2016年黑龙江省大庆实验中学高考数学模拟试卷(理科)(六)

2016年黑龙江省大庆实验中学高考数学模拟试卷（理科）
（六）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)
1.已知M={y|y=x2}，N={x|+y2=1}，则M∩N=（）
A.{（-1，1），（1，1）}
B.{1}
C.[0，]
D.[0，1]
【答案】
C
【解析】
解：由M中y=x2≥0，得到M=[0，+∞），
由N中+y2=1，得到-≤x≤，即N=[-，]，
则M∩N=[0，]．
故选：C．
求出M中y的范围确定出M，求出N中x的范围确定出N，找出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2.已知=a+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）
A.-4
B.4
C.-10
D.10
【答案】
A
【解析】
解：∵===a+i，
∴=a，=-1，
解得：b=-7，a=3．
∴a+b=-7+3=-4．
故选：A．
利用复数的代数形式的乘除运算及复数相等的性质可求得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，将复数分母实数化是化简的关键，考查复数相等与运算能力，属于基础题．
3.在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他十个小长方形面积的和的，且样本容量是160，则中间一组的频数为（）
A.32
B.0.2
C.40
D.0.25
【答案】
A
【解析】
解：设间一个长方形的面积S则其他十个小长方形面积的和为4S，所以频率分布直方图的总面积为5S
所以中间一组的频率为
所以中间一组的频数为160×0.2=32故选A
据已知求出频率分布直方图的总面积；求出中间一组的频率；利用频率公式求出中间一组的频数．
本题考查频率分布直方图中各组的面积除以总面积等于各组的频率．注意频率分布直方
．
图的纵坐标是频率
组据
4.设命题p：-6≤m≤6，命题函数q：f（x）=x2+mx+9（m∈R）没有零点，则p是q
的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】
B
【解析】
解：∵f（x）=x2+mx+9（m∈R）没有零点，
∴△=m2-36＜0，解得：-6＜m＜6，
∴q：-6＜m＜6，而命题p：-6≤m≤6，
故p是q的必要不充分条件，
故选：B．
求出关于命题q的m的范围，根据集合的包含关系结合充分必要条件的定义判断即可．本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，科学二次函数的性质，是一道基础题．5.设A（a，1），B（2，b），C（4，5）为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在
方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为（）
A.4a-5b=3
B.5a-4b=3
C.4a+5b=14
D.5a+4b=14
【答案】
A
【解析】
解：∵与在方向上的投影相同，
∴
∴4a+5=8+5b，
∴4a-5b=3故选：A．
构造三个向量，起点是原点，那么三个向量的坐标和点的坐标相同，根据投影的概念，列出等式，用坐标表示，移项整理得到结果．
投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q=0°时投影为|b|；当q=180°时投影为-|b|．
6.执行如图的程序框图，输出的C的值为（）
A.3
B.5
C.8
D.13
【答案】
B
【解析】
解：模拟执行程序，可得
A=1，B=1，k=3满足条件k≤5，C=2，A=1，B=2，k=4满足条件k≤5，C=3，A=2，B=3，k=5满足条件k≤5，C=5，A=3，B=5，k=6不满足条件k≤5，退出循环，输出C的值为5．
故选：B．
分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量C的值并输出，模拟程序的运行，对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．
根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．
7.在直角坐标系中，P点的坐标为，，Q是第三象限内一点，|OQ|=1且，则Q点的横坐标为（）
A. B. C. D.
【答案】
A
【解析】
解：设 x OP=α，则，，；
故选：A．
设 x OP=α，根据三角函数的坐标法定义，得到α的三角函数值，然后利用三角函数公式求Q的横坐标．
本题考查了三角函数的坐标法定义以及三角函数公式的运用；属于基础题．
8.某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）
A.π
B.6π
C.π
D.π
【答案】
C
【解析】
解：由三视图知几何体是由上半部分为半圆锥，下半部分为半圆柱组成的几何体，
根据图中数据可知圆柱与圆锥的底面圆半径为2，圆锥的高为2，圆柱的高为1，
∴几何体的体积V=V半圆锥+V半圆柱=××π×22×2+×π×22×1=．
故选C．
由三视图知几何体是由上半部分为半圆锥，下半部分为半圆柱组成的几何体，根据三视图的数据求半圆柱与半圆锥的体积，再相加．
本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及相关数据所对应的几何量．
9.已知等比数列{a n}的各项都是正数，且3a1，a3，2a2成等差数列，则=（）
A.1
B.3
C.6
D.9
【答案】
D
【解析】
解：设各项都是正数的等比数列{a n}的公比为q，（q＞0）
由题意可得2×a3=3a1+2a2，即q2-2q-3=0，
解得q=-1（舍去），或q=3，
故==q2=9．
故选：D．
设各项都是正数的等比数列{a n}的公比为q，（q＞0），由题意可得关于q的式子，解之可得q，而所求的式子等于q2，计算可得．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式，求出公比是解决问题的关键，属基础题．
10.已知a，b都是负实数，则的最小值是（）
A. B.2（-1） C.2-1 D.2（+1）
【答案】
B
【解析】
解：直接通分相加得
=
=1-
=1-
因为a，b都是负实数，所以，都为正实数
那么上式分母中的分母可以利用基本不等式求出最小值
最小值为为2
分母有最小值，即有最大值
那么1-可得最小值
最小值：2-2故选B．
把所给的式子直接通分相加，把分子整理出含有分母的形式，做到分子常数化，分子和分母同除以分母，把原式的分母变化成具有基本不等式的形式，求出最小值．
本题考查函数的最值及其几何意义，本题解题的关键是整理出原式含有基本不等式的形式，可以应用基本不等式求最值．
11.经过双曲线=1（a＞b＞0）的右焦点为F作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线相交于M，N两点，若O是坐标原点，△OMN的面积是，则该双曲线的离心率是（）
A.2
B.
C.
D.
【答案】
C
【解析】
解：双曲线=1（a＞b＞0）的渐近线方程为y=±x，
设两条渐近线的夹角为θ，
则tanθ=tan MON==，
设FN⊥ON，则F到渐近线y=x的距离为d==b，
即有|ON|==a，
则△OMN的面积可以表示为•a•atanθ==，
解得a=2b，
则e====．
故选C．
求出双曲线的渐近线方程，设两条渐近线的夹角为θ，由两直线的夹角公式，可得
tanθ=tan MON，求出F到渐近线y=x的距离为b，即有|ON|=a，△OMN的面积可
以表示为•a•atanθ，结合条件可得a，b的关系，再由离心率公式即可计算得到．
本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查两直线的夹角公式和三角形的面积公式，结合着较大的运算量，属于中档题．
12.已知f（x）=x（1+lnx），若k∈Z，且k（x-2）＜f（x）对任意x＞2恒成立，则k的最大值为（）
A.3
B.4
C.5
D.6
【答案】
B
【解析】
解：f（x）=x（1+lnx），所以k（x-2）＜f（x）对任意x＞2恒成立，
即k＜对任意x＞2恒成立．
令g（x）=，则g′（x）=，
令h（x）=x-2lnx-4（x＞2），则h′（x）=1-=，
所以函数h（x）在（2，+∞）上单调递增．
因为h（8）=4-2ln8＜0，h（9）=5-2ln9＞0，
所以方程h（x）=0在（2，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（8，9）．
当2＜x＜x0时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，当x＞x0时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，所以函数g（x）=在（2，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．
又x0-2lnx0-4=0，所以2lnx0=x0-4，故1+lnx0=x0-1，
所以[g（x）]min=g（x0）===x0∈（4，4.5）
所以k＜[g（x）]min==x0∈（4，4.5）．
故整数k的最大值是4．
故选：B．
f（x）=x（1+lnx），所以k（x-2）＜f（x）对任意x＞2恒成立，即k＜对任意x
＞2恒成立，求出右边函数的最小值，即可求k的最大值．
本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查函数的最值，正确求导是关键．
二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)
13.设a=（3x2-2x）dx，则二项式（ax2-）6展开式中的第4项为______ ．
【答案】
-1280x3
【解析】
解：由于a=（3x2-2x）dx=（x3-x2）=4，
则（4x2-）6的通项T r+1=（4x2）6-r（-）r，
故（4x2-）6的展开式中的第4项为T3+1=（4x2）3（-）3=-1280x3，
故答案为：-1280x3．
先计算定积分，再写出二项式的通项，即可求得展开式中的第4项．
本题考查定积分知识，考查二项展开式，考查展开式中的特殊项，属于基础题．
14.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E是线段B1C的中点，则三棱锥A-DED1外接球体积为______ ．
【答案】
【解析】
解：三棱锥A-DED1外接球为四棱锥E-A1D1DA外接球，
设球的半径为R，则R2=（）2+（1-R）2，∴R=，
∴三棱锥A-DED1外接球体积为=．
故答案为：．
三棱锥A-DED1外接球为四棱锥E-A1D1DA外接球，利用
勾股定理建立方程，求出球的半径，即可求出三棱锥A-DED1外接球体．
本题考查三棱锥A-DED1外接球体，考查学生的计算能力，求出球的半径是关键．
15.在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且bcos C=3acos B-ccos B，•=2，则△ABC的面积为______ ．
【答案】
2
【解析】
解：∵bcos C=3acos B-ccos B，
∴sin B cos C=3sin A cos B-sin C cos B，
即sin B cos C+sin C cos B=3sin A cos B，
即sin（B+C）=3sin A cos B，
即sin A=3sin A cos B，
则cos B=，sin B==，
∵•=2，
∴||•||cos B=2即ac=2，ac=6，
则△ABC的面积为S=acsin B==2，
故答案为：2．
根据正弦定理结合两角和差的正弦公式进行化简求出cos B的值，结合向量数量积以及
三角形的面积公式进行求解即可．
本题主要考查三角形面积的计算，利用正弦定理以及向量数量积应用是解决本题的关键．
16.已知P为椭圆+=1上一个动点，过P作圆（x-1）2+y2=1的两条切线，切点分
别为A﹑B，则•的取值范围是______ ．
【答案】
[，]
【解析】
解：如图，由题意设PA与PB的夹角为2θ，
则|PA|=PB|=，
∴•==
．
设cos2θ=t，则y=•==
，
∵P在椭圆的左顶点时，sinθ=，∴cos2θ=，
此时•的最大值为
∴•的取值范围是：[，]．
故答案为：[，]．
由题意设PA与PB的夹角为2θ，通过解直角三角形求出PA，PB的长，利用向量的数量积公式表示出•，利用三角函数的二倍角公式化简，换元后再利用基本不等式求出最值得答案．
本题考查圆的切线的性质、三角函数的二倍角公式、向量的数量积公式、基本不等式求函数的最值，属于中档题
三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)
17.等比数列{a n}中，a n=54．前n项和前2n项和分别为S n=80，S2n=6560．
（1）求首项a1和公比q；
（2）若A1=，数列{A n}满足A n-A n-1=a1•，（n≥2），设c n=tan A n tan A n-1．求数列{c n}
的前n项和T n．
【答案】
解：（1）设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵a n=54，S n=80，S2n=6560．
∴=54，=80，=6560，可得q n=81，
解得a1=2，q=3，n=4．
（2）∵A1=，数列{A n}满足A n-A n-1=a1•=，（n≥2），
∴A n==．
∵tan（A n-A n-1）==tan=，
∴c n=tan A n tan A n-1=（tan A n-tan A n-1）-1，
∴数列{c n}的前n项和T n=[（tan A2-tan A1）+（tan A3-tan A2）+…+tan（A n-A n-1）]-n =（tan A n-tan A1）-n
=-n．
【解析】
（1）设等比数列{a n}的公比为q≠1，由a n=54，S n=80，S2n=6560．可得：=54，=80，=6560，可得q n=81，解出即可得出．
（2）由A1=，数列{A n}满足A n-A n-1=a1•=，（n≥2），可得A n=．由tan（A n-A n-1）==tan，可得c n=tan A n tan A n-1=（tan A n-tan A n-1）-1，利用“累加求和”
即可得出．
本题考查了递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、“累加求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18.每逢节假日，在微信好友群发红包逐渐成为一种时尚，还能增进彼此的感情．2015年中秋节期间，小鲁在自己的微信校友群，向在线的甲、乙、丙、丁四位校友随机发放红包，发放的规则为：每次发放1个，每个人抢到的概率相同．
（1）若小鲁随机发放了3个红包，求甲至少得到1个红包的概率；
（2）若丁因有事暂时离线一段时间，而小鲁在这段时间内共发放了3个红包，其中2个红包中各有5元，1个红包有10元，记这段时间内乙所得红包的总钱数为X元，求X的分布列和数学期望．
【答案】
解（1）设“甲至少得1红包”为事件A，由题意得：
…（4分）
（2）由题意知X 可能取值为0，5，10，15，20．…（5分）
分
∴X 的分布列为：
E （X ）=
+
+
=
．…（12分）
【解析】
（1）设“甲至少得1红包”为事件A ，由已知利用n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式的合理运用．
（2）由题意知X 可能取值为0，5，10，15，20，分别求出相应的概率，由此能求出X 分布列和E （X ）．
本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式的合理运用．
19.如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ， DAB 为直角，AB ∥CD ，AD=CD=2AB ，E 、F 分别为PC
、
CD 的中点．
（Ⅰ）试证：AB ⊥平面BEF ；
（Ⅱ）设PA=k •AB ，且二面角E-BD-C 的平面角大于45°，求k 的取值范围．
【答案】 解：（Ⅰ）证：由已知DF ∥AB 且 DAB 为直角， 故ABFD 是矩形，从而AB ⊥BF ． 又PA ⊥底面ABCD ，
所以平面PAD ⊥平面ABCD ，
因为AB ⊥AD ，故AB ⊥平面PAD ， 所以AB ⊥PD ，
在△PDC内，E、F分别是PC、CD的中点，EF∥PD，所以AB⊥EF．
由此得AB⊥平面BEF．（6分）
（Ⅱ）以A为原点，以AB、AD、AP为OX、OY、OZ正向建立空间直角坐标系，
设AB的长为1，则=（-1，2，0），=（0，1）
设平面CDB的法向量为，，，平面EDB的法向量为，，，
则
∴，取y=1，可得，，
设二面角E-BD-C的大小为θ，
则cosθ=|cos＜m1，m2＞|═
化简得＞，则＞．（12分）
【解析】
（Ⅰ）欲证AB⊥平面BEF，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AB与平面BEF 内两相交直线垂直，而AB⊥BF．
根据面面垂直的性质可知AB⊥EF，满足定理所需条件；
（Ⅱ）以A为原点，以AB、AD、AP为OX、OY、OZ正向建立空间直角坐标系，设AB 的长为1，求出平面CDB的法向量和平面EDB的法向量，然后利用向量的夹角公式建立关系，解之即可．
本小题主要考查直线与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．
20.已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，过点M（1，0）的直线1交椭
圆C于A，B两点，|MA|=λ|MB|，且当直线l垂直于x轴时，|AB|=．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若λ∈[，2]，求弦长|AB|的取值范围．
【答案】
解：（1）由题意可得，，即，
∴，则a2=2b2，①
把x=1代入，得y=，
则，②
联立①②得：a2=2，b2=1．
∴椭圆C的方程为；
（2）如图，当直线l的斜率存在时，设直线l方程为y=k（x-1），
联立，得（1+2k2）y2+2ky-k2=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，，③
由|MA|=λ|MB|，得，
∴（1-x1，-y1）=λ（x2-1，y2），则-y1=λy2，④
把④代入③消去y2得：，
当λ∈[，2]时，∈[0，]．
解得：．
|AB|==
==，．
∴弦长|AB|的取值范围为，．
【解析】
（1）先由离心率得到a，b的关系，再由求出b，再由直线l垂直于x轴时，|AB|=求得关于a，b的另一方程，联立求得a，b的值，则椭圆的标准方程可求；
（2）设AB的方程y=k（x-1），将直线的方程代入椭圆的方程，消去x得到关于y的一元二次方程，再结合根系数的关系，利用向量坐标公式及函数的单调性即可求得直线AB的斜率的取值范围，从而求得弦长|AB|的取值范围．
本题主要考查了椭圆的定义和标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题、平面向量的运算等．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，突出考查了数形结合、函数与方程、等价转化等数学思想方法．
21.设函数f（x）=（1-ax）ln（1+x）-bx，其中a，b是实数．已知曲线y=f（x）与x 轴相切于坐标原点．
（1）求常数b的值；
（2）当0≤x≤1时，关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（3）求证：＞．
【答案】
解：（1）因为y=f（x）与x轴相切于坐标原点，
故f'（0）=0，故b=1，
（2）′，x∈[0，1]，
．
①当时，由于x∈[0，1]，
有，
于是f'（x）在x∈[0，1]上单调递增，
从而f'（x）≥f'（0），
因此f（x）在x∈[0，1]上单调递增，
即f（x）≥f（0）=0，而且仅有f（0）=0，符合；
②当a≥0时，由于x∈[0，1]，
有＜，
于是f'（x）在x∈[0，1]上单调递减，
从而f'（x）≤f'（0）=0，
因此f（x）在x∈[0，1]上单调递减，
即f（x）≤f（0）=0不符；
③当＜＜时，令，，
当x∈[0，m]时，＜，
于是f'（x）在x∈[0，m]上单调递减，
从而f'（x）≤f'（0）=0，
因此f（x）在x∈[0，m]上单调递减，
即f（x）≤f（0）=0，而且仅有f（0）=0，不符．
综上可知，所求实数a的取值范围是∞，．
（3）对要证明的不等式等价变形如下：
对于任意的正整数n，不等式＜恒成立，
等价变形＜，
相当于（2）中，的情形，
f（x）在，上单调递减，
即f（x）≤f（0）=0，而且仅有f（0）=0；
取，得：对于任意正整数n都有＜成立；
令n=1000得证．
【解析】
（1）求出函数的导数，得到f′（0）=0，求出b的值即可；
（2）求出f（x）的导数，通过讨论a的范围，求出导函数的单调性，从而判断出f（x）的单调性，从而求出a的范围即可；
（3）问题等价于＜，结合（2），取，得：对于任意正整数
n都有＜成立；令n=1000得证．
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．
22.如图所示，已知圆O的半径长为4，两条弦AC，BD相
交于点E，若，BE＞DE，E为AC的中点，
．
（1）求证：AC平分 BCD；
（2）求 ADB的度数．
【答案】
解：（1）由E为AC的中点，，得
．
又 BAE=CAB，
∴△ABE∽△ACB，
∴ ABE=ACB，
又 ACD=ABE，
∴ ACD=ACB，
故AC平分 BCD．
（2）连接OA，由点A是弧BAD的中点，则
OA⊥BD，
设垂足为点F，则点F为弦BD的中点，，
连接OB，则，
∴， AOB=60°．
∴°．
【解析】
（1）由已知可证△ABE∽△ACB，即可得到 ABE=ACB，又 ACD=ABE，从而证明 ACD=ACB，得到结论．
（2）连接OA，则OA⊥BD，设垂足为点F，则点F为弦BD的中点，连接OB，可求cos AOB=的值，进而可求 AOB，及 ADB的度数．
本题主要考查了相似三角形的判定及性质，考查了数形结合思想和推理论证能力，属于中档题．
23.已知曲线C1的参数方程为（其中θ为参数），以坐标原点为极点，x轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ+1=0．（1）分别写出曲线C1与曲线C2的普通方程；
（2）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求线段AB的长．
【答案】
解：（1）曲线C1的参数方程为（其中θ为参数），消去参数θ可得：曲线：．
曲线C2的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ+1=0，可得直角坐标方程：曲线C2：x-y+1=0．（2）联立，得7x2+8x-8=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，
于是．
故线段AB的长为．
【解析】
（1）曲线C1的参数方程为（其中θ为参数），利用平方关系消去参数θ
可得曲线C1的普通方程．曲线C2的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ+1=0，利用互化公式可得直角坐标方程．
（2）直线方程与椭圆联立可得7x2+8x-8=0，利用一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式即可得出．
本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
24.已知函数f（x）=|2x-1|．
（1）求不等式f（x）＜2；
（2）若函数g（x）=f（x）+f（x-1）的最小值为a，且m+n=a（m＞0，n＞0），求的
最小值．
【答案】
解：（1）由f（x）＜2知|2x-1|＜2，
于是-2＜2x-1＜2，
解得＜＜，
故不等式f（x）＜2的解集为，．
（2）由条件得g（x）=|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-（2x-3）|=2，
当且仅当，时，其最小值a=2，
即m+n=2．
又，
所以，
故的最小值为，
此时，．
【解析】
（1）根据绝对值不等式的解法，求解即可．
（2）求出m+n=2，利用1的代换，结合基本不等式求的最小值．
本题主要考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题，利用1的代换结合基本不等式，将不等式恒成立进行转化求解是解决本题的关键．。