2010届江苏省高三数学10次周练试卷

7 8 9 94 4 6 4 7 3 江苏省2010届高三年级第十次周练数 学 试 卷必做题部分（满分160分，考试时间120分钟）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填在答题纸的相应的横线上）1.已知集合{4,5},{1,2}P Q ==，定义{|,,}P Q x x p q p P q Q ⊕==-∈∈，则集合P Q ⊕的所有真子集的个数为 ▲ .2．复数)2)(1(i ai -+的实部与虚部相等，则实数a = ▲3．抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点为二次函数221y x x =++的图象的顶点，则此抛物线的方程为 __ ▲ _.4．一个靶子上有10个同心圆，半径依次为1、2、……、10，击中由内至外的区域的成绩依次为10、9、……、1环，则不考虑技术因素，射击一次,在有成绩的情况下成绩为10环的概率为 .5. 按右图所示的程序框图运算，若输入8x =，则输出k = ▲ ．6．首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是 ▲ ．7．右图是2007年中央电视台举办的挑战主持人大赛上，七位 评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为 ▲ ，方差分别为▲ 。

8.tan 20tan 4020tan 40︒+︒+︒︒= ▲ ；9．设函数21123()n n f x a a x a x a x -=++++，1(0)2f =，数列{}n a 满足2(1)()n f n a n N *=∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 等于 ▲ ；10．多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A 在平面α内，其余顶点在α的同侧，正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到α的距离分别为1，2和4，P 是正方体的其余四个顶点中的一个，则P 到平面α的距离可能是：①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7 以上结论正确的为__ ▲ __（写出所有正确结论的编号．．） 11．若实数x y ，满足22120x y x x y x ⎧⎪⎨⎪++⎩，，-4≤≤≥，在平面直角坐标系中，此不等式组表示的平面区域的面积是 ▲ .12．有一道解三角形的题目，因纸张破损有一个条件模糊不清，具体如下：“在△ABC 中，已知4a B π==， ▲ ，求角A.”经推断，破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示6A π=.试在横线上将条件补充完整.13.设M 是其中定义且内一点),,,()(,30,32,p n m M f BAC AC AB ABC =︒=∠=⋅∆ABCDA 1B 1C 1D 1第10题图αm 、n 、p 分别是114,,,()(,,),2MBC MCA MAB f P x y x y∆∆∆=+的面积若则的最小值 ▲ ． 14. 我们可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得线段的比都为k ，那么甲的面积是乙的面积的k 倍.你可以从给出的简单图形①、②中体会这个原理.现在图③中的曲线分别是22221(0)x y a b a b+=>>与222x y a +=，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为 ▲ .二、解答题：本大题6小题，共90分，解题时要写出必要的文字说明、解题步骤. 15（本小题满分14分）已知函数)(,cos sin )(x f x x x f '+=是)(x f 的导函数。

（Ⅰ）求函数)()()()(2x f x f x f x F +'=的最大值和最小正周期；（Ⅱ）若xx x xx f f cos sin cos sin 1),(2)2(22-+'=求的值。

16．（本小题满分14分）如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点． （1）求证：EF ∥平面CB 1D 1；（2）求证：平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．（3）如果AB =1，一个点从F 出发在正方体的表面上依次经过棱BB 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1D 、DA 上的点，又回到F ，指出整个线路的最小值（直接写出答案，不要过程）17．（本小题满分14分）据预测，某旅游景区游客人数在600至1300人之间，游客人数x （人）与游客的消费总额y （元）之间近似地满足关系式：100000024002-+-=x x y ．（1）若该景区游客消费总额不低于400000元时，求景区游客人数的范围．（2）当景区游客的人数为多少人时，游客的人均消费最高？并求游客的人均最高消费额．A 1l ① ②(将l 向右平移)18．（本小题满分16分）已知F 1（－c ,0）, F 2（c ,0） (c ＞0)是椭圆的两个焦点，O 为坐标原点，圆M 的方程是22259()416c x c y -+=．（1）若P 是圆M 上的任意一点，求证：12||||PF PF 是定值；（2）若椭圆经过圆上一点Q ，且cos ∠F 1QF 2=35，求椭圆的离心率； （3）在（2）的条件下，若|OQ，求椭圆的方程． 19．（本小题满分16分）数列{}n a 满足a a =1，a a -=2（0>a ），且{}n a 从第二项起是公差为6的等差数列，n S 是{}n a 的前n 项和． （1）当2≥n 时，用a 与n 表示n a 与n S ；（2）若在6S 与7S 两项中至少有一项是n S 的最小值，试求a 的取值范围；（3）若a 为正整数，在（2）的条件下，设n S 取6S 为最小值的概率是1p ，n S 取7S 为最小值的概率是2p ，比较1p 与2p 的大小．20．（本小题满分16分）已知函数()f x 是定义在[)(],00,e e -上的奇函数,当(]0,x e ∈时,()ln f x ax x =+(其中e 是自然界对数的底, a R ∈). (1) 求()f x 的解析式;(2) 设ln (),x g x x=，求证：当[),0x e ∈-，1a =-时，1()()2f x g x >+；（3）是否存在负数a ，使得当[),0x e ∈-时，()f x 的最小值是3 ？如果存在，求出实数a 的值；如果不存在，请说明理由．江苏省 2010届高三年级第十次周练 数学试卷答题纸一、填空题：1._________________2.___________________3._________________4.____________5._________________6.___________________7._________________8.____________9._________________10.__________________11.________________12.___________13.________________14.___________________二、解答题：15.16. 17．A118．19．B20．数学试题第二部分（加试部分）（总分40分，加试时间30分钟）21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．（选修4—1 几何证明选讲）如图，AB 是⊙O 的直径，C 、F 为⊙O 上的点，且CA 平分∠BAF ，过点C 作CD ⊥AF交AF 的延长线于点D . 求证：DC 是⊙O 的切线.B ．（选修4—2 矩阵与变换）已知二阶矩阵M 有特征值8λ=及对应的一个特征向量111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ，并且矩阵M 对应的变换将点(1,2)-变换成(2,4)-。

（1）求矩阵M ；（2）求矩阵M 的另一个特征值，及对应的一个特征向量e 2的坐标之间的关系。

C ．（选修4—4 参数方程与极坐标）已知曲线:C 3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩，直线:l (cos 2sin )12ρθθ-=．⑴将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；⑵设点P 在曲线C 上，求P 点到直线l 距离的最小值．D ．（选修4—5 不等式证明选讲）已知0m a b >∈R ，，，求证：()22211a mba mb mm++≤++. 解：选选【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22、（本题满分10分）如图，三棱锥P ABC -中，PB ⊥底面ABC 于B ，90,BCA PB BC CA ∠==== 点,E F 分别是,PC PA 的中点，求二面角A BE F --的余弦值．23．（本小题满分10分）已知函数f(x)=021n n C x --1n C 2nx 1212131(1)n r r n r n n nn n C x C x C x +-+-+-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+，其中n ()n N +∈． （1）求函数f(x)的极大值和极小值；（2）设函数f(x)取得极大值时x=n a ，令n b =2-3n a ，n S =12231n n b b b b b b +++⋅⋅⋅+，若p≤n S <q对一切n ∈N ＋恒成立，求实数p 和q 的取值范围．江苏省 2010届高三年级第十次周练数 学 试 卷 答 案1.7 2． 3 3.24y x =- 4． 0.01 5．4 6． ]3,38( 7.85; 8/5 8. 39．1n n + 10．①③④⑤ 11.22π-12． 6=b 或写成2623+=c 13.18．14. ab π 15解（1）x x x f sin cos )(-=' ，…………………………2分)()()()(2x f x f x f x F +'=∴x x x x cos sin 21sin cos 22++-=)42sin(212cos 2sin 1π++=++=x x x ……………………4分)(82242Z k k x k x ∈+=⇒+=+∴πππππ当时，21)(max +=x F ……………………6分最小正周期为ππ==22T ……………………7分（2）x x x x x f x f sin 2cos 2cos sin )(2)(-=+⇒'=31tan sin 3cos =⇒=∴x x x ……………………11分xx x x x x x x x cos sin cos cos sin 2cos sin cos sin 122222-+=-+∴ =.61132911tan 11tan 22==-+x x ……………………14分 16．（1）证明:连结BD .在长方体1AC 中，对角线11//BD B D .又 E 、F 为棱AD 、AB 的中点，//EF BD ∴. 11//EF B D ∴. 又B 1D 1⊂≠ 平面11CB D ，EF ⊄平面11CB D ，∴ EF ∥平面CB 1D 1. …………6分（2） 在长方体1AC 中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，而B 1D 1⊂≠ 平面A 1B 1C 1D 1，∴ AA 1⊥B 1D 1.又在正方形A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1⊥B 1D 1，∴ B 1D 1⊥平面CAA 1C 1.又 B 1D 1⊂≠ 平面CB 1D 1，∴平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．…………12分（3）最小值为14分如图，将正方体六个面展开，从图中F 到F ，两点之间线段最短，而且依次经过棱BB 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1D 、DA 上的中点，所求的最小值为.17．解：（1）由已知：400000100000024002≥-+-x x ，即0140000024002≤+-x x ，解得14001000≤≤x ---------------------------------6分 又1300600≤≤x ，所以景区游客人数的范围是1000至1300人 -------------7分 （2）设游客的人均消费额为y ，则4002400)1000000(100000024002≤++-=-+-=xx x x x y ----------------------10分当且仅当1000=x 时等号成立． ----------------------------------------------------13分 答：当景区游客的人数为1000时，游客的人均消费最高，最高消费额为400元．14分18． （1）证明：设P （x ,y ）是圆22259()416c x c y -+=上的任意一点，FF12||||PF PF==3 ∴12||||PF PF =3 -------------------------------5分 （2）解：在△F 1QF 2中，F 1F 2=2c ，Q 在圆上，设|QF 2|=x ，则|QF 1|=3x ，椭圆半长轴长为2x ，4c 2=x 2＋9x 2－6x 2×3，5c 2=8x 2e 2=22()25c x =，e．-----------11分（3）由（2）知，x，即|QF 2，则|QF 122121||||4QO QF QF =+22212121222221||(||||2||||cos )41455153(2)488853416QO QF QF QF QF F QF c c c c =++∠=++⋅⋅= 由于|OQ ，∴c =2，进一步由e =c a得到a 2=10，b 2=6所求椭圆方程是221106x y+=． ------------16分19．解：（1）由已知，当2≥n 时，)2(6-+-=n a a n ，即)12(6+-=a n a n ．62)2)(1())(1(21⋅--+--+=+++=n n a n a a a a S n n62)9(32+++-=a n a n ．……………………………………………5分 （2）解法一：由已知，当2≥n 时，{}n a 是等差数列，公差为6，数列递增．若6S 是n S 的最小值，则⎩⎨⎧≥≤0076a a ，即⎩⎨⎧≥-≤-030024a a ，得3024≤≤a ．若7S 是n S 的最小值，则⎩⎨⎧≥≤0087a a ，即⎩⎨⎧≥-≤-036030a a ，得3630≤≤a ．∴ 当6S 与7S 两项中至少有一项是n S 的最小值时，a 的取值范围是]36,24[． (11)分（2）解法二：由（1）， 当2≥n 时，62)9(32+++-=a n a n S n ，且a S =1也满足 此式，∵ 在6S 与7S 两项中至少有一项是n S 的最小值，∴ 5.7695.5≤+≤a ， 解得3624≤≤a ，从而a 的取值范围是]36,24[． （3）由（2）知24{∈a ，25，26， (36)若6S 是n S 的最小值，则5.6695.5≤+≤a ，即30,,26,25,24 =a 若7S 是n S 的最小值，5.7695.6≤+≤a ，即36,,32,31,30 =a∴ 13721==p p ．……………………………………………………………………16分20.解：（1）设[,0)x e ∈-，则(0,]x e -∈，所以()ln()f x ax x -=-+-.又因为()f x 是定义在[,0)(0,]e e -上的奇函数，所以()()ln()f x f x ax x =--=-- .故函数()f x 的解析式为ln(),[,0)()ln ,(0,]ax x x e f x ax x x e --∈-⎧=⎨+∈⎩. …………………4分（2）证明：当[,0)x e ∈-且1a =-时，l n ()()l n (),()x f x x x g x x-=---=-，设l n ()1()2x h x x -=+-.因为11()1x f x x x+'=--=-，所以当1e x -≤≤-时，()0f x '<，此时()f x 单调递减；当10x -<<时，()0f x '>，此时()f x 单调递增，所以min ()(1)10f x f =-=>………6分又因为2ln()1()x h x x --'=，所以当0e x -≤<时，()0h x '≤，此时()h x 单调递减，所以max min 1111()()1()222h x h e f x e =-=+<+==.所以当[,0)x e ∈-时，()(),f x h x >即1()()2f xg x >+ .……………………10分（3）解：假设存在负数a ，使得当[,0)x e ∈-时，()ln()f x ax x =--有最小值是3，则11()ax f x a x x -'=-=. ①当10a e -≤<，由于[,0)x e ∈-，则1()0f x a x '=-≥，故函数()ln()f x ax x =-- 是[,0)e -上的增函数．所以min ()()13f x f e ae =-=--=，解得41a e e=-<-（舍去）.……………………12分②当1a e <-时，则当1e x a -≤<时，1()0f x a x'=-<，此时函数()ln()f x ax x =--是减函数；当10x a <<时，1()0f x a x'=->，此时函数()ln()f x ax x =--是增函数． 所以min 11()()1ln()3f x f a a==--=，解得2a e =-满足题意。