云南省玉溪一中2017-2018学年高一上学期期末考试数学试卷

玉溪一中2017-2018学年上学期高一年级期末考
数学试题
命题人：王大成
试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合{1,2,3,4,5}A =，{|2,}B x x n n N ==∈，则A B = （ ）
A ．{2,3}
B ．{2,4}
C ．{3,4}
D ．{2,3,4,5} 2．函数1
lg(2)
y x =
-的定义域为( )
A ．(,2)-∞
B ．(2,)+∞
C ．(2,4)
D ．(2,3)(3,)+∞ 3．tan300sin 270︒︒+=（ ）
A ．1
B 1
C ．1
D ．1
4．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是（ ）
5．已知向量(2,0)a = ,||1b = ，且||a b +=
a 与
b 的夹角为（ ）
A ．
23π B ．3π C ．4π D ．6π 6．已知2sin
5m π=，则3cos 5
π
=（ ）
A ．m
B ． m -
C ．7．已知函数2 0()lg 0x b x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，若1
(())410f f =,则b =（ ）
A ．3
B ．2
C ．0
D ． 1- 8．若1
2
1
2,ln 2,lg 2a b c ===，则有（ ）
A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．c b a >>
D ．b c a >>
9．将函数sin ()y x x x +∈R 的图象向右平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于坐标原点对称，则m 的最小值是（ ） A ．
π12 B ．π6 C ．π3 D ．5π6
10．已知函数()()||f x g x x =+，对任意的x R ∈总有()()f x f x -=-，且(1)1g -
=，则(1)g =（ ）
A ．1-
B ．3-
C ．3
D ．1 11．已知0w >,0φπ<<，直线4
x π
=
和54
x π
=
是函数()sin()f x wx φ=+图像的两条相邻的对称轴，则φ=（ ）
A ．
π4 B ．π3 C ．π2 D ．3π4
12．x 为实数，
[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[1.3]1=，[ 1.5]2-=-，则函数()[]f x x x =-在R 上为( )
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．增函数
D ． 周期函数
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
13．向量(1,2)a = ，(,1)b λ=- ，(2,1)c =-
若()a b c ⊥+ ，则λ= . 14．若236a b ==，则
11
a b
+= .
15．已知2()(22)m f x m m x =--是幂函数，且()f x 在定义域上单调递增，则m = .
16．已知sin()sin 3
π
αα+
+=，203
π
α-<<，求sin α= . 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）
已知(2,4)A -，(3,1)B ，(3,4)C --，设AB a = ，BC b = ，CA c =。

(1)求2a b c -+
；
(2)求满足a mb nc =+
的实数m ，n 。

18．（本小题满分12分）
已知在ABC ∆中，4
cos ,tan 25
A B ==。

(1)求sin A ，cos B ； (2)求tan(2)A B +。

19．（本小题满分12分） 已知33()log (9)log (3)f x x x =⋅,
1
927
x ≤≤. (1)若3log t x =，求t 的取值范围；
(2)求()f x 的最大值，并给出取最大值时对应的x 的值。

20．（本小题满分12分）
已知函数2()cos sin())3f x x x x x π=+-+
∈R 。

(1)求()f x 的最小正周期和单调递增区间； (2)若[0,]2
x π
∈时，求()f x 的值域。

21．（本小题满分12分）
已知二次函数2()f x x bx c =++，且1-，3为方程()2f x =的两根。

(1)求二次函数()f x 的解析式；
(2)若[,1]x t t ∈+，求()f x 的最小值()g t 的解析式。

22．（本小题满分12分） 设2
1
()log 1
x f x x ax -=++为奇函数，且实数0a >。

(1)求a 的值；
(2)判断函数()f x 在(1,)+∞的单调性，并写出证明过程；
(3)当[3,4]x ∈时，不等式2()2f x x m >-+恒成立，求实数m 的取值范围。

玉溪一中2017-2018学年上学期高一年级期末考
数学答案
参考答案
13. 2 14. 1 15. 3 16. 310
+-
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）
已知(2,4)A -，(3,1)B ，(3,4)C --，设AB a = ，BC b = ，CA c = 。

(1)求2a b c -+
；
(2)求满足a mb nc =+
的实数m ，n 。

解：(1) (5,3)AB =- ，(6,5)BC =-- ，(1,8)CA =
，有
2(10,6)(6,5)(1,8)(17,7)a b c -+=----+=
……（5分）
(2)由a mb nc =+
，有(5,3)(6,5)(,8)m m n n -=--+，得
65853n m n m -=⎧⎨-=-⎩ 解得1
1m n =-⎧⎨
=-⎩
……（10分） 18．（本小题满分12分）
已知在ABC ∆中，4
cos ,tan 25
A B ==。

(1)求sin A ，cos B ；(2)求tan(2)A B +。

解：(1) 因为22169
sin 1cos 12525
A A =-=-=
，(0,)A π∈ 所以sin 0A >，3
sin 5
A =
……（3分） 22sin cos 1B B +=，由tan 2B =，有sin 2cos B B =
解得21cos 5B =
，因为tan 20B =>，所以(,)2
B π
π∈
得cos 0B >，因此cos B = ……（6分） (2)由(1)知3
tan 4
A =
，tan 2B =，有
32
tan tan 114tan()31tan tan 2
124A B A B A B +++===---⨯ ……（9分） 所以：
112
tan()tan 72tan(2)111tan()tan 24
122
A B B A B A B B -
++++===--++⨯ ……（12分） 19．（本小题满分12分） 已知33()log (9)log (3)f x x x =⋅,
1
927
x ≤≤. (1)若3log t x =，求t 的取值范围；
(2)求()f x 的最大值，并给出取最大值时对应的x 的值。

解：(1) 因为
1927x ≤≤，3log t x =在1
[,9]27上单调递增，有 3
331
log log log 927
x ≤≤ 所以，[3,2]t ∈- ……（5分）
(2)由题意得，()(2)(1)f x t t =++ [3,2]t ∈- (2)(1)y t t =++的对称轴为3
2
t =-
，开口向上，所以当 2t =时，函数()f x 的最大值为12，此时的9x =。

……（12分）
20．（本小题满分12分）
已知函数2()cos sin())3f x x x x x π=+-+
∈R 。

(1)求()f x 的最小正周期和单调递增区间； (2)若[0,]2x π
∈时，求()f x 的值域。

解：
(1) 2()cos sin()3
f x x x x π
=+
-+
， ，有
221cos sin 2x x x x =-+
21cos sin 2x x x =
-
1sin 2cos 2)4x x =-++
1sin 224x x = 1sin(2)23
x π
=- ……（3分） 所以，22T ππ==，由222232k x k πππ
ππ-≤-≤+，k Z ∈，解得 512
12
k x k π
π
ππ-
≤≤
+，所以()f x 的最小正周期为T π=，单调递增区间为 5[,]1212
k k ππ
ππ-
+，k Z ∈。

……（6分） (2)由[0,]2x π∈，有2(2)[,]333
x πππ
-∈-，结合正弦函数图象，有
1
()[]2
f x ∈。

……（12分） 21．（本小题满分12分）
已知二次函数2()f x x bx c =++，且1-，3为方程()2f x =的两根。

(1)求二次函数()f x 的解析式；
(2)若[,1]x t t ∈+，求()f x 的最小值()g t 的解析式。

解：(1) 由()2f x =，得220x bx c ++-=，因为1-，3为方程的两根，有
13b -+=-，132c -⨯=-，解得，2b =-，1c =-。

所以，二次函数()f x 的解析式为，2()21f x x x =-- ……（5分） (2)由题意知
1、若0t ≤时，()f x 的最小值2()2g t t =-；
2、若01t <≤时，()f x 的最小值()2g t =-；
3、若1t >时，()f x 的最小值2()21g t t t =--；
综上：22
2 0
() 2 0t 12 1 1
⎧-≤⎪
=-<≤⎨⎪-->⎩t t g t t t t ……（12分）
22．（本小题满分12分） 设2
1
()log 1
x f x x ax -=++为奇函数，且实数0a >。

(1)求a 的值；
(2)判断函数()f x 在(1,)+∞的单调性，并写出证明过程；
(3)当[3,4]x ∈时，不等式2()2f x x m >-+恒成立，求实数m 的取值范围。

解：(1) 由
101x ax ->+，得(1)(1)0x ax -+>，有1x >或1
x a
<-，根据奇函数的定义域关于原点对称，有1
1a
-=-，解得1a =。

……（4分）
(2)函数()f x 在(1,)+∞上单调递增。

证明如下： 对任意的1x ， 2(1,)x ∈+∞，且12x x <，由 12122
21212(1)(1)
()()log log ()(1)(1)x x f x f x x x x x ---=-+-++ 122
1212(1)(1)
log ()(1)(1)
x x x x x x -+=+-+- ……（*）
由121212(1)(1)(1)(1)2()0x x x x x x -+-+-=-<，所以有 1212(1)(1)01(1)(1)x x x x -+<
<+-，有12212(1)(1)
log 0(1)(1)
x x x x -+<+-，又因为120x x -<，有（*）式
为负，因此12()()0f x f x -<，即，12()()f x f x <， 所以，函数()f x 在(1,)+∞上单调递增。

……（8分）
(3)当[3,4]x ∈时，由不等式2()2f x x m >-+恒成立，有2()2m f x x <+， 由(2)知()f x 在(1,)+∞上单调递增，又因为22x 在(1,)+∞上单调递增，就有
2()2f x x +在(1,)+∞上单调递增，当[3,4]x ∈时，2()2f x x +在[3,4]上单调递增。

要使2()2m f x x <+恒成立，只需2(3)23m f <+⨯，解得，20m < ……（12分）。