河南省新乡平顶山许昌三市2015届高三第三次调研考试——数学文

新乡平顶山许昌三市2015届高三第三次调研考试文 科 数 学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号，写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案答在答题卡上，写在本试卷上无效。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合M ＝{ x ｜2x －4x ＋3＜0 }，集合N ＝{x ｜｜x ｜＜2}，则M ∩N 为A ．{ x ｜－2＜x ＜3 }B ．{ x ｜1＜x ＜3 }C ．{ x ｜2＜x ＜3 }D ．{ x ｜1＜x ＜2} 2．如图所示，在复平面内，点A 对应的复数为z ，则复数2z等于A ．3－4iB ．3＋4iC ．－3＋4iD ．－3－4i 3．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正方形，侧视图是矩形，俯视图是半圆，则该几 何体的表面积为A ．12πB ．12π＋16C ．8πD ．8π＋164．设变量x ，y 满足约束条件360,20,30,x y x y y ⎧⎪⎨⎪⎩＋－≥－－≤－≤，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为A ．2B ．1C ．－7D ．－45．若抛物线24x y ＝的焦点与椭圆2212x y b＋＝的一个焦点重合，则b 的值为 A ．3 B ．4 C ．6 D ．86．设n S 为等比数列{n a }的前n 项和,82a ＋5a ＝0,则52S S 等于 A ．－11 B ．－8 C ．5 D ．11 7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x 值的个数为 A ．1 B ．2C ．3D ．4 8．曲线y ＝2axlnx 在x ＝21e（e 为自然对数的底数）处的 切线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，则实数a 的值为 A ．－1 B ．1 C ．－14 D ．149．对于下列命题：①将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；②y 与x 具有线性相关关系，其回归方程为ˆy ＝3－5x ，则y 与x 具有负的线性相关关系；③在一组样本数据的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）（i ＝1，2，…，n ）都在直线 y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为12； ④命题P ：“ 0x ∃∈R ，20x －0x －5＞0”的否定p ⌝：“ x ∀∈R ，2x －x －5≤0”．其中错误命题的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3 10．已知角α的终边与以坐标原点为圆心，以1为半径的圆交于点P （2sin3π，2cos 3π），则角α的最小正值为 A ．56π B ．23π C ．53π D ．116π11．设双曲线2221x a b2y －＝（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，A 是双曲线渐近线上的一点，AF 2⊥F 1F 2，原点O 到直线AF 1的距离为13｜OF 1｜，则渐近线的斜率为 ABC ．1或－1 D．2或－212．已知函数f （x ）＝2x －cosx ，若当－π＜x ＜π时，f （x 1）＜f （x 2）恒成立，则下列结 论一定成立的是A ．x 1＞x 2B ．x 1＜x 2C ．｜x 1＜｜x 2｜D ．｜x 1｜＞｜x 2｜第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第22题～24题为选考题．考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知平面向量a ＝（1，－2），b ＝（4，m ），且a ⊥b ，则向量a －b ＝_____________． 14．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且asinBcosC ＋csinBcosA ＝12b ，则∠B ＝____________．15．若tan20°＋msin20m 的值为_____________。

16．球O 是四面体ABCD 的外接球（即四面体的顶点均在球面上）．若DB ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且AC ＝1，DB ＝AB ＝2，则球O 的表面积为_____________。

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝（x ＋4π）cos （x ＋4π）＋22cos ()4x π－－1（x ∈R ）．（Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期； （Ⅱ）求函数f （x ）在区间[0，2π]上的最大值和最小值及相应的x 的值．18．（本小题满分12分）在三棱锥P —ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 为BC 的中点，PB ＝PC cos ∠BPC ＝513，在△PAD 中，过A 作AM ⊥PD 于M.． （Ⅰ）求证：AM ⊥PC ；（Ⅱ）若AD ＝3，求三棱锥P －ABC 的体积． 19．（本小题满分12分）某市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API 的监测数据，结果统计如下：记某企业每天由于空气污染造成的经济损失为S （单位：元），空气质量指数API 为ω，在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直 线模型（当API 为150时，造成的经济损失为500元，当API 为200时，造成的经济损 失为700元）；当API 大于300时造成的经济损失为2000元． （Ⅰ）试写出S （ω）表达式；（Ⅱ）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面?20．（本小题满分12分）椭圆2221x a b2y ＋＝（a ＞b ＞0）在第一象限的部分与过点A （2，0）、B （0，1）的直线相切于点T ，且椭圆的离心率e （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设F 1，F 2为椭圆的左，右焦点，M 为线段AF 2的中点，求证：∠ATM ＝∠AF 1T ． 21．（本小题满分12分） 已知函数g （x ）＝ax －a x－5lnx ，其中a ∈R ．函数h （x ）＝2x －mx ＋4，其中m ∈R ． （Ⅰ）若g （x ）在其定义域内为增函数，求正实数a 的取值范围；（Ⅱ）设当a ＝2时，若1x ∃∈（0，1），2x ∀∈[1，2]，总有g （x 1）≥h （x 2）成立，求实数m 的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

做答时。

用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC 内接于直径为BC 的圆O ，过点A 作圆O 的切线交CB 的延长线于点P ，∠BAC 的平分线分别交BC 和圆O 于点D 、E ，若sin ∠ABC＝5PA ＝10． （Ⅰ）求PB 的长；（Ⅱ）求AD ·DE 的值． 23．（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程 已知曲线C ：2cos ,3sin x y θθ⎧⎨⎩＝＝（θ为参数），直线l ：2,2x t y t ⎧⎨⎩＝＋＝2－（t 为参数）．（Ⅰ）写出曲线C 的极坐标方程和直线l 在y 轴上的截距；（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求｜PA ｜的最大值与最小值．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数f （x ）＝｜x －1｜，g （x ）＝－｜x ＋3｜＋a ，其中a ∈R ． （Ⅰ）解关于x 的不等式g （x ）＞6；（Ⅱ）若函数y ＝2f （x ）的图象恒在函数y ＝g （x ）的图象的上方，求实数a 的取值范围．新乡、平顶山、许昌三市2015届高三第三次调研考试文科数学答案一、选择题 DABCAA CCBDDC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．(13)()4,3--(14)6π或65π (15)4(16)π9三、解答题：17．(本小题满分1 2分)解：(Ⅰ)()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛+=22cos 22sin 3ππx x x fx x 2sin 2cos 3+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin 2πx .所以()x f 的最小正周期为：ππ==22T . ……………………6分 (Ⅱ)因为20π≤≤x ，所以34323πππ≤+≤x .当232ππ=+x 时，即12π=x 时，()22sin 2max ==πx f ；当3432ππ=+x ，即2π=x 时，()334sin 2min -==πx f . ………………12分18．(本小题满分12分) (Ⅰ)证明：因为⊥PA 底面ABC ，⊂BC 底面ABC ，所以⊥PA BC .在PBC ∆中，因为PC PB =，CD BD =， 所以BC PD ⊥. 又因为P PD PA = ，⊂PA 平面PAD ，⊂PD 平面PAD ，所以⊥BC 平面PAD ，因为⊂AM 平面PAD ， 所以BC AM ⊥.又因为PD AM ⊥，D BC PD = ，⊂PD 平面PBC ，⊂BC 平面PBC ， 所以⊥AM 平面PBC ，又因为⊂PC 平面PBC ， 所以PC AM ⊥.(Ⅱ)解：因为⊥PA 底面ABC ,PC PB =，所以AC AB =,又D 为BC 的中点，所以BC AD ⊥.在PBC ∆中，由余弦定理得：24=BC .在ADB Rt ∆中，3=AD ，22=BD ，所以17=AB . 在PAB Rt ∆中，17=AB ，26=PB ，所以3=PA .P A B C D M2621=∙=∆AD BC S ABC ,所以2631=∙=∆-PA S V ABC ABC P 19．(本小题满分1 2分)20．(本小题满分12分)解：(Ⅰ)23=e 43222=-∴a b a 224b a =∴，故椭圆方程为：142222=+by b x .椭圆的切线直线AB 的方程为：12=+y x………………2分将直线AB 的方程代入椭圆的方程并整理得：012222=-+-b y y .()01842=--=∆b，解得：212=b .故所求椭圆方程为12222=+y x .………6分(Ⅱ)解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1221222y x y x得⎪⎩⎪⎨⎧==211y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛∴21,1T ， 又⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,26,0,2621F F ，()0,2A ，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,146M . 所以：()()0,160,6,21,261,21,46,21,1211==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=F F F ,设()0,1=m ， =∠ATMcos 523241166411416+=+++=.=∠T AF 1cos ()523232262641162414622262+=++=++=+++=.所以=∠ATM cos T AF 1cos ∠，又因为()π,01∈∠T AF，()π,0∈∠ATM ， T AF ATM 1∠=∠∴. ……………………………………………………………12分21．(本小题满分12分)解(I)()x xaax x g ln 5--=,故()x g 的定义域为()+∞,0.()225xax ax x g +-='.因为()x g 在其定义域上为增函数,所以()+∞∈∀,0x ,()0≥'x g即()+∞∈∀,0x ,052≥+-a x ax ,所以 152+≥x xa 对()+∞∈,0x 恒成立.令()152+=x xx h ,()+∞∈,0x ,所以()max x h a ≥.()2515152≤+=+=xx x x x h ,当且仅当1=x 时取等号.所以25≥a .(II)由题意知: ()x g 在()1,0∈x 上的最大值不小于()x h 在[]2,1∈x 上的最大值. 当2=a 时, ()x x x x g ln 522--=,()22252x x x x g +-='.由()0='x g ,得21=x 或2=x .所以()2ln 5321max +-=⎪⎭⎫⎝⎛=g x g .而()x h 在[]2,1∈x 上的最大值为()1h ,()2h 中的最大者.所以()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎭⎫⎝⎛,221,121h g h g 即⎩⎨⎧-≥+--≥+-,282ln 53,52ln 53m m 得2ln 58-≥m .所以实数m 的取值范围是[)+∞-,2ln 58.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲 解：(Ⅰ)PA 是圆O 的切线，PAB ACB ∠=∠ABP∴∆CAP ∆AC APAB PB∴= 25sin 5ABC ∠=，故2AC AB =∴2AP PB =，又10PA =5PB ∴=.………5分(Ⅱ)……………..10分23．(本小题满分10分)选修4－4：极坐标与参数方程解：(I)消去参数ϑ得曲线C 方程为22149x y +=，又cos ,sin x y ρθρθ==， 代入并整理得2221cos sin 49θϑρ=+，这就是曲线C 的极坐标方程 消去参数t ，得l 的直线的方程为26y x =-+，故其在 y 轴上的截距为6(II)…………………..10分24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 解：(I)63-<+a x ，当6≤a 时，无解；当6>a 时，()636-<+<--a x a ，解得：93-<<-a x a . 所以：当6≤a 时，无解；当6>a 时，不等式的解集为：{}93-<<-a x a x .………………5分(II)由题意得：()()02≥-x g x f ，即312++-≤x x a .设()312++-=x x x h ，则()⎪⎩⎪⎨⎧>+≤<---≤--=.1 ,13,13,5,3 ,13x x x x x x x h 做出()x h 的图象，可得：当1=x 时，()x h 取得最小值4. 所以4≤a . …………………………………………10分。