2019-2020学年河北省唐山一中高二上学期10月月考数学试题 word版
2019学年河北省唐山市高一10月月考数学试卷【含答案及解析】
2019学年河北省唐山市高一10月月考数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知全集）等于（________ ）A ． {2，4，6} ______________B ． {1，3，5} ________________________C ． {2，4} ____________________________D ． {2，5}2. 设A={a，b}，集合B={a+1，5}，若A∩B={2}，则A∪B= （）A、{1，2}____________________B、{1，5}______________C、{2，5}D、{1，2，5}3. 已知函数．集合则中所含元素的个数是（________ ）A ． 0____________________B ． 1_________________C ． 0或1____________________ D ． 1或24. 设集合M={x|-2≤x≤2}， N={y|0 ≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示以集合M为定义域，N为值域的函数关系的是（）5. 已知集合，则下列式子表示正确的有（________ ）① ② ③ ④A ． 1个 ____________________B ． 2个 ____________________C ． 3个____________________ D ． 4个6. 若，，则能构成的映射（________ ）个A、5个_________B、6个____________________C、7个________D、8 个7. 函数的单调递减区间是（________ ）A、____________________B、C、________________________D、8. 函数y=ax 2 +bx+3在（-∞，-1]上是增函数，在[-1，+∞)上是减函数，则（）A、b>0且a<0____________________B、b= 2a <0________C、b= 2a >0 _________________________________D、a，b的符号不定9. 已知，则的值是（）A、________________B、____________________C、________D、不确定10. 函数在上是增函数，则使为增函数的区间为（）A、___________B、 ________C、___________D、11. 若函数的定义域为 ,值域为，则的取值范围是（________ ）A ．________B ．C ．D ．12. 已知在区间上是增函数，则的范围是（_________ ）A ．________B ．________C ． ________D ．二、填空题13. 已知，则 _________14. 集合，集合，若 ,则实数_________15. 已知函数，则的值为 __________16. 函数的单调递增区间是_____________三、解答题17. （本题10分）已知非空集合，，若，求实数a的取值范围18. （本题12分）已知函数（1）用分段函数的形式表示该函数（2）画出该函数的图像（3）写出该函数的值域19. （本题12分）求下列函数的定义域和值域（1）________（2）20. （本题12分）用定义证明函数在单调递增21. （本题12分）已知是定义在的增函数， ,求的取值范围22. （本题12分）时，求函数的最小值参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。
2019学年河北唐山一中高二10月月考数学试卷【含答案及解析】
2019学年河北唐山一中高二10月月考数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知函数（）有两个不同的零点，且方程有两个不同的实根，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数的值为（）A．______________________________________ B．______________________________________C．______________________________________ D．2. 若，则（）A． B．C． D．3. 若圆与圆的公共弦的长为，则（）A．2 B．1C．______________________________________ D．4. 过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为（）A． B．____________________C．____________________ D．5. 一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．或 B．或___________________________________C．或____________________________ D．或6. 椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍，则的值为（）A． B．___________C． D．7. 已知椭圆：，点与的焦点不重合. 若关于的焦点的对称点分别为，线段的中点在上，则（） A．6 B．9C．12 D．188. 将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长（）同时增加（）个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（）A．对任意的，B．当时，；当时，C．对任意的， ___________________________________D．当时，；当时，9. 双曲线（）的渐近线为正方形的边所在直线，点为该双曲线的焦点，若正方形的边长为2，则（）A． B．C． ______________________________________ D．10. 设是椭圆：（）的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（） A． B．C． D．11. 已知，则双曲线：与：的（）A．实轴长相等 B．虚轴长相等C．焦距相等____________________________ D．离心率相等12. 在等腰三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经过反射后又回到原点（如下图） . 若光线经过的重心，则等于（）A． B．C． D．二、填空题13. 若双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为______________ .14. 过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为______________ .15. 已知等比数列中，则其前3项和的取值范围是______________ .16. 若点和点分别为双曲线（）的中心和左焦点，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为______________ .三、解答题17. 已知的角所对的边分别是，且，设向量，， .（1）若，求；（2）若，，求边长 .18. 已知数列的前项和为，且（），数列满足（） .（1）求，；（2）求数列的前项和 .19. 在平面直角坐标系中，点，直线：，设圆的半径为1，圆心在上.（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线方程；（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.20. 已知椭圆：，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率.（1）求椭圆的方程；（2）设为坐标原点，点分别在椭圆和上，，求直线的方程.21. 已知椭圆上两个不同的点关于直线对称.（1）求实数的取值范围；（2）求面积的最大值（为坐标原点）.22. 已知椭圆：（）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线：与椭圆有且只有一个公共点 . （1）求椭圆的方程及点的坐标；（2）设为坐标原点，直线平行于，与椭圆交于不同的两点，且与直线交于点 .证明：存在实数，使得，并求的值.参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。
河北省唐山市第一中学2019_2020学年高二数学上学期10月月考试题(含解析)
精品文档，欢迎下载！唐山一中2019-2020学年高二年级第一学期10月份考试数学试卷第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.与椭圆221248x y +=的焦点坐标相同的是（ ）A. 221515x y -=B. 221259x y -=C. 2212012x y +=D. 221925x y +=【答案】A 【解析】 【分析】先确定已知椭圆的焦点在x 轴上，求出焦点坐标，接着分别求出四个选项中曲线的焦点坐标，再与已知椭圆的焦点坐标进行比较，即可得答案.【详解】椭圆221248x y +=的焦点在x 轴上，且2224,8a b ==，所以22224816c a b =-=-=，所以椭圆的焦点坐标为(4,0)±.对A 选项，双曲线方程22221515115x x y y -=⇔-=，其焦点在x 轴上，且215116c =+=，故其焦点坐标为(4,0)±，与已知椭圆的焦点坐标相同；对B 选项，其焦点在x 轴上，且225934c =+=，故其焦点坐标为(；对C 选项，其焦点在x 轴上，且220128c =-=，故其焦点坐标为(±； 对D 选项，其焦点在y 轴上. 故选A.【点睛】本题考查椭圆、双曲线焦点坐标的求解，主要考查两种曲线中,,a b c 之间的关系.2.抛物线214y x =的准线方程是（ ） A. 1x = B. 1y =C. 1x =-D. 1y =-【答案】D 【解析】 抛物线214y x =可以化为24x y = 则准线方程是1y =- 故选D3.已知方程22112x y m m -=+-表示双曲线，则m 的取值范围是（ ）A. 1m >-B. 2m >C. 1m <-或2m >D. 12m -<<【答案】C 【解析】 【分析】双曲线的焦点可能在x 轴，也可能在y 轴上，分别写出两种情况下的双曲线的标准方程，22112x y m m -=+-或22121y x m m -=---，可得10,20,m m +>⎧⎨->⎩或20,10,m m ->⎧⎨-->⎩，解不等式可得答案.【详解】当双曲线的焦点在x 轴上，双曲线方程22112x y m m -=+-，则10,20,m m +>⎧⎨->⎩解得：2m >；当双曲线的焦点在y 轴上，双曲线方程22112x y m m -=+-22121y x m m ⇔-=---，所以20,10,m m ->⎧⎨-->⎩解得：1m <-；故选：C.【点睛】本题考查双曲线标准方程，求解的关键在于双曲线方程标准形式的认识. 4.M 是抛物线22y x =上一点，F 是抛物线的焦点，以Fx 为始边、FM 为终边的角60xFM ∠=o ，则FM =（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】作出抛出线与焦半径MF 及辅助线,MN FE ，利用直角三角形30o 角所对的边等于斜边的一半及抛物线的定义，得到关于||MF 的方程，从而求得||MF 的值.【详解】如图所示，抛物线的准线:l 12x =-与x 轴相交于点P ，作MN l ⊥于N ，过F 作FE MN ⊥于E ，因为60xFM ∠=o ，所以60EMF ∠=o ，设||FM m =， 在EFM ∆中，||||22FM mEM ==， 显然||||1NE PF ==，又由抛物线的定义得||||MN MF =， 所以12mm +=，解得：2m =，即2FM =. 故选：B.【点睛】本题考查抛物线焦半径的求解，利用平面几何知识结合抛物线的定义，能使问题的求解计算量更小，过程更简洁、清晰.5.已知椭圆C ：22213x y a +=的一个焦点为()1,0，则C 的离心率为（ ）A.13B.12C.22D.223【答案】B 【解析】【分析】利用椭圆的简单性质，利用椭圆的焦点坐标得到c 的值，再根据222a b c =+求得a ，最后代入离心率公式．【详解】椭圆222:13x y C a +=的一个焦点为(1,0)，可得231a -=，解得2a =，所以椭圆的离心率为：12c e a ==． 故选：B.【点睛】本题考查利用,a c 的值求解椭圆的离心率，考查简单的运算求解能力．6.已知点()0,2A ，()2,0B .若点C 在抛物线2y x =上，则使得ABC ∆的面积为2的点C 的个数为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得AB =AB的方程为221x y+=，2(,)C m m ，求出点C 到AB 的距离d 的值，再代入面积公式得2122⨯=，由此求得m 的值，从而得出结论．【详解】由题意可得AB =AB的方程为221x y+=，即20x y +-=． 设点2(,)C m m ，则点C 到AB 的距离2d =．由于ABC ∆的面积为2，故有2122⨯=，化简可得2|2|2m m +-=， 222m m ∴+-=①，或222m m +-=-②．解①求得m =或m =0m =或1m =-． 综上可得，使得ABC ∆的面积为2的点C 的个数为4. 故选：D .【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质的应用，点到直线的距离公式，一元二次方程的解法，属于中档题．7.已知圆224x y +=，直线l ：y x b =+，若圆224x y +=上有2个点到直线l 的距离等于1，则以下b 可能的取值是（ ）A. 1C. 2D. 【答案】C 【解析】 【分析】问题转化为圆心到直线的距离大于1，小于3，再求出圆心到直线的距离后列不等式可解得b 的取值范围，从而得到b 可能的取值．【详解】依题意可得圆心到直线的距离(1,3)d ∈，d =Q ，13<<，解得b -<<b <<显然只有2b =b <<故选：C.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，问题转化为圆心到直线距离(1,3)d ∈是解决问题的难点，考查数形结合思想的应用.8.已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ）A 7 B. 6 C. 5 D. 4【答案】B 【解析】由题意知，点P 在以原点（0，0）为圆心，以m 为半径的圆上，又因为点P 在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以15m -=，故选B.考点：本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.【此处有视频，请去附件查看】9.一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）．A. 53-或35-B. 32-或23- C. 54-或45-D. 43-或34-【答案】D 【解析】 【分析】求出()2,3--关于y 轴的对称点P ，过P 作圆的切线，其斜率即为反射光线所在直线的斜率.【详解】点()2,3--关于y 轴的对称点为()2,3P -，设过P 且与圆相切的直线的斜率为k ，则k 为反射光线所在直线的斜率. 又切线方程为：()23y k x =--即230kx y k ---=，圆心到切线的距离1d ===，故21225120k k ++= ，所以34k =-或43k =-，故选D. 【点睛】解析几何中光线的入射与反射问题，实际上就是对称问题，此类问题属于基础题. 10.已知直线:2l y x =和点()3,4P ，在直线l 上求一点Q ，使过P 、Q 的直线与l 以及x 轴在第一象限内所围成的三角形的面积最小，则Q 坐标为（ ） A. ()2,4 B. ()3,6C. ()4,8D. ()5,10【答案】C 【解析】 【分析】设点(),2Q a a ，求出直线PQ 的方程为424(3)3ay x a--=--，再求出直线PQ 与x 轴交点的坐标，然后代入面积公式得到关于a 的函数，再利用基本不等式求最值，进而得到使面积取得最小值时a 对应的取值.【详解】设点(),2Q a a ，则直线PQ 的方程为424(3)3ay x a--=--， 当0y =时，x 2a a =-，所以直线PQ 与x 轴交点(,0)2aR a -，2211|||||2|||||22222OQRQ a a S y OR a a a a a ∆=⋅=⋅==---（其中2a >）， 因为22(2)4(2)44(2)4222OQRa a a S a a a a ∆-+-+===-++---42(2)482a a ≥-⋅+=-， 等号成立当且仅当422a a -=-，即4a =，所以点(4,8)Q ，故选：C .【点睛】本题考查直线的交点坐标求法、点斜式方程、三角形面积最值、基本不等式等知识，注意利用数形结合思想进行分析问题，才能使思路清晰.11.已知双曲线22145x y -=左焦点为F ，P 为双曲线右支上一点，若FP 的中点在以O 为圆心，以OF 为半径的圆上，则P 的横坐标为（ ） A. 83B. 4C.163D. 6【答案】C 【解析】 【分析】设双曲线的右焦点1F ，PF 的中点为Q ，因为1QF 为1PFF ∆底边的中线和高，得到1PFF ∆为等腰三角形，在1Rt QFF ∆求得1cos PFF ∠的值，再由倍角公式求得1cos PF x ∠，最后利用公式113||cos P x PF PF x =+⋅∠，求得点P 的横坐标. 【详解】如图所示，设双曲线的右焦点1F ，PF 的中点为Q ，因为1FF为圆的直径，所以12FQF π∠=，所以1F Q PF ⊥，所以1PFF ∆为等腰三角形，所以11||||6FF PF ==，根据双曲线的定义1||||24||10PF PF a PF -==⇒=，所以||5QF =. 所以11||5cos ||6QF PFF FF ∠==， 因为112PF x PFF ∠=∠，所以21117cos cos(2)2cos 118PF x PFF PFF ∠=∠=∠-=， 所以117163||cos 36183P x PF PF x =+⋅∠=+⋅=. 故选：C .【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系、双曲线的定义、圆的知识，与三角函数的倍角公式等知识交会，具有较强的综合性，对平面几何知识的要求也较高，考查综合分析问题和解决问题的能力.12.设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ）A. ()13， B. ()14， C. ()23， D. ()24，【答案】D 【解析】试题分析：设11,)Ax y （，22,)B x y （，00,)M x y （，当斜率存在时，设斜率为k ，则 2112224{4y x y x ==，相减得：121212042y y k x x y y y -===-+，因为直线与圆相切，所以0015y x k=--，即03x =，M 的轨迹是直线3x =，代入抛物线得：212y =，所以0y -≤≤又M 在圆上，代入得：22200(5)(0)x y r r -+=>，所以220416r y =+≤，因为直线恰好有四条，所以00y ≠，所以2416r <<，即24r <<时直线恰好有两条，当直线斜率不存在时，直线有两条，所以直线恰有4条时24r <<，故选D ．考点：1．直线和圆的位置关系；2．直线和抛物线的位置关系．【方法点晴】本题主要考查的是直线与圆锥曲线的位置关系，以及直线与圆的相切问题，属于中档题．解题时一定要注意分析条件，根据条件首先求出中点的轨迹方程3x =，这里主要考查的是点差法，问题转化为3x =与圆有交点，从而当直线斜率存在时，半径大于2且小于4有两条，当直线斜率不存在时，也有两条符合条件，故需要24r <<． 【此处有视频，请去附件查看】第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.经过点()0,1P 作直线l ，若直线l 与连接()1,2A ，()2,1B -的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是____.【答案】30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【解析】 【分析】根据斜率公式得21110PA k -==-，11120PB k --==--，由l 与线段AB 相交，知PB PA k k k ≤≤，由此能求出直线l 斜率k 范围，进而根据正切函数的性质得出结果．【详解】因为21110PA k -==-，11120PB k --==--，由l 与线段AB 相交， 所以PB PA k k k ≤⇒≤11k -≤≤， 所以0tan 1α≤≤或1tan 0α-≤<，由于tan y x =在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭及,2ππ⎛⎤⎥⎝⎦均为增函数， 所以直线l 的倾斜角α的范围为：30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭. 故填：30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭. 【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角之间的关系，求倾斜角的范围注意利用正切函数的单调性进行求解．14.过三点()1,5A -、()5,5B 、()6,2C -的圆的方程为____________________. 【答案】2242200x y x y +---=. 【解析】 【分析】分别求出AB,BC 的中垂线所在直线方程，两直线交点为圆心D 坐标，再求圆半径r=AD.即可写出圆的方程。
河北省唐山一中2019-2020学年高二上学期期中考试 数学(PDF版含答案)
人唐山一中2019—2020学年度第一学期期中考试高二年级数学试卷命题：说明：1.考试时间120分钟，满分150分.2.将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上,将卷Ⅱ答案用黑色字迹的签字笔书写在答题卡上.卷Ⅰ(选择题共60分)一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）1.直线50x +-=的倾斜角为()A.30︒- B.60︒C.120︒D.150︒2.直线1:30l x ay ++=和直线()2:230l a x y a -++=互相平行,则a 的值为()A.1-或3B.3-或1C.1- D.3-3.12,F F 为椭圆221169x y +=的焦点，A 为上顶点,则12AF F ∆的面积为()A.6B.15C.D.4.过直线30x y +-=和20x y -=的交点,且与250x y +-=垂直的直线方程()A.4230x y +-=B.4230x y -+= C.230x y +-= D.230x y -+=5.抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是()A．1716B．1516C．0D．786.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ,点A 在双曲线的渐近线上,OAF ∆是边长为2的等边三角形(O 为原点),则双曲线的方程为()A.221412x y -=B.221124x y -= C.2213x y -= D.2213y x -=7.设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的个数是()①若//,//m m αβ,则//αβ；②若//αβ,,m n αβ⊂⊂,则//m n ；③若//αβ,//m n ,//m α,则//n β；④若//m α,m β⊂,n αβ= ,则//m n ．A.0个B.1个C.2个D.3个8.直线20x y ++=分别与x 轴,y 轴交于,A B 两点,点P 在圆()2222x y -+=上,则ABP ∆面积的取值范围是()A.B.C.D.9.已知点(2,0),(2,0)M N -，若圆()2226900x y x r r +-+-=>上存在点P （不同于,M N ），使得PM PN ⊥，则实数r 的取值范围是()A．(1,5)B．[]1,5C．(1,3)D．[]1,310.数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线在平面直角坐标系中作ABC ∆,在ABC∆中,4AB AC ==,点()1,3B -,点()4,2C -,且其“欧拉线”与圆()2223x y r -+=相切,则该圆的半径为()A.1B.C.2D.11.已知三棱锥ABCD 中,AB CD =,且异面直线AB 与CD 成60︒角,点,M N 分别是,BC AD 的中点,则异面直线AB 与MN 所成的角为()A.60︒ B.30︒ C.30︒或60︒ D.以上均不对12.直线0x -+=经过椭圆()222210x y a b a b +=>>的左焦点F ，交椭圆于,A B两点，交y 轴于点C .若2FC CA =，则该椭圆的离心率为()1-B．12C．2-1-卷Ⅱ(选择题共90分)二．填空题（共4小题）13．如图,矩形O A B C ''''是水平放置的一个平面图形的斜二测画法画出的直观图,其中6,2O A C D ''''==,则原图形面积是_______.14．过点(36)P ，，且被圆2225x y +=所截弦长为8的直线方程为________.15．已知椭圆22:12516x y C +=,点M 与椭圆C 的焦点不重合．若M 关于椭圆C 的焦点的对称点分别为,A B ，线段MN 的中点在椭圆C 上，则AN BN +=_________.16.动点P 到两定点()(),0,,0A a B a -连线的斜率的乘积为()k k R ∈,则动点P 在以下哪些曲线上__________.（请填写所有可能的序号）①直线②椭圆③双曲线④抛物线⑤圆三．解答题（共6小题）17.（本题满分10分）如图所示,从左到右依次为：一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,该多面体的正视图,该多面体的侧视图．（1）按照给出的尺寸,求该多面体的表面积；（2）求原长方体外接球的体积．18.（本题满分12分）已知直线l 过点(2,3)P ,根据下列条件分别求出直线l 的方程：（1）直线l 的倾斜角为120︒；（2）在x 轴、y 轴上的截距之和等于0．19.（本题满分12分）在直三棱柱111ABC A B C -中,2AC BC ==,90ACB ︒∠=1,2AA =,D 为AB 的中点．（1）求异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值;（2）在棱11A B 上是否存在一点M ，使得平面1C AM //平面1B CD ．20.（本题满分12分）已知椭圆C：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2,短轴长为4．（1）求椭圆方程；（2）过()2,1P 作弦且弦被P 平分,求此弦所在的直线方程及弦长．21.（本题满分12分）已知圆N 经过点()()3,1,1,3A B -,且它的圆心在直线320x y --=上．（1）求圆N 关于直线30x y -+=对称的圆的方程．（2）若D 点为圆N 上任意一点,且点()3,0C ,求线段CD 的中点M 的轨迹方程．22.（本题满分12分）已知抛物线2:2C y px =过点(1,1)A ．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点(3,1)P -的直线与抛物线C 交于,M N 两个不同的点均与点A 不重合,设直线,AM AN 的斜率分别为12,k k ,求证：12k k ⋅为定值．唐山一中2019—2020学年度第一学期期中考试高二年级数学答案一．选择题：1-4DCDD 5-8BDBA 9-12ABCA 二．填空题13．14．x=3或3x-4y+15=015．2016．①②③⑤三．解答题17.解：(1)该多面体可以看成一个长方体截去一个小三棱锥,则根据图中所给条件得：所求多面体表面积为122+……………………………5分(2)设原长方体外接球半径为r,则所以原长方体外接球体积为3…………………………………………………10分18.解(1)直线l 的倾斜角为,可得斜率,由点斜式可得：,可得：直线l 的方程为…………………6分(2)当直线l 经过原点时在x 轴、y 轴上的截距之和等于0,此时直线l 的方程为………………………………………………………………9分当直线l 不过原点时,设直线l 的方程为,因为在直线l 上,所以,,即,综上所述直线l 的方程为或．……………………………12分19.解：（1）连接C 1B 交CB 1于E，则,或其补角为与所成的角,在中,,,,,异面直线与所成角的余弦值为………………………………………………6分（2）存在，M 为A 1B 1的中点可证1//C M 平面1B CD ,//AM 平面1B CD1C M AM M Ç=1,C M AM Ì平面1C AM ,平面1//C AM 平面1B CD …………12分20.解：(1)椭圆标准方程为221164x y +=……………………………………………4分(2)设以点P(2，1)为中点的弦与椭圆交于A(x 1，y 1),B(x 2，y 2),则x 1+x2=4，y 1+y 2=2，分别代入椭圆的方程,两式相减可得(x1+x 2)(x 1-x 2)+(y 1+y 2)(y 1-y 2)=0,∴4(x 1-x 2)+2(y 1-y 2)=0,212112y yk x x -\==--点P(2，1)为中点的弦所在直线方程为：x+2y-4=0……………………………10分弦长25AB =分21.解：（1）由已知可设圆心,又由已知得,从而有,解得：,于是圆N 的圆心,半径,所以,圆N 的方程为 (4)分圆心关于的对称点为,所以圆N 对称的圆的方程为……………………………6分（2）设M(x,y),D(x 1，y 1),则由C(3，0)及M 为线段CD 的中点得：,解得：．又点D 在圆N：上,所以有,故所求的轨迹方程为．……………………………………12分22.解：（1）由题意抛物线过点,所以,所以抛物线的方程为…………………………………………………………3分（2）证明：设过点的直线l 的方程为,即,代入得,设,,则,,…………………………6分所以,所以为定值．…………………………12分。
2019-2020年高二10月月考 数学试题
2019-2020年高二10月月考数学试题本试卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答第1卷前，考生务必将自己的姓名、学号、考试科目涂写在答题卡上．2．每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂在其它答案标号.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分.共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知是等比数列，，则公比=( )A．B．C．2 D．2. 在中，已知，则( )A． B． C． D．3. 等比数列中，,,,则( )A.6B.7C. 8D.94. 设是等差数列的前n项和，已知，，则等于（）A．13 B．35 C．49 D． 635. 公差不为0的等差数列的第二、三、六项构成等比数列，则公比为（）A．1 B.2 C.3 D.46. 在中,,则此三角形解的情况是( B )A．一解 B．两解 C．一解或两解 D．无解7. 已知分别是三个内角的对边，且，则一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形8．在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则角B的值为 ( )A．B．C．或D．或9．某船开始看见灯塔在南偏东30方向，后来船沿南偏东60的方向航行45km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是( )A．15km B．30km C．15 km D．15 km10.下列命题中正确的是( )A．若a，b，c是等差数列，则，，是等比数列B．若a，b，c是等比数列，则，，是等差数列C．若a，b，c是等差数列，则，，是等比数列D．若a，b，c是等比数列，则，，是等差数列11. 两个等差数列和,其前项和分别为,且则等于( )A. B. C. D.12.已知等比数列满足，且，则当时，( )A. B. C. D.第Ⅱ卷 (非选择题共90分)二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把各题答案填写在答题纸相应位置．）13. 若数列满足：，则 .14. 在中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若角A、B、C依次成等差数列，且a=1，等于.15. 设等差数列的前项和为，且，则 .16. 在数列{a n}中，其前n项和S n＝，若数列{a n}是等比数列，则常数a的值为．三、解答题（本大题共6小题，共74分.将每题答案写在答题纸相应位置，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．(本小题满分12分)等比数列{}的前n 项和为，已知,,成等差数列.（Ⅰ）求{}的公比q；（Ⅱ）若－＝3，求.18．(本小题满分12分)在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且.(Ⅰ)确定角C的大小；（Ⅱ）若c＝,且△ABC的面积为,求a＋b的值.19.（本小题满分12分）已知等差数列中，公差又.（I）求数列的通项公式；（II）记数列，数列的前项和记为，求.20．(本小题满分12分)如图，海中小岛A周围40海里内有暗礁，一船正在向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，问有无触礁的危险?21. (本小题满分12分)在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，C=2A,，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求b的值.22．(本小题满分14分)已知点（1，2）是函数的图象上一点，数列的前项和．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和．高二数学10月份阶段性检测题参考答案一、选择题：1—5 DBACC 6—10 BDDCC 11—12 DC二、填空题：13. 16 14． 15． 16． -1三、解答题：17．（新学案P39 ，T1）解：（Ⅰ）依题意有. 由于 ，故 . 又，从而（Ⅱ）由已知可得，故.从而141281113212n n n S ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==--⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭18.解：（Ⅰ）由及正弦定理得，，，是锐角三角形，.（Ⅱ）由面积公式得，1sin 623ab ab π==即 ① 由余弦定理得，22222cos7,73a b ab a b ab π+-=+-=即 ②由②变形得.19．20. 解: 在△ABC 中,BC =30,∠B =30°,∠C =135°,所以∠A =15°. ．．．．．．．．．．．．．2分由正弦定理知 即所以．．．．．．．．．．７分于是，A 到BC 边所在直线的距离为：(海里)，．．．．．．．．．．．．．10分由于它大于40海里，所以船继续向南航行没有触礁的危险. ．．．．．．．．．． ．．．11分 答：此船不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险.．．．．．．．．．． ．．．12分21.（新学案P17， T4）解：（Ⅰ）.（Ⅱ）由及可解得a=4,c=6.30sin 3060cos1560cos(45-30)sin1560(cos 45cos30sin 45sin 30)15(62).AC ︒==︒=︒︒︒=︒︒+︒︒=2sin 4562)15(31)40.98AC ︒==≈由化简得，.解得b=4或b=5.经检验知b=4不合题意，舍去.所以b=5.22．解：（Ⅰ）把点代入函数得.所以数列的前项和为.．．．．．．．．．．．．．．．3分当时，当时， 对时也适合 .．．．．．．．．．．．．．．．６分（Ⅱ）由得，所以.．．．．．．．．．．．8 分 ， ①12312122232(1)22n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ， ② 由① - ② 得，, ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 所以 .．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分。
河北省唐山市第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考化学试题(含答案)
2024-2025学年度第一学期高二年级10月考试化学试卷说明：1．考试时间75分钟，满分100分．2．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名填写在答题卡，贴好条形码．3．将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上，将卷Ⅱ答案用黑色字迹的签字笔书写在答题卡上，写在本试卷上无效．卷Ⅰ（选择题 共60分）一．选择题（共15小题，每小题4分，计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）1．化学与生产、生活息息相关，下列措施不是为了改变化学反应速率的是（ ）A ．将食物存放在冰箱中 B ．制作馒头时添加膨松剂C ．合成氨工业中使用铁触媒催化剂D ．在轮船的船壳水线以下部位装上锌锭2．下列属于弱电解质的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．下列关于化学反应的方向和判据的说法中，不正确的是（ ）A ．反应能否自发进行与温度有关B ．若某反应的,该反应在任何温度下都能自发进行C ．在不同状态时的熵值：D ．催化剂能降低反应焓变，改变反应的自发性4．对于有气体参加的化学反应来说，下列说法不正确的是（ ）A ．升高温度，活化分子百分数增大，化学反应速率增大B ．压缩容器容积，增大压强，活化分子百分数不变，化学反应速率增大C ．使用催化剂，降低反应所需的活化能，活化分子百分数增大，化学反应速率增大D ．加入反应物，活化分子百分数增大，化学反应速率增大5．下列事实能用勒夏特列原理解释的是（ ）A ．开启啤酒瓶盖后，瓶中立刻泛起大量泡沫B ．钢铁在潮湿的空气中更容易生锈C ．在合成氨的反应中，升温有利于氨的合成D ．三者的平衡混合气，加压（缩小容器体积）后颜色变深6．在不同温度、不同压强和相同催化剂条件下，初始时分别为,发生反应：,平衡后混合气体中的体积分数如图所示．下列说法正确的3NaHCO 23H SO Cu 25C H OH 32CaCO (s)CaO(s)CO (g)ΔH 0=+>H 0,S 0∆<∆>31molNH [][]33S NH (l)S NH (g)<22H I HI 、、2CO H 、1mol 2mol 、23CO(g)2H (g)CH OH(g)+A 3CH OH(g)(φ)是（ ）A ．该反应的正反应活化能高于逆反应活化能B ．时化学平衡常数关系：C ．压强大小关系：D ．时升温，逆反应速率增大，正反应速率减小7．水煤气变换反应为．我国学者结合实验与计算机模拟结果，研究了在金催化剂表面水煤气变换的反应历程，如图所示，其中吸附在金催化剂表面上的物种用*标注．下列说法不正确的是（ ）A ．在金催化剂表面的吸附为放热过程B ．步骤③的化学方程式为C ．水煤气变换反应产物的总键能低于反应物的总键能D ．该反应中的决速步骤为步骤④8．在容积为的恒容密闭容器中发生反应,图Ⅰ表示时容器中A 、B 、C 的物质的量随时间的变化关系，图Ⅱ表示不同温度下达到平衡时C的体积分数随起始的变化关系，则下列结论正确的是（ ）250℃123K >K >K 123p >p >p 1p 222CO(g)H O(g)CO (g)H (g)H ++∆A()2H O g ****22CO OH H O(g)COOH H O ++=+2L xA(g)yB(g)zC(g)+A200℃n(A)n(B)图Ⅰ 图ⅡA ．由题意可知，图Ⅱ中B ．由图可知反应方程式为C ．时，反应从开始到平衡的平均速率D ．平衡后，再向体系中充入，重新达到平衡前9．在某恒温恒容的密闭容器中发生反应：．时刻达到平衡后，在时刻改变某一条件，其反应速率随时间变化的图象如图所示．下列说法正确的是（ ）A ．内，B ．恒温恒容时，容器内压强不变，表明该反应达到平衡状态C ．时刻改变的条件是向密闭容器中加入ZD ．再次达到平衡时，平衡常数K 减小10．化学反应的速率是通过实验测定的．下列说法错误的是（ ）A ．酸性溶液和溶液反应，可以通过记录溶液褪色时间来测定反应速率B ．锌与稀疏酸反应，可以通过测量一定时间内产生的体积来计算反应速率C ．可以依靠科学仪器测量光的吸收、光的发射、导电能力等来测定反应速率D ．恒温恒容条件下发生反应：,可以通过测量单位时间内压强的变化来测定反应速率11．已知重铬酸钾具有强氧化性，其还原产物在水溶液中呈绿色或蓝绿色．在溶液中存在下列平衡：（橙色）（黄色）．用溶液进行下列实验，说法a 2=2A(g)B(g)C(g)H 0+∆<A200℃11v(A)0.08mol L min --=⋅⋅Ar v <v 正逆X(g)Y(g)2Z(g)H 0+∆>A1t 2t 10~t v >v 正逆2t 4KMnO 224H C O 2H 22H (g)I (g)2HI(g)+A ()227K Cr O 3Cr +227K Cr O 227Cr O -224H O 2CrO -+A2H ++227K Cr O不正确的是（ ）A ．①中溶液橙色加深，③中溶液变黄B ．②中被还原C ．对比②和④可知酸性条件下氧化性强D ．若向④中加入70%硫酸至过量，溶液变为橙色12．下列电离方程式的书写正确的是（ ）A ．的电离：B ．的电离：C ．氨水中的电离：D ．水溶液中的电离：13．下列说法正确的是（ ）A ．溶液，加水稀释，则减小B ．溶液，升高温度，不变，但醋酸的电离程度增大C ．分别中和物质的量浓度相等、体积相等的醋酸和硫酸溶液，硫酸所需的物质的量较多D ．的浓度越大，的电离程度越大14．密闭容器中发生反应,在温度为时，平衡体系中的体积分数随压强变化的曲线如图所示．下列说法正确的是（ ）227Cr O -25C H OH 227K Cr O 3Fe(OH)33Fe(OH)Fe 3OH +-+A 23H CO 2233H CO 2H CO +-+A32NH H O ⋅324NH H O NH OH +-⋅=+4NaHSO 44NaHSO Na HSO +-=+30.1mol /LCH COOH ()()33c CH COO c CH COOH -30.1mol /LCH COOH ()3a K CH COOH NaOH 3CH COOH 3CH COOH 242N O (g)2NO (g)ΔH 0>A12T T 、2NOA ．A 、C 两点的反应速率：B ．A 、C 两点气体的颜色：A 浅、C 深C ．由状态A 到状态B,可以用加热的方法D ．A 、C 两点气体的平均相对分子质量：15．一定条件下，在容积均为的两个恒温恒容密闭容器中加入一定量的一氧化碳和水蒸气，发生反应：,达平衡后获得数据如下表．下列说法不正确的是（ ）起始时各物质的物质的量/容器编号达到平衡时体系能量的变化①1400放出热量②28放出热量A ．Q 等于65.6B ．反应①比反应②达到平衡时间短C ．①中反应达平衡时，的转化率为80%D ．该温度下，②中反应的平衡常数卷Ⅱ（非选择题 共40分）二．填空题（共4小题）16．（10分）向一体积不变的密闭容器中加入和一定量的B 三种气体，一定条件下发生反应：，各物质浓度随时间变化如图所示，图中阶段未画出．（1）若，则阶段以C 浓度变化表示的反应速率为__________．（2）B 的起始物质的量为__________；该条件下，反应的化学平衡常数__________（用分数表示）．（3）能说明该反应已达到平衡状态的是__________（填字母，下同）．a ． b ．容器内混合气体的平均相对分子质量保持不变c ．容器内混合气体密度保持不变d ．（4）能使该反应的反应速率增大，且平衡向正反应方向移动的是__________．a ．及时分离出C 气体b ．适当增大压强c ．增大反应物的浓度17．（6分）纳米碗是一种奇特的碗状共轭体系．高温条件下，可以由分子经过连续5步氢抽提和闭环脱氢反应生成．的反应机理和能量变化如下：A>C A>C2L 1222CO(g)H O(g)CO (g)H (g)H 41kJ mol -++∆=-⋅A molCO2H O2CO 2H 32.8kJ QkJ CO K 1=2molA 0.6molC 、2A(g)B(g)3C(g)H 0+∆>A 01t ~t c(B)1t 15min =01t ~t v(C)=11mol L min --⋅⋅mol K=v(A)2v(B)=2v (C)=3v (A)正逆4010C H 4010C H 4020C H 402040182C H (g)C H (g)H (g)→+回答下列问题：（1）图示历程中包含__________个基元反应．（2）纳米碗中五元环结构的数目为__________．（3）时，假定体系内只有反应发生，反应过程中压强恒定为（即的初始压强），平衡转化率为,该反应的平衡常数为__________（用平衡分压代替平衡浓度计算，分压=总压×物质的量分数）．18．（14分）氢能是理想清洁能源，氢能产业链由制氢、储氢和用氢组成（1）利用铁及其氧化物循环制氢，原理如图所示．反应器Ⅰ中化合价没有发生改变的元素有（填选项）__________；A ．B ．CC ．OD ．H请书写反应器Ⅱ中发生的化学反应的方程式__________．（2）一定条件下，将氮气和氢气按混合匀速通入合成塔，在高温高压下发生反应．海绵状的作催化剂，多孔作为的“骨架”和气体吸附剂．①中含有会使催化剂中毒．和氨水的混合溶液能吸收生成4010C H 1200K .404012102C H (g)C H (g)H )g (=+0P 4012C H αP K Fe ()()22n N :n H 1:3=223N 3H 2NH +A αFe -23Al O αFe -2H CO ()332CH COO Cu NH ⎡⎤⎣⎦CO溶液，该反应的化学方程式为__________．②含量与表面积、出口处氨含量关系如图所示．含量大于2%，出口处氨含量下降的原因是__________．（3）反应可用于储氢．①密闭容器中，其他条件不变，向含有催化剂的溶液中通入产率随温度变化如下图所示．温度高于，产率下降的可能原因是__________．②使用含氨基物质（化学式为是一种碳衍生材料）联合催化剂储氢，可能机理如下图所示．氨基能将控制在催化剂表面，其原理可能是（填选项）__________；A ．氨基与之间发生了氧化还原反应B ．氨基与之间形成了氢键③反应的实际反应历程如上图所示，有的化学键既断裂又形成，它可以是（填()333CH COO Cu NH CO ⎡⎤⎣⎦23Al O αFe -23Al O 232H HCO HCOO H O --+=+130.1mol L NaHCO -⋅2H ,HCOO -70℃HCOO -2CN NH ,CN -Pd Au -3HCO -3HCO -3HCO -232H HCO HCOO H O --+=+选项）__________．A ． B ．C ．19．（10分）水煤气变换是重要的化工过程，主要用于合成氨、制氢以及合成气加工等工业领域中．回答下列问题：（1）由曾做过下列实验：①使纯缓慢地通过处于下的过量氧化钴,氧化钴部分被还原为金属钴,平衡后气体中的物质的量分数为0.0250．②在同一温度下用还原,平衡后气体中的物质的量分数为0.0192．根据上述实验结果判断，还原为的倾向是__________（填“大于”或“小于”）．（2）时，在密闭容器中将等物质的量的和混合，采用适当的催化剂进行反应，则平衡时体系中比的物质的量分数为__________（填标号）．A ．B ．0.25C ．D ．0.50E ．（3）研究了时水煤气变换中和分压随时间变化关系（如下图所示），催化剂为氧化铁，实验初始时体系中的和相等、和相等．计算曲线a 的反应在内的平均速率__________．时的曲线是__________．时随时间变化关系的曲线是__________．C H -C N -N H-[]222CO(g)H O(g)CO (g)H (g)H 0++∆<A Shibata 2H 721℃()CoO s ()Co 2H CO ()CoO s CO ()CoO s ()Co s CO 2H 721℃()CO g ()2H O g 2H 0.25<0.25~0.500.50>Shoichi 467489℃、℃CO 2H 2H O p CO p 2CO p 2H p 30~90min v(a)=1kPa min -⋅467℃2H p 489℃CO p2024-2025学年度第一学期高二年级10月考试化学参考答案题号12345678910答案B B D D A CCACD题号1112131415答案DACBB参考答案：若主观题中有双选时，错选和多选均不给分，漏选时给一半分16．【每空2分】（1）0.02（2）1,27/32（3）d（4）c17．【每空2分】（1）3 （2）6 （3）18．【每空2分】（1）①．C②．（高温）（2）①．②．多孔可作为气体吸附剂，含量过多会吸附生成的含量大于2%时，表面积减小，反应速率减小，产生减少．（3）①．受热分解，导致产率下降 ②．B ③．BC19．【每空2分】（1）大于（2）C（3）0.0047bd202a P 1a -23423Fe 4H O(g)Fe O 4H +=+()()333233223CH COO Cu NH NH H O CO CH COO Cu NH CO H O ⎡⎤⎡⎤+⋅+=+⎣⎦⎣⎦23Al O 323NH ,Al O αFe -3NH 3NaHCO HCOO -。
2019-2020学年河北省唐山一中高三(上)月考数学试卷(文科)(一)
2019-2020学年河北省唐山一中高三（上）月考数学试卷（文科）（一）一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 设全集I＝R，M＝{x|x2>4}，N＝{x|2x−1≥1}，如图所示：则图中阴影部分所表示的集合为（）A.{x|x<2}B.{x|−2<x<1}C.{x|−2≤x≤2}D.{x|1<x≤2}【答案】D【考点】Venn图表达集合的关系及运算【解析】先化简集合M和集合N，然后根据图中阴影部分所表示的集合为属于集合N但不属于集合M，解之即可．【解答】M＝{x|x2>4}＝{x|x>2或x<−2}N＝{x|2x−1≥1}＝{x|1<x≤3}图中阴影部分所表示的集合为属于集合N但不属于集合M则图中阴影部分所表示的集合为{x|1<x≤2}2. i为虚数单位，则(1+i1−i)2016＝（）A.iB.−iC.1D.−1【答案】C【考点】复数的运算【解析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数1+i1−i，则答案可求．【解答】1+i 1−i =(1+i)2(1−i)(1+i)=2i2=i，则(1+i1−i)2016＝i2016＝(i4)504＝1．3. 函数y=2xlnx的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】D【考点】函数的图象与图象的变换【解析】根据函数的定义域，特殊点的函数值符号，以及函数的单调性和极值进行判断即可．【解答】由lnx≠0得，x>0且x≠1，当0<x<1时，lnx<0，此时y<0，排除B，C，函数的导数f′(x)=21nx−2x⋅1 x(lnx)2=21nx−2(lnx)2，由f′(x)>0得lnx>1，即x>e此时函数单调递增，由f′(x)<0得lnx<1且x≠1，即0<x<1或1<x<e，此时函数单调递减，4. 将函数y=√3cosx+sinx(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个长度单位后，所得到的图象关于原点对称，则m的最小值是（）A.π12B.π6C.π3D.2π3【答案】D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】利用两角和的正弦化简原函数，然后利用三角函数的图象平移得到平移后图象的函数解析式，由图象关于原点对称列式求得m的最小值．【解答】设y＝f(x)=√3cosx+sinx(x∈R)，化简得f(x)＝2(√32cosx+12sinx)＝2sin(x+π3)，∴图象向左平移m(m>0)个单位长度得到y＝2sin[(x+m)+π3]＝2sin(x+m+π3)，∵所得的图象关于原点对称，∴m+π3=kπ(k∈Z)，则m的最小正值为2π3．5. 已知向量a→与b→的夹角为60∘，|a→|＝2，|b→|＝5，则2a→−b→在a→方向上的投影为（）A.3 2B.2C.52D.3【答案】A【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】根据平面向量数量积的定义与投影的定义，进行计算即可．【解答】∵向量a→与b→的夹角为60∘，且|a→|＝2，|b→|＝5，∴(2a→−b→)⋅a→=2a→2−b→⋅a→=2×22−5×2×cos60∘＝3，∴向量2a→−b→在a→方向上的投影为a→⋅(2a→−b→)|a→|=32．6. 已知等比数列{a n}的前n项和为S n＝3n+a，则数列{a n2}的前n项和为（）A.9n−12B.9n−14C.9n−18D.9n−1【答案】A【考点】等比数列的前n项和【解析】等比数列{a n}的前n项和为S n＝3n+a，所以a1＝3+a，a2＝(9+a)−(3+a)＝6，a3＝(27+a)−(9+a)＝18，所以a22=a1×a3得a的值，因为数列{a n}为等比数列，故数列{a n2}为以a12为首项，以q2为公比的等比数列，求出数列{a n2}的的首项和公比，求出其前n项和．【解答】依题意，等比数列{a n}的前n项和为S n＝3n+a，所以a1＝3+a，a2＝(9+a)−(3+a)＝6，a3＝(27+a)−(9+a)＝18，所以a22=a1×a3得a＝−1，所以a1＝2，q＝3，所以数列{a n2}的首项为4，公比为9，所以数列{a n2}的前n项和T n=4(1−9n)1−9=9n−12．7. 在△ABC中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanA=√2bcb2+c2−a2，a=√2，S为△ABC的面积，则S+√2cosBcosC的最大值为（）A.4B.√2C.√3D.2【答案】B【考点】正弦定理余弦定理【解析】先利用余弦定理求得sinA，进而通过正弦定理表示出c，代入面积公式求得S+√2cosBcosC的表达式，利用两角和与差的余弦函数公式化简求得其最大值．【解答】∵tanA=√2bcb2+c2−a2，∴tanA=√2bcb2+c2−a2=−√22sinA，∴sinA=√22，由正弦定理c＝a⋅sinCsinA，∴S=12acsinB=√2sinBsinC∴S+√2cosBcosC=√2sinBsinC+√2cosBcosC=√2cos(B−C)≤√2，8. 定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)＝−f(x)，当x∈[0, 1]时，f(x)＝−2x+1，则函数g(x)＝f(x)−sinπ2x(0≤x≤4)的零点之和为（）A.3B.4C.5D.8【答案】C【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)＝−f(x)则f(x+2)＝f(x)，所以f(x)以2为周期，结合奇偶性可以绘制函数f(x)的图象，再绘制函数ℎ(x)＝sinx在0≤x≤4时的图象．函数而g(x)在0≤x≤4的零点即为函数f(x)与函数ℎ(x)＝sinx在0≤x≤4时的交点横坐标，根据对称性即可得到结论．【解答】f(x+1)＝−f(x)则f(x+2)＝f(x)，所以f(x)以2为周期，又当x∈[0, 1]时，f(x)＝−2x+1，所以可得函数f(x)在[−1, 1]上的图象，又知f(x)周期为2，故可以绘制f(x)在[0, 4]上的图象，设ℎ(x)＝sinπ2x，ℎ(x)为周期为4的函数，用5点法画出其在[0, 4]上的图象，可知函数f(x)和g(x)在[0, 4]上又3个交点，其横坐标分别记为x1，x2，x3，因为f(x)和ℎ(x)都以x＝1为对称轴，所以x1+x2＝2，又x3＝3，所以函数g(x)＝f(x)−sinπ2x(0≤x≤4)的零点之和为：2+3＝5．9. 已知奇函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为f′(x)，当x>0时有2f(x)+ xf′(x)>x2，则不等式(x+2014)2f(x+2014)+4f(−2)<0的解集为（）A.(−∞, −2012)B.(−2016, −2012)C.(−∞, −2016)D.(−2016, 0)【答案】A【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】构造函数F(x)＝x2f(x)，根据导数求出函数的单调区间，再由(x+2014)2f(x+ 2014)+4f(−2)<0转化为F(x+2014)<−F(−2)＝F(2)，解得即可．【解答】由2f(x)+xf′(x)>x2，(x>0)；得：2xf(x)+x2f′(x)>x3即[x2f(x)]′>x3>0；令F(x)＝x2f(x)；则当x>0时，F′(x)>0，即F(x)在(0, +∞)上是增函数，∵f(x)为奇函数，∴F(x)＝x2f(x)为奇函数，∴F(x)在(−∞, 0)上是增函数，∴F(x+2014)＝(x+2014)2f(x+2014)，F(−2)＝4f(−2)；即不等式等价为F(x+2014)+F(−2)<0；即F(x+2014)<−F(−2)＝F(2)，∴x+2014<2，∴x<−2012；∴原不等式的解集是(−∞, −2012)．10. 已知函数f(x)＝sin(ωx+π3)(ω>0)在(0, 2]上恰有一个最大值1和一个最小值−1，则ω的取值范围是（）A.[5π12,13π12) B.(5π12,13π12] C.[7π12,13π12) D.(7π12,13π12]【答案】C【考点】三角函数的最值【解析】在(0, +∞)上f(x)第一个取得最大值1的ωx+π3的值是π2，第二个ωx+π3的值为5π2，f(x)第一个取得最小值−1的ωx+π3的值是3π2，故由3π2≤2ω+π3<5π2可解得．【解答】依题意可得：3π2≤2ω+π3<5π2，解得7π12≤ω<13π12，11. 已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n (n ∈N ∗)，若S nT n=2n−1n+1，则实数a 12b 6=( )A.154B.158C.237D.3【答案】 A【考点】等差数列的前n 项和 【解析】由题意可设S n =kn(2n −1)=2kn 2−kn ，T n =kn(n +1)=kn 2+kn ，(k ≠0)．由此求得a 12，b 6，则答案可求． 【解答】解：由题意可设S n =kn(2n −1)=2kn 2−kn ， T n =kn(n +1)=kn 2+kn ，(k ≠0)．则a 12=S 12−S 11=288k −12k −242k +11k =45k ． b 6=T 6−T 5=36k +6k −25k −5k =12k ．∴ 实数a 12b 6=45k 12k =154．故选A .12. 数列{a n }满足a 1=14，a n+1=14−4a n，若不等式a 2a 1+a 3a 2+⋯+a n+2a n+1<n +λ对任何正整数n 恒成立，则实数λ的最小值为（ ） A.38B.34C.78D.74【答案】D【考点】数列与不等式的综合 【解析】通过计算出数列{a n }的前几项可知a n =n2(n+1)，进而变形可知a n+1a n=1+12(1n −1n+2)，并项相加、放缩即得结论． 【解答】∵ 数列{a n }满足a 1=14，a n+1=14−4a n，∴ a 2=14−4⋅14=13=26，a 3=14−4⋅13=38， a 4=14−4⋅38=25=410， a 5=14−4⋅25=512， a 6=14−4⋅512=37=614，…由此可知：a n =n2(n+1)， ∵a n+1a n=n+12(n+2)n 2(n+1)=(n+1)2n(n+2)=1+1n(n+2)=1+12(1n −1n+2)，∴ a 2a 1+a3a 2+⋯+an+2a n+1=n +1+12(1−13+12−14+⋯+1n −1n+2+1n+1−1n+3)＝n +1+12(1+12−1n+2−1n+3) ＝n +74−12(1n+2+1n+3)，又∵ 不等式a 2a 1+a 3a 2+⋯+an+2a n+1<n +λ对任何正整数n 恒成立，∴ 实数λ的最小值为74，二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）已知函数f(x)＝sin(2x +φ)(0≤φ<π)关于直线x =−π6对称，则f(0)＝________． 【答案】12【考点】正弦函数的奇偶性和对称性 【解析】首先利用函数的对称性求出函数的关系式，进一步求出函数的值． 【解答】函数f(x)＝sin(2x +φ)(0≤φ<π)关于直线x =−π6对称，则2⋅(−π6)+φ＝kπ+π2(k ∈Z)，解得φ=kπ+5π6，所以当k ＝0时，φ=5π6，故f(x)＝sin(2x +5π6)，所以f(0)＝sin 5π6=12．知a >0，b >0，且a +3b =1b −1a ，则b 的最大值为________13 ． 【答案】13【考点】基本不等式及其应用 【解析】由已知条件得出1b −3b =a +1a ，由基本不等式得出1b −3b ≥2，解出该不等式并结合b >0，可得出b 的取值范围，于是可得出b 的最大值． 【解答】由已知条件可得1b −3b =a +1a ，由基本不等式可得1b−3b =a +1a≥2√a ⋅1a=2，当且仅当a =1a (a >0)，即当a ＝1时，等号成立．所以，1b −3b ≥2，由于b >0，所以，3b 2+2b −1≤0，解得0<b ≤13． 因此，b 的最大值为13．已知不等式组{x +y −1≥0x −y +1≥02x −y −2≤0 表示的平面区域为D ，若对任意的(x, y)∈D ，不等式|x −2y|≤t 恒成立，则实数t 的取值范围是________． 【答案】 [5, +∞) 【考点】 简单线性规划 【解析】画出不等式组表示的平面区域，根据图形求得|x −2y|max ，即可得出实数t 的取值范围． 【解答】画出不等式组{x +y −1≥0x −y +1≥02x −y −2≤0 表示的平面区域，如图阴影所示；由图形知，点B 到直线x −2y ＝0的距离最大，由{2x −y −2=0x −y +1=0 ，解得B(3, 4)， 所以|x −2y|max ＝|3−2×4|＝5，所以不等式|x −2y|≤t 恒成立时，实数t 的取值范围是t ≥5．如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC 、直角边AB 、直角边AC ，△ABC 的三边所围成的区域．若BC ＝10，过点A 作AD ⊥BC 于D ，当△ABD 面积最大时，黑色区域的面积为________．【答案】25√32【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III，由题意，计算△ABD的面积，求出面积取最大值时对应的θ值，再计算区域Ⅱ的面积S．【解答】因为BC＝10，设∠ABC=θ2，所以AB＝10cosθ2，BD＝ABcosθ2=10cos2θ2=5(1+cosθ)，AD＝ABsinθ2=10sinθ2cosθ2=5sinθ，所以S△ABD=12BD⋅AD=12×5sinθ⋅5(1+cosθ)=252sinθ(1+cosθ)，设f(θ)＝sinθ(1+cosθ)，θ∈(0, π)，则f′(θ)＝2cos2θ+cosθ−1＝0，解得cosθ=12，得θ=π3；当θ∈(0, π3)时，cosθ>12，f′(θ)>0，f(θ)为增函数；当θ∈(π3, π)时，cosθ<12，f′(θ)<0，f(θ)为减函数；所以，当θ=π3时，f(θ)最大，△ABD面积最大，设△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III，此时，区域Ⅱ的面积为S II=12π⋅(AB2)2+12π⋅(AC2)2−S=12π⋅(AB2)2+12π⋅(AC2)2−[1 2π⋅(BC2)2−S]＝S，且S=12AB⋅AC=12×10sinθ2×10cosθ2=25sinθ=25√32，故当△ABD面积最大时，区域Ⅱ的面积为25√32．三．解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）已知向量a→=(√2cosωx+1,2sinωx)，b→=(√6cosωx−√3,cosωx)(ω>0)（1）当ωx≠kπ+π2,k∈Z时，若向量c→=(1,0),d→=(√3,0)，且(a→−c→)∥(b→+d→)，求4sin 2ωx −cos 2ωx 的值；（2）若函数f(x)=a →⋅b →的图象的相邻两对称轴之间的距离为π4，当x ∈[−π8,π6]时，求函数f(x)的最大值和最小值． 【答案】a →=(√2cosωx +1,2sinωx),b →=(√6cosωx −√3,cosωx),c →=(1,0),d →=(√3,0)， ∴ a →−c →=(√2cosωx,2sinωx)，b →+d →=(√6cosωx,cosωx)，∵ (a →−c →)∥(b →+d →)，∴ √2cosωx ⋅cosωx =2√6sinωx ⋅cosωx ， ∴ cosωx =2√3sinωx ， ∴ tanωx =√36，∴ 4sin 2ωx −cos 2ωx =4sin 2ωx−cos 2ωx sin 2ωx+cos 2ωx=4tan 2ωx−1tan 2ωx+1=4×(√36)2−1(√36)=−813．f(x)=a →⋅b →=(√2cosωx +1,2sinωx)⋅(√6cosωx −√3,cosωx)=(√2cosωx +1)⋅(√6cosωx −√3)+2sinωxcosωx=√3(2cos 2ωx −1)+sin2ωx =√3cos2ωx +sin2ωx =2(12sin2ωx +√32cos2ωx)=2(cos π3sin2ωx +sin π3cos2ωx)=2sin(2ωx +π3)，∵ f(x)的图象的相邻两对称轴之间的距离为π4， ∴ 其最小正周期T =2×π4=π2=2π2ω(ω>0)， ∴ ω＝2，∴ f(x)=2sin(4x +π3)， ∵ x ∈[−π8,π6]∴ 4x +π3∈[−π6,π]，∴ 当4x +π3=−π6即x =−π8时，f(x)取得最小值−1； 当4x +π3=π2即x =π24时，f(x)取得最大值2． 【考点】三角函数中的恒等变换应用 【解析】（1）根据题意得到tanωx =√36，将所求式子进行齐次化得到结果即可；（2）根据题意解得f(x)表达式，将4x +π3看作一个整体求得范围，从而确定最值． 【解答】a →=(√2cosωx +1,2sinωx),b →=(√6cosωx −√3,cosωx),c →=(1,0),d →=(√3,0)， ∴ a →−c →=(√2cosωx,2sinωx)，b →+d →=(√6cosωx,cosωx)，∵ (a →−c →)∥(b →+d →)，∴ √2cosωx ⋅cosωx =2√6sinωx ⋅cosωx ， ∴ cosωx =2√3sinωx ， ∴ tanωx =√36，∴ 4sin 2ωx −cos 2ωx =4sin 2ωx−cos 2ωx sin 2ωx+cos 2ωx=4tan 2ωx−1tan 2ωx+1=4×(√36)2−1(√36)=−813．f(x)=a →⋅b →=(√2cosωx +1,2sinωx)⋅(√6cosωx −√3,cosωx)=(√2cosωx +1)⋅(√6cosωx −√3)+2sinωxcosωx=√3(2cos 2ωx −1)+sin2ωx =√3cos2ωx +sin2ωx =2(12sin2ωx +√32cos2ωx)=2(cos π3sin2ωx +sin π3cos2ωx)=2sin(2ωx +π3)，∵ f(x)的图象的相邻两对称轴之间的距离为π4， ∴ 其最小正周期T =2×π4=π2=2π2ω(ω>0)， ∴ ω＝2，∴ f(x)=2sin(4x +π3)， ∵ x ∈[−π8,π6]∴ 4x +π3∈[−π6,π]，∴ 当4x +π3=−π6即x =−π8时，f(x)取得最小值−1； 当4x +π3=π2即x =π24时，f(x)取得最大值2．已知x ，y ∈(0, +∞)，x 2+y 2＝x +y ． （1）求1x +1y 的最小值；（2）是否存在x ，y ，满足(x +1)(y +1)＝5？并说明理由． 【答案】 1x+1y =x+y xy =x 2+y 2xy≥2xy xy=2，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立． 所以1x +1y 的最小值为2． 不存在．因为x 2+y 2≥2xy ，所以(x +y)2≤2(x 2+y 2)＝2(x +y)， ∴ (x +y)2−2(x +y)≤0，又x ，y ∈(0, +∞)，所以x +y ≤2． 从而有(x +1)(y +1)≤[(x+1)+(y+1)2]2≤[2+22]2=4，因此不存在x ，y ，满足(x +1)(y +1)＝5． 【考点】基本不等式及其应用 【解析】（1）根据基本不等式的性质求出1x +1y 的最小值即可；（2）根据基本不等式的性质得到(x +1)(y +1)的最大值是4，从而判断出结论即可． 【解答】1x+1y=x+y xy=x 2+y 2xy≥2xy xy=2，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立． 所以1x +1y 的最小值为2．不存在．因为x 2+y 2≥2xy ，所以(x +y)2≤2(x 2+y 2)＝2(x +y)， ∴ (x +y)2−2(x +y)≤0，又x ，y ∈(0, +∞)，所以x +y ≤2． 从而有(x +1)(y +1)≤[(x+1)+(y+1)2]2≤[2+22]2=4，因此不存在x ，y ，满足(x +1)(y +1)＝5．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，中线AD ＝m ，满足a 2+2bc ＝4m 2．(Ⅰ)求∠BAC ；(Ⅱ)若a ＝2，求△ABC 的周长的取值范围． 【答案】解(Ⅰ)在△ABD 和△ACD 中c 2=m 2+14a 2−macosADB ，b 2=m 2+14a 2−macosADC ， 因为∠ADB +∠ADC ＝π，所以cos∠ADB +cos∠ADC ＝0，b 2+c 2=2m 2+12a 2，m 2=12b 2+12c 2−14a 2，由已知a 2+2bc ＝4m 2，得a 2+2bc ＝2b 2+2c 2−a 2，即b 2+c 2−a 2＝bc ，cosBAC =b 2+c 2−a 22bc=12，又0<A <π，所以∠BAC =π3．（2）在△ABC 中有正弦定理得asin π3=b sinB =csinC ，又a ＝2，所以b =4√33sinB ，c =4√33sinC =4√33sin(2π3−B)，故b +c =4√33sinB +4√33sin(2π3−B)=4√33(32sinB +√32cosB)=4sin(B +π6)，因为0<B<2π3，故π6<B+π6<5π6，所以12<sin(B+π6)≤1，b+c∈(2, 4]，故△ABC周长的取值范围是(4, 6]．【考点】余弦定理【解析】(Ⅰ)根据余弦定理求出cos∠ADB，cos∠ADC，以及∠ADB+∠ADC＝π，所以cos∠ADB+cos∠ADC＝0可解得；(Ⅱ)根据正弦定理将b，c转化为B角得b+c＝4sin(B+π6)，根据B角范围求得取值范围，再加上a＝2即为周长的取值范围．【解答】解(Ⅰ)在△ABD和△ACD中c2=m2+14a2−macosADB，b2=m2+14a2−macosADC，因为∠ADB+∠ADC＝π，所以cos∠ADB+cos∠ADC＝0，b2+c2=2m2+12a2，m2=1 2b2+12c2−14a2，由已知a2+2bc＝4m2，得a2+2bc＝2b2+2c2−a2，即b2+c2−a2＝bc，cosBAC=b2+c2−a22bc =12，又0<A<π，所以∠BAC=π3．（2）在△ABC中有正弦定理得asinπ3=bsinB=csinC，又a＝2，所以b=4√33sinB，c=4√33sinC=4√33sin(2π3−B)，故b+c=4√33sinB+4√33sin(2π3−B)=4√33(32sinB+√32cosB)=4sin(B+π6)，因为0<B<2π3，故π6<B+π6<5π6，所以12<sin(B+π6)≤1，b+c∈(2, 4]，故△ABC周长的取值范围是(4, 6]．已知函数f(x)为R上的偶函数，g(x)为R上的奇函数，且f(x)+g(x)=log4(4x+1)．(1)求f(x)，g(x)的解析式；(2)若函数ℎ(x)=f(x)−12log2(a⋅2x+2√2a)(a>0)在R上只有一个零点，求实数a的取值范围．【答案】解：(1)∵f(x)+g(x)=log4(4x+1)①，∴f(−x)+g(−x)=log4(4−x+1)，∴f(x)−g(x)=log4(4x+1)−x②.由①②得，f(x)=log4(4x+1)−x2，g(x)=x2；(2)由ℎ(x)=f(x)−12log2(a⋅2x+2√2a)=log4(4x+1)−x2−12log2(a⋅2x+2√2a)=12log2(22x+1)−x2−12log2(a⋅2x+2√2a)=0，得：log222x+12x=log2(a⋅2x+2√2a)⇒(a−1)22x+2√2a⋅2x−1=0，令t=2x，则t>0，即方程(a−1)t2+2√2at−1=0(∗)只有一个大于0的根，①当a=1时，t=√24>0，满足条件；②当方程(∗)有一正一负两根时，满足条件，则−1a−1<0，∴a>1；③当方程(∗)有两个相等的且为正的实根时，则Δ=8a2+4(a−1)=0，∴a=12，a=−1（舍）.a=12时，t=2√2>0.综上，a=12或a≥1．【考点】函数的零点函数解析式的求解及常用方法【解析】（1）利用函数的奇偶性列出方程组求解即可得到函数的解析式．（2）利用函数只有一个零点，通过换元法，对a讨论，结合二次函数的性质求解即可．【解答】解：(1)∵f(x)+g(x)=log4(4x+1)①，∴f(−x)+g(−x)=log4(4−x+1)，∴f(x)−g(x)=log4(4x+1)−x②.由①②得，f(x)=log4(4x+1)−x2，g(x)=x2；(2)由ℎ(x)=f(x)−12log2(a⋅2x+2√2a)=log4(4x+1)−x2−12log2(a⋅2x+2√2a)=12log2(22x+1)−x2−12log2(a⋅2x+2√2a)=0，得：log222x+12x=log2(a⋅2x+2√2a)⇒(a−1)22x+2√2a⋅2x−1=0，令t=2x，则t>0，即方程(a−1)t2+2√2at−1=0(∗)只有一个大于0的根，①当a=1时，t=√24>0，满足条件；②当方程(∗)有一正一负两根时，满足条件，则−1a−1<0，∴a>1；③当方程(∗)有两个相等的且为正的实根时，则Δ=8a2+4(a−1)=0，∴a=12，a=−1（舍）.a=12时，t=2√2>0.综上，a=12或a≥1．已知数列{a n}的前n项和S n满足，S n＝2a n+(−1)n，n≥1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：对任意整数m>4，有1a4+1a5+⋯+1a m<78(m>4)．【答案】a n=S n−S n−1=2a n+(−1)n−2a n−1−(−1)n−1化简即a n=2a n−1+2(−1)n−1即a n+23(−1)n=2[a n−1+23(−1)n−1]由a1＝1，故数列{a n+23(−1)n}是以a1+23(−1)为首项，公比为2的等比数列．故a n+23(−1)n=13×2n−1即a n=13×2n−1−23(−1)n=23[2n−2−(−1)n]证明：由已知得1a4+1a5+⋯+1a m=32[122−1+123+1+⋯+12m−2−(−1)n]=32[13+19+115+1 33+163+⋯+12m−2−(−1)m]=12(1+13+15+111+121+⋯)<12(1+13+15+110+120+⋯)=1 2[43+15(1−12m−5)1−12]=12(43+25−25×12m−5)=1315−15(12)m−5<1315=104120<105120=78故1a4+1a5+⋯+1a m<78(m>4)【考点】数列与不等式的综合数列递推式【解析】（1）由递推式，证明数列{a n+23(−1)n}是以a1+23(−1)为首项，公比为2的等比数列，即可求数列{a n}的通项公式；（2）利用放缩法，结合等比数列的求和公式，即可证明结论．【解答】a n=S n−S n−1=2a n+(−1)n−2a n−1−(−1)n−1化简即a n=2a n−1+2(−1)n−1即a n+23(−1)n=2[a n−1+23(−1)n−1]由a1＝1，故数列{a n+23(−1)n}是以a1+23(−1)为首项，公比为2的等比数列．故a n+23(−1)n=13×2n−1即a n=13×2n−1−23(−1)n=23[2n−2−(−1)n]证明：由已知得1a4+1a5+⋯+1a m=32[122−1+123+1+⋯+12m−2−(−1)n]=32[13+19+115+1 33+163+⋯+12m−2−(−1)m]=12(1+13+15+111+121+⋯)<12(1+13+15+110+120+⋯)=1 2[43+15(1−12m−5)1−12]=12(43+25−25×12m−5)=1315−15(12)m−5<1315=104120<105120=78故1a4+1a5+⋯+1a m<78(m>4)函数f(x)＝lnx+1x −12，g(x)＝e x−12x2−ax−12a2(e是自然对数的底数，a∈R)．(Ⅰ)求证：|f(x)|≥−(x−1)2+12；(Ⅱ)已知[x]表示不超过x的最大整数，如[1.9]＝1，[−2.1]＝−3，若对任意x1≥0，都存在x2>0，使得g(x1)≥[f(x2)]成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）f′(x)=1x −1x2=x−1x2(x>0)．当x>1时，f′(x)>0，当0<x<1时，f′(x)<0，即f(x)在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增，所以，当x＝1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)=12，所以|f(x)|=f(x)≥12，又−(x−1)2+12≤12，且当x＝1时等号成立，所以，|f(x)|≥−(x−1)2+12．（2）记当x≥0时，g(x)的最小值为g(x)min，当x>0时，[f(x)]的最小值为[f(x)]min，依题意有g(x)min≥[f(x)]min，由(Ⅰ)知f(x)≥12，所以[f(x)]min＝0，则有g(x)min≥0，g′(x)＝e x−x−a．令ℎ(x)＝e x−x−a，ℎ′(x)＝e x−1，而当x≥0时，e x≥1，所以ℎ′(x)≥0，所以ℎ(x)在[0, +∞)上是增函数，所以ℎ(x)min＝ℎ(0)＝1−a．①当1−a≥0，即a≤1时，ℎ(x)≥0恒成立，即g′(x)≥0，所以g(x)在[0, +∞)上是增函数，所以g(x)min=g(0)=1−a22，依题意有g(x)min=1−a22≥0，解得−√2≤a≤√2，所以−√2≤a≤1．②当1−a<0，即a>1时，因为ℎ(x)在[0, +∞)上是增函数，且ℎ(0)＝1−a<0，若a+2<e2，即1<a<e2−2，则ℎ（ln(a+2)）＝a+2−ln(a+2)−a＝2−ln(a+2)>0，所以∃x0∈（0, ln(a+2)），使得ℎ(x0)＝0，即a=e x0−x0，且当x∈(0, x0)时，ℎ(x)<0，即g′(x)<0；当x∈(x0, +∞)时，ℎ(x)>0，即g′(x)> 0，所以，g(x)在(0, x0)上是减函数，在(x0, +∞)上是增函数，所以g(x)min=g(x0)=e x0−12x0−ax0−12a2≥0，又a=e x0−x0，所以g(x)min=e x0−12(x0+a)2=e x0−12e2x0=12e x0(2−e x0)≥0，所以e x0≤2，所以0<x0≤ln2．由a=e x0−x0，可令t(x)＝e x−x，t′(x)＝e x−1，当x∈(0, ln2]时，e x>1，所以t(x)在(0, ln2]上是增函数，所以当x∈(0, ln2]时，t(0)<t(x)≤t(ln2)，即1<t(x)≤2−ln2，所以1<a≤2−ln2．综上，所求实数a的取值范围是[−√2,2−ln2]．【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】(Ⅰ)求出导函数f′(x)=1x −1x2=x−1x2(x>0)．求出函数的最小值，利用二次函数的性质推出结果．(Ⅱ)记当x≥0时，g(x)的最小值为g(x)min，当x>0时，[f(x)]的最小值为[f(x)]min，题目转化为g(x)min≥[f(x)]min，ℎ(x)＝e x−x−a，ℎ′(x)＝e x−1，通过求解导数，①当a≤1时，求出g(x)min=1−a22≥0，②当a>1时，利用ℎ(x)在[0, +∞)上是增函数，推出a=e x0−x0，转化求出g(x)min=g(x0)=e x0−12x0−ax0−12a2≥0，转化求解1<a≤2−ln2．【解答】（1）f′(x)=1x −1x2=x−1x2(x>0)．当x>1时，f′(x)>0，当0<x<1时，f′(x)<0，即f(x)在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增，所以，当x＝1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)=12，所以|f(x)|=f(x)≥12，又−(x−1)2+12≤12，且当x＝1时等号成立，所以，|f(x)|≥−(x−1)2+12．（2）记当x≥0时，g(x)的最小值为g(x)min，当x>0时，[f(x)]的最小值为[f(x)]min，依题意有g(x)min≥[f(x)]min，由(Ⅰ)知f(x)≥12，所以[f(x)]min＝0，则有g(x)min≥0，g′(x)＝e x−x−a．令ℎ(x)＝e x−x−a，ℎ′(x)＝e x−1，而当x≥0时，e x≥1，所以ℎ′(x)≥0，所以ℎ(x)在[0, +∞)上是增函数，所以ℎ(x)min＝ℎ(0)＝1−a．①当1−a≥0，即a≤1时，ℎ(x)≥0恒成立，即g′(x)≥0，所以g(x)在[0, +∞)上是增函数，所以g(x)min=g(0)=1−a22，依题意有g(x)min=1−a22≥0，解得−√2≤a≤√2，所以−√2≤a≤1．②当1−a<0，即a>1时，因为ℎ(x)在[0, +∞)上是增函数，且ℎ(0)＝1−a<0，若a+2<e2，即1<a<e2−2，则ℎ（ln(a+2)）＝a+2−ln(a+2)−a＝2−ln(a+2)>0，所以∃x0∈（0, ln(a+2)），使得ℎ(x0)＝0，即a=e x0−x0，且当x∈(0, x0)时，ℎ(x)<0，即g′(x)<0；当x∈(x0, +∞)时，ℎ(x)>0，即g′(x)> 0，所以，g(x)在(0, x0)上是减函数，在(x0, +∞)上是增函数，所以g(x)min=g(x0)=e x0−12x0−ax0−12a2≥0，又a=e x0−x0，所以g(x)min=e x0−12(x0+a)2=e x0−12e2x0=12e x0(2−e x0)≥0，所以e x0≤2，所以0<x0≤ln2．由a=e x0−x0，可令t(x)＝e x−x，t′(x)＝e x−1，当x∈(0, ln2]时，e x>1，所以t(x)在(0, ln2]上是增函数，所以当x∈(0, ln2]时，t(0)<t(x)≤t(ln2)，即1<t(x)≤2−ln2，所以1<a≤2−ln2．综上，所求实数a的取值范围是[−√2,2−ln2]．。
河北省唐山一中2020学年高二上学期第一次月考数学文试题Word版含答案
2017--1018学年度第一学期高二年级第一次月考文科数学试卷命题人：鲍芳 武聪一、选择题（每题5分，共60分）1. 已知两条直线l 1：(a －1)x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a ＝( )A ．－1B ．2C ．0或－2D ．－1或22. 若直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，垂足为(1，p )，则实数n 的值为( )A ．－12B ．－2C ．0D ．103. 在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为( )A ．3B ．2C. D ．14. 已知圆的方程是x 2＋y 2＝1，则在y 轴上截距为的切线方程为( )A ．y ＝x ＋B ．y ＝－x ＋C ．y ＝x ＋或y ＝－x ＋D ．x ＝1或y ＝x ＋5. 已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是2。
则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离6. 圆心在直线x －y －4＝0上，且经过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0B ．x 2＋y 2－x ＋7y －16＝0C ．x 2＋y 2－4x ＋4y ＋9＝0D ．x 2＋y 2－4x ＋4y －8＝07. 设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线，且|P A |＝1，则P 点的轨迹方程为( )A ．y 2＝2xB ．(x －1)2＋y 2＝4C ．y 2＝－2xD ．(x －1)2＋y 2＝28. 已知方程 k －4x2＋10－k y2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A ．(4，10)B ．(7，10)C ．(4，7)D ．(4，＋∞)9. 设F 1，F 2是椭圆C ：8x2＋4y2＝1的焦点，在曲线C 上满足的点P 的个数为( )A ．0B ．2C ．3D ．4 10. 已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是( )A ．[4－2，4＋2 ]B ．[4－，4＋ ]C ．[4－2，4＋2 ]D ．[4－，4＋ ]11. 已知椭圆a2x2＋b2y2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若，则椭圆的离心率是( )A.23B.22C.31D.2112.若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过(m ，n )的直线与椭圆9x2＋4y2＝1的交点个数( )A ．至多一个B ．2个C ．1个D ．0个二、填空题(每题5分，共20分）13. 如图所示，已知A (4,0)，B (0,4)，从点P (2,0) 射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上， 最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过 的路程是________．14.过点(1，)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝________．15. 已知动点P (x ，y )在椭圆25x2＋16y2＝1上，若A 点坐标为(3，0)，||＝1，且，则||的最小值是________．16. 已知椭圆中有一条倾斜角为的直线交椭圆于两点，若的中点为，则椭圆离心率为________．三、解答题（解答应写出必要的文字说明和推理过程，17题10分，其他题12分）17. 已知椭圆经过点A（0，4），离心率为；（1）求椭圆C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C 所截线段的中点坐标．18. 已知直线过点，并与直线和分别交于点A、B，若线段AB被点P平分．求：（1）直线的方程；（2）以为圆心且被截得的弦长为的圆的方程．19. 已知椭圆的左、右焦点坐标分别是，，离心率是，直线与椭圆交于不同的两点，以线段为直径作圆，圆心为.(1)求椭圆的方程；(2)若圆与x轴相切，求圆心的坐标．20.已知点，点是圆上的任意一点，线段的垂直平分线与直线交于点．（1）求点的轨迹方程；（2）若直线与点的轨迹有两个不同的交点和，且原点总在以为直径的圆的内部，求实数的取值范围．21. 已知点是离心率为的椭圆：上的一点，斜率为的直线交椭圆于、两点，且、、三点互不重合．（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线，的斜率之和为定值．22. 平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.(1)求椭圆的方程；（2）设直线交椭圆于于两点，求面积的最大值.答案一．选择题.D.B二．填空题,,, 17. （1）因为椭圆经过点A，所以b=4．又因离心率为，所以所以椭圆方程为：依题意可得，直线方程为，并将其代入椭圆方程，得．（2）设直线与椭圆的两个交点坐标为，则由韦达定理得，,所以中点横坐标为，并将其代入直线方程得，故所求中点坐标为．18.（1）依题意可设 A、 B，则，解得．即，又l过点P，易得AB方程为（2）设圆的半径为R，则，其中d为弦心距，，可得，故所求圆的方程为19 (1)∵a c ＝36且c ＝，∴a ＝，b ＝1.∴椭圆c 的方程为3x2＋y 2＝1. (2)由题意知点P (0，t )(－1<t <1)， 由＋y2＝1x2得x ＝± ∴圆P 的半径为， 又∵圆P 与x 轴相切， ∴|t |＝，解得t ＝±23，故P 点坐标为23.20. （Ⅰ）（Ⅱ）21.（Ⅰ）（Ⅱ）0 22. （II）1。
河北省唐山一中2019_2020学年高二数学10月月考试题【含答案】
(2)设
,则 的中点
代入
，得
，
与 18.直线
联立得
所以
所以直线 的方程为
即
. 圆心
到直线 的距离
弦长
为 的中点，
又
的方程为
.
19.(1)设动圆圆心
半径为
根据题意得：
所以
则动点 轨迹为双曲线(右支)，
其方程为
由点差法得 经验证成立.
，所以
所以
20. (1)
(2)设直线 ：
与
联立得，
.
由题意
所以
所以 21.(1)由抛物线定义知 的轨迹是抛物线，
14.在平面直角坐标系中，经过三点 A(1,5), B(5,5),C(6,2) 的圆的方程为__________．
15. F1, F2 分别是双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的左、右焦点，过 F1 的直线 l 与双曲线分别
交于点 A, B ，若 ABF2 为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为_______.
19.已知一动圆与圆 C1：(x 3)2 y2 9 外切，且与圆 C2：(x 3)2 y2 1 内切. (1) 求动圆圆心 P 的轨迹方程 C ； (2) 过点 Q (4,1) 能否作一条直线 l 与 C 交于 A，B 两点，且点 Q 是线段 AB 的中点，若存在，
求出直线 l 方程；若不存在，说明理由.
的高 BH 所在直线方程为 x 2 y 5 0. 求：
(1)顶点 C 的坐标； (2)直线 BC 的方程.
18. 圆 x2 y2 8 内有一点 P(1,2) ， AB 为过点 P 且倾斜角为 的弦.
(1)当 135o 时，求 AB 的长； (2)当弦 AB 被点 P 平分时，写出直线 AB 的方程.
河北省唐山一中高二数学十月月考试卷【会员独享】
2012—2013学年第一学期高二年级月考考试数 学第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、 圆O 1：x 2+y 2-2x=0和圆O 2：x 2+y 2-4y=0的位置关系是（ ） A ．相离 B ．相交 C ．外切 D ．内切 2、下列命题中，真命题是 （ ） A ．2,x R x x ∀∈≥B ．命题“若21,1x x ==则”的逆命题 C ．2,x R x x∃∈≥D ．命题“若,sin sin x y x y ≠≠则”的逆否命题3、已知12,a a u r u u r均为单位向量，那么11,22a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u r是)12a a +=u r u u r 的（ ）Ａ.充分不必要条件 Ｂ.必要不充分条件Ｃ.充分必要条件 Ｄ.既不充分又不必要条件4、已知命题p ：21,04x R x x ∀∈-+≥ ，则命题p 的否定p ⌝是 （ ） A. 21,04x R x x ∃∈-+< B. 21,04x R x x ∀∈-+≤C. 21,04x R x x ∀∈-+<D. 21,04x R x x ∃∈-+≥5、下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是（ ）A ．a >b +1B ．a >b -1C ．2a >2bD ．3a >3b 6、由直线y=x+1上的一点向圆x 2+y 2-6x+8=0引切线,则切线长的最小值为( ) A ．1 B ．22 C ．7 D ．37、双曲线2213x y m m-=的一个焦点是（0，2），则实数m 的值是（ ）A ．1B ．—1C ．D 8、与椭圆1422=+y x 共焦点且过点P )1,2(的双曲线方程是： ( ) A ．1422=-y x B ．1222=-y x C ．13322=-y x D ．1222=-y x 9、抛物线24x y =上一点到直线54-=x y 的距离最短，则该点的坐标是： ( ) A ．)1,21(B ．)0,0(C ．)2,1(D ．)4,1(10、如果圆()()228x a y a -+-=则实数a 的取值范围是（ ）A ．()()3,11,3--UB ．()3,3-C ．[]1,1-D ．(][)3,11,3--U11、已知双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为3c （c 为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率为（ ）A ．2 B ．32C ．2D ．2312、若曲线02221=-+x y x C ：与曲线0)(2=--m mx y y C ：有四个不同的交点, 则实数m 的取值范围是（ ） A ．)33,33(-B ．),33()33,(+∞⋃--∞C ．)33,0()0,33(⋃-D ．]33,33[-第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
河北省唐山市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)
唐山市2019~2020学年度高二年级第一学期期末考试数学试卷第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.20y ++=的倾斜角为（ ） A. 30︒ B. 60︒ C. 120︒ D. 150︒【答案】C 【解析】 【分析】由直线方程求出斜率，即可求出倾斜角．【详解】由题可知k =tan α=120α=o ． 故选：C ．【点睛】本题主要考查由直线方程求直线的倾斜角，属于基础题． 2.已知命题:0,p x ∃>20x ≥，则p ⌝为（ ）A. 00,x ∃>200x <B. 0,x ">20x <C. 00,x ∃≤200x <D.0,x ∀≤20x <【答案】B 【解析】 【分析】根据特称命题的否定为全称命题，即可求出． 【详解】p ⌝：0,x ">20x <． 故选：B ．【点睛】本题主要考查写出特称命题的否定，属于基础题． 3.抛物线22y x =的焦点到其准线的距离为（ ） A.14B.12C. 1D. 2【答案】C【解析】 【分析】根据题意可知，即求p ，因为22p =，即可求出1p =．【详解】根据p 的几何意义可知，抛物线的焦点到其准线的距离为p ．因为22p =，所以1p =．故选：C ．【点睛】本题主要考查抛物线标准方程中p 的几何意义应用，属于基础题． 4.已知m ，n 是两条不同直线，,αβ是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）A. 若//,m n //,αβ//m α，则//n β B 若//,m n //,m α//n β，则//αβ C. 若,m n ⊥,αβ⊥m α⊥，则n β⊥ D. 若//,m n //,αβm α⊥，则n β⊥ 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面平行，面面平行，线面垂直的判定定理或者有关性质，即可判断各命题的真假． 【详解】对A ，若//,m n //,αβ//m α，则//n β或n β⊂，错误； 对B ，若//,m n //,m α//n β，则//αβ或,αβ相交，错误； 对C ，若,m n ⊥,αβ⊥m α⊥，则n 不一定垂直于面β，错误； 对D ，因为//,αβm α⊥，所以m β⊥，而//,m n 所以n β⊥，正确． 故选：D ．【点睛】本题主要考查利用线面平行，面面平行，线面垂直的判定定理或者有关性质判断命题的真假，属于基础题．5.点(2,0)P 到双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线的距离为1，则双曲线的离心率为（ ）A.23B. 2C. 3D. 5【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线方程求出一条渐近线方程，再根据点到直线的距离公式列出等式，即可求出,a b 的关系，然后再利用222c a b =+，即可求出．【详解】因为双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线方程为b y x a =，即0bx ay -=．所以221a b =+，解得223a b =，又22224c a b b =+=，所以2333c e a b===．故选：A ．【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质应用，属于基础题． 6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 1B.13C. 2D.23【答案】B 【解析】 【分析】根据三视图还原几何体可知，该几何体为底面长为2，底面高为1，棱锥高为1的三棱锥，即可根据棱锥的体积公式求出．【详解】由图可知，该几何体为底面长为2，底面高为1，棱锥高为1的三棱锥，所以11112113323V Sh ==⨯⨯⨯⨯=．故选：B ．【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体，并求该几何体的体积，涉及棱锥的体积公式的应用，意在考查学生的直观想象能力，属于基础题．7.已知圆221:()4C x a y -+=与圆222:()1C x y b +-=外切，则点(,)M a b 与圆22:9C x y +=的位置关系是（ ）A. 在圆外B. 在圆上C. 在圆内D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据两圆的位置关系可求出,a b 的关系，再根据点与圆的位置关系判断条件，即可得出．【详解】由题可得，213=+=，即229a b +=，显然可知，点(,)M a b 在圆22:9C x y +=上．故选：B ．【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系应用，以及点与圆的位置关系判断，属于基础题．8.已知长方体1111ABCD A B C D -中，AB AD ==12AA =，则直线1AA 和1BC 所成角的大小为（ ） A. 15︒ B. 30︒ C. 45︒ D. 60︒【答案】D 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义可知，将直线1AA 平移至1BB ，所以11B BC ∠即为异面直线1AA 和1BC 所成角，解三角形，即可求出．【详解】如图所示，将直线1AA 平移至1BB ，所以11B BC ∠即为异面直线1AA 和1BC 所成角．在直角11BB C V 中，112A B A B ==，11BC AD ==，11tan 2B BC ∠== 所以1160B BC ∠=o．故选：D ．【点睛】本题主要考查异面直线所成角的求法，属于基础题． 9.“3k =”是“直线(2)y k x =+与曲线21y x =-有且只有一个公共点”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】先求出“直线(2)y k x =+与曲线21y x =-有且只有一个公共点”对应的k 的条件，再根据充分条件，必要条件的定义即可判断．【详解】若“直线(2)y k x =+与曲线21y x =-有且只有一个公共点”，则由图可知，当直线(2)y k x =+与圆221x y +=相切时，只有一个交点，计算可得3k =“3k =(2)y k x =+与曲线21y x =- 故选：C ．【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件定义的应用，以及数形结合思想的应用，属于中档题．10.四棱锥P-ABCD 的五个顶点都在同一球面上，平面PAB ⊥平面ABCD ，PA PB ⊥，PA PB ==ABCD 为正方形，则该球的表面积为（ ）A. 32πB. 16πC. 8πD. 64π【答案】A 【解析】 【分析】如图所示，根据球的几何性质可知，球心O 与四边形ABCD 的中心连线OG ⊥面ABCD ， 过O 作PAB △的中线PF 的垂线交PF 于E ，所以四边形OEFG 为矩形，设球的半径为R ，由EF OG ==2PF =，2OE FG ==，所以(22222R =+解出R ，即求出该球的表面积．【详解】如图所示，过点P 作PF AB ⊥，因为PA PB ==PA PB ⊥， 所以F 为AB 的中点，且4AB =，2PF =．由平面PAB ⊥平面ABCD ，所以PF ⊥平面ABCD ．由球的几何性质可知，球心O 与四边形ABCD 的中心连线OG ⊥面ABCD ，所以//OG PF ．过O 作PAB △的中线PF 的垂线OE 交PF 于E ，所以四边形OEFG 为矩形．设球的半径为R ，由EF OG ==2PF =，2OE FG ==，而222PO PE OE =+，即有(22222R =+，解得28R=．所以该球的表面积为2432S R ππ==． 故选：A ．【点睛】本题主要考查四棱锥的外接球的表面积的计算，意在考查学生的直观想象能力，逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题．11.已知F 为椭圆22:162x y C +=的右焦点，过F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，M 为AB的中点，则M 到x 轴的最大距离为（ ） A13B.123 D.22【答案】C 【解析】 【分析】先求出椭圆的右焦点坐标为()2,0，设直线l ：x =2ty +，与椭圆方程联立，利用韦达定理即可求出12y y +的表达式，即得到弦AB 的中点纵坐标122223y y tt +=-+，所以M 到x 轴的距离为223tt +，根据基本不等式即可求出． 【详解】因为226,2a b ==，所以椭圆的右焦点坐标为()2,0．设()()1122,,,A x y B x y ，直线l ：x =2ty +，（显然当直线斜率为0时，不可能最大），与椭圆方程联立得，()223420t y ty ++-=，所以12243ty y t +=-+， 即弦AB 的中点M 纵坐标为122223y y tt +=-+，所以M 到x 轴的距离为223t t +．当0t ≠时，22233t t t t=≤=++，故M 到x故选：C ．【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用，韦达定理以及基本不等式的应用，属于中档题．12.正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧面11BCC B 内一动点，若P 到点C 的距离与P 到直线11A B 的距离之比为(0)λλ>，则点P 轨迹所在的曲线可以是（ ） A. 直线或圆 B. 椭圆或双曲线C. 椭圆或抛物线D. 直线或抛物线 【答案】A 【解析】 【分析】根据几何知识可知，11A B ⊥面11BCC B ，所以11A B ⊥1B P 始终成立，因此P 到直线11A B 的距离为P 到点1B 的距离．在平面11BCC B 内建系，由平面解析几何求出轨迹方程，即可判断出点P 轨迹所在的曲线．【详解】因为11A B ⊥面11BCC B ，所以11A B ⊥1B P 始终成立，因此P 到直线11A B 的距离为P 到点1B 的距离．在平面11BCC B 内建系，如图所示，设()0,0C ，()1,1D ，(),P x y ，=化简整理得，()()2222222112220x y x y λλλλλ-+---+=． 故当1λ=时，轨迹为直线； 当1λ≠时，轨迹为圆． 故选：A ．【点睛】本题主要考查立体几何和平面解析几何的综合，以及轨迹的求法，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在题中横线上. 13.若直线(1)10a x y -++=和直线4(2)10x a y ++-=平行，则a =________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据直线平行可知，()()1240a a -+-=，解出a 的值，再检验即可得出． 【详解】由题可知，()()1240a a -+-=，解得2a =或3a =-．当2a =时，两直线方程分别为：10x y ++=，4410x y +-=，符合题意；当3a =-，两直线方程分别为：410x y --=，410x y --=，两直线重合，不符合题意舍去． 故答案为：2．【点睛】本题主要考查利用两直线平行，求参数的值，属于基础题．14.己知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，抛物线上的两点A ，B 满足||2AF =，||6BF =，则弦AB 的中点到y 轴距离为________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据抛物线的焦半径公式分别求出点,A B 的坐标，再根据中点公式求出弦AB 的中点横坐标，即求出答案．【详解】设点()11,A x y ，()22,B x y ，焦点()1,0F ．由题可得，1212,16x x +=+=，解得121,5x x ==．所以弦AB 的中点横坐标为1215322x x ++==，故弦AB 的中点到y 轴距离为3． 故答案为：3．【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质的应用，属于基础题．15.如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADF ⊥平面ABCD ，ADF V 是正三角形，四边形ABCD 是正方形，AB EF P ，22AB EF ==，则多面体ABCDEF 的体积为________.【答案】533【解析】 【分析】如图所示，分别过E 作//EG FD 交DC 于G ，作//EH AF 交AB 于H ，于是将多面体ABCDEF 分为一个棱柱和一个棱锥，分别求出其体积，即可求出．【详解】如图所示，分别过E 作//EG FD 交DC 于G ，作//EH AF 交AB 于H ，连接GH ．因为平面ADF ⊥平面ABCD ，ADF V 是边长为2的正三角形，所以E 到平面ABCD 的距离312332ADF S =⨯=V 故1531321333ABCDEF ADF HGE E BCGH V V V --=+=+⨯= 53．【点睛】本题主要考查简单几何体的体积求法，涉及棱锥和棱柱的体积公式应用，意在考查学生的转化能力和直观想象能力，属于中档题．16.设1,F 2F 为椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的两个焦点，点P 在C 上，e 为C 的离心率.若12PF F △是等腰直角三角形，则e =________；若12PF F △是等腰钝角三角形，则e 的取值范围是________.【答案】 (1). 2221 (2). 122132⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 【解析】 【分析】根据12PF F △直角所在位置进行讨论，再结合椭圆定义即可求出e ；根据12PF F △钝角所在位置进行讨论，再结合椭圆定义即可求出e 的取值范围． 【详解】(1)当112PF F F ⊥或212PF F F ⊥时，两条直角边长为2c ，斜边长为22c ，由椭圆定义可得，2222c c a +=，所以2121c e a ===+； 当12PF PF ⊥时，斜边长为2c 2c ，由椭圆定义可得，222c c a =，所以22c e a ==． 故e =2221． (2)当12PF F ∠为钝角时，1122PF F F c ==，由椭圆定义可得，222PF a c =-，再根据形成三角形的条件以及余弦定理可得，2222a c c c -<+，()2222244a c c c ->+，解得113e <<；当21PF F ∠为钝角时，同上可得，113e <<；当12F PF ∠为钝角时，12PF PF a ==，122F F c =，所以2224a a c +<，解得12e <<．故113e <<或12e <<．故答案为： 2或1；113⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭U ． 【点睛】本题主要考查椭圆的定义，离心率的求法，以及余弦定理的应用，意在考查分类讨论思想的应用，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知语句p ：方程2222420x y mx y m +--+-=表示圆心在第一象限的圆；语句q ：方程221121x y m m +=+-表示双曲线.若p q ∧为真命题，求实数m 的取值范围.【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】因为p q ∧为真命题，所以p ，q 均为真命题，再分别求出p ，q 为真时，对应的m 的取值范围，取交集即可求出． 【详解】因p q ∧为真命题，所以p ，q 均为真命题.方程222()(1)43x m y m m -+-=-+表示圆心在第一象限的圆，则有20,430,m m m >⎧⎨-+>⎩解得01m <<，或3m >. ① 因为方程221121x y m m +=+-表示双曲线，所以(1)(21)0m m +-<，解得112m -<<. ② 由①②可得，实数m 的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查了复合命题的真假判断，以及圆的标准方程和双曲线方程的应用，属于基础题．18.已知圆C 以点(2,0)为圆心，且被直线20x +=截得的弦长为（1）求圆C 的标准方程；（2）若直线l 经过点(5,5)M ，且与圆C 相切，求直线l 的方程. 【答案】（1）22(2)9x y -+=（2）5x =或815350x y -+=. 【解析】 【分析】（1）设出圆的半径，根据圆的弦长公式可求出半径，即可写出圆C 的标准方程； （2）当斜率不存在时，检验是符合；当斜率存在时，由点斜式设出直线方程，根据直线与圆相切，即可求出斜率，得到直线方程．【详解】（1）根据题意，设圆C 的方程为222(2)x y r -+=，因为圆C 被直线20x +=截得的弦长为()2,0到直线20x +=的距离为2d ==，则=29r =． 则圆C 的标准方程为22(2)9x y -+=. （2）当斜率不存在时，直线l 的方程为5x =，显然圆心(2,0)到5x =的距离为3，正好等于半径，符合题意； 当斜率存在时，设斜率为k ，则过M 点的直线方程为：5(5)y k x -=-， 即550kx y k -+-=，圆心到直线的距离等于半径3，3d ==，解得815k =，所以直线l 的方程为815350x y -+=.综上，所求的直线方程为5x =或815350x y -+=.【点睛】本题主要考查圆的方程求法以及直线与圆的位置关系的应用，注意分类讨论思想的应用，属于基础题．19.如图，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为正方形，PA PB PC PD ===，E ，F 分别是棱PC ，AB 的中点.（1）求证：//EF 平面PAD ；（2）若4PA AB ==，求直线EF 与平面PAB 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析（22【解析】 【分析】（1）取PD 中点M ，连接AM ，ME ，可证明出//AF ME ，即有//EF AM ，根据线面平行的判定定理，即可证出//EF 平面PAD ；（2）连接AC ，BD 交于点O ，以OA ，OB ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz ，由线面角的向量公式即可求出． 【详解】（1）取PD 中点M ，连接AM ，ME ， 因为E ，M 分别是棱PC ，PD 的中点， 所以12ME DC =，//ME DC ， 因为F 是AB 的中点，且,AB CD =//AB CD ， 所以//AF DC ，且12AF DC =，即//AF ME . 故四边形AFEM 是平行四边形，从而有//EF AM . 又因为EF ⊄平面PAD ，AM ⊂平面PAD ， 所以//EF 平面PAD.（2）连接AC ，BD 交于点O ，连接OP ， 由题意得PO ⊥平面ABCD ，AC BD ⊥，以OA ，OB ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴 建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz ，则(22,0,0),A (0,2,0),B (2,0,0),C -(0,0,22)P ，(2,0,2),E -2,2,0)F ，(2,0,2),AP =-u u u r (2,22,0),AB =-u u u r 2,2,2)EF =u u u r，设平面PAB 的法向量为(,,)n x y z =r.由0,0,AP n AB n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v ru u u v r 得0,0,x z x y -+=⎧⎨-+=⎩可取1x =，得(1,1,1)n =r .设EF 与平面PAB 所成的角为θ，所以||2sin |cos ,|3||EF n EF n EF n θ⋅=〈〉==u u u r r u u u r r u u u r r ‖，即直线EF 与平面PAB 所成角的正弦值为23． 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理的应用以及利用向量求直线与平面所成角，意在考查学生的直观想象能力，逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题．20.已知抛物线2:2E x py =(0)p >，直线1y kx =+与E 交于A ，B 两点，且OA OB ⊥，其中O 为坐标原点.（1）求抛物线E 的方程；（2）设点(0,1)C -，直线CA ，CB 的斜率分别为1,k 2k ，试写出1,k 2k 的一个关系式；并加以证明.【答案】（1）2x y =（2）120k k +=，见解析【解析】 【分析】（1）将直线与抛物线方程联立，根据韦达定理以及12120OA OB x x y y ⋅=+=u u u r u u u r，列式即可求出抛物线E 的方程；（2）先用点,A B 的坐标表示出1,k 2k ，再结合韦达定理，即可找到1,k 2k 的一个关系式． 【详解】（1）将1y kx =+代入22x py =，得2220x pkx p --=.其中22480p k p ∆=+>，设()11,,A x y ()22,B x y ，则122,x x pk +=122x x p =-.1212OA OB x x y y ⋅=+u u u r u u u r 22121222x x x x p p=+⋅21p =-+0=， 解得12p =． 所以抛物线E 的方程为2x y =． （2）1,k 2k 的关系式为120k k +=.证明：由（1）知，122,x x pk k +==1221x x p =-=-.21111111y x k x x ++==，同理22221x k x +=则2212121211x x k k x x +++=+ 2221121212x x x x x x x x +++=121212x x x x x x +=++把122,x x pk k +==1221x x p =-=-， 代入得12()0k k k k +=+-= 即：120k k +=.【点睛】本题主要考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系以及韦达定理的应用，意在考查学生的数学运算和创新应用能力，属于中档题．21.在三棱柱111ABC A B C -中，ABC V 与1A BC V 均为等边三角形，16,A A =2AB =，O 为BC 的中点.（1）证明：平面1A BC ⊥平面ABC ；（2）在棱1B B 上确定一点M ，使得二面角1A AO M --的大小为23π. 【答案】（1）见解析（2）113BM BB = 【解析】 【分析】（1）要证明平面1A BC ⊥平面ABC ，只需证明1A O ⊥平面ABC 即可．因为1A BC V 为等边三角形，所以1,A O BC ⊥再根据勾股定理证明1A O AO ⊥，即可证出1A O ⊥平面ABC ； （2）以OA ，OB ，1OA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz ，根据向量共线定理用参数λ表示出点M 的坐标，分别求出平面1AOM 和平面1AOA 的法向量，由二面角的向量公式列式，即可求出参数λ，确定M 的位置． 【详解】（1）因为ABC V 与1A BC V 均为等边三角形，2AB =，O 为BC 的中点， 所以1,A O BC ⊥AO BC ⊥.在1AOA V 中，13,AO AO ==16A A =， 从而有22211AO A O AA +=，所以1A O AO ⊥， 又因为AO BC O =I ，所以1A O ⊥平面ABC ，又因为1AO ⊂平面1A BC ，所以平面1A BC ⊥平面ABC ． （2）以OA ，OB ，1OA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴 建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz ，则(0,0,0),O 3,0,0),A (0,1,0),B 13)A ，1(3,0,3)AA =-u u u r，由（1）可知，BC ⊥平面1AOA ，(0,1,0)OB =u u u r是平面1AOA 的一个法向量，设1BM BB λ=u u u u r u u u r，其中01λ≤≤.所以1OM OB BM OB BB λ=+=+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r1OB AA λ=+u u u r u u u r(33)λλ=-，13)OA =u u u r，设平面1AOM 的法向量为(,,)n x y z =r ， 则1330,30,OM n x y z OA n z λλ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩u u u u v ru u u v r 取1x =，则3,0)n λ=r，所以||cos ,||||OB n OB n OB n ⋅〈〉=u u u r ru u u r r u u u rr =12=， 解得13λ=. 即存在一点M ，且113BM BB =时，二面角1A AO M --的大小为23π. 【点睛】本题主要考查线面垂直，面面垂直的判定定理的应用，以及利用向量法解决和二面角有关的问题，意在考查学生的直观想象能力，逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题．22.焦点在x 轴上的椭圆C ：22221x y a b +=经过点(，椭圆C的离心率为2．1F ，2F是椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上任意点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若点M 为2OF 的中点（O 为坐标原点），过M 且平行于OP 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，是否存在实数λ，使得2||||||OP MA MB λ=⋅；若存在，请求出λ的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）22184x y +=（2）存在78λ=满足条件,详见解析 【解析】 【分析】（1）根据所给条件列出方程组，求解即可．（2）对直线的斜率存在与否分类讨论，当斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，即可表示出||OP 、||MA 、||MB ，则λ可求．【详解】解：（1）由已知可得222224212a b c e a a b c ⎧+=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得a =2b c ==，所以椭圆C 的标准方程为22184x y +=．（2）若直线的斜率不存在时，||2OP =，||||MA MB ==， 所以77||||428MA MB λλ==⇒=； 当斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ．联立直线l 与椭圆方程22(1)184y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()2222214280k x k x k +-+-=，所以212221224212821k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩． 因为//OP l ，设直线OP 的方程为y kx =，联立直线OP 与椭圆方程22184y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()22218k x +=，解得22821x k =+． ()222228||121OP x y k k ∴=+=++，1||1|MA x ∴==-，同理2||1|MB x =-，()()()212||||111MA MB k x x∴⋅=+--，因为()()()1212122711121x x x x x x k -⋅-=--++=⎡⎤⎣⎦+，()227||||121MA MB k k ∴⋅=++，故27||||||8OP MA MB =⋅，存在78λ=满足条件， 综上可得，存在78λ=满足条件． 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，以及直线与椭圆综合问题，属于中档题．。
河北省唐山市第一中学2020届高三上学期10月月考数学(文)试题 Word版含解析
唐山一中2019—2020学年度第一学期第一次月考高三年级数学试卷卷Ⅰ（选择题 共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设全集I R =，{}24M x x =|>，2|11N x x ⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，如图所示：则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. {}|2x x <B. {}|21x x -<<C. {}|22x x -≤≤D. {}|12x x <≤【答案】D 【解析】 【分析】先确定阴影部分表示的集合运算是：U N M I ð，然后根据条件求解出N 和U Mð，最后根据交集运算得到结果.【详解】因为图中阴影部分表示的集合为：U NM I ð，又因为{}24M x x =|>，所以{|2M x x =<-或}2x >，所以{}U |22Mx x =-≤≤ð，又因为2|11N x x ⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，所以{}|13N x x =<≤， 所以{}U |12M x N x =<≤I ð.故选D.【点睛】本题考查集合的Venn 图表示以及补集和交集混合运算，难度较易.求解Venn 图所表示的集合时，先将Venn 图表示的集合运算写出来，然后再根据相应的集合和运算去求解结果.2.i为虚数单位，则201611ii+⎛⎫= ⎪-⎝⎭（）A. i-B. 1C. iD. -1【答案】B【解析】【分析】先计算11ii+-的结果，然后利用虚数单位i的运算性质计算201611ii+⎛⎫⎪-⎝⎭的结果.【详解】因为()()()()11121112i ii iii i i+++===--+，因为41i=，所以()201650420164111ii ii+⎛⎫===⎪-⎝⎭.故选B.【点睛】本题考查复数的除法运算和虚数单位i的运算性质，难度较易.虚数单位i的运算性质：43ni i-=，421ni-=-，41n i i-=-，41ni=（*n N∈）.3.函数lnxyx=的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：函数的定义域为()(0,1) 1.⋃+∞．求导()()()()22ln ln'ln1ln lnx x x x xyx x''⋅-⋅-==，令0y'<可得0x e <<，结合定义域可知()(0,1) 1.e ⋃令0y '>可得x e >，即函数ln x y x=在()()0,1,1.e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增，由图可知选D ．考点：1．利用导数研究函数的单调性；2．函数的图像．【方法点睛】求函数的单调区间的方法： （1）求导数()y f x '='； （2）解方程()0f x '=；（3）使不等式()0f x '>成立的区间就是递增区间，使()0f x '<成立的区间就是递减区间．由此再结合函数的图像即可判断出结果．4.将函数()sin y x x x R =+∈的图象向左平移()0m m >个长度单位后，所得到的图象关于原点对称，则m 的最小值是（ ） A.12πB.6πC.3π D.23π 【答案】D 【解析】 【分析】先利用辅助角公式将函数变形，然后写出向左平移后的函数，由函数图象关于原点对称可知函数为奇函数，由此得到关于m 的方程，从而确定m 的最小值.【详解】因为sin 2sin 3y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以左移m 个单位后得到函数2sin 3y x m π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，又因为函数图象关于原点对称，所以函数2sin 3y x m π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是奇函数， 所以,3m k k Z ππ+=∈且0m >，所以min 233m πππ=-=，此时1k =. 故选D.【点睛】（1）三角函数图象的平移也是遵循“左加右减，上加下减”的原则； （2）分析正弦型函数()()sin f x A x =+ωϕ的奇偶性：若()f x 为奇函数，则有,k k Z ϕπ=∈，若()f x 为偶函数，则有,2k k Z πϕπ=+∈.5.已知向量a r 与b r 的夹角为60,2,5a b ==o r r ，则2a b -r r 在a r 方向上的投影为（ ）A.32B. 2C.52D. 3【答案】A 【解析】试题分析：投影为()222cos 6085322a b a a a b a a -⋅--===o r rr r r r r r. 考点：向量概念及运算．6.已知等比数列{}n a 的前n 项和为3nn S a =+，则数列{}2na 的前n 项和为（ ）A. 912n -B. 914n -C. 918n -D. 91n -【答案】A 【解析】 【分析】先根据3nn S a =+求解出{}n a 的通项公式，然后分析{}2na 也为等比数列，根据等比数列的求和公式进行求和即可.【详解】因为3nn S a =+，所以()1132n n S a n --=+≥，所以()1232n n a n -=⋅≥，且113S a a ==+，所以0233a ⋅=+，所以1a =-，所以123n n a -=⋅，因为221129n n nn a a a a ++⎛⎫== ⎪⎝⎭且214a =，所以{}2n a 是首项为4公比为9的等比数列， 所以{}2n a 的前n 项和为：()41991192n n --=-. 故选A.【点睛】本题考查等比数列的通项求解以及用定义法判断等比数列，难度一般.（1）求解数列通项过程中涉及到11,n n S a --的时候，要注意说明2n ≥，并考虑验证1n =的情况；（2）用定义法判断一个数列{}n a 是等比数列：证明1n na q a +=（q 为非零常数），且10a ≠.7.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan A =，a =S 为ABC ∆的面积，则cos S B C +的最大值（ ）A. 4B.C.D. 2【答案】B 【解析】 【分析】根据tan A =以及余弦定理得到sin A 的值，将1sin 2S bc A =中的,b c 用正弦定理转化为角的形式，然后对cos S B C +进行化简求最大值，注意取最大值时的条件.【详解】因为222tan A b c a =+-，所以tan 2cos A bc A=，所以sin A = 又因为2sin sin sin a b cA B C===，所以2sin ,2sin b B c C ==，所以()cos sin cos S B C B C B C B C ==-，所以当B C =时，cos S B C +. 故选B.【点睛】本题考查解三角形与三角恒等变化的综合应用，难度一般.解三角形的问题中，如果出现了两边的平方和减去第三边的平方和的形式，可以联想到余弦定理；对于正弦定理，一旦知道了一边及其对角的正弦值，就可以将其余角的正弦和对边的倍数关系找到. 8.定义在R 上的偶函数()f x 满足()()1f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()21f x x =-+，则函数()()()sin 042g x f x x x π=-≤≤的零点之和为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 8【答案】C 【解析】 【分析】 先根据()()1f x f x +=-得到()f x 的周期，再根据()f x 在[]0,1x ∈时的解析式以及()f x 是偶函数可作出()f x 在[]0,4x ∈时的函数图象，再作出sin2y x π=在[]0,4x ∈时的图象，根据图象的对称性分析图象交点的横坐标之和即为函数()g x 的零点之和. 【详解】因为()()1f x f x +=-，所以()()()21f x f x f x +=-+=，所以()f x 的周期2T =，()()()sin042g x f x x x π=-≤≤的零点即为()f x 与sin2y x π=图象交点的横坐标，在同一坐标系中作出()f x 与sin2y x π=的图象如图所示：因为12,x x 关于1x =对称，所以122x x +=，又因为33x =， 所以123235x x x ++=+=.故选C.【点睛】本题考查从函数的性质角度分析图象以及函数与方程的综合应用，着重考查了数形结合思想的应用，难度一般.（1）函数()()()h x f x g x =-的零点()()f x g x ⇔=的方程根()f x ⇔与()g x 图象交点的横坐标，注意三者之间的关系；（2）数形结合思想的命题方向：函数零点个数、方程根的个数、函数性质分析、求参数范围或不等式解集等. 9.已知奇函数()f x 是定义在上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x >时有22()()f x xf x x '+>，则不等式2(2014)(2014)4(2)0x f x f +++-<的解集为（ ）A. (),2012-∞-B. ()2016,2012--C. (),2016-∞-D. ()20160-，【答案】A 【解析】试题分析：由题观察联想可设22()(),()2()()g x x f x g x xf x x f x ''==+，结合条件;22()()f x xf x x '+>得22()2()()0,()(),g x xf x x f x g x x f x =>=''+为增函数．而2(2014)(2014)4(2),x f x f ++<即：(2014)(2),20142,2012g x g x x +<+<<- 考点：函数的性质及构造导数解决函数问题的能力. 10.已知函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在(]0,2上恰有一个最大值1和一个最小值-1，则ω的取值范围是（ ）A. 513,1212ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B. 513,1212ππ⎛⎤⎥⎝⎦C. 713,1212ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.713,1212ππ⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C 【解析】 【分析】根据(]0,2x ∈得到3x πω⎛⎫+⎪⎝⎭的范围，根据()f x 恰有一个最大值和最小值，利用sin y x =图象的特点分析3x πω⎛⎫+ ⎪⎝⎭的范围，然后求解出ω的范围即可.【详解】因为(]0,2x ∈，所以,2333x πππωω⎛⎫⎛⎤+∈+ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦， 因sin y x =图象如下图：因为()f x 恰有一个最大值1和一个最小值1-，所以352232πππω≤+<， 解得：7131212ππω≤<，即713,1212ππω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选C.【点睛】已知正弦型函数()()sin f x A x =+ωϕ在给定区间上的最值的个数，可考虑将x ωϕ+看做一个整体，然后作出sin =y A x 的图象分析最值的个数分布情况，由此得到关于x ωϕ+的不等式，即可求解出ω的范围.11.已知等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，*()n T n N ∈，若211n n S n T n -=+，则实数126a b =（ ） A.154B.158C.237D. 3【答案】A 【解析】由于{}n a ，{}n b 都是等差数列，且等差数列的前n 项和都是2,an bn +所以不妨设121211(21),(1),1223112145.n n S n n T n n a S S =-=+∴=-=⨯-⨯= 6656(61)5(51)423012.b T T =-=+-+=-= 所以126a b =4515124=，故选A. 点睛：本题解题需要灵活性，可以直接特取. 由于{}n a ，{}n b 都是等差数列，且等差数列的前n 项和都是2,an bn +所以不妨设(21),(1).n n S n n T n n =-=+这样提高了解题效率.12.数列{}n a 满足114a =，1144n n a a +=-，若不等式322121n n a a a n a a a λ+++++<+L ，对任何正整数n 恒成立，则实数λ的最小值为（ ） A.74B.34C.78D.38【答案】A 【解析】试题分析：依题意23452345,,,681012a a a a ====L ，由此可知()21n n a n =+，所以()1111111222n n a a n n n n +⎛⎫=+=+- ⎪++⎝⎭，所以3221211111112223n n a a a n a a a n n ++⎛⎫+++=+++-- ⎪++⎝⎭L 71114223n n n ⎛⎫=+-+ ⎪++⎝⎭，322121n n a a a n a a a λ+++++<+L 对任何正整数n 恒成立，即74λ≥． 考点：数列与不等式．【思路点晴】本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键．开始采用特殊项的办法，是合情推理与演绎推理，先根据特殊项，归纳出数列的通项公式，然后代入要求证的不等式，利用裂项求和法求得不等式坐标的和，然后利用恒成立问题来求得最小值．如果是解答题，归纳猜想出的通项公式还要用数学归纳法来证明．卷Ⅱ（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知函数()()()sin 20f x x ϕϕπ=+≤<关于直线6x π=-对称，则()0f =______．【答案】12【解析】 【分析】根据对称轴方程,2x k k Z ππ=+∈，得到ϕ的表示，根据条件中的ϕ的范围结合k 的取值即可求出ϕ的值，最后可计算()0f 的值.【详解】因为正弦函数的对称轴为,2x k k Z ππ=+∈，所以2,62k k Z ππϕπ⎛⎫⨯-+=+∈ ⎪⎝⎭， 所以5,6k k Z πϕπ=+∈，又因为[)0,ϕπ∈，所以56πϕ=，此时0k =， 所以()5sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()510sin 62f π==. 故答案为12. 【点睛】已知正弦（或余弦）型函数的对称轴，求解函数中参数的方法：（1）根据对称轴方程，再利用给定的参数范围去求解参数值；（2）根据对称轴对应的是函数的最值，并利用参数范围求解参数值.14.已知0a >，0b >，且113a b b a+=-，则b 的最大值为_________． 【答案】13【解析】 【分析】 由题意可得113b a b a -=+，利用均值不等式可得132b b-≥，解不等式即可得到b 的最大值. 【详解】解析：113a b b a +=-化为1132b a b a -=+≥，即23210b b +-≤， 解得：103b <≤，所以，b 的最大值为13．故答案为13【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误15.已知不等式组1010220x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域为D ，若对任意的(,)x y D ∈，不等式2x y t -≤恒成立，则实数t 的取值范围是_____．【答案】[5,)+∞【解析】 【分析】画出不等式组表示的平面区域，根据图形求得|x ﹣2y |max ，即可得出实数t 的取值范围．【详解】画出不等式组1010220x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域，如图阴影所示：由图形知，点B 到直线x ﹣2y ＝0的距离最大，由22010x y x y --=⎧⎨-+=⎩，解得B （3，4），所以|x ﹣2y |max 555=2，所以不等式|x ﹣2y |≤t 恒成立时，实数t 的取值范围是t ≥5．故答案为[5，+∞）．【点睛】本题考查了不等式组表示的平面区域的画法以及简单应用问题，属于基础题． 16.如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC 、直角边AB 、直角边AC ，ABC ∆的三边所围成的区域.若10BC =，过点A 作AD BC ⊥于D ，当ABD ∆面积最大时，黑色区域的面积为_________.【答案】2532【解析】 【分析】先分析黑色区域的求法，得到结论：黑色区域的面积即为ABC S V ，再根据当ABD ∆面积最大时求解出AD 的长度，即可计算出黑色区域的面积.【详解】因为（黑色区域面积）=（以AB 为直径的半圆面积）+（以AC 为直径的半圆面积）-（以BC 为直径的半圆面积）+ABC ABC S S =V V ，设BD x =，所以10DC x =-，因为~BDA ADC V V ，所以()10AD x x =-所以())3411101001022ABD S x x x x x x =-=-<<V ， 令()()3410010f x x x x =-<<，所以()()2323042215f x x x x x '=-=--，所以()f x 在150,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在15,102⎛⎫⎪⎝⎭上递减，所以()f x 取最大值时152x =，此时ABD S V 也取得最大值，所以1515531022AD ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以153253102ABDS ==V ， 所以黑色区域面积为：32. 故答案为2532. 【点睛】本题考查导数在几何图形中的应用，难度较难.（1）利用导数可将几何问题中的长度或面积最值抽象为函数的最值去求解，注意定义域；（2）本例中的希波克拉底研究题中几何图形得到的结论是：黑色月牙形区域的面积等于直角三角形的面积.三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知向量)1,2sin a x x ωω=+r，)()0b x x ωωω=>r.（1）当2x k πωπ≠+，k Z ∈时，若向量()1,0c =r，)d =u r ，且()()//a c b d -+r r r u r，求224sin cos x x ωω-的值；（2）若函数()f x a b =⋅r r 的图象的相邻两对称轴之间的距离为4π，当,86x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值． 【答案】（1）813-；（2）()()max min 2,1f x f x ==- 【解析】 【分析】（1）先将a c -r r 和b d +r u r用坐标形式表示出来，然后根据向量平行对应的坐标表示得到tan x ω的值，然后利用22sin cos 1x x ωω+=将224sin cos x x ωω-进行变形即可求值；（2）计算并化简()f x ，根据相邻两对称轴之间的距离为4π求解出ω的值，然后根据x 范围即可求解出()f x 的最大值和最小值.【详解】（1）因为),2sin a c x x ωω-=r r，),cos b d x x ωω+=r u r，又因为()()//a c b d -+r r r u r ，2cosx x x ωωω=，又因为()2x k k Z πωπ≠+∈，所以tan x ω=， 所以22222222114sin cos 4tan 1834sin cos 1sin cos tan 113112x x x x x x x x ωωωωωωωω----====-+++； （2）()))112sin cos f x a b ωx ωx ωx ωx =⋅=+-+r r)22cos 1sin 2sin 222sin 23x x x x x πωωωωω⎛⎫=-+==+ ⎪⎝⎭，因为相邻两对称轴之间的距离为4π，所以242T ππ=⨯=，所以224T πω==，所以2ω=， 所以()2sin 43πf x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为,86x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以4,36ππx π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以()max 2sin22f x π==，此时24x π=，()min 2sin 16f x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，此时8x π=-. 【点睛】本题考查三角函数与平面向量的综合，难度一般.（1）求解()sin cos *sin cos n n n na xb xn N c x d x+∈+的值，可采用分子分母同除以cos n x ，然后根据条件计算出tan x 的值即可计算出最后结果；（2）正弦（余弦）型函数的两条相邻对称轴（或两个相邻对称中心）之间的距离是2T；正切型函数两个相邻的对称中心的距离是2T . 18.已知x ，y ∈(0，＋∞)，x 2＋y 2＝x ＋y .(1)求11x y+的最小值；(2)是否存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5？并说明理由． 【答案】（1）2；（2）不存．【解析】【详解】试题分析：（1）将式子变形为2222x y xyxy xy+≥=；（2）由不等式得到(x ＋y )2≤2(x 2＋y 2)＝2(x ＋y)，(x ＋1)(y ＋1)≤4，故不存在. 解析：(1)因为221122x y x y xyx y xy xy xy+++==≥=，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立，所以11x y +的最小值为2.(2)不存在．理由如下：因为x 2＋y 2≥2xy ，所以(x ＋y )2≤2(x 2＋y 2)＝2(x ＋y )．又x ，y ∈(0，＋∞)，所以x ＋y ≤2.从而有(x ＋1)(y ＋1)≤()()2112x y +++⎡⎤⎢⎥⎣⎦≤4，因此不存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.19.在锐角ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,BC 边上的中线AD m =,且满足2224a bc m +=.(1)求BAC ∠的大小；(2)若2a =，求ABC ∆的周长的取值范围【答案】(1) 3BAC π∠=;(2) ABC ∆周长的取值范围是(2⎤+⎦. 【解析】 【分析】(1)在ABD ∆, ACD ∆中分别利用余弦定理,写出,c b 的表达式,化简后可求得m 的值,代入已知条件可化简得到BAC ∠的余弦值,进而求得角的大小.(2)利用正弦定理将边转化为角的形式,即π4sin 26a b c B ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭,根据2,633B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭可求得周长的取值范围. 【详解】（1）在ABD ∆中，由余弦定理得：2221cos 4c m a ma ADB =+-∠， ① 在ACD ∆中，由余弦定理得：2221cos 4b m a ma ADC =+-∠， ② 因ADB ADC π∠+∠=，所以cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，①+②得：2222122b c m a +=+， 即2222111224m b c a =+-， 代入已知条件2224a bc m +=， 得2222222a bc b c a +=+-，即222b c a bc +-=，2221cos 22b c a BAC bc +-==，又0BAC π<∠<，所以3BAC π∠=.（2）在ABC ∆中由正弦定理得sin sin sin3ab c B C π==，又2a =，所以b B =，23c C B π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，∴24sin 2336a b c B C B π⎛⎫++=++=++ ⎪⎝⎭， ∵ABC ∆为锐角三角形，3BAC π∠=∴0202B C ππ⎧<<⎪⎪⇒⎨⎪<<⎪⎩,62B ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭ ∴2,633B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴sin 62B π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦． ∴ABC ∆周长的取值范围为(2⎤+⎦．【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，以及三角形的周长的范围，解决问题的关键在于利用中线的长度在两个三角形中运用余弦定理，根据邻补角的余弦值互为相反数得出边的关系，属于中档题.20.已知函数()f x 为R 上的偶函数，()g x 为R 上的奇函数，且()()()4log 41x f x g x +=+.（1）求()f x 的解析式； （2）若函数()()()()21log 202x h x f x a a =-⋅+>在R 上只有一个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()()4log 412xx f x =+-；（2）[)11,2⎧⎫⋃+∞⎨⎬⎩⎭. 【解析】 【分析】（1）由()()()()()()44log 41log 41x xf xg x f x g x -⎧+=+⎪⎨-=+⎪⎩解之即可；（2）将函数()f x 的解析式代入化简，把函数()h x 在R 上只有一个零点的问题转化成方程()0h x =的根的问题，然后利用指数、对数的运算性质进一步转化为方程()212210xx a -+-=，再通过换元法可变为方程()2110a t -+-=只有一个正根的问题，最后分成方程有两相等正根、一正跟一负根和方程为一次方程三种情况讨论即可.【详解】（1） 因为()()()4log 41xf xg x +=+，所以()()()4log 41xf xg x --+-=+，即()()()4log 41xf xg x --=+，由()()()()()()44log 41log 41x xf xg x f x g x -⎧+=+⎪⎨-=+⎪⎩解之得：()()4log 412xx f x =+-.（2）()()()()()224log 11log 2log 422122x x x h x f x a a x =-⋅+=⋅++--进一步化简得()()2221211log log 2222x xxh x a +=-⋅+， 令()0h x =得：()22221log log 22x x xa +=⋅+， 化简得：()212210xx a -+-=，令2x t =，则0t >，即方程()2110a t -+-=只有一个正根，当1a =时，4t =，满足题意；当方程有一正一负两根时，满足条件，则101a -<-，所以1a >；当方程有两个相等的正根时，则()28410a a ∆=+-=，所以12a =或1a =-（舍），12a =时，t =满足条件.综上，实数a 的取值范围为：[)11,2⎧⎫⋃+∞⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题主要考查利用消元法求函数的解析式及指数、对数方程根的问题通过换元法转化为整式方程根的问题，试题综合性较强，对运算能力要求较高，难度中等偏上.21.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()=21,1nn n S a n +-≥.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：对任意的整数4m >，都有451117 (8)m a a a +++< 【答案】(1)()122213n n n a --⎡⎤=+-⎣⎦；(2)见证明【解析】 【分析】（1）利用1n n n a S S -=-得到递推关系式，根据递推关系式可证得数列()231n na ⎧⎫⎪⎪+⎨⎬-⎪⎪⎩⎭为等比数列，先求出等比数列的通项公式，从而变形得到n a ；（2）由通项公式可放缩证得：3n ≥且n 为奇数时：21111311222n n n n a a --+⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭；再根据等比数列求和公式化简证不等式. 【详解】（1）由11121a S a ==-得：11a =当2n ≥且*n N ∈时，有()()11221nn n n n n a S S a a --=-=-+⨯-()11221n n n a a --∴=+⨯-，则()()112223311nn n n a a --⎛⎫ ⎪+=-+ ⎪--⎝⎭∴数列()231n na ⎧⎫⎪⎪+⎨⎬-⎪⎪⎩⎭是以13-为首项，2-为公比的等比数列 ()()1212331n nna -∴+=-⋅-- ()122213n n n a --⎡⎤∴=+-⎣⎦经验证1a 也满足上式()122213n n n a --⎡⎤∴=+-⎣⎦（2）证明：由通项公式得42a = 当3n ≥且n 为奇数时， 有12122123122321111311322322311221212222122222n n n n n n n n n n n n n n a a ------------+++⎡⎤⎛⎫+=+=⨯<⨯=+ ⎪⎢⎥+-+--⎣⎦⎝⎭所以，当4m >且m 为偶数时，有342454561111111111311122222m m m m a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L 4131113712242288m -⎛⎫=+⨯⨯-<+= ⎪⎝⎭ 当4m >且m 为奇数时，45451111111178m m m a a a a a a a ++++<++++<L L 所以对任意整数4m >时，都有4511178m a a a +++<L 【点睛】本题考查利用递推关系求解数列的通项公式、与数列有关的不等式的证明问题，难点在于进行不等式证明时，对原有数列通项进行适当放缩，从而可转化为等比数列求和的形式，进而再次放缩证得结果，属于难题.22.函数11()ln 2f x x x =+-，2211()22x g x e x ax a =---（e 是自然对数的底数，a R ∈）． （Ⅰ）求证：21()(1)2f x x ≥--+；（Ⅱ）已知[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]1.91=，[]2.13-=-，若对任意10x ≥，都存在20x >，使得[]12()()g x f x ≥成立，求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）ln 2⎡⎤-⎣⎦．【解析】 试题分析：（Ⅰ）首先得出()()f x f x =，求出导函数'()f x ，由'()0f x >确定增区间，'()0f x <确定减区间，从而确定出()f x 的最小值为1(1)2f =，而211(1)22x --+≤，由此不等式得证； （Ⅱ）此问题首先进行转化，当0x ≥时，()g x 的最小值为min ()g x ，当0x >时，[]()f x 的最小值为[]min ()f x ，依题意有[]min min ()()g x f x ≥，而由（Ⅰ）知[]min ()f x ＝0，因此有min ()0g x ≥，下面就是求出()g x 的最小值，即可得出a 的范围，为此可求()g x 的导数'()x g x e x a =--.为了确定'()g x 的正负，令()x h x e x a =--，再求导'()1x h x e =-，而当0x ≥时，1x e ≥，'()0h x ≥，()h x 在[0,)+∞上是增函数，所以min ()(0)1h x h a ==-.下面对1a -按正负分类讨论：A①10a -≥，()g x 在[0,)+∞上是增函数，最小值为(0)g ；②10a -<，即1a >时，因为()h x 在[0,)+∞上是增函数，且(0)10h a =-<，因此()h x 在(0,)+∞上有一个零点，记为0x ，0()0h x =，即00e x a x =-，这样有当0(0,)x x ∈时，()0h x <，即)'(0g x <；当0(,)x x ∈+∞时，()0h x >，即'()0g x >，所以，()g x 在0(0,)x 上是减函数，在0(,)x +∞上是增函数，所以02min 00011()()022xg x g x e x ax a ==---≥，又00e x a x =-，所以0000022min0111()()(2)0222x x x x x g x e x a e e e e =-+=-=-≥，所以02x e ≤，所以00ln 2x <≤．由00e x a x =-，可令()x t x e x =-，由此求出()t x 的范围，即此时a 的范围，综合以上两点可得． 试题解析： （Ⅰ）22111'()x f x x x x-=-=（0x >）. 当1x >时，'()0f x >，当01x <<时，'()0f x <， 即()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 所以，当1x =时，()f x 取得最小值，最小值为1(1)2f =， 所以1()()2f x f x =≥， 又211(1)22x --+≤，且当1x =时等号成立， 所以，21()(1)2f x x ≥--+.（Ⅱ）记当0x ≥时，()g x 的最小值为min ()g x ，当0x >时，[]()f x 的最小值为[]min ()f x ，依题意有[]min min ()()g x f x ≥， 由（Ⅰ）知1()2f x ≥，所以[]min ()0f x =，则有min ()0g x ≥， '()x g x e x a =--.令()x h x e x a =--，'()1x h x e =-，而当0x ≥时，1x e ≥，所以'()0h x ≥，所以()h x 在[0,)+∞上是增函数，所以min ()(0)1h x h a ==-.①当10a -≥，即1a ≤时，()0h x ≥恒成立，即'()0g x ≥，所以()g x 在[0,)+∞上是增函数，所以2min ()(0)12a g x g ==-，依题意有2min ()102a g x =-≥，解得a ≤≤，所以1a ≤≤．②当10a -<，即1a >时，因为()h x 在[0,)+∞上是增函数，且(0)10h a =-<，若22a e +<，即21e 2a <<-，则(ln(2))2ln(2)2ln(2)0h a a a a a +=+-+-=-+>， 所以0(0,ln(2))x a ∃∈+，使得0()0h x =，即00e xa x =-，且当0(0,)x x ∈时，()0h x <，即)'(0g x <；当0(,)x x ∈+∞时，()0h x >，即'()0g x >， 所以，()g x 在0(0,)x 上是减函数，在0(,)x +∞上是增函数， 所以02min 00011()()022xg x g x e x ax a ==---≥， 又00e x a x =-，所以0000022min 0111()()(2)0222x x x x x g x e x a e e e e =-+=-=-≥， 所以02x e ≤，所以00ln 2x <≤．由00e xa x =-，可令()x t x e x =-， '()1x t x e =-，当(0,ln 2]x ∈时，e 1x >，所以()t x 在(0,ln 2]上是增函数，所以当(0,ln 2]x ∈时，(0)()(ln 2)t t x t <≤，即1()2ln 2t x <≤-，所以12ln 2a <≤-．综上，所求实数a 的取值范围是ln 2⎡⎤-⎣⎦．点睛：本题是导数与函数的综合应用，解题主要思路就是用导数研究函数的性质，即研究函数的单调性，函数的最值，解题关键是转化与化归．第（Ⅰ）小题是证明函数不等式，本题解法比较特殊（不具有一般性），求出不等式左边()f x 的最小值与不等式右边21(1)2x --+的最大值，由最小值≥最大值证得结论，第（Ⅱ）小题主要是问题转化为min min ()[()]g x f x ≥，因此接着就是求两个最小值，其中min [()]f x 由第（Ⅰ）小题可知为0，在求()g x 最小值时，对其导数'()g x 的零点的讨论，要注意又对它求导，利用导数研究，分类讨论是必不可少的方法，在零点不确定时，设为0x ，利用零点的定义得出0x 与a 的关系，从而得出0x 的范围是解题过程的点睛之笔，遇到这类问题时要注意这个方法的应用．。
唐山市高中2019-2020学年高二上学期第一次月考试卷数学
唐山市高中2019-2020学年高二上学期第一次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 下列4个命题：①命题“若x 2﹣x=0，则x=1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2﹣x ≠0”； ②若“¬p 或q ”是假命题，则“p 且¬q ”是真命题；③若p ：x （x ﹣2）≤0，q ：log 2x ≤1，则p 是q 的充要条件；④若命题p ：存在x ∈R ，使得2x ＜x 2，则¬p ：任意x ∈R ，均有2x ≥x 2； 其中正确命题的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2． 如图是某几何体的三视图，正视图是等腰梯形，俯视图中的曲线是两个同心的半圆组成的半圆环，侧视图是直角梯形．则该几何体表面积等于（ ）A ．12+B ．12+23πC ．12+24πD ．12+π3． 已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（ ）A ．12x π=-B ．12x π=C ．6x π=-D ．6x π=4． 已知三次函数f （x ）=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如图所示，则=（ ）A ．﹣1B ．2C ．﹣5D ．﹣35． 已知集合},052|{2Z x x x x M ∈<+=，},0{a N =，若∅≠N M ，则=a （ ）A ．1-B ．C ．1-或D ．1-或2-6． 已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x 表示的平面区域为D ，若D 内存在一点00(,)P x y ,使001ax y +<，则a 的取值范围为（ ）A ．(,2)-∞B ．(,1)-∞C ．(2,)+∞D ．(1,)+∞7． 在二项式（x 3﹣）n （n ∈N *）的展开式中，常数项为28，则n 的值为（ ）A ．12B ．8C ．6D ．48． 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则P ﹣DCE 三棱锥的外接球的体积为（ ）A． B． C． D．9． 已知在平面直角坐标系xOy 中，点),0(n A -，),0(n B （0>n ）.命题p ：若存在点P 在圆1)1()3(22=-++y x 上，使得2π=∠APB ，则31≤≤n ；命题：函数x xx f 3log 4)(-=在区间 )4,3(内没有零点.下列命题为真命题的是（ ）A ．)(q p ⌝∧B ．q p ∧C ．q p ∧⌝)(D ．q p ∨⌝)( 10．一个几何体的三个视图如下，每个小格表示一个单位, 则该几何体的侧面积为（ ）A.4πB.C. 5πD. 2π+【命题意图】本题考查空间几何体的三视图，几何体的侧面积等基础知识，意在考查学生空间想象能力和计算能力．11．若抛物线y 2=2px 的焦点与双曲线﹣=1的右焦点重合，则p 的值为（ ）A ．﹣2B ．2C ．﹣4D ．412．直线l 过点P （2，﹣2），且与直线x+2y ﹣3=0垂直，则直线l 的方程为（ ）A ．2x+y ﹣2=0B ．2x ﹣y ﹣6=0C ．x ﹣2y ﹣6=0D ．x ﹣2y+5=0二、填空题13．已知实数x ，y 满足，则目标函数z=x ﹣3y 的最大值为14．若不等式组表示的平面区域是一个锐角三角形，则k 的取值范围是 ．15．已知过球面上 ,,A B C 三点的截面和球心的距离是球半径的一半，且2AB BC CA ===，则球表面积是_________.16．已知=1﹣bi ，其中a ，b 是实数，i 是虚数单位，则|a ﹣bi|= ．17．已知函数322()7f x x ax bx a a =++--在1x =处取得极小值10，则ba的值为 ▲ ．18．过原点的直线l 与函数y=的图象交于B ，C 两点，A 为抛物线x 2=﹣8y 的焦点，则|+|= ．三、解答题19．（本题满分12分）在ABC ∆中，已知角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，边72c =，且tan tan tan 3A B A B +=-，又ABC ∆的面积为2ABC S ∆=，求a b +的值．20．如图，点A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，B （﹣，）． （I ）若∠AOB=α，求cos α+sin α的值；（II）设点P为单位圆上的一个动点，点Q满足=+．若∠AOP=2θ，表示||，并求||的最大值．21．已知等差数列的公差，，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，记数列前n项的乘积为，求的最大值．22．已知三次函数f（x）的导函数f′（x）=3x2﹣3ax，f（0）=b，a、b为实数．（1）若曲线y=f（x）在点（a+1，f（a+1））处切线的斜率为12，求a的值；（2）若f（x）在区间[﹣1，1]上的最小值、最大值分别为﹣2、1，且1＜a＜2，求函数f（x）的解析式．23．（本小题满分12分）已知向量(cos sin ,sin )m x m x x w w w =-a ，(cos sin ,2cos )x x n x w w w =--b ，设函数()()2n f x x R =??a b的图象关于点(,1)12p对称，且(1,2)w Î． （I ）若1m =，求函数)(x f 的最小值；（II ）若()()4f x f p£对一切实数恒成立，求)(x f y 的单调递增区间．【命题意图】本题考查三角恒等变形、三角形函数的图象和性质等基础知识，意在考查数形结合思想和基本运算能力．24．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．唐山市高中2019-2020学年高二上学期第一次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1． 【答案】C【解析】解：①命题“若x 2﹣x=0，则x=1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2﹣x ≠0”，①正确； ②若“¬p 或q ”是假命题，则¬p 、q 均为假命题，∴p 、¬q 均为真命题，“p 且¬q ”是真命题，②正确； ③由p ：x （x ﹣2）≤0，得0≤x ≤2，由q ：log 2x ≤1，得0＜x ≤2，则p 是q 的必要不充分条件，③错误；④若命题p ：存在x ∈R ，使得2x ＜x 2，则¬p ：任意x ∈R ，均有2x ≥x 2，④正确． ∴正确的命题有3个． 故选：C ．2． 【答案】C【解析】解：根据几何体的三视图，得； 该几何体是一半圆台中间被挖掉一半圆柱， 其表面积为S=[×（2+8）×4﹣2×4]+[×π•（42﹣12）+×（4π×﹣π×）+×8π]=12+24π． 故选：C ．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，也考查了空间想象能力与计算能力的应用问题，是基础题目．3． 【答案】D 【解析】试题分析：由已知()2sin()6f x x πω=+，T π=，所以22πωπ==，则()2sin(2)6f x x π=+，令 2,62x k k Z πππ+=+∈，得,26k x k Z ππ=+∈，可知D 正确．故选D ．考点：三角函数()sin()f x A x ωϕ=+的对称性． 4． 【答案】C【解析】解：由三次函数的图象可知，x=2函数的极大值，x=﹣1是极小值，即2，﹣1是f ′（x ）=0的两个根，∵f （x ）=ax 3+bx 2+cx+d ， ∴f ′（x ）=3ax 2+2bx+c ，由f ′（x ）=3ax 2+2bx+c=0，得2+（﹣1）==1，﹣1×2==﹣2，即c=﹣6a ，2b=﹣3a ，即f ′（x ）=3ax 2+2bx+c=3ax 2﹣3ax ﹣6a=3a （x ﹣2）（x+1），则===﹣5，故选：C【点评】本题主要考查函数的极值和导数之间的关系，以及根与系数之间的关系的应用，考查学生的计算能力．5． 【答案】D 【解析】试题分析：由{}{}1,2,025,0522--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈<<-=∈<+=Z x x x Z x x x x M ，集合{}a N ,0=， 又φ≠N M ，1-=∴a 或2-=a ，故选D ． 考点：交集及其运算． 6． 【答案】A【解析】解析：本题考查线性规划中最值的求法．平面区域D 如图所示，先求z ax y =+的最小值，当12a ≤时，12a -≥-，z ax y =+在点1,0A （）取得最小值a ；当12a >时，12a -<-，z ax y =+在点11,33B （）取得最小值1133a +．若D 内存在一点00(,)P x y ,使001ax y +<，则有z ax y =+的最小值小于1，∴121a a ⎧≤⎪⎨⎪<⎩或1211133a a ⎧>⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，∴2a <，选A ．7． 【答案】B【解析】解：展开式通项公式为T r+1=•（﹣1）r •x 3n ﹣4r ，则∵二项式（x 3﹣）n（n ∈N *）的展开式中，常数项为28，∴，∴n=8，r=6． 故选：B ．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．8． 【答案】C【解析】解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，故外接球半径为，外接球的体积为，故选C ．【点评】本题考查球的内接多面体，球的体积等知识，考查逻辑思维能力，是中档题．9． 【答案】A 【解析】试题分析：命题p ：2π=∠APB ,则以AB 为直径的圆必与圆()()11322=-++y x 有公共点,所以121+≤≤-n n ,解得31≤≤n ,因此,命题p 是真命题.命题：函数()xxx f 3log 4-=，()0log 1443<-=f ,()0log 34333>-=f ,且()x f 在[]4,3上是连续不断的曲线,所以函数()x f 在区间()4,3内有零点，因此,命题是假命题.因此只有)(q p ⌝∧为真命题．故选A ．考点：复合命题的真假．【方法点晴】本题考查命题的真假判断,命题的“或”、“且”及“非”的运算性质,同时也考查两圆的位置关系和函数零点存在定理,属于综合题.由于点P 满足2π=∠APB ,因此在以AB 为直径的圆上,又点P 在圆1)1()3(22=-++y x 上，因此P 为两圆的交点,利用圆心距介于两圆半径差与和之间,求出的范围.函数x xx f 3log 4)(-=是单调函数,利用零点存在性定理判断出两端点异号,因此存在零点.10．【答案】B11．【答案】D【解析】解：双曲线﹣=1的右焦点为（2，0），即抛物线y 2=2px 的焦点为（2，0）， ∴=2， ∴p=4． 故选D ．【点评】本题考查双曲线、抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．12．【答案】B【解析】解：∵直线x+2y ﹣3=0的斜率为﹣，∴与直线x+2y ﹣3=0垂直的直线斜率为2， 故直线l 的方程为y ﹣（﹣2）=2（x ﹣2），化为一般式可得2x ﹣y ﹣6=0故选：B【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．二、填空题13．【答案】 5【解析】解：由z=x ﹣3y 得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点C时，直线y=的截距最小，此时z最大，由，解得，即C（2，﹣1）．代入目标函数z=x﹣3y，得z=2﹣3×（﹣1）=2+3=5，故答案为：5．14．【答案】（﹣1，0）．【解析】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（0，5），B（2，7），C（2，2k+5）△ABC的形状随着直线AC：y=kx+5斜率的变化而变化，将直线AC绕A点旋转，可得当C点与C1（2，5）重合或与C2（2，3）重合时，△ABC是直角三角形，当点C位于B、C1之间，或在C1C2的延长线上时，△ABC是钝角三角形，当点C位于C1、C2之间时，△ABC是锐角三角形，而点C在其它的位置不能构成三角形综上所述，可得3＜2k+5＜5，解之得﹣1＜k＜0即k的取值范围是（﹣1，0）故答案为：（﹣1，0）【点评】本题给出二元一次不等式组，在表示的图形为锐角三角形的情况下，求参数k的取值范围，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．15．【答案】64 9π【解析】111]考点：球的体积和表面积.【方法点晴】本题主要考查了球的表面积和体积的问题，其中解答中涉及到截面圆圆心与球心的连线垂直于截面，球的性质、球的表面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中熟记球的截面圆圆心的性质，求出球的半径是解答的关键.16．【答案】．【解析】解：∵=1﹣bi，∴a=（1+i）（1﹣bi）=1+b+（1﹣b）i，∴，解得b=1，a=2．∴|a﹣bi|=|2﹣i|=．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．17．【答案】1 2 -考点：函数极值【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略（1）知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号. （2）已知函数求极值.求f ′（x ）―→求方程f ′（x ）＝0的根―→列表检验f ′（x ）在f ′（x ）＝0的根的附近两侧的符号―→下结论.（3）已知极值求参数.若函数f （x ）在点（x 0，y 0）处取得极值，则f ′（x 0）＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.18．【答案】 4 ．【解析】解：由题意可得点B 和点C 关于原点对称，∴|+|=2||，再根据A 为抛物线x 2=﹣8y 的焦点，可得A （0，﹣2），∴2||=4，故答案为：4．【点评】本题主要考查抛物线的方程、简单性质，属于基础题，利用|+|=2||是解题的关键．三、解答题19．【答案】112． 【解析】试题解析：由tan tan tan 3A B A B +=-可得tan tan 1tan A BA +=-tan()AB +=∴tan()C π-=，∴tan C -=，∴tan C =∵(0,)C π∈，∴3C π=.又ABC ∆的面积为ABC S ∆=1sin 2ab C =，即12ab =6ab =.又由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，∴2227()2cos 23a b ab π=+-，∴22227()()32a b ab a b ab =+-=+-，∴2121()4a b +=，∵0a b +>，∴112a b +=.1 考点：解三角形问题．【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到两角和与两角差的正切函数公式、三角形的面积、正弦定理和余弦定理，以及特殊角的三角函数值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，其中熟练掌握基本公式和灵活运用公式是解答本题的关键，属于中档试题． 20．【答案】【解析】解：（Ⅰ）点A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，B （﹣，）．可得sin α=，cos α=，∴cos α+sin α=．（Ⅱ）因为P （cos2θ，sin2θ），A （1，0）所以==（1+cos2θ，sin2θ），所以===2|cos θ|，因为，所以=2|cos θ|∈，||的最大值．【点评】本题考查三角函数的定义的应用，三角函数最值的求法，考查计算能力．21．【答案】【解析】【知识点】等差数列 【试题解析】（Ⅰ）由题意，得解得 或（舍）． 所以． （Ⅱ）由（Ⅰ），得．所以．所以只需求出的最大值．由（Ⅰ），得．因为，所以当，或时，取到最大值．所以的最大值为．22．【答案】【解析】解：（1）由导数的几何意义f′（a+1）=12∴3（a+1）2﹣3a（a+1）=12∴3a=9∴a=3（2）∵f′（x）=3x2﹣3ax，f（0）=b∴由f′（x）=3x（x﹣a）=0得x1=0，x2=a∵x∈[﹣1，1]，1＜a＜2∴当x∈[﹣1，0）时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x∈（0，1]时，f′（x）＜0，f（x）递减．∴f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值为f（0）∵f（0）=b，∴b=1∵，∴f（﹣1）＜f（1）∴f（﹣1）是函数f（x）的最小值，∴∴∴f（x）=x3﹣2x2+1【点评】曲线在切点处的导数值为曲线的切线斜率；求函数的最值，一定要注意导数为0的根与定义域的关系．23．【答案】24．【答案】【解析】解：（I）圆C的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x﹣1）2+y2=1．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简得：ρ=2cosθ，即为此圆的极坐标方程．（II）如图所示，由直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=．可得普通方程：直线l，射线OM．联立，解得，即Q．联立，解得或．∴P．∴|PQ|==2．【点评】本题考查了极坐标化为普通方程、曲线交点与方程联立得到的方程组的解的关系、两点间的距离公式等基础知识与基本方法，属于中档题．。
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唐山一中2019-2020学年高二年级第一学期10月份考试
数学试卷
（满分：150分，测试时间：120分钟）
第I 卷（选择题，共60分）
一.选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.与椭圆18
242
2=+y x 的焦点坐标相同的是( ) A. 15152
2=-y x B.192522=-y x C. 1122022=+y x D.12592
2=+y x 2.抛物线4
2
x y =的准线方程是( ) A.1=x B.1-=x C.1=y D.1-=y
3.已知方程12
12
2=--+m y m x 表示双曲线，则m 的取值范围是( ) A.1->m B.2>m C.2,1>-<m m 或 D.21<<-m
4.M 是抛物线x y 22
=上一点，F 是抛物线的焦点，以Fx 为始边、FM 为终边的角,600=∠xFM 则=||FM ( ) A.1 B.2 C.3 D.4
5．已知椭圆13
2
22=+y a x C ：的一个焦点为)0,1(，则C 的离心率为( )
A ．13
B ．12
C ．2
D ．3 6.已知点)0,2(),2,0(B A .若点C 在抛物线x y =2上，则使得ABC ∆的面积为2的点C 的个
数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
7. 已知圆,422=+y x 直线.:b x y l +=若圆42
2=+y x 上有2个点到直线l 的距离等于1.则以下b 可能的取值是( )
A.1
B.2
C.2
D.23
8.已知圆1)4()3(22=-+-y x C ：
和两点)0)(0,(),0,(>-m m B m A ,若圆C 上存在点P ，使得，090=∠APB 则m 的最大值为( )
A.7
B.6
C.5
D.4
9.一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
（A ）53-或35- （B ）32-
或23- （C ）54-或45- （D ）43-或34
-
10. 已知直线x y l 2:=和点).4,3(P 在直线1l 上求一点Q ，使过Q P 、的直线与l 以及x 轴在第一象限内所围成的三角形的面积最小.则Q 坐标为( )
A.)4,2(
B.)6,3(
C.)8,4(
D.)10,5( 11.已知双曲线15
42
2=-y x 左焦点为，F P 为双曲线右支上一点，若FP 的中点在以||OF 为半径的圆上，则P 的横坐标为( ) A.38 B.4 C.3
16 D.6
12．设直线l 与抛物线24y x =相交于B A ，两点，与圆()()2
2250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ）
（A ）()13， （B ）()14， （C ）()23， （D ）()24，
第II 卷（非选择题，共90分）
二.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.经过点)1,0(P 作直线l ，若直线l 与连接)1,2(),2,1(-B A 的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是____________.
14.在平面直角坐标系中，经过三点)2,6(),5,5(),5,1(--C B A 的圆的方程为__________．
15.21,F F 分别是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线分别交于点B A ,，若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为_______.
16.已知椭圆14
22
=+y x C ：，),0(m P 是y 轴正半轴上一动点，若以P 为圆心任意长为半径
的圆与椭圆C 至多有两个交点，则m 的取值范围是__________.
三、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18-22题每题12分，共70分.
17.已知ABC ∆的顶点),1,5(A AB 边上的中线CM 所在直线方程为,052=--y x AC 边上的高BH 所在直线方程为.052=--y x 求：
(1)顶点C 的坐标；
(2)直线BC 的方程.
18. 圆82
2=+y x 内有一点)2,1(-P ，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦.
(1)当o 135=α时，求AB 的长；
(2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线AB 的方程.
19.已知一动圆与圆9)3(221=++y x C ：
外切，且与圆1)3(2
22=+-y x C ：内切. (1) 求动圆圆心P 的轨迹方程C ；
(2) 过点Q )1,4(能否作一条直线l 与C 交于B A ，两点，且点Q 是线段AB 的中点，若存在，求出直线l 方程；若不存在，说明理由.
20.设椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为)0,2(-F ,且椭圆经过点)55,2(-. (1)求椭圆的方程；
(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB (B 为椭圆上顶点)与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上.若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率.
21.已知定点，)0,1(A P 是直线1:-=x l 上一动点，过P 作l 的垂线与线段PA 的垂直平分线交于点M .M 的轨迹记为.C
(1) 求C 的方程；
(2) 直线OP (O 为坐标原点)与C 交于另一点B ，过P 作l 垂线与C 交于D ，直线BD 是否过平面内一定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.
22.椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点)23,1(P ，离心率2
1=e ，直线l 的方程为4=x ． (1) 求椭圆C 的方程；
(2) 过椭圆右焦点F 作动直线与C 交于不同的两点B A 、，与l 交于.T 直线PB PA ,与l 分别交于，N M ,求证:T 是MN 的中点.
唐山一中2019-2020学年高二年级第一学期10月份考试
数学参考答案
一、选择题
1—5.ADCBB 6-10.DCBDC 11-12.CD
二、填空题 13. 14. 15. 16. 三、解答题
17.(1)因为,所以可设的方程为，又，所以 与方程联立可得
.
(2)设,则的中点代入，得， 与联立得所以所以直线的方程为
即
18.直线.圆心到直线的距离弦长
为的中点，又
的方程为.
19.(1)设动圆圆心半径为
根据题意得：所以
则动点轨迹为双曲线(右支)，其方程为
由点差法得，所以所以
经验证成立.
20.(1)
(2)设直线：与联立得，.
由题意所以
所以
21.(1)由抛物线定义知的轨迹是抛物线，
(2)设，则，与联立得
又，得直线，由对称性知若过定点，则定点
一定在轴上，令得
所以过定点
22.(1)
(2)设，
由消得
则，所以，同理，
所以
所以是中点.。