2019年中科大创新班初试数学试题

2019年中国科学技术大学创新班考试数学试题及解析
2019中国科学技术大学创新班考试数学试题
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注意事项
L答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.将答案写在答题卡上，写在本卷上无效・
3.考试结束后，将本卷和答题卡一并交回.
4辛卷共四大题，满分侦0分.解答题写出必要的计算和证明过程・
一.填空题(每题5分，共40分)
1. _______________________________________ 平面区域|X+2J|+|3X +4J|<5的面积是_________________________________________________ ,
2.方程sin2x + cos3x = 0,xe ［。

,2引的所有根之和.
3.设点如,0),<x<4,则zUSC面积的最小值为.
4.设x = 3 + cosf y = 4 + cosf +攵)。

是参数，则¥ +,的最大值为
5•在平面直角坐标系叨中，6(1,0),把向量勇绕o顺时针旋转定角。

得苑q关于y
轴的对称点紀为4+1, f = 0,1,…,2018,则%9的坐标为..
,, 1 X Z 2019 •
6.若、匕％=?(^1(”詞则澎= •
7.设Z是复数M是纯虚数，则k + z + 3|的最小值是.
8.己知知*2內>4 wN,且{x,x/Jl<i<j<k^4\= {18,36,54},则
X l +工2 +石+*4
二、（20分）设四面体ABCD.可由沿各边中点连线折起国成，
1^1 = 12,1^1 = 10,网| = 8,求四面体ABCD的体积.
三、（20分）设〃是正整数.证明：x = 0是方羿的唯一解. t-o k.
四、（20分）
设〃是正整数.⑴证明:存在多项式p“（x）,使得cos伽）= p,（cos&）.
（2）在实数范用内完企因式分解p（*）.
1.2 2019中国科学技术大学创新班考试数学试题解析
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•
1. k+2M+|3x+4'|<5 区域面积 __________ .
sin(2x) = -cos(3x) = sin(3x+学),x e ［。

,2刀］
所求和为6;r
3 .设点血0),旳,1)+，負* e 4,则M£C 面积的最小值为 ____________________ __
3・2习-1
3 .答案： 2
如图点C
1・答案:25 解析：
画岀可行域如图，Sg = 4S 函=4哼= 25。

2 .答案：6〃 解析：
2x = 3x + —+
3/ =>
2x+3x +==江 + 2 妇r
2
3H 勿7勿1R 3冗19兀 苛a
奇f 亍布•
Sy = S'w + - S*s =卜+ 证"
= -x+-^+-U-^3
2 4、G 4y[x 2 4. x = 3+cosl r-y
答案：36
13-23-1 —=
2
.=4 + cos［；+'丿则伊+ y-丿皿宓
.v-3 = cos^ + rj=> (x-3)2+(.y-4)2 =1
由几何意义疽+尸《36
5.给定一个定角们设鸟0,0）将说顺时针旋转。

得到枝，苑与夕轴对称的称
为0£+1，求丛19坐标。

5 .答案：画出图可以看出周期性，从］9 =（一cos。

厂sin。

）
x2019
2("+lL+l'则行"
5迫
2020
1 1 时1、 1 1 1
歸析.X..I A；n(n + l) n n + 1
,鄂,1 2019
8 2020 2020
7 . -一~为纯虚数，则lz2 + z+3| =______________ .
Z +1 I Imin
7.答案:：匝
3
解析；由几何意义注意z-1与z + 1的夹角，z的轨逐为单位圆上对应岌数,所以
k + z + * = Rp + z + 3、= |z +1 + = |4 cos e - 2i sin e + l|min
=J(4cos0 + 1)2 +4sil? 8min = J12COS，O + 8cQS& + 5min =
8 .己知x1,x2,x3,x A ,且{x f x y x t)l <i<j<k< 4)= (18,36,54},求x l+x2+x3+x i.
答案：14
解析：假设不< x2 < x3 < x4
贝Ik/?沔=18,石工3、4 = 36,玉工2工4 =36,X2X3X4 = 54.
=> x l x2x3x4 = ¥18x36x36x54 =108 => x, = 2,x2 = 3,x3 = 3,x4 = 6 9 .
解析:
易知：四面体4BCD是一个对棱相等的四面体置入到长方体
即可.假设其边长为a,b,c.
a2 +b2 = 16,d2+ c2—25, c2+ a2 =36.
3崩,710 3710 TZ 15^6
2 2 2 仙8 4
解析：令Z,(x)=£W
Jt=o K!
用数学归纳法证明为奇数时e、＞九(x) o x N 0, ”为偶数时/ ＞九(x) = x ＞0
”为1 时e* >l + x 成立，n为。

时e、>l<=>x>0, e x < 1 <=> x < 0.................5 分①n为奇，e x >/^(x)ox^0 n + 1 为偶，令g(x)= e x-/,+1(x)
g(o) = 0,g'(x) = e、-_Ci(x)= e，-九(x)> 0(m 0时)
所以x> 0,g'(x)> 0,g(0)= 0n g(x)> 0 ,x< 0,g'(x)> 0,g(0)=0=>g(x)<0 5分
(2) n为偶e* >儿(x) = x>0, e、<A(x)=x<0
”+1 为奇g(x) = e x -九+i(x) g(0)= 0, g r(x) = e x-f n(x)
/
x>。

时，g'(忏f 0 x<0时，g攵)="-九(煎。

g(o) = o,所以g(x)>0, g(0)= 0,^fVAg(x)<0 10 分
11.解析：(1)用数学归纳法：cos0 = cos0, cos20 = 2cos%-4 ............................ 2分假设当n = k, k + 1结论成立，
当n=k+2 时候：cos[(k + 2)0] = 2cos0cos[(fc +1)0]-cos(k。

)
.•M =A+2命题也成立，且最髙次系数为(背景：切比雪夫多项式)………8分
(2) P(x)为刀次多项式，至多刀个解cos成=0 = 成=2々+三
2
0 = —•—, •, - 均为cos M Q = 0 的解,. ........................................... 8 分
2n 2n 2n
且互不相同Z. P(x) = 2"-1 (x -cos —^)(x 一cos—^)***(x-cos ——-才)
2n 2n 2n2分。