2012年数学高考试题(甘肃卷)(文史类)
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【解析２】特例法
因为点 在原函数 的图像上，所以点 必在反函数的图像上，验证选项，可知正确选项应为A。
（3）若函数 是偶函数，则
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析1】函数 ，因为函数 为偶函数，所以 ，所以 ,又 ，所以当 时， ，选C.
【解析2】直接法
因为函数 是偶函数，所以 恒成立，即
【解析2】Mathematica9.0
In[1]:=
Out[1]=
【解析3】Mathematica9.0
In[1]:=
Out[1]=
（14）若 满足约束条件 ，则 的最小值为____________.
【答案】
【解析1】做出不等式所表示的区域如图，由 得 ，平移直线 ，由图象可知当直线经过点 时，直线 的截距最大，此时 最小,最小值为 .
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】双曲线的方程为 ，所以 ，因为 ，所以点P在双曲线的右支上，则有 ,所以解得 ， ，所以根据余弦定理得 ,选C.
（11）已知 ， ， ，则
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析1】 ， ， ， ，所以 .
【解析2】Mathematica9.0
In[1]:=
Out[1]=
【解析3】EXCEL2013
1.在A2单元格输入公式=ASIN(3/5)，得到方程 。
2.在B2单元格输入公式=PI()-A2，利用诱导公式 ，得到 在第二象限的特值2.498091545。
3.在C2单元格输入公式=SIN(2*B2)，得到 。
（5）椭圆的中心在原点，焦距为 ，一条准线为 ，则该椭圆的方程为
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析1】结合已知中的点E,F的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA点时，需要碰撞6次即可.
【解析2】以AB为 轴，以AD为 轴，建立直角坐标系 。
由已知条件知， ， ，所以直线EF的方程为 ，整理得 。
2012年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学（必修+选修Ⅱ）
一、选择题
（1）已知集合 是平行四边形 ， 是矩形 ， 是正方形 ， 是菱形 ，则
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】根据四边形的定义和分类可知选B.
（2）函数 的反函数为
（A） （B）
（C） （D）
【答案】A
【解析1】因为 所以 .由 得， ，所以 ，所以反函数为 ，选A.
，
，
，
因为 不恒等于0，所以 ，又因为 ，所以 。
【解析3】特例法
因为函数 是偶函数，所以 恒成立，即
，
，
，
因为 ，所以 。
（4）已知 为第二象限角， ，则
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析1】因为 为第二象限，所以 ，即 ，所以 ，选B.
【解析2】Mathematica9.0
In[1]:=
【解析2】特例法
因为 ， ，所以 ，即 ， 。对照选项，可知正确选项为B。
【解析3】Mathematica9.0
In[1]:=
Out[1]=
（7） 位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有
（A） 种 （B） 种 （C） 种 （D） 种
【答案】C
【解析】先排甲，有4种方法，剩余5人全排列有 种，所以不同的演讲次序有 种，选C.
【解析2】基向量法
【解析3】坐标法
【解析4】估值法
画出图形，连接 ，交线段 于点 ， 。
显然直线 与平面 平行，且直线 与平面 的距离小于线段 ，故选D。
（9） 中， 边的高为 ，若 ， ， ， ， ，则
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析1】如图，在直角三角形中， ,则 ,所以 ,所以 ,即 ，选D.
（8）已知正四棱柱 中 ， ， ， 为 的中点，则直线 与平面 的距离为
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析1】欧几里得法
连结 交于点 ，连结 ，因为 是中点，所以 ,且 ，所以 ，即直线 与平面BED的距离等于点C到平面BED的距离，过C做 于 ,则 即为所求距离.因为底面边长为2，高为 ，所以 , , ,所以利用等面积法得 ，选D.
Out[1]=
【解析3】Excel2013
1.在A2单元格输入公式=LOG(PI(),2.7182818)，得到 ；
2.在B2单元格输入公式=LOG(2,5)，得到 ；
3.在C2单元格输入公式=2.7182818^(-0.5)，得到 .
（12）正方形 的边长为 ，点 在边 上，点 在边 上， 。动点 从 出发沿直线向 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点 第一次碰到 时， 与正方形的边碰撞的次数为
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】椭圆的焦距为4，所以 。因为准线为 ，所以椭圆的焦点在 轴上，且 ，所以 ， ，所以椭圆的方程为 ，选C.
（6）已知数列 的前 项和为 ， ， ，,则
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析1】因为 ，所以由 得， ，整理得 ，Hale Waihona Puke Baidu以 ，所以数列 是以 为首项，公比 的等比数列，所以 ，选B.
【解析2】画出可行域，易得可行域的三个顶点坐标为 ， ， 。
代入目标函数计算：
，
，
，
显然，当 ， 时，目标函数 取得最小值 。
【解析3】Mathematica9.0
In[1]:=
Out[1]=
【解析4】Excle2013
1.如图1，区域B4:C4，输入目标函数系数；区域B6:C8，输入约束条件系数；区域E6:E8输入约束条件常数（约束条件中的常数需移项到不等式的右侧）。
【解析2】 ， 。
因为 ，所以 ，即 ，解得 。
所以 ， 。
【解析3】以射线CB为 轴的正半轴，以射线CA为 轴的正半轴，建立直角坐标系 。
依题意有 ， 。因为点D在线段 上，所以可设点D的坐标为 。
因为 ，所以 ，即 ，解得 。
所以 ， ，所以 。
（10）已知 、 为双曲线 的左、右焦点，点 在 上， ，则
可求得直线FG的方程为 ， 。
可求得直线GH的方程为 ， 。
可求得直线HI的方程为 ， 。
可求得直线IJ的方程为 ， 。
可求得直线JE的方程为 ， 。
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上
（13） 的展开式中 的系数为____________.
【答案】7
【解析1】二项展开式的通项为 ，令 ，解得 ，所以 ，所以 的系数为7.
因为点 在原函数 的图像上，所以点 必在反函数的图像上，验证选项，可知正确选项应为A。
（3）若函数 是偶函数，则
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析1】函数 ，因为函数 为偶函数，所以 ，所以 ,又 ，所以当 时， ，选C.
【解析2】直接法
因为函数 是偶函数，所以 恒成立，即
【解析2】Mathematica9.0
In[1]:=
Out[1]=
【解析3】Mathematica9.0
In[1]:=
Out[1]=
（14）若 满足约束条件 ，则 的最小值为____________.
【答案】
【解析1】做出不等式所表示的区域如图，由 得 ，平移直线 ，由图象可知当直线经过点 时，直线 的截距最大，此时 最小,最小值为 .
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】双曲线的方程为 ，所以 ，因为 ，所以点P在双曲线的右支上，则有 ,所以解得 ， ，所以根据余弦定理得 ,选C.
（11）已知 ， ， ，则
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析1】 ， ， ， ，所以 .
【解析2】Mathematica9.0
In[1]:=
Out[1]=
【解析3】EXCEL2013
1.在A2单元格输入公式=ASIN(3/5)，得到方程 。
2.在B2单元格输入公式=PI()-A2，利用诱导公式 ，得到 在第二象限的特值2.498091545。
3.在C2单元格输入公式=SIN(2*B2)，得到 。
（5）椭圆的中心在原点，焦距为 ，一条准线为 ，则该椭圆的方程为
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析1】结合已知中的点E,F的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA点时，需要碰撞6次即可.
【解析2】以AB为 轴，以AD为 轴，建立直角坐标系 。
由已知条件知， ， ，所以直线EF的方程为 ，整理得 。
2012年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学（必修+选修Ⅱ）
一、选择题
（1）已知集合 是平行四边形 ， 是矩形 ， 是正方形 ， 是菱形 ，则
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】根据四边形的定义和分类可知选B.
（2）函数 的反函数为
（A） （B）
（C） （D）
【答案】A
【解析1】因为 所以 .由 得， ，所以 ，所以反函数为 ，选A.
，
，
，
因为 不恒等于0，所以 ，又因为 ，所以 。
【解析3】特例法
因为函数 是偶函数，所以 恒成立，即
，
，
，
因为 ，所以 。
（4）已知 为第二象限角， ，则
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析1】因为 为第二象限，所以 ，即 ，所以 ，选B.
【解析2】Mathematica9.0
In[1]:=
【解析2】特例法
因为 ， ，所以 ，即 ， 。对照选项，可知正确选项为B。
【解析3】Mathematica9.0
In[1]:=
Out[1]=
（7） 位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有
（A） 种 （B） 种 （C） 种 （D） 种
【答案】C
【解析】先排甲，有4种方法，剩余5人全排列有 种，所以不同的演讲次序有 种，选C.
【解析2】基向量法
【解析3】坐标法
【解析4】估值法
画出图形，连接 ，交线段 于点 ， 。
显然直线 与平面 平行，且直线 与平面 的距离小于线段 ，故选D。
（9） 中， 边的高为 ，若 ， ， ， ， ，则
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析1】如图，在直角三角形中， ,则 ,所以 ,所以 ,即 ，选D.
（8）已知正四棱柱 中 ， ， ， 为 的中点，则直线 与平面 的距离为
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析1】欧几里得法
连结 交于点 ，连结 ，因为 是中点，所以 ,且 ，所以 ，即直线 与平面BED的距离等于点C到平面BED的距离，过C做 于 ,则 即为所求距离.因为底面边长为2，高为 ，所以 , , ,所以利用等面积法得 ，选D.
Out[1]=
【解析3】Excel2013
1.在A2单元格输入公式=LOG(PI(),2.7182818)，得到 ；
2.在B2单元格输入公式=LOG(2,5)，得到 ；
3.在C2单元格输入公式=2.7182818^(-0.5)，得到 .
（12）正方形 的边长为 ，点 在边 上，点 在边 上， 。动点 从 出发沿直线向 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点 第一次碰到 时， 与正方形的边碰撞的次数为
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】椭圆的焦距为4，所以 。因为准线为 ，所以椭圆的焦点在 轴上，且 ，所以 ， ，所以椭圆的方程为 ，选C.
（6）已知数列 的前 项和为 ， ， ，,则
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析1】因为 ，所以由 得， ，整理得 ，Hale Waihona Puke Baidu以 ，所以数列 是以 为首项，公比 的等比数列，所以 ，选B.
【解析2】画出可行域，易得可行域的三个顶点坐标为 ， ， 。
代入目标函数计算：
，
，
，
显然，当 ， 时，目标函数 取得最小值 。
【解析3】Mathematica9.0
In[1]:=
Out[1]=
【解析4】Excle2013
1.如图1，区域B4:C4，输入目标函数系数；区域B6:C8，输入约束条件系数；区域E6:E8输入约束条件常数（约束条件中的常数需移项到不等式的右侧）。
【解析2】 ， 。
因为 ，所以 ，即 ，解得 。
所以 ， 。
【解析3】以射线CB为 轴的正半轴，以射线CA为 轴的正半轴，建立直角坐标系 。
依题意有 ， 。因为点D在线段 上，所以可设点D的坐标为 。
因为 ，所以 ，即 ，解得 。
所以 ， ，所以 。
（10）已知 、 为双曲线 的左、右焦点，点 在 上， ，则
可求得直线FG的方程为 ， 。
可求得直线GH的方程为 ， 。
可求得直线HI的方程为 ， 。
可求得直线IJ的方程为 ， 。
可求得直线JE的方程为 ， 。
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上
（13） 的展开式中 的系数为____________.
【答案】7
【解析1】二项展开式的通项为 ，令 ，解得 ，所以 ，所以 的系数为7.