2008中国西部数学奥林匹克
2008中国数学奥林匹克解答
2008中国数学奥林匹克解答第一天1. 设锐角 △ABC 的三边长互不相等. O 为其外心, 点A '在线段AO 的延长线上, 使得 BA A CA A ''∠=∠. 过点A '分别作1A A AC '⊥, 2A A AB '⊥, 垂足分别为1A , 2A . 作A AH BC ⊥, 垂足为A H . 记△12A H A A 的外接圆半径为A R , 类似地可得B R , C R . 求证:1112A B C R R R R++=, 其中R 为△ABC 的外接圆半径.（熊斌提供）证明 首先, 易知,,,A B O C '四点共圆.事实上，作△BOC 的外接圆，设它与AO 相交于点P 不同于A '，则BPA BCO CBO CPA ∠=∠=∠=∠，于是，△PA C '≅△PA B '，可得A B A C ''=，故AB AC =，矛盾。
所以01802BCA BOA C ''∠=∠=-∠, 1A CA C '∠=∠.22cos sin A H A AA A AA C AC AA '==∠=∠', 22A A AH A ACB π'∠=∠=-∠. 所以△2A A AH ∽△A AC '. 同理, △1A A H A ∽△A BA '. 所以21,A A A H A ACA A H A ABA ''∠=∠∠=∠, 则12212A A A A H A A H A A H A π∠=-∠-∠2ACA ABA π''=-∠-∠22A A A ππ⎛⎫=∠+-∠=-∠ ⎪⎝⎭.所以,1212122sin 2sin AA RR R A A A R A A A H A ∠==∠2sin 2sin R A RAA A AA ∠==''∠.作AA ''⊥A C '，垂足为A ''，因为1ACA A CA C '''∠=∠=∠，所以A AA AH ''=，于是()02sin cos cos sin 90ABC A A S AH AH AA AA AA C A a AA '''===='∠∠∠-∠,故()1cos cos 11cot cot sin sin A ABC a A A B C R S R B C R∠∠===-∠∠∠∠, 同理,()111cot cot B C A R R =-∠∠, ()111cot cot C A B R R=-∠∠, 注意到 cot cot cot cot cot cot 2A B B C C A ∠∠+∠∠+∠∠=,所以1112A B C R R R R++=. 2. 给定整数3n ≥. 证明: 集合{}21,2,3,,X n n =-能写成两个不相交的非空子集的并, 使得每一个子集均不包含n 个元素1212,,,,n n a a a a a a <<<, 满足112k k k a a a -++≤, 2,,1k n =-.（冷岗松提供）证明 定义{}{}22221,,,1,,k k S k k k T k k k =-+=++, 1,2,,1k n =-.令11n k k S S -==, 11n k k T T -==. 下面证明,S T 即为满足题目要求的两个子集.首先, S T =∅, 且S T X =.其次, 如果S 中存在n 个元素1212,,,,,n n a a a a a a <<< 满足112k k k a a a -++≤, 2,,1k n =-.则11,2,, 1.k k k k a a a a k n -+-≤-=- (*)不妨设1i a S ∈. 由于1n S n -<, 故1i n <-. 12,,,n a a a 这n 个数中至少有i n S n i -=-个在11i n S S +-中. 根据抽屉原理, 必有某个()j S i j n <<中含有其中至少两个数, 设最小的一个为k a , 则1,k k j a a S +∈, 而111k j a S S --∈. 于是111k k j a a S j +-≤-=-, 111k k j a a T j ---≥+=.所以11k k k k a a a a +--<-, 与(*)矛盾.故S 中不存在n 个元素满足题中假设.同理, T 中亦不存在这样的n 个元素. 这表明,S T 即为满足题中要求的两个子集.3. 给定正整数n , 及实数1212,,n n x x x y y y ≤≤≤≥≥≥ 满足11nni ii i ix iy===∑∑.证明: 对任意实数α, 有[][]11n niii i x i y i αα==≥∑∑.这里, []β表示不超过实数β的最大整数.（朱华伟提供）证明1 我们先证明一个引理, 对任意实数x 和正整数n , 有[][]111.2n i n i n αα-=-≤∑ 引理证明 只需要将[][][]()i n i n ααα+-≤对1,2,,1i n =-求和即得.回到原题, 我们采用归纳法对n 进行归纳, 当1n =时显然正确.假设n k =时原命题成立, 考虑1n k =+. 令1122,i i k i i k a x x b y y k k ++=+=+, 其中1,2,,.i k = 显然我们有12,k a a a ≤≤≤ 12k b b b ≥≥≥, 并且通过计算得知11kkiii i ia ib===∑∑, 由归纳假设知[][]11kkiii i a i b i αα==≥∑∑.又11k k x y ++≥, 否则若11k k x y ++<, 则121121k k x x x y y y ++≤≤≤<≤≤≤,1111k k iii i ix iy++===∑∑, 矛盾.从而[][]111k ki i i i x i a i αα+==-∑∑()[]1121k k i x k i k αα+=⎧⎫=+-⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭∑ ()[][][]1111121,k k i k ki i i i y k i k y i b i αααα+=+==⎧⎫≥+-⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭=-∑∑∑ 由此可得[][]1111k k i i i i x i y i αα++==≥∑∑. 由归纳法知原命题对任意正整数n 均成立.证明2 记i i i z x y =-, 则120n z z z ≤≤≤≤且10ni i iz ==∑, 只需要证明[]10ni i z i α=≥∑. (1)令112211,,,n n n z z z z z -∆=∆=-∆=-, 则()11ii j j z i n ==∆≤≤∑, 所以11110nninni j j i i j j i jiz i i =======∆=∆∑∑∑∑∑,从而 121n nnj j i ji ii ===∆=∆∑∑∑. (2)于是[][][]1111nninn ijji i j j i jz i i i ααα======∆=∆∑∑∑∑∑[]221nnn nn j j j i j j i ji i ii α=====⎛⎫=∆-∆ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑ [][]211nnnnnnj j i j i ji ji i i i i i i αα======⎛⎫=∆⋅- ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑, 故(1)转化为证明对任意的2j n ≤≤,[][]11n n n ni ji ji i i i i i αα====≥∑∑∑∑. (3)而[][][][]1111111111(3)j j j j nn n n i ji ji i i i i i i i i i i i i i αααα----========⇔≥⇔≥∑∑∑∑∑∑∑∑. 故只需要证明对任意的1k ≥, 有 [][]111111k k k ki i i i i i i i αα++====≥∑∑∑∑,而上述不等式等价于[][]()[]()()11(1)2110kki i k ki k i k i ααααα==+⋅≥⇔+--+-≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑∑.注意到[][][]x y x y +≥+对任意实数,x y 成立, 上述不等式显然成立. 从而(3)得证.第二天4. 设A 是正整数集的无限子集, 1n >是给定的整数. 已知: 对任意一个不整除n 的素数p , 集合A 中均有无穷多个元素不被p 整除. （余红兵提供）证明: 对任意整数1m >, (),1m n =, 集合A 中均存在有限个不同元素, 其和S 满足1S ≡(mod m ), 且0S ≡ (mod n ).证明1 设p m α, 则集合A 中有一个无穷子集1A , 其中的元素都不被p 整除. 由抽屉原理知, 集合1A 有一个无穷子集2A , 其中的元素都a ≡(mod mn ), a 是一个不被p 整除的数.因(),1m n =, 故,1mn p p αα⎛⎫= ⎪⎝⎭. 由中国剩余定理, 同余方程组1(mod )0(mod )x a p mn x p αα-⎧≡⎪⎨≡⎪⎩(1)有无穷多个整数解. 任取其中一个正整数解x , 并记p B 是2A 中前x 项的集合, 则p B 中的元素之和(mod )p S ax mn ≡, 再由(1)可知1(mod )p S ax p α≡≡, 0(mod)p mnS pα≡. 设11k k m p p αα=, 并设对每个(11)i p i k ≤≤-已选出了A 的有限子集i B , 其中11\i i B A B B -⊂⋃⋃, 使得i B 中的元素和i p S 满足1(mod )i i p i S p α≡, 0(mod)i ip i mnS p α≡. (2) 考虑集合1ki i B B ==, 则B 的元素和1ki i S S ==∑. 根据(2), 我们有1(mod )i i S p α≡,(1i k ≤≤), 且0(mod )S n ≡.所以B 即满足题目要求.证明2 考虑A 中的数除以mn 的余数, 设出现无穷多次的余数依次为12,,,k ααα.首先证明()12,,,,1k m ααα=. (1)反证法. 反设有某个素数()12,,,,k p m ααα, 则由(),1m n =知p 不整除n ;又根据12,,,k ααα的定义, A 中只有有限个数不是p 的倍数, 这与题设矛盾.于是(1)获证. 从而存在正整数12,,,,k x x x y , 使得11221k k x x x ym ααα+++-=. 再取合适的正整数r 使得1(mod )rn m ≡. 则()()()1122k k rnx rnx rnx rn rmny ααα+++=+.于是从A 中依次取出i rnx 个模mn 的余数为i α的数()1,2,,i k =即满足题目要求.5. 求具有如下性质的最小正整数n : 将正n 边形的每一个顶点任意染上红, 黄, 蓝三种颜色之一, 那么这n 个顶点中一定存在四个同色点, 它们是一个等腰梯形的顶点.（冷岗松提供）解 所求n 的最小值为17. 首先证明17n =时, 结论成立.反证法. 反设存在一种将正17边形的顶点三染色的方法, 使得不存在4个同色顶点是某个等腰梯形的顶点.由于171163-⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦, 故必存在某6个顶点染同一种颜色, 不妨设为黄色. 将这6个点两两连线, 可以得到2615C =条线段. 由于这些线段的长度只有1782⎡⎤=⎢⎥⎣⎦种可能, 于是必出现如下的两种情况之一:(1) 有某3条线段长度相同.注意到3 17, 不可能出现这3条线段两两有公共顶点的情况. 所以存在两条线段, 顶点互不相同. 这两条线段的4个顶点即满足题目要求, 矛盾.(2) 有7对长度相等的线段.由假设, 每对长度相等的线段必有公共的黄色顶点, 否则能找到满足题目要求的4个黄色顶点. 再根据抽屉原理, 必有两对线段的公共顶点是同一个黄色点. 这4条线段的另4个顶点必然是某个等腰梯形的顶点, 矛盾.所以, 17n =时, 结论成立.再对16n ≤构造出不满足题目要求的染色方法. 用12,,,n A A A 表示正n 边形的顶点(按顺时针方向), 123,,M M M 分别表示三种颜色的顶点集.当16n =时, 令{}158131416,,,,M A A A A A =,{}23671115,,,,M A A A A A =,{}312491012,,,,,M A A A A A A =. 对于1M , 14A 到另4个顶点的距离互不相同, 而另4个点刚好是一个矩形的顶点. 类似于1M , 可验证2M 中不存在4个顶点是某个等腰梯形的顶点. 对于3M , 其中6个顶点刚好是3条直径的顶点, 所以任意4个顶点要么是某个矩形的4个顶点, 要么是某个不等边4边形的4个顶点.当15n =时,令{}112358,,,,M A A A A A =,{}269131415,,,,M A A A A A =,{}347101112,,,,M A A A A A =, 每个i M 中均无4点是等腰梯形的顶点.当14n =时, 令{}11381014,,,,M A A A A A =, {}24571112,,,,M A A A A A =,{}326913,,,M A A A A =, 每个i M 中均无4点是等腰梯形的顶点.当13n =时, 令{}156710,,,M A A A A =,{}2181112,,,M A A A A =,{}3234913,,,,M A A A A A =, 每个i M 中均无4点是等腰梯形的顶点.在上述情形中去掉顶点13A , 染色方式不变, 即得到12n =的染色方法; 然后再去掉顶点12A , 即得到11n =的染色方法; 继续去掉顶点11A , 得到10n =的染色方法.当9n ≤时, 可以使每种颜色的顶点个数小于4, 从而无4个同色顶点是某个等腰梯形的顶点.上面构造的例子表明16n ≤不具备题目要求的性质. 总上所述, 所求的n 的最小值为17.6. 试确定所有同时满足223mod )n n n q p ++≡（, 223(mod )n n n p q ++≡的三元数组(,,)p q n , 其中,p q 为奇素数, n 为大于1的整数.（陈永高提供）解 易见()3,3,(2,3,)n n =均为满足要求的数组. 假设(),,p q n 为其它满足要求的一数组, 则,3,3p q p q ≠≠≠. 不妨设5q p >≥.如果2n =, 则2443q p -, 即22222(3)(3)q p p -+. 由于q 不同时整除223p -和223p +, 故2223q p -或2223q p +. 但22203p q <-<,22221(3)2p p q +<<, 矛盾. 因此3n ≥. 由22223,3n n n n n n p q q p ++++--知2222223,3n n n n n n n n p p q q p q +++++++-+-. 又p q <, ,p q 为素数, 故2223n n n n n p q p q ++++-. (1)因此得222232n n n n n n p q p q q ++++≤+-<, 从而22n p q <.由223n n n q p++-及3p >知2223n n n n q pp+++≤-<, 从而21nq p+<, 结合22np q <有44232nnnp pp++<<. 因此43n n<+, 故3n =. 这样 3553553,3p q q p --.且由555321113-=⨯⨯易知5p >. 由3553p q -知553p q -. 由费马小定理知113p p p q ---, 因此(5,1)(5,1)3p p p q ---.如果()5,11p -=, 则3p q -, 由5543223443333353(mod )3q q q q q p q -=+⋅+⋅+⋅+≡⨯- 以及5p ≥知p 5533q q --. 因此33p q -. 由3553q p -知()5535553333q p p pq ≤-<=<,矛盾.所以()5,11p -≠, 即51p -, 类似可得51q -. 由q 3p -(因7q p >≥)及3553q p -知55333p qp --, 从而 553432234333333p q p p p p p -≤=+⋅+⋅+⋅+-.由51q-知11p-及51q≥. 因此p≥, 312343433331q p p p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪≤++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭44111381p p p<⋅≤-. 从而1344811p q ⎛⎫> ⎪⎝⎭. 因此3555224133334311111831p q p q p q q p q +-⎛⎫<+<+< ⎪⎝⎭,这与(1), 即335553p q p q +-矛盾.综上, ()3,3,(2,3,)n n =即为所有满足要求条件的三元数组.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
2007年中国西部数学奥林匹克试题及答案
2007年中国西部数学奥林匹克第一天 11月10日 上午8：00－12：00每题15分一、已知{}1,2,3,4,5,6,7,8T =，对于，定义为A 中所有元素之和，问：T 有多少个非空子集A ，使得为3的倍数，但不是5的倍数？,A T A ⊆≠∅()S A ()S A 二、如图，⊙与⊙相交于点C ，D ，过点D 的一条直线分别与⊙,⊙相交于点A ，B ，点P 在⊙的弧AD 上，PD 与线段AC 的延长线交于点M ，点Q 在⊙的弧BD 上，QD 与线段BC 的延长线交于点N ．O 是△ABC 的外心．求证：的充要条件为P ，Q ，M ，N 四点共圆．1O 2O 1O 2O 1O 2O OD MN ⊥三、设实数a ，b ，c 满足3a b c ++=．求证：2221115411541154114a ab bc c ++−+−+−+1≤．四、设O 是△ABC 内部一点．证明：存在正整数p ，q ，r ，使得12007p OA q OB r OC ⋅+⋅+⋅<uuu r uuu r uuu r ．M广西 南宁第二天 11月11日 上午8：00－12：00每题15分五、是否存在三边长都为整数的三角形，满足以下条件：最短边长为2007，且最大的角等于最小角的两倍？六、求所有的正整数n ，使得存在非零整数12,,,n x x x y ,L 2,n ，满足⎩⎨⎧=++=++.,022211ny x x x x n n L L七、设P 是锐角三角形ABC 内一点，AP ，BP ，CP 分别交边BC ，CA ，AB 于点D ，E ，F ，已知△DEF ∽△ABC ，求证：P 是△ABC 的重心．八、将n 个白子与n 个黑子任意地放在一个圆周上．从某个白子起，按顺时针方向依次将白子标以1,．再从某个黑子起，按逆时针方向依次将黑子标以1,. 证明：存在连续个棋子（不计黑白）， 它们的标号所成的集合为{,L 2,,n L n }1,2,,n L ．解 答一、已知{}1,2,3,4,5,6,7,8T =，对于，定义为A 中所有元素之和，问：T 有多少个非空子集A ，使得为3的倍数，但不是5的倍数？,A T A ⊆≠∅()S A ()S A 解 对于空集∅，定义.令()0S ∅=012{3,6},{1,4,7},{2,5,8}T T T ===.对于，令，则A T ⊆001I I 122,,A A T A A T A A T ===I 01212()()()()(mod 3)S A S A S A S A A A =++≡−， 因此，3()S A 当且仅当12(mod3)A A ≡.有以下几种情况：1111112222220,0,3,3,1,2,0,3,0,3,1,2,A A A A A A A A A A A A ⎧=⎧=⎧=⎧=⎧=⎧=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎨⎨=====⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩⎩⎩= 从而满足3(的非空子集A 的个数为)S A 20003303311223333333333332()1C C C C C C C C C C C C +++++−＝87.若3(，)S A 5(，则)S A 15.()S A =由于S T ，故满足()363(，)S A 5(的S A 的可能值为15，30.而)S A ()15＝8＋7＝8＋6＋1＝8＋5＋2＝8＋4＋3＝8＋4＋2＋1＝7＋6＋2＝7＋5＋3＝7＋5＋2＋1＝7＋4＋3＋1＝6＋5＋4＝6＋5＋3+1＝6＋4＋3＋2＝5＋4＋3＋2＋1，36－30＝6＝5＋1＝4＋2＝3＋2＋1. 故满足3(，)S A 5(，)S A A ≠∅的A 的个数为17.所以，所求的A 的个数为87－17＝70.二、如图，⊙O 与⊙相交于点C ，D ，过点D 的一条直线分别与⊙O ,⊙O 相交于点A ，B ，点P 在⊙O 的弧AD 上，PD 与线段AC 的延长线交于点M ，点Q 在⊙O 的12O 1212弧BD 上，QD 与线段BC 的延长线交于点N ．O 是△ABC 的外心．求证：OD 的充要条件为P ，Q ，M ，N 四点共圆．MN ⊥证 设三角形ABC 的外接圆O 的半径为R ，从N 到圆O 的切线为NX ，则2222R NB NC R NX NO +⋅=+=， ①同理 . ②22R MA MC MO +⋅=因为A ，C ，D ，P 四点共圆，所以MP MD MA MC ⋅=⋅， ③因为Q ，D ，C ，B 四点共圆，所以NQ ND NB NC ⋅=⋅，④ 由①，②，③，④得MP MD NQ ND MO NO ⋅−⋅=−22)()(DP MD MD DQ ND ND +−+=,)(22DP MD DQ ND MD ND ⋅−⋅+−=所以， ODMN ⊥⇔2222MD ND MO NO −=−DP MD DQ ND ⋅=⋅⇔⇔P ,Q ,M ,N 四点共圆.三、设实数a ，b ，c 满足3a b c ++=．求证：2221115411541154114a a b b c c ++−+−+−+1≤．证 若a ，b ，c 都小于95，则可以证明211(3)541124a a a ≤−−+．（*） 事实上， （*）⇔2(3)(5411)24a a a −−+≥ ⇔ 32519239a a a 0−+−≤⇔2(1)(59)0a a −−≤ 95a ⇐<同理，对b ，c 也有类似的不等式，相加便得222111541154115411a a b b c c ++−+−+−+111(3)(3)(3)2424244a b c ≤−+−+−=1． 若a ，b ，c 中有一个不小于95，不妨设95a ≥，则 2454115(15a a a a 1−+=−+ 9945()112555≥⋅⋅−+=0， 故 211541120a a ≤−+． 由于 2222454115()4()111110555b b −+≥−⋅+=−>，所以21154111b b <0−+，同理，211541110c c <−+，所以 222111541154115411a a b b c c ++−+−+−+11120101041<++=． 因此，总有 2221115411541154114a a b b c c ++−+−+−+1≤，当且仅当时等号成立．1a b c ===四、设O 是△ABC 内部一点．证明：存在正整数p ，q ，r ，使得12007p OA q OB r OC ⋅+⋅+⋅<uuu r uuu r uuu r ． 证法一 先证一个引理：设α，β都是正实数，N 是任意一个大于max{βα1,1}的整数，则存在正整数1,2p p 和,使得,且q 21q N ≤≤1211,q p q p N N αβ−<−< 同时成立.引理的证明：考虑平面个点组成的集合T ={({i α}，{i β})|i =0,1,…, },这里[x ]表示不超过实数x 的最大整数,{x }=x -[x ].现在将正方形点集{(x ,y )|0≤x ,y <1}沿平行于坐标轴的直线分割为个小正方形(这里的每个正方形都不含右边和上边的两条边)，则T 中必有两点落在同一个小正方形内，即存在0≤j <i ≤N 21N +2N 2N 2,使得|{i α}-{j α}|<N 1，|{i β}-{j β}|<N 1.令q =i -j ,p 1=[i α]-[j α],p 2=[i β]-[j β],则1211,q p q p N N αβ−<−<． 如果p 1≤0,那么N1>|q α|≥α,与N 的选择矛盾，故p 1为正整数.同理p 2也是正整数.引理获证. 回到原题，由条件知存在正实数α，β使得0=++OC OB OA βα，利用引理的结论知对任意大于max{βα1,1}的正整数N ,存在正整数p 1,p 2和q ,使得 1211,q p q p N Nαβ−<−< 同时成立，于是，由=++q q q βα可得|)()(|||2121q p q p q p p βα−+−=++≤|)(||)(|21q p q p βα−+−<N 1(||||+). 取N 充分大即可知命题成立.=++γβ证法二 由条件可知存在正实数β,γ使得,于是对任意正整数k ,都有0=++OC k OB k OA k γβ,记m (k )=[k β],n (k )=[k γ],这里[x ]表示不超过实数x 的最大整数,{x }=x －[x ].利用β,γ都是正实数可知m (kT )与n (kT )都是关于正整数k 的严格递增数列，这里T 是某个大于max{γβ1,1}的正整数.因此， |}{}{||)()(|kT kT kT n kT m kT γβ−−=++ ≤||}{||}{OC kT OB kT γβ+≤||||OC OB +.这表明有无穷多个向量OC kT n OB kT m OA kT )()(++的终点落在一个以O 为圆心，||||OC OB +为半径的圆内，因此，其中必有两个向量的终点之间的距离小于20071，也就是说，这两个向量的差的模长小于20071.即存在正整数k 1<k 2,使得 |(T k n T k m T k )()(222++)－(T k n T k m T k )()(111++)|<20071.于是，令p =(k 2－k 1)T ,q =m (k 2T )－m (k 1T ),r = n (k 2T )－n (k 1T ),结合T 与m (kT ),n (kT )的单调性可知p ,q ,r 都是正整数. 命题获证.五、是否存在三边长都为整数的三角形，满足以下条件：最短边长为2007，且最大的角等于最小角的两倍？解 不存在这样的三角形，证明如下：不妨设∠A ≤∠B ≤∠C ,则∠C =2∠A ,且a =2007.过C 作∠ACB 的内角平分线CD ,则∠BCD =∠A , 结合∠B =∠B .可知△CDB ∽△ACB 。
这八大赛事数竞党必须了解
常有学生问：学竞赛有没有什么秘诀？当然有，秘诀就4个字，勤思多练。
这可不是灌鸡汤，至少在CMO之前，还远没有到需要拼智商或天赋的程度，学好每一个知识点，打牢基础，多刷题，常总结，想不获奖都很难呐。
此外，学竞赛闭门造车是行不通的，多和大佬切磋交流，多见识不同题型，非常非常重要，所以，今天要给大家介绍八大不可错过的赛事，那里高手云集，任思想激扬碰撞，那里好题无数，亦是高联前练兵的好机会。
下面进入正题，首先隆重推出今天要聊的八大赛事：1、中国女子数学奥林匹克2、中国西部数学奥林匹克3、中国东南地区数学奥林匹克4、北方希望之星数学邀请赛5、中国数学奥林匹克协作体夏令营6、中国数学奥林匹克希望联盟数学夏令营7、陈省身杯全国高中数学奥林匹克夏令营8、爱尖子数学能力测评如果你对以上赛事如数家珍，欢迎跳到文末，有历届试题可以下载哦（超级福利）；如果你是萌新，请仔细往下阅读，下面将逐一详细介绍每项赛事的时间、参赛对象、考试形式、奖项等。
（点击可查看大图）中国女子数学奥林匹克简称女奥（CGMO），这是一项专门为女生而设的数学竞赛，参赛对象是高一、高二女生（也有人称之为“妹赛”）。
自首届女奥在珠海举办，迄今已成功举办了16届，比赛时间一般在每年8月中旬。
由全国各省市、港澳台及部分国外代表队各组织一个代表队参赛，另外会邀请近3年承办过女奥的学校各派一个代表队参赛。
每支代表队最多由4名高中女学生和1名领队教师组成。
竞赛分两天，每天4道题，共8道题，每题15分，满分120分，考试时间均为8：00～12：00，试题难度介于全国高中数学联赛和中国数学奥林匹克之间，最终根据成绩评出团体总分第1名和个人金、银、铜牌。
其奖项对高校自主招生及清北学科营有一定参考意义，个人总分前12名的同学可直接进入中国数学奥林匹克（CMO）。
此外，和其他数学竞赛相比，女奥还别具一格地设有健美操团体比赛。
中国西部数学奥林匹克中国西部数学奥林匹克（CWMO），是由中国数学会奥林匹克委员会创办，主要面向中国中西部地区及亚洲地区高一、高二年级学生的数学探究活动。
2008年全国高中数学联赛及加试新疆赛区成绩
2008年乌鲁木齐地区高中数学竞赛情况通报一、全国第七届女子数学奥林匹克2008女子数学奥林匹克（第七届）于2008年8月13日至18日在广东省中山纪念中学举行。
国内各省会城市和部分计划单列市组队参加；同时还邀请美国、俄罗斯、菲律宾以及我国香港、澳门组队参加。
乌鲁木齐市代表队：领队：曾世威（乌市教研中心）王红（乌市一中）曹湘江（新疆实验中学）队员：李奕菲（乌市一中）黄自睿（乌市一中）王毅彬（新疆实验中学）杨炜（新疆实验中学）新疆生产建设兵团队:领队：孔彩霞（兵团教研室）徐波（兵团二中）队员：郭晔嘉孟夏李灵林晓（以上四位队员均为兵团二中学生）二、第八届中国西部数学奥林匹克第八届中国西部数学奥林匹克于2008年10月31日至11月4日在贵州省贵阳市贵州师大附中举行。
新疆队:领队：赵一军（乌市第八中学）李瑞瑜（新疆实验中学）队员：张皓晨（铜牌乌市八中）王飞翔（铜牌新疆实验中学）朱生龙（铜牌乌市高级中学）王明明（新疆实验中学）新疆生产建设兵团队:领队：封江勇（兵团二中）队员：宋少鹏（银牌）贠帆（铜牌）宋少栋艾平（以上四位队员均为兵团二中学生）三、2008年全国高中数学联赛及加试2008年全国高中数学联赛及加试于10月12日在兵团二中举行，乌鲁木齐赛区由兵团二中成功举办，在此致谢。
我市1786名高三、高二学生参赛，其中385位同学分获全疆一、二、三等及鼓励奖（见下表）。
获一等奖学生的指导教师获中国数学会颁发的优秀教练员证书；获二、三等奖学生的指导教师获新疆数学会颁发的优秀教练员证书（不累计计算，按最高荣誉证书颁发）。
获奖证书在2008年12月18日全市高三教师教研会上颁发。
一等奖（18名）二等奖（61名）三等奖（134名）鼓励奖（172名）乌鲁木齐市教研中心乌鲁木齐市数学学会2008年12月8日。
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肖忆南 黄崴 施发斌 黄立群 王琦 林巍伟 苏硕剑 朱尔恒 欧阳亚 东 林胜华 胡水海 李健豪 赖树波 代明昊 姜碧野 唐福宇 蒙澎权 林飞 钟远坤 黄锦武 黄锦文 罗穗骞 陈志宇 邓原 钟国昊 刘锴 王禹 莫思颖 朱健维 陈正梁 张嘉欣 李新野 黄俊德 黄炫圭 翁思帆 芮腾晖 刘树森 林泽群 郭晓旭 方展鹏 何思博
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高三 高二 高三 高二 高一 高二 高三 高一 高二 高二 高三 高二 高二 高三 高三 高三 高一 高一 高二 高三 高三 高三 高二 高一 高三 高二 高一 高二 高一 高二 高二 高二 高三 高二 高一 高三 高三 高三 高一 高三 高三
福建师大附中 福州一中 福清一中 福清一中 厦门双十中学 莆田第一中学 泉州七中 泉州七中 南安一中 龙岩市长汀一中 龙岩市长汀一中 龙岩一中 泉州第一中学 广东 73 名 华南师大附中 中山市中山纪念中学 中山市中山纪念中学 中山市中山纪念中学 佛山市南海区石门中学 佛山市南海区石门中学 佛山市南海区南海中学 佛山市南海区石门中学 华南师大附中 华南师大附中 广州市第二中学 广州六中 广州六中 广州六中 广东肇庆中学 广东肇庆中学 广东肇庆中学 广东肇庆中学 汕头金山中学 汕头一中 汕头金山中学 汕头金山中学 汕头金山中学 汕头一中 汕头金山中学 汕头市潮阳实验学校 中山市第一中学 中山市第一中学
2008年数学奥林匹克竞赛
2008年数学奥林匹克竞赛2008年数学奥林匹克竞赛是一场备受瞩目的全球性数学竞赛。
作为国际数学奥林匹克竞赛的一部分，该赛事吸引了来自世界各地的顶尖数学学生参与。
本文将详细介绍2008年数学奥林匹克竞赛的背景、赛制、题目类型和参赛情况。
背景介绍数学奥林匹克竞赛始于20世纪中期，旨在培养青少年对数学的兴趣和才能。
2008年数学奥林匹克竞赛是该赛事的一次重要里程碑。
该赛事旨在鼓励全球年轻学子在数学领域发挥自己的潜力，通过解决复杂的数学问题展示他们的才华。
赛制2008年数学奥林匹克竞赛共分为两个阶段：初赛和决赛。
初赛由各参赛国自行组织和举办，参赛学生需在指定的时间内完成一系列数学题目。
而决赛则由国际数学奥林匹克委员会组织，各国的获奖学生将被邀请参加。
题目类型2008年数学奥林匹克竞赛的题目类型多种多样，涵盖了数论、几何、代数、概率等各个数学领域。
这些题目往往具有一定的难度，要求参赛学生运用创造性的数学思维解决问题。
参赛学生需要在限定的时间内独立思考和解答题目，展示他们的数学思维能力和解决问题的能力。
参赛情况2008年数学奥林匹克竞赛吸引了来自全球各地的数学学生参与。
参赛学生来自不同的国家和地区，他们中的一些学生已经在数学领域展现出了非凡的才能。
在竞赛过程中，学生们互相学习和交流，共同进步。
此外，竞赛的结果也会影响各个国家和地区的数学教育，激励更多的学生对数学的兴趣和学习。
总结2008年数学奥林匹克竞赛是一场具有重要意义的全球性数学竞赛。
通过这场竞赛，年轻的数学学生们得到了锻炼和展示自己的机会。
他们在竞赛中解决了一系列复杂的数学问题，展示了他们的数学才能和创造力。
此外，这场竞赛也促进了全球数学教育的发展，为培养更多的数学人才做出了贡献。
数学奥林匹克竞赛的成功举办，为世界各国的数学教育提供了借鉴和启示，也为年轻学生的数学学习提供了动力。
2008年第五届中国东南地区数学奥林匹克试卷
第五届中国东南地区数学奥林匹克第一天(2008年7月27日 上午8：00－12：00) 福建 龙岩1. 已知集合{}1,2,3,,3S n =，n 是正整数，T 是S 的子集，满足：对任意的,,x y z T ∈ (其中x 、y 、z 可以相同) 都有x y z T ++∉，求所有这种集合T 的元素个数的最大值。
2. 设数列{}n a 满足：111,2(12),1,2,3,n n n a a a n n +==+⋅+=。
试求通项n a 的表达式。
3. 在△ABC 中，BC >AB ，BD 平分ABC ∠交AC 于D ，如图，CP 垂直BD ，垂足为P ，AQ 垂直BP ，Q 为垂足。
M 是AC 中点，E 是BC 中点。
若△PQM 的外接圆O 与AC 的另一个交点为H ，求证: O 、H 、E 、M 四点共圆。
4. 设正整数,2m n ≥，对于任一个n 元整数集{}12,,,n A a a a =，取每一对不同的数i j a a 、()j i >，作差j ia a -，把这2n C 个差按从小到大顺序排成一个数列，称这个数列为集合A 的“衍生数列”，记为A 。
衍生数列A 中能被m 整除的数的个数记为()A m 。
证明：对于任一正整数2m ≥，n 元整数集{}12,,,n A a a a =及集合{}1,2,,B n =所对应的“衍生数列”A 及B ，满足不等式()()A m B m ≥．第二天(2008年7月28日上午8：00－12：00) 福建 龙岩5. 求出最大的正实数λ，使得对于满足2221x y z ++=的任何实数x 、y 、z 成立不等式：2xy yz λ+≤。
6. 如图，ABC ∆的内切圆I 分别切BC 、AC 于点M 、N ，点E 、F 分别为边AB 、AC 的中点，D 是直线EF 与BI 的交点。
证明：M 、N 、D 三点共线。
CADA7. 杰克(Jack)船长与他的海盗们掠夺到6个珍宝箱123456,,,,,A A A A A A ，其中i A 内有金币i a 枚，i =1、2、3、4、5、6，诸i a 互不相等。
历届西部数学奥林匹克试题
目录2001年西部数学奥林匹克 (2)2002年西部数学奥林匹克 (4)2003年西部数学奥林匹克 (6)2004年西部数学奥林匹克 (7)2005年西部数学奥林匹克 (8)2006年西部数学奥林匹克 (10)2007年西部数学奥林匹克 (12)2008年西部数学奥林匹克 (14)2009年西部数学奥林匹克 (16)2010年西部数学奥林匹克 (18)2011年西部数学奥林匹克 (21)2012年西部数学奥林匹克 (23)2001年西部数学奥林匹克1.设数列{x n}满足x1=12，x n+1=x n+x n2n2.证明：x2001<1001.（李伟固供题）2.设ABCD是面积为2的长方形，P为边CD上的一点，Q为△P AB的内切圆与边AB的切点.乘积PP⋅PP的值随着长方形ABCD及点P 的变化而变化，当PP⋅PP取最小值时，（1）证明：PP≥2PB；（2）求PQ⋅PQ的值.（罗增儒供题）3.设n、m是具有不同奇偶性的正整数，且n>m.求所有的整数x，使得x2n−1x m−1是一个完全平方数.（潘曾彪供题）4.设x、y、z为正实数，且x+y+z≥xyz.求x2+y2+z2xyz的最小值.（冯志刚供题）5.求所有的实数x，使得[x3]=4x+3.这里[y]表示不超过实数y的最大整数.（杨文鹏供题）6.P为⊙O外一点，过P作⊙O的两条切线，切点分别为A、B.设Q为PO与AB的交点，过Q作⊙O的任意一条弦CD.证明：△PAB与△PCD有相同的内心. （刘康宁供题）7.求所有的实数x∈�0,π2�，使得(2−sss2x)sss�x+π4�=1，并证明你的结论.（李胜宏供题）8.我们称P1,P2,⋯,P n为集合A的一个n分划，如果（1）P1∪P2∪⋯∪P n=P；（2）P i∩P j≠Φ,1≤s<j≤s.求最小正整数m，使得对P={1,2,⋯,m}的任意一个14分划P1,P2,⋯,P14，一定存在某个集合P i(1≤s≤14)，在P i中有两个元素a、b满足b<a≤43b. （冷岗松供题）2002年西部数学奥林匹克1.求所有的正整数n，使得s4−4s3+22s2−36s+18是一个完全平方数.2.设O为锐角△ABC的外心，P为△AOB内部一点，P在△ABC的三边BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F.求证：以FE、FD为邻边的平行四边形位于△ABC内.3.考虑复平面上的正方形，它的4个顶点所对应的复数恰好是某个整系数一元四次方程x4+px3+qx2+rx+s=0的4个根.求这种正方形面积的最小值.4.设n为正整数，集合P1,P2,⋯,P n+1是集合{1,2,⋯,s}的n+1个非空子集.证明：存在{1,2,⋯,s+1}的两个不交的非空子集{s1,s2,⋯,s k}和{j1,j2,⋯,j m}，使得P i1∪P i2∪⋯∪P i k=P j1∪P j2∪⋯∪P j m.5.在给定的梯形ABCD中，AD∥BC，E是边AB上的动点，O1、O2分别是△AED、△BEC的外心.求证：O1O2的长为一定值.6.设s(s≥2)是给定的正整数，求所有整数组(a1,a2,⋯,a n)满足条件：（1）a1+a2+⋯+a n≥s2；（2）a12+a22++a n2≤s3+1.7.设α、β为方程x2−x−1=0的两个根，令a n=αn−βnα−β,s=1,2,⋯.（1）证明：对任意正整数n，有a n+2=a n+1+a n；（2）求所有正整数a、b，a<b，满足对任意正整数n，有b整除a n−2sa n.8.设S=(a1,a2,⋯,a n)是一个由0，1组成的满足下述条件的最长的数列：数列S中任意两个连续5项不同，即对任意1≤s<j≤s−4，a i,a i+1,a i+2,a i+3,a i+4与a j,a j+1,a j+2,a j+3,a j+4不相同.证明：数列S 最前面的4项与最后面的4项相同.1. 将1,2,3,4,5,6,7,8分别放在正方体的八个顶点上，使得每一个面上的任意三个数之和均不小于10.求每一个面上四个数之和的最小值.2. 设2n 个实数a 1,a 2,⋯,a 2n 满足条件∑(a i+1−a i )2=12n−1i=1.求(a n+1+a n+2+⋯+a 2n )−(a 1+a 2+⋯+a n )的最大值.3. 设n 为给定的正整数.求最小的正整数u n ，满足：对每一个正整数d ，任意u n 个连续的正奇数中能被d 整除的数的个数不少于奇数1,3,5,⋯,2s −1中能被d 整除的数的个数.4. 证明：若凸四边形ABCD 内任意一点P 到边AB 、BC 、CD 、DA 的距离之和为定值，则ABCD 是平行四边形.5. 已知数列{a n }满足：a 0=0，a n+1=ka n +�(k 2−1)a n 2+1,s =0,1,2,⋯,其中k 为给定的正整数.证明：数列{a n }的每一项都是整数，且2k |a 2n ,s =0,1,2,⋯. 6. 凸四边形ABCD 有内切圆，该内切圆切边AB 、BC 、CD 、DA 的切点分别为A 1、B 1、C 1、D 1，连结A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1，点E 、F 、G 、H 分别为A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1的中点.证明：四边形EFGH 为矩形的充分必要条件是A 、B 、C 、D 四点共圆.7. 设非负实数x 1、x 2、x 3、x 4、x 5满足∑11+x i =15i=1.求证：∑x i4+x i 25i=1≤1. 8. 1650个学生排成22行、75列.已知其中任意两列处于同一行的两个人中，性别相同的学生都不超过11对.证明：男生的人数不超过928.1.求所有的整数n，使得s4+6s3+11s2+3s+31是完全平方数.2.四边形ABCD为一凸四边形，I1、I2分别为△ABC、△DBC的内心，过点I1、I2的直线分别交AB、DC于点E、F，分别延长AB、DC，它们相交于点P，且PE=PF.求证：A、B、C、D四点共圆.3.求所有的实数k，使得不等式a3+b3+c3+d3+1≥k(a+b+c+d)对任意a、b、c、d∈[−1,+∞)都成立.4.设s∈N+，用d(s)表示n的所有正约数的个数，ϕ(s)表示1,2,⋯,s 中与n互质的数的个数.求所有的非负整数c，使得存在正整数n，满足d(s)+ϕ(s)=s+c，且对这样的每一个c，求出所有满足上式的正整数n.5.设数列{a n}满足a1=a2=1，且a n+2=1a n+1+a n,s=1,2,⋯.求a2004.6.将m×s棋盘（由m行n列方格构成，m≥3,s≥3）的所有小方格都染上红蓝两色之一.如果2个相邻（有公共变）的小方格异色，则称这2个小方格为1个“标准对”.设期盼中“标准对”的个数为S.试问：S是奇数还是偶数有哪些方格的颜色确定？什么情况下S为奇数？什么情况下S为偶数？说明理由.7.已知锐角△ABC的三边长不全相等，周长为l，P是其内部一动点，点P在边BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F.求证：2（PB+PD+ BB）=l的充分必要条件是：点P在△ABC的内心与外心的连线上.8.求证：对任意正实数a、b、c，都有1<a√a2+b2+b√b2+c2+c√c2+a2≤3√22.1. 已知α2005+β2005可表示成以α+β、αβ为变元的二元多项式.求这个多项式的系数之和.2. 如图1，过圆外一点P 作圆的两条切线P A 、PB ，A 、B 为切点，再过点P 作圆的一条割线分别与圆交于C 、D 两点，过切点B 作P A 的平行线分别交直线AC 、AD 于E 、F .求证：PB =PB .图13. 设S ={1,2,⋯,2005}.若S 中任意n 个两两互质的数组成的集合中都至少有一个质数，试求n 的最小值.4. 已知实数x 1,x 2,⋯,x n (s >2)满足|∑x i n i=1|>1，|x i |≤1(s =1,2,⋯,s ).求证：存在正整数k ，使得�∑x i k i=1−∑x i n i=k+1�≤1 5. 如图2，⊙O 1、⊙O 2交于A 、B 两点.过点O 1的直线DC 交⊙O 1于点D 且切⊙O 2于点C ，CA 且⊙O 1于点A ，⊙O 1的弦AE 与直线DC 垂直.过点A 作AF 垂直于DE ，F 为垂足.求证：BD 平分线段AF .图2P6.在等腰Rt△ABC中，BP=BP=1，P是△ABC边界上任意一点.求PP⋅PP⋅PB的最大值.7.设正实数a、b、c满足a+b+c=1.证明：10(a3+b3+c3)−9(a5+b5+c5)≥1.8.设n个新生汇总，任意3个人中有2个人互相认识，任意4个人中有2个人互不任何.试求n的最大值.2006年西部数学奥林匹克1. 设s (s ≥2)是给定的正整数，a 1,a 2,⋯,a n ∈(0,1).求∑�a i (1−a i+1)6n i=1的最大值，这里a n+1=a 1. 2. 求满足下述条件的最小正实数k ：对任意不小于k 的4个互不相同的实数a 、b 、c 、d ，都存在a 、b 、c 、d 的一个排列p 、q 、r 、s ，使得方程(x 2+px +q )(x 2+rx +s )=0有4个互不相同的实数根. 3. 如图1，在△ABC 中，∠PPB =60°，过点P 作△PBC 的外接圆⊙O 的切线，与CA 的延长线交于点A .点D 、E 分别在线段PA 和⊙O 上，使得∠DPB =90°，PD =PE .连结BE 与PC 相交于点F .已知AF 、BP 、CD 三线共点.（1） 求证：BF 是∠PPB 的角平分线；（2） 求tas ∠PBP 的值.图14. 设正整数a 不是完全平方数.求证：对每一个正整数n ，S n =�√a�+�√a�2+⋯+�√a�n的值都是无理数.这里{x }=x −[x ]，其中，[x ]表示不超过x 的最大整数.5. 设S =�s�s −1,s ,s +1都可以表示为两个正整数的平方和�.证明：若s ∈S ，则s 2∈S .C6. 如图2，AB 是⊙O 的直径，C 为AB 延长线上的一点，过点C 作⊙O 的割线，与⊙O 交于点D 、E ，OF 是△BOD 的外接圆⊙O 1的直径，连结CF 并延长交⊙O 1于点G .求证：O 、A 、E 、G 四点共圆.图27. 设k 是一个不小于3的正整数，θ是一个实数.证明：如果cms (k −1)θ和cms kθ都是有理数，那么，存在正整数s (s >k )，使得cms (s −1)θ和cms sθ都是有理数. 8. 给定正整数s (s ≥2)，求|X |的最小值，使得对集合X 的任意n 个二元子集P 1,P 2,⋯,P n ，都存在集合X 的一个子集Y ，满足：(1)|Y |=s ;(2) 对s =1,2,⋯,s ，都有|Y ∩P i |≤1.这里，|P |表示有限集合A 的元素个数.A2007年西部数学奥林匹克1. 已知T ={1,2,⋯,8}.对于P ⊆T ,P ≠Φ，定义S (P )为A 中所有元素之和.问：T 有多少个非空子集A ，使得S (P )是3的倍数，但不是5的倍数？2. 如图1，⊙O 1、⊙O 2交于点C 、D ，过D 的一条直线分别与⊙O 1、⊙O 2交于点A 、B ，点P 在⊙O 1的AD 弧上，PD 与线段AC 的延长线交于点M ，点Q 在⊙O 2的BD 弧上，QD 与线段BC 的延长线交于点N ，O 是△ABC 的外心.求证：OD ⊥MN 的充要条件为P 、Q 、M 、N 四点共圆.图13. 设实数a 、b 、c 满足a +b +c =3.求证：15a −4a+11+15b −4b+11+15c −4c+11≤14. 4. 设O 是△ABC 内部一点.证明：存在正整数p 、q 、r ，使得|pOP +qOP +rOB |<12007.5. 是否存在三边长都为整数的三角形，满足以下条件：最短边长为2007，且最大的角等于最小角的两倍？O6.求所有的正整数n，使得存在非零整数x1,x2,⋯,x n,y,满足�x1+x2+⋯+x n=0,x12+x22+⋯+x n2=sy2.7.设P是锐角△ABC内一点，AP、BP、CP分别与边BC、CA、AB 交于点D、E、F，已知△DBB∼△PPB.求证：P是△ABC的重心. 8.将n枚白子与n枚黑子任意地放在一个圆周上.从某枚白子起，按顺时针方向依次将白子标以1,2,⋯,s.在从某枚黑子起，按逆时针方向依次将黑子标以1,2,⋯,s.证明：存在连续n枚棋子（不计黑白），它们的标号组成的集合为{1,2,⋯,s}.2008年西部数学奥林匹克1.实数数列{a n}满足a0≠0,1,a1=1−a0，a n+1=1−a n(1−a n)(s=1,2,⋯).证明：对任意的正整数n，都有a0a1⋯a n�1a0+1a1+⋯+1a n�=1.2.如图1，在△ABC中，AB=AC，其内切圆⊙I分别切边BC、CA、AB于点D、E、F，P为弧EF（不含点D的弧）上一点.设线段BP交⊙I于另一点Q，直线EP、EQ分别交BC于点M、N.证明：(1)P、F、B、M四点共圆；(2)EE EE=BB BB.图13.设整数m(m≥2)，a1,a2,⋯,a m都是正整数.证明：存在无穷多个正整数n，使得数a1×1n+a2×2n+⋯+a m×m n都是合数.4.设整数m(m≥2)，a为正实数，b为非零实数，数列{x n}定义如下：x1=b,x n+1=ax n m+b(s=1,2,⋯).证明：(1)当b<0且m为偶数时，数列{x n}有界的充要条件是ab m−1≥−2；(2)当b<0且m为奇数，或b>0时，数列{x n}有界的充要条件是ab m−1≤(m−1)m−1m m.5.在一直线上相邻的距离都等于1的四个点上各有一只青蛙，允许任意一只青蛙以其余三只青蛙中的某一只为中心跳到其对称点上.证明：无论跳动多少次后，四只青蛙所在的点中相邻两点之间的距离不能都等于2008.6.设x、y、z∈(0,1)，满足�1−x yz+�1−y zx+�1−z xy=2.求xyz的最大值.7.设n为给定的正整数.求最大的正整数k，使得存在三个由非负整数组成的k元集P={x1,x2,⋯,x k}，P={y1,y2,⋯,y k}，B= {z1,z2,⋯,z k}满足对任意的j(1≤j≤k)，都有x j+y j+z j=s.8.设P为正n边形P1P2⋯P n内的任意一点，直线P i P(s=1,2,⋯s)交正n边形P1P2⋯P n的边界于另一点P i.证明：∑PP i n i=1≥∑PP i n i=1.2009年西部数学奥林匹克1.设M是一个由实数集R去掉有限个元素后得到的集合.证明：对任意正整数n，都存在n次多项式f(x)，使得f(x)的所有系数及n个实根都属于M.2.给定整数s≥3.求最小的正整数k，使得存在一个k元集合A和n 个两两不同的实数x1,x2,⋯,x n，满足x1+x2,x2+x3,⋯,x n−1+x n,x n+x1均属于A.3.设H为锐角△ABC的垂心，D为边BC的中点.过点H的直线分别交边AB、AC于点F、E，使得AE=AF，射线DH与△ABC的外接圆交于点P.求证：P、A、E、F四点共圆.4.求证：对任意给定的正整数k，总存在无穷多个正整数n，使得2n+3n−1,2n+3n−2,⋯,2n+3n−k均为合数.5.设数列{x n}满足x1∈{5,7}及当k≥1时，有x k+1∈{5x k,7x k}.试确定x2009的末两位数字的所有可能值.6.如图1，设D是锐角△ABC的边BC上一点，以线段BD为直径的圆分别交直线AB、AD于点X、P（异于点B、D），以线段CD为直径的元分别交直线AC、AD于点Y、Q（异于点C、D）.过点A作直线PX、QY的垂线，垂足分别为M、N.求证△PMN∼△PPB的充分必要条件是直线AD过△ABC的外心.图17. 有s (s >12)个人参加某次数学邀请赛，试卷由十五道填空题组成，每答对一题得1分，不答或答错得0分.分析每一种可能的得分情况发现：只要其中任意12个人得分之和不少于36分，则这n 个人中至少有3个人答对了至少三道同样的题.求n 的最小可能值.8. 实数a 1,a 2,⋯,a n (s ≥3)满足a 1+a 2+⋯+a n =0，且2a k ≤a k−1+a k+1(k =2,3,⋯,s −1).求最小的λ(s )，使得对所有的k ∈{1,2,⋯s }，都有|a k |≤λ(s )⋅max {|a 1|,|a n |}.B2010年西部数学奥林匹克1. 设m 、k 为给定的非负整数，p =22m +1为质数.求证： (1) 22m+1p k ≡1(mmd p k+1);(2) 满足同余方程2n ≡1(mmdp k+1) 的最小正整数n 为2m+1p k . （靳 平 供题）2. 如图1，已知AB 是⊙O 的直径，C 、D 是圆周上异于点A 、B 且在AB 同侧的两点，分别过点C 、D 作圆的切线，它们交于点E ，线段AD 与BC 的交点为F ，直线EF 与AB 交于点M .求证：E 、C 、M 、D 四点共圆.图1（刘诗雄 供题）3. 求所有的正整数n ，使得集合{1,2,⋯,s }有n 个两两不同的三元子集P 1,P 2,⋯,P n ，满足对任意的k (1≤s <j ≤s )，都有�P i ∩P j �≠1.（冯志刚 供题）4. 设非负实数a 1,a 2,⋯,a n 与b 1,b 2,⋯,b n 满足以下条件： （1） ∑a i +b i n i=1=1; （2） ∑s (a i −b i )n i=1=0; （3） ∑s 2(a i +b i )n i=1=10.求证：对任意的k(1≤k≤s)，都有max{a k,b k}≤1010+k2. （李胜宏供题）5.设k为大于1的整数，数列{a n}定义如下：a0=0,a1=1,a n+1=ka n+a n−1(s=1,2,⋯).求所以满足如下条件的k：存在非负整数l、m(l≠m)，及正整数p、q，使得a l+ka p=a m+ka q. （熊斌供题）6.如图2，在△ABC中，∠PBP=90°，以B为圆心、BC为半径作圆，点D在边AC上，直线DE切⊙B于点E，过点C垂直于AB的直线于直线BE交于点F，AF与DE交于点G，作AH∥BG于DE交于点H.求证GE=GH.图2（边红平供题）7.有s(s≥3)名选手参加乒乓球比赛，每两名选手之间恰比赛一场且没有平局.若选手A的手下败将不都是B的手下败将，则称A不亚于B.试求所有可能的n，使得存在一种比赛结果，其中每一名选手都不亚于其他任何一名选手.（李秋生供题）8.求所有的整数k，使得存在正整数a和b，满足b+1a+a+1b=k.（陈永高供题）2011年西部数学奥林匹克1. 已知0<x 、y <1.求xy (1−x−y )(x+y )(1−x )(1−y )的最大值.2. 设集合满足：M ⊆{1,2,⋯,2011}在M 的任意三个元素中都可以找到两个元素a 、b ，使得a |b 或b |a .求|M |的最大值（|M |表示集合M 的元素个数）.3. 给定整数s ≥2.(1) 证明：可以将集合{1,2,⋯,s }的左右子集适当地排列为P 1,P 2,⋯,P 2n ，使得P i 与P i+1(s =1,2,,2n ,且P 2n +1=P 1)的元素个数恰相差1.(2) 对于满足(1)中条件的子集P 1,P 2,⋯,P 2n ，求∑(−1)i S (P i )2n i=1的所以可能值，其中，S (P i )=∑x x∈A i ,S (∅)=0. 4. 如图1，AB 、CD 是⊙O 中长度不相等的两条弦，AB 与CD 交于点E ，⊙I 内切⊙O 于点F ，且分别与弦AB 、CD 切于点G 、H .过点O 的直线l 分别于AB 、CD 交于点P 、Q ，使得EP =EQ ，直线EF 于直线l 交于点M .证明：过点M 且与AB 平行的直线是⊙O 的切线.图15. 是否存在奇数s (s ≥3)及n 个互不相同的质数p 1,p 2,⋯,p n ，使得p i +p i+1(s =1,2,⋯,s ,p n+1=p 1)都是完全平方数？请证明你的结论.6.设a、b、c>0.证明：(a−b)2(c+a)(c+b)+(b−c)2(a+b)(a+c)+(c−a)2(b+c)(b+a)≥(a−b)2a+b+c.7.在△ABC中，PP>PB内切圆⊙I与边BC、CA、AB分别切于点D、E、F，M是边BC的中点，PH⊥PB于点H，∠PPB的平分线AI分别与直线DE、DF交于点K、L.证明：M、L、H、K四点共圆. 8.求所有的整数对(a,b)，使得对任意的正整数n都有s|(a n+b n+1).2012年西部数学奥林匹克1.求最小的正整数m，使得对任意大于3的质数p，都有：105|9p2−29p+m.2.证明：在正2s−1边形(s≥3)的顶点中，任意取出s个点，其中必有3个点，以它们为顶点的三角形为等腰三角形。
中国西部数学奥林匹克试题及其解答
所以 AD⊥MN。
交流知识 共享智慧
文武光华
J R
A
Q I
F
E
M
B
D
C
H
N
K
P
四、把n（n ≥ 2）枚硬币排成一行，如果存在正面朝上的硬币，那么可以从中选取一 枚，将以这枚硬币开头的从左到右奇数枚硬币（可以是一枚）同时翻面，（翻面是指将正 面朝上的硬币翻成正面朝下，将正面朝下的硬币翻成正面朝上），这称为一次操作，当所 有硬币正面朝下时，停止操作。若开始时全部硬币正面朝上，试问：是否存在一种方案，
证明：我们利用对应法则寻找递归关系。分两种情况讨论：
（1）对于一个“n + 2级好集合”A，若n + 2 ∉ A，则A也是一个“n + 1级好集合”； 反之，任何一个“n + 1级好集合”，都是一个不含元素n + 2的“n + 2级好集合”。这说 明不含元素n + 2的“n + 2级好集合”恰有a 个。
易知∠CMO = ∠AMO，∠MCO = 180° − ∠OCB = 180° − ∠OBC = ∠MAO，所以△ MCO≌△MAO，所以 O、D、M 三点共线。同理可知 O、E、N 三点共线。因为∠DMP = ∠DCP = 90°，∠ENP = ∠ECP = 90°，所以 C、D、M、P 四点共圆，C、E、N、P 四点共圆。 所以∠DPC = ∠DMC = ENB = ∠ENC = ∠EPC。而 PC⊥DE，所以 CD=CE。
目前中国的主要数学竞赛及主办方如下
目前中国的主要数学竞赛及主办方如下：“全国小学数学奥林匹克”（中国数学会普及工作委员会）全国小学“希望杯”数学邀请赛（中国科学技术协会普及部 , 中国优选法统筹法与经济数学研究会,华罗庚实验室 , 《数理天地》杂志社，《中青在线》网站）小学“我爱数学”夏令营－－“全国小学数学奥林匹克”的总决赛（中国数学会普及工作委员会）全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛－－小学（中国少年儿童新闻出版总社、中国优选法统筹法与经济数学研究会、中央电视台青少中心、华罗庚实验室、中华国际科学交流基金会等）“全国初中数学联赛”（中国数学会普及工作委员会）济南等地区已经取消竞赛“全国初中数学竞赛”（中国教育学会中学数学教学专业委员会）初中“我爱数学”夏令营－－“全国初中数学联赛”的总决赛（中国数学会普及工作委员会）全国初中“希望杯”数学邀请赛（中国科学技术协会普及部 , 中国优选法统筹法与经济数学研究会 , 华罗庚实验室 , 《数理天地》杂志社，《中青在线》网站）全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛－－初中（中国少年儿童新闻出版总社、中国优选法统筹法与经济数学研究会、中央电视台青少年中心、华罗庚实验室、中华国际科学交流基金会等）“五羊杯”初中数学竞赛（《中学数学研究》杂志社）“全国高中数学联赛”（中国数学会普及工作委员会）中国数学奥林匹克－－冬令营（中国数学会普及工作委员会、中国数学会奥林匹克委员会）中国女子数学奥林匹克（中国数学会奥林匹克委员会）中国西部数学奥林匹克（中国数学会奥林匹克委员会）中国东南地区数学奥林匹克（中国数学会奥林匹克委员会、闽浙赣数学奥林匹克协作体）北方数学奥林匹克邀请赛（中国数学会奥林匹克委员会）全国高中“希望杯”数学邀请赛（中国科学技术协会普及部 , 中国优选法统筹法与经济数学研究会 , 华罗庚实验室 , 《数理天地》杂志社，《中青在线》网站）。
中国西部数学奥林匹克试题及答案(广西南宁,11月10日、11日)
2007年中国西部数学奥林匹克（广西南宁，11月10日）第一天 11月10日 上午8：00－12：00每题15分一、已知{}1,2,3,4,5,6,7,8T =，对于,A T A ⊆≠∅，定义()S A 为A 中所有元素之和，问：T 有多少个非空子集A ，使得()S A 为3的倍数，但不是5的倍数？二、如图，⊙1O 与⊙2O 相交于点C ，D ，过点D 的一条直线分别与⊙1O ,⊙2O 相交于点A ，B ，点P 在⊙1O 的弧AD 上，PD 与线段AC 的延长线交于点M ，点Q 在⊙2O 的弧BD 上，QD 与线段BC 的延长线交于点N ．O 是△ABC 的外心．求证：OD MN ⊥的充要条件为P ，Q ，M ，N 四点共圆．三、设实数a ，b ，c 满足3a b c ++=．求证： 22211115411541154114a ab bc c ++≤-+-+-+． 四、设O 是△ABC 内部一点．证明：存在正整数p ，q ，r ，使得 12007p OA q OB r OC ⋅+⋅+⋅<u u u r u u u r u u u r ． 2007西部数学奥林匹克广西 南宁第二天 11月11日 上午8：00－12：00每题15分五、是否存在三边长都为整数的三角形，满足以下条件：最短边长为2007，且最大的角等于最小角的两倍？六、求所有的正整数n ，使得存在非零整数12,,,n x x x L y ,，满足七、设P 是锐角三角形ABC 内一点，AP ，BP ，CP 分别交边BC ，CA ，AB 于点D ，E ，F ，已知△DEF ∽△ABC ，求证：P 是△ABC 的重心．八、将n 个白子与n 个黑子任意地放在一个圆周上．从某个白子起，按顺时针方向依次将白子标以1,2,,n L ．再从某个黑子起，按逆时针方向依次将黑子标以1,2,,n L . 证明：存在连续n 个棋子（不计黑白）， 它们的标号所成的集合为{}1,2,,n L ．2007西部数学奥林匹克解 答一、已知{}1,2,3,4,5,6,7,8T =，对于,A T A ⊆≠∅，定义()S A 为A 中所有元素之和，问：T 有多少个非空子集A ，使得()S A 为3的倍数，但不是5的倍数？解 对于空集∅，定义()0S ∅=.令012{3,6},{1,4,7},{2,5,8}T T T ===.对于A T ⊆，令001122,,A A T A A T A A T ===I I I ，则01212()()()()(mod3)S A S A S A S A A A =++≡-， 因此，3()S A 当且仅当12(mod3)A A ≡.有以下几种情况： 从而满足3()S A 的非空子集A 的个数为20003303311223333333333332()1C C C C C C C C C C C C +++++-＝87. 若3()S A ，5()S A ，则15()S A .由于()36S T =，故满足3()S A ，5()S A 的()S A 的可能值为15，30.而15＝8＋7＝8＋6＋1＝8＋5＋2＝8＋4＋3＝8＋4＋2＋1＝7＋6＋2＝7＋5＋3＝7＋5＋2＋1＝7＋4＋3＋1＝6＋5＋4＝6＋5＋3+1＝6＋4＋3＋2＝5＋4＋3＋2＋1，36－30＝6＝5＋1＝4＋2＝3＋2＋1. 故满足3()S A ，5()S A ，A ≠∅的A 的个数为17.所以，所求的A 的个数为87－17＝70.二、如图，⊙1O 与⊙2O 相交于点C ，D ，过点D 的一条直线分别与⊙1O ,⊙2O 相交于点A ，B ，点P在⊙1O 的弧AD 上，PD 与线段AC的延长线交于点M ，点Q 在⊙2O 的弧BD 上，QD 与线段BC 的延长线交于点N ．O 是△ABC 的外心．求证：OD MN ⊥的充要条件为P ，Q ，M ，N 四点共圆．证 设三角形ABC 的外接圆O 的半径为R ，从N 到圆O 的切线为NX ，则2222R NB NC R NX NO +⋅=+=， ①同理 22R MA MC MO +⋅=. ②因为A ，C ，D ，P 四点共圆，所以MP MD MA MC ⋅=⋅， ③因为Q ，D ，C ，B 四点共圆，所以NQ ND NB NC ⋅=⋅， ④由①，②，③，④得)(22DP MD DQ ND MD ND ⋅-⋅+-=,所以， OD MN ⊥⇔2222MD ND MO NO -=-⇔P ,Q ,M ,N 四点共圆.三、设实数a ，b ，c 满足3a b c ++=．求证：22211115411541154114a ab bc c ++≤-+-+-+． 证 若a ，b ，c 都小于95，则可以证明 211(3)541124a a a ≤--+． （*） 事实上， （*）⇔ 2(3)(5411)24a a a --+≥同理，对b ，c 也有类似的不等式，相加便得1111(3)(3)(3)2424244a b c ≤-+-+-=． 若a ，b ，c 中有一个不小于95，不妨设95a ≥，则9945()1120555≥⋅⋅-+=， 故 211541120a a ≤-+． 由于 2222454115()4()111110555b b -+≥-⋅+=->，所以211541110b b <-+，同理，211541110c c <-+，所以 222111541154115411a a b b c c ++-+-+-+11112010104<++=． 因此，总有 22211115411541154114a ab bc c ++≤-+-+-+，当且仅当1a b c ===时等号成立．四、设O 是△ABC 内部一点．证明：存在正整数p ，q ，r ，使得12007p OA q OB r OC ⋅+⋅+⋅<u u u r u u u r u u u r ． 证法一 先证一个引理：设α，β都是正实数，N 是任意一个大于max{βα1,1}的整数，则存在正整数12,p p 和q ,使得21q N ≤≤,且同时成立.引理的证明：考虑平面21N +个点组成的集合T ={({i α}，{i β})|i =0,1,…,2N },这里[x ]表示不超过实数x 的最大整数,{x }=x -[x ].现在将正方形点集{(x ,y )|0≤x ,y <1}沿平行于坐标轴的直线分割为2N 个小正方形(这里的每个正方形都不含右边和上边的两条边)，则T 中必有两点落在同一个小正方形内，即存在0≤j <i ≤N 2,使得|{i α}-{j α}|<N 1，|{i β}-{j β}|<N1.令q =i -j ,p 1=[i α]-[j α],p 2=[i β]-[j β],则1211,q p q p N Nαβ-<-<． 如果p 1≤0,那么N 1>|q α|≥α,与N 的选择矛盾，故p 1为正整数.同理p 2也是正整数.引理获证.回到原题，由条件知存在正实数α，β使得=++βα，利用引理的结论知对任意大于max{βα1,1}的正整数N ,存在正整数p 1,p 2和q ,使得同时成立，于是，由=++q q q βα可得≤|)(||)(|21q p q p βα-+-<N 1(||||OB OA +). 取N 充分大即可知命题成立.证法二 由条件可知存在正实数β,γ使得=++γβ,于是对任意正整数k ,都有=++k k k γβ,记m (k )=[k β],n (k )=[k γ],这里[x ]表示不超过实数x 的最大整数,{x }=x －[x ].利用β,γ都是正实数可知m (kT )与n (kT )都是关于正整数k 的严格递增数列，这里T 是某个大于max{γβ1,1}的正整数.因此， ≤||}{||}{kT kT γβ+≤||||+.这表明有无穷多个向量kT n kT m kT )()(++的终点落在一个以O 为圆心，||||+为半径的圆内，因此，其中必有两个向量的终点之间的距离小于20071，也就是说，这两个向量的差的模长小于20071.即存在正整数k 1<k 2,使得 |(T k n T k m T k )()(222++)－(T k n T k m T k )()(111++)|<20071. 于是，令p =(k 2－k 1)T ,q =m (k 2T )－m (k 1T ),r = n (k 2T )－n (k 1T ),结合T 与m (kT ),n (kT )的单调性可知p ,q ,r 都是正整数. 命题获证.五、是否存在三边长都为整数的三角形，满足以下条件：最短边长为2007，且最大的角等于最小角的两倍？解 不存在这样的三角形，证明如下：不妨设∠A ≤∠B ≤∠C ,则∠C =2∠A ,且a =2007.过C 作∠ACB 的内角平分线CD ,则∠BCD =∠A , 结合∠B =∠B .可知△CDB ∽△ACB 。
2008年中国西部数学奥林匹克解答
2008年中国西部数学奥林匹克(2008年11月1日 8：00-12：00)贵州省贵阳市每题15分1． 实数数列}{n a 满足：1,00≠a ，011a a -=，)(11n n 1n a a a --=+，n=1，2，…． 证明：对任意正整数n ，都有 )111(n1010a a a a a a n +++ =1． 证明：由条件可知1-a n+1=a n (1-a n )=a n a n-1(1-a n-1)=…=a n …a 1(1-a 1)=a n …a 1a 0,即a n+1= 1-a 0a 1…a n ,n=1,2,…. 下面对n 归纳来证明当n=1时,命题显然成立.假设n ＝k 时,命题成立,对n=k+1的情形有 )1111(1k k 101k 10++++++a a a a a a a =k 2101k10k 210)111(a a a a a a a a a a a a k +++++ =k 2101a a a a a k ++=1. 故命题对n=k+1成立.所以,对任意正整数n,2． 在ABC ∆中，AC AB =，其 内切圆⊙I 切边AB CA BC ，， 于点F E D ，，，P 为弧EF (不含点D 的弧)上一点． 设线段BP 交⊙I 于另一点Q ，直线EQ EP ，分别交直线BC 于点N M ，．证明：(1) M B F P ，，，四点共圆； (2)BPBDEN EM =． 证明： (1) 连EF,由条件可知EF//BC,故∠ABC=∠AFE=∠AFP+∠PFE=∠PEF+∠PFE=180︒-∠FPE. 所以，P,F,B,M 四点共圆.(2) 利用正弦定理，EF//BC 及P,F,B,M 四点共圆可知EMN ENM EN EM ∠∠=sin sin =)sin(sin PFB FEN∠-∠π=PFB FPB ∠∠sin sin =BPBF . 结合BF=BD 即可知命题成立.3．设整数2≥m ，m 21,,a a a ，都是正整数．证明：存在无穷多个正整数n ，使得数n n n m a a a ⋅++⋅+⋅m 2121 都是合数．证明：取数a 1+2a 2+…+ma m 的质因子p,由Fermart 小定理可知对任意1≤k ≤m,都有k p ≡k(mod p),所以，对任意正整数n,都有a 1⋅np 1+a 2⋅np 2+…+a m ⋅np m ≡a 1+2a 2+…+ma m ≡0(mod p), 从而，数a 1⋅np 1+a 2⋅np 2+…+a m ⋅np m (n=1,2,…)都是合数.4．设整数2≥m ，a 为正实数，b 为非零实数，数列｝｛n x 定义如下：b x =1， ,2,1,1=+=+n b x a x mn n ．证明：(1) 当b <0且m 为偶数时，数列｝｛n x 有界的充要条件是1-m ab ≥-2； (2) 当b <0且m 为奇数，或b >0时，数列｝｛n x 有界的充要条件是1-m ab≤mm m m 1)1(--．证明：(1) 当b<0且m 为偶数时，如果ab m-1<-2，那么首先有ab m +b>-b>0，于是a(ab m +b)m +b>ab m +b>0,即x 3>x 2>0.利用ax m +b 在(0,+∞)上单调增可知数列｝｛n x 的每一项都比前一项大,并且从第二项起每一项都大于-b. 考察数列｝｛n x 中的连续三项x n ,x n+1,x n+2,n=2,3,…,我们有x n+2-x n+1=a(x n+1m -x n m )=a(x n+1-x n )(x n+1m-1+x n+1m-2x n +…+x n m ) >amx n m-1(x n+1-x n )>am(-b)m-1(x n+1-x n )>2m(x n+1-x n )>x n+1-x n ， 这表明数列｝｛n x 中相邻两项的差距越来越大,因此是无界的. 若ab m-1≥-2,我们用归纳法证明数列｝｛n x 的每一项都落在区间[b,-b]中. 第一项b 已经在区间[b,-b]中，如果某项x n 满足b ≤x n ≤-b ，那么0≤x n m ≤b m ，从而b=a ⋅0m +b ≤x n+1≤ab m +b ≤-b.所以,此时数列｝｛n x 有界的充要条件为ab m-1≥-2. (2) 当b>0时，数列｝｛n x 的每一项都是正数．我们先来证明，数列{x n }有界的充要条件是方程ax m +b=x 有正实根．如果方程ax m +b=x 无正实根，那么函数p(x)= ax m +b-x 在(0,+∞)上的最小值大于0，不妨设其为t ．那么对于数列中的任意连续两项x n 与x n+1，有x n+1-x n =a m n x -x n +b ，故数列｝｛n x 中后一项至少比前一项大t ，因而此时无界． 如果ax m +b=x 有正实根，设其一正根为x 0，下面利用归纳法证明数列｝｛n x 中的每一项都小于x 0．首先第一项b 显然小于x 0,假设某项x n <x 0，由ax m +b在[0,+∞)上是增函数知x n+1=a m n x +b<a m 0x +b=x 0，因此数列有界．而ax m +b=x 有正根的充要条件是ax m-1+xb在(0,+∞)上的最小值不大于1，而ax m-1+xb的最小值可以由平均值不等式给出，即axm-1+x b =ax m-1+xm b x m b )1()1(-++- ≥m m m m ab m 11)1(---. 此时数列{x n }有界的充要条件是m m m m ab m 11)1(---≤1，即1-m ab ≤mm m m 1)1(--．当b<0,m 为奇数时,令y n =-x n ,则y 1=-b>0,y n+1=ay n m +(-b),注意到{x n }有界的充要条件是{y n }有界,故可转化为上述情形.综上可知(2)成立.2008年中国西部数学奥林匹克第二天(2008年11月2日 8：00-12：00)贵州省贵阳市每题15分5. 在一直线上相邻两点的距离都等于1的四个点上各有一只青蛙，允许任意一只青蛙以其余三只青蛙中的某一只为中心跳到其对称点上．证明：无论跳动多少次后，四只青蛙所在的点中相邻两点之间的距离不能都等于2008． 证明：将青蛙放在数轴上讨论,不妨设最初四只青蛙所在的位置为1,2,3,4.注意到，处于奇数位置上的青蛙每次跳动后仍处在奇数位置上,处于偶数位置上的青蛙每次跳动后仍处在偶数位置上.因此,任意多次跳动后,四只青蛙中总是两只处于奇数位置上,另两只处在偶数位置上.如果若干次跳动后,青蛙所在位置中每相邻两只之间的距离都是2008,则要求它们处在具有相同奇偶性的位置上,不可能.6. 设)1,0(∈z y x ，，，满足：2111=-+-+-xyzzx y yz x ， 求xyz 的最大值．解： 记u=6xyz ,则由条件及均值不等式可知 2u 3=2xyz =∑-)33(31x x ≤∑-+2)33(31x x =233-31(x+y+z) ≤233-33xyz ⋅=233-3u 2.故4u 3+23u 2-33≤0,即(2u-3)(2u 2+23u+3)≤0,所以,u ≤23.依此可知,xyz ≤6427,等号在x=y=z=43时可以取到.因此，所求最大值为6427.7. 设n 为给定的正整数，求最大的正整数k ，使得存在三个由非负整数组成的k 元集}{21k x x x A ，，， =，}{21k y y y B ，，， =和}{21k z z z C ，，， =满足：对任意1≤j ≤k ，都有n z y x j j j =++． 解：由条件可知kn ≥∑=++ki i i i z y x 1)(≥3∑-=1k i i =2)1(3-k k ,因此，k ≤[32n]+1. 下面给出k=[32n]+1的例子 若n=3m,对1≤j ≤m+1,令x j =j-1,y j =m+j-1,z j =2m-2j+2;对m+2≤j ≤2m+1,令x j =j-1,y j =j-m-2,z j =4m-2j+3即可；若n=3m+1, 对1≤j ≤m,令x j =j-1,y j =m+j,z j =2m-2j+2;对m+1≤j ≤2m,令x j =j+1,y j =j-m-1,z j =4m+1-2j;而x 2m+1=m,y 2m+1=2m+1,z 2m+1=0即可；若n=3m+2, 对1≤j ≤m+1,令x j =j-1,y j =m+j,z j =2m-2j+3;对m+2≤j ≤2m+1,令x j =j,y j =j-m-2,z j =4m-2j+4;而x 2m+2=2m+2,y 2m+2=m,z 2m+2=0即可. 综上可知，k 的最大值为[32n]+1.8. 设P 为正n 边形n A A A 21内的任意一点，直线P A i 交正n 边形n A A A 21的边界于另一点i B ，i =1，2，…，n ．证明：∑∑==≥ni i ni i PB PA 11．证明： 记t=[2n]+1,并设A n+j =A j ,j=1,2…,n. 注意到,正n 边形的任意一个顶点与边界上任意一点之间的距离不大于其最长的对角线的长度d,因此,对任意1≤i ≤n,都有 A i P+PB i =A i B i ≤d ①另一方面,由三角形两边之和大于第三边可知,对任意1≤i ≤n,都有 A i P+PA i+t ≥A i A i+t =d ②对①,②分别对i=1,2,…,n 求和可得∑∑==++≥≥+ni i i ni t i i PB P A nd PA P A 11)()(,即2∑∑∑===+≥ni i n i i n i i PB P A PA 111,依此可知命题成立.。
2001-2012中国西部数学奥林匹克CWMO试题与解答
5 4
或
-
1.
2. 如图 1 ,记 R 为
线段 OP 与 ⊙O 的 交
点 , E 为 PD 与 ⊙O 的
交点 (不同于 D) .
∵CQ·QD
= AQ·QB = AQ2 ,
PQ·QO = AQ2 ,
图1
∴CQ·QD = PQ·QO.
于是 , P、C、O 、D 四点共圆.
故 ∠OPC = ∠ODC = ∠OCD = ∠OPD ,即 PO 为
x2
+ y2 + xyz
z2
=
3.
下面证明 x2
+ y2 + xyz
z2 的最小值为
3.
事实上 ,有
x2
+
y2
+
z2
≥1 3
(x+
y+
z) 2
≥
1 3
( xyz) 2
≥ 3 xyz ,如果
xyz ≥3
3,
3 3 ( xyz) 2 ≥ 3 xyz ,如果 xyz < 3 3 .
故 x2
+ y2 + xyz
∏ n - 1
x ,则 2 n - m
i= m
x2i + 1 2
.
而
x2 i + 2
1
,
x2j + 2
1
= 1 ,故必须 2| ( n - m) ,矛盾.
综上可知 ,所求的整数 x 只有一个 ,即 x = 0.
4. 注意到 ,当 x = y = z = 3时 , x + y + z = xyz ,而
当 PA·PB 取最小值时 ,
人大附中 人大附中 林博 人大附中
姓名张瑞祥学校人大附中2008中国数学奥林匹克获奖名单一等奖(30 人)姓名学校黄棱潇泉州五中张成高韫之牟晓生匡斯萌康毅夫汪野吴天琦唐坤韦东奕陈然章博宇盛开黄晨笛俞若诚华东师大二附中上海中学上海中学长沙市一中东北师大附中华东师大二附中嘉兴一中成都七中山师附中温州中学人大附中华中师大一附中中山纪念中学复旦附中司健河南师大附中黄佳楠启东中学陆直哈尔滨师大附中林博人大附中黄宏华南师大附中宫鹤南开中学刘宇建阳一中傅宇龙耀华中学尹航河南省实验中学田天成都七中许大昕中山纪念中学张一甲河南师大附中郝瀚东北师大附中张晨飞西工大附中二等奖（72 人）姓名陆悠赵唯嘉席静怡熊雪傅煜李家夫李响王启辰夏素缦卢雨严昊余佳俊徐禛叶晨谢松晏王储邓彦桢梅家成李聪张智元刘诗南学校深圳中学河南师大附中河南师大附中南昌市第二中学东北育才学校合肥一中深圳中学河南省实验中学黄冈中学东北师大附中南京师大附中西安铁一中华东师大二附中金华一中厦门双十中学山东省实验中学上外附中重庆巴蜀中学石家庄二中武钢三中长沙市一中姓名苏钧何昊青许江龙王双雨马谱皓李黎薛元王梓傅伟何长伟丁欣任金波吴瑞之韩世予王宇前陈力维何孟沅李昂马腾宇罗星晨李雨田学校福州一中哈尔滨师大附中湖南师大附中扬州中学大石桥高中人大附中西北师大附中哈尔滨师大附中扬州中学江西鹰潭市一中山西大学附中西安铁一中金华一中人大附中人大附中重庆巴蜀中学湖南师大附中东北师大附中东北师大附中江西师大附中哈尔滨师大附中田昉暘王天齐刘庆源杨奔陶原狄飞潘锦钊郑国亮钱诚熊杰超王桑原张振陈丽宋菲王旭霏姓名王骁杨礼键王若凡孙玉进方乐恒江灏邱航朱靓妤汤思健刘玄烨范钰超于洪亮周彤董佳鑫万宇谭立宇李行袁博赵永峰张楠刘梦伟张恩奇罗翔林松赵政陈锐南开中学马鞍山二中铜陵一中人大附中哈尔滨师大附中溧阳中学南宁二中华中师大一附中江西景德镇一中余姚中学成都石室中学南开中学松岗中学东北师大附中东北育才学校学校西北师大附中深圳中学石家庄二中夷陵中学扬州中学婺源天佑中学山东省牟平一中华东师大二附中西北师大附中贵州师大附中江西师大附中重庆市八中河南师大附中东北师大附中西工大附中深圳中学扬州中学海门中学银川市第二中学石家庄二中河南师大附中新华中学厦门双十中学大石桥高中金华一中人大附中周旋吴刚祥朱超逸辛蜀骏田昆刘亚乔陈杭周小光王荣江张泓洋任汝飞张波李海啸杨楠邵健三等奖（72 人）姓名石婷吕志远张诗翔彭哲侯宇诗王颖斐靳竹萱方显中李源杨洋李攀张卫鹏岳红波张一鸣王学彬迟敬人高阳吴亚奇邓博文王韬王倩雯李铧炘钟珺文蔡峥许励治宋宏宇随州一中长沙市长郡中学南京外国语学校成都七中哈尔滨师大附中武汉六中黄冈中学松岗中学重庆育才中学华中师大一附中呼和浩特市二中太原五中松岗中学金华一中金华一中学校石家庄二中哈尔滨第三中学武钢三中长沙市雅礼中学大连八中山东省实验中学山西大学附中蚌埠二中北京四中中山纪念中学华南师大附中西安铁一中西安铁一中新华中学南开中学乌鲁木齐市一中吉林一中河南师大附中华东师大二附中马鞍山二中石家庄二中重庆南开中学柳铁一中海南中学石家庄二中鹤岗一中项顶张益宁朱越洲周海燕高磊姜雾彤黄俊蒋良虎古斯莹高娜兰州一中石家庄四十三中玉溪一中玉溪一中北大附中北京十二中学柳铁一中贵州省安顺一中海南中学玉溪一中郝舶涵杨智超张翔周家祥李永斌徐云飞安传恺刘青阳鲁悦高远内蒙古师大附中内蒙古师大附中银川市第一中学银川市第九中学乐都县第一中学青海湟川中学山师附中山师附中山师附中西藏民院附中。
历届数学奥林匹克参赛名单
1985-2012年国际数学奥林匹克中国参赛人数按地区、学校统计国际数学奥林匹克(International Mathematical Olympiad，简称IMO)是世界上规模和影响最大的中学生数学学科竞赛活动。
由罗马尼亚罗曼(Roman)教授发起。
1959年7月在罗马尼亚古都布拉索举行第一届竞赛。
我国第一次派学生参加国际数学奥林匹克是1985年，当时仅派两名学生，并且成绩一般。
我国第一次正式派出6人代表队参加国际数学奥林匹克是1986年。
2012年第53届国际数学奥林匹克竞赛将于今年7月4日至16日在阿根廷马德普拉塔（Mar del Plata , Argentina）举行。
入选国家队的六名学生是：（按选拔成绩排名）陈景文（中国人民大学附属中学)、吴昊（辽宁师范大学附属中学）、左浩（华中师范大学第一附属中学）、佘毅阳（上海中学）、刘宇韬（上海中学）、王昊宇（武钢三中）---------------------------------------------------------历届IMO的主办国，总分冠军及参赛国（地区）数为：年份届次东道主总分冠军参赛国家（地区）数1959 1 罗马尼亚罗马尼亚71960 2 罗马尼亚前捷克斯洛伐克51961 3 匈牙利匈牙利 61962 4 前捷克斯洛伐克匈牙利71963 5 波兰前苏联81964 6 前苏联前苏联91965 7 前东德前苏联81966 8 保加利亚前苏联91967 9 前南斯拉夫前苏联131968 10 前苏联前东德121969 11 罗马尼亚匈牙利141970 12 匈牙利匈牙利141971 13 前捷克斯洛伐克匈牙利151972 14 波兰前苏联141973 15 前苏联前苏联161974 16 前东德前苏联181975 17 保加利亚匈牙利171976 18 澳大利亚前苏联191977 19 南斯拉夫美国211978 20 罗马尼亚罗马尼亚171979 21 美国前苏联231981 22 美国美国271982 23 匈牙利前西德301983 24 法国前西德321984 25 前捷克斯洛伐克前苏联341985 26 芬兰罗马尼亚421986 27 波兰美国、前苏联371987 28 古巴罗马尼亚421988 29 澳大利亚前苏联491989 30 前西德中国501990 31 中国中国541991 32 瑞典前苏联561992 33 俄罗斯中国621993 34 土耳其中国651994 35 中国香港美国691995 36 加拿大中国731996 37 印度罗马尼亚751997 38 阿根廷中国821998 39 中华台北伊朗841999 40 罗马尼亚中国、俄罗斯812000 41 韩国中国822001 42 美国中国832002 43 英国中国842003 44 日本保加利亚822004 45 希腊中国852005 46 墨西哥中国982006 47 斯洛文尼亚中国1042007 48 越南俄罗斯932008 49 西班牙中国1032009 50 德国中国1042010 51 哈萨克斯坦中国1052011 52 荷兰中国101------------------------------------------------------------------历届国际数学奥林匹克中国参赛学生分省市、分学校统计按学校排名（TOP16)1 武汉钢铁三中 152 湖南师大附中 113 华南师范大学附中 104 北大附中 94 人大附中 96 湖北黄冈中学 86 上海中学 88 上海华东师大二附中 5 8 东北育才学校 510 华中师大一附中 410 复旦大学附中 410 深圳中学 410 东北师范大学附中 4 14 上海向明中学 314 长沙市一中 314 哈尔滨师范大学附中 3 以下略。
历届西部数学奥林匹克试题
目录2001年西部数学奥林匹克 (2)2002年西部数学奥林匹克 (4)2003年西部数学奥林匹克 (6)2004年西部数学奥林匹克 (7)2005年西部数学奥林匹克 (8)2006年西部数学奥林匹克 (10)2007年西部数学奥林匹克 (12)2008年西部数学奥林匹克 (14)2009年西部数学奥林匹克 (16)2010年西部数学奥林匹克 (18)2011年西部数学奥林匹克 (21)2012年西部数学奥林匹克 (23)2001年西部数学奥林匹克1.设数列{x n}满足x1=12，x n+1=x n+x n2n2.证明：x2001<1001.（李伟固供题）2.设ABCD是面积为2的长方形，P为边CD上的一点，Q为△P AB的内切圆与边AB的切点.乘积PP⋅PP的值随着长方形ABCD及点P 的变化而变化，当PP⋅PP取最小值时，（1）证明：PP≥2PB；（2）求PQ⋅PQ的值.（罗增儒供题）3.设n、m是具有不同奇偶性的正整数，且n>m.求所有的整数x，使得x2n−1x2m−1是一个完全平方数.（潘曾彪供题）4.设x、y、z为正实数，且x+y+z≥xyz.求x2+y2+z2xyz的最小值.（冯志刚供题）5.求所有的实数x，使得[x3]=4x+3.这里[y]表示不超过实数y的最大整数.（杨文鹏供题）6.P为⊙O外一点，过P作⊙O的两条切线，切点分别为A、B.设Q为PO与AB的交点，过Q作⊙O的任意一条弦CD.证明：△PAB与△PCD有相同的内心. （刘康宁供题）7.求所有的实数x∈�0,π2�，使得(2−sss2x)sss�x+π4�=1，并证明你的结论.（李胜宏供题）8.我们称P1,P2,⋯,P n为集合A的一个n分划，如果（1）P1∪P2∪⋯∪P n=P；（2）P i∩P j≠Φ,1≤s<j≤s.求最小正整数m，使得对P={1,2,⋯,m}的任意一个14分划P1,P2,⋯,P14，一定存在某个集合P i(1≤s≤14)，在P i中有两个元素a、b满足b<a≤43b. （冷岗松供题）2002年西部数学奥林匹克1.求所有的正整数n，使得s4−4s3+22s2−36s+18是一个完全平方数.2.设O为锐角△ABC的外心，P为△AOB内部一点，P在△ABC的三边BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F.求证：以FE、FD为邻边的平行四边形位于△ABC内.3.考虑复平面上的正方形，它的4个顶点所对应的复数恰好是某个整系数一元四次方程x4+px3+qx2+rx+s=0的4个根.求这种正方形面积的最小值.4.设n为正整数，集合P1,P2,⋯,P n+1是集合{1,2,⋯,s}的n+1个非空子集.证明：存在{1,2,⋯,s+1}的两个不交的非空子集{s1,s2,⋯,s k}和{j1,j2,⋯,j m}，使得P i1∪P i2∪⋯∪P i k=P j1∪P j2∪⋯∪P j m.5.在给定的梯形ABCD中，AD∥BC，E是边AB上的动点，O1、O2分别是△AED、△BEC的外心.求证：O1O2的长为一定值.6.设s(s≥2)是给定的正整数，求所有整数组(a1,a2,⋯,a n)满足条件：（1）a1+a2+⋯+a n≥s2；（2）a12+a22++a n2≤s3+1.7.设α、β为方程x2−x−1=0的两个根，令a n=αn−βnα−β,s=1,2,⋯.（1）证明：对任意正整数n，有a n+2=a n+1+a n；（2）求所有正整数a、b，a<b，满足对任意正整数n，有b整除a n−2sa n.8.设S=(a1,a2,⋯,a n)是一个由0，1组成的满足下述条件的最长的数列：数列S中任意两个连续5项不同，即对任意1≤s<j≤s−4，a i,a i+1,a i+2,a i+3,a i+4与a j,a j+1,a j+2,a j+3,a j+4不相同.证明：数列S 最前面的4项与最后面的4项相同.1. 将1,2,3,4,5,6,7,8分别放在正方体的八个顶点上，使得每一个面上的任意三个数之和均不小于10.求每一个面上四个数之和的最小值.2. 设2n 个实数a 1,a 2,⋯,a 2n 满足条件∑(a i+1−a i )2=12n−1i=1.求(a n+1+a n+2+⋯+a 2n )−(a 1+a 2+⋯+a n )的最大值.3. 设n 为给定的正整数.求最小的正整数u n ，满足：对每一个正整数d ，任意u n 个连续的正奇数中能被d 整除的数的个数不少于奇数1,3,5,⋯,2s −1中能被d 整除的数的个数.4. 证明：若凸四边形ABCD 内任意一点P 到边AB 、BC 、CD 、DA 的距离之和为定值，则ABCD 是平行四边形.5. 已知数列{a n }满足：a 0=0，a n+1=ka n +�(k 2−1)a n 2+1,s =0,1,2,⋯,其中k 为给定的正整数.证明：数列{a n }的每一项都是整数，且2k |a 2n ,s =0,1,2,⋯. 6. 凸四边形ABCD 有内切圆，该内切圆切边AB 、BC 、CD 、DA 的切点分别为A 1、B 1、C 1、D 1，连结A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1，点E 、F 、G 、H 分别为A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1的中点.证明：四边形EFGH 为矩形的充分必要条件是A 、B 、C 、D 四点共圆.7. 设非负实数x 1、x 2、x 3、x 4、x 5满足∑11+x i =15i=1.求证：∑x i4+x i 25i=1≤1. 8. 1650个学生排成22行、75列.已知其中任意两列处于同一行的两个人中，性别相同的学生都不超过11对.证明：男生的人数不超过928.1.求所有的整数n，使得s4+6s3+11s2+3s+31是完全平方数.2.四边形ABCD为一凸四边形，I1、I2分别为△ABC、△DBC的内心，过点I1、I2的直线分别交AB、DC于点E、F，分别延长AB、DC，它们相交于点P，且PE=PF.求证：A、B、C、D四点共圆.3.求所有的实数k，使得不等式a3+b3+c3+d3+1≥k(a+b+c+d)对任意a、b、c、d∈[−1,+∞)都成立.4.设s∈N+，用d(s)表示n的所有正约数的个数，ϕ(s)表示1,2,⋯,s 中与n互质的数的个数.求所有的非负整数c，使得存在正整数n，满足d(s)+ϕ(s)=s+c，且对这样的每一个c，求出所有满足上式的正整数n.5.设数列{a n}满足a1=a2=1，且a n+2=1a n+1+a n,s=1,2,⋯.求a2004.6.将m×s棋盘（由m行n列方格构成，m≥3,s≥3）的所有小方格都染上红蓝两色之一.如果2个相邻（有公共变）的小方格异色，则称这2个小方格为1个“标准对”.设期盼中“标准对”的个数为S.试问：S是奇数还是偶数有哪些方格的颜色确定？什么情况下S为奇数？什么情况下S为偶数？说明理由.7.已知锐角△ABC的三边长不全相等，周长为l，P是其内部一动点，点P在边BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F.求证：2（PB+PD+ BB）=l的充分必要条件是：点P在△ABC的内心与外心的连线上.8.求证：对任意正实数a、b、c，都有1<a√a2+b2+b√b2+c2+c√c2+a2≤3√22.1. 已知α2005+β2005可表示成以α+β、αβ为变元的二元多项式.求这个多项式的系数之和.2. 如图1，过圆外一点P 作圆的两条切线P A 、PB ，A 、B 为切点，再过点P 作圆的一条割线分别与圆交于C 、D 两点，过切点B 作P A 的平行线分别交直线AC 、AD 于E 、F .求证：PB =PB .图13. 设S ={1,2,⋯,2005}.若S 中任意n 个两两互质的数组成的集合中都至少有一个质数，试求n 的最小值.4. 已知实数x 1,x 2,⋯,x n (s >2)满足|∑x i n i=1|>1，|x i |≤1(s =1,2,⋯,s ).求证：存在正整数k ，使得�∑x i k i=1−∑x i n i=k+1�≤1 5. 如图2，⊙O 1、⊙O 2交于A 、B 两点.过点O 1的直线DC 交⊙O 1于点D 且切⊙O 2于点C ，CA 且⊙O 1于点A ，⊙O 1的弦AE 与直线DC 垂直.过点A 作AF 垂直于DE ，F 为垂足.求证：BD 平分线段AF .图2P6.在等腰Rt△ABC中，BP=BP=1，P是△ABC边界上任意一点.求PP⋅PP⋅PB的最大值.7.设正实数a、b、c满足a+b+c=1.证明：10(a3+b3+c3)−9(a5+b5+c5)≥1.8.设n个新生汇总，任意3个人中有2个人互相认识，任意4个人中有2个人互不任何.试求n的最大值.2006年西部数学奥林匹克1. 设s (s ≥2)是给定的正整数，a 1,a 2,⋯,a n ∈(0,1).求∑�a i (1−a i+1)6n i=1的最大值，这里a n+1=a 1. 2. 求满足下述条件的最小正实数k ：对任意不小于k 的4个互不相同的实数a 、b 、c 、d ，都存在a 、b 、c 、d 的一个排列p 、q 、r 、s ，使得方程(x 2+px +q )(x 2+rx +s )=0有4个互不相同的实数根. 3. 如图1，在△ABC 中，∠PPB =60°，过点P 作△PBC 的外接圆⊙O 的切线，与CA 的延长线交于点A .点D 、E 分别在线段PA 和⊙O 上，使得∠DPB =90°，PD =PE .连结BE 与PC 相交于点F .已知AF 、BP 、CD 三线共点.（1） 求证：BF 是∠PPB 的角平分线；（2） 求tas ∠PBP 的值.图14. 设正整数a 不是完全平方数.求证：对每一个正整数n ，S n =�√a�+�√a�2+⋯+�√a�n的值都是无理数.这里{x }=x −[x ]，其中，[x ]表示不超过x 的最大整数.5. 设S =�s�s −1,s ,s +1都可以表示为两个正整数的平方和�.证明：若s ∈S ，则s 2∈S .C6. 如图2，AB 是⊙O 的直径，C 为AB 延长线上的一点，过点C 作⊙O 的割线，与⊙O 交于点D 、E ，OF 是△BOD 的外接圆⊙O 1的直径，连结CF 并延长交⊙O 1于点G .求证：O 、A 、E 、G 四点共圆.图27. 设k 是一个不小于3的正整数，θ是一个实数.证明：如果cms (k −1)θ和cms kθ都是有理数，那么，存在正整数s (s >k )，使得cms (s −1)θ和cms sθ都是有理数. 8. 给定正整数s (s ≥2)，求|X |的最小值，使得对集合X 的任意n 个二元子集P 1,P 2,⋯,P n ，都存在集合X 的一个子集Y ，满足：(1)|Y |=s ;(2) 对s =1,2,⋯,s ，都有|Y ∩P i |≤1.这里，|P |表示有限集合A 的元素个数.A2007年西部数学奥林匹克1. 已知T ={1,2,⋯,8}.对于P ⊆T ,P ≠Φ，定义S (P )为A 中所有元素之和.问：T 有多少个非空子集A ，使得S (P )是3的倍数，但不是5的倍数？2. 如图1，⊙O 1、⊙O 2交于点C 、D ，过D 的一条直线分别与⊙O 1、⊙O 2交于点A 、B ，点P 在⊙O 1的AD 弧上，PD 与线段AC 的延长线交于点M ，点Q 在⊙O 2的BD 弧上，QD 与线段BC 的延长线交于点N ，O 是△ABC 的外心.求证：OD ⊥MN 的充要条件为P 、Q 、M 、N 四点共圆.图13. 设实数a 、b 、c 满足a +b +c =3.求证：15a 2−4a+11+15b 2−4b+11+15c 2−4c+11≤14. 4. 设O 是△ABC 内部一点.证明：存在正整数p 、q 、r ，使得|pOP +qOP +rOB |<12007.5. 是否存在三边长都为整数的三角形，满足以下条件：最短边长为2007，且最大的角等于最小角的两倍？O6.求所有的正整数n，使得存在非零整数x1,x2,⋯,x n,y,满足�x1+x2+⋯+x n=0,x12+x22+⋯+x n2=sy2.7.设P是锐角△ABC内一点，AP、BP、CP分别与边BC、CA、AB 交于点D、E、F，已知△DBB∼△PPB.求证：P是△ABC的重心. 8.将n枚白子与n枚黑子任意地放在一个圆周上.从某枚白子起，按顺时针方向依次将白子标以1,2,⋯,s.在从某枚黑子起，按逆时针方向依次将黑子标以1,2,⋯,s.证明：存在连续n枚棋子（不计黑白），它们的标号组成的集合为{1,2,⋯,s}.2008年西部数学奥林匹克1.实数数列{a n}满足a0≠0,1,a1=1−a0，a n+1=1−a n(1−a n)(s=1,2,⋯).证明：对任意的正整数n，都有a0a1⋯a n�1a0+1a1+⋯+1a n�=1.2.如图1，在△ABC中，AB=AC，其内切圆⊙I分别切边BC、CA、AB于点D、E、F，P为弧EF（不含点D的弧）上一点.设线段BP交⊙I于另一点Q，直线EP、EQ分别交BC于点M、N.证明：(1)P、F、B、M四点共圆；(2)EE EE=BB BB.图13.设整数m(m≥2)，a1,a2,⋯,a m都是正整数.证明：存在无穷多个正整数n，使得数a1×1n+a2×2n+⋯+a m×m n都是合数.4.设整数m(m≥2)，a为正实数，b为非零实数，数列{x n}定义如下：x1=b,x n+1=ax n m+b(s=1,2,⋯).证明：(1)当b<0且m为偶数时，数列{x n}有界的充要条件是ab m−1≥−2；(2)当b<0且m为奇数，或b>0时，数列{x n}有界的充要条件是ab m−1≤(m−1)m−1m m.5.在一直线上相邻的距离都等于1的四个点上各有一只青蛙，允许任意一只青蛙以其余三只青蛙中的某一只为中心跳到其对称点上.证明：无论跳动多少次后，四只青蛙所在的点中相邻两点之间的距离不能都等于2008.6.设x、y、z∈(0,1)，满足�1−x yz+�1−y zx+�1−z xy=2.求xyz的最大值.7.设n为给定的正整数.求最大的正整数k，使得存在三个由非负整数组成的k元集P={x1,x2,⋯,x k}，P={y1,y2,⋯,y k}，B= {z1,z2,⋯,z k}满足对任意的j(1≤j≤k)，都有x j+y j+z j=s.8.设P为正n边形P1P2⋯P n内的任意一点，直线P i P(s=1,2,⋯s)交正n边形P1P2⋯P n的边界于另一点P i.证明：∑PP i n i=1≥∑PP i n i=1.2009年西部数学奥林匹克1.设M是一个由实数集R去掉有限个元素后得到的集合.证明：对任意正整数n，都存在n次多项式f(x)，使得f(x)的所有系数及n个实根都属于M.2.给定整数s≥3.求最小的正整数k，使得存在一个k元集合A和n 个两两不同的实数x1,x2,⋯,x n，满足x1+x2,x2+x3,⋯,x n−1+x n,x n+x1均属于A.3.设H为锐角△ABC的垂心，D为边BC的中点.过点H的直线分别交边AB、AC于点F、E，使得AE=AF，射线DH与△ABC的外接圆交于点P.求证：P、A、E、F四点共圆.4.求证：对任意给定的正整数k，总存在无穷多个正整数n，使得2n+3n−1,2n+3n−2,⋯,2n+3n−k均为合数.5.设数列{x n}满足x1∈{5,7}及当k≥1时，有x k+1∈{5x k,7x k}.试确定x2009的末两位数字的所有可能值.6.如图1，设D是锐角△ABC的边BC上一点，以线段BD为直径的圆分别交直线AB、AD于点X、P（异于点B、D），以线段CD为直径的元分别交直线AC、AD于点Y、Q（异于点C、D）.过点A作直线PX、QY的垂线，垂足分别为M、N.求证△PMN∼△PPB的充分必要条件是直线AD过△ABC的外心.图17. 有s (s >12)个人参加某次数学邀请赛，试卷由十五道填空题组成，每答对一题得1分，不答或答错得0分.分析每一种可能的得分情况发现：只要其中任意12个人得分之和不少于36分，则这n 个人中至少有3个人答对了至少三道同样的题.求n 的最小可能值.8. 实数a 1,a 2,⋯,a n (s ≥3)满足a 1+a 2+⋯+a n =0，且2a k ≤a k−1+a k+1(k =2,3,⋯,s −1).求最小的λ(s )，使得对所有的k ∈{1,2,⋯s }，都有|a k |≤λ(s )⋅max {|a 1|,|a n |}.B2010年西部数学奥林匹克1. 设m 、k 为给定的非负整数，p =22m +1为质数.求证： (1) 22m+1p k ≡1(mmd p k+1);(2) 满足同余方程2n ≡1(mmdp k+1) 的最小正整数n 为2m+1p k . （靳 平 供题）2. 如图1，已知AB 是⊙O 的直径，C 、D 是圆周上异于点A 、B 且在AB 同侧的两点，分别过点C 、D 作圆的切线，它们交于点E ，线段AD 与BC 的交点为F ，直线EF 与AB 交于点M .求证：E 、C 、M 、D 四点共圆.图1（刘诗雄 供题）3. 求所有的正整数n ，使得集合{1,2,⋯,s }有n 个两两不同的三元子集P 1,P 2,⋯,P n ，满足对任意的k (1≤s <j ≤s )，都有�P i ∩P j �≠1.（冯志刚 供题）4. 设非负实数a 1,a 2,⋯,a n 与b 1,b 2,⋯,b n 满足以下条件： （1） ∑a i +b i n i=1=1; （2） ∑s (a i −b i )n i=1=0; （3） ∑s 2(a i +b i )n i=1=10.求证：对任意的k(1≤k≤s)，都有max{a k,b k}≤1010+k2. （李胜宏供题）5.设k为大于1的整数，数列{a n}定义如下：a0=0,a1=1,a n+1=ka n+a n−1(s=1,2,⋯).求所以满足如下条件的k：存在非负整数l、m(l≠m)，及正整数p、q，使得a l+ka p=a m+ka q. （熊斌供题）6.如图2，在△ABC中，∠PBP=90°，以B为圆心、BC为半径作圆，点D在边AC上，直线DE切⊙B于点E，过点C垂直于AB的直线于直线BE交于点F，AF与DE交于点G，作AH∥BG于DE交于点H.求证GE=GH.图2（边红平供题）7.有s(s≥3)名选手参加乒乓球比赛，每两名选手之间恰比赛一场且没有平局.若选手A的手下败将不都是B的手下败将，则称A不亚于B.试求所有可能的n，使得存在一种比赛结果，其中每一名选手都不亚于其他任何一名选手.（李秋生供题）8.求所有的整数k，使得存在正整数a和b，满足b+1a+a+1b=k.（陈永高供题）2011年西部数学奥林匹克1. 已知0<x 、y <1.求xy (1−x−y )(x+y )(1−x )(1−y )的最大值.2. 设集合满足：M ⊆{1,2,⋯,2011}在M 的任意三个元素中都可以找到两个元素a 、b ，使得a |b 或b |a .求|M |的最大值（|M |表示集合M 的元素个数）.3. 给定整数s ≥2.(1) 证明：可以将集合{1,2,⋯,s }的左右子集适当地排列为P 1,P 2,⋯,P 2n ，使得P i 与P i+1(s =1,2,,2n ,且P 2n +1=P 1)的元素个数恰相差1.(2) 对于满足(1)中条件的子集P 1,P 2,⋯,P 2n ，求∑(−1)i S (P i )2n i=1的所以可能值，其中，S (P i )=∑x x∈A i ,S (∅)=0. 4. 如图1，AB 、CD 是⊙O 中长度不相等的两条弦，AB 与CD 交于点E ，⊙I 内切⊙O 于点F ，且分别与弦AB 、CD 切于点G 、H .过点O 的直线l 分别于AB 、CD 交于点P 、Q ，使得EP =EQ ，直线EF 于直线l 交于点M .证明：过点M 且与AB 平行的直线是⊙O 的切线.图15. 是否存在奇数s (s ≥3)及n 个互不相同的质数p 1,p 2,⋯,p n ，使得p i +p i+1(s =1,2,⋯,s ,p n+1=p 1)都是完全平方数？请证明你的结论.6.设a、b、c>0.证明：(a−b)2(c+a)(c+b)+(b−c)2(a+b)(a+c)+(c−a)2(b+c)(b+a)≥(a−b)2a2+b2+c2.7.在△ABC中，PP>PB内切圆⊙I与边BC、CA、AB分别切于点D、E、F，M是边BC的中点，PH⊥PB于点H，∠PPB的平分线AI分别与直线DE、DF交于点K、L.证明：M、L、H、K四点共圆. 8.求所有的整数对(a,b)，使得对任意的正整数n都有s|(a n+b n+1).2012年西部数学奥林匹克1.求最小的正整数m，使得对任意大于3的质数p，都有：105|9p2−29p+m.2.证明：在正2s−1边形(s≥3)的顶点中，任意取出s个点，其中必有3个点，以它们为顶点的三角形为等腰三角形。
2008年全国高中数学联赛及加试新疆赛区成绩
2008年乌鲁木齐地区高中数学竞赛情况通报一、全国第七届女子数学奥林匹克2008女子数学奥林匹克（第七届）于2008年8月13日至18日在广东省中山纪念中学举行。
国内各省会城市和部分计划单列市组队参加；同时还邀请美国、俄罗斯、菲律宾以及我国香港、澳门组队参加。
乌鲁木齐市代表队：领队：曾世威（乌市教研中心）王红（乌市一中）曹湘江（新疆实验中学）队员：李奕菲（乌市一中）黄自睿（乌市一中）王毅彬（新疆实验中学）杨炜（新疆实验中学）新疆生产建设兵团队:领队：孔彩霞（兵团教研室）徐波（兵团二中）队员：郭晔嘉孟夏李灵林晓（以上四位队员均为兵团二中学生）二、第八届中国西部数学奥林匹克第八届中国西部数学奥林匹克于2008年10月31日至11月4日在贵州省贵阳市贵州师大附中举行。
新疆队:领队：赵一军（乌市第八中学）李瑞瑜（新疆实验中学）队员：张皓晨（铜牌乌市八中）王飞翔（铜牌新疆实验中学）朱生龙（铜牌乌市高级中学）王明明（新疆实验中学）新疆生产建设兵团队:领队：封江勇（兵团二中）队员：宋少鹏（银牌）贠帆（铜牌）宋少栋艾平（以上四位队员均为兵团二中学生）三、2008年全国高中数学联赛及加试2008年全国高中数学联赛及加试于10月12日在兵团二中举行，乌鲁木齐赛区由兵团二中成功举办，在此致谢。
我市1786名高三、高二学生参赛，其中385位同学分获全疆一、二、三等及鼓励奖（见下表）。
获一等奖学生的指导教师获中国数学会颁发的优秀教练员证书；获二、三等奖学生的指导教师获新疆数学会颁发的优秀教练员证书（不累计计算，按最高荣誉证书颁发）。
获奖证书在2008年12月18日全市高三教师教研会上颁发。
一等奖（18名）二等奖（61名）三等奖（134名）鼓励奖（172名）乌鲁木齐市教研中心乌鲁木齐市数学学会2008年12月8日。
2008中西部地区区域赛获胜队项目
2008中西部地区区域赛获胜队项目华中科技大学1、“家庭教育，从心开始”项目---鉴于中国的国情，大部分中国家庭其实在对内对外中都或多或少的有心理问题，特别是在家庭教育这一块。
华中科技大学sife团队通过与同济医学院family团队合作，以心理家教为出发点，着力处理部分案例。
华中科技大学sife团队主要从商业开拓方面，分析其团队核心竞争力，建立现实的盈利模式，拓展其校内校外的市场。
团队已在一定程度上取得了良好的业绩。
除此之外，sife团队还与其合作积极参加社会公益活动，比如进驻同济医院的爱心病房，给予白血病孩子免费的面对面心理咨询等。
商业与公益结合，我们的期许。
四川师范大学1、 Oriental SPA（students as personal assistant）大学生就业项目---大学生，作为可塑性最强的一个社会群体，面对越来越激烈的就业竞争，提高就业竞争力，拓宽综合能力势在必行。
于是，旨在提升大学生就业竞争力的Oriental SPA（students as personal assistant）大学生就业项目应运而生。
通过免费的“让职业化走进大学生”等一系列课程和讲座，在太平洋保险公司副总经理，海悦花园酒店人力资源部经理等各知名企业的经理的支持下，围绕SIFE 六个话题，教授大学生如何应对就业压力，如何提高面试技巧等。
项目从２００７年１１月开始筹划，目前已初见成效。
我们希望能够通过我们的项目，建立以大学生为资源基地，SIFE为培训平台，各合作公司为市场渠道的可持续的项目。
西安交通大学1、“空巢村”项目---践行SIFE“改变世界，让世界更美好”的根本理念，结合西部的客观实际情况，关注"空巢村"、"留守儿童"现象，最大限度地帮助孩子们扫除因缺乏父母关爱及其他客观条件造成的心理阴影和学习障碍。
在今年中秋之际，团队还成功举办了为期一周的SIFE周活动，给空巢村的儿童送去节日的关爱。