曲线积分的计算法

曲线积分

第一类 ( 对弧长 )

第二类 ( 对坐标 )

⎭

⎬⎫转化

定积分

(1) 选择积分变量

用参数方程

用直角坐标方程

用极坐标方程

(2) 确定积分上下限

第一类: 下小上大 第二类: 下始上终

对弧长曲线积分的计算

定理

)

()()()](),([),(,],[)(),()(),(),

(,

),(22βαψϕψϕβαψϕβαψϕβ

α

<'+'=≤≤⎩

⎨

⎧==⎰⎰

dt

t t t t f ds y x f t t t t y t x L L y x f L

且

上具有一阶连续导数在其中的参数方程为上有定义且连续在曲线弧设注意:

;.1βα一定要小于上限定积分的下限.

,,),(.2而是相互有关的不彼此独立中y x y x f 特殊情形

.

)

(:)1(b x a x y L ≤≤=ψ.

)(1)](,[),(2dx x x x f ds y x f b a

L

⎰⎰

'+=ψψ.

)(:)2(d y c y x L ≤≤=ϕ.

)(1]),([),(2dy y y y f ds y x f d

c

L

⎰⎰

'+=ϕϕ

).(,

sin ,cos :,象限第椭圆求I ⎩

⎨

⎧===⎰t b y t a x L xyds I L

解

dt

t b t a t b t a I 2220

)cos ()sin (sin cos +-⋅=⎰π

dt

t b t a t t ab 222220

cos sin cos sin +=⎰π

⎰-=

a

b du u b a ab 22

2)

cos sin (2222t b t a u +=令.

)

(3)

(22b a b ab a ab +++=例2 .

)2,1()2,1(,4:,

2

一段到从其中求-==⎰x y

L yds I L

x

y 42=解

dy y

y I 222)2

(1+=⎰-.

0=例3 )

20(.,

sin ,cos :,

πθθθθ≤≤===Γ=⎰Γ

的一段其中求k z a y a x xyzds I 解

θ

θθθd k a k a 222sin cos +⋅⎰

=π

20

I .

2

1

222k a ka +-=π例4 ⎩⎨

⎧=++=++Γ=⎰Γ

.

0,

,

22

2

2

2z y x a z

y x ds x I 为圆周其中求解 由对称性, 知

.

22

2

⎰⎰⎰Γ

ΓΓ==ds z ds y

ds x ⎰Γ

++=ds z y x I )(312

22故例1

对坐标的曲线积分的计算

,

),(),(,0)()(,)(),(,

),(,),

(),(,),(),,(22存在则曲线积分

且续导数一阶连

为端点的闭区间上具有及在以运动到终点沿的起点从点时到变单调地由当参数的参数方程为续上有定义且连在曲线弧设⎰+≠'+'⎩⎨

⎧==L

dy y x Q dx y x P t t t t B L A L y x M t t y t x L L y x Q y x P ψϕβαψϕβαψϕdt

t t t Q t t t P dy

y x Q dx y x P L

)}()](),([)()](),([{),(),(ψψϕϕψϕβ

α

'+'=+⎰⎰且特殊情形

.

)

(:)1(b a x x y y L ，终点为起点为=.

)}()](,[)](,[{dx x y x y x Q x y x P Qdy Pdx b

a

L

⎰⎰'+=+则.

)

(:)2(d c y y x x L ，终点为起点为=.

]}),([)(]),([{dy y y x Q y x y y x P Qdy Pdx d

c

L

⎰⎰+'=+则例5 计算 ,d d )2(⎰+-L y x x y a 其中L 为摆线 ,

)sin (t t a x -=)

cos 1(t a y -=上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.

提示: y x x y a d d )2(+-)cos 1(t a +=t

t a d )cos 1(-⋅t

t a t t a d sin )sin (⋅-+t

t t a d sin 2=⎰Γ=ds a 3

2

.323a π=),2(球面大圆周长⎰Γ=ds a π

其中 由平面 y = z 截球

22y x +,

12所得=+z 从 z 轴正向看沿逆时针方向.

提示: 因在 上有

,

1222

=+y x

故

t

x cos =t

y sin 2

1=

sin 2

1t z =原式 =

曲面积分的计算法 1. 基本方

曲面积分 ⎩

⎨

⎧第一类( 对面积 )

第二类( 对坐标 ) ⎭⎬⎫转化

二重积分

(2) 积分元素投影

⎩⎨⎧第一类: 始终非负

第二类: 有向投影 (3) 确定二重积分域

例 6 计算

(1) 选择积分变量 — 代入曲面方程

— 把曲面积分域投影到相关坐标面