最全高考复习数列专题及练习答案详解

高考复习数列专题： 数 列(参考答案附后)

第一节 数列的概念与数列的简单表示

一、选择题

1．已知数列{}a n 对任意的p ，q ∈N *

满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－

6，那么a 10＝( )

A ．－165

B ．－33

C ．－30

D ．－21 2．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1

n

)，则a n ＝( )

A ．2＋ln n

B ．2＋(n －1)ln n

C ．2＋n ln n

D ．1＋n ＋ln n

3．若数列{a n }的前n 项积为n 2

，那么当n ≥2时，{a n }的通项公式为( )

A ．a n ＝2n －1

B ．a n ＝n 2

C ．a n ＝

n ＋12

n 2

D ．a n ＝

n 2n －1

2

4．在数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2＋a n ，a 1＝2，a 2＝5，则a 6的值是( ) A ．－3 B ．－11 C ．－5 D ．19

5．已知数列{a n }中，a n ＝n －79n －80

(n ∈N *)，则在数列{a n }的前50

项中最小项和最大项分别是( )

A ．a 1，a 50

B ．a 1，a 8

C ．a 8，a 9

D ．a 9，

a 50

二、填空题

6．若数列{}a n 的前n 项和S n ＝n 2

－10n (n ＝1,2,3，…)，则此数

列的通项公式为________；数列{}na n 中数值最小的项是第__________项．

7．数列35，12，511，37，7

17，…的一个通项公式是

___________________________．

8．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝__________. 三、解答题

9．如果数列{}a n 的前n 项和为S n ＝3

2a n －3，求这个数列的通项

公式．

10．已知{a n }是正数组成的数列，a 1＝1，且点(a n ，a n ＋1)(n ∈N

＋

)在函数y ＝x 2

＋1的图象上．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若列数{b n }满足b 1＝1，b n ＋1＝b n ＋2a n ，求证：b n ·b n ＋2＜b 2

n ＋1.

参考答案

1．解析：由已知a 4＝a 2＋a 2＝－12，a 8＝a 4＋a 4＝－24，a 10＝a 8＋a 2＝－30.答案：C

2．解析：a 2＝a 1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋11，a 3＝a 2＋ln ⎝

⎛⎭⎪⎪⎫1＋12，…，a n ＝a n －1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋1n －1⇒a n ＝a 1＋ln ⎣⎢⎢⎡⎦

⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫21⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43…⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n n －1＝2＋ln n . 答案：A

3．解析：由a 1·a 2·a 3…a n ＝n 2

得，当n ≥2时，a 1·a 2·a 3…a n －1＝(n －1)2

，两式相除得a n ＝n 2n －1

2

.

答案：D

4．解析：由a n ＋1＝a n ＋2＋a n ⇒a n ＋2＝a n ＋1－a n ，

∴a 3＝a 2－a 1＝3，a 4＝a 3－a 2＝－2，a 5＝a 4－a 3＝－5，

a 6＝a 5－a 4＝－3.

答案：A

5．解析：a n ＝n －79n －80＝1＋80－79

n －80

.

当n ＝8,9时，|n －80|最小．故选择C. 答案：C

6．解析：数列{}a n 的前n 项和S n ＝n 2

－10n (n ＝1,2,3，…)，数

列为等差数列，数列的通项公式为a n ＝S n －S n －1＝2n －11，数列

{}na n 的通项公式为na n ＝2n 2

－11n ，其中数值最小的项应是最靠

近对称轴n ＝11

4的项，即n ＝3，第3项是数列{}na n 中数值最小

的项．

答案：a n ＝2n －11 3

7．a n ＝n ＋2

3n ＋2

8．解析：∵a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，

∴a n ＝a n －1＋(n －1)＋1，a n －1＝a n －2＋(n －2)＋1，

a n －2＝a n －3＋(n －3)＋1，…，a 3＝a 2＋2＋1， a 2＝a 1＋1＋1，a 1＝2＝1＋1.

将以上各式相加得：a n ＝[(n －1)＋(n －2)＋(n －3)＋…＋2＋1]＋n ＋1 ＝n －1[n －1＋1]

2＋n ＋1＝

n －1n

2

＋n ＋1

＝

n n ＋1

2

＋1；

答案：

n n ＋1

2＋1

9．解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝3

2a 1－3，∴a 1＝6.

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32a n －3－3

2

a n －1＋3.

∴a n

a n －1

＝3.依定义知数列{}a n 是以3为公比，6为首项的等比数列，∴a n ＝6×3n －1

＝2×3n

(n ∈N ＋)．

10．解析：法一：(1)由已知得a n ＋1＝a n ＋1，即a n ＋1－a n ＝1， 又a 1＝1，

所以数列{a n }是以1为首项，公差为1的等差数列． 故a n ＝1＋(n －1)×1＝n .

(2)证明：由(1)知：a n ＝n 从而b n ＋1－b n ＝2n

.

b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1

＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝1－2n

1－2＝2n

－1.

因为b n ·b n ＋2－b 2

n ＋1＝(2n －1)(2n ＋2

－1)－(2

n ＋1

－1)2

＝(2

2n ＋2

－2

n ＋2

－2n ＋1)－(2

2n ＋2

－2－2n ＋1

－1)

＝－5·2n

＋4·2n

＝－2n

＜0， 所以b n ·b n ＋2＜b 2

n ＋1. 法二：(1)同法一． (2)证明：因为b 2＝1，

b n ·b n ＋2－b 2n ＋1＝(b n ＋1－2n )(b n ＋1＋2

n ＋1)－b 2

n ＋1 ＝2

n ＋1

·b n －1－2n ·b n ＋1－2n ·2n ＋1

＝2n

(b n ＋1－2

n ＋1

)