江苏省常州市武进区礼嘉中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试卷Word版含答案

高一数学 试题注意事项：1．本试卷共4页，包括选择题（第1题～第12题）、填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）三部分。

本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，请务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡指定位置。

3．答题时，必须用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡的指定位置，在其它位置作答一律无效。

4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并加黑加粗，描写清楚。

5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。

不准使用胶带纸、修正液及可擦洗的圆珠笔。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}1,2,4,6A =，{}2,6,7B =，则AB 的子集个数为 （ ）.1A .2B .4C .8D2．函数lg(3)y x =-的定义域为 （ ）().1,3A [).1,3B ().3,C +∞ [).1,D +∞3． 已知函数()f x 与()g x 分别由下表给出，则((3))f g = （ ）.4A .1B .3C .9D4．函数)10(1)(1≠>+=+a a ax f x 且的图象恒过定点A ，则A 的坐标为 （ ）().0,1A .B ()1,1- ().1,2C - )2,0.(D5．函数()24xf x x =+-的零点所在的区间为 （ ）().0,1A ().1,2B ().2,3C ().3,4D6. 函数lg 1y x =-+的大致图象为（ ）A B C D7．若幂函数)(x f y =的图象经过点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛33,3P ，则=)9(f （ ） .9A 91.B 3.C 31.D8．已知 2.513a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12log 3b =，132c =，则 （ ）.Ab a c << a b c B <<. b a c C <<. b c a D <<.9．已知)(x f y =是定义在R 上的奇函数，且当0>x 时，12)(-=xx f ，则=)16(log 21f （ ）15.16A 1615.-B 15.-C 15.D10.“弯弓射雕”描述了游牧民族的豪迈气概，当弓箭以每秒a 米的速度从地面垂直向上射箭时，t 秒时弓箭距地面的高度为x 米，可由25x at t =-确定. 已知射箭3秒时弓箭离地面高度为135米，则弓箭能达到的最大高度为 （ ）.135A 米 .160B 米 .175C 米 .180D 米11．已知函数)(x f 的定义域为R ，对于任意的x ∈R ，都满足)()(x f x f =-，且对于任意的(]0,,∞-∈b a ，当b a ≠时，都有0)()(<--ba b f a f ，若)(l g )2(x f f <-，则实数x 的取值范围是 （ ）1.,100A ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ ()1.,100,100B ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ⎪⎭⎫ ⎝⎛100,1001.C ()1.0,100,100D ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭12．已知函数(),()y f x y g x ==，两者的定义域都是I .若对于任意I x ∈,存在0x ，使得)()(),()(00x g x g x f x f ≥≥且)()(00x g x f =，则称)(),(x g x f 为“兄弟函数”.已知函数2()2(,)f x x px q p q =++∈R ， x x x x g 4)(2+-=是定义在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,31上的“兄弟函数”，那么函数()f x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,31上的最大值为 （ ）.3A 34.3B 52.9C .13D 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若集合[]2,1A =-， {}0B x x m =+≥，且A B ⊆，则实数m 的取值范围为 .14．已知函数()f x 在R 上为偶函数，且0x ≥时，3()2,f x x x =-+则当0x <时，()f x = .15．已知函数2()24f x ax x =+-在(),1-∞上是单调递增函数，则实数a 的取值范围是.16．已知a ∈R ,函数22340()20.x x a x f x x x a x ⎧++-≤⎪=⎨-+->⎪⎩，，，若对于任意的[)+∞-∈,4x ，x x f ≤)(恒成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）（1）已知2a ≤1214-⎛⎫⎪⎝⎭； （2）求值：3log 2693log 10(lg 2lg 3)+log 27-+⋅+.18. （本小题满分12分）设U =R ，{}{}22,0,41A x a x a a B x x =-<<+>=-≤≤. （1）若2a =，求()UAB ð；（2）若A B A =，求实数a 的取值范围.19. （本小题满分12分）已知函数()121x mf x =--是奇函数. （1）求实数m 的值；（2）求证：函数()f x 在()0,+∞上是单调增函数.20.（本小题满分12分）甲、乙两家鞋帽商场销售同一批品牌运动鞋，每双标价为800元.甲、乙两商场销售方式如下：在甲商场买一双售价为780元，买两双每双售价为760元，依次类推，每多买一双则所买各双售价都再减少20元，但每双售价不能低于440元；乙商场一律按标价的75%销售.（1）分别写出在甲、乙两商场购买x 双运动鞋所需费用的函数解析式()f x 和()g x . （2）某单位需购买一批此类品牌运动鞋作为员工福利，问：去哪家商场购买花费较少?21. （本小题满分12分）已知函数()()(1)f x x a x a =-⋅-∈R . （1）当5a =时,作出函数()f x 的图象；（2）是否存在实数a ，使得函数()f x 在区间 []3,4上有最小值8，若存在求出a 的值；若不存在，请说明理由.22. （本小题满分12分）对于定义域为D 的函数)(x f y =，如果存在区间[],m n D ⊆，同时满足：①)(x f 在[],m n 内是单调函数；②当定义域是[],m n 时，)(x f 的值域也是[],m n ， 则称[],m n 是该函数的“优美区间”． （1）求证：[]0,2是函数21()2f x x =的一个“优美区间”． （2）求证：函数6()4g x x=+不存在“优美区间”． （3）已知函数xa x a a x h y 221)()(-+==（0,≠∈a R a ）有“优美区间”[],m n ，当a 变化时，求出m n -的最大值．数学答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.1.C2.B3.A4.C5.B6.D7.D8.A9.C 10.D 11.D 12.C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.[)2+∞， 14.32x x -++ 15.[]1,0- 16.[]0,4三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分） 解：（1）()222a a -=- 又()22,20,222a a a a≤-≤∴-=-分()33333a a +=+分 121244-⎛⎫= ⎪⎝⎭分=75∴原式分（2）31log 21=3+lg 6lg 6⋅原式（）332+=10分18．（本小题满分12分） 解：（1）[]4,1B =- ∴(,4)(1,)2U B =-∞-+∞ð分2a =()0,43A ∴=分 ∴()()1,46U A B =ð分 （2）A B A =7B A∴⊆分24921a a -<-⎧∴⎨+>⎩分61a a >⎧∴⎨>-⎩11分 612a ∴>分19．（本小题满分12分）（1）法一：解：定义域为{}0x x ≠，()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-对于定义域内的任意x 恒成立.1122121x x m m -∴-=-+--分 221221x x xm m⋅∴=-+-- 22(12)x x m m ∴⋅=+-()()2210x m ∴+-=，4分该式对于定义域中的任意x 都成立，∴20m +=即26m =-分法二：定义域为{}0x x ≠，()f x 是奇函数，(1)(1)f f ∴-=-，11112121m m-∴-=-+--，解得23m =-分检验：当2m =-时，221()12121x x x f x -+=-=---，定义域为{}0x x ≠关于原点对称， 1221()()2121x x x x f x f x --++-=-==---()f x ∴是奇函数.6分（2）证明：在()0,+∞内任取1212,,x x x x <，21121212222(22)()()112121(21)(21)x x x x x x f x f x -----=--+=----9分120x x <<122121,210,220x x x x ∴-->->11分 12()(),()f x f x f x ∴<∴在()0,+∞上单调递增.12分20．（本小题满分12分） 解：（1）由800-2440x ≥可得当118x ≤≤且x N *∈时，去甲商场购买的单价为（80020x -）元，当18x >且x N *∈时，去甲商场购买的单价为440元.去乙商场购买单价一直为80075%600⨯=元.2分(8020),118,()440,18.x x x x N f x x x x N **⎧-≤≤∈⎪=⎨>∈⎪⎩且且 4分()600()g x x x N *=∈5分注：（1）定义域中没有写x N *∈总共扣1分.（2）如果学生写的是”018x ≤≤且x N ∈”也对. （2）当18x >且x N *∈时，()()f x g x <；6分当118x ≤≤且x N *∈时，由(80020)6000x x x -->解得110x ≤<且x N *∈；8分由(80020)6000x x x --=解得10x =；9分由(80020)6000x x x --<解得10x >且x N *∈10分综上：当110x ≤<且x N *∈时，0y >； 当10x =时，0y =；当10x >且x N *∈时，0y <.11分答：（1）(8020),118,()440,18.x x x x N f x x x x N **⎧-≤≤∈⎪=⎨>∈⎪⎩且且 ，()600()g x x x N *=∈.（2）若单位购买少于10双，去乙商场花费较少，若购买10双，则去两家商场花费相同，若购买超过10双，则去甲商场花费较少.12分21. （本小题满分12分） 解：（1）当5a =时，(5)(1),5,()5(1)(5)(1), 5.1x x x f x x x x x x --≥⎧=--=⎨---<⎩分5分注：图像弯曲细微有误扣1分，四个关键点()()()()5,01,0，，3,4，0,-5有漏画总扣1分（2）假设存在实数a ，使得函数()f x 在区间[]3,4上有最小值8，[]()(1)3,4f x x a x x =--∈1 当3a ≤时，2221(1)()()(1)(1)24a a f x x a x x a x a x +-⎛⎫=--=-++=--⎪⎝⎭， 对称轴方程为12a x +=，1322a a +≤∴≤∴()f x 在[]3,4上单调递增 min ()(3)2(3)f x f a ∴==-2(3)81a a ∴-=∴=-6分2 当34a <<时，()08f a =<∴()f x 不可能有最小值8（舍去）8分3 当4a ≥时，2221(1)()()(1)(1)24a a f x a x x x a x a x +-⎛⎫=--=-++-=--+⎪⎝⎭对称轴方程为12a x +=，15422a a +≥∴≥ ①当517222a +≤≤即46a ≤≤时，min ()(4)3(4)f x f a ==- 203(4)83a a ∴-=∴=，又20463a a ≤≤∴=舍去. 10分②当1722a +>即6a >时，min ()(3)2(3)f x f a ==-2(3)87a a ∴-=∴=.综上：1a =-或7a =.12分22. （本小题满分12分）解：（1）212y x =在区间[]0,2上单调递增．1分又(0)0f =，(2)2f =，∴值域为[]0,2，∴区间[]0,2是2()f x x =的一个“优美区间”.2分（2）设[],m n 是已知函数定义域的子集．0≠x ，[]()0,,m n ⊆-∞或[](),,0m n ⊆+∞，∴函数6()4g x x=+在[],m n 上单调递减．3分若[],m n 是已知函数的“优美区间”，则64(1)64(2)n mm n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩4分由(1)(2)-得66n m m n -=-6()n m n m mn -∴=-，n m >6mn ∴=6n m∴= 代入(1)等式不成立，∴函数6()4g x x=+不存在优美区间. 6分（3）设[],m n 是已知函数定义域的子集．0≠x ，[]()0,,m n ⊆-∞或[](),,0m n ⊆+∞，∴函数xa a a x a x a a y 222111)(-+=-+=在[],m n 上单调递增．7分若[],m n 是已知函数的“优美区间”，则⎩⎨⎧==n n h mm h )()(8分∴m 、n 是方程x xa a a =-+211，即222()10a x a a x -++=的两个同号且不等的实数根． 012>=amn ，m ∴，n 同号，只须0)1)(3(2>-+=∆a a a ， 即1>a 或3-<a 10分n m -==11分∴当3=a 时，m n -取最大值332.12分。