ,0()22,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，方程()0f x a -=有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合D ，则“函数()()()F x f x kx x D =-∈有两个零点”是“12k >”的（ ）． A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．如图，在中，点M 是边的中点，将沿着AM 翻折成，且点不在平面内，点是线段上一点.若二面角与二面角的平面角相等，则直线经过的（ ）A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心4．已知向量()1,3a =，b 是单位向量，若3a b -=，则,a b =（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π 5．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=，2AE EB =，AB AC λ=，若9AB AC AO EC ⋅=⋅，则实数λ=( ) A 3B 3C 6 D 66．已知函数3(1),1()ln ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若()()f a f b >，则下列不等关系正确的是（ ）A ．221111a b <++ BC ．2a ab <D ．()()22ln 1ln 1a b +>+ 7．已知复数z 满足121i z i i +⋅=--（其中z 为z 的共轭复数），则z 的值为( )A ．1B ．2C D 8．若函数2()x f x x e a =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．24(,)e +∞B ．24(0,)eC ．2(0,4)eD ．(0,)+∞9．若集合{}|sin 21A x x ==，,42k B y y k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．A B A ⋃= B ．R R C B C A ⊆ C ．A B =∅ D ．R R C A C B ⊆10．设双曲线22221x y a b-=（a>0,b>0）的右焦点为F ，右顶点为A,过F 作AF 的垂线与双曲线交于B,C 两点，过B,C分别作AC ，AB 的垂线交于点D ．若D 到直线BC 的距离小于a （ ）A ．(1,0)(0,1)- B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．((0,2)D ．(,(2,)-∞+∞11．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则下列结论正确的是（ ）A ．2z i i ⋅=-B ．复数z 的共轭复数是12i -C ．||5z =D ．13122z i i =++ 12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中的最长棱长为（ ）A ．32B ．25C ．26D ．27二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023年辽宁省沈阳市成考专升本高等数学二自考模拟考试(含答案带解析)
2023年辽宁省沈阳市成考专升本高等数学二自考模拟考试(含答案带解析) 学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________一、单选题(30题)1.2.3.下列命题正确的是A.A.无穷小量的倒数是无穷大量B.无穷小量是绝对值很小很小的数C.无穷小量是以零为极限的变量D.无界变量一定是无穷大量4.A.A.-1B.-2C.1D.25.6.（）。
A.B.C.D.7.从10名理事中选出3名常务理事，共有可能的人选（）。
A. 120组B. 240组C. 600组D. 720组8.9.A.-1/4B.0C.2/3D.110.11.（）。
A.B.C.D.12.函数f(x)在点x0处有定义，是f(x)在点x0处连续的（）。
A.必要条件，但非充分条件B.充分条件，但非必要条件C.充分必要条件D.非充分条件，亦非必要条件13.设z=e xy，则dz=A.A.e xy dxB.(xdy+ydx)e xyC.xdy+ydxD.(x+y)e xy14.15.A.A.B.C.D.16.若随机事件A与B互不相容，且P(A)=0.4，P(B)=0.3，则P(A+B)=（）。
A.0.82B.0.7C.0.58D.0.5217.18.（）。
A.连续的B.可导的C.左极限≠右极限D.左极限=右极限19.20.21.22.23.（）。
A.B.C.D.24.A.低阶无穷小量B.等价无穷小量C.同阶但不等价无穷小量D.高阶无穷小量25.26.A.0B.2x3C.6x2D.3x227.28.29.30.A.A.B.C.D.二、填空题(30题)31.32.33.34.35.36.37.38.40.曲线y=2x2在点(1，2)处的切线方程y=______．41.曲线y=x+e x在点(0，1)处的切线斜率k=______．42.43.44.45.设z＝x2y＋y2，则dz＝．46.47.48.49.50.51.52.若由ex=xy确定y是x的函数，则y’=__________.53.54.55.设z=e xey，则56.57.58.59.60.三、计算题(30题)61.62.63.64.65.66.67.68.69.70.71.求函数f(x，y)=4(x-y)-x2-y2的极值．72.73.74.75.76.77.78.79.求函数f(x)=(x2-1)3+3的单调区间和极值．80.81.82.83.84.85.86.87.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．88.89.设函数y=x3+sin x+3，求y’．90.四、综合题(10题)91.92.93.94.95.96.97.98.99.100.五、解答题(10题) 101.102.103.104. 105. 106. 107.108. 109.110.六、单选题(0题)111.（）。
菲翔学校高考数学文科第三轮模拟考试卷二试题
墨达哥州易旺市菲翔学校2021届二中高考数学文科第三轮模拟考试卷二本套试卷分第一卷和第二卷两局部，一共150分，考试时间是是120分钟第一卷(选择题，一共60分)参考公式：三角函数的和差化积公式假设事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么它在n 次HY 重复试验中恰好发生k 次的概率P n 〔k 〕=k n k knp p C --)1(〔k =0，1，2，…，n 〕一组数据n x x x ,,,21 的方差])()()[(1222212x x x x x x nS n -++-+-= 其中x 为这组数据的平均值一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，`只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.U ={(x ,y )｜x ∈R ,y ∈R },A ={(x ,y )｜2x -y +m >0},B ={(x ,y )｜x +y -n ≤0}，那么点P (2，3)∈A ∩(C U B )的充要条件是〔〕A.m >-1且n <5B.m <-1且n <5C.m >-1且n >5D.m <-1且n >5２.一工厂消费了某种产品24000件，它们来自甲、乙、丙3条消费线，现采用分层抽样的方法对这批产品进展抽样检查.从甲、乙、丙3条消费线依次抽取的个体数恰好组成一个等差数列，那么这批产品中乙消费线消费的产品数量是〔〕 A.12000B.6000 C３.x 的不等式m xx x >+-2241的解集为{}R x x x ∈≠且,0|xm x f )25()(--=m 的取值范围是()A.12000B.6000 C４．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，假设a 3+a 7+a 11为一个确定的常数，那么以下各数中也是常数的是() A ．S 7B ．S 11C ．S 12D ．S 13５．假设A 为抛物线241x y =的顶点，过抛物线焦点的直线交抛物线于B 、C 两点，那么AC AB ⋅等于〔〕A ．31-B ．3-C ．3D ．43- ６.n n n x a x a a x x x +++=++++++ 102)1()1()1(，假设121-+⋅⋅⋅++n a a a =509-n ，那么n 的值〔〕A ．7B ．8C ．9D ．10７.设两个HY 事件A 和B 同时不发生的概率为91，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率一样，那么事件A 发生的概率P 〔A 〕是〔〕 (A)92(B)32(C)31(D)181 ８．cos31°=m,那么sin239°·tan149°的值是〔〕A.mm 21-B.21m -C.mm 12-21m -９．O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不一共线的三个点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，λ∈［0，+∞〕，那么P 的轨迹一定通过△ABC 的()A ．外心B ．垂心C ．内心D ．重心１０．点F 1，F 2分别双曲线12222=-by a x 的左，右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲交于A ，B 两点，假设△ABF 2是锐角三角形，那么该双曲线的离心率e 的范围是〔〕A ．〔1，+∞〕B ．〔1，1+2〕C ．〔1，3〕D ．〔1－21,2+〕１１．函数y=f(x)〔x ∈R 〕上任一点〔x 0,f(x 0)〕处的切线斜率k=(x 0-2)(x 0+1)2，那么该函数单调递减区间为〔〕 A ．[-1,+∞〕B.(-∞,2]C.(-∞,-1),(1,2)D.[2,+∞)１２．如图，正三棱锥A —BCD 中，点E 在棱AB 上，点F 在棱CD 上，并使λ==FDCFEB AE ，其中+∞<<λ0，设α为异面直线EF 与AC 所成的角，β为异面直线EF 与BD 所成的角，那么α+β的值是〔〕A ．6πB ．4π C ．2πD ．与λ有关的变量 第二卷(非选择题，一共90分)二、填空题：〔本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分，把答案填在题中横线上〕. １３．函数)2,0(,cos )6sin()(ππ∈-=x x x x f .那么函数)(x f 的值域为_________________；１４．把座位编号分别为1，2，3，4，5，6的六张电影票全局部给甲、乙、丙、丁四人，每人至少分1张，至多分两张，且分得两张票必须是连号的，那么不同的分法种数是 _________. １５．P 是抛物线221y x =+上的动点，定点(0,1)A -，假设点M 在直线PA 上，同时满足：①点M 在点P的下方；②||2||0PMMA -=.那么点M 的轨迹方程是______.①曲线1)1(22=+-y x按)2,1(-=a平移可得曲线1)3()1(22=+-+y x ；②假设|x －2|+|y －2|1≤，那么使x+y 获得最大值和最小值的最优解都有无数多个； ③设A 、B 为两个定点，为常数m ，m PB PA =+||||，那么动点P 的轨迹为椭圆；④假设椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是该椭圆上的任意一点，那么点F 2关于21PF F ∠ 三、解答题：本大题一一共6小题，一共74分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 17.(本小题总分值是12分)向量m =(1，1)，向量n 与向量m 的夹角为43π,且m ·n =1-. (1)求向量n ；(2)设向量a =(1，0)，向量b =(cos x ,2cos 2(2x 3-π)),其中0<x <32π，假设n ·a =0,试求 ｜n+b ｜的取值范围.１８．〔本小题总分值是1２分〕某篮球队进展投篮训练，每人在一轮练习中最多可投篮4次，现规定一旦命中即停顿该轮练习，否那么一直投到4次为止.运发动甲的投篮命中率为0.7.〔１〕求一轮练习中运发动甲的投篮次数２次的概率；〔２〕求一轮练习中运发动甲至少投篮3次的概率. １９.(本小题总分值是12分)函数3()f x x ax =-)0(>a 在[)1,+∞上是递增函数。
高三数学下学期第二次模拟考试定州三模试题 文扫描 试题
2021届高三数学下学期第二次模拟考试〔三模〕试题文〔扫描版〕本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
文科数学答案一、选择题：A 卷:DBCCA ACBDC DB ； B 卷: BDCCA ACBDC DB 二、填空题：13、d c b a <<< 14、11b b ><-或 (区间形式也可)15. ]2,67[ππ16、1- 三、解答题：17、解:〔1〕ab c b a +=+222,ab c b a C 2cos 222-+=∴=12………………〔2分〕又C 为三角形的内角 3π=∴C ,……………………………〔3分〕21sin sin ==c C a A……………………………〔5分〕 n n a 21=∴ ……………………………〔6分〕〔2〕n nnn n a a b 2log 2⋅=-=,……………………………〔7分〕23234+12+1+1222322222232(-1)22..................................(102222(1)2 2.nn n n n n n n n n S n S n n S n S n ∴=+⋅+⋅++⋅∴=+⋅+⋅++⋅+⋅-=++-⋅=-⋅+分)两式相减得整理得 所以22)1(1+-=+n n n S ……………………………〔12分〕18. 解：(1)依题意2529z -=，∴6z = ……………………………〔2分〕 219619=++y 52961935=++++y x 解得100=x ,41=y 所以本次高三参加考试的总人数为330人……………………………〔5分〕 (2)在这6名考生中随机抽取3名考生包含的根本领件为:(121,130,135),(121,130,138),(121,130,142),(121,130,144),(121,135,138), (121,135,142),(121,135,144),(121,138,142),(121,138,144),(121,142,144), (130,135,138),(130,135,142),(130,135,144),(130,138,142),(130,138,144),(130,142,144),(135,138,142),(135,138,144),(135,142,144),(138,142,144)一共20个， …………………………………………………………〔9分〕 其中“抽取的考生成绩均不低于135分〞包含的根本领件有4个， 其概率为51204=……………………………〔12分〕19. (1)证明：因为点C 在底面111C B A 上的射影为1D ，1111C B A CD 面⊥∴111CD D B ⊥∴，……………………………〔2分〕90=∠ABC ，又 90111=∠C B A ，BC AB =1111C A D B ⊥∴， 1111A ACC D B 面⊥∴，……………………………〔4分〕连接111,D B DD ，11//BB DD ，为平行四边形四边形D D BB 11∴，BDD B //11∴，11A ACC BD 面⊥∴……………………………〔6分〕(2) 解：取11C D 的中点N ， 11MN C D ∴⊥，……………………………〔7分〕 又E CD MN CD MN 11,面⊥∴⊥……………………………〔8分〕11111113322212C ED M M CDE CD E V V MN S --∆∴==⋅⋅=⋅⋅=…………〔12分〕 20. 解:(1)由题知421=+MF MF ,得2=a . ……………………………〔2分〕又由322=ab ，得3=b ……………………………〔4分〕 ∴椭圆E 的方程为13422=+y x . ……………………………〔5分〕 (2)假设存在以原点为圆心，r 为半径的圆．当圆的切线AB 的斜率不存在时，设),(11y x A ，那么),(11y x B -，∵OB OA ⊥， ∴0=⋅OB OA ，即02121=-y x ，2121y x =，代入13422=+y x ，得71221=x .此时712212==x r ，圆的方程为71222=+y x . ……………………………〔7分〕 当圆的切线AB 的斜率存在时，设其方程为m kx y +=，那么12+=k m r ，1222+=k m r ①……………………………〔8分〕由⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 13422，整理得0)3(48)43(222=-+++m kmx x k ，设),(11y x A ，),(22y x B ，221438kkmx x +-=+,222143)3(4k m x x +-=⋅ 又∵OB OA ⊥，∴02121=+y y x x ， 即0)()1(221212=++++m x x km x x k ,……………………………〔10分〕即0348)3)(1(42222222=++--+m m k m k m k ，化简得)1(71222+=k m ，② 由①②求得7122=r .由于221237r b =<=，即△>0. 所求圆的方程为71222=+y x . 综上，存在以原点为圆心的圆满足题设条件，圆的方程为71222=+y x .…………〔12分〕 21. (1)解：令()ln x h x x ae =-,'1()x h x ae x=-, 当0≤a 时，'1()0x h x ae x=->，此时函数无极值点. ……………………〔2分〕 当0>a 时，令'1()0x h x ae x =-=，那么x ae x=1，显然0001,0x ae x x =>∃使当,100x ae x x x ><<时，即'()0h x >， 当,10xae xx x <>时，即'()0h x <此时函数有唯一极大值点,无极小值点. ……………………………〔5分〕 〔2〕要证32()2g x x>-，即证223>-x e e x x ；……………………………〔6分〕 令3()2xxk x e e x =-，'32322()(32)(32)(1)(22)x x x k x e x x e x x e x x x ∴=--+=-+-=-++-，…〔7分〕故当)1,0(∈x 时，01,0>+<-x e x；令22)(2-+=x x xp 1x =-〔负值舍去〕故当1)x ∈-时，022)(2<-+=x x x p ,故'2()(1)(22)0x k x e x x x =-++->，即()1)k x 在上单调递增；……………………………〔9分〕当1,1)x ∈时，022)(2>-+=x x x p ，故'2()(1)(22)0x k x e x x x =-++-<，即()1,1)k x -在上单调递减；因为(0)2,(1),k k e ==故当)1,0(∈x 时，()(0)2k x k >= 即223>-x e e xx，故结论成立……〔12分〕 22. (1) 证明：连接EF ，根据题意在BEF ∆和ACB ∆ 中，AB BE mn BC BF ⋅==⋅即CBBE AB BF =.………………〔2又CBA FBE ∠=∠，从而ABC FBE ∆∆~…………〔4分〕 因此BAC BFE ∠=∠.所以C F E A 、、、四点一共圆. ……………………………〔5 (2) 解：4,8==m n 时，方程0182=+-mn x x 的两根为16,221==x x . 故16,2==AB BE ……………………………〔7分〕 如图，设圆心为O , AE,CF 的中点分别为Q,H,连接OQ,OH那么222OE OQ EQ =+221628448522--⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………〔9分〕 故四边形AEFC 外接圆的面积为π85.……………………………〔10分〕 23. 解：(1)法1：直线l 0y --= 所以直线l 的倾斜角为3π……………………………〔3分〕 法2：令11,t x y =∴==，，又直线l 过点〔2，0〕 所以k ==所以直线l 的倾斜角为3π……………………………〔3分〕曲线C 的极坐标方程为222sin 31ρθ=-，即2sin 3222=-θρρ，∴曲线C 的直角坐标方程为2222=-y x ……………………………〔5分〕(2) 法1：把y =-2222=-y x 得2524260x x -+=设其二根分别为1212122426,,,,55x x x x x x ∴+==…………………〔8分〕所以1226414||455ABx x =-===…〔10分〕 法2：可得直线l 参数方程的HY 形式为122()x t t y ⎧'=+⎪⎪'⎨⎪'=⎪⎩为参数，代入曲线C 的直角坐标方程为2222=-y x 得25880t t ''--= ……………………………〔8分〕∴AB =125t t ''-==……………………………〔10分〕24. (1) 证明：由3|2||1|)(≥++-=x x x f ……………………………〔2分〕得函数()f x 的最小值为3，从而()3f x e ≥>，所以ln ()1f x >成立. …………〔5分〕 解(2) 由绝对值的性质得1)()1(|||1|)(-=---≥-+-=a a x x a x x x f ，……〔7分 从而a a ≥-1，解得21≤a ，因此a 的最大值为21. …………………………〔10分〕本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
高三数学第三次模拟考试题二理 试题
B． x y 3 0
C． x 2 y 3 0
D． x 2 y 3 0
5．[2021·东北三校]中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物
〔鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪〕中的一种，现有十二生肖的桔祥物各
一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪
之答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非 选 择 题 的 答 题 ：用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。写 在 试 题 卷 、
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．在在考试完毕之后以后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择 题：本大题一一共 12 小题，每 一小题 5 分，在每一小题 给出的 四个选项里面 ，
D．函数
g
x
在
0,
π 6
上最大值是
1
8．[2021·质检]执行如下图的程序框图，输出的值是〔 〕
准考证号
卷
姓名
此
班级
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二 O 二二年二月七日
A．0
B． 1 2
9．[2021·一中] 2sin 80 cos 70 〔 cos 20
A． 3
B．1
C．1 〕
20．〔12
分〕[2021·期末]椭圆 C1
:
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 的离心率为
2 2
，抛物线 C2
:
y2
4x
的
准线被椭圆 C1 截得的线段长为 2 ．
〔1〕求椭圆 C1 的方程； 〔2〕如图，点 A 、F 分别是椭圆 C1 的左顶点、左焦点直线 l 与椭圆 C1 交于不同的两点 M 、N〔 M 、 N 都在 x 轴上方〕．且 AFM OFN ．证明：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标．
高三数学第二学期第三次模拟试卷 试题
中学2021届第二学期第三次模拟试卷制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日数学 〔文科〕一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分.在每个题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1. 集合P M P M a P a M 则的元素个数为若,3},1,{},,1{2--==等于〔 〕A ．}1,0{B ． }1,0{-C ．}0{D ．}1{-2. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，那么出现两个正面朝上的概率是A ．21 B ．31 C ．81D ． 413．数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，且446=-a a ，2111=a ，9=k S ，那么k 的值是……………………………………………………………………………〔 〕A ．3B ．4C ．5D ．2 4．函数1()62f x x x=-+的零点一定位于区间〔 〕A ． )4,3(B ． )3,2(C ．)2,1(D ． )6,5(5．假设动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，那么MN 的 最大值为〔 〕A ．1B ．C ． 2 D6．某工厂有甲、乙、丙、丁四类产品的数量成等比数列，一共计3000件，现要用分层抽样的方法从中抽取150件进展质量检测，其中乙、丁两类产品抽取的总数为100件，那么甲类产品总一共有〔 〕A. 200件B. 100件C. 300件D.400件7．阅读图1的程序框图。
假设输入6,4==n m ，那么输出i a ,分别等于〔 〕 A ．12，2B ．24，3C ． 24，2D ． 12，38．给出下面四个命题：①“直线a 、b 为异面直线〞的充分非必要条件是：直线a 、b 不相交； ②“直线l 垂直于平面α内所有直线〞的充要条件是：l ⊥平面α； ③“直线a ⊥b 〞的充分非必要条件是“a 垂直于b 在平面α内的射影〞；④“直线α∥平面β〞的必要非充分条件是“直线a 至少平行于平面β内的一条直线〞．其中假命题的序号是 〔 〕A ． ①④ B. ②④C. ①③D. ②③9.假设直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，那么〔 〕 A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b+≤ D ．22111a b+≥10. 对任意的实数a 、b ，记{}()max ,()a ab a b b a b ≥⎧=⎨<⎩．假设{}()max (),()()F x f x g x x R =∈，其中奇函数y =f (x )在x =l 时有极小值-2，y =g (x )是正比例函数，函数()(0)y f x x =≥与函数y=g (x)的图象如下图．那么以下关于函数()y F x =的说法中，正确的选项是( ) A ．()y F x =为奇函数图1图1B ．()y F x =有极大值F 〔-1〕且有极小值F 〔0〕C ．()y F x =的最小值为-2且最大值为2D ．()y F x =在〔-3，0〕上为增函数二、填空题：(本大题一一共7小题，每一小题4分，一共28分，把答案填写上在答题卷的相应位置上〕11．假如复数()()21m i mi ++是实数，那么实数m =12．函数),0,0(),sin()(R x A x A x f ∈<<>+=πφφ的最大值是1，其图像经过点1(,)32M π，()f x 的解析式为13．曲线y ＝x 3－3x ＋1在点〔1，－1〕处的切线方程为_▲ _ 14. 双曲线5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k ▲15．假设函数()f x 在)2,0(上是增函数，函数(2)f x +是偶函数，那么)1(f 、)25(f 、)27(f 的大小关系是〔由小到大的顺序〕16．如图是某条公一共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的图像〔收支差额=车票收入－支出费用〕.由于目前本条线路亏损，公司有关人员分别将右图挪动为以下图〔1〕和图〔2〕，从而提出了两种扭亏为盈的建议.请你根据图像用简练的语言表达出： 建议〔1〕是 ▲建议〔2〕是 ▲17.在平面直角坐标系xOy 中，平面区域{(,)|1,A x y x y =+≤且0,0}x y ≥≥，那么平面区域{(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积为三．解答题：18．向量()m sin B,1cos B =-, 向量()n 2,0=，且m 与n 的夹角为3π，其中A 、B 、C是ABC ∆的内角． 〔1〕求角B 的大小；〔2〕求 C A sin sin +的取值范围．19数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+〔c 是不为零的常数，123n =，，，〕，且123a a a ，，成等比数列． 〔1〕求c 的值；〔2〕求{}n a 的通项公式；20．如下图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AB ==，E ，F ，G 分别为PC 、PD 、BC 的中点．〔1〕求证：P A //平面EFG ；〔2〕求：GA 与平面PEF 所成的角。
辽宁省沈阳市第二中学2022-2023学年高三第三次模拟考试数学试题(1)
一、单选题1. 原始的蚊香出现在宋代．根据宋代冒苏轼之名编写的《格物粗谈》记载：“端 午时，贮浮萍，阴干，加雄黄，作纸缠香，烧之，能祛蚊虫．”如图，为某校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”，画法如下:在水平直线上取长度为1的线段，做一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段CB的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点，以此类推，当得到的“螺旋蚊香”与直线恰有个交点时，“螺旋蚊香”的总长度的最大值为（）A．B．C．D．2. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（ ）A ．先横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度B ．先横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度C．先横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位长度D．先横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位长度3. 如图是下列四个函数中的某个函数在区间上的大致图象，则该函数是（）A．B．C．D．4. 已知抛物线的焦点为，抛物线上一点满足，则抛物线的方程为A．B．C．D．5. 在平面直角坐标系中，经过点且离心率为的双曲线的标准方程为A．B．C．D．6. 在如图所示的空间几何体中，下面的长方体的三条棱长，，上面的四棱锥中，，，则过五点、、、、的外接球的表面积为A．B．C．D．辽宁省沈阳市第二中学2022-2023学年高三第三次模拟考试数学试题(1)辽宁省沈阳市第二中学2022-2023学年高三第三次模拟考试数学试题(1)二、多选题三、填空题7. 已知集合，则A．B．C．D．8. 已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（）A．B．C．D．9. 设函数，则下列判断正确的是（ ）A．存在两个极值点B．当时，存在两个零点C ．当时，存在一个零点D．若有两个零点，则10. 一个平面α斜截一个足够高的圆柱，与圆柱侧面相交的图形为椭圆E .若圆柱底面圆半径为r ，平面α与圆柱底面所成的锐二面角大小为θ，则下列对椭圆E 的描述中，正确的是（）A ．短轴为2r ，且与θ大小无关B ．离心率为cos θ，且与r 大小无关C ．焦距为2r tan θD．面积为11.已知圆，圆，下列说法正确的是（ ）A ．若（O 为坐标原点）的面积为2，则圆的面积为B ．若，则圆与圆外离C ．若，则是圆与圆的一条公切线D ．若，则圆与圆上两点间距离的最大值为612. 已知复数，则（ ）A．B ．的虚部为-1C ．为纯虚数D ．在复平面内对应的点位于第一象限13. 设，函数．则________；若，则实数的取值范围是________．四、解答题14.已知，则__________．15. 已知函数在区间上有两个零点，则实数a 的取值范围是________．16. 已知函数在一个周期内的图象如图所示．（1）求的值；（2）在中，设内角所对边的长分别为，若，求的值．17. 已知椭圆的左，右顶点分别是，，且，是椭圆上异于，的不同的两点．(1)若，证明：直线必过坐标原点；(2)设点是以为直径的圆和以为直径的圆的另一个交点，记线段的中点为，若，求动点的轨迹方程．18. 在①，，②，，③，三组条件中任选一组补充在下面问题中，并加以解答．已知的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若的面积为，_____，求b ．19. 椭圆的离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）如图，是椭圆的顶点，是椭圆上除顶点外的任意一点，直线交轴于点，直线交于点，设的斜率为，的斜率为，试证明：为定值.20.如图，在三棱柱中，平面，(1)求证：平面；(2)若，求①与平面所成角的正弦值；②直线与平面的距离.21. 已知数列的前项和.(1)证明：是等比数列，并求其通项公式；(2)求数列的前项和.。
三模数学试题及答案
三模数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列哪个数是无理数？A. 2B. πC. 0.33333D. √4答案：B2. 如果一个函数的导数为0，那么这个函数在该点：A. 有极小值B. 有极大值C. 不是极值点D. 无法确定答案：C3. 一个圆的半径为3，那么它的面积是：A. 9πB. 18πC. 27πD. 36π答案：B4. 以下哪个不等式是正确的？A. |-3| < 2B. -3 ≤ -2C. 3 > -2D. 2 ≥ -3答案：D5. 已知集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，求A∪B：A. {1, 2, 3}B. {1, 2, 3, 4}C. {2, 3}D. {1, 4}答案：B6. 直线y=2x+3与x轴的交点坐标是：A. (-3/2, 0)B. (0, 3)C. (3/2, 0)D. (1, 2)答案：A7. 已知等差数列的首项a1=2，公差d=3，求第5项的值：A. 17B. 14C. 11D. 8答案：A8. 一个三角形的三边长分别为3, 4, 5，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能构成三角形答案：B9. 将函数f(x)=x^2-4x+3写成完全平方形式是：A. (x-2)^2-1B. (x-1)^2+2C. (x-3)^2+6D. (x-4)^2+5答案：A10. 已知一个事件的概率为0.5，那么它的对立事件的概率是：A. 0.5B. 0.3C. 0.2D. 0.7答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 若a, b互为相反数，则a+b=______。
答案：02. 一个正六边形的内角和为______。
答案：720°3. 将分数1/2化简为最简分数，结果是______。
答案：1/24. 已知一个等比数列的首项为1，公比为2，求第4项的值是______。
答案：85. 一个圆的直径为10，那么它的周长是______。
2023年河北省衡水二中高考数学三模试卷【答案版】
2023年河北省衡水二中高考数学三模试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集I ＝{x ∈N |x ≤10}，集合M ＝{1，2，3}，N ＝{2，4，6，8，10}，则∁I （M ∪N ）＝（ ） A ．{5，7，9} B ．{1，2，3，4，6，8，10} C ．{0，5，7，9}D ．{0，1，2，3，4，6，8，10}2．已知复数z ＝2+i ，且az −z +b =0，其中a ，b 为实数，则（ ） A ．a ＝﹣1，b ＝﹣4 B ．a ＝﹣1，b ＝4C ．a ＝1，b ＝﹣4D ．a ＝1，b ＝43．已知向量a →，b →满足|a →|=2|b →|=2，(a →−b →)⋅(2a →+b →)=8，则a →与b →的夹角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π64．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 是线段C 1D 1（不含端点）上的动点，N 为BC 的中点，则（ ） A ．BD ⊥AM B ．平面A 1BD ⊥平面AD 1M C ．MN ∥平面A 1BDD ．CM ∥平面A 1BD5．第19届亚运会将于2023年9月在杭州举行，在杭州亚运会三馆（杭州奥体中心主体育馆、游泳馆和综合训练馆）对外免费开放预约期间，甲、乙、丙、丁4人预约参观，且每人预约了1个或2个馆，则这4人中每个馆恰有2人预约的不同方案有（ ） A ．76种B ．82种C ．86种D ．90种6．函数f(x)=2sin(ωx −π6)+m(0＜ω＜4)的部分图象如图所示，则f(20233)=（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．√3−17．若a =√e1010，b =√e 10−1，c =lg √35则（ ） A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜c ＜b8．已知球O 的半径为2，三棱锥O ﹣ABC 底面上的三个顶点均在球O 的球面上，∠BAC =2π3，BC =√3，则三棱锥体积的最大值为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．√22二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，则（ ） A ．异面直线AD 与BC 1所成的角为45° B ．异面直线BD 1与AD 所成角的正切值为√22C ．直线AD 与平面BB 1D 1D 所成的角为45°D ．直线BD 1与平面ABCD 所成角的正切值为√2210．已知函数f （x ）＝tan x sin x ，则（ ） A ．f （x ）是偶函数B ．f （x ）在区间(π2，π)上单调递减C ．f （x ）的图象与x 轴相切D ．f （x ）的图象关于点（π，0）中心对称11．已知曲线C ：x 2m−1+y 2m =1是顶点分别为A ，B 的双曲线，点M （异于A ，B ）在C 上，则（ ） A ．0＜m ＜1B ．C 的焦点为（1，0），（﹣1，0）C ．C 的渐近线可能互相垂直D ．当m =12时，直线MA ，MB 的斜率之积为112．已知函数f （x ）的定义域为R ，h （x ）＝f （x ）+f （2﹣x ）是奇函数，h （x ）的导函数为h ′（x ），则（ ） A ．h （1）＝0 B ．f （6）＝﹣f （﹣4） C ．h ′（1）＝0D ．f ′（6）＝f ′（﹣4）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．(2x +1x)(x −1x)6的展开式中x 3的系数为 ．（用数字作答）14．若圆C 1：x 2+y 2=1和C 2：x 2+y 2−2√3ax −2ay −5a =0(a ＞12)有且仅有一条公切线，则a ＝ ；此公切线的方程为 ．15．已知函数f （x ）＝ax 2﹣e x 在区间[1，3]上有两个零点，则实数a 的取值范围是 ．16．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为C 上的动点．若|PF 1|+|PF 2|=4√3，且点P 到直线x ﹣y +6＝0的最小距离为√2，则C 的离心率为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，12S n =a n −2n−1．（1）证明：{a n2n−1}是等差数列；（2）求数列{a n+1a n}的前n 项积． 18．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin C cos B ﹣2sin B cos C ＝0． （1）证明：c 2−b 2=13a 2；（2）若a ＝3，点D 在BC 边上，且AD ⊥BC ，AD =√3，求△ABC 的周长．19．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，AB ∥CD ，CP ⊥CD ，CD ＝2AB ＝2，AP ＝AC ＝AD ． （1）证明：平面PBC ⊥平面PCD ；（2）已知CP =√2BC =2，DQ →=λDP →，λ∈[0，1]．若平面ABP 与平面ACQ 夹角的余弦值为√36，求λ的值．20．（12分）某医疗科研小组为研究某市市民患有疾病A 与是否具有生活习惯B 的关系，从该市市民中随机抽查了100人，得到如下数据：（1）依据α＝0.01的独立性检验，能否认为该市市民患有疾病A 与是否具有生活习惯B 有关？ （2）从该市市民中任选一人，M 表示事件“选到的人不具有生活习惯B ”，N 表示事件“选到的人患有疾病A ”，试利用该调查数据，给出P （N|M ）的估计值；（3）从该市市民中任选3人，记这3人中具有生活习惯B ，且末患有疾病A 的人数为X ，试利用该调查数据，给出X 的数学期望的估计值．附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ．21．（12分）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过点M(1，32)，N(−23，2√63)． （1）求E 的方程；（2）已知P （2，0），是否存在过点G （﹣1，0）的直线l 交E 于A ，B 两点，使得直线P A ，PB 的斜率之和等于﹣1？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由． 22．（12分）已知函数f(x)=e x −e2x 2−ax(a ∈R)． （1）若f （x ）在R 上是增函数，求a 的取值范围；（2）若当a ∈(0，1e )时，f （x ）有两个极值点m ，n ，证明：f(m)−f(n)m−n＜e −1．2023年河北省衡水二中高考数学三模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集I ＝{x ∈N |x ≤10}，集合M ＝{1，2，3}，N ＝{2，4，6，8，10}，则∁I （M ∪N ）＝（ ） A ．{5，7，9} B ．{1，2，3，4，6，8，10} C ．{0，5，7，9}D ．{0，1，2，3，4，6，8，10}解：由已知得M ∪N ＝{1，2，3，4，6，8，10}， 全集I ＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}， 故∁I （M ∪N ）＝{0，5，7，9}． 故选：C ．2．已知复数z ＝2+i ，且az −z +b =0，其中a ，b 为实数，则（ ） A ．a ＝﹣1，b ＝﹣4 B ．a ＝﹣1，b ＝4C ．a ＝1，b ＝﹣4D ．a ＝1，b ＝4解：因为z =2−i ，所以az −z +b =a(2+i)−(2−i)+b =(2a +b −2)+(a +1)i ， 由az −z +b =0，得{2a +b −2=0a +1=0，即{a =−1b =4．故选：B ．3．已知向量a →，b →满足|a →|=2|b →|=2，(a →−b →)⋅(2a →+b →)=8，则a →与b →的夹角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解：因为(a →−b →)⋅(2a →+b →)=2|a →|2−a →⋅b →−|b →|2=8．又|a →|=2|b →|=2，所以a →⋅b →=−1．所以cos〈a →，b →〉=a →⋅b→|a →|⋅|b →|=−12，因为0≤〈a →，b →〉≤π，所以a →与b →的夹角为2π3．故选：C ．4．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 是线段C 1D 1（不含端点）上的动点，N 为BC 的中点，则（ ）A ．BD ⊥AMB ．平面A 1BD ⊥平面AD 1MC ．MN ∥平面A 1BDD ．CM ∥平面A 1BD解：因为A 1D ⊥AD 1，A 1D ⊥C 1D 1，AD 1∩C 1D 1＝D 1，AD 1，C 1D 1⊂平面AD 1M ， 所以A 1D ⊥平面AD 1M ，又A 1D ⊂平面A 1BD ， 所以平面A 1BD ⊥平面AD 1M ，故B 正确；以点D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：设AB ＝2，则B （2，2，0），A 1（2，0，2），A （2，0，0），C （0，2，0），N （1，2，0）， 设M （0，y ，2）（0＜y ＜2），则DB →=(2，2，0)，DA 1→=(2，0，2)， 设平面A 1BD 的法向量为m →=(x 1，y 1，z 1)，则有{m →⋅DA 1→=2x 1+2z 1=0，m →⋅DB →=2x 1+2y 1=0，可取x 1＝1，解得{y 1=−1z 1=−1，∴m →=(1，−1，−1)，又AM →=(−2，y ，2)，则DB →⋅AM →=(2，2，0)⋅(−2，y ，2)=2y −4≠0，故A 不正确；因为CM →=(0，y −2，2)，所以m →⋅CM →=(1，−1，−1)⋅(0，y −2，2)=−y ≠0，故D 不正确； 因为MN →=(1，2−y ，−2)，所以m →⋅MN →=(1，−1，−1)⋅(1，2−y ，−2)=1+y ≠0，故C 不正确． 故选：B ．5．第19届亚运会将于2023年9月在杭州举行，在杭州亚运会三馆（杭州奥体中心主体育馆、游泳馆和综合训练馆）对外免费开放预约期间，甲、乙、丙、丁4人预约参观，且每人预约了1个或2个馆，则这4人中每个馆恰有2人预约的不同方案有（ ） A ．76种B ．82种C ．86种D ．90种解：由题意知这4人中恰有2人均预约了2个馆，剩下2人均预约了1个馆，首先将4人分成2组，有C 42A 22=3种不同的分法，下面分2种情况：若预约2个馆的2人预约完全相同，有A 32=6种不同的结果；若预约2个馆的2人有预约1馆相同，有C 31C 21A 22A 22=24种不同的结果，所以每个馆恰有2人预约的不同方案有3×（6+24）＝90（种）． 故选：D ．6．函数f(x)=2sin(ωx −π6)+m(0＜ω＜4)的部分图象如图所示，则f(20233)=（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．√3−1解：由图可知m ＝﹣1，且过点（1，0），代入解析式可知ω−π6=5π6+2kπ，k ∈Z ， 即ω＝π+2k π（k ∈Z ）． 因为0＜ω＜4，所以ω＝π， 所以f(x)=2sin(πx −π6)−1， 所以f(20233)=2sin(2023π3−π6)−1=2sin(674π+π3−π6)−1=2sin π6−1=0． 故选：C ．7．若a =√e1010，b =√e 10−1，c =lg √35则（ ） A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜c ＜b解：b −a =√e 10−√e1010−1=e110−110e 110−1．令f （x ）＝e x ﹣xe x ﹣1，则f ′（x ）＝﹣xe x ．所以当x ∈（﹣∞，0）时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增； 当x ∈（0，+∞）时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，所以f （x ）≤f （0）＝0，即e x ﹣1≤xe x ，当且仅当x ＝0时，等号成立． 所以b ＜a ．将不等式e x ﹣1≤xe x 中的x 换为﹣x ，可得e x ﹣1≥x ， 当且仅当x ＝0时，等号成立，所以b ＞110；又c =lg √35=15lg3=110lg9＜110lg10=110， 所以c ＜b ． 故c ＜b ＜a ． 故选：B ．8．已知球O 的半径为2，三棱锥O ﹣ABC 底面上的三个顶点均在球O 的球面上，∠BAC =2π3，BC =√3，则三棱锥体积的最大值为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．√22解：设球O 的半径为R ，△ABC 所在外接圆的半径为r ， 由BC sinA=2r ，得√3√32=2r ，r ＝1，设三棱锥的高为h ，则h 2＝R 2﹣r 2＝22﹣1＝3，所以ℎ=√3； 在△ABC 中，如图：A 点在劣弧BC ̂上运动，显然当A 点为BC ̂的中点时，高AD 最大， AD 的最大值为BC 2×tanπ6=12，△ABC 面积的最大值为12×12×√3=√34， 三棱锥O ﹣ABC 体积的最大值=13×√3×√34=14． 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，则（ ） A ．异面直线AD 与BC 1所成的角为45° B ．异面直线BD 1与AD 所成角的正切值为√22C ．直线AD 与平面BB 1D 1D 所成的角为45°D ．直线BD 1与平面ABCD 所成角的正切值为√22解：如图，连接BC 1，BD ，BD 1，CD 1．因为BC ∥AD ，所以∠C 1BC ＝45°为直线AD 与BC 1所成的角，故A 正确． 显然，∠D 1BC 为直线BD 1与AD 所成的角．因为在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，BC ⊥平面CC 1D 1D ，所以BC ⊥CD 1． 在Rt △BCD 1中，tan ∠D 1BC =CD 1BC=√2，故B 错误． 连接AC ，设AC ∩BD ＝O ．因为BB 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥B 1B ． 因为在正方形ABCD 中，AC ⊥BD ，BD ∩B 1B ＝B ，所以AC ⊥平面BB 1D 1D ． 所以∠ADO ＝45°为直线AD 与平面BB 1D 1D 所成的角，故C 正确． 因为DD 1⊥平面ABCD ，所以∠D 1BD 为直线BD 1与平面ABCD 所成的角． 在Rt △BDD 1中，tan ∠D 1BD =DD 1BD =√22，故D 正确． 故选：ACD ．10．已知函数f （x ）＝tan x sin x ，则（ ） A ．f （x ）是偶函数B ．f （x ）在区间(π2，π)上单调递减C ．f （x ）的图象与x 轴相切D ．f （x ）的图象关于点（π，0）中心对称解：由题意知f （x ）的定义域为{x|x ≠π2+kπ，k ∈Z}，定义域关于原点对称，因为f （﹣x ）＝tan （﹣x ）sin （﹣x ）＝（﹣tan x ）（﹣sin x ）＝f （x ），所以f （x ）是偶函数，故A 正确；因为x ∈(π2，π)时，f ′（x ）=(sin 2x cosx )′=(1cosx −cosx)′=sinx(1+1cos 2x)＞0，所以f （x ）在区间(π2，π)上单调递增，故B 错误； 因为f （k π）＝0，则f ′（k π）＝0，k ∈Z ，所以f （x ）的图象在点（k π，0）（k ∈Z ）处的切线方程为y ＝0，故C 正确；因为f(π4)=√22，f(7π4)=√22≠−f(π4)，所以f （x ）的图象不关于点（π，0）对称，故D 错误． 故选：AC ．11．已知曲线C ：x 2m−1+y 2m =1是顶点分别为A ，B 的双曲线，点M （异于A ，B ）在C 上，则（ ） A ．0＜m ＜1B ．C 的焦点为（1，0），（﹣1，0）C．C的渐近线可能互相垂直D．当m=12时，直线MA，MB的斜率之积为1解：若C是双曲线，则m（m﹣1）＜0，解得0＜m＜1，此时曲线C：y2m−x21−m=1表示焦点在y轴上的双曲线，其焦点为（0，1），（0，﹣1），故选项A正确、选项B错误；C的渐近线方程为y=±√m1−m x，当m=12时，C的渐近线的斜率为±1，此时两条渐近线互相垂直，满足题意，故选项C正确；当m=12时，C：y212−x212=1，其顶点坐标分别为A(0，√22)，B(0，−√22)，设M（x0，y0），则k MA⋅k MB=y0−√22x0⋅y0+√22x0=y02−12x02=x02x02=1，故选项D正确．故选：ACD．12．已知函数f（x）的定义域为R，h（x）＝f（x）+f（2﹣x）是奇函数，h（x）的导函数为h′（x），则（）A．h（1）＝0B．f（6）＝﹣f（﹣4）C．h′（1）＝0D．f′（6）＝f′（﹣4）解：因为h（x）是奇函数，所以h（x）＝﹣h（﹣x），且h（0）＝0．又h（2﹣x）＝f（2﹣x）+f（x）＝h（x），所以h（2﹣x）＝﹣h（﹣x），即h（2+x）＝﹣h（x）．令x等价于x+2，所以h（4+x）＝﹣h（x+2）＝h（x），所以4是h（x）的一个周期，所以h（6）＝h（2）＝﹣h（0）＝0，得f（6）+f（2﹣6）＝0，即f（6）＝﹣f（﹣4），故B正确．由h（x）＝﹣h（﹣x），得h′（x）＝h′（﹣x）．又h′（x）＝f′（x）﹣f′（2﹣x），所以h′（2﹣x）＝﹣h′（x），所以h′（2﹣x）＝﹣h′（﹣x），即h′（2+x）＝﹣h′（x）．所以h′（4+x）＝h′（x），所以4也是h′（x）的一个周期，所以h′（1）＝﹣h′（1），得h′（1）＝0，故C正确．取f(x)=12sinπ2x，则ℎ(x)=sinπ2x，显然h（x）是奇函数，符合题意．此时ℎ′(x)=π2cosπ2x，但h（1）＝1，故A错误；因为ℎ′(6)=−π2，所以f′(6)−f′(−4)=−π2，得f′（6）≠f′（﹣4），故D错误．故选：BC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．(2x+1x )(x−1x)6的展开式中x3的系数为24．（用数字作答）解：因为(2x +1x )(x −1x )6=2x(x −1x )6+1x (x −1x)6，其中(x −1x )6展开式的通项公式为T r+1=C 6r x 6−r (−1x )r =(−1)r C 6r x 6−2r（0≤r ≤6且r ∈N ）， 所以(2x +1x )(x −1x )6的展开式中含x 3的项为2x ⋅C 62x 2−x −1⋅C 61x 4=24x 3，所以(2x +1x )(x −1x )6的展开式中x 3的系数为24． 故答案为：24．14．若圆C 1：x 2+y 2=1和C 2：x 2+y 2−2√3ax −2ay −5a =0(a ＞12)有且仅有一条公切线，则a ＝ 1 ；此公切线的方程为 √3x +y +2=0 解：如图，由题意得C 1与C 2相内切，又C 2：(x −√3a)2+(y −a)2=4a 2+5a(a ＞12)， 所以|C 1C 2|=√3a 2+a 2=√4a 2+5a −1， 所以2a +1=√4a 2+5a ，解得a ＝1， 所以C 2(√3，1)，k C 1C 2=1√3=√33． 联立{x 2+y 2=1(x −√3)2+(y −1)2=9，解得{x =−√32，y =−12，所以切点的坐标为(−√32，−12)，故所求公切线的方程为y +12=−√3(x +√32)，即√3x +y +2=0． 故答案为：1；√3x +y +2=0．15．已知函数f （x ）＝ax 2﹣e x在区间[1，3]上有两个零点，则实数a 的取值范围是 (e 24，e 39] ．解：令f （x ）＝0，则a =e xx2，令m （x ）=e x x 2，则m ′（x ）=(x−2)e xx 3，故当x ∈[1，2）时，m ′（x ）＜0，m （x ）单调递减； 当x ∈（2，3]时，m ′（x ）＞0，m （x ）单调递增， 而m （1）＝e ，m （3）=e 39，m （2）=e 24，∵e e 39=9e2＞1，∴e ＞e 39，∵函数f （x ）在[1，3]上有两个零点，∴方程a =e xx 2在[1，3]上有两个实根，∴e 24＜m(x)≤e 39，∴e 24＜a ≤e 39，即实数a 的取值范围为(e 24，e 39]． 故答案为：(e 24，e 39]．16．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为C 上的动点．若|PF 1|+|PF 2|=4√3，且点P 到直线x ﹣y +6＝0的最小距离为√2，则C 的离心率为√63． 解：由题意知2a =4√3，解得a =2√3，将直线x ﹣y +6＝0沿着其法向量方向向右下方平移√2单位， 因为直线倾斜角为45°，那么在竖直方向向下移动了2个单位，此时直线为x ﹣y +4＝0，且与C 相切．联立{x 212+y 2b 2=1x −y +4=0，得（12+b 2）x 2+96x +12（16﹣b 2）＝0，所以Δ＝962﹣48（12+b 2）（16﹣b 2）＝0，解得b 2＝4，所以c 2＝a 2﹣b 2＝8，即c =2√2， 所以e =ca =√223=√63，即C 的离心率为√63． 故答案为：√63．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，12S n =a n −2n−1．（1）证明：{a n2n−1}是等差数列； （2）求数列{an+1a n}的前n 项积．（1）证明：由12S n =a n −2n−1，得12S n+1=a n+1−2n ．所以12(S n+1−S n )=a n+1−a n −2n−1，即12a n+1=a n+1−a n −2n−1，整理得a n+1−2a n =2n ，上式两边同时除以2n ，得a n+12n −a n 2n−1=1．又12S n =a n −2n−1，所以12a 1=a 1−1，即a 1＝2， 所以{a n2n−1}是首项为2，公差为1的等差数列． （2）解：由（1）知，a n 2n−1=2+(n −1)×1=n +1．所以a n =(n +1)×2n−1． 所以a 2a 1×a 3a 2×a 4a 3×⋯×a n−1a n−2×a n a n−1×a n+1a n=a n+1a 1=(n+2)×2n2=(n +2)×2n−1．18．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin C cos B ﹣2sin B cos C ＝0． （1）证明：c 2−b 2=13a 2；（2）若a ＝3，点D 在BC 边上，且AD ⊥BC ，AD =√3，求△ABC 的周长． 解：（1）证明：因为sin C cos B ﹣2sin B cos C ＝0，则由正余弦定理可得：c ⋅a 2+c 2−b 22ac −2b ⋅a 2+b 2−c 22ab=0， 化简可得：c 2−b 2=13a 2； （2）因为a ＝3，则c 2﹣b 2=13×32=3， 如图所示：设BD ＝x ，则CD ＝3﹣x ， 在直角三角形ABD 和直角三角形ACD 中，由勾股定理可得：AB 2＝AD 2+BD 2，AC 2＝CD 2+AD 2，即c 2＝3+x 2，b 2＝3+（3﹣x ）2，则c 2﹣b 2＝6x ﹣9＝3，解答x ＝2， 则c 2＝3+4＝7，b 2＝3+1＝4，所以c =√7，b ＝2， 所以三角形ABC 的周长为a +b +c ＝3+2+√7=5+√7．19．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，AB ∥CD ，CP ⊥CD ，CD ＝2AB ＝2，AP ＝AC ＝AD ．（1）证明：平面PBC ⊥平面PCD ；（2）已知CP =√2BC =2，DQ →=λDP →，λ∈[0，1]．若平面ABP 与平面ACQ 夹角的余弦值为√36，求λ的值．解：（1）证明：如图，取PC ，PD 的中点分别为E ，F ，连接BE ，AF ，EF ，CF ， 所以EF ∥CD ，且EF =12CD ， 又AB ∥CD ，CD ＝2AB ， 所以EF ∥AB ，且EF ＝AB ， 所以四边形ABEF 为平行四边形， 所以AF ∥BE ，因为AP ＝AD ，PF ＝DF ， 所以AF ⊥PD ，因为CP ⊥CD ，PF ＝DF ， 所以CF ＝DF ＝PF ， 又AP ＝AC ， 所以△P AF ≌△CAF ，所以∠CF A ＝∠PF A ＝90°，即AF ⊥CF ． 又PD ∩CF ＝F ，PD ，CF ⊂平面PCD ， 所以AF ⊥平面PCD ， 所以BE ⊥平面PCD ． 又BE ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PCD ．（2）由（1）知，BE ⊥平面PCD ，因为EF ，CP ⊂平面PCD ， 所以BE ⊥EF ，BE ⊥CP ， 所以∠BEC ＝90°．在Rt △BEC 中，CE =12CP =1，BC =√2， 则BE =√BC 2−CE 2=1，则AF ＝1．因为CP ⊥CD ，EF ∥CD ， 所以EF ⊥CP ，所以CP ，EF ，BE 两两垂直，以E 为坐标原点，向量EP →，EF →，EB →的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系，则A （0，1，1），B （0，0，1），P （1，0，0），C （﹣1，0，0），D （﹣1，2，0）， 所以BA →=(0，1，0)，BP →=(1，0，−1)，CA →=(1，1，1)，CD →=(0，2，0)，DP →=(2，−2，0)． 由DQ →=λDP →，λ∈[0，1]，得CQ →=CD →+DQ →=CD →+λDP →=(0，2，0)+λ(2，−2，0)=(2λ，2−2λ，0)． 设平面ABP 的法向量为m →=(x 1，y 1，z 1)，则{m →⋅BA →=y 1=0m →⋅BP →=x 1−z 1=0，取x 1＝1，则z 1＝1，得平面ABP 的一个法向量为m →=(1，0，1)， 设平面ACQ 的法向量为n →=(x 2，y 2，z 2)， 则{n →⋅CA →=x 2+y 2+z 2=0n →⋅CQ →=2λx 2+(2−2λ)y 2=0， 取x 2＝1﹣λ，则y 2＝﹣λ，z 2＝2λ﹣1， 所以n →=(1−λ，−λ，2λ−1)， 设平面ABP 与平面ACQ 的夹角为θ，则cosθ=|cos〈m →，n →〉|=|m →⋅n →||m →||n →|=√1+0+1×√(1−λ)+(−λ)+(2λ−1)=√36，解得λ=13， 故λ的值为13．20．（12分）某医疗科研小组为研究某市市民患有疾病A与是否具有生活习惯B的关系，从该市市民中随机抽查了100人，得到如下数据：（1）依据α＝0.01的独立性检验，能否认为该市市民患有疾病A与是否具有生活习惯B有关？（2）从该市市民中任选一人，M表示事件“选到的人不具有生活习惯B”，N表示事件“选到的人患有疾病A”，试利用该调查数据，给出P（N|M）的估计值；（3）从该市市民中任选3人，记这3人中具有生活习惯B，且末患有疾病A的人数为X，试利用该调查数据，给出X的数学期望的估计值．附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．解：（1）由已知得列联表如下：零假设为H0：该市市民患有疾病A与是否具有生活习惯B无关．根据列联表中的数据，经计算得到：χ2=100×(40×25−15×20)245×55×40×60≈8.249＞6.635=x0.01．依据α＝0.01的独立性检验，推断H0不成立，即认为该市市民患有疾病A与是否具有生活习惯B有关，此推断犯错误的概率不大于0.01．（2）由（1）数据可得：P(M)=45100=920，P(NM)=20100=15，所以P(N|M)=P(NM)P(M)=15920=49．（3）由题意知可用B(3，15)估计X 的分布， 所以E （X ）的估计值为np =3×15=35．21．（12分）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过点M(1，32)，N(−23，2√63)． （1）求E 的方程；（2）已知P （2，0），是否存在过点G （﹣1，0）的直线l 交E 于A ，B 两点，使得直线P A ，PB 的斜率之和等于﹣1？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由． 解：（1）设椭圆E 的方程为mx 2+ny 2＝1（m ＞0，n ＞0，m ≠n ），由点M(1，32)，N(−23，2√63)在E 上，得{m +94n =149m +83n =1，解得m =14，n =13，所以E 的方程为x 24+y 23=1．（2）存在，理由如下．显然直线l 不垂直于x 轴，设直线l 的方程为x ＝ky ﹣1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由{x =ky −1x 24+y 23=1消去x 得：（3k 2+4）y 2﹣6ky ﹣9＝0， 则y 1+y 2=6k 3k 2+4，y 1y 2=−93k 2+4，得x 1+x 2=k(y 1+y 2)−2=−83k 2+4，x 1x 2=(ky 1−1)(ky 2−1)=k 2y 1y 2−k(y 1+y 2)+1=−9k23k 2+4−6k23k 2+4+1=−12k 2+43k 2+4，因此y 1x 1−2+y 2x 2−2=y 1x 2+y 2x 1−2(y 1+y 2)x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=y 1(ky 2−1)+y 2(ky 1−1)−2(y 1+y 2)x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=2ky 1y 2−3(y 1+y 2)x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=−18k 3k 2+4−18k3k 2+4−12k 2+43k 2+4+163k 2+4+4=−k =−1，解得k ＝1，所以存在符合要求的直线l ，其方程为x ﹣y +1＝0． 22．（12分）已知函数f(x)=e x −e2x 2−ax(a ∈R)． （1）若f （x ）在R 上是增函数，求a 的取值范围；（2）若当a ∈(0，1e )时，f （x ）有两个极值点m ，n ，证明：f(m)−f(n)m−n＜e −1．解：（1）已知f(x)=e x −e2x 2−ax(a ∈R)，函数定义域为R ， 可得f '（x ）＝e x ﹣ex ﹣a ， 若f （x ）在R 上是增函数， 此时e x ﹣ex ﹣a ≥0，即a ≤e x ﹣ex 在x ∈R 上恒成立， 需满足a ≤（e x ﹣ex ）min ，不妨设g （x ）＝e x ﹣ex ，函数定义域为R ， 可得g '（x ）＝e x ﹣e ，当x ＞1时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增； 当x ＜1时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减， 所以g （x ）≥g （1）＝0， 则a ≤0；（2）证明：因为a ∈(0，1e)，不妨设m ＞n ， 所以f ′（x ）＝0有2个不同的解m ，n ，由（1）可知n ＜1＜m 且f ′（m ）＝f ′（n ）＝0， 要证f(m)−f(n)m−n＜e −1，即证f （m ）﹣（e ﹣1）m ＜f （n ）﹣（e ﹣1）n ，不妨设h （t ）＝f （t ）﹣（e ﹣1）t ＝e t −e2t ²﹣at ﹣（e ﹣1）t ， 可得h ′（t ）＝e t ﹣et ﹣a ﹣e +1，因为h ′（0）＝e 0﹣a ＞0，h ′（2）＝e ²﹣2e ﹣a ＞0， 所以0＜n ＜1＜m ＜2，不妨设k （t ）＝h ′（t ），可得k ′（t ）＝e t ﹣e ， 当t ＞1时，k ′（t ）＞0，k （t ）单调递增； 当t ＜1时，k ′（t ）＜0，k （t ）单调递减，所以h ′（t ）在（1，2）上单调递增，在（0，1）上单调递减， 又h ′（0）＝2﹣a ﹣e ＜0，h '（2）＜0，所以h '（t ）＜0， 即h （t ）在（0，2）上单调递减， 故h （m ）＜h （n ），即原命题得证．。
高三数学第三次模拟试题含解析 试题
2021届高三数学第三次模拟试题〔含解析〕本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
一、单项选择题：此题一共8小题，每一小题5分，一共40分．在每一小题给出的四个选项里面只有一项是哪一项符合题目要求的． 1.假设复数321iz i =+〔i 为虚数单位〕，那么复数z 在复平面上对应的点所在的象限为〔 〕 A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】先利用复数的四那么运算得到1z i =-+，从而得到复数对应的点，故可得正确的选项.【详解】()()321221111(1)i i i iz i i i i i +====-++--+， 复数z 在复平面上对应的点为()1,1-，该点在第二象限， 故复数z 在复平面上对应的点所在的象限为第二象限， 应选：B.【点睛】此题考察复数的四那么运算以及复数的几何意义，注意复数的除法是分子分母同乘以分母的一共轭复数，此题属于根底题.2.全集U =R ，集合{}20M x R x x =∈-≤，集合{}cos ,N y R y x x R =∈=∈，那么()UM N ⋂=〔 〕 A. [)1,0- B. ()0,1C. (),0-∞D. ∅【答案】A 【解析】化简集合M ，N ，根据集合的交集、补集运算求解即可. 【详解】{}20[0,1]M x R x x =∈-≤=,{}cos ,[1,1]N y R y x x R =∈=∈=-,(,0)(1,)U M ∴=-∞+∞,()[)1,0U M N =-∴⋂,应选：A【点睛】此题主要考察了集合的交集、补集运算，考察了一元二次不等式，余弦函数，属于容易题. 3.如图是一个22⨯列联表，那么表中a 、b 处的值分别为〔 〕A. 96，94B. 60，52C. 52，54D. 50，52【答案】B 【解析】 【分析】根据表格中的数据可先求出d 、c 的值，再结合总数为106可分别求得a 和b 的值.【详解】由表格中的数据可得33258c =-=，212546d =+=，1064660a ∴=-=，60852b =-=.【点睛】此题考察列联表的完善，考察计算才能，属于根底题.4.假设直线21:320l a x y -+=，2:250l ax y a +-=．:0p a =，1:q l 与2l 平行，那么以下选项里面正确的〔 〕A. p 是q 的必要非充分条件B. q 是p 的充分非必要条件C. p 是q 的充分非必要条件D. q 是p 的非充分也非必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据1l 与2l 平行，得到0a =或者65a =-，再根据集合的关系判断充分性和必要性得解. 【详解】因为1l 与2l 平行，所以25(3)20,0a a a ⨯--⨯=∴=或者65a =-.经检验，当0a =或者65a =-时，两直线平行.设{|0}A a a ==，{|0B a a ==或者6}5a =-，因为A B ,所以p 是q 的充分非必要条件. 应选：C.【点睛】此题主要考察两直线平行的应用，考察充分必要条件的判断，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度.5.在ABC 中，假如()cos 2cos 0B C C ++>，那么ABC 的形状为〔 〕 A. 钝角三角形 B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等腰三角形【答案】A 【解析】结合A B C π++=以及两角和与差的余弦公式，可将原不等式化简为2cos cos 0B A ->，即cos cos 0B A <，又A ，(0,)B π∈，所以cos B 与cos A 一正一负，故而得解.【详解】解：A B C π++=，cos(2)cos B C C ∴++()cos cos[()]B B C B A π=+++-+ cos[()]cos[()]B A B A ππ=+-+-+ cos[()]cos[()]B A B A ππ=+-+-+ cos()cos()B A B A =---+cos cos sin sin cos cos sin sin B A B A B A B A =---+2cos cos 0B A =->，cos cos 0B A ∴<，即cos B 与cos A 异号，又A ，(0,)B π∈， cos B ∴与cos A 一正一负，ABC ∴为钝角三角形．应选：A.【点睛】此题考察三角形形状的判断，涉及到三角形内角和、两角和与差的余弦公式，考察学生的逻辑推理才能和运算才能，属于根底题.6.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物〔鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪〕中的一种．现有十二生肖的桔祥物各一个，甲同学喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的桔祥物都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，假设各人所选取的礼物都是自己喜欢的，那么不同的选法有〔 〕 A. 50种 B. 60种C. 80种D. 90种【答案】C【分析】根据题意，按甲的选择不同分成2种情况讨论，求出确定乙，丙的选择方法，即可得每种情况的选法数目，由分类加法计数原理，即可求出答案.【详解】解：根据题意，按甲的选择不同分成2种情况讨论： 假设甲选择牛，此时乙的选择有2种，丙的选择有10种， 此时有21020⨯=种不同的选法；假设甲选择马或者猴，此时甲的选法有2种，乙的选择有3种，丙的选择有10种， 此时有231060⨯⨯=种不同的选法； 那么一一共有206080+=种选法. 应选：C.【点睛】此题考察分步乘法和分类加法的计数原理的应用，属于根底题.7.在三棱柱111ABC A B C -中，AB BC AC ==，侧棱1AA ⊥底面ABC ，假设该三棱柱的所有顶点都在同一个球O 的外表上，且球O 的外表积的最小值为4π，那么该三棱柱的侧面积为〔 〕A. B. C. D. 3【答案】B 【解析】 【分析】设三棱柱的上、下底面中心分别为1O 、2O ，那么12O O 的中点为O ，设球O 的半径为R ，那么OA R =，设AB BC AC ==a =，1AA h =，在Rt △2OO A 中，根据勾股定理和根本不等式求出2R 的最小值为，结合可得ah =，从而可得侧面积. 【详解】如图：设三棱柱上、下底面中心分别为1O 、2O ，那么12O O 的中点为O ，设球O 的半径为R ，那么OA R =，设AB BC AC ==a =，1AA h =， 那么212OO h =，22333O A AB ==， 那么在Rt △2OO A 中，222222221143R OA OO O A h a ==+=+13223h a ≥⨯⨯33ah =， 当且仅当33h a =时，等号成立， 所以2344S R ππ=≥球43π=4π，所以3ah = 所以该三棱柱的侧面积为333ah =应选：B.【点睛】此题考察了球的外表积公式，根本不等式求最值，考察了求三棱柱的侧面积，属于根底题.8.函数()()26,75(2),5x x f x f x x ⎧+-≤<-⎪=⎨-≥-⎪⎩，假设函数()()()1g x f x k x =-+有13个零点，那么实数k 的取值范围为〔 〕 A. 11,86⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 11,86⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 1111,,6886⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D. 1111,,6886⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】 【分析】由题可知，设()|||1|h x k x =+，且()h x 恒过定点()1,0-，转化为函数()y f x =与函数()|||1|h x k x =+的图象有13个交点，画出函数()y g x =与函数()|||1|h x k x =+的图象，利用数形结合法，即可求出k 的取值范围.【详解】解：由题可知，函数()()|(1)|g x f x k x =-+有13个零点， 令()0g x =，有()|||1|f x k x =+，设()|||1|h x k x =+，可知()h x 恒过定点()1,0-， 画出函数()f x ，()h x 的图象，如下图：那么函数()y f x =与函数()|||1|h x k x =+的图象有13个交点，由图象可得：()()()517171h h h ⎧<⎪>⎨⎪-<⎩，那么·(51)1·(71)1·711k k k ⎧+<⎪+>⎨⎪-+<⎩，即11||86k <<， 解得：1(6k ∈-，11)(88-，1)6. 应选：D.【点睛】此题考察将函数零点的个数转化为函数图象交点问题，从而求参数的范围，考察转化思想和数形结合思想，属于中档题.二、多项选择题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分．在每一小题给出的四个选项里面，有多页符合题目要求．全部选对的得5分，局部选对的得3分，有选错的得0分． 9.将函数()()sin 0f x x ωω=>的图象向右平移12π个单位长度得到函数()y g x =的图象，假设函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调增函数，那么实数ω可能的取值为〔 〕A.23B. 1C.56D. 2【答案】ABC 【解析】 【分析】根据图象平移求得函数()y g x =的解析式，再利用函数的单调性列出不等式求得w 的取值范围，即可求解.【详解】由题意，将函数()()sin 0f x x ωω=>的图象向右平移12π个单位长度，得到函数()sin()12w y g x wx π==-的图象， 假设函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调增函数， 那么满足1222122w w w πππππ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解得605w <≤，所以实数w 的可能的取值为25,1,36. 应选：ABC【点睛】此题主要考察了三角函数的图象变换求函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的综合应用，着重考察推理与运算才能，属于根底题.10.在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．?张丘建算经?是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？〞．其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织一样数量的布，第一天织5尺，一个月一共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？〞．1匹4=丈，1丈10=尺，假设这一个月有30天，记该女子这一个月中的第n 天所织布的尺数为n a ，2n an b =，对于数列{}n a 、{}n b ，以下选项里面正确的为〔 〕 A. 1058b b =B. {}n b 是等比数列C. 130105a b =D.357246209193a a a a a a ++=++【答案】BD 【解析】 【分析】由题意可知，数列{}n a 为等差数列，求出数列{}n a 的公差，可得出数列{}n a 的通项公式，利用等比数列的定义判断出数列{}n b 是等比数列，然后利用数列{}n a 的通项公式即可判断出各选项的正误. 【详解】由题意可知，数列{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的公差为d ，15a =， 由题意可得130********d a ⨯+=，解得1629d =，()116129129n n a a n d +∴=+-=，2na nb =，1112222n n n n a a a d n a n b b ++-+∴===〔非零常数〕，那么数列{}n b 是等比数列，B 选项正确；16805532929d =⨯=≠，()553105222d d b b ==≠，1058b b ∴≠，A 选项错误； 3012951621a a d =+=+=，2113052105a b ∴=⨯>，C 选项错误；41161933532929a a d =+=+⨯=，51162094542929a a d =+=+⨯=， 所以，357552464432093193a a a a a a a a a a ++===++，D 选项正确.应选：BD.【点睛】此题考察等差数列和等比数列的综合问题，解答的关键就是求出数列的通项公式，考察计算才能，属于中等题. 11.曲线()32213f x x x ax =-+-上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，那么实数a 可能的取值〔 〕A.196B. 3C.103D.92【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，得出()f x 的导数，可令切点的横坐标为m ，求得切线的斜率，由题意可得关于m 的方程22230m m a -+-=有两个不等的正根，考虑判别式大于0，且两根之和大于0，两根之积大于0，计算可得a 的范围，即可得答案.【详解】解：由题可知，322()13f x x x ax =-+-， 那么2()22f x x x a '=-+， 可令切点的横坐标为m ，且0m >， 可得切线斜率2223k m m a =-+=，由题意，可得关于m 的方程22230m m a -+-=有两个不等的正根， 且可知1210m m +=>，那么1200m m ∆>⎧⎨>⎩，即48(3)0302a a -->⎧⎪⎨->⎪⎩，解得：732a <<， a ∴的取值可能为196，103.应选：AC.【点睛】此题考察导数的几何意义的应用，以及根据一元二次方程根的分布求参数范围，考察转化思想和运算才能.12.在如下图的棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在侧面11BCC B 所在的平面上运动，那么以下命题中正确的〔 〕A. 假设点P 总满足1PA BD ⊥，那么动点P 的轨迹是一条直线B. 假设点P 到点A 的间隔 2，那么动点P 的轨迹是一个周长为2π的圆C. 假设点P 到直线AB 的间隔 与到点C 的间隔 之和为1，那么动点P 的轨迹是椭圆D. 假设点P 到直线AD 与直线1CC 的间隔 相等，那么动点P 的轨迹是双曲线 【答案】ABD 【解析】 【分析】A.根据1BD ⊥平面1AB C ，判断点P 的轨迹；B.根据平面与球相交的性质，判断选项；C.由条件可转化为1PB PC +=，根据椭圆的定义判断；D.由条件建立坐标系，求点P 的轨迹方程，判断轨迹是否是双曲线.【详解】1A C 中，1,AC BD BB ⊥⊥平面ABCD ， 所以11,BB AC BB BD B ⊥=，所以AC ⊥平面11BB D D ，1BD ⊂平面11BB D D ，所以1AC BD ⊥，同理111,AB BD AB AC A ⊥=，所以1BD ⊥平面1AB C ，而点P 在侧面11BCC B 所在的平面上运动，且1PA BD ⊥， 所以点P 的轨迹就是直线1B C ，故A 正确；B.点P 的轨迹是以A 为球心，半径为2的球面与平面11BCC B 的交线， 即点P 的轨迹为小圆，设小圆的半径为r ， 球心A 到平面11BCC B 的间隔 为1，那么()2211r =-=，所以小圆周长22l r ππ==，故B 正确；C. 点P 到直线AB 的间隔 就是点P 到点B 的间隔 ， 即平面11BCC B 内的点P 满足1PB PC BC +==，即满足条件的点P 的轨迹就是线段BC ，不是椭圆，故C 不正确； D.如图，过P 分别做PM BC ⊥于点M ，1PE CC ⊥于点E ，那么PM ⊥平面ABCD ，所以PM AD ⊥，过M 做MN AD ⊥，连结PN ，PM MN M ⋂=，所以AD ⊥平面PMN ，所以PNAD ，如图建立平面直角坐标系，设(),P x y ，PM y =，那么221PN y =+，()221PE x =-，即()2211y x +=-，整理为：()2211x y --=，那么动点P 的轨迹是双曲线，故D 正确. 应选：ABD【点睛】此题考察立体几何中动点轨迹问题，截面的形状判断，重点考察空间想象才能，逻辑推理，计算才能，属于中档题型.三、填空题：此题一共4个小题，每一小题5分，一共20分．13.假设方程2211x y m m+=-表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数m 的取值范围为________．【答案】1(0,)2【解析】 【分析】根据题意，由椭圆的HY 方程的特点，结合条件列出不等式，求解即可得出实数m 的取值范围.【详解】解：由题可知，方程2211x y m m+=-表示焦点在y 轴上的椭圆，可得10m m ->>，解得：102m <<， 所以实数m 的取值范围为：1(0,)2. 故答案为：1(0,)2.【点睛】此题考察椭圆的HY 方程的特点，是根底知识的考察，属于根底题. 14.定义在(),-∞+∞的偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()112f -=-，假设()1212f x -≥-，那么x 的取值范围________． 【答案】01x ≤≤ 【解析】 【分析】由题意结合偶函数的性质可得()()1112f f =-=-，再由函数的单调性即可得1211-≤-≤x ，即可得解.【详解】因为()f x 为偶函数，()112f -=-，所以()()1112f f =-=-， 又()f x 在[)0,+∞单调递减，()1212f x -≥-， 所以1211-≤-≤x ，解得01x ≤≤. 所以x 的取值范围为01x ≤≤. 故答案为：01x ≤≤.【点睛】此题考察了函数奇偶性与单调性的综合应用，考察了运算求解才能与逻辑推理才能，属于根底题.15.假设()()()()()1721617012161721111x a a x a x a x a x -=+++++++++，那么〔1〕01216a a a a ++++=________； 〔2〕123162316a a a a ++++=________．【答案】 (1). 1721+ (2). ()161712⋅-【解析】 【分析】〔1〕化简二项式为()7171[3)]2(1x x =-+-，利用通项，求得171a =-，再令11x +=，求得0121611772a a a a a +++=++，即可求解；〔2〕令()()()()()21617012167171(21111)a a x a x a x x x a g x =+++++++++=-，求得()()()161217162117117(2)g a a x a x x x '=-⋅+++-=++，根据()0g '和〔1〕中171a =-，即可求解.【详解】〔1〕由题意，可化为()7171[3)]2(1x x =-+-，由1717171717[(1)](1)T C x x =-+=-+，可得171a =-，令11x +=，即0x =时，可得0121611772a a a a a +++=++，所以10121771167221a a a a a =-+=++++.〔2〕令()()()()()21617012167171(21111)a a x a x a x x x a g x =+++++++++=-，那么()()()()1516121617161217(216111)7g a a x x a x a x x '==++++⋅+-+-+，那么()12161617216177012a a a g a =++++'=-⋅，由〔1〕可得171717a =-， 所以161612316123721717()1126a a a a ++++=-⋅+=⋅-.【点睛】此题主要考察了二项展开式的应用，以及导数四那么运算的应用，其中解答中准确赋值，以及利用导数的运算合理构造是解答的关键，着重考察分析问题和解答问题的才能，属于中档试题. 16.1e ，2e 是平面上不一共线的两个向量，向量b 与1e ，2e 一共面，假设11e =，22e =，1e 与2e 的夹角为3π，且11b e ⋅=，22b e ⋅=，那么b =________．【答案】3【解析】 【分析】设12b xe ye =+，由11b e ⋅=，22b e ⋅=可得1x y +=，42x y +=，从而可求出21,33x y ==，那么2122133b e e ⎛⎫=+ ⎪⎭，即可求出模长.【详解】解：设12b xe ye =+，因为1e 与2e 的夹角为3π， 所以1212cos 13e e e e π⋅== ， 那么()122111121b e e x e ye e x e ye y x ⋅=⋅=++⋅=+=，()2222112242b e e y xe e x y x y e e e ⋅=⋅=+⋅=++=，解得21,33x y ==，那么22212121221414443399999b e e e e e e ⎛⎫=+=++⋅=++=⎪⎭故答案为. 【点睛】此题考察了向量的数量积运算，考察了平面向量根本定理，考察了向量模的求解.此题的难点是用12,e e 表示b .四、解答题：此题一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤． 17.如图，在直角梯形12AO O C 中，12//AO CO ，112AO O O ⊥，124O O =，22CO =，14AO =，点B 是线段12O O 的中点，将1ABO △，2BCO △分别沿AB ，BC向上折起，使1O ，2O 重合于点O ，得到三棱锥O ABC -．试在三棱锥O ABC -中，〔1〕证明：平面AOB ⊥平面BOC ；〔2〕求直线OC 与平面ABC 所成角的正弦值． 【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕23. 【解析】 【分析】〔1〕根据勾股定理的逆定理，得出AO OC ⊥，而AO OB ⊥，根据线面垂直的断定定理证出AO ⊥平面BOC ，最后利用面面垂直的断定定理，即可证明平面AOB ⊥平面BOC ；〔2〕以O 为坐标原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系，根据空间坐标的运算可得出()2,0,0OC →=和平面ABC 的法向量，利用空间向量法求夹角的公式，即可求出直线OC 与平面ABC 所成角的正弦值．【详解】解：〔1〕由题知：在直角梯形12AO O C 中，()222121220AC AO CO O O =-+=，所以在三棱锥O ABC -中，222AC AO OC =+，所以AO OC ⊥， 又因为AO OB ⊥，COOB O =，所以AO ⊥平面BOC ， 又因为AO ⊂平面AOB ， 所以，平面AOB ⊥平面BOC .〔2〕由〔1〕知：AO OC ⊥，AO OB ⊥，又BO OC ⊥，以O 为坐标原点，以,,OC OB OA 的方向分别作为x 轴，y 轴，z 轴的正方向， 建立如图空间直角坐标系O xyz -，所以()0,0,4A ，()0,2,0B ，()2,0,0C ，()2,0,0OC →=， 设(),,n x y z =为平面ABC 的法向量，()0,2,4AB →=-，()2,2,0BC →=-，由00n AB n BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得240220y z x y -=⎧⎨-=⎩，令2x =得：()2,2,1n =，设直线OC 与平面ABC 所成角为θ，所以2sin 3C OC O nnθ→→→→==⋅⋅， 所以直线OC 与平面ABC 所成角的正弦值为23.【点睛】此题考察线面垂直和面面垂直的断定定理，考察利用空间向量法求直线与平面所成角的正弦值，考察推理证明才能和运算求解才能.18.{}n a 为等差数列，1a ，2a ，3a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且1a ，2a ，3a 中的任何两个数都不在下表的同一列．请从①12a =，②11a =，③ 13a =的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列{}n a 存在；并在此存在的数列{}n a 中，试解答以下两个问题 〔1〕求数列{}n a 的通项公式； 〔2〕设数列{}n b 满足()121n n nb a +=-，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】〔1〕32n a n =-；〔2〕2293,2,22932,21,22n n n n k k N T n n n k k N **⎧-+=∈⎪⎪∴=⎨⎪--=-∈⎪⎩．【解析】【分析】(1)分别代入①12a =，②11a =，③ 13a =，结合条件可判断11a =，24a =，37a =，求出数列的公差，即可求出通项公式.(2)由(1)知()()12132n n b n +=--，当n 为偶数时，结合数列的求和的定义求出22222212312341n n n n T b b b b a a a a a a -=++++=-+-++-()1233n a a a a =-+++，由等差数列的求和公式即可求解；当n 为奇数时，1n n n T T b -=+即可求解.【详解】解：〔1〕假设选择条件①，当第一行第一列为1a 时，由题意知，可能的组合有，1232,6,7a a a ===不是等差数列，1232,9,8a a a ===不是等差数列；当第一行第二列为1a 时，由题意知，可能的组合有，1232,4,7a a a ===不是等差数列，1232,9,12a a a ===不是等差数列；当第一行第三列为1a 时，由题意知，可能的组合有，1232,4,8a a a ===不是等差数列，1232,6,12a a a ===不是等差数列，那么放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列{}n a 都不存在，假设选择条件②，那么放在第一行第二列，结合条件可知11a =，24a =，37a =， 那么公差213d a a =-=，所以()1132n a a n d n =+-=-，*n N ∈， 假设选择条件③，当第一行第一列为1a 时，由题意知，可能的组合有，1233,6,7a a a ===不是等差数列，1233,9,8a a a ===不是等差数列；当第一行第二列为1a 时，由题意知，可能的组合有，1233,4,7a a a ===不是等差数列，1233,9,12a a a ===不是等差数列；当第一行第三列为1a 时，由题意知，可能的组合有， 1233,4,8a a a ===不是等差数列，1233,6,12a a a ===不是等差数列，那么放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列{}n a 都不存在， 综上可知：32n a n =-，*n N ∈. 〔2〕由〔1〕知，()()12132n n b n +=--，所以当n 为偶数时，22222212312341n n n n T b b b b a a a a a a -=++++=-+-++-()()()()()()1212343441n n n n a a a a a a a a a a a a --=+-+-++++-()()21231329333222n n n a a a a n n +-=-+++=-⨯=-+，当n 为奇数时，()()()22219393113222222n n n T T b n n n n n -=+=--+-+-=-- ， 2293,2,22932,21,22n n n n k k N T n n n k k N **⎧-+=∈⎪⎪∴=⎨⎪--=-∈⎪⎩【点睛】此题考察了等差数列通项公式的求解，考察了等差数列的求和公式，考察了数列求和.此题的难点是第二问求和时，分情况讨论.19.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin sin cos cos cos A B CA B C+=+ 〔1〕假设ABC 还同时满足以下四个条件中的三个：①7a =，②10b =，③8c =，④ABC 的面积S = 〔2〕假设3a =，求ABC 周长L 的取值范围． 【答案】〔1〕①③④，理由见解析；〔2〕(]6,9． 【解析】 【分析】〔1〕首先条件变形，利用两角差的正弦公式变形，求得3A π=，再判断①②不能同时成立，最后根据③④判断能同时成立的第三个条件；〔2〕首先利用正弦定理边角互化，表示b B =，23c B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再利用三角函数恒等变形表示周长L 6sin 36B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，最后根据角B 的范围求周长的取值范围. 【详解】解：因为sin sin sin cos cos cos A B CA B C+=+ 所以sin cos sin cos cos sin cos sin A B A C A B A C +=+ 即sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B C A C A -=- 所以()()sin sin A B C A -=-因为A ，B ，()0,C π∈，所以A B C A -=-，即2A B C =+，所以3A π=〔1〕ABC 还同时满足条件①③④ 理由如下：假设ABC 同时满足条件①②那么由正弦定理得sin sin 1b B a A ==>，这不可能 所以ABC 不能同时满足条件①②， 所以ABC 同时满足条件③④所以ABC 的面积11822sin A b S bc ==⨯=⨯所以5b =与②矛盾所以ABC 还同时满足条件①③④〔2〕在ABC 中，由正弦定理得：sin sin sin b c aB C A===因为23C B π=-，所以b B =，23c B π⎛⎫=-⎪⎝⎭所以2s sin 3in 3a b B L c B π⎤⎛⎫=++=+-+⎪⎥⎝⎭⎦co 132s 62B B ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭6sin 36B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以5,666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，1sin ,162B π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦ 所以ABC 周长L 的取值范围为(]6,9.【点睛】此题考察三角恒等变形，正余弦定理解三角形，重点考察转化与化归的思想，计算才能，逻辑推理才能，属于中档题型.20.某居民用天然气实行阶梯价格制度，详细见下表：从该随机抽取10户〔一套住宅为一户〕同一年的天然气使用情况，得到统计表如下：〔1〕求一户居民年用气费y 〔元〕关于年用气量x 〔立方米〕的函数关系式；〔2〕现要在这10户家庭中任意抽取3户，求抽到的年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数的分布列与数学期望；〔3〕假设以表中抽到的10户作为样本估计全居民的年用气情况，现从全中依次抽取10户，其中恰有k 户年用气量不超过228立方米的概率为()P k ，求()P k 取最大值时的值．【答案】〔1〕(](]()3.25,0,2283.83132.24,228,3484.7435,348,x x y x x x x ⎧∈⎪=-∈⎨⎪-∈+∞⎩；〔2〕分布列见解析，数学期望为910；〔3〕6．【解析】 【分析】〔1〕由表格中的数据结合题意，即可求得一户居民年用气费y 〔元〕关于年用气量x 〔立方米〕的函数关系式；〔2〕由题意知10户家庭中年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户有3户，得到随机变量ξ可取0,1,2,3，利用超几何分布求得相应的概率，得到随机变量的分布列，进而求得期望；〔3〕由()10103255k kk P k C -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，列出不等式组由10110111010101101110103232555532325555k k k k k k k k k k k k C C C C -+--+---+-⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，求得k 的值，即可求解.【详解】〔1〕由题意，当(]0,228x ∈时， 3.25y x =； 当(]228,348x ∈时， 3.83132.24y x =-； 当()348,x ∈+∞时， 4.7435x y -=，所以年用气费y 关于年用气量x 的函数关系式为(](]()3.25,0,2283.83132.24,228,3484.7435,348,x x y x x x x ⎧∈⎪=-∈⎨⎪-∈+∞⎩.〔2〕由题知10户家庭中年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户有3户， 设取到年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数为ξ，那么ξ可取0,1,2,3，那么()373107024C P C ξ===，()217331021140C C P C ξ===， ()12733107240C C P C ξ===，()3331013120C P C ξ===，故随机变量ξ的分布列为：所以()721719012324404012010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 〔3〕由题意知()()1010320,1,2,3,1055kkk P k C k -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由10110111010101101110103232555532325555k k k k k k k k k k k k C C C C -+--+---+-⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，解得283355k ≤≤，*k N ∈， 所以当6k =时，概率()P k 最大，所以6k =.【点睛】此题主要考察了分段函数模型的性质及其应用，以及离散型随机变量的分布列与期望的求解，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于中档试题. 21.函数()ln xf x ae x =，〔其中 2.71828e =是自然对数的底数〕，()2ln g x x x a =+，0a >．〔1〕讨论函数()f x 的单调性；〔2〕设函数()()()h x g x f x =-，假设()0h x >对任意的()0,1x ∈恒成立，务实数a 的取值范围． 【答案】〔1〕在定义域()0,∞+上单调递增；〔2〕1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【解析】 【分析】〔1〕先求得()()l 1,n 0,xx f x ae x x ⎛⎫'=+∈+∞ ⎪⎝⎭，利用导数可得1ln 1x x+≥恒成立，故可得()f x 的单调区间.〔2〕()0h x >对任意的()0,1x ∈恒成立等价于()l n n l x xae ae xx >对任意()0,1x ∈恒成立，就1xae ≥和1x ae <结合()ln H x xx=的单调性分类讨论可得x ae x >对任意()0,1x ∈恒成立，参变别离后再次利用导数可求a 的取值范围.【详解】解：〔1〕因为()ln xf x ae x =，所以()()l 1,n 0,x x f x ae x x ⎛⎫'=+∈+∞ ⎪⎝⎭.令()ln 1k x x x =+，那么()21x k x x-'=， 当()0,1x ∈时，()0k x '<，函数()k x 单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()0k x '>，函数()k x 单调递增． 所以()()110k x k ≥=>，又因为0a >，0x e >， 所以()0f x '>，()f x 在定义域()0,∞+上单调递增.〔2〕由()0h x >得()()0g x f x ->，即2ln ln x ae x x x a <+，所以()ln ln ln xx xaex x ae x a ae +<=，即()l n n l xxae ae xx >对任意()0,1x ∈恒成立，设()ln H x x x =，那么()21ln xH x x-'= 所以，当()0,1x ∈时，()0H x '>，函数()H x 单调递增， 且当()1,x ∈+∞时，()0H x >，当()0,1x ∈时，()0H x <， 假设1x ae x ≥>，那么()()0x H ae H x ≥>，假设01x ae <<，因为()()xH aeH x >，且()H x 在()0,1上单调递增，所以xaex >，综上可知，x ae x >对任意()0,1x ∈恒成立，即x xa e>对任意()0,1x ∈恒成立. 设()x x G x e =，()0,1x ∈，那么()10xxG x e-'=>，所以()G x 在()0,1单调递增， 所以()()11a G x G e <=≤，即a 的取值范围为1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【点睛】此题考察函数的单调性以及含参数的不等式的恒成立，前者利用导数的符号来讨论，后者需等价变形把原不等式转化简单不等式的恒成立，再根据不等式的构造特征构建新函数来讨论，此题为较难题.22.直线1l 过坐标原点O 且与圆224x y +=相交于点A ，B ，圆M 过点A ，B 且与直线20y +=相切． 〔1〕求圆心M 的轨迹C 的方程；〔2〕假设圆心在x 轴正半轴上面积等于2π的圆W 与曲线C 有且仅有1个公一共点． 〔ⅰ〕求出圆W HY 方程；〔ⅱ〕斜率等于1-的直线2l ，交曲线C 于E ，F 两点，交圆W 于P ，Q 两点，求EF PQ的最小值及此时直线2l 的方程．【答案】〔1〕24x y =；〔2〕〔ⅰ〕()2232x y -+=；〔ⅱ〕EF PQ+2l 的方程为1y x =-+． 【解析】 【分析】〔1〕设(),M x y ，由题意结合圆的性质可得222MO OA MA +=、2r y MA =+=，代入化简即可得解；〔2〕〔ⅰ〕设圆W 与曲线C 的公一共点为()2,04t T t t ⎛⎫> ⎪⎝⎭，圆W 的HY 方程()()2220x a y a -+=>，由题意可得曲线C 在T 的切线l 与圆W 相切即l WT ⊥，由直线垂直的性质及点T 在圆W 上即可得解； 〔ⅱ〕设()11,E x y ，()22,F x y ，直线2:l y x m =-+，联立方程组结合弦长公式可得EF ，由垂径定理可得PQ ，确定m 的取值范围后，通过换元、根本不等式即可得解.【详解】〔1〕由题意圆224x y +=的圆心为()0,0，半径为2，直线1l 过坐标原点O ，所以坐标原点O 为AB 的中点，2AO =， 所以MO AO ⊥，设(),M x y ，所以222MO OA MA +=，又因为圆M 与直线20y +=相切，所以圆M 的半径2r y MA =+=， 所以()22242x y y ++=+，化简得M 的轨迹C 的方程为24x y =；〔2〕〔ⅰ〕由〔1〕知曲线C 为24x y =，设()24x f x =，那么()2x f x '=，设圆W 与曲线C 的公一共点为()2,04t T t t ⎛⎫> ⎪⎝⎭，那么曲线C 在T 的切线l 的斜率()2t k f t '==， 由题意，直线l 与圆W 相切于T 点，设圆W 的HY 方程为()()2220x a y a -+=>，那么圆W 的的圆心为(),0a ，那么直线WT 的斜率()2244WTt t kt a t a ==--， 因为l WT ⊥，所以()2124t t t a ⋅=--，即()380t t a +-= ， 又因为()22224t t a ⎛⎫-+=⎪⎝⎭，所以2232284t t ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以6441280t t +-=令2t λ=，那么3241280λλ+-=，所以()()322481280λλλ-+-=即()()248320λλλ-++=，所以4λ=，所以2t =，3a =，从而圆W 的HY 方程为()2232x y -+=； 〔ⅱ〕设()11,E x y ，()22,F x y ，直线2:l y x m =-+，由24y x mx y=-+⎧⎨=⎩得2440x x m +-=，所以124x x +=-，124x x m =-，所以EF ==又因为圆W 的圆心()3,0到直线PQ 的间隔，所以PQ ==所以EF PQ ==， 由于2l 与曲线C 、圆W 均有两个不同的交点，∴16160m ∆=+>⎧<，解得15m <<，令()12,6m u +=∈，那么1m u =-，那么EF PQ ==≥=当且仅当12u u=，即u =1m =时取等号， ∴当1m =-时，EF PQ此时直线2l 的方程为1y x =-+.【点睛】此题考察了动点轨迹的求解与圆的方程确实定，考察了与圆、抛物线相关的公切线、弦长问题，考察了运算求解才能，属于难题.本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。