复变函数(第四版余家荣)4

如果函数 f ( x) 在 | x x0 | a 内有无限阶导数 , 则
其中 所以
当且仅当
复函数在一点的邻域内 能够展开成幂级数的条 件是什么？ 问题：
设 f ( z )在 U {z :| z z0 | R}内解析 . 则对任意 z U , 有
由于
z z 0
c
所以级数 所以级数
f ( z) 在上一致收敛于 . 所以 m 1 ( z z0 )
例 求函数
解 当1 | z | 2 时，
r2
r1
2

z0
1
R1
R2
问题： 关于 Laurent系数 an , 是否有
z
命题 设 f ( z )在 R1 | z z0 | R2 内解析 , 那么 f ( z )在 R1 | z z0 | R2 内的
Laurent 展式是唯一的 .
证明
设
1 在上有界，所以 此Laurent展式在 上一致收敛 . 由于 m 1 ( z z0 )
证明
r2
如果 2 ，则
r1
2
z0
1
R1
R2
z
因为
所以
在 2上一致收敛 . 由于 f ( )在 2 上有界， 所以
r2
在 2上一致收敛 .
r1
2
z0
1
R1
R2
如果 1 ，则
z
在 1上一致收敛 . 由此得
在 1上也一致收敛 . 所以
其中
由Cauchy积分定理得
n
定理 设
(1) f ( z ) 在区域 D内解析 ,
(2) 存在 f ( z ) 的零点构成的序列 {zn }, {zn }收敛于 z0 D.


则在 D内 f ( z ) 0.



z
z 0
D
推论
如果 f ( z ) 和 g ( z ) 在区域 D内解析 , 集合 {z : z D, f ( z ) g ( z )}
则称函数项级数
f
n 1

n
( z )在 E 上一致收敛于 f ( z ).
命题 设 f n ( z )( n 1,2,) 在 集合 E 上有定义， M n 是收敛的正项级数 .
如果对任意 z E , 有
n 1

则函数项级数
f
n 1

n
( z ) 在 E 上一致收敛 .
假设 f ( z ) 在 z0的邻域内 U内解析 , f ( z0 ) 0, f ( z )不恒为零， 则
其中 ( z )在U内解析，且 ( z0 ) 0. 所以存在 r 0, 使得
所以
f ( z ) 0, z U ( z0 , r ).
定理 6.1 (解析函数零点的孤立性 ）设 f ( z ) 在 | z z0 | R内解析 , f ( z ) 不恒
问题
设 f ( z )在 R1 | z z0 | R2 内解析 , 那么 f ( z )是否能表示成某个
某个罗朗级数的和？
定理7.1
设 f ( z )在圆环 R1 | z z0 | R2 , 则
其中
是圆环 R1 | z z0 | R2 内任意一条逆时针方向 绕 z0一周的 Jordan闭曲线.
如果对任意 z E , 数列 { f n ( z )} 收敛于某个复数 , 设为 f ( z ), 则称 { f n ( z )}在 E 上收敛于函数 f ( z ), 记作
定义 设 f n ( z ) n 1,2,) 定义在集合 E上, 则 （
称作复函数项级数 , 记作 f n ( z ).
设c是U内任意一条简单逐段
从而在 z0可导. 由于 z0 是 D内任意一点，所以 f ( z ) 所以 f ( z )在U内解析，
在 D内解析 . 由于
当且仅当
而函数项级数 论成立.
由定理2.2知结 在 | z z0 | a上一致收敛，
3.幂级数
定理3.4 如果
则 f ( z )在 | z z0 | R内解析 .
f ( z ) 的零点.
如果 z0为 f ( z ) 的零点, 则 其中 m 1, am 0. z0称作 f ( z ) 的m级零点.
如果 m 1, 则称 z0为 f ( z ) 的单零点 .
（） z0为 f ( z ) 的m级零点当且仅当 1
（） z0为 f ( z ) 的m级零点当且仅当 f ( z ) ( z z0 ) m ( z ), 2
所以
所以 z0为 f ( z ) 的m级零点.
例
1. z 0为 f ( z ) z sin z 的几级零点？
解 方法一
所以z 0 为 f ( z ) z sin z 的3级零点.
方法二
所以z 0 为 f ( z ) z sin z 的3级零点.
6. 解析函数的唯一性
其中 ( z )在U内解析，且 ( z0 ) 0.
证明
如果 z0为 f ( z ) 的m级零点，则
其中
在U内解析，且 ( z0 ) am 0.
反之，如果 f ( z ) ( z z0 ) m ( z )， ( z )在U内解析，且 ( z0 ) 0, 则
在区域 D内有一个极限点 , 则在 D内 f ( z ) g ( z ).
例 1. 证明 证明 设
则 f ( z ) 是整函数 . 由于对任意 x R, 有
所以对所有 z C, f ( z ) 0. 2. 设 ln(1 z )是 Ln (1 z )的主值分支 .将 ln(1 z )在z 0处展开成幂级数 .
问题： 求下列级数的收敛域
设
得幂级数
设 (7.1) 的收敛半径为 R, 则(7.1) 在区域
内收敛 .
定义
级数
称作Laurent级数. 级数 (7.2)收敛当且仅当
和
都收敛 . 一般 , (7.2)的收敛域为
Байду номын сангаас
命题 命题
Laurent 级数在其收敛域内内闭 一致收敛 .
Laurent 级数 (7.2)在其收敛域 R1 | z z0 | R2 内解析 .
n 1

如果对于任意 z E , 数项级数 f n ( z )收敛于某个复数 f ( z ), 则称函
n 1

数项级数 f n ( z )在 E 上收敛于复函数 f ( z ), f (z )称作复函数项级数
n 1
f
n 1

n
( z )的和函数 .
定义 如果对于任意 0, 存在N 0, 使得当 n N时, 对所有 z E, 有
n 1 n 1


命题 设级数
z 和 z 绝对收敛，且和分别为
n 1 n n 1 n


及 ，则级数
绝对收敛于 .
2.复级数与复函数序列
定义 设 f n ( z ) n 1,2,) 定义在集合 E上, 则 （
称作复函数序列 , 记作 { f n ( z )}.
在 c 上一致收敛 . 由于 f ( ) 在 c上有界 , 在 c 上也一致收敛 . 从而
c
z
其中
z0
定理
f ( z )在点 z0 解析当且仅当
其中
R
z0

c
c是圆盘 | z z0 | R内任意一条逆时针方向 绕z0一周的闭曲线 .
例1
例 2 设 f ( z ) ln(1 z ) 是 Ln (1 z ) 的单值解析分支，满足 条件
n 1
定理 设 f n ( z ) (n 1,2,)在区域 D上解析 . 如果函数列 { f n ( z )}或函数
项级数 f n ( z )在 D 上内闭一致收敛于 ( z )或 f ( z ), 则 ( z )或 f ( z )在D上解
n 1
析，且
或
证明
光滑闭曲线 . 由于
第四章 级数
§1 级数与序列的基本性质
1.复级数与复序列
定义
称作复数序列 ,
记作 {zn }.
定义
设 {zn } 是一个复数序列 , z0 是一个复常数 . 如果任取 0, 存在
N 0, 使得当 n N 时，
则称 n 趋于无穷大时数列 {zn }以 z0为极限 , 记作
命题 设 z n an ibn , 则复数列 {z n } 收敛于 z0 a0 ib0 当且仅当实数列 {an } 与{bn } 分别收敛于 a0 和 b0 .
解
在 | z | 1 内解析 . ln(1 z ) 也在 | z | 1内解析 . 由于对任意 x R, 有
所以 g ( z) ln(1 z), | z | 1.
即
3. 是否存在在 z 0 的邻域内解析的函数 f ( z ), 满足条件（1 ）或（2 ）：
其中 n 1,2,3,
定理2.1 设 f n ( z )在集合 E 上连续,函数列 { f n ( z )}或函数项级数
f
n 1

n
( z)
在 E 上一致收敛于 ( z )或 f ( z ), 则 ( z )或 f ( z )在 E上连续.
定理2.2 设 f n ( z )在逐段光滑曲线 c上连续, 函数列 { f n ( z )}或函数项级
n 1

数时，
定义 如果级数
| z
n 1

n
| 收敛，则称级数
z
n 1