1.1 第1课时 正切与坡度
北师大版数学九年级下册1.1 第1课时 正切与坡度
M
22
（2）当S=10时,求tan∠PAO 的值.
解： S 5 y=10, 2
y=4.
又∵点P在直线y=－x+6上，
∴x=2.
∴AM=OA－OM=5－2=3. tan PAO PM 4 .
AM 3
能力提升
M
定义
正切
与梯子倾 斜程度的 关系
课堂小结
A的对边 tanA= A的邻边
∠A越大，tanA越大, 梯子越陡
∠A的对边 ┌ A ∠A的邻边 C
归纳总结
定义中的几点说明： 1.初中阶段，正切是在直角三角形中定义的， ∠A是一
个锐角. 2.tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切.但∠BAC
的正切表示为:tan∠BAC.∠1的正切表示为:tan∠1. 3.tanA﹥0 且没有单位，它表示一个比值，即直角三角
N
C
NC 3
能力提升
如图，在平面直角坐标系中，P(x,y)是第一象限内直 线y=－x+6上的点, 点A(5,0)，O是坐标原点，△PAO 的面积为S. （1）求S与x的函数关系式； （2）当S=10时,求tan∠PAO 的值.
解：(1)过点P作PM⊥OA于点M，
S 1 OA PM 2
= 5 y= 5 x 6.
新课讲解
若小明因身高原因不能顺利测量梯子顶端到墙脚 的距离B1 C1 ,进而无法刻画梯子的倾斜程度，他该怎 么办？你有什么锦囊妙计？
B1 B2
A
C2 C1
新课讲解
想一想 (1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?
两个直角三角形相似
(2) B1C1 和 B2C2 有什么关系? AC1 AC2
课堂即练
1.1 锐角三角函数 第1课时 正切与坡度 教案
一、情境导入 观察与思考：某体育馆为了方便不同需求的观众，设计了不同坡度的台阶． 问题1：图①中的台阶哪个更陡？你是怎么判断的？问题2：如何描述图②中台阶的倾斜程度？除了用∠A 的大小来描述，还可以用什么方法？方法一：通过测量BC 与AC 的长度算出它们的比，来说明台阶的倾斜程度；方法二：在台阶斜坡上另找一点B 1，测出B 1C 1与AC 1的长度，算出它们的比，也能说明台阶的倾斜程度．你觉得上面的方法正确吗？ 二、合作探究 探究点一：正切【类型一】 根据正切的概念求正切值分别求出图中∠A 、∠B 的正切值(其中∠C ＝90°)．由上面的例子可以得出结论：直角三角形的两个锐角的正切值互为________． 解析：根据勾股定理求出需要的边长，然后利用正切的定义解答即可．解：如图①，tan ∠A ＝1612＝43，tan ∠B ＝1216＝34；如图②，BC ＝732－552＝48，tan ∠A ＝4855，tan ∠B ＝5548.因而直角三角形的两个锐角的正切值互为倒数．方法总结：求锐角的三角函数值的方法：利用勾股定理求出需要的边长，根据锐角三角函数的定义求出对应三角函数值即可．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第1题 【类型二】 在网格中求正切值已知：如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 、D 、E 都在小正方形的顶点上，求tan ∠ADC 的值．解析：先证明△ACD ≌△BCE ，再根据tan ∠ADC ＝tan ∠BEC 即可求解．解：根据题意可得AC ＝BC ＝12＋22＝5，CD ＝CE ＝12＋32＝10，AD ＝BE ＝5，∴△ACD ≌△BCE (SSS)．∴∠ADC ＝∠BEC .∴tan ∠ADC ＝tan ∠BEC ＝13.方法总结：三角函数值的大小是由角度的大小确定的，因此可以把求一个角的三角函数值的问题转化为另一个与其相等的角的三角函数值．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第3题 【类型三】 构造直角三角形求三角函数值如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝AC ，D 为AC 的中点，求tan ∠ABD 的值．解析：设AC ＝BC ＝2a ，根据勾股定理可求得AB ＝22a ，再根据等腰直角三角形的性质，可得DE 与AE 的长，根据线段的和差，可得BE 的长，根据正切三角函数的定义，可得答案．解：如图，过D 作DE ⊥AB 于E .设AC ＝BC ＝2a ，根据勾股定理得AB ＝22a .由D 为AC 中点，得AD ＝a .由∠A ＝∠ABC ＝45°，又DE ⊥AB ，得△ADE 是等腰直角三角形，∴DE ＝AE ＝2a2.∴BE ＝AB －AE ＝32a 2，tan ∠ABD ＝DE BE ＝13.方法总结：求三角函数值必须在直角三角形中解答，当所求的角不在直角三角形内时，可作辅助线构造直角三角形进行解答．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题 探究点二：坡度【类型一】 利用坡度的概念求斜坡的坡度(坡比)堤的横断面如图．堤高BC 是5米，迎水斜坡AB 的长是13米，那么斜坡AB 的坡度是( ) A ．1∶3 B ．1∶2.6 C ．1∶2.4 D ．1∶2解析：由勾股定理得AC ＝12米．则斜坡AB 的坡度＝BC ∶AC ＝5∶12＝1∶2.4.故选C.方法总结：坡度是坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i 表示，常写成i ＝1∶m 的形式．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题 【类型二】 利用坡度解决实际问题已知一水坝的横断面是梯形ABCD ，下底BC 长14m ，斜坡AB 的坡度为3∶3，另一腰CD与下底的夹角为45°，且长为46m ，求它的上底的长(精确到0.1m ，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)．解析：过点A 作AE ⊥BC 于E ，过点D 作DF ⊥BC 于F ，根据已知条件求出AE ＝DF 的值，再根据坡度求出BE ，最后根据EF ＝BC －BE －FC 求出AD .解：过点A 作AE ⊥BC ，过点D 作DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F .∵CD 与BC 的夹角为45°，∴∠DCF ＝45°，∴∠CDF ＝45°.∵CD ＝46m ，∴DF ＝CF ＝462＝43(m)，∴AE ＝DF ＝43m.∵斜坡AB 的坡度为3∶3，∴tan ∠ABE ＝AE BE ＝33＝3，∴BE ＝4m.∵BC ＝14m ，∴EF ＝BC －BE －CF ＝14－4－43＝10－43(m)．∵AD ＝EF ，∴AD ＝10－43≈3.1(m)．所以，它的上底的长约为3.1m. 方法总结：考查对坡度的理解及梯形的性质的掌握情况．解决问题的关键是添加辅助线构造直角三角形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题 三、板书设计正切与坡度1．正切的概念在直角三角形ABC 中，tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边.2．坡度的概念坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，也就是坡角的正切值．、作 业 设 计1、如图，△ABC 是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC 吗?2、如图，某人从山脚下的点A 走了200m 后到达山顶的点B ，已知点B 到山脚的垂直距离为55m ，求山的坡度.(结果精确到0.001)3、若某人沿坡度i ＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高________米.4、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则tan θ＝______.5、如图，Rt △ABC 是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB 的长为12 m ，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD ，求DB 的长.(结果保留根号)教在教学中，要注重对学生进行数学学习方法的指导．在数学学习中，有一些学生往往不注重基本概念、基础知识，认为只要会做题就可以了，结果往往失分于选择题、填空题等一些概念性较强的题目．通过。
1.1 第1课时 正切与坡度
(3)如果改变B2在梯子上的位置(如
B3C3 )呢?
A
相似三角形的对应边成比例
思考：由此你得出什么结论?
B1
B2 B3
C3 C2
C1
归纳总结
在Rt△ABC中,如果锐角A确定，那么∠A的对边
与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切,记作
tanA,即
A的对边 tanA= A的邻边
B
结论：tanA的值越大，梯子越陡.
合作探究2 若小明因身高原因不能顺利测量梯子顶端到墙脚
的距离B1 C1 ,进而无法刻画梯子的倾斜程度，他该怎 么办？你有什么锦囊妙计？
B1
B2
A
C2 C1
想一想 (1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?
两个直角三角形相似
(2) B1C1 和 B2C2 有什么关系? 相等
AC1 AC2
4.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大
100倍,tanA的值（ C ）
A.扩大100倍
B.缩小100倍
B
C.不变
D.不能确定
┌
A
C
二 坡度、坡角
正切通常也用来描述山坡的坡度.
坡度越大，坡角越大，坡面就越陡.
概念学习
坡角：坡面与水平面的夹角α称为坡角； 坡度（坡比）：坡面的铅直高度与水平宽度的比称
∠A的对 ┌边 A ∠A的邻边 C
定义中的几点说明： 1.初中阶段，正切是在直角三角形中定义的， ∠A是一 个锐角. 2.tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切.但∠BAC 的正切表示为:tan∠BAC.∠1的正切表示为:tan∠1. 3.tanA﹥0 且没有单位，它表示一个比值，即直角三角 形 45..tt中aannAA锐不的对邻角表大∠示 小A只“的与t对an∠边”乘A与以的邻“大边A小的”有.比关（，注而意与顺直序角：对邻三角）形. 的 边长无关.
20春北师大9下 教案：1.1 第1课时 正切与坡度1
1．1 锐角三角函数第1课时正切与坡度1．理解正切的意义，并能举例说明；(重点)2．能够根据正切的概念进行简单的计算；(重点)3．能运用正切、坡度解决问题．(难点)一、情境导入观察与思考：某体育馆为了方便不同需求的观众，设计了不同坡度的台阶．问题1：图①中的台阶哪个更陡？你是怎么判断的？问题2：如何描述图②中台阶的倾斜程度？除了用∠A的大小来描述，还可以用什么方法？方法一：通过测量BC与AC的长度算出它们的比，来说明台阶的倾斜程度；方法二：在台阶斜坡上另找一点B1，测出B1C1与AC1的长度，算出它们的比，也能说明台阶的倾斜程度．你觉得上面的方法正确吗？二、合作探究探究点一：正切【类型一】根据正切的概念求正切值分别求出图中∠A、∠B的正切值(其中∠C＝90°)．由上面的例子可以得出结论：直角三角形的两个锐角的正切值互为________．解析：根据勾股定理求出需要的边长，然后利用正切的定义解答即可．解：如图①，tan∠A＝1612＝43，tan∠B＝1216＝34；如图②，BC＝732－552＝48，tan∠A＝4855，tan∠B＝5548.因而直角三角形的两个锐角的正切值互为倒数．方法总结：求锐角的三角函数值的方法：利用勾股定理求出需要的边长，根据锐角三角函数的定义求出对应三角函数值即可．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第1题【类型二】在网格中求正切值已知：如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D、E都在小正方形的顶点上，求。
1.1 第1课时 正切与坡度2
1.1 锐角三角函数第1课时 正切与坡度教学目标:1、理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。
2、了解计算一个锐角的正切值的方法。
教学重点：理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。
教学难点：计算一个锐角的正切值的方法。
教学过程：图（1） 图（2） [点拨]可将这两个台阶抽象地看成两个三角形答：图 的台阶更陡，理由 二、探索活动 1、思考与探索一：除了用台阶的倾斜角度大小外，还可以如何描述① 可通过测量BC 与AC 的长度，② 再算出它们的比，来说明台阶的倾斜程度。
（思考：BC 与AC 长度的比与台③2、思考与探索二：（1）如图，一般地，如果锐角A 的大小已确定，AC 1C 2C 3B 1B 2B 3A 2C1 BBCA131BAC35我们可以作出无数个相似的RtAB 1C 1，RtAB 2C 2， RtAB 3C 3……，那么有：Rt △AB 1C 1∽_____∽____…… 根据相似三角形的性质，得：111AC C B ＝_________＝_________＝…… （2）由上可知：如果直角三角形的一个锐角的 大小已确定，那么这个锐角的对边与这个角的 邻边的比值也_________。
3、正切的定义如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 分别是∠A 的对边和邻边。
我们将∠A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A_______，记作______。
即：tanA ＝________＝__________4、牛刀小试根据下列图中所给条件分别求出下列图中∠A 、∠B 的正切值。
5、思考与探索三：（1）例如，根据书本P39图7—5，我们可以这样来确定tan65°的近似值：当一个点从点O 出发沿着65°线移动到点P 时，这个点向右水平方向前进了1个单位，那么在垂直方向上升了约2.14个单位。
于是可知，tan65°的近似值为2.14。
北师大版数学九年级下册 1.1 第1课时 正切与坡度1 教案
1．1 锐角三角函数第1课时正切与坡度1．理解正切的意义，并能举例说明；(重点)2．能够根据正切的概念进行简单的计算；(重点)3．能运用正切、坡度解决问题．(难点)一、情境导入观察与思考：某体育馆为了方便不同需求的观众，设计了不同坡度的台阶．问题1：图①中的台阶哪个更陡？你是怎么判断的？问题2：如何描述图②中台阶的倾斜程度？除了用∠A的大小来描述，还可以用什么方法？方法一：通过测量BC与AC的长度算出它们的比，来说明台阶的倾斜程度；方法二：在台阶斜坡上另找一点B1，测出B1C1与AC1的长度，算出它们的比，也能说明台阶的倾斜程度．你觉得上面的方法正确吗？二、合作探究探究点一：正切【类型一】根据正切的概念求正切值分别求出图中∠A、∠B的正切值(其中∠C＝90°)．由上面的例子可以得出结论：直角三角形的两个锐角的正切值互为________．解析：根据勾股定理求出需要的边长，然后利用正切的定义解答即可．解：如图①，tan∠A＝1612＝43，tan∠B＝1216＝34；如图②，BC＝732－552＝48，tan∠A＝4855，tan∠B＝5548.因而直角三角形的两个锐角的正切值互为倒数．方法总结：求锐角的三角函数值的方法：利用勾股定理求出需要的边长，根据锐角三角函数的定义求出对应三角函数值即可．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第1题【类型二】在网格中求正切值已知：如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D、E都在小正方形的顶点上，求tan∠ADC的值．解析：先证明△ACD≌△BCE，再根据tan ∠ADC＝tan∠BEC即可求解．解：根据题意可得AC＝BC＝12＋22＝5，CD＝CE＝12＋32＝10，AD＝BE＝5，∴△ACD≌△BCE(SSS)．∴∠ADC＝∠BEC .∴tan ∠ADC ＝tan ∠BEC ＝13.方法总结：三角函数值的大小是由角度的大小确定的，因此可以把求一个角的三角函数值的问题转化为另一个与其相等的角的三角函数值．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第3题【类型三】 构造直角三角形求三角函数值如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝AC ，D 为AC 的中点，求tan ∠ABD 的值．解析：设AC ＝BC ＝2a ，根据勾股定理可求得AB ＝22a ，再根据等腰直角三角形的性质，可得DE 与AE 的长，根据线段的和差，可得BE 的长，根据正切三角函数的定义，可得答案．解：如图，过D 作DE ⊥AB 于E .设AC ＝BC ＝2a ，根据勾股定理得AB ＝22a .由D 为AC 中点，得AD ＝a .由∠A ＝∠ABC ＝45°，又DE ⊥AB ，得△ADE 是等腰直角三角形，∴DE ＝AE ＝2a 2.∴BE ＝AB －AE ＝32a 2，tan ∠ABD ＝DE BE ＝13. 方法总结：求三角函数值必须在直角三角形中解答，当所求的角不在直角三角形内时，可作辅助线构造直角三角形进行解答．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题探究点二：坡度【类型一】利用坡度的概念求斜坡的坡度(坡比)堤的横断面如图．堤高BC 是5米，迎水斜坡AB 的长是13米，那么斜坡AB 的坡度是( )A ．1∶3B ．1∶2.6C ．1∶2.4D ．1∶2 解析：由勾股定理得AC ＝12米．则斜坡AB 的坡度＝BC ∶AC ＝5∶12＝1∶2.4.故选C.方法总结：坡度是坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i 表示，常写成i ＝1∶m 的形式．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题【类型二】利用坡度解决实际问题已知一水坝的横断面是梯形ABCD ，下底BC 长14m ，斜坡AB 的坡度为3∶3，另一腰CD 与下底的夹角为45°，且长为46m ，求它的上底的长(精确到0.1m ，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)．解析：过点A 作AE ⊥BC 于E ，过点D 作DF ⊥BC 于F ，根据已知条件求出AE ＝DF 的值，再根据坡度求出BE ，最后根据EF ＝BC －BE －FC 求出AD .解：过点A 作AE ⊥BC ，过点D 作DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F .∵CD 与BC 的夹角为45°，∴∠DCF ＝45°，∴∠CDF ＝45°.∵CD ＝46m ，∴DF ＝CF ＝462＝43(m)，∴AE ＝DF ＝43m.∵斜坡AB 的坡度为3∶3，∴tan ∠ABE ＝AE BE ＝33＝3，∴BE ＝4m.∵BC ＝14m ，∴EF ＝BC －BE －CF ＝14－4－43＝10－43(m)．∵AD ＝EF ，∴AD ＝10－43≈3.1(m)．所以，它的上底的长约为3.1m.方法总结：考查对坡度的理解及梯形的性质的掌握情况．解决问题的关键是添加辅助线构造直角三角形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题三、板书设计正切与坡度1．正切的概念在直角三角形ABC 中，tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边.2．坡度的概念坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，也就是坡角的正切值．在教学中，要注重对学生进行数学学习方法的指导．在数学学习中，有一些学生往往不注重基本概念、基础知识，认为只要会做题就可以了，结果往往失分于选择题、填空题等一些概念性较强的题目．通过引导学生进行知识梳理，教会学生如何进行知识的归纳、总结，进一步帮助学生理解和掌握基本概念、基础知识。
北师版九年级数学下册1.1 第1课时 正切与坡度2教案与反思
1.1 锐角三角函数原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！灵师不挂怀,冒涉道转延。
——韩愈《送灵师》第1课时正切与坡度教学目标:1、理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。
2、了解计算一个锐角的正切值的方法。
教学重点：理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。
教学难点：计算一个锐角的正切值的方法。
教学过程：一、观察回答：如图某体育馆，为了方便不同需求的观众设计了多种形式的台阶。
下列图中的两个台阶哪个更陡？你是怎么判断的？图（1）图（2）[点拨]可将这两个台阶抽象地看成两个三角形答：图的台阶更陡，理由二、探索活动1、思考与探索一：除了用台阶的倾斜角度大小外，还可以如何描述台阶的倾斜程度呢？①可通过测量BC与AC的长度，②再算出它们的比，来说明台阶的倾斜程度。
（思考：BC与AC长度的比与台阶的倾斜程度有何关系？）答：_________________.A 2C1 BBCA1BAC35③ 讨论：你还可以用其它什么方法？能说出你的理由吗？答：________________________. 2、思考与探索二：（1）如图，一般地，如果锐角A 的大小已确定， 我们可以作出无数个相似的RtAB1C1，RtAB2C2， RtAB3C3……，那么有：Rt △AB1C1∽_____∽____…… 根据相似三角形的性质，得：＝_________＝_________＝……（2）由上可知：如果直角三角形的一个锐角的 大小已确定，那么这个锐角的对边与这个角的 邻边的比值也_________。
3、正切的定义如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 分别是∠A 的对边和邻边。
我们将∠A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A_______，记作______。
即：tanA ＝________＝__________（你能写出∠B 的正切表达式吗？）试试看. 4、牛刀小试根据下列图中所给条件分别求出下列图中∠A 、∠B 的正切值。
北师版九年级下册数学锐角三角形正切与坡度
1.1 锐角三角函数第1课时正切与坡度学习目标:1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算.学习重点:1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.学习难点:理解正切的意义，并用它来表示两边的比.学习方法:引导—探索法.学习过程:一、生活中的数学问题:1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？2、生活问题数学化：⑴如图：梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？⑵以下三组中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题）⑴Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?⑵222111B AC C B AC C 和有什么关系？ ⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3)呢?⑷由此你得出什么结论?三、例题：例1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?例2、在△ABC 中，∠C=90°，BC=12cm ，AB=20cm ，求tanA 和tanB 的值.四、随堂练习：1、如图，△ABC 是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC 吗?2、如图，某人从山脚下的点A 走了200m 后到达山顶的点B ，已知点B 到山脚的垂直距离为55m ，求山的坡度.(结果精确到0.001)3、若某人沿坡度i ＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高________米.4、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则tan θ＝______.5、如图，Rt △ABC 是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB 的长为12 m ，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD ，求DB 的长.(结果保留根号)五、课后练习：1、在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则tanA= _______.2、在△ABC 中,AB=10,AC=8,BC=6,则tanA=_______.3、在△ABC 中,AB=AC=3,BC=4,则tanC=______.4、在Rt △ABC 中,∠C 是直角,∠A、∠B、∠C 的对边分别是a 、b 、c,且a=24,c= 25,求tanA 、tanB 的值.5、若三角形三边的比是25:24:7,求最小角的正切值.6、如图,在菱形ABCD 中,AE⊥BC 于E,EC=1,tanB=125, 求菱形的边长和四边形AECD 的周长.7、已知:如图,斜坡AB 的倾斜角a,且tan α=34,现有一小球从坡底A 处以20cm/s 的速度向坡顶B 处移动,则小球以多大的速度向上升高?8、探究:⑴、a 克糖水中有b 克糖(a>b>0),则糖的质量与糖水质量的比为_______; 若再添加c 克糖(c>0),则糖的质量与糖水的质量的比为________.生活常识告诉我们: 添加的糖完全溶解后,糖水会更甜,请根据所列式子及这个生活常识提炼出一个不等式: ____________.⑵、我们知道山坡的坡角越大,则坡越陡,联想到课本中的结论:tanA 的值越大, 则坡越陡,我们会得到一个锐角逐渐变大时,它的正切值随着这个角的变化而变化的规律,请你写出这个规律:_____________.⑶、如图,在Rt△ABC 中,∠B=90°,AB=a,BC=b(a>b),延长BA 、BC,使AE=CD=c, 直线CA 、DE 交于点F,请运用(2) 中得到的规律并根据以上提供的几何模型证明你提炼出的不等式.E D B A C B A。
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5
乙梯中,
6 3 tan . 8 4
提示:在生活中,常用
一个锐角的正切表
示梯子的倾斜程度.
∵tanβ＞tanα,∴乙梯更陡.
练一练 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7，BC=5，则
7 tan A=______，tan B =______ ． 5
5 7
2.下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D.指出∠A 和∠B的对边、邻边.
B D (1) tanA = ( BC) CD ( AD )
AC
( AC) BC
=
A
C
(2) tanB=
=
CD ( BD)
互余两锐角的正切值互为倒数.
3.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大 100倍,tanA的值（ ） C A.扩大100倍 B.缩小100倍
C.不变
D.不能确定
B ┌ C
∠A的对 ┌边 ∠A的邻边 C
A
定义中的几点说明： 1.初中阶段，正切是在直角三角形中定义的， ∠A是一 个锐角. 2.tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切.但∠BAC 的正切表示为:tan∠BAC.∠1的正切表示为:tan∠1. 3.tanA﹥0 且没有单位，它表示一个比值，即直角三角 对 形中锐角∠A的对边与邻边的比（注意顺序： ）. 邻 对 4.tanA不表示“tan”乘以“A ”. 邻 5.tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的 边长无关.
AB AC2 BC2 36 4 2 10.
方法总结理解坡度的概念是解决与坡度有关的计算 题的关键．
练习.如图,某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶 的点B.已知山顶B到山脚下的垂直距离是55m,求山坡 的坡度(结果精确到0.001m).
B
A
┌ C
解：
tan A
55 2002 552
0.286.
课堂小结
定义
正切
与 梯 子倾 斜 程 度的 关 系
∠A越大，tanA越大, 梯子越陡
坡度
铅直高度 tan 水平宽度
讲授新课
一 正切的定义
相关概念
从梯子的顶端A到墙角C的距离，
称为梯子的铅直高度
A
从梯子的底端B到墙角C的距离，
称为梯子的水平宽度
梯子与地面的夹角
∠ＡＢＣ称为倾斜角
铅 直 高 度 水平宽度
B
C
合作探究1 问题1:你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些 办法？ 倾斜角越大——梯子越陡
A
E
B
CF
D
问题2:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡 当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡
E
6m
5m
B
2m C
F
3m
D
合作探究2 若小明因身高原因不能顺利测量梯子顶端到墙脚 的距离B1 C1 ,进而无法刻画梯子的倾斜程度，他该怎 么办？你有什么锦囊妙计？
B1
B2
Aห้องสมุดไป่ตู้
C2
C1
想一想 (1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系? 两个直角三角形相似
B1C1 B2C2 (2) 和 有什么关系? AC1 AC2
60 3 tan . 100 5
60m α 100m ┌
例2 如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度为
1∶3，坝高BC＝2米，则斜坡AB的长是( B )
A. 2 5 B.2 10
BC 1 . AC 3
C. 4 5
D .6
解析：∵∠ACB＝90°，坡度为1∶3，
∵BC＝2米，∴AC＝3BC＝3×2＝6(米)．
第一章 直角三角形的边 角关系
1.1 锐角的三角函数
第1课时 正切与坡度
学习目标
1.理解锐角的三角函数中正切的概念及其与现实生
活的联系；（重点）
2.能在直角三角形中求出某个锐角的正切值，并进
行简单计算； (重点)
3.了解坡度、坡角的概念，能解决与坡度、坡角有 关的简单实际问题.（难点）
思考：衡量山“险”与“不险”的标准是什么呢？
A
4.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中， △ABC的三个顶点均在格点上，则tanA= （ D ） A. 3 B. 4
5 3 C. 4
5
4 D. 3
这个图呢？
二 坡度、坡角
正切通常也用来描述山坡的坡度.
坡度越大，坡角越大，坡面就越陡.
概念学习 坡角：坡面与水平面的夹角α称为坡角； 坡度（坡比）：坡面的铅直高度与水平宽度的比称 为坡度(或坡比),即坡度等于坡角的正切. 例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高 60m,那么山坡的坡度(即tanα)就是:
B1
相等
B3
B2
(3)如果改变B2在梯子上的位置(如 B3C3 )呢? 相似三角形的对应边成比例
A C3 C2 C1
思考：由此你得出什么结论?
归纳总结 在Rt△ABC中,如果锐角A确定，那么∠A的对边
与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切,记作
tanA,即
tanA=
A的对边 A的邻边
B
结论：tanA的值越大，梯子越陡.
议一议 锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以
大于1吗？
B
A
┌ C
解：可以等于1，此时为等腰直角三角形；也可以
大于1，甚至可逼近于无穷大.
典例精析 例1： 下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯 比较陡?
甲
13m α ┌
5m
乙 6m
┐ 8m β
5 . 解:甲梯中,tan 2 2 12 13 5
甲
乙
问题3:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 当铅直高度与水平宽度的比相等时，
梯子一样陡
E
A
6m 4m
B
2m
C
F
3m
D
问题4:你有几种方法比较梯子AB和EF哪个更陡？ 当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡. 倾斜角越大，梯子越陡.
A
总结:铅直高度与水平宽度 的比和倾斜角的大小都可用 来判断梯子的倾斜程度.