福建省漳州市芗城中学高中数学 综合法和分析法(一)教案 新人教A版选修12(1)
人教A版高中数学选修高二新课程综合法和分析法教案新
直接证明--综合法与分析法1．教学目标：知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
2．教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点3．教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点4．教具准备：与教材内容相关的资料。
5．教学设想：分析法和综合法的思考过程、特点. “变形”是解题的关键，是最重一步。
因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。
6．教学过程:学生探究过程：证明的方法（1）、分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。
在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。
综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。
对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。
（2）、例1．设a 、b 是两个正实数，且a ≠b ，求证：a 3+b 3＞a 2b+ab 2．证明：(用分析法思路书写)要证 a 3+b 3＞a 2b+ab 2成立，只需证(a+b)(a 2-ab+b 2)＞ab(a+b)成立，即需证a 2-ab+b 2＞ab 成立。
(∵a+b ＞0)只需证a 2-2ab+b 2＞0成立，即需证(a-b)2＞0成立。
而由已知条件可知，a ≠b ，有a-b ≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。
(以下用综合法思路书写)∵a ≠b ，∴a-b ≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0亦即a2-ab+b2＞ab由题设条件知，a+b ＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab 即a3+b3＞a2b+ab2，由此命题得证例2、若实数1≠x ，求证：.)1()1(32242x x x x ++>++ 证明：采用差值比较法：2242)1()1(3x x x x ++-++=3242422221333x x x x x x x ------++=)1(234+--x x x =)1()1(222++-x x x =].43)21[()1(222++-x x ,043)21(,0)1(,122>++>-≠x x x 且从而∴,0]43)21[()1(222>++-x x ∴.)1()1(32242x x x x ++>++例3、已知,,+∈R b a 求证.a b b a b a b a ≥ 本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。
高中数学人教A版选修(1-2) 2.2 教学设计 《综合法和分析法》(人教A版)
《综合法和分析法》◆教材分析证明对高中生来说并不陌生，在上一节学习的合情推理中，所得的结论的正确就是要证明的，并且在之前的数学学习中，积累了相对较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成完整的认识。
◆教学目标【知识与能力目标】1.了解直接证明的了两种基本方法：综合法和分析法；2.了解综合法和分析法的思想过程和特点。
【过程与方法目标】1.通过对实例的分析、归纳和总结，增强学生的理性思维能力；2.通过实际演戏，使学生体会证明的必要性，并增强他们的分析问题、解决问题的能力。
【情感与态度目标】通过本节课的学习，了解直接证明的两种基本方法，感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用，养成言之有理、论之有据的好习惯，提高学生的思维能力。
【教学重点】 综合法和分析法的思维过程及特点。
【教学难点】综合法和分析法的应用。
多媒体课件。
复习导入回顾基本不等式：a+b2≥√ab （a ＞0，b ＞0）的证明过程：法一：因为（√a −√b)2≥0所以a+b-2√ab ≥0所以a+b ≥2√ab所以：a+b2≥√ab法二：验证a+b2≥√ab只需证：a+b ≥2√ab只需证：a+b-2√ab ≥0只需证：（√a −√b)2≥0因为：（√a −√b)2≥0成立所以a+b2≥√ab 成立新课讲授1.综合法：（1）定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。
综合法又叫因果导发或顺推证法。
特点：“执因索果”（2）特点：◆教学重难点◆ ◆课前准备◆◆教学过程从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，是由因导果，实际上是寻找“已知”的必要条件。
用综合法证明数学问题，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹，并且综合法的推理过程属于演绎推理，它的每一步推理得出的结论都是正确的，不同于合情推理．使用综合法证明问题，有时从条件可得出几个结论，哪个结论才可作为下一步的条件是分析的要点，所以如何找到“切入点”和有效的推理途径是有效利用综合法证明数学问题的关键。
高中数学 2.2.1 第2课时 综合法和分析法教案 新人教A版选修12(1)
第2课时分析法及其应用(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能结合学过的数学实例，了解直接证明的基本方法：分析法．了解分析法的思维过程、特点．2．过程与方法会用分析法证明数学问题，培养学生的分析问题、解决问题的能力，提高学生思维能力．3．情感、态度与价值观通过学生参与，激发其学习数学的兴趣，端正严谨治学的态度，提高逆向思维的论证能力．●重点难点重点：掌握分析法的思维过程、特点及其解题步骤，会用分析法证明数学问题．难点：根据问题的特点，结合分析法的思考过程、特点，应用分析法证明较复杂的数学问题．分析法是从结论到条件的逻辑推理方法，即从题目结论入手索证结论成立的充分条件，经过一系列的中间推理索证，最后要把证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，所以对结论变形、转化是问题解决的关键，也是问题的突破点，应该重点讲解．(教师用书独具)●教学建议建议本节课采取探究式教学方法，教师主要作用在“引导”“点拨”，让学生自主思考分析法的证明特点，掌握分析法的证明格式与解题步骤，对于不同类型的问题如何思考、如何进行逆向推理，教师应给出必要的指导．另外应注意引导学生学会由结论去索证问题成立的充分条件，从结论入手并不是说证明就不需要已知条件，而是证明过程要时时处处关注已知，将证明引向已知或明显成立的式子是证明的关键．证明过程每一步都需可逆．在解答每一个例证前，最好先引导学生分析出思维路线图，然后再由学生给出证明．●教学流程创设问题情境，引出问题，引导学生认识直接证明的方法之一——分析法．让学生自主完成填一填，使学生进一步了解分析法的证明格式、步骤等．引导学生分析例题1中所证结论的转化条件及转化方向，师生共同探究逆向推理思路，学生自主完成证明过程，教师指导完善，并完成互动探究．学生分组探究例题2的证明思路，总结分析法证明数列问题的规律方法．完成变式训练中三角恒等问题的证明．完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．学生自主完成例题3，总结分析法综合法相结合综合应用的特点．并仿照例题3完成变式训练．让学生自主分析例题3，老师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法．老师组织解法展示，引导学生总结解题规律．课标解读1.了解分析法证明数学问题的格式、步骤．(重点)2.理解分析法的思考过程、特点，会用分析法证明较复杂的数学问题．(难点)分析法【问题导思】证明不等式：3＋22<2＋7成立，可用下面的方法进行．证明：要证明3＋22<2＋7， 由于3＋22>0,2＋7>0， 只需证明(3＋22)2<(2＋7)2.展开得11＋46<11＋47，只需证明6<7， 显然6<7成立． ∴3＋22<2＋7成立． 1．本题证明从哪里开始？ 【提示】 从结论开始． 2．证题思路是什么？【提示】 寻求每一步成立的充分条件． 1．分析法的定义从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明方法叫做分析法．2．分析法的框图表示Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件应用分析法证明不等式 设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b )． 【思路探究】 分析：讨论a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立的条件，分a ＋b ≥0和a ＋b <0两种情况．【自主解答】 若a ＋b <0，a 2＋b 2≥22(a ＋b )显然成立． 若a ＋b ≥0，要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立， 只需证a 2＋b 2≥12(a ＋b )2成立，即证a 2＋b 2≥12(a 2＋2ab ＋b 2)成立，即证12(a 2－2ab ＋b 2)≥0，即12(a －b )2≥0成立， 因为12(a －b )2≥0成立，且以上每步都可逆．所以a ＋b ≥0时，a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立， 综上可知：a ，b 为实数时，a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．1．分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．2．用分析法证明不等式是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．3．用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好反推符号“⇐”或“要证明”、“只需证明”、“即证明”等词语．已知a >0，b >0，证明不等式a 2b ＋b 2a ≥a ＋b .【证明】 要证a 2b ＋b 2a≥a ＋b ，只需证a 3＋b 3≥a 2b ＋b 2a ， 只需证a 3＋b 3－a 2b －b 2a ≥0， 即证(a －b )2(a ＋b )≥0.又a ＞0，b ＞0，(a －b )2(a ＋b )≥0显然成立． 因此，原不等式成立.用分析法证明其他问题在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1，设b n ＝2na n ，证明：数列{b n }是等差数列．【思路探究】 分析{b n }成为等差数列的条件是否成立． 【自主解答】 要证{b n }为等差数列， 只要证b n ＋1－b n ＝d (常数)(n ≥1)， 即证2n ＋1a n ＋1－2n a n 为常数．即证2n ＋1(12a n ＋12n ＋1)－2na n 为常数， 而2na n ＋1－2na n ＝1为常数成立． ∴{b n }是等差数列．1．利用分析法证明时，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误．2．逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解．已知α，β≠k π＋π2(k ∈Z )，且sin θ＋cos θ＝2sin α，sin θ·cos θ＝sin 2β，求证：1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β21＋tan 2β. 【证明】 1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β21＋tan 2β⇐1－sin 2αcos 2α1＋sin 2αcos 2α＝1－sin 2βcos 2β21＋sin 2βcos 2β ⇐cos 2α－sin 2α＝cos 2β－sin 2β2⇐2(1－2sin 2α)＝1－2sin 2β ⇐4sin 2α－2sin 2β＝1，由已知得：4sin 2α＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θcos θ， ＝1＋2sin θcos θ， 2sin 2β＝2sin θcos θ， ∴4sin 2α－2sin 2β＝1成立， ∴1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β21＋tan 2β成立.综合法和分析法的综合应用B ，C 的对边．求证：(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.【思路探究】 利用分析法得出c 2＋a 2＝b 2＋ac ，再利用综合法证明其成立． 【自主解答】 要证(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1，即证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋cb ＋c＝3. 化简，得c a ＋b ＋ab ＋c＝1，即c (b ＋c )＋(a ＋b )a ＝(a ＋b )(b ＋c )， 所以只需证c 2＋a 2＝b 2＋ac .因为△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列， 所以B ＝60°，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，即a 2＋c 2－b 2＝ac 成立．∴(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1成立．1．综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路． 2．在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用．已知a 、b 、c 是不全相等的正数，且0＜x ＜1. 求证：log xa ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2＜log x a ＋log x b ＋log x c . 【证明】 要证明log x a ＋b2＋log x b ＋c 2＋log xa ＋c2＜log x a ＋log x b ＋log x c ，只需要证明log x (a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2)＜log x (abc )． 由已知0＜x ＜1，只需证明a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2＞abc .由公式a ＋b2≥ab ＞0，b ＋c2≥bc ＞0，a ＋c2≥ac ＞0.又∵a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2＞a 2b 2c 2＝abc . 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2＞abc 成立．∴log x a ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2＜log x a ＋log x b ＋log x c 成立.因逻辑混乱而出错设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，若tan αtan β＝16，求证：a ∥b .【错解】 ∵a ∥b ，且a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)， ∴(4cos α)·(4cos β)＝sin αsin β， 即sin αsin β＝16cos αcos β， ∴sin αcos α·sin βcos β＝16， ∴tan αtan β＝16，即结论正确．【错因分析】 以上证明混淆了已知和结论，把头脑中的分析过程当成了证明过程，如果按分析法书写就正确了；当然，本题用综合法书写证明过程更简洁．【防范措施】 分析法的优点是方向明确，思路自然，故利于思考，但表述易错；综合法的优点是易于表达，条理清晰，形式简捷，故我们一般用分析法寻求解题思路，用综合法书写解题过程．【正解】 分析法：要证明a ∥b ，而a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)， ∴即要证明(4cos α)·(4cos β)＝sin αsin β， 即要证sin αsin β＝16cos αcos β，即要证sin αcos α·sin βcos β＝16，即要证tan αtan β＝16，而tan αtan β＝16已知，所以结论正确．综合法：∵tan αtan β＝16，∴sin αcos α·sin βcos β＝16，即sin αsin β＝16cos αcos β， ∴(4cos α)·(4cos β)＝sin αsin β，即a ＝(4cos α，sin α)与b ＝(sin β，4cos β)共线， ∴a ∥b .1．综合法的特点是：从已知看可知，逐步推出未知．2．分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知．3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．1．直接证明中最基本的两种证明方法是( )A．类比法和归纳法B．综合法和分析法C．比较法和二分法D．换元法和配方法【解析】根据综合法和分析法的定义可知，二者均为直接证明方法．【答案】 B2．欲证2－3＜6－7，只需要证( )A．(2－3)2＜(6－7)2B．(2－6)2＜(3－7)2C．(2＋7)2＜(3＋6)2D．(2－3－6)2＜(－7)2【解析】∵2－3＜0，6－7＜0，∴要证2－3＜6－7，只需证2＋7＜3＋6，即证(2＋7)2＜(3＋6)2.【答案】 C3．在证明命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的过程“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ＋sin 2θ)(cos 2θ－sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”中应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．分析法和综合法综合使用D ．间接证法【解析】 符合综合法的证明思路． 【答案】 B4．已知a >b >0，试用分析证明a 2－b 2a 2＋b 2>a －ba ＋b.【证明】 要证明a 2－b 2a 2＋b 2＞a －ba ＋b(由a ＞b ＞0，得a －b ＞0)．只需证(a 2－b 2)(a ＋b )＞(a 2＋b 2)(a －b )， 只需证(a ＋b )2＞a 2＋b 2，即2ab ＞0， 因为a ＞b ＞0，所以2ab ＞0显然成立．因此当a ＞b ＞0时，a 2－b 2a 2＋b 2＞a －b a ＋b成立.一、选择题 1．下列表述：①综合法是由因导果法； ②综合法是顺推法； ③分析法是执果索因法； ④分析法是间接证明法； ⑤分析法是逆推法． 其中正确的语句有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解析】 结合综合法和分析法的定义可知①②③⑤均正确，分析法和综合法均为直接证明法，故④不正确．【答案】 C2．要证明a ＋a ＋7＜a ＋3＋a ＋4(a ≥0)可选择的方法有多种，其中最合理的是( )A ．综合法B ．类比法C ．分析法D ．归纳法【解析】 要证a ＋a ＋7＜a ＋3＋a ＋4， 只需证2a ＋7＋2a a ＋7＜2a ＋7＋2a ＋3a ＋4，只需证aa ＋7＜a ＋3a ＋4，只需证a (a ＋7)＜(a ＋3)(a ＋4)， 只需证0＜12， 故选用分析法最合理． 【答案】 C 3．已知f (x )＝a 2x ＋1－22x＋1是奇函数，那么实数a 的值等于( )A ．1B ．－1C ．0D ．±1【解析】 当a ＝1时，f (x )＝2x－12x ＋1，f (－x )＝1－2x2x ＋1＝－f (x )，f (x )为奇函数．a ＝－1,0时得不出f (x )为奇函数，故A 正确．【答案】 A4．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)【解析】 若满足题目中的条件，则f (x )在(0，＋∞)上为减函数，在A 、B 、C 、D 四选项中，由基本函数性质知，A 是减函数，故选A.【答案】 A5．对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．[－2,2] C ．[－2，＋∞)D ．[0，＋∞)【解析】 用分离参数法可得a ≥－(|x |＋1|x |)(x ≠0)，而|x |＋1|x |≥2，∴a ≥－2，当x ＝0时原不等式显然成立．【答案】 C 二、填空题6．设A ＝12a ＋12b ，B ＝2a ＋b(a >0，b >0)，则A 、B 的大小关系为________．【解析】 A －B ＝a ＋b 2ab －2a ＋b ＝a ＋b 2－4ab 2ab a ＋b≥0. 【答案】 A ≥B7．若抛物线y ＝4x 2上的点P 到直线y ＝4x －5的距离最短，则点P 的坐标为________．【解析】 数形结合知，曲线y ＝4x 2在点P 处的切线l 与直线y ＝4x －5平行． 设l ：y ＝4x ＋b .将y ＝4x ＋b 代入y ＝4x 2，得4x 2－4x －b ＝0，令Δ＝0，得b ＝－1.∴4x 2－4x ＋1＝0，∴x ＝12，∴y ＝1. 【答案】 (12，1) 8．补足下面用分析法证明基本不等式a 2＋b 22≥ab 的步骤： 要证明a 2＋b 22≥ab ， 只需证明a 2＋b 2≥2ab ，只需证____________，只需证____________．由于____________显然成立，因此原不等式成立．【解析】 要证明a 2＋b 22≥ab ， 只需证明a 2＋b 2≥2ab ，只需证a 2＋b 2－2ab ≥0，只需证(a －b )2≥0，由于(a －b )2≥0显然成立，因此原不等式成立．【答案】 a 2＋b 2－2ab ≥0 (a －b )2≥0 (a －b )2≥0三、解答题9．如图2－2－3所示，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点，EF ∩BD ＝G . 图2－2－3求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1.【证明】要证明平面B1EF⊥面BDD1B1，只需证面B1EF内有一线垂直于面BDD1B1，即EF⊥面BDD1B1.要证EF⊥面BDD1B1，只需证EF垂直平面BDD1B1内两条相交直线即可，即证EF⊥BD，EF⊥B1G.而EF∥AC，AC⊥BD，故EF⊥BD成立．故只需证EF⊥B1G即可．又∵△B1EF为等腰三角形，EF的中点为G，∴B1G⊥EF成立．∴EF⊥面BDD1B1成立，从而问题得证．10．设a，b>0，且a≠b，用分析法证明：a3＋b3>a2b＋ab2.【证明】要证a3＋b3>a2b＋ab2成立．只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)成立，又因a＋b>0，只需证a2－ab＋b2>ab成立，只需证a2－2ab＋b2>0成立，即证(a－b)2>0成立．而依题设a≠b，则(a－b)2>0显然成立．由此命题得证．11．已知a>0，b>0，用两种方法证明：ab＋ba≥a＋b.【证明】法一(综合法)：因为a>0，b>0，所以ab＋ba－a－b＝(ab－b)＋(ba－a)＝a－bb＋b－aa＝(a－b)(1b－1a)＝a＋b a－b2ba所以a b ＋b a ≥a ＋b . 法二 (分析法)：要证a b ＋b a≥a ＋b ， 只需证a a ＋b b ≥a b ＋b a ，即证(a －b )(a －b )≥0，因为a >0，b >0，a －b 与a －b 同号，所以(a －b )(a －b )≥0成立，所以a b ＋b a ≥a ＋b 成立.(教师用书独具)已知函数f (x )＝lg(1x －1)，x ∈(0，12)， 若x 1，x 2∈(0，12)，且x 1≠x 2. 求证：12[f (x 1)＋f (x 2)]＞f (x 1＋x 22)． 【思路探究】 用分析法，逆推所证不等式成立的充分条件．【自主解答】 要证12[f (x 1)＋f (x 2)]＞f (x 1＋x 22)， 只需证lg(1x 1－1)＋lg(1x 2－1)＞2lg(2x 1＋x 2－1)， 只需证(1x 1－1)(1x 2－1)＞(2x 1＋x 2－1)2.∵(1x 1－1)(1x 2－1)－(2x 1＋x 2－1)2＝x 1－x 221－x 1－x 2x 1x 2x 1＋x 22.由于x 1，x 2∈(0，12)，且x 1≠x 2，∴x 1－x 221－x 1－x 2x 1x 2x 1＋x 22＞0，即(1x 1－1)(1x 2－1)＞(2x 1＋x 2－1)2，∴12[f (x 1)＋f (x 2)]＞f (x 1＋x 22)．本题依托对数函数，考查分析法的应用，对对数函数的性质要会灵活运用．已知非零向量a ，b 且a ⊥b ，求证：|a |＋|b ||a －b |≤ 2.【证明】 要证|a |＋|b ||a －b |≤2，只要证|a |＋|b |≤2|a －b |，即证|a |2＋|b |2＋2|a ||b |≤2|a 2－2a ·b ＋b 2|.①∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∴①⇔|a |2＋|b |2＋2|a ||b |≤2|a |2＋2|b |2⇔(|a |－|b |)2≥0成立， ∴原不等式成立．。
最新人教版高中数学选修1 2《综合法和分析法》示范教案1
最新人教版高中数学选修1 2《综合法和分析法》示范教案1最新人教版高中数学选修1-2《综合法和分析法》示范教案12.2.1综合法和分析法教材分析《直接证明与间接证明》是在学习了推理方法的基础上学习的，研究的是如何正确利用演绎推理来证明问题．本节课是《直接证明与间接证明》的第一节，主要介绍了两种证明方法的定义和逻辑特点，并引导学生比较两种证明方法的优点，进而灵活选择证明方法，规范证明步骤．本节课的学习需要学生具有一定的认知基础，应尽量选择学生熟悉的例子．教学目标1。
知识和技能目标(1)了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法．(2)了解分析法和综合法的思维过程和特点．2．过程与方法目标（1）通过对实例的分析、归纳和总结，可以提高学生的理性思维能力(2)通过实际演练，使学生体会证明的必要性，并增强他们分析问题、解决问题的能力．3．情感、态度及价值观通过本节课的学习，了解直接证明的两种基本方法，感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用，养成言之有理、论之有据的好习惯，提高学生的思维能力．重点和难点重点：分析法和综合法的思维过程及特点．难点：分析法和综合法的应用．教学过程创设情境、引入新课问题1：我们学习了两种重要的推理方法。
请回忆一下我们学习的推理方法，它们各自的特点和功能是什么？活动设计：学生思考并举手回答，教师提问．活动成果：前面已经学习了合情推理和演绎推理．合理推理是提出新问题、获取新知识的主要推理方式，其特点是结论不可靠；演绎推理是证明结论的主要推理方式，其特点是只要大前提正确，推理形式正确，结论就必须正确提出问题2：使用演绎推理证明，怎样才能保证推理形式正确？活动设计：设问引出将要学习的内容是证明方法．问题3：让我们先看看我们已经证明的两个问题，并试图找出证明过程中的差异。
1.在立方体ABCD-A'B'C'd中，验证：A'C⊥ BD.证明：连接AC∵abcd―a′b′c′d′是正方体，∴aa′⊥平面abcd.又∵bd?平面abcd，∴aa′⊥bd.∵ 自动控制⊥ BD，AA′∩ AC=a，∩ 屋宇署⊥ 飞机a′AC。
福建省漳州市芗城中学高中数学 回归分析的基本思想及其初步应用(4)教案 新人教A版选修1-2
福建省漳州市芗城中学高中数学 回归分析的基本思想及其初步应用（4）教案 新人教A 版选修1-2教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法，了解可用残差分析的方法，比较两种模型的拟合效果.教学难点：了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较.教学过程：一、复习准备：1. 提问：在例3中，观察散点图，我们选择用指数函数模型来拟合红铃虫的产卵数y 和温度x 间的关系，还可用其它函数模型来拟合吗？2. 讨论：能用二次函数模型234y c x c =+来拟合上述两个变量间的关系吗？（令2t x =，则34y c t c =+，此时y 与t 间的关系如下： 观察y 与t 的散点图，可以发现样本点并不分布在一条直线的周围，因此不宜用线性回归方程来拟合它，即不宜用二次曲线234y c x c =+来拟合y 与x 之间的关系. ）小结：也就是说，我们可以通过观察变换后的散点图来判断能否用此种模型来拟合. 事实上，除了观察散点图以外，我们也可先求出函数模型，然后利用残差分析的方法来比较模型的好坏.二、讲授新课：1. 教学残差分析：① 残差：样本值与回归值的差叫残差，即i i i e y y =-.② 残差分析：通过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析.③ 残差图：以残差为横坐标，以样本编号，或身高数据，或体重估计值等为横坐标，作出的图形称为残差图. 观察残差图，如果残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高.2. 例3中的残差分析：计算两种模型下的残差一般情况下，比较两个模型的残差比较困难（某些样本点上一个模型的残差的绝对值比另一个模型的小，而另一些样本点的情况则相反），故通过比较两个模型的残差的平方和的大小来判断模型的拟合效果. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好.由于两种模型下的残差平方和分别为1450.673和15448.432，故选用指数函数模型的拟合效果远远优于选用二次函数模型. （当然，还可用相关指数刻画回归效果）3. 小结：残差分析的步骤、作用三、巩固练习：。
人教(A版)高中数学选修1-2教学设计：2. 2 .1 综合法和分析法(1)--综合法
（1）通过综合法的学习，体会数学思维的严密性、抽象性、科学性.
（2）通过综合法的学习，养成审核思维的习惯.
教学重点
了解综合法的思考过程、特点
教学难点
对综合法的思考过程、特点的概括
课型
新课
主要教学方法
自主学习、思考、交流、讨论、讲解
教学模式
合作探究，归纳总结
教学手段与教具
几何画板、智慧黑板．
证明：采用差值比较法：
=
= =
=
∴ 成立
∴
例5．设函数 对任意 ，都有 ，且 时， ．
（1）证明 为奇函数；
（2）证明 在 上为减函数．
证明：（1） ， ，
令 ， ，
，令 ，代入 ，得 ，
而 ， ，
是奇函数；
（2）任取 ，且 ，
则 ，
．
又 ，
为奇函数，
，
，即 ，
在 上是减函数．
三、课堂小结，巩固反思：
分析：将A , B , C成等差数列，转化为符号语言就是2B =A + C; A , B , C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A + B + C =；a , b，c成等比数列，转化为符号语言就是 ．此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求．于是，可以用余弦定理为工具进行证明．
证明：由A, B, C成等差数列，有2B=A + C．①
因为A,B,C为△ABC的内角，所以A + B + C=．②
由①②，得B= ．③
由a, b，c成等比数列，有 ．④
由余弦定理及③，可得
高中数学 2.2.1.1 综合法课件 新人教A版选修12
(1)a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取等号).
(2)
a
b
(a,b∈R*,当且仅当a=b时取等号). ab
(3)a2≥20,|a|≥0,(a-b)2≥0.
(4) ≥2(a,b同号). ≤-2(a,b异号).
(5)a,bab∈ baR,a2+b2≥
b (a+b)2a.
a b
1
2
第十一页，共46页。
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【补偿训练】求证:sin3α=3sinα-4sin3α. 【解析(jiě xī)】左边=sin(2α+α) =sin2αcosα+cos2αsinα =2sinαcos2α+(1-2sin2α)sinα =2sinα(1-sin2α)+sinα-2sin3α =2sinα-2sin3α+sinα-2sin3α =3sinα-4sin3α=右边. 所以sin3α=3sinα-4sin3α.
(1)已知函数(hánshù)f(x)=ax2+bx+c是偶函数(hánshù),则b的值
为
.
(2)在不等式“a2+b2≥2ab”的证明中:因为a2+b2-2ab=(a-b)2≥0所以
a2+b2≥2ab,该证明用的方法是
.
(3)角A,B为△ABC内角,A>B是sinA>sinB的
条件(填“充
分”“必要”“充要”或“既不充分又不必要”).
第七页，共46页。
【要点探究】 知识点 综合法 1.综合法的基本思路 综合法的基本思路是“由因导果”,由已知走向求证,即从数学题的 已知条件出发,经过逐步(zhúbù)的逻辑推理,最后导出待证结论或需
高中数学 2.2 第1课时 综合法与分析法课件 新人教A版选修12
只需证( a2＋b2)2≥[ 22(a＋b)]2. 即证 a2＋b2≥12(a2＋b2＋2ab)，即证 a2＋b2≥2ab. ∵a2＋b2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴ a2＋b2≥ 22(a＋b)成立．综上所述，不等式得证．
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• [方法规律总结] 分析法证明不等式的依据、 方法与技巧．
2b2>3(a2－b2)＝3(a－b)(a＋b)>0， • 所以3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2) • ＝3a2(a－b)＋2b2(b－a) • ＝(3a2－2b2)(a－b)≥0， • 即3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.
第十一页，共46页。
• 分析法证明(zhèngmíng)不等式
• 新知导学 • 4．分析法定义 • 从要证明的_结_论__(ji_élù_n出) 发，逐步寻求使它成立
推理(tuīlǐ)与证明
第二章
第一页，共46页。
2.2 直接证明与间接(jiàn jiē)证明 第1课时 综合法与分析法
第二章
第二页，共46页。
1 自主预习学案 2 典例探究学案 3 巩固提高学案
第三页，共46页。
自主预习学案
第四页，共46页。
• 1.结合已经(yǐ jing)学过的数学实例，了解直 接证明的两种基本方法．分析法和综合法； 了解分析法和综合法的思考过程、特点．
第二十页，共46页。
5．设 a>0，b>0，c>0，若 a＋b＋c＝1，则1a＋1b＋1c的最小 值为________．
[答案] 9
第二十一页，共46页。
福建省漳州市芗城中学高中数学 回归分析的基本思想及其初步应用(2)教案 新人教A版选修1-2
福建省漳州市芗城中学高中数学 回归分析的基本思想及其初步应用（2）教案 新人教A 版选修1-2教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 教学难点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 教学过程： 一、复习准备：1．由例1知，预报变量（体重）的值受解释变量（身高）或随机误差的影响.2．为了刻画预报变量（体重）的变化在多大程度上与解释变量（身高）有关？在多大程度上与随机误差有关？我们引入了评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 二、讲授新课：1. 教学总偏差平方和、残差平方和、回归平方和：（1）总偏差平方和：所有单个样本值与样本均值差的平方和，即21()ni i SST y y ==-∑.残差平方和：回归值与样本值差的平方和，即21()ni i i SSE y y ==-∑.回归平方和：相应回归值与样本均值差的平方和，即21()ni i SSR y y ==-∑.（2）学习要领：①注意i y 、i y 、y 的区别；②预报变量的变化程度可以分解为由解释变量引起的变化程度与残差变量的变化程度之和，即222111()()()nnni i i i i i i y y y y y y ===-=-+-∑∑∑；③当总偏差平方和相对固定时，残差平方和越小，则回归平方和越大，此时模型的拟合效果越好；④对于多个不同的模型，我们还可以引入相关指数22121()1()nii i n ii yy R yy ==-=--∑∑来刻画回归的效果，它表示解释变量对预报变量变化的贡献率. 2R 的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合的效果越好. 2. 教学例题：例2 关于x 与Y 有如下数据：为了对x 、Y 两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型： 6.517.5y x =+，717y x=+，试比较哪一个模型拟合的效果更好.分析：既可分别求出两种模型下的总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，也可分别求出两种模型下的相关指数，然后再进行比较，从而得出结论.（答案：52211521()155110.8451000()i iiiiy yRy y==-=-=-=-∑∑，221R=-521521()18010.821000()i iiiiy yy y==-=-=-∑∑，84.5%＞82%，所以甲选用的模型拟合效果较好.）3. 小结：分清总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，初步了解如何评价两个不同模型拟合效果的好坏.。
高中数学新人教版A版精品教案《2.2.1 综合法与分析法》
第二章推理与证明直接证明与间接证明1一、教学目标：知识与技能：1结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；2了解分析法和综合法的思考过程、特点。
过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值：让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神二、教学重点、难点重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点难点：分析法和综合法的思考过程、特点三、教学模式与教法、学法教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．“抓三线”，即一知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点学法：突出探究、发现与交流．四、教学过程典例解析例1：已知a, b, c是不全相等的正数，求证：ab2c2bc2a2ca2b2 > 6abc分析：运用什么知识来解决？（基本不等式）→ 板演证明过程（注意等号的处理）→ 讨论：证明形式的特点提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立框图表示：要点：顺推证法；由因导果例2分析：如何下手，可以得到此结论？→ 板演证明过程→ 讨论：证明过程的特点→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；学生板书：探究一 综合法的应用已知,a b 是正数，且1,a b +=求证：114a b +≥变式一：已知,,a b c R ∈，且1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥探究二 分析法的应用当0a b +>)2a b ≥+变式二： 已知6a ><探究三：请大家先自学课本第85至86页例1，在尝试如下一道题：综合法与分析法的综合应用已知三角形的三个内角,,A B C 为等差数列，且,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，求证： 111()()3()a b b c a b c ---+++=++通过此题来巩固本节课所学，注意综合法的顺推，分析法的逆推，以及左右开工的两者结合五、小结 比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”分析，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径 （框图示意）六、作业1课时检测七、课后记分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。
福建省漳州市芗城中学高中数学 1.2.1排列(1)教案 新人教A版选修2-3
例4．求证：（1） ；（2） ．
证明：（1） ，∴原式成立
（2）
右边
∴原式成立
例5．化简：⑴ ；⑵
⑴解：原式
⑵提示：由 ，得 ，
原式
说明： ．
教学后记：
可以分三个步骤来解决这个问题：
第1步，确定百位上的数字，在1 , 2 , 3 , 4这4个数字中任取1个，有4种方法；
第2步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的3个数字中去取，有3种方法；
第3步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的2个数字中去取，有2种方法．
福建省漳州市芗城中学高中数学1．2．1排列（1）教案新人教A版选修2-3
课题： 第课时总序第个教案
课型：新授课编写时时间：年月日执行时间：年月日
教学目标：
知识与技能：了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。
过程与方法：能运用所学的排列知识，正确地解决实际问题
图1.2一1
把上面问题中被取的对象叫做元素，于是问题可叙述为：从3个不同的元素a , b，。中任取2个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？所有不同的排列是ab,ac,ba,bc,ca, cb,
共有3×2=6种．
问题2．从1,2,3,4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？
312，314, 321, 324, 341, 342，
412，413, 421, 423, 431, 432。
同样，问题2可以归结为：
从4个不同的元素a, b, c，d中任取3个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？
高中数学新人教版A版精品教案《2.2.1 综合法和分析法》
高中数学新课标人教A版选修1-2直接证明——综合法和分析法执教教师：蔡苗苗洛阳市第二实验中学电教中心录制一、教学目标：1、知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点；2、过程与方法: 通过学生分组自己讲练，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；3、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣二、教学重点、难点：重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点，书写证明格式规范；难点：分析法和综合法的思考过程、特点三、教学方法：启发式教学法，分组讨论法四、教学准备与设想：抓住分析法和综合法的思考过程、特点，联系生活，渗透思想“变形”是解题的关键，是最重一步，在教学引导时要多启发，因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法五、教学过程：（一）创设情景，引出课题逻辑结构编织着中学数学，这种潜移默化的逻辑结构的熏陶是中学数学的“灵魂”，今天，让我们共同步入“直接证明”的逻辑之旅吧！（板书直接证明）1、请看图片：主角——葫芦，“瞎子摘葫芦”，打一歇后语生答“顺藤摸瓜”，蕴含一种顺序思维，为综合法引入加深印象2、第二幅图片：白云山九龙瀑布，诗句：问渠哪得清如许，为有源头活水来，蕴含一种溯源（逆推）思维，为分析法做好铺垫板书副标题：综合法与分析法（二）抽象思维，形成概念1、观察以下不等式证明讲解思维过程，师生共同分析问题1 已知a,b>0,求证2222()()4a b c b c a abc +++≥法一：证明:因为222,0b c bc a +≥>,所以22()2a b c abc +≥,因为222,0c a ac b +≥>,所以22()2b c a abc +≥因此, 2222()()4a b c b c a abc +++≥法二：要证：2222()()4≥a b c b c a abc +++ 只要证：2222()2,()2≥≥a b c abc b c a abc ++ ∵0,0a b >>∴只要证：22222,2≥≥b c bc c a ac ++ 又∵0,0,0a b c >>>，∴22222,2≥≥b c bc c a ac ++∴得证 2、对比得出概念及特点（1）综合法定义：象这种利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫综合法又称顺推证法用综合法证明不等式的逻辑流程图是：()()()11223().....n P Q Q Q Q Q Q Q ⇒→⇒→⇒→→⇒P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q 表示要证明的结论综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法（2） 分析法定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、公理等）为止这种证明方法叫做分析法 又称倒推证法用分析法证明不等式的逻辑框图是：()()1121().....()n n n Q P P P P P P P -⇐←⇐←⇐←⇐分析法的思维特点是：执果索因分析法的书写格式：要证明命题B 为真，只需要证明命题为真，从而有……这只需要证明命题为真，从而又有…………这只需要证明命题A 为真而已知A 为真，故命题B 必为真3、进步设疑，理解新知问题2:在《数学5(0,0)?2a b a b +>>指出其中的证明方法的特点证法1:对于正数a,b, 有只要证b a ab +≤2 只要证ab b a 20-+≤ 只要证()20b a -≤ 证法2:要证2002≥≥≥a a b a b a b -∴+-∴++∴（2a b+因为最后一个不等式成立，故结论成立总结：综合法，表达简洁；分析法，目的性强，易于探索（三）初步应用，巩固概念1、讲一讲在△ABC 中,设求证：,,b CA a BC ==ABC S ∆ 请同学们前后四人一组分组讨论，合作交流，引导试图找出两种证法并请代表上台2、练一练2）求证：5273<+请同桌交流，两人合作分工把两个题的步骤给顺出来，并请代表演板3、说一说请对综合法与分析法进行比较，说说它们各自特点，回顾以往数学学习，说说你对这两种证明方法的新认识综合法的特点:由因导果;分析法的特点：执果索因教师展示一副对联，说一说二者比较：由因导果，顺藤摸瓜；执果索因，逆推破案；横批——直接证明（门心为“蜡烛迷宫”）四深入探究，感受方法1、研一研（1）△ABC 三边长 的倒数成等差数列，求证： （综合法）分析：成等比数列,求证△ ABC 为等边三角形,,a b c ,,a b c 1）在△ABC 中,三个内角A,B,C 的对边分别为 ,且A,B,C 成等差数列, ,,a b c ︒<∠90B因为a,b,c 为△ABC 三边 ，所以 a c > b 所以 coB>0 因此 .11,1,1.2<++<<abb a b a 求证：若 （分析法）证明：要证 只需证明 只需证明 只需证明 所以原命题成立2、思考小结（1）综合法──联想尝试浮想联翩,尝试前进!其格式为: 由因导果已知1n A B B B ⇒⇒⇒⇒结论（2）分析法──转化尝试执果索因,妙在转化!其格式为: 不断转化结论1n B B ⇐⇐已知 ac b ac 222-≥acb 212-=)(12c a b b +-=ac b c a B 2222cos -+=01>+-ca b ︒<∠90B 11<++ab b a 112<⎪⎭⎫ ⎝⎛++ab b a ()22)1(ab b a +<+0)1)(1(22>--b a 11<<b a 1122<<∴b a ()()01,0122<-<-∴b a 0)1)(1(22>--b a 因此注:分析法被认为是解数学题的“绝招”,因为它能把问题化繁为简，化难为易，化陌生为熟悉当然,为了表述的简洁,我们常用综合法写出分析的成果作为证明3、教师点拨从概念，特点和二者关系上进一步点拨六、作业布置：1、P44 A组 T1，2;2、进一步“研一研”专题的两个题目，下节展讲七、板书设计：直接证明——综合法和分析法教师板书区学生展讲区学生练习区。
高中数学《2.2.1综合法和分析法》教案 新人教A版选修12
- 1 - 一课时2.2.1 综合法和分析法（一）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 教学过程：一、复习准备：1. 已知 “若12,a a R +∈，且121a a +=，则12114a a +≥”，试请此结论推广猜想. （答案：若12,.......n a a a R +∈，且12....1n a a a +++=，则12111....n a a a +++≥ 2n ） 2. 已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：1119a b c++≥. 先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？二、讲授新课：1. 教学例题：① 出示例1：已知a , b , c 是不全相等的正数，求证：a (b 2 + c 2) + b (c 2 + a 2) + c (a 2 + b 2) >6abc .分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过程（注意等号的处理） → 讨论：证明形式的特点② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.框图表示： 要点：顺推证法；由因导果.③ 练习：已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证3b c a a c b a b c a b c+-+-+-++>. ④ 出示例2：在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形.分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？→ 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点.→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）2. 练习：① ,A B 为锐角，且tan tan 3tan 3A B A B ++=，求证：60A B +=o . （提示：算tan()A B +）② 已知,a b c >> 求证：114.a b b c a c+≥--- 3. 小结：综合法是从已知的P 出发，得到一系列的结论12,,Q Q ⋅⋅⋅，直到最后的结论是Q . 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.三、巩固练习：1. 求证：对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=. （教材P 52 练习 1题）（两人板演 → 订正 → 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）2. ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，求证：113a b b c a b c+=++++. 3. 作业：教材P 54 A 组 1题.。
福建省漳州市芗城中学高中数学 综合法和分析法（二）(1)
福建省漳州市芗城中学高中数学 综合法和分析法（二）教案 新人教A 版选修1-2 教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种大体方式：分析法和综合法；了解分析法和综合法的试探进程、特点.教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的试探进程.教学难点：依照问题的特点，选择适当的证明方式.教学进程：一、温习预备：1. 提问：大体不等式的形式？2. 讨论：如何证明大体不等式(0,0)2a b ab a b +≥>>. （讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论动身，一步步探求结论成立的充分条件）二、教学新课：1. 教学例题：① 出例如1：求证3526+>+.讨论：能用综合法证明吗？ → 如何从结论动身，寻觅结论成立的充分条件？→ 板演证明进程 （注意格式）→ 再讨论：能用综合法证明吗？ → 比较：两种证法② 提出分析法：从要证明的结论动身，慢慢寻觅使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、概念、公理等）为止.框图表示：要点：逆推证法；执果索因. ③ 练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：11223332()()x y x y +>+.先讨论方式 → 别离运用分析法、综合法证明.④ 出例如4：见教材P 48. 讨论：如何寻觅证明思路？（从结论出发，慢慢反推）⑤ 出例如5：见教材P 49. 讨论：如何寻觅证明思路？（从结论与已知动身，慢慢探求）2. 练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，若是水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.提示：设截面周长为l ，那么周长为l 的圆的半径为2l π，截面积为2()2l ππ，周长为l 的正方形边长为4l ，截面积为2()4l，问题只需证：2()2l ππ> 2()4l . 3. 小结：分析法由要证明的结论Q 试探，一步步探求取得Q 所需要的已知12,,P P ⋅⋅⋅，直到所有的已知P 都成立； 比较好的证法是：用分析法去试探，寻觅证题途径，用综合法进行书写；或联合利用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），左右开弓，两面夹击，慢慢缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. （框图示意）三、巩固练习：1. 练习：2.作业：P。
高中数学 221《综合法与分析法》同步课件 新人教A版选修12
[点评] 本题主要考查了三角函数与不等式证明的综 合应用，题目中的条件与结论之间的关系不明显，因此可 以用分析法挖掘题目中的隐含条件，在证明过程中注意分 析法的格式与步骤．
对于与三角函数有关的证明题，在证明过程中注意角 的取值范围及三角恒等变形公式的灵活应用．
[例 5] [误解]
设 a＋b＞0，n 为偶数，求证ban－n1＋abn－n 1≥1a＋1b. ban－n 1＋abn－n 1－1a－1b＝(an－bn)((aabn)－n1－bn－1).
2．2 直接证明与间接证明
1．知识与技能 了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了 解分析法和综合法的思考过程和特点． 2．过程与方法 进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系 与差异．
本节重点：综合法和分析法的概念及思考过程、特 点．
本节难点：运用综合法和分析法解答问题． 从实际问题中命题的条件或结论出发，根据已知的定 义、公理、定理，直接推证结果的真实性，从证明过程上 认识分析法和综合法的推理过程，学会用分析法和综合法 证明实际问题，并且理解分析法和综合法之间的内在联 系．
[例 2] 设 a，b 为实数，求证 a2＋b2≥ 22(a＋b)．
[证明] 当 a＋b≤0 时，∵ a2＋b2≥0， ∴ a2＋b2≥ 22(a＋b)成立． 当 a＋b＞0 时， 用分析法证明如下： 要证 a2＋b2≥ 22(a＋b)，
只需证( a2＋b2)2≥[ 22(a＋b)]2. 即证 a2＋b2≥12(a2＋b2＋2ab)，即证 a2＋b2≥2ab. ∵a2＋b2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴ a2＋b2≥ 22(a＋b)成立．综上所述，不等式得证．
又∵a，b，c 是不全相等的正数， ∴a＋2 b·b＋2 c·a＋2 c＞ a2b2c2＝abc. 即：a＋2 b·b＋2 c·a＋2 c＞abc 成立． ∴logxa＋2 b＋logxb＋2 c＋logxa＋2 c＜logxa＋logxb＋logxc 成 立．
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福建省漳州市芗城中学高中数学 综合法和分析法（一）教案 新人教
A 版选修1-2
教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点. 教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.
教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 教学过程：
一、复习准备：
1. 已知 “若12,a a R +∈，且121a a +=，则12114a a +≥”，试请此结论推广猜想. （答案：若12,.......n a a a R +∈，且1
2....1n a a a +++=，则
12111....n a a a +++≥ 2n ） 2. 已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：1119a b c ++≥. 先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？
二、讲授新课：
1. 教学例题：
① 出示例1：已知a , b , c 是不全相等的正数，求证：a (b 2 + c 2) + b (c 2 + a 2) + c (a 2 + b 2) > 6abc .
分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过程（注意等号的处理） → 讨论：证明形式的特点
② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.
框图表示： 要点：顺推证法；由因导果. ③ 练习：已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证3b c a a c b a b c a b c
+-+-+-++>. ④ 出示例2：在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形.
分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？ → 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点.
→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）
2. 练习：
① ,A B 为锐角，且tan tan 3tan 3A B A B ++60A B +=o . （提示：算
tan()A B +）
② 已知,a b c >> 求证：114.a b b c a c
+≥--- 3. 小结：综合法是从已知的P 出发，得到一系列的结论12,,Q Q ⋅⋅⋅，直到最后的结论是Q . 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.
三、巩固练习：
1. 练习：
2.作业：P。