《切线长定理及三角形的内切圆》导学案
24.5切线长定理与三角形内切圆导学案
专题：切线长定理与三角形内切圆※知识要点1．切线长的概念从圆外一点能够作圆的 切线，切线上一点到切点之间的线段长叫做该点到圆的切线长． 2．切线长定理过圆外一点可以引圆的 切线，它们的切线长 ，该点与圆心的连线 两条切线的夹角． 3．三角形的内切圆与 的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做圆的 ． 注意：三角形的内心具有以下性质：①三角形的内心是三角形 的交点； ②三角形的内心到三角形 距离相等．※题型讲练【例1】(1)如图，P A ，PB 分别切⊙O 于A ，B 两点，∠P ＝40°，则 ∠C 的度数为 ．(2)如图，P A ，PB 是⊙O 的切线，CD 切⊙O 于点E ，△PCD 的周长为12，∠P ＝60°.求：(1)P A 的长； (2)∠COD 的度数．变式训练1： 1．如图，P A ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠ACB ＝70°，则∠P ＝________．2．如图，直线AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切于点E ，F ，G ，且AB ∥CD ，OB ＝6，OC ＝8. (1)求∠BOC 的度数； (2)求BE ＋CG 的长.【例2】如图，P A ，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 两点，点E 在AB ︵上，过点E 作⊙O 的切线，分别与P A ，PB 相交于点C ，D .若P A ＝3 cm ，则△PCD 的周长等于________．变式训练2：1． 如图，⊙O 内切于四边形ABCD ，AB ＝10，CD ＝8，则 AD ＋BC ＝________．2．如图，正方形ABCD 的边长为4 cm ，以正方形的一边BC 为直径在正方形ABCD 内作半圆，过点A 作半圆的切线，与半圆相切于点F ，与DC 相交于点E ，求△ADE 的面积．【例3】(1)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ， ∠A ＝40°，延长AC 到点D ，使CD ＝BC ， 点P 是△ABD 的内心，则∠BPC 的度数 为_______．(2)如图2，E 为△ABC 内一点，AE 的延长线交△ABC 的外接圆⊙O 于点D ，且DB ＝DC ＝DE .求证：E 为△ABC 的内心．变式训练3：1．为美化校园，学校准备在如图所示的三角形空地上修建一个面积最大的圆形花，请在图中画出这个圆形花坛(保留作图痕迹，不要求写作法)．2．如图，在三角形ABC 中，∠C ＝90°，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点是D ，E ，F ，AO 交BC 于G ；若AC ＝4，CG ＝ .(1)求⊙O 的半径； (2)求BF 的长.【例4】已知如图，⊙O 内切于△ABC 中，切点分别为D 、E 、F ，设△ABC 的三边长BC=a 、AC=b 、AB=c ，⊙O 半径为r . (1)用含有a 、b 、c 的代数式表示AE 、BD 、CF 的长； (2)若△ABC 的面积为S ，求证：r = ； (3)若△ABC 为直角三角形，且∠C =90°， 求证：r = = .备用图※课后练习1．如图1，P A ，PB 是⊙O 的切线，切点分别为A ，B ，OP 交AB 于点D ，交⊙O 于点C ，AB ＝4 3，DC ＝2，则∠APB 的度数为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°2．如图2，⊙O 截△ABC 的三条边所得的弦长相等，则下列说法正确的是( )A ．点O 是△ABC 的内心B ．点O 是△ABC 的外心 C ．△ABC 是等边三角形D ．△ABC 是等腰三角形图1 图2 图33．如图3，O 是△ABC 的内心，过点O 作EF ∥AB ，与AC ，BC 分别交于点E ，F ，则( )A ．EF ＞AE ＋BFB ．EF ＜AE ＋BFC ．EF ＝AE ＋BFD ．EF ≤AE ＋BF 4．如图4，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝6，以斜边AB 上的一点O 为圆心所作的半圆分别与AC ，BC 相切于点D ，E ，则AD 的长为( )A ．2.5B ．1.6C ．1.5D ．15．如图5，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点M ，切点为N ，则DM 的长为( ) A ．133 B ．92 C ．4313 D ．2 56．如图6，在△ABC 中，内切圆I 与边BC ，CA ，AB 分别相切于点D ，E ，F ，若∠A ＝70°，则∠EDF ＝________°．图4 图5 图67．如图7，P 是△ABC 的内心，连接P A ，PB ， PC ，△P AB ，△PBC ，△P AC 的面积分别为S 1， S 2，S 3，则S 1___S 2＋S 3.(填＜、＝或＞)8．如图8，由⊙O 外一点F 作⊙O 的两条切线，切点分别为B ，D ，AB 是⊙O 的直径， 图7 连接AD ，BD ，OF 交⊙O 于点E ，交BD 于 点C ，连接DE ，BE .下列四个结论：①BE ＝DE ；②∠EDF ＝∠EBF ；③DE ∥AB ； ④BD 2＝2AD ·FC .其中正确的结论有_______． 图89．如图，在等腰三角形ABC 中，CA ＝CB ，AD 是腰BC 边上的高，△ACD 的内切圆⊙E 分别与边AD ，BC 相切于点F ，G . (1)求证：AF ＝BG ；(2)过点E 作EH ⊥AB 于点H ，试探索线段 EH 与线段AB 的数量关系，并说明理由．10．如图所示，圆O 是△ABC 的外接圆，点I 是△ABC 的内心，延长AI 交圆O 于点D ，连结BD 、DC ． (1)求证：BD =DC =DI ；(2)若圆O 的半径为10cm ，∠BAC ＝120°，求△BDC 的面积．34cbaS ++2cb a ab++2cb a -+。
新人教版初中数学九年级上册《第二十四章圆：切线长定理三角形的内切圆内心》优课导学案_0
切线长定理
一、教学目标：
知识目标：1．理解切线长的概念。
2．掌握切线长定理及其应用。
能力目标：培养学生识图能力和逻辑思维能力。
情感目标：激发学生学习兴趣，培养探索精神和创新能力。
德育目标：渗透事物之间相互转化的思想，培养学生良好的学习习惯
和严谨的思维品质。
二、教学重点：切线长定理的应用。
教学难点：切线长定理的灵活应用。
突破关键：切线长定理的理解。
教学方法：观察、探究、讨论、概括等多种方法。
三、教学过程：
2.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，若∠APB=60°，PA=6cm，那么⊙O
是 .
探究加深：
芜湖经济技术开发区
九年级数学公开课
课题：§24.2.2直线和圆的位置关系（第三课时）
切线长定理
授课：张晓明
时间：2012年10月31日
班级：芜湖市第33中学
（安师大附中城北分校）
九（3）班。
切线长定理(教案、课后反思、导学案)
第3课时切线长定理【知识与技能】理解掌握切线长的概念和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心等概念.【过程与方法】利用圆的轴对称性帮助探求切线长的特征.结合求证三角形内面积最大的圆的问题，掌握三角形内切圆和内心的概念.【情感态度】经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力.【教学重点】切线长定理及其应用.【教学难点】内切圆、内心的概念及运用.一、情境导入，初步认识探究如图，纸上有一⊙O，PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B，回答下列问题：（1）OB是⊙O半径吗？（2）PB是⊙O的切线吗？（3）PA、PB是什么关系？（4）∠APO和∠BPO有何关系？学生动手实验，观察分析，合作交流后，教师抽取几位学生回答问题.分析：OB与OA重合，OA是半径，∴OB也是半径.根据折叠前后的角不变，∴∠PBO=∠PAO=90°（即PB⊥OB），PA=PB，∠POA=∠POB；∠APO=∠BPO.而PB经过半径OB的外端点，∴PB是⊙O的切线.二、思考探究，获取新知1.切线长的定义及性质切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.我们知道圆的切线是直线，而切线长是一条线段长，不是直线.如右图中，PA、PB是⊙O的两条切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB.又OA=OB，OP=OP，∴Rt△AOP≌Rt△BOP，∴PA=PB，∠AOP=∠BOP，∠APO=∠BPO.由此我们得到切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.【教学说明】这个定理要让学生分清题设和结论.题设：过圆外一点作圆的切线.结论：①过圆外的这一点可作该圆的两条切线.②两条切线长相等.③这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.猜想：在上图中连接AB，则OP与AB有怎样的关系？分析：∵PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点.∴PA=PB，∠OPA=∠OPB，∴OP⊥AB，且OP平分AB.2.三角形的内切圆思考如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？【教学说明】引导学生分析作图的关键，假设圆已经作出，圆心应满足什么条件，怎样根据这些条件确定圆心？圆心确定后，如何确定半径？教师引导，学生要互相讨论来解决这些问题.假设符合条件的圆已作出，那么这个圆与△ABC的三边都相切，这个圆的圆心到△ABC三边的距离都等于半径.又因为我们在角平分线这节中学过，三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三条边的距离相等.因此，在△ABC 中，作∠B，∠C的角平分线BM和CN，它们相交于点I，则点I到AB、BC、AC的距离相等.∴以I为圆心，点I到BC的距离ID为半径作圆，则⊙I与△ABC 三边相切.内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.三角形的内心到三角形三边的距离相等.【教学说明】要让学生对照图形理解三角形的内切圆的概念，并与三角形的外接圆进行比较.“接”和“切”是说明多边形的顶点和边与圆的关系；多边形的顶点都在圆上叫“接”，多边形的边都与圆相切叫“切”.三、典例精析，掌握新知例1 教材第100页，例2（本题较简单，教师指点，可由学生自主完成）例2 如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，连接OP，交⊙O于C，若PA=6.PC=23.求⊙O的半径OA及两切线PA、PB的夹角.分析：连接OA，设AO=x，在Rt△AOP中利用勾股定理求出x，由切线长定理知∠APO=12∠APB.求出∠APO就可得∠APB.解：连接AO，∵PA是⊙O的切线，∴PA⊥OA，△PAO为直角三角形.设OA=x，则OC=x，在Rt△PAO中，OA2+PA2=OP2，∴x2+6232，解得3.∴33AOP=60°，∠APO=30°.∴∠APB=2∠APO=2×30°=60°.∴⊙O的半径OA为3PA、PB的夹角为60°.【教学说明】例1、例2是利用切线长定理进行计算，在解题过程中，我们常常用方程来解决几何问题.例3如图，在△ABC中，I是内心，∠BIC=100°，则∠A=____.分析：∵I是内心.∴BI，CI分别是∠ABC，∠ACB的平分线.∴∠ABC+∠ACB=2（∠IBC+∠ICB）.又∵∠BIC=100°，∴∠IBC+∠ICB=80°.∴∠ABC+∠ACB=160°.∴∠A=180°-160°=20°.【教学说明】指导学生利用三角形内心的性质解决问题.四、运用新知，深化理解课本第100页练习1、2题.【教学说明】教师引导学生完成课本练习.五、师生互动，课堂小结这节课学习了哪几个重要知识点？你有哪些疑惑？【教学说明】学生自主交流并发言总结，教师予以补充和点评，让学生完整地领会本堂课的知识要点.1.布置作业：从教材“习题24.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.本节课的教学是直线与圆的位置关系的继续，从探究切线长定理开始，通过如何作一个三角形的内切圆，引出三角形的内切圆和三角形内心的概念，经历这些探究过程，能使学生掌握图形的基本知识和基本技能，并能解决简单的问题.24.2.2直线和圆的位置关系第3课时切线长定理一、新课导入1.导入课题：情景：如图，纸上有一个⊙O, PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为B.问题1：OB是⊙O的半径吗？PB是⊙O的切线吗？问题2：猜一猜图中的PA与PB有什么关系？∠APO与∠BPO有什么关系？这节课我们继续探讨圆的切线的性质——切线长定理(板书课题).2.学习目标：（1）知道什么是圆的切线长，能叙述并证明切线长定理.（2）会作三角形的内切圆，知道三角形内心的含义和性质.（3）能用切线长定理和三角形内心的性质来解决简单的问题.3.学习重、难点：重点：切线长定理及其运用.难点：切线长定理的应用及如何作三角形的内切圆.二、分层学习1.自学指导：(1)自学内容：教材第99页“思考”之前的内容.(2)自学时间：8分钟.(3)自学方法：完成探究提纲.(4)探究提纲：①过⊙O外一点P画⊙O的切线.动手画图，看看这样的切线能作几条？能作两条.②在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长叫做这点到圆的切线长，如图的线段PA与线段PB的长就是点P到⊙O的切线长.③PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？你能证明它们成立吗？PA＝PB,∠APO＝∠BPO.可利用HL证明Rt△AOP≌Rt△BOP,进而得出结论.④分别用文字语言和几何语言写出切线长定理.文字语言：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.几何语言：∵PA切⊙O于点A,PB切⊙O于点B.∴PA = PB,OP平分∠APB .2.自学：学生结合自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：看学生能否顺利完成定理的证明.②差异指导：根据学情确定指导方案.（2）生助生：小组内相互交流、研讨.4.强化：（1）切线长定理及它的证明.（2）交流：在提纲④的几何图形中，若连接AB交OP于点C，则图中有哪些垂直关系？哪些全等三角形？若设线段OP与⊙O的交点为D，且PA＝4，PD＝2，你能求出⊙O 的半径长吗？解：AB⊥OP,OA⊥AP,OB⊥BP;△OAC≌△OBC,△OAP≌△OBP,△ACP≌△BCP.设⊙O 的半径为r,则OP=OD+PD=r+2,在Rt△OAP中，OA2+AP2=OP2,即r2+42=(r+2)2.解得r=3. 即⊙O的半径长为3.1.自学指导：(1)自学内容：教材第99页“思考”到第100页的内容.(2)自学时间：8分钟.(3)自学方法：阅读，画图，推理，猜想.(4)自学参考提纲：①如图，作与△ABC的三边都相切的⊙I.因为⊙I与BA,BC都相切，所以点I在∠ABC的平分线上；因为⊙I与CA,CB都相切，所以点I在∠ACB的平分线上；所以点I是∠ABC与∠ACB平分线的交点.a.作∠ABC的平分线，∠ACB的平分线，交于点I；b.过I作ID⊥BC于D，以I 为圆心，ID为半径画圆，则⊙I即为所求.②三角形的内切圆是指与三角形各边都相切的圆，内切圆的圆心叫三角形的内心.它是三角形三条角平分线的交点，它到各条边的距离都相等.③已知：如图，在△ABC中，AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，求AF、BD和CE的长.设AF=x,则AE=x,CD=CE=AC-AE=13-x,BD=BF=AB-AF=9-x.由BD+CD=BC,可得(13-x)+(9-x)=14.解得x=4.因此AF=4cm,BD=5cm,CE=9cm.2.自学：同学们可结合自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：关注学生是否清楚三角形内切圆的作图思路.②差异指导：注意帮助学生理清前后知识间的联系.（2）生助生：生生互动，交流，研讨.4.强化：(1)三角形内切圆的作图和内心的概念和性质.(2)如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点O是△ABC的内心，求∠BOC的度数.解：∵点O是△ABC的内心，∴OB平分∠ABC,OC平分∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝12∠ABC+12∠ACB=12×（50°+75°）＝62.5°.∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB＝117.5°.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？掌握了哪些解题方法？2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：点评学生学习的态度、积极性、学习的方法、效果及存在的问题等.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:本节课的教学是直线与圆的位置关系的继续，从探究切线长定理开始，通过如何作一个三角形的内切圆，引出三角形的内切圆和三角形内心的概念，经历这些探究过程，能使学生掌握图形的基本知识和基本技能，并能解决简单的问题.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（70分）1.(10分) 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=11cm，BC=14cm，CA=13cm，则AF的长为（C）A.3cmB.4cmC.5cmD.9cm2.(10分) 如图，点O是△ABC的内心，若∠BAC=86°，则∠BOC=（C）A.172°B.130°C.133°D.100°3.(10分)如图，已知VP、VQ为⊙T的切线，P、Q为切点，若VP=3cm，则VQ=3cm.3.若∠PVQ＝60°，则⊙T的半径PT＝cm4.(20分)如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=25°，求∠P的度数.解：∵PA是⊙O的切线.∴∠OAP=90°.∵∠BAC=25°,∴∠BAP=65°.∵OA＝OB,∴∠OBA=∠OAB=25°.∵PB是⊙O的切线，∴∠OBP=90°,∴∠ABP=65°.∴∠P=180°-∠BAP-∠ABP=50°.5.(20分)如图，一个油桶靠在墙边，量得WY=1.65m, 并且x Y⊥WY,这个油桶底面半径是多少?解：设圆心为O，连接OW,O x.∵YW,Y x均是⊙O的切线，∴OW⊥WY,O x⊥x Y，又∵x Y ⊥WY ,∴∠OWY ＝∠O x Y ＝∠WY x ＝90°，∴四边形OWY x 是矩形，又∵OW=O x .∴四边形OWY x 是正方形.∴OW=WY=1.65m.即这个油桶底面半径是1.65m.二、综合应用（15分）6.(15分)△ABC 的内切圆半径为r ，△ABC 的周长为l ，求△ABC 的面积.（提示：设△ABC 的内心为O ，连接OA 、OB 、OC ）解：设△ABC 的内心为O ，连接OA 、OB 、OC.则ABC AOB BOC AOC S S S S =++ ()AB r BC r AC r AB BC AC r lr =++=++=1111122222. 三、拓展延伸（15分）7.(15分)如图，AB 、BC 、CD 分别与⊙O 相切于E 、F 、G 三点，且AB ∥CD ，BO ＝6cm ，CO ＝8cm ，求BC 的长.解：∵AB 、BC 、CD 分别与⊙O 相切，则OB 平分∠EBF ，DC 平分∠FCG .∵AB ∥CD,∴∠EBF+∠GCF=180°.∴∠BOC=180°-∠OBF-∠OCF=180°-12(∠EBF+∠GCF)=90°.∴在Rt △BOC 中，BC=OB2+OC2=62+82=10（cm ）.。
切线长定理与内切圆 学案
【学习目标】1.理解并掌握切线长定理、能熟练运用所学定理来解答问题．2.了解三角形的内切圆及内心的特点，会画三角形的内切圆．【重点】了解三角形的内切圆及内心的特点，会画三角形的内切圆．【学习导航】一、孕育切线的性质与判定二、萌发1．经过圆外一点作圆的切线，这点和________之间线段的长叫做这点到圆的切线长．2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长________，这一点和圆心的连线________两条切线的夹角．3．与三角形各边都________的圆叫做三角形的内切圆．4．三角形内切圆的圆心是三角形________________的交点，叫做三角形的________，它到三边的距离________．三、生长自学反馈1．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，若PA＝4，则PB＝________.2．如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，点E是⊙O上一点，且∠AEB＝60°，则∠P＝________度．3．如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在︵AB上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是________．4．⊙O 为△ABC 的内切圆，D 、E 、F 为切点，∠DOB ＝73°，∠DOE ＝120°，则∠DOF ＝________，∠C ＝________，∠A ＝________.1．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，则△ABC 的内切圆半径r ＝________.2．如图，AD 、DC 、BC 都与⊙O 相切，且AD ∥BC ，则∠DOC ＝________.3．如图，AB 、AC 与⊙O 相切于B 、C 两点，∠A ＝50°，点P 是圆上异于B 、C 的一动点，则∠BPC ＝________.[来源学。
科。
《24.2.2 第3课时 切线长定理》教案、导学案、同步练习
《第3课时 切线长定理》教案【教学目标】1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明．2．了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念．3．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想．【教学过程】一、情境导入新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案．二、合作探究探究点一：切线长定理 【类型一】利用切线长定理求三角形的周长如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB于点E 、F ，切点C 在AB ︵上．若PA 长为2，则△PEF 的周长是________．解析：因为PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，所以PA ＝PB ，因为⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点为C ，所以EA ＝EC ，CF ＝BF ，所以△PEF 的周长PE ＋EF ＋PF ＝PE ＋EC ＋CF ＋PF ＝(PE ＋EC )＋(CF ＋PF )＝PA ＋PB ＝2＋2＝4. 【类型二】利用切线长定理求角的大小如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，点C 在⊙O 上，如果∠ACB ＝70°，那么∠OPA 的度数是________度．解析：如图所示，连接OA、OB.∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB ＝360°－∠PAO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易证△POA≌△POB，∴∠OPA＝12∠APB＝20°.故答案为20.方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO平分∠APB.【类型三】切线长定理的实际应用为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的．解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.∵AP、AQ为⊙O 的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO ＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，∴OP＝55(cm)，即铁环的半径为55cm.探究点二：三角形的内切圆【类型一】求三角形的内切圆的半径如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为________．解析：如图，连接OD .由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点．所以∠OCD ＝30°，OD ⊥BC ，所以CD ＝12BC ，OC ＝2OD .又由BC ＝2，则CD ＝1.在Rt △OCD 中，根据勾股定理得OD 2＋CD 2＝OC 2，所以OD 2＋12＝(2OD )2，所以OD ＝33.即⊙O 的半径为33. 方法总结：等边三角形的内心为等边三角形中线，底边高，角平分线的交点，它到三边的距离相等． 【类型二】求三角形的周长如图，Rt △ABC 的内切圆⊙O 与两直角边AB ，BC 分别相切于点D 、E ，过劣弧DE ︵(不包括端点D 、E )上任一点P 作⊙O 的切线MN 与AB 、BC 分别交于点M 、N .若⊙O 的半径为r ，则Rt △MBN 的周长为( )A ．r B.32r C ．2r D.52r 解析：连接OD ，OE ，∵⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∴OD ⊥AB ，OE ⊥BC .又∵MD ，MP 都是⊙O 的切线，且D 、P 是切点，∴MD ＝MP ，同理可得NP ＝NE ，∴C Rt △MBN ＝MB ＋BN ＋NM ＝MB ＋BN ＋NP ＋PM ＝MB ＋MD ＋BN ＋NE ＝BD ＋BE ＝2r ，故选C. 三、板书设计【教学反思】教学过程中，强调用切线长定理可解决有关求角度、周长的问题．明确三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，到三边的距离相等.《第3课时切线长定理》教案【教学目标】：1、了解切线长定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关计算。
24.2.2切线长定理及三角形的内切圆导学案
安徽省太和县胡总中心学校导学案 九年级数学（上）胡总中心学校数学教研组 汤传光编制第11课时 24.2.2切线长定理及三角形的内切圆［学习目标］1．理解切线长的概念，掌握切线长定理，会应用切线长定理解决问题； 2．理解三角形的内心的概念，掌握内心的性质，会作三角形的内切圆. ［学习流程］一、依标独学⒈切线的定义是什么？切线有哪些性质？ 2.角平分线的判定和性质是什么？（二）围标群学 阅读教材：经过圆外一点作圆的 ，这点和切点之间的 ，叫做这点到圆的 .如图1，P 是⊙O 外一点，PA ，PB 是⊙O 的两条切线，点A ，B 为切点，把线段PA ，PB 的长叫做点P 到⊙O 的 线.长的区别：切线是 线，不可度量，而切线长是线段，度量. 二、扣标展示活动1：（1）阅读教材“探究”，动手做一做：如图2，切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_________相等，这一点和圆心的连线平分______． 几何语言：PA PB 、是⊙O 的两条切线 _____________,________________ .（2）如何证明切线长定理呢？已知：如图2，已知PA 、PB 是⊙O 的两条切线．求证：PA=PB ，∠OPA=∠OPB ．（3）若PO 与圆相分别交于C 、D,连接AB 于PO 交于点E,图中有哪些相等的线段？有哪些相等的角，有哪些相等的弧？有哪些互相垂直的线段？有哪些全等的三角形.活动2: （1）阅读教材的“思考”：想一想，应该满足什么条件？ （2）怎样作圆呢？怎样找圆心和半径？假设符合条件的圆已经作出，圆应当与三角形的三边 .那么圆心到三边的距离都等于什么？圆心在三个内角的什么线上？（3）如何作图呢？（教师引导）（4）三角形的内切圆：与三角形各边 ，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形 的交点，叫做三角形的 ，三角形叫做圆的 .（5）说明：①当已知三角形的内心时，常常作过三角形的顶点和内心的射线，则这条射线平分三角形的内角.②内心到三角形三边的距离相等.活动3:如图3，△ABC 的内切圆⊙O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，且AB=9cm ，BC=14cm,CA=13cm,求AF 、BD 、CE 的长。
导学案：圆-切线长定理
第8课时 切线长定理、三角形的内切圆修改者：杨佳容【学习目标】1.理解切线长定理的条件和结论. 2.会作三角形的内切圆，了解内切圆的一些特性.【学习重点】切线长定理的应用. 【学习过程】一、学习准备1.直线与圆的三种位置关系有： 、 、 .2.直线和圆有 交点时，这条直线叫做圆的切线.当直线和圆相切时，圆心到直线的距离等于 . 3.切线的性质：圆的切线垂直于 . 二、教材解读 1.切线长定理圆的切线上某一点与切点之间的线段的长度，叫做这点到圆的切线长.如图1，PA ⊙O 的切线，A 为切点，则线段PA 就是点P 到⊙O 的切线长.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.已知：如图1，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点， 求证：PA = PB ，∠OPA =∠OPB . 证明：， 即时练习1：如图2，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠BAC = 20°，求∠P 的度数.2．三角形的内切圆 思考：有一张三角形的铁皮，如何在它上面截出一个面积最大的圆形铁皮？ 为了尽量应用这块铁皮，我们画出的圆与铁皮的边要刚刚相切才好.那么,会不会存在这样一个圆，它与这个三角形的三边都相切？如果存在，我们就可以最大化利用了这块三角形铁皮了.图1图2如图3，我们假设这样一个与三角形三边都相切的圆存在,我们看能不能找到它的圆心和半径.设点D 、E 、F 是切点，则有： OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，OF ⊥BC ， 又根据切线长定理，则有：AD = AE ，BD = BF ，CF = CE ，而OD = OE = OF ，∴R t △ADO ≌Rt △AEO ，R t △BDO ≌Rt △BFO ，R t △CEO ≌Rt △CFO ， ∠DAO = ∠EAO ，∠DBO = ∠FBO ，∠ECO = ∠FCO ，∴AO 、BO 、CO 是△ABC 三条角平分线.∴圆心O 是就是三角形三条角平分线的交点，半径就是交点O 到三边的距离. 故存在这样的一个圆，它与三角形的三边都相切.定义：与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆. 内切圆的圆心叫三角形的内心，它是三角形三条内角平分线的交点. 即时练习2：（1）如图4，⊙O 是△ABC 的内切圆，与AB 、BC 、CA 分别相切于点D 、E 、F ，∠DOE =120°，∠EOF = 150°，则∠A = ，∠B = ，∠C = .（2）如图5，△ABC 的内切圆⊙O 与AC 、AB 、BC 分别相切于点D 、E 、F ，且AB = 5cm ，BC = 9cm ，AC = 6cm ，求AE 、BF 和CD 的长.（3）如图5，设△ABC 的内切圆半径为r ，△ABC 的的周长为l 、面积为S ，求证：S =rl 21.A BCDEF O 图4图3 ABC DE FO A CB D E F O · 图5图5 ABCDE FO三、反思小结1、切线的性质：2、切线的判定＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 3．弦切角的特征： 4. 切线长定理： 5. 三角形的“几心”知识回顾和整理：（1）三角形三个内角平分线的交点叫三角形的 心，它的特点是： 心到 距离相等；（2）三角形三条边的垂直平分线的交点叫三角形的 心，它的特点是： 心到 距离相等；（3）三角形三条中线的交点叫三角形的 心，它的特点是： .（4）三角形三条高的交点叫三角形的 心.ABCDEF O内心外心 ABC重心DEF 垂心A BCD E F OO ┐ ∥∥本课时达标检测一、基础巩固1．请你用尺规作图，作出三角形MNP 的内切圆.2.如图，△ABC 的内切圆⊙O 切AC 、AB 、BC 分别为D 、E 、F ，若AB = 9，AC = 7，CD = 2，求 BC 的长.二、知识拓展3．正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（ ）. A. 2 B. 3 C.3 D. 234.如图，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∠C = 90°，若AC = b ，BC = a ，AC = c ，则⊙O 的半径r 与a 、b 、c 的关系式为 .5. 如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的一条切线，过点C 另引一条⊙O 的切线交⊙O 于点D ，连接AD 、OC . 求证：AD ∥OC .三、能力提升6. △ABC 的周长为20cm ，面积为35cm 2，那么△ABC 的内切圆半径为 . 7．如图，PA 是⊙O 的切线，PO 的延长线交⊙O 于点E ，已知⊙O 的半径为3，PC = 4.求弦CE 的长.ABC· O 5题图DM 1题图 APECO· 7题图C A BD FE O · 2题图 ABbCO· 4题图┐c a。
人教版数学九年级上册《切线长定理、三角形的内切圆、内心》教案1
人教版数学九年级上册《切线长定理、三角形的内切圆、内心》教案1一. 教材分析人教版数学九年级上册《切线长定理、三角形的内切圆、内心》这一节主要介绍了切线长定理以及三角形的内切圆和内心的性质。
通过学习这一节内容，学生能够了解并掌握切线长定理，以及如何运用该定理求解三角形的问题。
同时，学生还能够了解三角形的内切圆和内心的性质，以及如何运用这些性质解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习这一节内容之前，已经学习了相似三角形的性质，对三角形的基本概念和性质有一定的了解。
但是，对于切线长定理以及三角形的内切圆和内心的性质可能还比较陌生，需要通过本节课的学习来掌握。
此外，学生可能对于如何运用这些性质解决实际问题还比较困惑，需要通过教师的引导和实例的讲解来进行理解和掌握。
三. 教学目标1.了解并掌握切线长定理，能够运用切线长定理求解三角形的问题。
2.了解三角形的内切圆和内心的性质，能够运用这些性质解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.切线长定理的理解和运用。
2.三角形的内切圆和内心的性质的理解和运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过思考和讨论来理解和掌握切线长定理和三角形的内切圆、内心的性质。
2.通过实例讲解和练习，让学生能够运用所学的知识解决实际问题。
3.采用分组合作的学习方式，培养学生的团队合作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT和教学素材。
2.准备相关的练习题和测试题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题，引导学生思考和讨论如何解决这个问题，激发学生的学习兴趣和动力。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT呈现切线长定理和三角形的内切圆、内心的性质，并用相关的图示和实例进行讲解，让学生理解和掌握这些概念和性质。
3.操练（10分钟）学生分组进行练习，教师给予指导和解答疑问。
每组选择一道练习题，运用切线长定理和三角形的内切圆、内心的性质进行求解，并将结果进行展示和讨论。
九年级数学下册 27 圆 课题 切线长定理与三角形的内切圆学案 (新版)华东师大版
课题：切线长定理与三角形的内切圆【学习目标】1．了解切线长的概念，理解切线长定理推导过程．2．熟练应用切线长定理解决问题，理解三角形的内切圆及内心等定义．【学习重点】切线长定理的推导及应用，三角形内切圆的作图及应用．【学习难点】切线长定理的应用及三角形内心的理解与应用．情景导入生成问题1．切线的判定定理和性质定理是什么？答：切线判定定理：经过圆的半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．2．大家知道，过圆上一点可以作圆的切线有且只有一条．如图，过圆外一点P能作圆的几条切线呢？答：能作两条，以OP为直径作圆，交⊙O于点A，B，PA，PB即为所求作的两条切线．自学互研生成能力知识模块一切线长定理阅读教材P52～P54，完成下列问题：问题：什么是切线长？什么是切线长定理？答：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做切线长．过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角，这就是切线长定理．范例：(天津中考)如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B.若∠P＝70°，则∠C的大小为55°．仿例1：(宜宾中考)如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝40°，则∠BAC＝20°．(范例图) (仿例1图) (仿例2图)仿例2：(毕节中考)如图所示，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点O为BC的中点，以点O为圆心作⊙O，交BC于点M，N，与AB，AC相切，切点分别为点D，E，则⊙O的半径和∠MND的度数分别为( A) A．2，22.5°B．3，30°C．3，22.5°D．2，30°仿例3：如图，AD，AE，CB均是⊙O的切线，D，E，F分别是切点，AD＝8，则△ABC的周长是16．仿例4：(乌鲁木齐中考)如图，半圆O与等腰直角三角形两腰CA，CB分别切于D，E两点，直径FG在AB 上，若BG＝2－1，则△ABC的周长为( A)A．4＋2 2 B．6C．2＋2 2 D．4知识模块二三角形的内切圆问题：什么是三角形的内切圆？什么是三角形的内心？答：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三条角平分线交点，叫做三角形的内心．范例：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C＝90°，D，E，F是⊙O与三边相切的切点，AC＝3，BC＝4，则AD＝2，BF＝3，CE＝1，内切圆的半径r＝1．(范例图) (仿例1图) (仿例2图)仿例1：如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是点D，E，F，已知∠A＝100°，∠C＝30°，则∠DFE的度数是65°．仿例2：如图，点O为△ABC的外心，点I为△ABC的内心，若∠BOC＝140°，则∠BIC的度数为( B) A．110°B．125°C．130°D．140°交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一切线长定理知识模块二三角形的内切圆检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书【课后检测】见学生用书课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________2．困惑：________________________________________________________________________。
《-切线长定理》导学案----梁锋
人教版数学九（上）《切线长定理》导学案竹山县文峰中学梁锋教学目标：知识与技能：1．理解切线长的概念，并理解切线长定理．2．理解三角形的内切圆及内心的特点，会画三角形的内切圆．3．理解和灵活使用切线长定理以及应用内切圆知识发展解决实际问题的水平．过程与方法：经历探索切线长定理的过程，体会应用内切圆相关知识解决问题，从而渗透转化思想和方程思想．情感态度与价值观：理解数学的价值，培养对数学的好奇心与求知欲，在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．重难点目标：教学重点：切线长定理．教学难点：应用切线长定理解决问题．教学过程：环节1自学提纲，生成问题阅读教材P99～P100的内容，完成下面练习．1．经过圆外一点作圆的切线，这点和____之间线段的长叫做这点到圆的切线长．2．切线长定理：从圆外一点能够引圆的两条切线，它们的切线长____，这个点和圆心的连线____两条切线的夹角．3．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，若PA＝4，则PB＝____.4．与三角形各边都__相切__的圆叫做三角形的内切圆．5．三角形内切圆的圆心是三角形___的交点，叫做三角形的____，它到三边的距离____.环节2合作探究，解决问题活动1：小组讨论(师生对学)例1如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，假设AB＝5，AC＝3，则BD的长是__________.互动探索：(引发学生思考)AB、AC、BD是⊙O的切线，由切线长定理能够得到哪些线段相等？求BD的长能够转化为求哪条线段的长？分析：互动总结：(学生总结，老师点评)切线长定理提供了另一种证明线段相等的方法，注意在解题过程中的等量代换．例2：如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E是切点，∠A＝50°，∠C＝60°，则∠DOE＝________.互动探索：(引发学生思考)三角形内切圆有哪些性质？要求∠DOE的度数，在四边形BDOE中，能否使用四边形内角和定理求解？分析：互动总结：(学生总结，老师点评)三角形内切圆问题中，连结各边的切点与圆心，结合切线的性质能产生直角，进而根据问题实行求解．活动2：巩固练习(学生独学)1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆半径r＝____.2．如图，AD、DC、BC都与⊙O相切，且AD∥BC，则∠DOC＝____.3．如图，AB、AC与⊙O相切于B、C两点，∠A＝50°，点P是优弧BC上异于B、C的一动点，则∠BPC＝____.活动3：拓展延伸(学生对学)例3：如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，若∠APB＝60°，⊙O半径为3，求阴影部分的面积．互动探索：(引发学生思考)阴影部分是不规则图形，要求阴影部分的面积，能够通过规则图形怎样来“割补”？分别连结切点与圆心、交点与圆心，得到直角三角形，如何求得阴影部分的面积？互动总结：(学生总结，老师点评)由切线，作辅助线易得直角三角形，求不规则图形面积时，经常通过规则图形“割补”求得，注意其中数形结合思想的使用．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)练习设计教材P10210题11题。
九年级数学《切线长定理》导学案
九年级数学《切线长定理》导学案学习目标：1. 理解切线长的定义；2. 掌握切线长定理，并能灵活运用切线长定理解题。
学习重点：切线长定理的理解学习难点：切线长定理的应用学习过程：一、知识准备：1. 直线与圆的位置关系有哪些？怎样判定？2. 切线的判定和性质是什么？3. 角的平分线的判定和性质是是什么？二、引入新课：过圆上一点可以作圆的几条切线？那么过圆外一点可以作圆的几条切线呢？三、课内探究：（一）探究切线长的定义：如下图，已知⊙o及⊙o外的一点P，PA与⊙o相切于A点，连接OA、OP，如果将⊙o沿直线OP翻折，与A点重合的点B在圆上吗？如果在，PB 是⊙o的切线吗？为什么？P引出定义：过圆外一点，可以作圆的______条切线，这点与其中一个切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
跟踪训练：判断1. 圆的切线长就圆的切线的长度。
（）2. 过任意一点总可以作圆的两条切线。
（）3.从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等（）（三）探究切线长定理：若从⊙O外的一点引两条切线PA，PB，切点分别是A、B，连结OA、OB、OP，你能发现什么结论？并证明你所发现的结论。
切线长定理：过圆外一点所画的圆的_____条切线长相等。
该定理用数学符号语言叙述为：∵∴跟踪训练：1. 如图，⊙O与△ABC的边BC相切，切点为点D ，与AB、AC的延长线相切，切点分别为店E、F，则图中相等的线段有__________________________ _____________________________。
2.从圆外一点向半径为9的圆作切线，已知切线长为18，则从这点到圆的最短距离为________。
3. 如图，PA、PB是⊙O的切线，点A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠ACB=70°。
则∠P=________。
四、典例解析：例：如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切A EDFCBO于A、B两点，PA=PB=4cm，∠P=40°，C是劣弧AB上任意一点，过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB与点D、E，试求：（1）△PDE的周长；（2）∠DOE的度数。
九年级数学： 24.2.3切线长定理与三角形的内切圆学案
24.2.3切线长定理与三角形的内切圆编制人：程家忠使用人：第24章第14课时【学习目标】1．理解切线长的定义与切线长定理，会用切线长定理解决有关问题.2．了解三角形的内切圆的概念，理解三角形的内心的概念。
3. 会作三角形的内切圆.【学习重点】切线长定理及其应用。
【学习难点】用切线长定理解决有关问题.【自主探究】一、导引自学1、回忆：⑴什么叫三角形的外接圆？什么叫三角形的外心？它是哪些线的交点？有何性质？⑵切线的性质定理是什么？2、自学：阅读教材P99—100练习以上内容，思考下列问题：⑴什么是切线长？⑵切线长定理的内容是什么？请画出图形，并用符号语言表示：⑶什么叫三角形的内切圆？如何作三角形的内切圆？请作出右图△ABC的内切圆。
⑷什么叫三角形的内心？它是哪几条线的交点？它有什么性质？二、自我检测P100练习1，2三、知新有疑通过自学，我又知道了：疑惑：【范例精析】例1△ABC的内切圆分别切AB，BC，AC于F，D，E，求证：BCEDOFAE=AF=1/2(AB+AC-BC)，BD=BF=1/2(BA+BC-CA)，CE=CD=1/2(CB+CA-AB)例2在△ABC中，E是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D，求证：DE＝DB 。
【达标测评】1．如图1，PA、PB分别切圆O于A、B两点，C为劣弧AB上一点，⑴APB=30°，则⑴ACB=（）．A．60° B．75° C．105° D．120°(1) (2) (3) (4)2、如图2，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知PA=7cm，则⑴PCD的周长等于_________．3、如图3，边长为a的正三角形的内切圆半径是_________．4、如图，⑴ABC中，AC=8，BC=15，AB=17，则其内切圆半径长为。
5、在⊿ABC中，∠A=50°（1）若点O是⊿ABC的外心，则∠BOC= .(2) 若点O是⊿ABC的内心，则∠BOC= .6、如图，已知⑴O是⑴ABC的内切圆，切点为D、E、F，如果AE=2，CD=1，BF=3，且⑴ABC的面积为6．求内切圆的半径r．【小结反思】通过本节课的探究学习，我又有了新的收获和体验：知识技能方面：数学思想方法：学习感受反思：BP。
《切线长定理》导学案 2022年最新word版 (2)
29.4 切线长定理学习目标：1、了解切线长的概念．了解三角形的内切圆、三角形的内心等概念。
2、理解切线长定理，并能熟练运用切线长定理进行解题和证明〔重点〕3、会作三角形的内切圆〔重点〕学习重点：切线长定理学习难点：切线长定理的应用学习过程：一、知识准备：1. 直线与圆的位置关系有哪些？怎样判定？2. 切线的判定和性质是什么？3. 角的平分线的判定和性质是是什么？二、引入新课：过圆上一点可以作圆的几条切线？那么过圆外一点可以作圆的几条切线呢？三、课内探究：探究点一、切线长的定义：如以以下图，过⊙O外一点P，画出⊙O的所有切线.P引出定义：过圆外一点，可以作圆的______条切线，这点与其中一个切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.试一试：探究切线长定理：如图，PA、PB是⊙O的两条切线，试指出图中相等的量，并证明.切线长定理：过圆外一点所画的圆的_____条切线长相等.该定理用数学符号语言表达为：∵∴典例解析：例1：如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B两点，PA=PB=4cm，∠P=40°，C 是劣弧AB上任意一点，过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB与点D、E，试求：〔1〕△PDE的周长；〔2〕∠DOE的度数.跟踪训练：1. 如图，⊙O与△ABC的边BC相切，切点为点D，与AB、AC的延长线相切，切点分别为店E中相等的线段有第1题图第3题图2.从圆外一点向半径为9的圆作切线，切线长为18，那么从这点到圆的最短距离为________.3. 如图，PA、PB是⊙O的切线，点A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠ACB=70°.那么∠P=________.探究点二、三角形的内切圆〔一〕学前温故1．经过三角形三个顶点的圆叫做．外接圆的圆心叫做.这个三角形叫做.2．三角形的外心到三角形的三个顶点距离.〔二〕学习新知1．与三角形三边都相切的圆叫做，内切圆的圆心叫做.这个三角形叫做.2．三角形的内心到三角形的三边距离.典例解析：例2：如图(1)，在△ABC中，⊙I是△ABC∠FDE与∠A的关系，并说明理由．分析：∠FDE是圆周角，∠FIE是同弧所对的圆心角，要确定∠FDE与∠A的关系，可首先确定∠FIE与∠A的关系．解：点拨：连接圆心和是常作的辅助线．例3：如图①，在△ABC中，∠C＝90°，它的三边分别为a、b、c，内切圆的半径为r，切点分别为D、E、F.(1)试用a、b、c表示内切圆的半径r；(2)假设a＝6，b＝8，求此三角形内切圆的面积．(用π表示)分析：(1)切线长定理的灵活运用是解决此题的关键；(2)首先利用勾股定理求出斜边的长，然后根据(1)中得出的结论求内切圆的半径，最后利用面积公式计算面积．解：点拨：直角三角形内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半，这是计算直角三角形内切圆半径的常用方法．稳固训练：1．等边三角形的外接圆的面积是内切圆面积的()．A．2倍B．3倍C．4倍D．5倍2．如图，⊙O是△ABC的内切圆，且∠BAC＝50°，那么∠BOC为________度．3．如图，⊙O是△ABC的内切圆，假设∠ACB＝90°，∠BOC＝105°，BC＝20(3＋1)，求⊙O的半径．4.如图，P为⊙O外一点，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，BC是直径.〔1〕求证：AC∥OP︵〔2〕如果∠APC=70°，求 AC的度数5.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB=30°.〔1〕求∠APB的度数；〔2〕当OA=3时，求AP的长.六、课堂小结：畅所欲言，查漏补缺第12章乘法公式与因式分解12.1 平方差公式一、导入激学灰太狼开了租地公司，一天他把一边为a米的正方形土地租给慢羊羊种植。
切线长定理和三角形的内切圆教案
课题：24．2．2切线长定理和三角形的内切圆【教学目标】1．了解切线长概念和切线长定理；会用切线长定理进行有关计算和证明；2．了解三角形的内切圆的概念和内切圆的画法．【教学重点】切线长定理和内切圆【教学难点】切线长定理的应用和内切圆作法。
【教学过程】一、新课引入：我们已经学习了圆的切线的性质，今天我们继续来学习圆的切线的其它性质．经过平面上的已知点作已知圆的切线，会有怎样的情形呢？请同学们打开练习本画一画．学生动手画，教师巡视．当学生把可能的位置情况画完后，教师指导全班同学交流并得到结论：1．经过圆内已知点不能作圆的切线；2．经过圆上已知点可作圆的唯一一条切线；3．经过圆外一已知点可作圆的两条切线．二、知道并能证明、应用切线长定理自学课本96探究至97页第10行，完成下列问题：1.2.什么是切线长？你是怎么理解的？3.如图，你能证明切线长定理吗？切线长定理：如图，ＰＡ、ＰＢ为⊙Ｏ的切线，Ａ、Ｂ为切点，则4．如图，PA ，PB 是⊙O 的两条切线，A ，B 为切点．直线OP 交AB 于M ，试探索OP 与线段AB 、弧AB 、∠AOB 的关系，并说明理由．5．如图，AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切于E ，F ，G ，且AB ∥求BE+CG 的长.总结：利用第4题小结在此基本图形中，OP 垂直平分AB ；利用第5题小结切线长定理的用法。
三、知道什么是三角形的内切圆、内心，会画内切圆自学课本97页思考~98页例2结束，并回答下列问题：1．任意画一个三角形，并尝试利用尺规作图画出它的内切圆．2．什么叫内切圆？什么叫内心？三角形的内心具有什么性质？3．比较三角形的外接圆与三角形的内切圆及三角形的外心与内心，填写下列表格点O 是内心，求∠BOC 的度数．5．一张三角形铁皮的三边分别为3cm ，4cm ，5cm ，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢? (1) 作出图形；（2）求出圆的最大面积．总结：利用第3题比较内心与外心；利用第5题总结直角三角形外接圆半径的求法。
初中数学九年级上册《切线长定理和三角形的内切圆》名师导学案
P ABCA图3CB《切线长定理和三角形的内切圆》导学案 NO ：42班级_____姓名________小组_____评价_______一、学习目标1、了解切线长、三角形内切圆和三角形的内心等概念；2、掌握切线长定理，并能熟练运用切线长定理进行计算和证明；3、会作已知三角形的内切圆。
二、自主学习1、阅读教材99页“探究”，思考下列问题： （1）过圆外一点可以作圆的几条切线？（2）什么是切线长？经过圆外一点作圆的切线，_______点与_______点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长。
（3）切线长与切线有什么区别？_______是一条直线，_______是一条线段。
（4）切线长定理如何表述？从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的______相等，这点和圆心的连线平分两条切线的_________。
（读4遍） （5）如何证明切线长定理？（请在练习本上写出证明） （6）如右图，若PO 与圆分别交于C 、D ，连接AB ，交PO 于E 请写出图中相等的线段、相等的弧、相等的角。
2、阅读教材 “思考” ，认识三角形的内切圆：（1）与三角形各边都_________的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条_________的交点，叫做三角形的内心，它到三角形_________的距离相等。
（读3遍，并思考三角形的内切圆与三角形的外接圆有什么区别。
）（2）画出图1中△ABC 的内切圆。
3、自学检测：（1）如图2，△ABC 的内切圆⊙O 与三边分别切于D 、E 、F ， AB=10cm ，BC=12cm ，CA=16cm ，求AF 、BD 、CE 的长。
（2）如图3，△ABC 的三边与它的内切圆⊙O 分别切于D 、E 、F ，若∠A=70°，则∠EDF= _________。
（3）教材练习第1，2题。
三、合作探究1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则△ABC 的内切圆半径r=________2、如图4，PA 、PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于 E 、F 两点，切点在弧AB 上，若PA=2，则△PEF 的周长是________3、如图5，⊙O 为Rt △ABC 的内切圆，∠ACB=90°，若∠BOC=105°，AB=4cm ，求∠OBC图4P图5A图6D图7B AD图8ADCEC A的度数与BC 的长。
人教版数学九年级上册22 第3课时 切线长定理及三角形的内切圆导学案
第二十四章圆满招损，谦受益。
《尚书》原创不容易，【关注】，不迷路！24.2.2直线和圆的位置关系第3课时切线长定理及三角形的内切圆学习目标：1.掌握切线长的定义及切线长定理.2.初步学会运用切线长定理进行计算与证明.3.认识三角形的内切圆及其有关概念，会作一个三角形的内切圆，掌握内心的性质.重点：1.掌握切线长的定义及切线长定理.2.认识三角形的内切圆及其有关概念，会作一个三角形的内切圆，掌握内心的性质.难点：初步学会运用切线长定理进行计算与证明.一、知识链接1.切线的判定定理和性质定理是什么？2.角平分线的判定定理和性质定理是什么？二、要点探究探究点1：切线长定理及应用问题1上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？要点归纳：切线上一点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．问题2PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B．图中OB是⊙O的一条半径吗？PB是⊙O的切线吗？PA、PB有何关系？∠APO和∠BPO有何关系？要点归纳：过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.推理验证已知，如图PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点.求证：PA=PB，∠APO=∠BPO.想一想：若连接两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.例1已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切与点E、F、G、，求铁环的半径．方法总结：切线长定理包括线段相等和角相等两个结论，解题时应有选择地应用，它是证明线段相等、角相等以及垂直关系的重要依据.练一练PA、PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，OA=3.(1)若AP=4，则OP=；(2)若∠BPA=60°，则OP=.探究点2：三角形的内切圆及作法互动探究小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？问题1如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？问题2如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？(1)如果半径为的☉I与△ABC的三边都相切，那么圆心I应满足什么条件？(2)在△ABC的内部，如何找到满足条件的圆心I呢？做一做已知：△ABC.求作：和△ABC的各边都相切的圆.要点归纳：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.探究点3：三角形的内心的性质问题1如图，☉O是△ABC的内切圆，那么线段OA，OB，OC有什么特点？问题2如图，分别过点O作AB、AC、BC的垂线，垂足分别为E、F，G，那么线段OE、OFOG之间有什么关系？要点归纳：三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点.三角形的内心到三角形的三边距离相等.例3如图，△ABC中，∠B=43°，∠C=61°，点I是△ABC的内心，求∠BIC 的度数.例4(教材P100例2)△ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9，BC=14，CA=13，求AF、BD、CE的长.方法总结：关键是熟练运用切线定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.比一比：三、课堂小结定理们的切线长相等.这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角.作用提供了证线段和角相等新方法辅助线作①分别连接圆心和切点；②连接两切点；③连接圆心和圆外一点.三角形内切圆有关概念与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三角角平分线的交点，叫做三角形的内心.三角形的内心到三角形的三边距离相等.应用运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.1.如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点分别是AB，如果AP=4，∠APB=40°，则∠APO=，PB=.第1题图第2题图2.如图，☉O为△ABC的内切圆，AC=10，AB=8，BC=9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为☉O的切线，则△CDE的周长为________.3.如图，在△ABC中，点I是内心，(1)若∠ABC=50°，∠ACB=70°，∠BIC=.(2)若∠A=80°，则∠BIC=度.(3)若∠BIC=100°，则∠A=度.(4)试探索：∠A与∠BIC之间存在怎样的数量关系？4.如图，在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC.5.如图，△ABC中，I是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.求证：DI＝DB.参考答案自主学习一、知识链接1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径2.角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角两边的距离相等.角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.课堂探究二、要点探究探究点1：切线长定理及应用问题1：连接OP，以OP的中点为圆心，OP的一半为半径作圆，与☉O交于点A，B，连接PA，PB，直线PA，PB即为所求做的切线.过圆外的一点，可以作圆的两条切线.问题2：OB 是☉O的一条半径，PB是☉O的切线，PA=PB，∠APO=∠BPO.推理验证：证明：∵PA、PB是☉O的两条切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB.∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP，∴PA=PB，∠APO=∠BPO.想一想解：OP垂直平分AB.证明：∵PA，PB是⊙O的切线，点A，B是切点∴PA=PB，∠OPA=∠OPB∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线.∴OP垂直平分AB.典例精析例1证明：∵AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切与点E、F、G、和CN，交点为O.2.过点O作OD⊥BC，垂足为D.3.以O为圆心，OD为半径作圆O.☉O就是所求的圆.探究点3：三角形的内心的性质问题1线段OA，OB，OC分别是∠CAB，∠ABC，∠BCA的平分线.问题2OE=OF=OG例3解：连接IB，IC.∵点I是△ABC的内心，∴BI，CI分别是∠ABC，∠ACB的平分线，在△IBC中，∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-12(∠ABC+∠ACB)=180°-12（43°+61°）=128°.例4解：设AE=x，则AF=x.∴CD=CE=AC-AE=13-x，BD=BF=AB-AF=9-x.由BD+CD=BC，可得(13-x)+(9-x)=14，解得x=4.∴AF=4，BD=5，CE=9.比一比：名称确定方法图形性质外心：三角形外接圆的圆心三角形三边中垂线的交点1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的内部．内心：三角形内切圆的圆心三角形三条角平分线的交点1.到三边的距离相等；2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB3.内心在三角形内部．当堂检测1.20°42.113.（1）120（2）130（3）20（4）∠BIC=90°+12∠A4.方法一证明：连接BD，∵AC切⊙O于点D，BC切⊙O于点B，∴DC=BC，OC平分∠DCB．∴OC⊥BD．∵BE为⊙O的直径，∴DE⊥BD．∴DE∥OC．方法二证明：连接OD，∵AC切⊙O点D，∴OD⊥AC，∴∠ODC=∠B=90°.在Rt△OCD和Rt△OCB中，OD＝OB，OC＝OC，∴Rt△ODC≌Rt△OBC（HL）.∴∠DOC=∠BOC.∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED.∵∠DOB=∠ODE+∠OED，∴∠BOC=∠OED，∴DE∥OC．5.证明：连接BI.∵I是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI.∵∠CBD=∠CAD，∴∠BAD=∠CBD.∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD，∴∠BID=∠IBD.∴BD=ID．【素材积累】每个人对未来都有所希望和计划，立志是成功的起点，有了壮志和不懈的努力，就能向成功迈进。
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《切线长定理及三角形的内切圆》导学案
广元市虎跳中学数学组
学习目标
1、了解切线长的概念．了解三角形的内切圆、三角形的内心等概念。
2、理解切线长定理，并能熟练运用切线长定理进行解题和证明（重点）
3、会作已知三角形的内切圆（重点）
教学流程
一、 知识准备：
1、 只限于演的有几种位置关系？分贝是那几种？
2、 判断直线与圆相切有几种方法？如何判断直线与圆相切？
3、 角平分线的判定和性质是什么？
二、 引入课题
过圆上一点可以作圆的一条切线，那么过圆外一点可以作圆的几条切线呢？从而引入课题。
三、 自学新知：
1自学教材自学教材P 96---P 98，思考下列问题
（1）通过自学教材P98页的探究你知道什么是切线长吗？切线长和切线有区别吗？区别在哪里？
（2）通过自学教材P98页的探究可得切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_________相等，这一点和圆心的连线平分__________________． （3））通过自学教材P98页的探究你知道如何证明切线长定理吗？
如图，已知PA 、PB 是⊙O 的两条切线． 求证：PA=PB ，∠OPA=∠OPB ． 证明：__________________ ____________________________________ ____________________________________
____________________________________
____________________________________ ____________________________________
（4）若PO 与圆相分别交于C 、D,连接AB 于PO 交于点E,图中有哪些相等的线段？有哪些相等的角，有哪些相等的弧？有哪些互相垂直的线段？有哪些全等的三角形。
（5）__________________叫做三角形的内切圆，三角形叫做圆的__________三角形，内切圆的圆心是__________的交点，内切圆的圆心叫做三角形的__________。
四．当堂检测
1、过圆外一点作圆的切线，这点和 ，叫做这点到圆的切线长。
2、从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_________相等，这一点和圆心的连线平分__________________．
3、与三角形各边都 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 的圆叫三角形的内切圆；
内切圆的圆心叫＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；这个三角形叫做＿＿＿＿＿＿＿＿。
4、作三角形两内角的平分线，两角平分线的交点就是
内切圆的圆心， 是内切圆的圆心。
5、如图，PA,PB,分别切⊙O 于点A,B,∠P=70°， ∠C 等于 。
6、在⊿ABC 中，∠A=50°
（1）若点O 是⊿ABC 的外心，则∠BOC= . (2) 若点O 是⊿ABC 的内心，则∠BOC= .
五、典型精析：
例1：如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，∠OAB=30°． （1）求∠APB 的度数； （2）当OA=3时，求AP 的长．
例2如图在△ABC 中，内切圆I 与边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ， ∠B ＝60°，∠C ＝70°，求∠EDF 的度数。
例3 ：（教材97页例2）如图，△ABC 的内切圆⊙O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，且AB=9cm ，BC=14cm,CA=13cm,求AF 、BD 、CE 的长。
E O
A B
C
F
F
E I B A
C
O A P B
C
六、课堂小结 七、作业布置
作业设计
一、选择题．
1．如图1，PA 、PB 分别切圆O 于A 、B 两点，C 为劣弧AB 上一点，∠APB=30°，则∠
ACB=（ ）．
A ．60°
B ．75°
C ．105°
D ．120°
B
P
(1) (2) (3) (4)
2．从圆外一点向半径为9的圆作切线，已知切线长为18，•从这点到圆的最短距离为
（ ）
． A ．
．9
） C ．9） D ．9
3．圆外一点P ，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，C 为优弧AB 上一点，若∠ACB=a ，则∠APB=（ ）
A ．180°-a
B ．90°-a
C ．90°+a
D ．180°-2a 二、填空题
1．如图2，PA 、PB 分别切圆O 于A 、B ，并与圆O 的切线，分别相交于C 、D ，•已知PA=7cm ，则△PCD 的周长等于_________．
2．如图3，边长为a 的正三角形的内切圆半径是_________．
3．如图4，圆O 内切Rt △ABC ，切点分别是D 、E 、F ，则四边形OECF 是_______． 三、综合提高题
1．如图所示，EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，• 如果∠E=46°，∠DCF=32°，求∠A 的度数．
E
2．如图所示，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 为切点， 求证∠ABO=1
2
∠APB.
、
3、如图，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，切点为D 、E 、F ，如果AE=1，CD=2，BF=3，且△ABC 的面积为6．求内切圆的半径r ．。