安徽省2014届高考模拟信息考试数学(理)试题(二)(扫描版)
2014年安徽省芜湖市高考数学模拟试卷(理科)
2014年安徽省芜湖市高考数学模拟试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.已知复数z=，则|z|=（）A.1B.C.D.5【答案】C【解析】解：化简可得复数z===1-2i，∴|z|==故选：C化简复数，由模长公式可得．本题考查复数的模长，利用复数的基本运算进行化简是解决本题的关键，属基础题．2.已知集合M={x|y=ln（1-x）}，集合N={x|x2-x=0}，则M∩N=（）A.{0，1}B.{0}C.{1}D.∅【答案】B【解析】解：M={x|y=ln（1-x）}={x|1-x＞0}={x|x＜1}，集合N={x|x2-x=0}={x|x=1或x=0}，则M∩N={0}，故选：B．求出集合M，N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的基本元素即可得到结论．3.已知命题p：平行于同一直线的两个平面平行；命题q：垂直于同一平面的两条直线平行，那么（）A.“p或q”是假命题B.“p且q”是真命题C.“￢p或q”是假命题D.“￢p且q”是真命题【答案】D【解析】解：对于命题p，若α∩β=m，a⊄α，a⊄β，a∥m，则由线面平行的判定定理，得a∥α，a∥β，则满足条件，故命题p为假命题；由直线和平面垂直的性质定理，得命题q正确．故￢p为真，“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，“￢p或q”是真命题，“￢p且q”是真命题．故选D．首先运用线面平行的判定定理和线面垂直的性质定理，判断p，q的真假，然后运用复合命题的真值表即可得到答案．本题主要考查复合命题的真假判断，注意运用真值表，同时考查空间直线与平面的位置关系：平行和垂直，是一道基础题．4.阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】解：该程序框图是循环结构经第一次循环得到i=1，a=2；经第二次循环得到i=2，a=5；经第三次循环得到i=3，a=16；经第四次循环得到i=4，a=65满足判断框的条件，执行是，输出4故选B通过程序框图的要求，写出前四次循环的结果得到输出的值．本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环结果，找规律．5.下列双曲线的渐近线方程为y=±2x的是（）A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【答案】C【解析】解：A中，双曲线的渐进线方程为即；B中，双曲线的渐进线方程为即；C中，双曲线的渐进线方程为即y=±2x；D中，双曲线的渐进线方程为即；故选：C．令双曲线方程右边的常数1为0，即得到双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的灵活运用．6.若a=20.5，b=log63，c=log2（sin），则（）A.a＞b＞cB.b＞a＞cC.c＞a＞bD.b＞c＞a【答案】A【解析】解：∵a=20.5＞20=1，0=log61＜b=log63＜log66=1，c=log2（sin）=log2（）=-1，∴a＞b＞c．故选：A．根据指数函数与对数函数的单调性质将a，b，c分别与1与0比较即可．本题考查对数的运算性质，考查指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．7.已知定义在R上的函数f（x）满足f（4）=2-，且对任意的x都有f（x+2）=，则f（2014）=（）A.-2-B.-2+C.2-D.2+【答案】A【解析】解：∵f（x+2）=，∴f（x+4）=，即函数的周期为4，则f（2014）=f（503×4+2）=f（2），∵f（4）=2-，∴f（2）=-===-（2+）=-2-，故选：A．根据条件确定函数的周期为4，利用函数的周期即可求出函数的值．本题主要考查函数值的计算，利用条件求出函数的周期性是解决本题的关键．8.已知函数y=g（x）的图象由f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜x）个单位得到，这两个函数的部分图象如图所示，则φ=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：f（x）=sin2x的图象在y轴的右侧的第一个对称轴为2x=，∴x=，-=，图象中与函数值相同的右侧相邻点的横坐标为，故φ=-=，故选：C．根据所给的图象，依据，y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求得图象中与函数值相同的右侧相邻点的横坐标为，根据φ=-求得结果．本题主要考查利用y=A sin（ωx+∅）的图象特征，由函数y=A sin（ωx+∅）的部分图象求解析式，y=A sin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．9.若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值为（）A.π+2B.C.3D.2【答案】B【解析】解：作出不等式组的对应的平面区域如图，阴影部分，设z=x+2y，则y=-，平移直线y=-，由图象可知当直线y=-与圆在第一象限相切时，即经过点A时，直线y=-的截距最大，此时z最大，由y=，得x2+y2=2，则圆心O到直线x+2y-z=0的距离d=，即|z|=，即z=或-，故x+2y的最大值为，故选：B作出不等式组对应的平面区域，设z=x+2y，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用以及直线与圆的位置关系的应用．结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．10.已知R t△ABC中，∠C=90°，•=9，S△ABC=6，P为线段AB上的点，且=x•+y•，则xy的最大值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】解：∴；∴；设．=；∴；∴x=3λ，y=4（1-λ）∴xy=12λ（1-λ0=-；∵λ∈[0，1]∴时，xy最大为：3．故选：C．根据便可求出=3，能求出．P 为线段AB上的点，所以存在λ，0≤λ≤1，使得：．所以=，所以会得到：，这样便能用λ表示x，y，所以xy能用λ表示，并且能表示成关于λ的二次函数，求这个二次函数在其定义域上的最值即可求得xy的最大值．得出x，y用λ表示是求解本题的关键，这样就将求两个变量的最大值，变成了求一个变量的最大值，这样就转变成了求函数的最值了．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（1≤X≤5）=0.6826，则P（X＞5）= ______ ．【答案】0.1587【解析】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（3，1），∴正态曲线的对称轴是x=3，∵P（1≤X≤5）=0.6826，∴P（X＞5）=0.5-P（1≤X≤5）=0.5-0.3413=0.1587．故答案为：0.1587．根据随机变量ξ服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得P（X ＞5）．本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，注意根据正态曲线的对称性解决问题．12.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b=2，sin B+cos B=，则角A的大小为______ ．【答案】【解析】解：由sin B+cos B=得1+2sin B cos B=2，即sin2B=1，因为0＜B＜π，所以B=45°，b=2，所以在△ABC中，由正弦定理得：，解得sin A=，又a＜b，所以A＜B=45°，所以A=30°．故答案为由条件由sin B+cos B=得1+2sin B cos B=2，即sin2B=1，根据三角形的内角和定理得到0＜B＜π得到B的度数．利用正弦定理求出A即可．本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求解以及正弦定理，考查了同学们解决三角形问题的能力．13.若二项式（x-）6（a＞0）的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B=4A，则a的值是______ ．【答案】2【解析】解：展开式的通项为令得r=2，所以A=令得r=4，所以B=∵B=4A，即=4，解得a=2故答案为：2利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为1，0求出A，B；列出方程求出a．本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．14.设f1（x）=，f n+1（x）=f1[f n（x）]，且a n=，则a2014= ______ ．【答案】（-）2015【解析】解：∵f1（x）=，f n+1（x）=f1[f n（x）]，∴a n==∵f1（0）=2，，∴f n+1（0）=f1[f n（0）]，∴f n+1（0）=f1[f n（0）]=，∴=，∴数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列，∴，∴a2014=．故答案为：（-）2015根据条件求出数列{a n}是等比数列，然后根据等比数列的通项公式即可得到结论．本题主要考查函数值的计算，利用条件构造数列，并证明数列是等比数列是解决本题的关键，考查学生的计算能力．15.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为棱DD1和AB上的点，则下列说法正确的是______ ．（填上所有正确命题的序号）①A1C⊥平面B1CF；②在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线；③△B1EF在侧面BCC1B1上的正投影是面积为定值的三角形；④当E，F为中点时，EF与平面BCC1B1所成角的正切值为；⑤当E，F为中点时，平面B1EF与棱AD交于点P，则AP=．【答案】②③④⑤【解析】解：对于①A1C⊥平面B1EF，不一定成立，因为A1C⊥平面AC1D，而两个平面面B1EF与面AC1D不一定平行．对于②在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线，此两平面相交，一个面内平行于两个平面的交线一定平行于另一个平面，此结论正确；对于③△B1EF在侧面BCC1B1上的正投影是面积为定值的三角形，此是一个正确的结论，因为其投影三角形的一边是棱BB1，而E点在面上的投影到此棱BB1的距离是定值，故正确；对于④EF与平面BCC1B1所成角等于EF与平面A1D1DA所成角，连接EA，则∠FEA为EF与平面A1D1DA所成角，tan∠FEA==；故正确．对于⑤，当E，F为中点时平面B1EF截该正方体所得的截面图形是五边形B1QEPF，由面面平行的性质定理可得EQ∥B1F，故D1Q=，B1Q∥PF，故AP=，故正确．综上所述，说法正确的是②③④⑤故答案为：②③④⑤由正方体的结构特征，对所给的几个命题用线面，面面之间的位置关系直接判断正误即可得到答案．本题考点是棱柱的结构特征，考查对正方体的几何特征的了解，以及线面垂直，线面平行等位置关系的判定，涉及到的知识点较多，综合性强．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.如图，点A，B是单位圆O上的两点，点C是圆O与x轴正半轴的交点，将锐角α的终边OA按逆时针方向旋转到OB．（Ⅰ）若A的坐标为（，），求点B的横坐标；（Ⅱ）若△ABC的面积为，求角α的大小．【答案】解：（Ⅰ）由题意可知∠x OA=α，A的坐标为（，），即cosα=，sinα=，锐角α的终边OA按逆时针方向旋转到OB．∴点B的横坐标为cos（）=cosαcos-sinαsin=-=；（Ⅱ）∵△ABC的面积为，∴S△ABC=S△OAB+S△x OA-S△XOB，即：=，∴，∵α是锐角，∴角α的大小为：．【解析】（Ⅰ）通过A的坐标为（，），利用两角和与差的三角函数直接求点B的横坐标cos （）；（Ⅱ）利用△ABC的面积为，推出S△ABC=S△OAB+S△x OA-S△XOB，通过解三角方程即可求角α的大小．本题考查任意角的三角函数的定义，两角和与差的三角函数，考查转化思想以及计算能力．17.某高中毕业学年，在高校自主招生期间，把学生的平时成绩按“百分制”折算，排出前n名学生，并对这n名学生按成绩分组，第一组[75，80），第二组[80，85），第三组[85，90），第四组[90，95），第五组[95，100]，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数为60．（Ⅰ）请在图中补全频率分布直方图；（Ⅱ）若Q大学决定在成绩高的第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试．①若Q大学本次面试中有B、C、D三位考官，规定获得两位考官的认可即面试成功，且面试结果相互独立，已知甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官面试的概率依次为、，，求甲同学面试成功的概率；②若Q大学决定在这6名学生中随机抽取3名学生接受考官B的面试，第3组中有ξ名学生被考官B面试，求ξ的分布列和数学期望．【答案】解：（Ⅰ）∵第四组的人数为60，∴总人数为：5×60=300，由直方图可知，第五组人数为：0.02×5×300=30人，又为公差，∴第一组人数为：45人，第二组人数为：75人，第三组人数为：90人（4分）（Ⅱ）①设事件A=甲同学面试成功，则P（A）=…..（8分）②由题意得，ξ=0，1，2，3，，，，，分布列为：…..（12分）【解析】（Ⅰ）由第四组的人数能求出总人数，由此能补全频率分布直方图．（Ⅱ）①设事件A=甲同学面试成功，由此利用独立事件概率公式能求出甲同学面试成功的概率．②由题意得，ξ=0，1，2，3，分别求出其概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，是历年高考的必考题型．18.如图，E是以AB为直径的半圆上异于A、B的点，矩形ABCD所在的平面垂直于该半圆所在的平面，且AB=2AD=2．（1）求证：EA⊥EC；（2）设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F．若EF=1，求二面角D-EC-B的正切值．【答案】（1）证明：∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，BC⊥AB，BC⊂平面ABCD∴BC⊥平面ABE∵AE⊂平面ABE，∴BC⊥AE∵E在以AB为直径的半圆上，∴AE⊥BE∵BE∩BC=B，BC，BE⊂面BCE∴AE⊥面BCE∵CE⊂面BCE，∴EA⊥EC（2）以A为原点，AB、AD所在直线为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，1），E（，，0），B（0，2，0），C（0，2，1），有（1）知，=（，，0）是平面BEC的一个法向量，设=（x，y，z）是平面DEC的一个法向量则由得取=（2，0，）可得：cos＜，＞===因为D-EC-B的二面角大小为钝角，故其正切值为-．【解析】（1）利用面面垂直的性质，可得BC⊥平面ABE，再利用线面垂直的判定证明AE⊥面BCE，即可证得结论；（2）以A为原点，AB、AD所在直线为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D-EC-B的正切值．本题考查面面垂直的性质，线面垂直的判定与性质，考查线线垂直，考查二面角正切值的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，点B满足=且•=0．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）P是过A、B、F2三的圆上的点，若△AF1F2的面积为，求P到直线l：x-y-3=0距离的最大值．【答案】解：（Ⅰ）设B（x0，0），由F2（c，0），A（0，b），得=（c，-b），=（x0，-b），∵，∴cx0+b2=0，，∵=，即F1为BF2中点，∴-，∴b2=3c2=a2-c2，∴椭圆离心率e=．（Ⅱ）由，解得a=2，b=，∴△ABF的外接圆圆心为F1（-1，0），半径r=2，∵F1（-1，0）到直线l的距离为d==2，∴P到直线l：x-y-3=0距离的最大值为d+r=4．【解析】（Ⅰ）设B（x0，0），由F2（c，0），A（0，b），，得，由此能示出椭圆离心率．（Ⅱ）由，得a=2，b=，由此求出△ABF的外接圆圆心为F1（-1，0），半径r=2，F1（-1，0）到直线l的距离为d=2，由此能求出P到直线l：x-y-3=0距离的最大值．本题考查椭圆的离心率的求法，考查点到直线的距离的最大值的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．20.已知函数f（x）=ax-lnx，其中a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在点（1，f（1））处切线l的方程，并判断l与f（x）的图象交点的个数；（Ⅱ）若f（x）存在零点，求实数a的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）f（1）=1，k1=f′（1）=0，所以切线l的方程为y=1；作F（x）=f（x）-1=x-lnx-1，x＞0，则F′（x）=1-，解F′（x）=0得x=1．f（x）＞即函数y=f（x）（x≠1）的图象在直线l的上方，l与f（x）的图象交点的个数为1个；（Ⅱ）若f（x）存在零点，则ax-lnx=0有解，∴a=（x＞0），令y=（x＞0），则y′=，∴0＜x＜e，y′＞0，x＞e，y′＜0，∴函数在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，∴y≤，∴a≤．【解析】（Ⅰ）已知f（x）=lnx-ax+1，对你进行求导，根据导数和斜率的关系，求出切线的方程，可得结论；（Ⅱ）若f（x）存在零点，则a=（x＞0），求出函数的最值，即可求实数a的取值范围．本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查学生的运算能力，综合性较强21.已知数列{a n}满足a1=3，a n+1=a n2-na n+λ（n∈N*，λ∈R）．（Ⅰ）对∀n∈N*，a n≥2n恒成立的充要条件为λ≥-2；（Ⅱ）若λ=-2，证明：++…+＜2．【答案】解：（Ⅰ）先证明必要性：由题意知∀n∈N*，a n≥2n恒成立，则当n=2时，a2=6+λ≥2×2，得出λ≥-2，成立．充分性：当n=2时，显然成立，假设当n=k，（k≥2）时，a k≥2k成立，则当n=k+1时，a k+1=a k2-ka k+λ=a k（a k-k）+λ≥2k2-2=2（k+1）（k-1）≥2（k+1），故对所有的n≥2，有a n≥2n恒成立，故a n≥2n恒成立的充要条件为λ≥-2．（Ⅱ）当λ=-2．时，a n≥2n，即a n+1-2=a n2-na n-4=a n（a n-n）-4≥na n-4≥2（a n-2）＞0，（n≥2），则×=，（n≥3）++…+＜1+=＜．即不等式成立．【解析】（Ⅰ）根据充要条件的定义分别证明充分性和必要性，即可得到证明对∀n∈N*，a n≥2n 恒成立的充要条件为λ≥-2；（Ⅱ）根据数列的通项公式，利用放缩法，即可证明不等式．本题主要考查充要条件的证明，以及数学归纳法的应用，综合性较强，运算量较大．。
2014年安徽省高考数学模拟试卷(二)(理科)
2014年安徽省高考数学模拟试卷（二）（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.已知集合M={x|＜0}，N={x|y=1gx}，则（）A.N⊆MB.M⊆NC.N∩M=∅D.N∪M=R【答案】C【解析】解：由M中不等式变形得：x（x+1）＜0，解得：-1＜x＜0，即M={x|-1＜x＜0}，由N中y=lgx，得到x＞0，即N={x|x＞0}，则M∩N=∅．故选：C．求出M中不等式的解集确定出M，求出N中x的范围确定出N，即可做出判断．此题考查了交集及其运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.设i是虚数单位，且i2014=，则实数k=（）A.2B.1C.0D.-1【答案】D【解析】解：∵i2014=-1，故ki-1=k-i即（k+1）-（k+1）i=0，k=-1．故选：D．由虚数单位i的运算性质求得i2014，得到ki-1=k-i，则答案可求．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的渐近线经过点（2，1），则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：∵渐近线的方程是y=±x，双曲线-=1（a＞0，b＞0）的渐近线经过点（2，1），∴2•=1，∴a=2b，∴c=a，∴e==，先求渐近线斜率，再用c2=a2+b2求离心率．本题考查了双曲线的几何性质，双曲线的渐近线方程的意义以及双曲线离心率的求法4.设a=1og39π，b=1og416π，c=1og525π，则（）A.a＞b＞cB.c＞b＞aC.b＞c＞aD.b＞a＞c【答案】A【解析】解：∵a=1og39π=2+log3π，b=1og416π=2+log4π，c=1og525π=2+log5π，且log3π＞log4π＞log5π，∴a＞b＞c．故选：A．利用对数的运算法则和对数函数的单调性比较大小．本题考查对数值大小的比较，是基础题，解题时要认真审题．5.如图程序框图中，若输出S=+，则p的值为（）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】解：由已知中的程序框图可得：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=+++…+的值，∵+++=+，故p的值为4，故选：B由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=+++…+的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得满足输出结果的条件．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.在如图所示的可行域下，下列目标函数中，仅能在点B处取得最小值的是（）A.z=x-yB.z=x+yC.z=x-2yD.z=2x-yC【解析】解：选项A，不仅在点B处取得最小值，而且在（0，1）到B的线段上任意一点都满足，故错误；选项B，在B处取得最大值，故错误；选项D，在（0，1）处取最小值，故错误；只有选项C符合题意．故选：C由最优解的特点，逐个选项验证即可．本题考查线性规划，验证是解决问题的关键，属基础题．7.已知关于x的不等式：|2x-m|≤1的整数解有且仅有一个值为2，则关于x的不等式：|x-1|+|x-3|≥m的解集为（）A.（-∞，0]B.[4，+∞）C.（0，4]D.（-∞，0]∪[4，+∞）【答案】D【解析】解：（1）由不等式|2x-m|≤1，可得，∵不等式的整数解为2，∴，解得3≤m≤5．再由不等式仅有一个整数解2，∴m=4．（2）（2）本题即解不等式|x-1|+|x-3|≥4，当x≤1时，不等式等价于1-x+3-x≥4，解得x≤0，不等式解集为{x|x≤0}．当1＜x≤3时，不等式为x-1+3-x≥4，解得x∈∅，不等式解为∅．当x＞3时，x-1+x-3≥4，解得x≥4，不等式解集为{x|x≥4}．综上，不等式解为（-∞，0]∪[4，+∞）．故选D．（1）已知关于x的不等式：|2x-m|≤1，化简为，再利用不等式整数解有且仅有一个值为2，求出m的值．（2）可以分类讨论，根据讨论去掉绝对值，然后求解．此题考查绝对值不等式的性质及其解法，这类题目是高考的热点，难度不是很大，要注意进行分类讨论，解题的关键是去掉绝对值，属于中档题．8.已知函数f（x）=，若方程f（x）=4有且仅有一个解，则实数a＜的取值范围为（）A.（0，3）B.[0，3]C.（1，4）D.[1，4]【答案】D【解析】解：画出函数f（x）的图象，如图示：，若方程f（x）=4有且仅有一个解，则，解得：，即1≤a≤4，故选：D．画出函数的图象，将问题转化为求函数的交点问题，解不等式组，求出即可．本题考查了函数的零点问题，考查了数形结合思想，转化思想，是一道基础题．9.在△ABC中，若b=2，tan B=2，sin B=2sin C，则a=（）A. B.B、3 C.3或 D.2或【答案】B【解析】解：∵tan B=2＞0，sin B=2sin C，即b=2c，∴0＜B＜，sin B=，cos B=，c=1，由余弦定理得：cos B==，即=，整理得：3a2-2a-21=0，即（3a+7）（a-3）=0，解得：a=-（舍去）或a=3，故选：B．由tan B的值及B的范围，求出sin B与cos B的值，利用正弦定理化简sin B=2sin C，得到关系式，求出c的值，利用余弦定理表示出cos B，将b，c，cos B的值代入求出a 的值即可．此题考查了余弦定理，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．10.已知函数f（x）=x4+ax2+bx+c（c＜0），若函数是偶函数，且f（f（0））=c4+c，则函数f（x）的零点个数为（）A.4B.3C.2D.0【答案】C【解析】解：∵函数f（x）是偶函数，∴b=0，∵f（f（0））=f（c）=c4+ac2+c=c4+c，∴a=0，即f（x）=x4+c，由f（x）=（x2+）（x2-）=0，∴x=±，即函数f（x）有2个零点，故选：C．先求出b=0，再由f（f（0））=f（c）=c4+ac2+c=c4+c，得出f（x）=x4+c，从而求出函数的零点的个数．本题考查了函数的零点问题，考查偶函数的性质，求出函数的表达式是解题的关键，本题属于基础题二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.若=（1，2x），=（4，-x），则“与的夹角为锐角”是“0≤x＜”的______ 条件．（从充分性和必要性两个方面作答）【答案】既不充分也不必要【解析】解：若与的夹角为锐角的充要条件是•＞0，且与不同向，由•＞0得4-2x2＞0，解得＜＜，若与同向共线，则x=0，则“与的夹角为锐角”是“0≤x＜”的既不充分也不必要条件，故答案为：既不充分也不必要条件根据平面向量的应用以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据平面向量的数量积的应用是解决本题的关键．12.已知n∈N*，则[x2+（）3]4展开式的x3系项为______ ．【答案】4【解析】解：[x2+（）3]4展开式的通项为：=，令8-5r=3，解得r=1，∴T2=，[x2+（）3]4展开式的x3系项为：4．故答案为：4．利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为3，求出结果．本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．13.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是______ ．【答案】12【解析】解：该几何体是正六棱柱的一半，其体积为V==12．故答案为12．由三视图确定几何体的特征，代入数据解体积．本题考查了学生的空间想象力，注意三视图与几何体量的对应，属于基础题．14.已知圆M的方程为（x-1）2+（y-1）2=4，设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA、PB是圆M的两条切线，A、B为切点，则四边形PAMB面积的最小值为______ ．【答案】2【解析】解：由题知，四边形PAMB的面积为S=S△PAM+S△PBM=（|AM||PA|+|BM||PB|）．又|AM|=|BM|=2，|PA|=|PB|，所以S=2|PA|，而|PA|2=|PM|2-|AM|2=|PM|2-4，即S=2．因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x+4y+8=0上找一点P，使得|PM|的值最小，所以|PM|min==3，所以四边形PAMB面积的最小值为2．故答案为：2．四边形PAMB的面积为S=2，因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x+4y+8=0上找一点P，使得|PM|的值最小，利用点到直线的距离公式，即可求得结论．本题考查圆的标准方程，考查四边形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．15.等差数列{a m}的公差d不为0，S n是其前n项和，给出下列命题：①若d＞0，且S3=S8，则S5和S6都是{S m}中的最小项；②给定n，对于一切k∈N+（k＜n），都有a n-k+a n+k=2a m；③若d＜0，则{S n}中一定有最大的项；④存在k∈N+，使a k-a k+1和a k-a k-1同号；⑤S2013＞3（S1342-S671）．其中正确命题的序号为______ ．【答案】①②③【解析】解：对于①：∵d＞0，且S3=S8，∴a1＜0，a4+a5+a6+a7+a8=0，∴5a6=0，即a6=0，∴S5和S6都是{S m}中的最小项，故①正确；对于②：由等差中项的性质可知正确；对于③：当d＜0时，S n=na1+d=n2+（a1-）n，可知{S n}中一定有最大的项，故③正确；对于④：a k-a k+1和a k-a k-1符号相反，故④不正确；对于⑤：∵S671，S1342-S671，S2013-S1342成等差数列，∴2（S1342-S671）=S671+（S2013-S1342），∴S2013=3（S1342-S671），故⑤不正确．综上所述，正确命题的序号为①②③．故答案为：①②③．①由d＞0，且S3=S8，利用等差数列的性质易求a6=0，从而可判断①；②利用等差数列的性质可判断②；③当d＜0时，由S n=na1+d=n2+（a1-）n，可知{S n}中一定有最大的项，由此可判断③；④a k-a k+1和a k-a k-1符号相反，可判断④；⑤利用S671，S1342-S671，S2013-S1342成等差数列，整理后可判断⑤．本题考查等差数列的性质，着重考查等差中项的性质、等差数列前n项和的函数性质及依次n项的和成等差数列等性质的综合应用，属于中档题．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.已知函数f（x）=acos2x-sinxcosx（x∈R）的图象经过点M（，），其中常数a∈R．（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的最小正周期T；（Ⅱ）当x∈[，]时，求函数f（x）的最值及相应的x值．【答案】解：（Ⅰ）f（x）=a由函数f（x）的图象经过点M（，）知道f（=，即，解得a=1．∴f（x）=cos2x-sin2x+=，∴T=．（Ⅱ）当x∈[，]时，2x+∈[，]，∴当2x+=π，即x=时，f（x）min=；当2x+=，即x=时，f（x）max=1．【解析】首先利用正弦和余弦的倍角公式化简三角函数为一个三角函数名称的形式然后求周期即最值．本题考查了三角函数的化简以及区间的最值求法，需要熟练倍角公式以及弦函数的有界性求最值．17.等比数列{a n}中，a2=4，a3•a4=128．（Ⅰ）求数列{a n}中的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项的S n．【答案】解：（I）设等比数列{a n}的公比为q，∵a2=4，a3•a4=128．∴，解得，∴．（II）b n==．∴数列{b n}的前n项的S n=+…+，=+…++，∴=+…+-=-=，∴S n=-．【解析】（I）利用等比数列的通项公式即可得出．（II）b n==．利用“错位相减法”和等比数列的前n项和公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.点A、B分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P（，）在椭圆上，又椭圆离心率e=．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．【答案】解：（Ⅰ）依题意得，解得a2=36，b2=20，∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（-6，0），B（6，0），∴直线AP的方程为x-+6=0，设点M（m，0），由题意得，又-6≤m≤6，∴m=2，∴=，∴当x=时，d取得最小值．【解析】（Ⅰ）依题意得，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（-6，0），B（6，0），直线AP的方程为x-+6=0，设点M（m，0），由题意得，由此能求出当x=时，d取得最小值．本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆上的点到点M的距离d的最小值的求法，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．19.某市举办歌唱比赛，邀请了A、B、C、D四位资深音乐人担任评委，按照节目程序，每一位选手取得决赛资格后可通过抽签的方式选择一位评委作为导师，且他们对导师的选择是相互独立的，某组共有甲、乙、丙、丁四位选手取得了决赛资格，获得了选择导师的机会．（Ⅰ）求甲、乙、丙三人都选择A为导师的概率；（Ⅱ）求四位选手至少有一人选择B作为导师的概率；（Ⅲ）设四位选手选择C为导师的人数ξ，求ξ的分布列和数学期望．【答案】解：（Ⅰ）依题意知，每位选手选择每位明星作为导数的概率是，设“甲、乙、丙三人都选择A为导师”为事件A，则P（A）==，∴甲、乙、丙三人都选择A为导师的概率为．（Ⅱ）设“四位选手都不选择B作为导师”为事件B，则P（B）==，∴四位选手至少有一人选择B作为导师的概率是：P（）=1-P（B）=1-=．（Ⅲ）依题意ξ～（4，），∴ξ的分布列为P（ξ=k）==，k=0，1，2，3，4，∴Eξ=4×=1．【解析】（Ⅰ）依题意知，每位选手选择每位明星作为导数的概率是，设“甲、乙、丙三人都选择A为导师”为事件A，由此能求出甲、乙、丙三人都选择A为导师的概率．（Ⅱ）设“四位选手都不选择B作为导师”为事件B，由此能求出四位选手至少有一人选择B作为导师的概率．（Ⅲ）依题意ξ～（4，），由此能求出ξ的分布列和Eξ．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．20.在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，BO⊥AD于O，且AD=3BC=3BO，现将梯形沿BO折叠，使得△AOB所在平面与四边形OBCD所在平面互相垂直，连接AD、AC，E是AC中点．（Ⅰ）求证：OE⊥CD；（Ⅱ）若梯形ABCD的面积是4，求C-BOE的体积V C-BOE；（Ⅲ）求二面角E-OB-A的大小．【答案】（Ⅰ）证明：由题意得OA⊥OB，平面AOB⊥平面OBCD，∴AO⊥平面OBCD，∵CD⊆平面OBCD，∴AO⊥CD，又∵AD=3BC=3BO，∴OD=，∴CD⊥OC，∵AO∩OC=O，∴CD⊥平面AOC，又OE⊆平面AOC，∴OE⊥CD．（Ⅱ）解：设BC=x，由梯形ABCD的面积是4，知，∴BC=OB=OA=，由（Ⅰ）知AO⊥平面OBCD，又E是AC中点，∴E到平面OBCD的距离h=，∴V C-BOE=V R-BOC==．（Ⅲ）解：如图所示，取AB中点F，过F作FG⊥OB于G，连接EF，EG，∴EF∥BC∥OD，∴EF⊥平面AOB，又OB⊆平面AOB，∴OB⊥EF，∴OB⊥平面EFG，又EG⊆平面EFG，∴OB⊥FG，∴∠EGF为二面角E-OB-A的平面角，∵AD=3BC=3BO，设BC=1，在R t△EGF中，EF=FG=，∴tan∠EGF==1，∴∠，∴二面角E-OB-A的大小为．【解析】（Ⅰ）由题意得OA⊥OB，平面AOB⊥平面OBCD，从而AO⊥平面OBCD，进而AO⊥CD，又CD⊥OC，由此能证明OE⊥CD．（Ⅱ）设BC=x，由梯形ABCD的面积是4，知，由AO⊥平面OBCD，能求出E到平面OBCD的距离，由此能求出三棱C-BOE的体积V C-BOE．（Ⅲ）取AB中点F，过F作FG⊥OB于G，连接EF，EG，由已知得∠EGF为二面角E-OB-A 的平面角，由此能求出二面角E-OB-A的大小．本题考查异面直线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21.已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．（1）求实数a的值；（2）证明：当x＞1时，＞恒成立．【答案】（1）解：求导数可得f′（x）=a+lnx+1∵函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3∴f′（e）=3，∴a+lne+1=3，∴a=1，-----------------------（3分）（2）证明：由（1）知，f（x）=x+xlnx，令，则′，-----------------------（5分）令h（x）=x-lnx-2（x＞1），则′＞，所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．…（7分）因为h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-2ln2＞0，所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4）．当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，当x＞x0时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，…（9分）所以函数在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．所以．因为x0＞3，所以x＞1时，＞恒成立…（12分）【解析】（1）求导数，利用函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3，可得f′（e）=3，从而可求实数a的值；（2）构造，求导函数可得′，令h（x）=x-lnx-2（x＞1），确定h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4），进而可得在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，求出最小值，即可得证．本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，解题时构造函数是关键．。
2014年安徽省高考数学试卷(理科)答案与解析
2014年安徽省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）（2014•安徽）设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z=1+i，则+i•=（）代入+i•∴∴==取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，则直线l被的参数方程是=＜=2，5．（5分）（2014•安徽）x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a 或﹣16．（5分）（2014•安徽）设函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f（x）=0，则f（）（（）+sin）+sin+sin）+sin+sin+sin=sin+sin+sin==8+=21+．=66解：，﹣﹣﹣∴﹣≥，+1＞﹣，+1或﹣时，﹣10．（5分）（2014•安徽）在平面直角坐标系xOy中．已知向量、，||=||=1，•=0，点Q满足=（+），曲线C={P|=cosθ+sinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={P|0＜r≤||≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则（）不妨令=），=||中．已知向量、，||=||=1•=0不妨令=），=则（+，=cos+|||二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置．11．（5分）（2014•安徽）若将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是．﹣轴对称可得，）的图象向右平移﹣，﹣﹣，故答案为：．的等比数列列式求出公差，则由得：整理得：q=13．（5分）（2014•安徽）设a≠0，n是大于1的自然数，（1+）n的展开式为a0+a1x+a2x2+…+a n x n．若点A i（i，）的展开式的通项为）的展开式的通项为，，14．（5分）（2014•安徽）设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E 于A、B两点，若|AF1|=3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为x2+=1．（﹣，﹣bc，﹣代入椭圆方程可得==++15．（5分）（2014•安徽）已知两个不相等的非零向量，，两组向量，，，，和，，，，均由2个和3个排列而成，记S=•+•+•+•+•，S min表示S所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是②④（写出所有正确命题的编号）．①S有5个不同的值；②若⊥，则S min与||无关；③若∥，则S min与||无关；④若||＞4||，则S min＞0；⑤若||=2||，S min=8||2，则与的夹角为．++++•+++=+•++•+=﹣•≥+2|||≥个个S=2+3S=+2•+2S=4•++++，=•+•+，=+•++•++2•+﹣2||≥⊥，则=||∥，则=4•，与||||4||=4|||4||||+＞﹣=0||=2||=8|=与的夹角为．区域．16．（12分）（2014•安徽）设△ABC的内角为A、B、C所对边的长分别是a、b、c，且b=3，c=1，A=2B．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求sin（A+）的值．A+）的值．a=6a=2cosB=sinB=sinA=sin2B=，A+）则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；，，（+（+×（=，，=，，×+3×+4×+5×=．18．（12分）（2014•安徽）设函数f（x）=1+（1+a）x﹣x﹣x，其中a＞0．（Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性；＜＜）和（在（19．（13分）（2014•安徽）如图，已知两条抛物线E1：y=2p1x（p1＞0）和E2：y=2p2x（p2＞0），过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1、A2两点，l2与E1、E2分别交于B1、B2两点．（Ⅰ）证明：A1B1∥A2B2；（Ⅱ）过O作直线l（异于l1，l2）与E1、E2分别交于C1、C2两点．记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值．的方程，然后分别和两抛物线联立求得交点坐标，得到的联立，解得联立，解得联立，解得联立，解得因此11111且AD=2BC，过A1、C、D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q．（Ⅰ）证明：Q为BB1的中点；（Ⅱ）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；，则，== ahd====，ahdahd所分成上、下两部分的体积之比=1，．21．（13分）（2014•安徽）设实数c＞0，整数p＞1，n∈N．（Ⅰ）证明：当x＞﹣1且x≠0时，（1+x）p＞1+px；（Ⅱ）数列{a n}满足a1＞，a n+1=a n+a n1﹣p．证明：a n＞a n+1＞．=a+a a，写成相加，上式左边当且仅当，即a a，即＞a a c成立，即从数列。
数学_2014年安徽省高考数学仿真信息卷(二)(理科)(含答案)
2014年安徽省高考数学仿真信息卷（二）（理科）一、选择题1. 设i是虚数单位，复数z满足zi =5i−2，则复数z的共轭复数为（）A −1−2iB −1+2iC 1+2iD 1−2i2. 双曲线2y2−x2=4的虚轴长是（）A √2B 2C 2√2D 43. 定义由如图框图表示的运算，若f(x)=|x+2014|−|x−2014|，则输出y=()A 0B 1C 2D 44. “a>m>1”是“log a m<1”的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件5. 已知不等式组{x−y+1≥0x+y−1≥03x−y−3≤0表示的平面区域为D，若直线l:kx−y+1与区域D重合的线段长度为2√2，则实数k的值为（）A 1B 3C −1D −36. 若3a，b，c成等比数列，则函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的零点个数为()A 0B 1C 2D 37. 如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A 16+2πB 8+2πC 16+πD 8+π8. 若(1+ex)2014=a0+a1x+a2x2+...+a2014x2014(x∈R)，则−a1e +a2e2−...+a2014e2014()A eB 1C −1D −e9. 设m→=(1, 0)，n→=(0, 1)，若向量a→满足|a→−2m→|+|a→−n→|=√5，则|a→+n→|的取值范围是（）A [12, √2] B [√33, √3] C [4√55, √5] D [√5, √6]10.已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点，弦AB 经过F 2点，若A 点在x 轴的下方，且|AF 2|=2|F 2B|，AF 1→⋅BF 1→=169a 2，则∠F 1AB =( )A 5π12 B π2 C 2π3 D 4π3二、填空题11. 函数f(x)=e x 在x =1处的切线方程是________．12. 在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，Ox 为极轴，则圆ρ=3cosθ被直线{x =2+2ty =1+4t （t 是参数）截得的弦长为________．13. 已知函数f(x)是偶函数，且f(x)在[0, +∞]是增函数，如果不等式f(a)≤f(1)恒成立，则实数a 取值范围是________．14.如图，棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 是面对角线A 1C 1上的两个动点，若PQ =1，则四面体BDPQ 在该正方体六个面上的正投影的面积和为________．15. 对于函数f(x)=sinx ，下列命题正确的有________．（写出所有正确命题的序号） ①函数f(x)任意两个零点之间的距离为kπ(k ∈Z)； ②存在x 0>0，x 0≤f(x 0)；③曲线f(x)=sinx 关于x 轴对称的图形与关于y 轴对称的图形重合；④l 1，l 2是函数f(x)=sinx 图象上的任意两条相互垂直的切线，则l 1，l 2斜率之和为0； ⑤设④中l 1，l 2交于P 点，则P 点坐标可以是(π2, π2)．三、解答题16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b 2+c 2=a 2+bc ． (1)求A 的大小； (2)如果cosB =√63，b =2，求△ABC 的面积．17. 已知函数f(x)=x 2−x ，g(x)=lnx −2x ．（1）若函数ℎ(x)=f(x)+g(x)时，求函数ℎ(x)的单调增区间；（2）若函数F(x)=f(x)+ag(x)，求函数F(x)在区间[1, e]上的最小值．18. 如图，BC为圆O的直径，D为圆周上异于B、C的一点，AB垂直于圆O 所在的平面，BE⊥AC于点E，BF⊥AD于点F．（1）求证：BF⊥平面ACD；（2）若AB=BC=2，∠CBD=45∘，求平面BEF与平面BCD所成锐角二面角的余弦值．19. 为向国际化大都市目标迈进，沈阳市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有来沈阳的3民工人相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设．(I)求这3人选择的项目所属类别互异的概率；(II)将此3人中选择的项目属于基础设施类工程或产业建设类工程的人数记为X，求X的分布列和数学期望．20. 已知数列{a n}满足a n+1=a n2+na n+α，首项a1=3．（1）当n∈N∗时，a n≥2n恒成立，求α的取值范围；（2）若α=−2，求证：1a1−2+1a2−2+...+1a n−2<2．21. 已知抛物线C1:y2=4x和C2:x2=2py(p>0)的焦点分别为F1，F2，C1，C2交于O，A两点（O为坐标原点），且F1F2⊥OA．（1）求抛物线C2的方程；（2）过点O的直线交C1的下半部分于点M，交C2的左半部分于点N，点P坐标为(−1, −1)，求△PMN面积的最小值．2014年安徽省高考数学仿真信息卷（二）（理科）答案1. C2. D3. C4. A5. A6. B7. B8. C9. C10. B11. y=ex12. 313. −1≤a≤114. 2+2√215. ①③④⑤16. 解：(1)∵ b2+c2=a2+bc，即b2+c2−a2=bc，∴ cosA=b2+c2−a22bc =12，又A∈(0, π)，∴ A=π3；(2)∵ cosB=√63，B∈(0, π)，∴ sinB=√1−cos2B=√33，由正弦定理asinA =bsinB，得a=bsinAsinB=3，∵ b2+c2=a2+bc，即4+c2=9+2c，整理得：c2−2c−5=0，解得：c=1±√6，∵ c>0，∴ c=√6+1，则S△ABC=12bcsinA=3√2+√32．17. 解：（1）∵ f(x)=x2−x，g(x)=lnx−2x，∴ ℎ(x)=f(x)+g(x)=x2−3x+lnx，∴ ℎ′(x)=2x−3+1x =2x2−3x+1x，x>0．由ℎ′(x)>0，得x>1或0<x<12，∴ 函数ℎ(x)的单调增区间为(0, 12)，(1, +∞)．（2）F(x)=f(x)+ag(x)=x2−(2a+1)x+alnx，F′(x)=2x−1−2a+a x=2x2−(2a+1)x+ax=(2x−1)(x−a)x=0．当a≤1时，x∈[1, e]，F′(x)≥0，F(x)单调增，F(x)min=−2a．当1<a<e时，x∈(1, a)，F′(x)<0，F(x)单调减；x∈(a, e)，F′(x)>0，F(x)单调增，F(x)min=F(a)=−a2−a+alna．当a≥e时，x∈[1, e]，F′(x)≤0，F(x)单调减，F(x)min=F(e)=e2−(2a+1)e+a．综上，F(x)min={−a2+alna，1<a<ee2−(2a+1)e+a，a≥e．18. （1）证明：∵ BC 是圆O 的直径，∴ CD ⊥BD ，∵ AB ⊥圆O 所在的平面，∴ AB ⊥CD ，且AB ∩BD =B ， ∴ CD ⊥平面ABD ，又∵ BF ⊥AD ，且AD ∩CD =D ， ∴ BF ⊥平面ACD ．（2）如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系， ∵ AB =BC =2，∠CBD =45∘，∴ B(0, −1, 0)，E(0, 0, 1)，D(1, 0, 0)，A(0, −1, 2)， ∵ BF ⊥AD ，∴ DF =BD 2AD =√63=13AD ，∴ DF →=13DA →，∴ 点F(23,−13,23)，设平面BEF 与平面BCD 所成锐角二面角为θ， 则cosθ=S △BCD S △BEF=13√23=√22． ∴ 平面BEF 与平面BCD 所成锐角二面角的余弦值为√22．19. 解：记第i 名工人选择的项目属于基础设施类、民生类和产业建设类分别为事件A i ，B i ，C i ，i =1，2，3．由题意知A 1，A 2，A 3相互独立，B 1，B 2，B 3相互独立，C 1，C 2，C 3相互独立， 且P(A i )=3060=12，P(B i )=2060=13，P(C i )=1060=16．(I)他们选择的项目所属类别互不相同的概率P =A 33P(A 1B 2C 3)=6×12×13×16=16；(II)记第i 名工人选择的项目属于基础工程或产业建设工程分别为事件D i ，i =1，2，3． D 1，D 2，D 3相互独立，且P(D i )=P(A i +C i )=P(A i )+P(C i )=30+1060=23∴ ξ∼B(3, 23)，即P(X =k)=C 3k ⋅(23)k (13)3−k (k =0, 1, 2, 3)∴ ξ的分布列是∴ Eξ=0×127+1×29+2×49+3×827=2．20. 解：（1）当n =1时，a 1=3≥2×1=2成立，得α∈R ， 当n =2时，a 2=12+α≥2×2，得α≥−8，而当α≥−8时，若a n ≥2n ，则a n+1=a n 2+na n +α≥(2n)2+n ×2n −8=2(n +1)+2n(3n −1)−10≥2(n +1)，∴ α的取值范围是[−8, +∞)； （2）当α=−2时，1a1−2=1，1a 2−2=110−2=18， 当n ≥2时，由a n+1=a n 2+na n +α得，a n+1−2≥na n −4≥2(a n −2)>0，∴ a n −2≥2n−2(a 2−2)>2n−1，∴ 1a n−2<(12)n−1，∴ 1a1−2+1a2−2+...+1a n−2<1+12+(12)2+...+(12)n−1=2−(12)n−1<2．21. 解：（1）由已知得：F 1(1, 0)，F 2(0,p 2)，∴ F 1F 2→=(−1, p 2)，… 联立{y 2=4x x 2=2py ，解得{x =0y =0，或{x =√16p 23y =√32p 3， 即O(0, 0)，A(√16p 23, √32p 3)，∴ OA →=(√16p 23,√32p 3)，…∵ F 1F 2⊥OA ，∴ F 1F 2→⋅OA →=0，即−√16p 23+p2√32p 3=0，解得p =2，∴ C 2的方程为x 2=4y ．… （2）设过O 的直线方程为y =kx ，(k <0)，联立{y =kx y 2=4x ，得M(4k 2, 4k )，联立{y =kx x 2=4y，得N(4k, 4k 2)，…P(−1, −1)在直线y =x 上，设点M 到直线y =x 的距离为d 1，点N 到直线y =x 的距离为d 2， 则S △PMN =12⋅|OP|•(|d 1|+|d 2|)… =12×√2×(|4k 2−4k |√22√2)=2(|1k −1k 2|+|k −k 2|)=2(−1k −k +1k 2+k 2)…≥2(2√(−1k )⋅(−k)+2√1k 2⋅k 2)=8，当且仅当k =−1时，“=”成立，即当过原点直线为y =−x 时，…△PMN面积取得最小值8．…。
2014年高考——安徽卷(理科数学)试题及答案(WORD版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间为120分钟。
参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+；如果事件A 与B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =第Ⅰ卷（选择题 共50分）一． 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若z =1+i ，则i z +i ·z = （A ）-2 （B ）-2i（C ）2 （D ）2i（2）“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（A ）34 （B ）55（C ）78 （D ）89（4）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位。
已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=3,1t y t x (t 为参数)，圆C 的极坐标方程是θρcos 4=,则直线l 被圆C 截得的弦长为（A ）14 （B ）214（C ）2 （D ）22（5）x , y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+.022,022,02y x y x y x 若z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为 （A ）21 或-1 （B ）2或21 （C ）2或1 （D ）2或-1（6）设函数f(x)（x ∈R ）满足f(x+π)=f(x)+sinx.当0≤x ＜π时，f(x)=0，则)623(πf = （A ）21 （B ）23 （C ）0 （D ）21- （7）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（A ）321+ （B ）318+ （C ）21 （D ）18（8）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有（A ）24对 （B ）30对 （C ）48对 （D ）60对（9）若函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，则实数a 的值为（A ）5或8 （B ）-1或5（C ）-1或 -4 （D ）-4或8（10）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a, b, |a|=|b| = 1 , a ·b = 0,点Q 满足OQ =2(a+b).曲线C={P|OP=acos θ+bsin θ,0≤θ＜2π},区域Ω={P|0＜r ≤|PQ |≤R, r ＜R}．若C ∩Ω为两段分离的曲线，则（A ）1＜r ＜R ＜3 （B ）1＜r ＜3≤R（C ）r ≤1＜R ＜3 （D ）1＜r ＜3＜R第Ⅱ卷（非选择题 共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．． 二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）若将函数)42sin()(π+=x x f 的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ 的最小正值是 .（13）设a ≠0，ｎ是大于１的自然数，na x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的展开式为.2210n n x a x a x a a ++++ 若点),(i i a i A (i =0,1,2)的位置如图所示，则a= ． （14）若F 1，F 2分别是椭圆E ：1222=+b y x （0＜b ＜1）的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若B F AF 113=，x AF ⊥2轴，则椭圆E 的方程为 .（15）已知两个不相等的非零向量a ，b ，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4，x 5和y 1，y 2，y 3，y 4，y 5均由2个a 和3个b 排列而成．记S=x 1`y 1+x 2`y 2+x 3`y 3+x 4`y 4+x 5`y 5，S min 表示S 所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）.①S 有5个不同的值②若a ⊥b ，则S min 与a 无关③若a ∥b ，则S min 与b 无关 ④若a b 4>，则S min ＞0 ⑤若a b 2=，S min =28a ，则a 与b 的夹角为4π 三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．（16）（本小题满分12分）设△ABC 的内角A,B,C 所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.(Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)求⎪⎭⎫ ⎝⎛+4sin πA 的值.（17）（本小题满分 12 分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 5 局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛。
安徽省数学(理)卷文档版(有答案)-2014年普通高等学校招生统一考试
2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1． 答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。
务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
2． 答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3． 答第II 卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰。
作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。
必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，．在答题卷、草．．．．．．稿纸上答题无效．．．．．．．。
4． 考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A+B ）= P （A ）+ P （B ） P （A·B ）= P （A ）·P （B ） 第I 卷（选择题共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数。
若,1i z +=则zi z i+⋅=（ ）A ．2-B ．2i -C ．2D ．2i 2．“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）A ．34B ．55C ．78D ．89 4．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直 线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=31y y t x ，（t 为参数），圆C 的极坐标方程是θρcos 4=，则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ）A ．14B ．142C ．2D ．225．y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若ax y z -=取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（ ）A ．121-或B ．212或C ．2或1D ．12-或 6．设函数))((R x x f ∈满足()()sin f x f x x π+=+，当π<≤x 0时，0)(=x f ，则=)623(πf （ ）A ．12B ．23C ．0D ．21-7．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）A．21 B．18 C ．21 D ．18 8．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60︒的共有（ ）A ．24对B ．30对C ．48对D ．60对9．若函数()12f x x x a =+++的最小值为3，则实数a 的值为（ ）A ．5或8B ．1-或5C ．1-或4-D ．4-或810．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,,1,0,a b a b a b ==⋅=点Q 满2()OQ a b =+。
2014年安徽省宣城市高考数学二模试卷(理科)
2014年安徽省宣城市高考数学二模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.设a∈R，若（a-i）2i（i为虚数单位）为正实数，则a=（）A.2B.1C.0D.-1【答案】B【解析】解：∵（a-i）2i=（a2-1-2ai）i=2a+（a2-1）i为正实数，∴2a＞0，且（a2-1）=0，∴a=1，故选B．化简复数到最简形式，由题意知，此复数的实部大于0，虚部等于0，解出a的值．本题考查两个复数代数形式的乘法，复数为正实数的条件．2.设全集U是实数集R，M={x|x2＞1}，N={x|0＜x＜2}，则集合N∩∁U M=（）A.{x|1＜x＜2}B.{x|0＜x≤1}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0＜x＜1}【答案】B【解析】解：∵M={x|x2＞1}，N={x|0＜x＜2}，∴∁U M={x|x2≤1}={x|-1≤x≤1}，∴集合N∩∁U M={x|0＜x≤1}，故选：B．根据补集的定义求得∁U M，再根据两个集合的交集的定义求得N∩∁U M．本题主要考查补集的定义，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．3.已知p：ax+y+1=0与直线ax-y+2=0垂直，q：a=1，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：∵ax+y+1=0与ax-y+2=0垂直，∴a2-1=0，得a=1或a=-1∴若P，则q为假命题；若q，则p为真命题，∴P是q的必要不充分条件．故选B利用直线A1x+B1y+C1=0与直线A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是A1A2+B1B2=0，求解；再判定命题若p，则q的真假与命题若q，则p的真假即可．本题考查直线垂直的充要条件，与充要条件的判定方法．4.若向量=（1，2），=（4，x），且与共线，则=（）A.（-3，-6）B.（3，6）C.（5，10）D.（-3，4）解：∵向量=（1，2），=（4，x），且与共线，∴x-2×4=0，即x=8．∴，．则，，=（-3，-6）．故选：A．由向量共线的坐标表示列式求得x的值，然后利用向量加法的坐标运算求得答案．平行问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．若=（a1，a2），=（b1，b2），则⊥⇔a1a2+b1b2=0，∥⇔a1b2-a2b1=0，是基础题．5.阅读如图的程序框图，则输出的S=（）A.9B.13C.17D.33【答案】D【解析】解：由程序框图知：算法的功能是求S=21+22+…+2i+i的值，∵跳出循环的i值为5，∴输出S=21+22+23+24+4=1+4+8+16+4=33．故选：D．算法的功能是求S=21+22+…+2i+i的值，根据条件确定跳出循环的i值，计算输出的S 值．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键．6.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A.10cm3B.20cm3C.30cm3D.40cm3解：由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，∴几何体的体积V=×3×4×5-××3×4×5=20（cm3）．故选B．由三视图知几何体为直三削去一个三棱锥，画出其直观图，根据棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，计算三棱柱与三棱锥的体积，再求差可得答案．本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．7.把函数f（x）=sinx（x∈[0，2π]）的图象向左平移后，得到g（x）的图象，则f（x）与g（x）的图象所围成的图形的面积为（）A.4B.2C.2D.2【答案】D【解析】解：把函数f（x）=sinx（x∈[0，2π]）的图象向左平移后，得到g（x）=sin（x+），联立可得交点为（，），（，-），∴f（x）与g（x）的图象所围成的图形的面积为=[-cosx+cos （x+）]=2．故选：D．先确定g（x）=sin（x+），联立可得交点为（，），（，-），确定积分上下限，再由定积分的几何意义，将图形面积问题转化为上下两函数差的定积分问题，最后利用微积分基本定理求值即可．本题主要考查了积分的求解，解题的关键是积分基本定理及积分的几何意义的应用．8.已知抛物线方程为y2=4x，直线l的方程为x-y+4=0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1+d2的最小值为（）A. B. C. D.【答案】解：如图点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，从而P到y轴的距离等于点P到焦点F的距离减1．过焦点F作直线x-y+4=0的垂线，此时d1+d2=|PF|+d2-1最小，∵F（1，0），则|PF|+d2==，则d1+d2的最小值为．故选D．如图点P到y轴的距离等于点P到焦点F的距离减1，过焦点F作直线x-y+4=0的垂线，此时d1+d2最小，根据抛物线方程求得F，进而利用点到直线的距离公式求得d1+d2的最小值．本题主要考查了抛物线的简单性质，两点距离公式的应用．解此列题设和先画出图象，进而利用数形结合的思想解决问题．9.设函数f（x）=（x-1）k cosx（k=1，2），则（）A.当k=1时，f（x）在x=1处取得极小值B.当k=1时，f（x）在x=1处取得极大值C.当k=2时，f（x）在x=1处取得极小值D.当k=2时，f（x）在x=1处取得极大值【答案】C【解析】解：∵f（x）=（x-1）k cosx，∴当k=1时，f（x）=（x-1）cosx，∴f′（x）=cosx-（x-1）sinx，当x=1时，f′（1）=cos1≠0，此时f（1）不是极值，故A，B错误．当k=2时，f（x）=（x-1）2cosx，∴f′（x）=2（x-1）cosx-（x-1）2sinx，当x=1时，f′（1）=0，故当x→1+时，f′（x）＞0，当x→1-时，f′（x）＜0，故f（x）在x=1处取得极小值．故选：C求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数的极值．本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，综合性较强．10.已知点A（a，b）与点B（1，0）在直线3x-4y+10=0的两侧，则下列说法中正确的是（）①3a-4b+10＞0②当a＞0时，a+b有最小值，无最大值③＞2④当a＞0且a≠1时，的取值范围为（-∞，-）∪（，+∞）A.①③B.③④C.②④D.②③【答案】解：∵点A（a，b）与点B（1，0）在直线3x-4y+10=0的两侧，故点A（a，b）在如图所示的平面区域内故3a-4b+10＜0，即①错误；当a＞0时，a+b＞，a+b即无最小值，也无最大值，故②错误；设原点到直线3x-4y+10=0的距离为d，则d==2，则＞d=2，故③正确；当a＞0且a≠1，b＞0时，表示点A（a，b）与B（1，0）连线的斜率，∵当a=0，b=时，=-，又∵直线3x-4y+10=0的斜率为，故的取值范围为（-∞，-）∪（，+∞），故④正确；故答案为：③④．根据点A（a，b）与点B（1，0）在直线3x-4y+10=0的两侧，可以画出点A（a，b）所在的平面区域，进而结合二元一次不等式的几何意义，两点之间距离公式的几何意义，及两点之间连线斜率的几何意义，逐一分析四个答案．可得结论．本题考查了线性规划问题、直线的斜率计算公式及其单调性，考查了问题的转化能力和推理能力，属于中档题．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.在极坐标系中，设曲线C1：ρcosθ=1与C2：ρ=4cosθ的交点分别为A、B，则|AB|= ______ ．【答案】【解析】解：曲线C1：ρcosθ=1，即x=1；C2：ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，即x2+y2=4x，即（x-2）2+y2=4，表示以（2，0）为圆心，以2为半径的圆．再根据圆心到直线的距离为1，可得弦长为2=2．由于这两条曲线的交点分别为A、B，则|AB|=2，故答案为：2．把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式求得弦心距，再由弦长公式求得|AB|的值．本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．12.在等差数列{a n}中，a1+2a8+a15=96，则2a9-a10= ______ ．【答案】24又a8+a10=2a9∴2a9-a10=a8+a10-a10=a8=24故答案是24先由等差数列的性质求得a8，而2a9-a10=a8从而求得．本题主要考查等差数列的性质．13.若二项式（+）n的展开式中的常数项是270，则该展开式中的二项式系数之和等于______ ．【答案】32【解析】解：二项式（+）n的展开式中的通项公式为T r+1=•3r•，令=0，求得3n=5r，∴展开式中的常数项是•=270，解得n=5，则该展开式中的二项式系数之和等于2n=25=32，故答案为：32．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，再根据常数项是270，即可求得n的值，从而求得该展开式中的二项式系数之和．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．14.已知定义在R上的函数f（x），满足f（-x）=-f（x），f（x-3）=f（x），当x∈（0，）时，f（x）=ln（x2-2x+2），则函数f（x）在区间[-2，2]上的零点个数是______ ．【答案】6【解析】解：令-＜x＜0，则0＜-x＜，由于当x∈（0，）时，f（x）=ln（x2-2x+2），f（x）=0，则x1=1；则f（-x）=ln（x2+2x+2），又f（-x）=-f（x），则-＜x＜0时，f（x）=-ln（x2+2x+2），f（x）=0，则x2=-1；令-2≤x＜，则1≤x+3＜，f（x+3）=ln（（x+3）2-2（x+3）+2），由于f（x-3）=f（x），即有f（x+3）=f（x），则-2≤x＜，f（x）=ln（x2+4x+5），f（x）=0，x3=-2；则＜x≤2时，f（x）=-ln（x2-4x+5），f（x）=0，x4=2当x=时，f（-）=f（）=-f （），即f（-）=f（）=0，根据条件可分别求出-＜x＜0，-2≤x＜，＜x≤2的解析式，再令f（x）=0，求出实根，再令x=，求出f（-）=f（）=0，即可得到函数f（x）在区间[-2，2]上的零点个数．本题考查函数的周期性和奇偶性及其运用，考查函数的解析式的求法，以及函数零点的求法，属于中档题．15.关于x的不等式x2-ax+2a＜0的解集为A，若集合A中恰有两个整数，则实数a的取值范围是______ ．【答案】，，【解析】解：由题意可得，判别式△=a2-8a＞0，解得a＜0，或a＞8．设f（x）=x2-ax+2a，①当a＜0时，由于f（0）＜0，且对称轴在y轴的左侧，故A中的两个整数为-1和0，故有f（-1）=1+3a＜0，且f（-2）=4+4a≥0，解得-1≤a＜-．②当a＞8时，对称轴x=＞4，设A=（m，n），由于集合A中恰有两个整数则有n-m≤3，即≤3，即a2-8a≤9，解得8＜a≤9．故有对称轴4＜＜5，而f（2）=4＞0，f（3）=9-a≥0，故A中的两个整数为4和5，故f（4）＜0，f（5）＜0，f（6）≥0．即16-2a＜0，且25-3a＜0，36-4a≥0解得＜a≤9．综合可得，-1≤a＜-，或＜a≤9．故实数a的取值范围是，，，故答案为，，．由判别式△＞0，解得a＜0，或a＞8．①当a＜0时，由f（-1）＜0，且f（-2）≥0，求得a的范围．②当a＞8时，由≤3求得8＜a≤9，再根据f（4）＜0，f（5）＜0，f（6）≥0求得a的范围．再把两个a的范围取并集，即得所求．本题主要考查二次函数的性质，一元二次不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知sin2A=sin C cos B+sin B cos C．（Ⅰ）求sin A的值；【答案】解：（Ⅰ）在△ABC中，由得3sin A cos A=sin（B+C）=sin A．----（2分），由于△ABC中，sin A＞0，∴3cos A=1，，----------（4分）∴．----（6分）（Ⅱ）由得，--------（7分）即，∴，-------（9分）化简得，，平方得，--------（12分）由正弦定理得．------（14分）【解析】（Ⅰ）在△ABC中，由条件求得cos A的值，再利用同角三角函数的基本关系求得sin A 的值．（Ⅱ）由利用诱导公式求得sin C的值，再由正弦定理求得c的值．本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，同角三角函数的基本关系，以及正弦定理，属于中档题．17.如图，在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，把此梯形绕其直角边AD旋转120°得到如图所示的几何体，点G是∠BDF平分线上任意一点（异于点D），点M是弧的中点．（Ⅰ）求证：BF⊥AG；（Ⅱ）求二面角B-DM-F的大小的余弦值．【答案】（Ⅰ）证明：连接AM交BF于点O，则∵点M是弧的中点，∴AM⊥BF且O为BF的中点，∵DA⊥AB，DA⊥AF，AB∩AF=A，∴DA⊥平面ABF，∴DA⊥BF，∵DA∩AM=A，∴BF⊥平面ADM，∵AG⊂平面ADM，∴BF⊥AG；（Ⅱ）解：∵DB=DF，BM=FM，DM=DM，∴△BDM≌△FDM，作BN⊥DM，垂足为N，连接FN，则FN⊥DM，∠BNF为所求．∵AB=AD=2，在△DBM和△DFM中，运用等面积可得BN=FN=，∵BF=2，∴cos∠BNF==-∴二面角B-DM-F的大小的余弦值为-．【解析】（Ⅰ）连接AM交BF于点O，证明AM⊥BF，DA⊥BF，可得BF⊥平面ADM，从而BF⊥AG；（Ⅱ）作BN⊥DM，垂足为N，连接FN，则FN⊥DM，利用余弦定理可求二面角B-DM-F 的大小的余弦值．本题考查与二面角有关的立体几何综合问题，考查直线与平面垂直的判定与性质，考查二面角大小的余弦值，属于中档题．18.某人参加一档综艺节目，需依次回答6道题闯关，每关答一题，若回答正确，则他可进入下一关；若回答错误，则他离开此节目，按规定，他有一次求助亲友团的机会，若回答正确，也被视为答案正确，否则视为错误，6道题目随机排列，已知他能答出其中3题，亲友团能答对其余3题中的2题，设他能闯过的关数为随机变量X．（Ⅰ）求他恰好闯过一关的概率；（Ⅱ）求X的分布列与期望．【答案】解：（Ⅰ）他恰好闯过一关，是指第一关闯过，第二关失败，则P（X=1）==；（Ⅱ）X=0，1，2，3，4，则P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，P（X=4）=，EX=0×+1×+2×+3×+4×=．【解析】（Ⅰ）他恰好闯过一关，是指第一关闯过，第二关失败，即可求他恰好闯过一关的概率；（Ⅱ）X=0，1，2，3，4，求出相应的概率，可得X的分布列与期望．本题考查古典概型公式与分布列、期望的计算，解题时要注意概率的计算，这是此类题目的基本考点．19.设椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（1，），且右焦点为F2（1，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点P（x0，y0）是椭圆C上的一个动点，过F2作与PF2垂直的直线l2，直线l2与直线l1：+=0相交于点Q，求点Q的轨迹方程．【答案】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（1，），且右焦点为F2（1，0），∴，解得a2=4，b2=3，∴椭圆C的方程是．（Ⅱ）∵P（x0，y0），F2（1，0），∴=，设Q（x，y），则=，∵过F2作与PF2垂直的直线l2，直线l2与直线l1：+=0相交于点Q，∴PF2⊥QF2，∴•==-1，整理，得：（x0-1）x+y0y-x0+1=0．∴点Q的轨迹方程为（x0-1）x+y0y-x0+1=0．【解析】（Ⅰ）由已知条件得，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）由P（x0，y0），F2（1，0），知=，设Q（x，y），则=，由PF2⊥QF2，能求出点Q的轨迹方程．本题考查椭圆方程的求法，考查点的轨迹方程的求法，解题时要认真审题，注意直线垂直的性质的合理运用．20.已知函数f（x）=1-cosx（0＜x＜）．数列{a n}满足：0＜a1＜，a n+1=f（a n），n∈N*．（Ⅰ）求证：0＜a n＜（n∈N*）；（Ⅱ）求证：数列{a n}是递减数列．【答案】解：（Ⅰ）①当n=1时，显然成立，②假设n=k时，0＜a k＜，则cosa k∈（0，1），∴a k+1=1-cosa k∈（0，1），∴当n=k+1时，原不等式成立，由①②可知0＜a n＜（n∈N*）；（Ⅱ）要证数列{a n}是递减数列，即证a n+1＜a n，即证f（a n）＜a n，即1-cosa n＜a n，令g（x）=x+cosx-1，0＜x＜，g′（x）=1-sinx＞0，∴g（x）=x+cosx-1在0＜x＜上单调递增，∴当x＞0时，g（x）＞g（0）=0，即x＞1-cosx，0＜x＜，∴1-cosa n＜a n，即数列{a n}是递减数列．【解析】（Ⅰ）利用数学归纳法即可证明：0＜a n＜（n∈N*）；（Ⅱ）构造函数，利用导数研究函数的单调性，即可证明数列{a n}是递减数列．本题主要考查递推数列的应用，利用数学归纳法是解决不等式的基本方法，综合考查了函数单调性和导数之间的关系．21.已知函数f（x）=e x-kx（x∈R）（1）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间；（2）若k＞0且对任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围．【答案】解：（1）f'（x）=e x-e，令f'（x）=0，解得x=1当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，∴f （x）在（1，+∞）单调递增；当x∈（-∞，1）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（-∞，1）单调递减．（6分）（2）∵f（|x|）为偶函数，∴f（|x|）＞0恒成立等价于f（x）＞0对x≥0恒成立当x≥0时，f'（x）=e x-k，令f'（x）=0，解得x=lnk（1）当lnk＞0，即k＞1时，f（x）在（0，lnk）减，在（lnk，+∞）增，∴f（x）min=f（lnk）=k-kllnk＞0，解得1＜k＜e，∴1＜k＜e（2）当lnk≤0，即0＜k≤1时，f'（x）=e x-k≥0，∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，∴f（x）min=f（0）=1＞0，符合，∴0＜k≤1综上，0＜k＜e．（12分）．【解析】（1）求出函数的导数，只要解导数的不等式即可，根据导数与0的关系判断函数的单调性；（2）函数f（|x|）是偶函数，只要f（x）＞0对任意x≥0恒成立即可，等价于f（x）在[0，+∞）的最小值大于零．本题考查导数在研究函数的单调性、最值和中的应用，考查等价转化的思想方法以及分析问题的能力．本题的第二问实际上是e x-kx＞0在[0，+∞）上恒成立，也可以分离参数构造函数进行解答，即：当x=0时，k∈R；当x＞0时，由e x-kx＞0，得＜，令，只要k＜[φ（x）]min即可．。
2014年高考安徽理科数学试题及答案(精校版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A+B ）= P （A ）+ P （B ） P （A·B ）= P （A ）·P （B ） 第I 卷（选择题共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数。
若,1i z +=则zi z i+⋅=（ ）A ．2-B ．2i -C ．2D ．2i 2．“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ） A ．34 B ．55 C ．78 D ．89 4．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=31y y t x ，（t 为参数），圆C的极坐标方程是θρcos 4=，则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ）A ．14B ．142C ．2D ．225．y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若ax y z -=取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（ ）A ．121-或B ．212或C ．2或1D ．12-或 6．设函数))((R x x f ∈满足()()sin f x f x x π+=+，当π<≤x 0时，0)(=x f ，则=)623(πf （ ）A ．12B ．23C ．0D ．21-7．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ） A．21 B．18 C ．21 D ．188．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60︒的共有（ ） A ．24对 B ．30对 C ．48对 D ．60对 9．若函数()12f x x x a =+++的最小值为3，则实数a 的值为（ ）A ．5或8B ．1-或5C ．1-或4-D ．4-或810．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,,1,0,a b a b a b ==⋅=点Q 满2()OQ a b =+.曲线{|cos sin ,02}C P OP a b θθθπ==+≤≤，区{|0||,}P r PQ R r R Ω=<≤≤<. 若C ⋂Ω为两段分离的曲线，则( ) A ．13r R <<< B ．13r R <<≤ C ．13r R ≤<< D ．13r R <<<第Ⅱ卷（非选择题 共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无．．．．．．．．效．. 二．选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。
2014年高考安徽省理科数学真题(word清晰版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设是虚数单位，表示复数的共轭复数. 若则（ ） A. B. C. D.（2）“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件（3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）A. 34B. 55C. 78D. 894.以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的参数方程是，（t 为参数），圆C 的极坐标方程是则直线被圆C 截得的弦长为（ ） A. B. C. D.5.满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（ ）A, B. C.2或1 D. 6.设函数满足当时，，则（ ） A. B. C.0 D. 7.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）i z z ,1i z +==⋅+z i z 12-i 2-2i 20<x 0)1ln(<+x x l ⎩⎨⎧-=+=31y y t x θρcos 4=l 14142222y x ,⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ax y z -=a 121-或212或12-或))((R x x f ∈.sin )()(x x f x f +=+ππ<≤x 00)(=x f =)623(πf 212321-A.21+B.18+C.21D.188.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为的共有（ ）A.24对B.30对C.48对D.60对9.若函数的最小值为3，则实数的值为（ ）A.5或8B.或 5C.或D.或810.在平面直角坐标系中，已知向量点满足.曲线，区域.若为两段分离的曲线，则( )A. B. C. D.第卷（非选择题 共100分）二.选择题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.若将函数的图像向右平移个单位，所得图像关于轴对称， 则的最小正值是________.12.数列是等差数列，若，，构成公比为的等比数列，则 ________. 3360︒()12f x x x a =+++a 1-1-4-4-xOy ,,1,0,a b a b a b ==⋅=Q 2()OQ a b =+cos sin ,02C P OP a b θθθπ==+≤≤0,P r PQ R r R Ω=<≤≤<C ⋂Ω13r R <<<13r R <<≤13r R ≤<<13r R <<<I I ()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ϕy ϕ{}a n 1a 1+3a 3+5a 5+q q =（13）设是大于1的自然数，的展开式为.若点的位置如图所示，则（14）设分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若轴，则椭圆的方程为__________ （15）已知两个不相等的非零向量两组向量和均由2个和3个排列而成.记，表示所有可能取值中的最小值.则下列命题的是_________（写出所有正确命题的编号）.①有5个不同的值.②若则无关. ③若则无关.，则.则与的夹角为 三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文子说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.16.设的内角所对边的长分别是，且（1）求的值；（2）求的值.n a ,0≠na x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1n n x a x a x a a ++++ 2210)2,1,0)(,(=i a i A i i ______=a 21,F F )10(1:222<<=+b b y x E 1F E B A ,x AF BF AF ⊥=211,3E ,,54321,,,,x x x x x 54321,,,,y y y y y a b 5544332211y x y x y x y x y x S ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=min S S S ,⊥min S ,b a ∥min S >0min >S ,min S ==4πABC ,,A B C ,,a b c 3,1,2.b c A B ===a sin()4A π+17（本小题满分12分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.(1) 求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；(2) 记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和均值（数学期望）18（本小题满分12分）设函数其中.（1） 讨论在其定义域上的单调性；（2） 当时，求取得最大值和最小值时的的值.(19)(本小题满分13分)如图，已知两条抛物线和，过原点的两条直线和，与分别交于两点，与分别交于两点.(1)证明：(2)过原点作直线（异于，）与分别交于两点。
2014年高考理科数学安徽卷(含答案解析)
数学试卷 第1页（共16页） 数学试卷 第2页（共16页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第1至第2页,第Ⅱ卷第3至第4页.全卷满分150分,考试时间120分钟. 考生注意事项：1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.2.答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答第Ⅱ卷时,必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写,要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出,确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答．．．．．．．．．．案无效．．．,在答题卷．．．．、草稿纸上．．．．答题无效. 4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交. 参考公式：如果事件A 与B 互斥,那么 ()()()P A B P A B +=+如果事件A 与B 相互独立,那么()()()P AB P A B =第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设i 是虚数单位,z 表示复数z 的共轭复数.若1i z =+,则i =izz +( ) A .2- B .2i - C .2D .2i2.“0x ＜”是“ln(1)0x +＜”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 3.如图所示,程序框图（算法流程图）的输出结果是 ( )A .34B .55C .78D .894.以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l 的参数方程是1,3x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）,圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=,则直线l 被圆C 截得的弦长为( )AB. CD.5.x ,y 满足约束条件20220,220x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩≤，≤≥.若z y ax =-取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为( )A .12或1- B .2或12C .2或1D .2或1-6.设函数()()f x x ∈R 满足(π)()sin f x f x x +=+.当0πx ≤＜时,()0f x =,则23π()6f = ( ) A .12 BC .0D .12- 7.一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面 积为 ( ) A.21+B.18+ C .21 D .18 8.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60的共有 ( )A .24对B .30对C .48对D .60对9.若函数()|1||2|f x x x a =+++的最小值为3,则实数a 的值为( )A .5或8B .1-或5C .1-或4-D .4-或810.在平面直角坐标系xOy 中,已知向量a ,b ,||||1==a b ,0=a b ,点Q 满足2()OQ =+a b .曲线{|cos sin ,02π}C P OP θθθ==+a b ≤＜,区域{|0,}P r PQ R r R Ω=＜≤||≤＜,若C Ω为两段分离的曲线,则( )A .3r R 1＜＜＜B .3r R 1＜＜≤C .3r R ≤1＜＜D .3r R 1＜＜＜姓名________________ 准考证号_____________------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效---------------数学试卷 第3页（共16页） 数学试卷 第4页（共16页）2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学(理科)第Ⅱ卷（非选择题 共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在．答题卡上．．．．作答,在试．．题．卷上答题无效．．．．．．. 二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填写在答题卡的相应位置. 11.若将函数π()sin(2)4f x x =+的图象向右平移ϕ个单位,所得图象关于y 轴对称,则ϕ的最小正值是 .12.数列{}n a 是等差数列,若11a +,33a +,55a +构成公比为q 的等比数列,则q = .13.设0a ≠,n 是大于1的自然数,(1)n xa+的展开式为2012n n a a x a x a x ++++.若点(,)(0,1,2)i i A i a i =的位置如图所示,则a = .14.设1F ,2F 分别是椭圆E ：2221(01)y x b b+=＜＜的左、右焦点,过点1F 的直线交椭圆E 于A ,B 两点.若11||3||AF F B =,2AF x ⊥轴,则椭圆E 的方程为 .15.已知两个不相等的非零向量a ,b ,两组向量1x ,2x ,3x ,4x ,5x 和1y ,2y ,3y ,4y ,5y 均由2个a 和3个b 排列而成.记1122334455S =++++x y x y x y x y x y ,min S 表示S 所有可能取值中的最小值,则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）.①S 有5个不同的值；②若a b ⊥,则min S 与||a 无关； ③若a b ∥,则min S 与||b 无关； ④若||||b a ＞4,则min 0S ＞；⑤若||=2||b a ,2min =8||S a ,则a 与b 的夹角为π4.三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内. 16.（本小题满分12分）设ABC △的内角A ,B ,C 所对边的长分别是a ,b ,c ,且3b =,1c =,2A B =. （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求πsin()4A +的值.17.（本小题满分12分）甲、乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为23,乙获胜的概率为13,各局比赛结果相互独立.（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（Ⅱ）记X 为比赛决出胜负时的总局数,求X 的分布列和均值（数学期望）. 18.（本小题满分12分）设函数23()1(1)f x a x x x =++--,其中0a ＞.（Ⅰ）讨论()f x 在其定义域上的单调性；（Ⅱ）当[0,1]x ∈时,求()f x 取得最大值和最小值时的x 的值. 19.（本小题满分13分）如图,已知两条抛物线1E ：2112(0)y p x p =＞和2E ：2222(0)y p x p =＞,过原点O 的两条直线1l 和2l ,1l 与1E ,2E 分别交于1A ,2A 两点,2l 与1E ,2E 分别交于1B ,2B 两点.（Ⅰ）证明：1122A B A B ∥；（Ⅱ）过O 作直线l （异于1l ,2l ）与1E ,2E 分别交于1C ,2C 两点.记111A B C △与222A B C △的面积分别为1S 与2S ,求12S S 的值. 20.（本小题满分13分）如图,四棱柱1111ABCD A B C D -中,1AA ⊥底面ABCD .四边形ABCD 为梯形,AD BC ∥,且2AD BC =.过1A ,C ,D 三点的平面记为α,1BB 与α的交点为Q . （Ⅰ）证明：Q 为1BB 的中点；（Ⅱ）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比； （Ⅲ）若14AA =,2CD =,梯形ABCD 的面积为6,求平面α与底面ABCD 所成二面角大小.21.（本小题满分13分）设实数0c ＞,整数p ＞1,*n ∈N .（Ⅰ）证明：当1x -＞且0x ≠时,(1+)+px px ＞1；（Ⅱ）数列{}n a 满足11pa c ＞,111p n n n p ca a a p p-+-=+.证明：11p n n a a c +＞＞.数学试卷 第5页（共16页） 数学试卷 第6页（共16页）1i i i (1i)(i 1)iz +=+-=--及z 代入i izz +，然后直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值【解析】画出约束条件表示的平面区域如图，17πsin 6数学试卷 第7页（共16页） 数学试卷 第8页（共16页）222所以共有3618⨯=对不满足题意，故满足题意的共有66-18=48对.故选：C.【答案】A【解析】设(1,0)a =，(0,1)b =.则(cos ,sin OP θθ=，(2,OQ =Ω为圆环（如图）.||2OQ =，13r R ∴<<<令(1,0)a =，(0,1)b =，则||,PQ R r ≤CΩ为两段分离的曲线，则单位圆与圆环的内外圆均相交，进而根据圆圆相交的充要条件得到答【解析】{113n a =，214nCa⎛⎫=⎪⎝⎭，【提示】求出1n x⎛⎫+的展开式的通项为3⎪⎩51c⎛⎫【解析】S有下列三种情况：22222a ab b b=++++，222S a a b a b b b=++++，2S a b a b a b a b b=++++，222212232()||0S S S S a b a b a b a b-=-=+-=-=-≥，∴若a b⊥，则2min3S S b==，与||a无关，②正确；若a b∥，则2min34S S a b b==+，与||b有关，③错误；||4||b a>，则222234||||cos||4||||||||||0 S S a b b a b b b bθ=+≥-+>-+=，④正确；||2||b a=，2||S a=，则222248||cos4||8||S S a b b a a aθ==+=+=，cos2θ=，3θ∴=，⑤错误.】依题意，可求得S种结果22222a ab b b=++++，2222S a a b a b b b=++++，2a b a b a b a b b=++++可判断①错误.进一步分析有222212232()||0S S S S a b a b a b a b-=-=+-=-=-≥，即再对②③④⑤逐一分析即可得答案【考点】向量的基本运算，向量的新定义数学试卷第9页（共16页）数学试卷第10页（共16页）数学试卷 第12页（共16页）2A B =222a c b bac +-3b =，1c =，∴（Ⅱ）222a c b b ac+-π⎫10)81=（Ⅱ）0a >，∴（ⅰ）当4a ≥时，在0x =和3 2数学试卷 第13页（共16页） 数学试卷 第14页（共16页）⎝所以2p A B ⎛= 22p A B ⎛=- 1p A B A B =，所11A B ∥，同理可得112B C B C ∥211||||A B A B ⎫⎪⎪⎭.又1p A B A B =知111||||A B p p A B =【提示】（Ⅰ）由题意设出直线得到A B ，A B 的坐标，然后由向量共线得答（Ⅰ）证明：1 //BQ AA =BC BQ B ，1AD AA A =.AD ，从而平面与这两个平面的交线相互平行，即QC 的对应边相互平行，于是1A AD ∽△1112323a h d ahd =12113224a a d h +⎛⎫= ⎪⎝⎭1712A AD Q ABCD V -+=221212下1AEAA A =.平面1AEA 1为平面α BC AD ∥又梯形于是tan ∠数学试卷 第15页（共16页） 数学试卷 第16页（共16页）1112323a h d ahd =12113224a a d h +⎛⎫= ⎪⎝⎭32ahd =棱柱，即可求出此四棱柱被平面分成上、下两部分的体积之比11p k cp p a ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，不等式1p n a c >也成立。
2014年 安徽省 高考数学 试卷及解析(理科)
2014年安徽省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）设i 是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z=1+i，则+i•=（）A．﹣2 B．﹣2i C．2 D．2i2．（5分）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．34 B．55 C．78 D．894．（5分）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为（）1A ． B．2C ．D．25．（5分）x，y 满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A ．或﹣1 B．2或C．2或﹣1 D．2或16．（5分）设函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f （x）=0，则f （）=（）A ．B ．C．0 D ．﹣7．（5分）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）A．21+B．18+C．21 D．188．（5分）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有（）2A．24对B．30对C．48对D．60对9．（5分）若函数f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，则实数a的值为（）A．5或8 B．﹣1或5 C．﹣1或﹣4 D．﹣4或810．（5分）在平面直角坐标系xOy 中．已知向量、，||=||=1，•=0，点Q 满足=（+），曲线C={P |=cosθ+sinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={P|0＜r≤||≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则（）A．1＜r＜R＜3 B．1＜r＜3≤R C．r≤1＜R＜3 D．1＜r＜3＜R二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置．11．（5分）若将函数f（x）=sin（2x +）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是．12．（5分）数列{a n}是等差数列，若a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列，则q=．13．（5分）设a≠0，n是大于1的自然数，（1+）n的展开式为a0+a1x+a2x2+…+a n x n．若点A i（i，a i）（i=0，1，2）的位置如图所示，则a=．314．（5分）设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点，若|AF1|=3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为．15．（5分）已知两个不相等的非零向量，，两组向量，，，，和，，，，均由2个和3个排列而成，记S=•+•+•+•+•，S min表示S所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）．①S有5个不同的值；②若⊥，则S min与||无关；③若∥，则S min与||无关；④若||＞4||，则S min＞0；⑤若||=2||，S min=8||2，则与的夹角为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答早答题卡上的指定区域．16．（12分）设△ABC的内角为A、B、C所对边的长分别是a、b、c，且b=3，c=1，A=2B．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求sin（A+）的值．417．（12分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（Ⅱ）记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）．18．（12分）设函数f（x）=1+（1+a）x﹣x2﹣x3，其中a＞0．（Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性；（Ⅱ）当x∈[0，1]时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值．19．（13分）如图，已知两条抛物线E1：y2=2p1x（p1＞0）和E2：y2=2p2x（p2＞0），过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1、A2两点，l2与E1、E2分别交于B1、B2两点．（Ⅰ）证明：A1B1∥A2B2；（Ⅱ）过O作直线l（异于l1，l2）与E1、E2分别交于C1、C2两点．记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值．520．（13分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四边形ABCD 为梯形，AD∥BC，且AD=2BC，过A1、C、D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q．（Ⅰ）证明：Q为BB1的中点；（Ⅱ）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；（Ⅲ）若AA1=4，CD=2，梯形ABCD的面积为6，求平面α与底面ABCD所成二面角的大小．21．（13分）设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*．（Ⅰ）证明：当x＞﹣1且x≠0时，（1+x）p＞1+px；6（Ⅱ）数列{a n}满足a1＞，a n+1=a n +a n1﹣p．证明：a n＞a n+1＞．72014年安徽省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）设i 是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z=1+i，则+i•=（）A．﹣2 B．﹣2i C．2 D．2i【分析】把z 及代入+i•，然后直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．【解答】解：∵z=1+i，∴，∴+i•==．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2．（5分）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）8A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．3．（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．34 B．55 C．78 D．89【分析】写出前几次循环的结果，不满足判断框中的条件，退出循环，输出z的9值．【解答】解：第一次循环得z=2，x=1，y=2；第二次循环得z=3，x=2，y=3；第三次循环得z=5，x=3，y=5；第四次循环得z=8，x=5，y=8；第五次循环得z=13，x=8，y=13；第六次循环得z=21，x=13，y=21；第七次循环得z=34，x=21，y=34；第八次循环得z=55，x=34，y=55；退出循环，输出55，故选：B．【点评】本题考查程序框图中的循环结构，常用的方法是写出前几次循环的结果找规律，属于一道基础题．4．（5分）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为（）A ． B．2C ．D．2【分析】先求出直线和圆的直角坐标方程，求出半径和弦心距，再利用弦长公式求得弦长．10【解答】解：直线l 的参数方程是（t为参数），化为普通方程为x﹣y﹣4=0；圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，化为直角坐标方程为x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4，表示以（2，0）为圆心、半径r等于2的圆．弦心距d==＜r，∴弦长为2=2=2，故选：D．【点评】本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于中档题．5．（5分）x，y 满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A ．或﹣1 B．2或C．2或﹣1 D．2或1【分析】由题意作出已知条件的平面区域，将z=y﹣ax化为y=ax+z，z相当于直线y=ax+z的纵截距，由几何意义可得．【解答】解：由题意作出约束条件，平面区域，11将z=y﹣ax化为y=ax+z，z相当于直线y=ax+z的纵截距，由题意可得，y=ax+z与y=2x+2或与y=2﹣x平行，故a=2或﹣1；故选：C．【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，注意目标函数的几何意义是解题的关键之一，属于中档题．6．（5分）设函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f （x）=0，则f （）=（）A ．B ．C．0 D ．﹣【分析】利用已知条件，逐步求解表达式的值即可．【解答】解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，12f（x）=0，∴f （）=f （）=f （）+sin=f （）+sin+sin=f （）+sin+sin+sin=sin+sin+sin==．故选：A．【点评】本题考查抽象函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．7．（5分）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）1314A ．21+B ．18+C ．21D ．18【分析】判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的表面积． 【解答】解：由三视图可知，几何体是正方体的棱长为2，截去两个正三棱锥，侧棱互相垂直，侧棱长为1， 几何体的表面积为：S 正方体﹣2S 棱锥侧+2S棱锥底==21+．故选：A ．【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积，解题的关键是判断几何体的形状．8．（5分）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有（）A．24对B．30对C．48对D．60对【分析】利用正方体的面对角线形成的对数，减去不满足题意的对数即可得到结果．【解答】解：正方体的面对角线共有12条，两条为一对，共有=66条，同一面上的对角线不满足题意，对面的面对角线也不满足题意，一组平行平面共有6对不满足题意的直线对数，不满足题意的共有：3×6=18．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有：66﹣18=48．故选：C．【点评】本题考查排列组合的综合应用，逆向思维是解题本题的关键．9．（5分）若函数f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，则实数a的值为（）A．5或8 B．﹣1或5 C．﹣1或﹣4 D．﹣4或8【分析】分类讨论，利用f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，建立方程，即可求出实数a的值．【解答】解：＜﹣1时，x ＜﹣，f（x）=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1＞﹣1；15﹣≤x≤﹣1，f（x）=﹣x﹣1+2x+a=x+a﹣1≥﹣1；x＞﹣1，f（x）=x+1+2x+a=3x+a+1＞a﹣2，∴﹣1=3或a﹣2=3，∴a=8或a=5，a=5时，﹣1＜a﹣2，故舍去；≥﹣1时，x＜﹣1，f（x）=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1＞2﹣a；﹣1≤x ≤﹣，f（x）=x+1﹣2x﹣a=﹣x﹣a+1≥﹣+1；x ＞﹣，f（x）=x+1+2x+a=3x+a+1＞﹣+1，∴2﹣a=3或﹣+1=3，∴a=﹣1或a=﹣4，a=﹣1时，﹣+1＜2﹣a，故舍去；综上，a=﹣4或8．故选：D．【点评】本题主要考查了函数的值域问题．解题过程采用了分类讨论的思想，属于中档题．1610．（5分）在平面直角坐标系xOy 中．已知向量、，||=||=1，•=0，点Q 满足=（+），曲线C={P |=cosθ+sinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={P|0＜r≤||≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则（）A．1＜r＜R＜3 B．1＜r＜3≤R C．r≤1＜R＜3 D．1＜r＜3＜R【分析】不妨令=（1，0），=（0，1），则P点的轨迹为单位圆，Ω={P|（0＜r ≤||≤R，r＜R}表示的平面区域为：以Q点为圆心，内径为r，外径为R的圆环，若C∩Ω为两段分离的曲线，则单位圆与圆环的内外圆均相交，进而根据圆圆相交的充要条件得到答案．【解答】解：∵平面直角坐标系xOy 中．已知向量、，||=||=1，•=0，不妨令=（1，0），=（0，1），则=（+）=（，），=cosθ+sinθ=（cosθ，sinθ），故P点的轨迹为单位圆，Ω={P|（0＜r≤||≤R，r＜R}表示的平面区域为：以Q点为圆心，内径为r，外径为R的圆环，若C∩Ω为两段分离的曲线，则单位圆与圆环的内外圆均相交，故|OQ|﹣1＜r＜R＜|OQ|+1，∵|OQ|=2，17故1＜r＜R＜3，故选：A．【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，其中根据已知分析出P的轨迹及Ω={P|（0＜r≤||≤R，r＜R}表示的平面区域，是解答的关键．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置．11．（5分）若将函数f（x）=sin（2x +）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得图象对应的函数解析式为y=sin（2x+﹣2φ），再根据所得图象关于y 轴对称可得﹣2φ=kπ+，k∈z，由此求得φ的最小正值．【解答】解：将函数f （x）=sin（2x +）的图象向右平移φ个单位，所得图象对应的函数解析式为y=sin[2（x﹣φ）+]=sin（2x +﹣2φ）关于y 轴对称，则﹣2φ=kπ+，k∈z，即φ=﹣﹣，故φ的最小正值为，故答案为：．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象18的对称性，属于中档题．12．（5分）数列{a n}是等差数列，若a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列，则q=1．【分析】设出等差数列的公差，由a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列列式求出公差，则由化简得答案．【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，由a1+1，a3+3，a5+5构成等比数列，得：，整理得：，即+5a1+a1+4d．化简得：（d+1）2=0，即d=﹣1．∴q==．故答案为：1．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．1913．（5分）设a≠0，n是大于1的自然数，（1+）n的展开式为a0+a1x+a2x2+…+a n x n．若a=3．点A i（i，a i）（i=0，1，2）的位置如图所示，则【解答】解：（1+）n的展开式的通项为，由图知，a0=1，a1=3，a2=4，∴，，，，a2﹣3a=0，解得a=3，故答案为：3．【点评】本题考查解决二项式的特定项问题，关键是求出展开式的通项，属于一道中档题．2014．（5分）设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点，若|AF1|=3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为x2+=1．【分析】求出B（﹣c，﹣b2），代入椭圆方程，结合1=b2+c2，即可求出椭圆的方程．【解答】解：由题意，F1（﹣c，0），F2（c，0），AF2⊥x轴，∴|AF2|=b2，∴A点坐标为（c，b2），设B（x，y），则∵|AF1|=3|F1B|，∴（﹣c﹣c，﹣b2）=3（x+c，y）∴B（﹣c，﹣b2），代入椭圆方程可得，∵1=b2+c2，∴b2=，c 2=，∴x2+=1．故答案为：x2+=1．21【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．15．（5分）已知两个不相等的非零向量，，两组向量，，，，和，，，，均由2个和3个排列而成，记S=•+•+•+•+•，S min表示S所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是②④（写出所有正确命题的编号）．①S有5个不同的值；②若⊥，则S min与||无关；③若∥，则S min与||无关；④若||＞4||，则S min＞0；⑤若||=2||，S min=8||2，则与的夹角为．【分析】依题意，可求得S有3种结果：S 1=++++，S2=+•+•++，S3=•+•+•+•+，可判断①错误；进一步分析有S1﹣S 2=S 2﹣S3=+﹣2•≥+﹣2||•||=≥0，即S中最小为S3；再对②③④⑤逐一分析即可得答案．【解答】解：∵x i ，y i（i=1，2，3，4，5）均由2个和3个排列而成，∴S=x i y i 可能情况有三种：①S=2+3；②S=+2•+2；③S=4•+．S有3种结果：S1=++++，22S2=+•+•++，S3=•+•+•+•+，故①错误；∵S1﹣S2=S2﹣S3=+﹣2•≥+﹣2||•||=≥0，∴S中最小为S3；若⊥，则S min=S3=，与||无关，故②正确；③若∥，则S min=S3=4•+，与||有关，故③错误；④若||＞4||，则S min=S3=4||•||cosθ+＞﹣4||•||+＞﹣+=0，故④正确；⑤若||=2||，S min=S3=8||2cosθ+4=8，∴2cosθ=1，∴θ=，即与的夹角为．综上所述，命题正确的是②④，故答案为：②④．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查平面向量的数量积的综合应用，考查推理、分析与运算的综合应用，属于难题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演23算步骤．解答早答题卡上的指定区域．16．（12分）设△ABC的内角为A、B、C所对边的长分别是a、b、c，且b=3，c=1，A=2B．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求sin（A +）的值．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理，可得a=6cosB，再利用余弦定理，即可求a的值；（Ⅱ）求出sinA，cosA，即可求sin（A +）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵A=2B ，，b=3，∴a=6cosB，∴a=6，∴a=2；（Ⅱ）∵a=6cosB，∴cosB=，∴sinB=，∴sinA=sin2B=，cosA=cos2B=2cos2B﹣1=﹣，24∴sin（A +）=（sinA+cosA）=．【点评】本题考查余弦定理、考查正弦定理，考查二倍角公式，考查学生的计算能力，属于中档题．17．（12分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（Ⅱ）记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）．【分析】（1）根据概率的乘法公式，求出对应的概率，即可得到结论．（2）利用离散型随机变量分别求出对应的概率，即可求X的分布列；以及均值．【解答】解：用A表示甲在4局以内（含4局）赢得比赛的是事件，A k表示第k 局甲获胜，B k表示第k局乙获胜，则P（A k）=，P（B k）=，k=1，2，3，4，5（Ⅰ）P（A）=P（A1A2）+P（B1A2A3）+P（A1B2A3A4）=（）2+×（）2+××（）2=．（Ⅱ）X的可能取值为2，3，4，5．P（X=2）=P（A1A2）+P（B1B2）=，25P（X=3）=P（B1A2A3）+P（A1B2B3）=，P（X=4）=P（A1B2A3A4）+P（B1A2B3B4）=，P（X=5）=P（A1B2A3B4A5）+P（B1A2B3A4B5）+P（B1A2B3A4A5）+P（A1B2A3B4B5）==，或者P（X=5）=1﹣P（X=2）﹣P（X=3）﹣P（X=4）=，故分布列为：X2345PE（X）=2×+3×+4×+5×=．【点评】本题主要考查概率的计算，以及离散型分布列的计算，以及利用期望的计算，考查学生的计算能力．18．（12分）设函数f（x）=1+（1+a）x﹣x2﹣x3，其中a＞0．（Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性；（Ⅱ）当x∈[0，1]时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值．【分析】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性即可；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，讨论两根与1的大小关系，判断函数在[0，1]时的单调性，得出取最值时的x的取值．26【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）=1+a﹣2x﹣3x2，由f′（x）=0，得x1=，x2=，x1＜x2，∴由f′（x）＜0得x ＜，x ＞；由f′（x）＞0得＜x ＜；故f（x ）在（﹣∞，）和（，+∞）单调递减，在（，）上单调递增；（Ⅱ）∵a＞0，∴x1＜0，x2＞0，∵x∈[0，1]，当时，即a≥4①当a≥4时，x2≥1，由（Ⅰ）知，f（x）在[0，1]上单调递增，∴f（x）在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值．②当0＜a＜4时，x2＜1，由（Ⅰ）知，f（x）在[0，x2]单调递增，在[x2，1]上单调递减，因此f（x）在x=x2=处取得最大值，又f（0）=1，f（1）=a，∴当0＜a＜1时，f（x）在x=1处取得最小值；当a=1时，f（x）在x=0和x=1处取得最小值；当1＜a＜4时，f（x）在x=0处取得最小值．27【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值的知识，考查学生分类讨论思想的运用能力，属中档题．19．（13分）如图，已知两条抛物线E1：y2=2p1x（p1＞0）和E2：y2=2p2x（p2＞0），过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1、A2两点，l2与E1、E2分别交于B1、B2两点．（Ⅰ）证明：A1B1∥A2B2；（Ⅱ）过O作直线l（异于l1，l2）与E1、E2分别交于C1、C2两点．记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值．【分析】（Ⅰ）由题意设出直线l1和l2的方程，然后分别和两抛物线联立求得交点坐标，得到的坐标，然后由向量共线得答案；（Ⅱ）结合（Ⅰ）可知△A1B1C1与△A2B2C2的三边平行，进一步得到两三角形相似，由相似三角形的面积比等于相似比的平方得答案．【解答】（Ⅰ）证明：由题意可知，l1和l2的斜率存在且不为0，28设l1：y=k1x，l2：y=k2x．联立，解得．联立，解得．联立，解得．联立，解得．∴，．，∴A1B1∥A2B2；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知A1B1∥A2B2，同（Ⅰ）可证B1C1∥B2C2，A1C1∥A2C2．∴△A1B1C1∽△A2B2C2，因此，29又，∴．故．【点评】本题是直线与圆锥曲线的综合题，考查了向量共线的坐标表示，训练了三角形的相似比与面积比的关系，考查了学生的计算能力，是压轴题．20．（13分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四边形ABCD 为梯形，AD∥BC，且AD=2BC，过A1、C、D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q．（Ⅰ）证明：Q为BB1的中点；（Ⅱ）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；（Ⅲ）若AA1=4，CD=2，梯形ABCD的面积为6，求平面α与底面ABCD所成二面角的大小．30【分析】（Ⅰ）证明平面QBC∥平面A1D1DA，可得△QBC∽△A1AD，即可证明Q 为BB1的中点；（Ⅱ）设BC=a，则AD=2a，则==，V Q﹣ABCD ==ahd，利用V棱柱=ahd，即可求出此四棱柱被平面α所分成上、下两部分的体积之比；（Ⅲ）△ADC中，作AE⊥DC，垂足为E，连接A1E，则DE⊥平面AEA1，DE⊥A1E，可得∠AEA1为平面α与底面ABCD所成二面角，求出S△ADC=4，AE=4，可得tan ∠AEA1==1，即可求平面α与底面ABCD所成二面角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，∴平面QBC∥平面A1D1DA，∴平面A1CD与面QBC、平面A1D1DA的交线平行，∴QC∥A1D∴△QBC∽△A1AD，∴=，∴Q为BB1的中点；（Ⅱ）解：连接QA，QD，设AA1=h，梯形ABCD的高为d，四棱柱被平面α所分成上、下两部分的体积为V1，V2，设BC=a，则AD=2a，∴==，V Q﹣ABCD ==ahd，31∴V2=，∵V棱柱=ahd，∴V1=ahd，∴四棱柱被平面α所分成上、下两部分的体积之比；（Ⅲ）解：在△ADC中，作AE⊥DC，垂足为E，连接A1E，则DE⊥平面AEA1，∴DE⊥A1E，∴∠AEA1为平面α与底面ABCD所成二面角的平面角，∵BC∥AD，AD=2BC，∴S△ADC =2S△ABC，∵梯形ABCD的面积为6，DC=2，∴S△ADC=4，AE=4，∴tan∠AEA1==1，∴∠AEA1=，∴平面α与底面ABCD 所成二面角的大小为．3233【点评】本题考查面面平行的性质，考查体积的计算，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（13分）设实数c ＞0，整数p ＞1，n ∈N *． （Ⅰ）证明：当x ＞﹣1且x ≠0时，（1+x ）p ＞1+px ；（Ⅱ）数列{a n }满足a 1＞，a n +1=a n +a n 1﹣p ．证明：a n ＞a n +1＞．【分析】第（Ⅰ）问中，可构造函数f （x ）=（1+x ）p ﹣（1+px ），求导数后利用函数的单调性求解；对第（Ⅱ）问，从a n +1着手，由a n +1=a n +a n 1﹣p ，将求证式进行等价转化后即可解决，用相同的方式将a n ＞a n +1进行转换，设法利用已证结论证明．【解答】证明：（Ⅰ）令f （x ）=（1+x ）p ﹣（1+px ），则f′（x ）=p （1+x ）p ﹣1﹣p=p [（1+x ）p ﹣1﹣1]．①当﹣1＜x ＜0时，0＜1+x ＜1，由p ＞1知p ﹣1＞0，∴（1+x ）p ﹣1＜（1+x ）0=1， ∴（1+x ）p ﹣1﹣1＜0，即f′（x ）＜0，∴f（x）在（﹣1，0]上为减函数，∴f（x）＞f（0）=（1+0）p﹣（1+p×0）=0，即（1+x）p﹣（1+px）＞0，∴（1+x）p＞1+px．②当x＞0时，有1+x＞1，得（1+x）p﹣1＞（1+x）0=1，∴f′（x）＞0，∴f（x）在[0，+∞）上为增函数，∴f（x）＞f（0）=0，∴（1+x）p＞1+px．综合①、②知，当x＞﹣1且x≠0时，都有（1+x）p＞1+px，得证．＞．（Ⅱ）先证a n+1=a n +a n1﹣p ，∴只需证a n +a n1﹣p ＞，∵a n+1将写成p﹣1个相加，上式左边=，当且仅当，即时，上式取“=”号，当n=1时，由题设知，∴上式“=”号不成立，34∴a n +a n1﹣p ＞，即a n+1＞．再证a n＞a n+1．只需证a n ＞a n +a n1﹣p，化简、整理得a n p＞c，只需证a n＞c．＞成立，即从数列{a n}的第2项开始成立，由前知a n+1又n=1时，由题设知成立，∴对n∈N*成立，∴a n＞a n+1．综上知，a n＞a n+1＞，原不等式得证．【点评】本题是一道压轴题，考查的知识众多，涉及到函数、数列、不等式，利用的方法有分析法与综合法等，综合性很强，难度较大．35。
2014年安徽高考数学(理科)试卷及答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷和第II 卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间为120分钟。
参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 与B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若z=1+I,则iz +i ·z = （A ）-2 （B ）-2i（C ）2 （D ）2i（2）“x ＜0”是ln （x+1）＜0的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（A ）34（B ）55（C ）78（D ）89(4) 以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位。
已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=3,1t y t x (t 为参数)，圆C 的极坐标方程是θρcos 4=,则直线l 被圆C 截得的弦长为（A ）14 （B ）214（C ）2 （D ）22（5）x , y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+.022,022,02y x y x y x 若z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为（A ）21 或-1 （B ）2或21 （C ）2或1 （D ）2或-1 （6）设函数f(x)（x ∈R ）满足f(x+π)=f(x)+sinx.当0≤x ≤π时，f(x)=0，则)623(πf = （A ）21 （B ）23 （C ）0 （D ）21-（7）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（A ）321+ （B ）318+ （C ）21 （D ）18（8）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有（A ）24对 （B ）30对 （C ）48对 （D ）60对（9）若函数f(x)=| x+1 |+| 2x+a |的最小值为3，则实数a 的值为（A ）5或8 （B ）-1或5（C ）-1或 -4 （D ）-4或8（10）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量啊a , b , | a | = | b | = 1 , a ·b = 0,点Q 满足=2( a + b ).曲线C={ P | =a cos θ + b sin θ ,0≤θ<2π},区域Ω={ P | 0 < r ≤| | ≤ R , r < R },若C ⋂Ω为两段分离的曲线，则（A ）1 < r < R <3 （B ）1 < r < 3 ≤ R（C ）r ≤ 1 < R <3 （D ）1 < r < 3 < R2014普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（理科）第Ⅱ卷（非选择题 共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．。
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学数学【理】试卷【安徽卷,扫描版】
2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数. 若,1i z +=则=⋅+z iz 1（ ） A.2- B. i 2- C. 2 D. i 2B.“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件（3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）A. 34B. 55C. 78D. 89D.以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=31y y t x ，（t 为参数），圆C 的极坐标方程是θρcos 4=则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ） 1.14 B.142 C.2 D.22 5.y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若ax y z -=取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（ ） A,121-或 B.212或 C.2或1 D.12-或 F.设函数))((R x x f ∈满足.sin )()(x x f x f +=+π当π<≤x 0时，0)(=x f ，则=)623(πf （ ） 1.21 B. 23 C.0 D.21-7.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）A.21+3B.18+3C.21D.188.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60︒的共有（ ）A.24对B.30对C.48对D.60对9.若函数()12f x x x a =+++的最小值为3，则实数a 的值为（ ）A.5或8B.1-或5C.1-或4-D.4-或810.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,,1,0,a b a b a b ==⋅=点Q 满足2()OQ a b =+.曲线cos sin ,02C P OP a b θθθπ==+≤≤，区域0,P r PQ R r R Ω=<≤≤<.若C ⋂Ω为两段分离的曲线，则( )A.13r R <<<B.13r R <<≤C.13r R ≤<<D.13r R <<<第I I 卷（非选择题 共100分）二.选择题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称， 则ϕ的最小正值是________.12.数列{}a n 是等差数列，若1a 1+，3a 3+，5a 5+构成公比为q 的等比数列，则q = ________. （13）设n a ,0≠是大于1的自然数，na x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的展开式为n n x a x a x a a ++++ 2210.若点)2,1,0)(,(=i a i A i i 的位置如图所示，则______=a（14）设21,F F 分别是椭圆)10(1:222<<=+b b y x E 的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于B A ,两点，若x AF BF AF ⊥=211,3轴，则椭圆E 的方程为__________ （15）已知两个不相等的非零向量,,两组向量54321,,,,x x x x x 和54321,,,,y y y y y 均由2个和3个排列而成.记5544332211y x y x y x y x y x S ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=，min S 表示S 所有可能取值中的最小值.则下列命题的是_________（写出所有正确命题的编号）.①S 有5个不同的值. ②若,b a ⊥则min S a 无关.③若,∥则min S 无关.>，则0min >S .,min S ==则a 与b 的夹角为4π三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文子说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.16.设ABC 的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且3,1,2.b c A B ===（1）求a 的值；（2）求sin()4A π+的值.17（本小题满分12分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.(1) 求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；(2) 记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和均值（数学期望）18（本小题满分12分） 设函数其中. （1）讨论在其定义域上的单调性； （2）当时，求取得最大值和最小值时的的值.(19)(本小题满分13分) 如图，已知两条抛物线()02:1121>=p x p y E 和()02:2222>=p x p y E ，过原点O 的两条直线1l 和2l ，1l 与21,E E 分别交于21,A A 两点，2l 与21,E E 分别交于21,B B 两点.(1)证明：;//2211B A B A(2)过原点O 作直线l （异于1l ，2l ）与21,E E 分别交于21,C C 两点。
安徽省淮南市2014届高三第二次模拟考试数学理试题Word版含答案
淮南市2014届高三第二次模拟考试数学试题 (理科)满分150分考试时间120分钟 第 I 卷 (选择题共50分 )一、选择题(每小题5分,共50分，每小题只有一个选项是符合题目要求的)1. 已知复数123+=i i z ，则z 的虚部是（ ）.A .51 B. 51- C. i 51- D. 52- 2. 设集合A={x |1xx -＜0},B={x |0＜x ＜3},那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的（ ）.A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知函数ππ()sin()(0,)22f x x ωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则ϕ的值为（ ）. A ．3π-B ．3πC ．6π-D ．6π第3题4. 执行如图中的程序框图，若输出的结果为10,则判断框中应填（ ）.A. i < 3B. i < 4C. i < 5D. i < 65．袋中有大小相同的编号为1到8的球各一只，自袋中随机取出两球，设η为取出两球中的较小编号，若k p 表示η取值为k )7,2,1( =k 的概率，则满足81>k p 的k p 个数是（ ）. A. 5 B. 4 C . 3 D. 2第4题6. 设是双曲线的两个焦点, 是上一点,若且的最小内角为,则的离心率为( )A. B. C. D.7. 平面上满足线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+≥01002y x y x x 的点),(y x 形成的区域为M ,区域M 关于直线x y 2=对称的区域为N ,则区域M ，N 中距离最近的两点间的距离为（ ）A ．556B ．5512C ．538D ．5316 8. 已知函数⎩⎨⎧>≤-=)0()0(13)(x ex x x f x,若方程0)(=-kx x f 恰有两个不同的实根时，则实数k 的取值范围是（其中e 为自然对数的底数） ( ). ),1.(e A []3,1.B ),3.(+∞C (]3,.e D9.已知数列{}n a 的通项公式为),(,1)1(1*∈+++=N n n n n n a n 其前n 项和为n S ，则在数列2014321,,,,S S S S 中，有理项的项数为（ ）A . 42 B. 43 C . 44 D. 4510.如图，在三棱锥ABC P -中,PC PB PA ,,两两互相垂直，且1,2,3===PC PB PA ,设M 是底面三角形ABC 内一动点，定义：),,()(p n m M f =，其中p n m ,,分别表示三棱锥PAC M PBC M PAB M ---,,的体积，若),2,21()(y x M f =，且81≥+ya x 恒成立，则正实数a 的最小值是（ ） A . 22+ B . 22- C. 223- D. 246-第 II 卷 (主观题 共100分 )二、填空题（每小题5分，共25分）11． 512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为12. 设扇形的圆心角为32π，面积为π3，若将它围成一个圆锥，则此圆锥的体积是 13. 在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线 54532:1⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x C （t 为参数）和曲线θθρcos 2sin :22=C 相交于A B 、两点，设线段AB 的中点为M ，则点M 的直角坐标为 ．14. 下表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i 行第j 列的数为ij a 则数字73 在表中出现的次数为15.考虑向量)1,,(),0,,(d c n b a m ==，其中12222=+=+d c b a 。
安徽皖南八校2014届高三数学第二次模拟考试 理
∴
a
ln
x 1 x2
，
-------------------- 2 分
令 h(x)
ln x 1 ，则 h(x) x2
1 x
x2
2x(ln x4
x
1)
3 2 ln x3
x
0 有根：
x0
3
e2
，
x (0, x0 ) ， h(x) 0 ，函数 h(x) 单增；
x (x0 , ) ， h(x) 0 ，函数 h(x) 单减；
22
方法二：
（Ⅰ）连结 AC, BD 交于 O ，则 DO 面 ACE ，
B
I
作 OM CE 于 M ，连结 DM ，则 OMD 就是 二面角 A CE D 的平面角．
C O
G MH
2
A
E
sin OMD OD 2 3 ． OMD = 60 ，
DM 2 2
P
3
D
F
∴二面角 A CE D 为 60 ．
-------------------- 5 分
∴a
(h( x))max
h(x0 )
1 2e3
；
-------------------- 6 分
（Ⅱ）方法一：
由题 g(x) xf (x) ax2 x ln x 0 ，即 a x ln x 有唯一正实数根； x2
令(x)
x ln x ，即函数 y
则椭圆在点 A 处的切线方程为： x1x y1 y 1
①
43
椭圆在点 B 的切线方程为： x2 x y2 y 1
②
43
联解方程① ②得： x 4( y2 y1)
4k(x2 x1)