1导数的概念

f ′( x0 ) = lim
0 0
0
0
条件
在点 P ( x , y ) 处的切线方程
0 0 0
在点 P ( x , y )处的法 线方程
0 0 0
0 0
f ′( x )存在
且不等于0 且不等于0
0
f ′( x ) = ∞ f ′( x ) = 0
0 0
y− y 1 y− y =− (x − x ) f ′( x ) = f ′( x )(x − x ) x＝x y=y y=y x=x
f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) ∆y f ′( x0 ) = lim = lim （1） ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x
若令 x = x0 + ∆x 则（1）式可以写为
f ( x) − f ( x0 ) （2） （2） x → x0 x − x0 f ( x) − f ( x0 ) 从（2）式可以看到凡是具有 lim 型式，都 x → x0 x − x0 是可用求导数的方法来解答。即 f ( x) − f ( x0 ) lim = f ′( x0 ) 。 （3） x → x0 x − x0
平均变化率
∆y ∆x
某点的变化率
∆y ∆x →0 ∆x lim
2.1 导数的概念
二、导数的概念
1. 导数的定义 定义2·1 定义 设函数 y = f (x ) 在 N ( x0 , δ ) 内有定义，当自变 内有定义， 量 x 在 x 处有改变量 ∆x时，函数 y 相应地有改变 量 ∆y = f ( x + ∆x) − f ( x ) 。当 ∆x → 0 时，若 ∆y ∆x 的极限存在，则称此极限为函数 的极限存在，则称此极限为函数
(2)当 趋于0 平均速度趋于极限值64英尺/ 64英尺 (2)当h趋于0时，平均速度趋于极限值64英尺/秒。(就是 =2的瞬时速度 的瞬时速度) 岩石在时刻t=2的瞬时速度)即：
∆s 16(2 + h) 2 − 16(2) 2 v(2) = lim = lim = 64 ∆t →0 ∆t ∆t →0 h
f ′( x ) ，或 y′ ，或
dy df 。 ，或 dx dx
x = x0
f ′( x0 ) = f ′( x )
2.1 导数的概念
二、导数的概念
4. 求导数的步骤
(1) 求增量 ∆y = f ( x + ∆x) − f ( x);
∆y f ( x + ∆x) − f ( x) (2) 算比值 ; = ∆x ∆x
0
∆x → 0
0
2.1 导数的概念
二、导数的概念
2. 左右导数的定义 左右导数的定义 根据左右极限的定义， 根据左右极限的定义，我们定义 f −′ ( x0 )
= lim∆x →0
的左导数；定义 f +′ ( x0 ) = lim ∆y x0 的左导数；
= lim+
f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) ∆y = lim∆x ∆x →0 ∆x
Q (t 0 + ∆ t ) − Q (t 0 ) ∆Q = lim ∆t → 0 ∆ t ∆t → 0 ∆t
2.1 导数的概念
一、 实例
变化率数学模型 以上例子如果不考察问题的实际内容， 以上例子如果不考察问题的实际内容，从数学 结构来看，都具有完全相同的数学模型 结构来看，
f ( x0 + ∆ x ) − f ( x0 ) ∆y lim = lim ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆x
2.1 导数的概念
一、 实例
例 2
设曲线方程为y=f(x)=x 设曲线方程为y=f(x)=x3，求：
的割线的斜率？ （1）过M(1,1)，N(1+△x,(1+△x)3)的割线的斜率？ M(1,1)，N(1+△x,(1+△ （2）求过点M(1,1)的切线斜率？ 求过点M(1,1)的切线斜率？ M(1,1)的切线斜率
∆s f (t 0 + ∆t ) − f (t 0 ) 平均速度 v = = ∆t ∆t
当 ∆t → 0时, 平均速度的极限为
∆s
f (t 0 ) f (t 0 + ∆t )
f (t 0 + ∆t ) − f (t 0 ) ∆s lim lim lim 瞬时速度 v(t 0 ) = ∆t →0 v = ∆t →0 ∆t = ∆t →0 ∆t
2.1 导数的概念
一、 实例
2.曲线的切线斜率 2.曲线的切线斜率 割线的极限位置——切线 切线 割线的极限位置
2.1 导数的概念
一、 实例
2.曲线的切线斜率 2.曲线的切线斜率 割线的极限位置——切线 切线 割线的极限位置
2.1 导数的概念
一、 实例
2.曲线的切线斜率 2.曲线的切线斜率 割线的极限位置——切线 切线 割线的极限位置
∆y (3) 求极限 y′ = lim . ∆x→0 ∆x
2.1 导数的概念
二、导数的概念
例 3 答案:0 求函数 f ( x ) = C (C为常数 ) 的导数 . 答案
例 4
求函数 y = x 2的导数.
答案:2x 答案
2.1 导数的概念
二、导数的概念
5.导数的几何意义 导数的几何意义 导数的几何意义： 导数的几何意义：函数 y = f (x) 在点 x 处的 于函数所表示的曲线L在相应点 导数 f ′( x ) 等于函数所表示的曲线 在相应点 ( x , y ) 处的切线斜率。即 k切＝f ′( x0 ) 处的切线斜率。
0
0 0 0 0 0 0 0
2.1 导数的概念
二、导数的概念
例5 求抛物线 y = x 在点 (1 , 1)处的切线方程与法线 方程。 方程。
2
例6 问曲线 y = x 上哪一点的切线与直线 y = 3 x − 1 平行？ 平行？
3 2
2.1 导数的概念
三、可导与连续的关系
定理2·1 定理
处可导， 如果函数 y = f (x ) 在点 x 处可导，则它在点 处一定连续。 x 处一定连续。
(2)当 趋于0 割线的斜率趋于极限值3 就是M(1,1) M(1,1)处 (2)当△x 趋于0时，割线的斜率趋于极限值3，就是M(1,1)处 的切线斜率3 的切线斜率3。即： ∆y f (1 + ∆x) − f (1) k = lim = lim =3 ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆x
2.1 导数的概念
0 0
反之，不一定成立。 反之，不一定成立。
三、可导与连续的关系
处连续， 函数 y = x 在 x = 0 处连续，但在 x = 0 例7 处不可导。 处不可导。 函数在某一点可导、连续、 函数在某一点可导、连续、有极限的关系 可表示为： 可表示为： 可导
⇒
连续
⇒
有极限
反之不成立。 反之不成立。
由导数定义知，函数 y = f ( x) 在 x0 的导数为
2.1 导数的概念
一、 实例
(1)
∆y f (1 + ∆x) − f (1) (1 + ∆x)3 − 13 k = tan ϕ = = = ∆x ∆x ∆x
区间的长度 △x 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001 0.0000001 0.00000001 该区间内割线的斜率 △y/△x △ 3.03010000 3.00300100 3.00030001 3.00003000 3.00000300 3.00000030 3.00000003
导数
导数
1 2 3 导数的概念 导数的运算 导数的应用
目 录
§1 导数的概念
一、实例 二、导数的概念 三、可导与连续的关系
主要内容
一、 实例
1. 变速直线运动的速度
如图, 物体运动位移与时间的关系为s = f (t )
求 t 0时刻的瞬时速度 v(t 0 )： 从 t 0 到t 0 + ∆t这段时间内,
2.1 导数的概念
一、 实例
例 1 一块岩石突然松动从峭壁顶上掉下来。实验表明： 一块岩石突然松动从峭壁顶上掉下来。实验表明： 一块致密的固体在地球表面附近从静止状态自由落下， 一块致密的固体在地球表面附近从静止状态自由落下， 下落的头t 下落的头t秒中下落的英尺数为 s = 16t 2 。 ：（1 t=2到任何稍后一点的时间t=2+h，h>0的 到任何稍后一点的时间t=2+h 求：（1）从t=2到任何稍后一点的时间t=2+h，h>0的 区间上的平均速度？ 区间上的平均速度？ t=2瞬时速度 瞬时速度？ （2） t=2瞬时速度？
2.1 导数的概念
一、 实例
2.曲线的切线斜率 2.曲线的切线斜率 割线的极限位置——切线 切线 割线的极限位置
2.1 导数的概念
一、 实例
2.曲线的切线斜率 2.曲线的切线斜率 割线的极限位置——切线 切线 割线的极限位置
2.1 导数的概念
一、 实例
2.曲线的切线斜率 2.曲线的切线斜率 割线的极限位置——切线 切线 割线的极限位置
二、导数的概念
3. 导(函)数 如果函数 y = f (x ) 在区间 ( a , b) 内每一点都 可导，则称函数 内可导。 可导，则称函数 y = f (x) 在区间 ( a , b) 内可导。 内每一点x， 此时对区间 ( a , b) 内每一点 ，都有函数 y = f (x ) 的一个导数值与之对应， 的一个导数值与之对应，这就定义了一个新的函 内对x的 数，我们称为函数 y = f (x ) 在区间 ( a , b) 内对 的 导函数，简称导 导函数，简称导数，记作
一、 实例
3. 非恒定电流在t0时刻的电流 非恒定电流在t 恒定电流的电流强度