2019年中科大创新班初试数学试题

2019年中国科学技术大学创新班考试数学试题及解析

2019中国科学技术大学创新班考试数学试题

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注意事项

L答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.将答案写在答题卡上，写在本卷上无效・

3.考试结束后，将本卷和答题卡一并交回.

4辛卷共四大题，满分侦0分.解答题写出必要的计算和证明过程・

一.填空题(每题5分，共40分)

1. _______________________________________ 平面区域|X+2J|+|3X +4J|<5的面积是_________________________________________________ ,

2.方程sin2x + cos3x = 0,xe ［。,2引的所有根之和.

3.设点如,0),

4.设x = 3 + cosf y = 4 + cosf +攵)。是参数，则¥ +,的最大值为

5•在平面直角坐标系叨中，6(1,0),把向量勇绕o顺时针旋转定角。得苑q关于y

轴的对称点紀为4+1, f = 0,1,…,2018,则%9的坐标为..

,, 1 X Z 2019 •

6.若、匕％=?(^1(”詞则澎= •

7.设Z是复数M是纯虚数，则k + z + 3|的最小值是.

8.己知知*2內>4 wN,且{x,x/Jl

X l +工2 +石+*4

二、（20分）设四面体ABCD.可由沿各边中点连线折起国成，

1^1 = 12,1^1 = 10,网| = 8,求四面体ABCD的体积.

三、（20分）设〃是正整数.证明：x = 0是方羿的唯一解. t-o k.

四、（20分）

设〃是正整数.⑴证明:存在多项式p“（x）,使得cos伽）= p,（cos&）.

（2）在实数范用内完企因式分解p（*）.

1.2 2019中国科学技术大学创新班考试数学试题解析

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•

1. k+2M+|3x+4'|<5 区域面积 __________ .

sin(2x) = -cos(3x) = sin(3x+学),x e ［。,2刀］

所求和为6;r

3 .设点血0),旳,1)+，負* e 4,则M£C 面积的最小值为 ____________________ __

3・2习-1

3 .答案： 2

如图点C

1・答案:25 解析：

画岀可行域如图，Sg = 4S 函=4哼= 25。

2 .答案：6〃 解析：

2x = 3x + —+

3/ =>

2x+3x +==江 + 2 妇r

2

3H 勿7勿1R 3冗19兀 苛a

奇f 亍布•

Sy = S'w + - S*s =卜+ 证"

= -x+-^+-U-^3

2 4、G 4y[x 2 4. x = 3+cosl r-y

答案：36

13-23-1 —=

2

.=4 + cos［；+'丿则伊+ y-丿皿宓

.v-3 = cos^ + rj=> (x-3)2+(.y-4)2 =1

由几何意义疽+尸《36

5.给定一个定角们设鸟0,0）将说顺时针旋转。得到枝，苑与夕轴对称的称

为0£+1，求丛19坐标。

5 .答案：画出图可以看出周期性，从］9 =（一cos。厂sin。）

x2019

2("+lL+l'则行"

5迫

2020

1 1 时1、 1 1 1

歸析.X..I A；n(n + l) n n + 1

,鄂,1 2019

8 2020 2020

7 . -一~为纯虚数，则lz2 + z+3| =______________ .

Z +1 I Imin

7.答案:：匝

3

解析；由几何意义注意z-1与z + 1的夹角，z的轨逐为单位圆上对应岌数,所以

k + z + * = Rp + z + 3、= |z +1 + = |4 cos e - 2i sin e + l|min

=J(4cos0 + 1)2 +4sil? 8min = J12COS，O + 8cQS& + 5min =

8 .己知x1,x2,x3,x A ,且{x f x y x t)l

答案：14

解析：假设不< x2 < x3 < x4

贝Ik/?沔=18,石工3、4 = 36,玉工2工4 =36,X2X3X4 = 54.

=> x l x2x3x4 = ¥18x36x36x54 =108 => x, = 2,x2 = 3,x3 = 3,x4 = 6 9 .

解析:

易知：四面体4BCD是一个对棱相等的四面体置入到长方体

即可.假设其边长为a,b,c.

a2 +b2 = 16,d2+ c2—25, c2+ a2 =36.

3崩,710 3710 TZ 15^6

2 2 2 仙8 4

解析：令Z,(x)=£W

Jt=o K!

用数学归纳法证明为奇数时e、＞九(x) o x N 0, ”为偶数时/ ＞九(x) = x ＞0

”为1 时e* >l + x 成立，n为。时e、>l<=>x>0, e x < 1 <=> x < 0.................5 分①n为奇，e x >/^(x)ox^0 n + 1 为偶，令g(x)= e x-/,+1(x)

g(o) = 0,g'(x) = e、-_Ci(x)= e，-九(x)> 0(m 0时)

所以x> 0,g'(x)> 0,g(0)= 0n g(x)> 0 ,x< 0,g'(x)> 0,g(0)=0=>g(x)<0 5分

(2) n为偶e* >儿(x) = x>0, e、

”+1 为奇g(x) = e x -九+i(x) g(0)= 0, g r(x) = e x-f n(x)

/

x>。时，g'(忏f 0 x<0时，g攵)="-九(煎。

g(o) = o,所以g(x)>0, g(0)= 0,^fVAg(x)<0 10 分