2018-2019学年高二数学新人教B版必修五课件：第3章 3.2 第1课时

a＋b2 .( √ ) 3.若 a>0，b>0，则 ab≤ 2
题型探究
类型一 常见推论的证明
例1 证明不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R). 证明 ∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，
∴a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时，等号成立).
证明
引申探究
a＋b2 a2＋b2 ≤ 证明不等式 (a，b∈R). 2 2
当且仅当a＝b时，等号成立，
∴a＋b≥2 ab，
a＋b ∴ ab≤ 2 ，
当且仅当a＝b时，等号成立.
梳理 1.均值定理
a＋b 如果 a，b∈R ，那么 2 ≥ ab.当且仅当 a＝b 时，等号成立，以上结
＋
论通常称为 均值 定理，又叫均值不等式.
均值定理可叙述为： 两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值.
4
解析
答案
2.若0<a<b，则下列不等式一定成立的是
a＋b A.a> 2 > ab>b
a＋b B.b> ab> 2 >a a＋b D.b>a> 2 > ab
√
a ＋b C.b> 2 > ab>a
解析
a＋b ∵0<a<b，∴2b>a＋b，∴b> 2 > ab.
2
a＋b ∵b>a>0，∴ab>a ，∴ ab>a， 2 > ab.
b 的 几何 平均值.两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，即 a ＋b ab≤ 2 .其几何意义如上图中的 PO≥PQ.
知识点二
思考
均值定理及其常见推论
a＋b 如何证明不等式 ab≤ 2 (a>0，b>0)?
答案
∵a＋b－2 ab＝( a)2＋( b)2－2 a· b＝( a－ b)2≥0，
2.常见推论
a＋b2 a2＋b2 ≤ (1)ab≤ ( a ， b ∈ R ) ； 2 2
b a (2)a＋b≥2(a，b 同号)；
(3)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R).
[思考辨析 判断正误]
1.对任意 a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2 ab均成立.( × ) 4 2.若 a≠0，则 a＋a≥2 4 a· ＝ 4.( ) × a
第三章 §3.2
均值不等式
第1课时 均值不等式
学习目标
1.理解均值不等式的内容及证明. 2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小. 3.能初步运用均值不等式证明简单的不等式.
内容索引
问题导术平均值与几何平均值的概念
思考
如图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQ＝a ，BQ＝b ，
证明 ∵a2＋b2≥2ab；b2＋c2≥2bc；c2＋a2≥2ca， ∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)， 即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca， 当且仅当a＝b＝c时，等号成立.
证明
类型二 用均值不等式证明不等式
例2 已知x，y都是正数.
y x 求证：(1)x＋y≥2；
证明
x y ∵x，y 都是正数，∴y>0，x>0，
yx y x · ＝ 2 ，即 ＋ ≥ 2 ， xy x y
y x ∴x＋y≥2
当且仅当x＝y时，等号成立.
证明
(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.
证明 ∵x，y都是正数，
∴x＋y≥2 xy>0，
x2＋y2≥2 x2y2>0，x3＋y3≥2 x3y3>0.
∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥2 xy· 2 x2y2· 2 x3y3＝8x3y3，
B.P＜Q＜R D.P＜R＜Q
√
解析
答案
达标检测
1 1 1.已知 a>0，b>0，则a＋b＋2 ab的最小值是 A.2 B.2 2 C.4 √ D.5
解析 ∵a>0，b>0，
1 1 ∴a＋b＋2 ab≥2
1 ＋ 2 ab ≥ 4 ab
1 · ab＝4， ab
当且仅当a＝b＝1时，等号成立.
1
2
3
1 bc＋ca，3的大小.
解答
反思与感悟
a＋b 均值不等式 2 ≥ ab一端为和，一端为积，使用均值不等
式比较大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和.
跟踪训练 3
lg a＋lg b a＋b 设 a＞b＞1，P＝ lg a· lg b，Q＝ ，R＝lg 2 ，则 2
P，Q，R 的大小关系是
A.R＜P＜Q C.Q＜P＜R
∴a＋b≥2 ab>0，b＋c≥2 bc>0，c＋a≥2 ca>0.
∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥2 ab· 2 bc· 2 ca＝8abc.
即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立.
证明
类型三 用均值不等式比较大小
例3
已知 a，b，c∈(0，＋∞)且 a＋b＋c＝1，试比较 a2＋b2＋c2，ab＋
即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3， 当且仅当x＝y时，等号成立.
证明
反思与感悟
y x 在(1)的证明中把x，y分别看作均值不等式中的 a，b 从而能
够应用均值不等式；在(2)中三次利用了均值不等式，由于每次应用不等 式时等号成立的条件相同，所以最终能取到等号.
跟踪训练2 已知a，b，c都是正实数，求证：(a＋b)(b＋c)· (c＋a)≥8abc. 证明 ∵a，b，c都是正实数，
a＋b 故 b> 2 > ab>a.
1 2 3 4
解析
答案
3.设a，b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是
A.6
B.4 √
2
C.2 6
D.8
解析 ∵a＋b＝3，
∴2a＋2b≥2 2a· 2b＝2 2a＋b＝2 8＝4 2，
3 当且仅当 a＝b＝2时，等号成立.
过点Q作 PQ垂直于AB且交圆O于点 P，连接AP，PB.如何用a，b表示PO，
PQ的长度？
答案
AB a＋b PO＝ 2 ＝ 2 .
易证 Rt△APQ∽Rt△PBQ，那么 PQ2＝AQ· QB，即 PQ＝ ab.
梳理
a ＋b 一般地，对于正数 a，b， 2 为 a，b 的 算术 平均值， ab为 a，
证明 由例1，得a2＋b2≥2ab，
∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab，
a＋b2 a2＋b2 ≤ 两边同除以 4，即得 ， 2 2
当且仅当a＝b时，取等号.
证明
反思与感悟 使用作差法与不等式性质是证明不等式中常用的方法.
跟踪训练1 已知a，b，c为任意的实数，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.