2014年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 8.4椭 圆

组即可
x2
解答：设椭圆的标准方程为
a2
y2 b2
1(a
b 0) ，由 F1（0，
50 ）得 a 2 b2 50
把直线方程 y 3x 2 代入椭圆方程整理得： (a 2 9b2 )x 2 12b2 x b2 (4 a 2 ) 0 。
设弦的两个端点为 A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ) ，则由根与系数的关系得：
2.在求椭圆方程时，若已知椭圆上的点到两焦点的距离，可先求出椭圆长轴长，再想法求短轴长，
从而得出方程；若已知点的坐标，可先设出椭圆的标准方程，再利用待定系数法求解；
⒊当椭圆的焦点不确定时，应考虑焦点在 x 轴、在 y 轴两种情形，无论哪种情形，始终有 a>b>0.
（二）椭圆的几何性质 ※相关链接※ 1.椭圆几何性质中的不等关系
（4）
3
cos r12 r22 4c2 (r1 r2 )2 2r1r2 4c2 a2 1
2r1r2
2r1r2
r1r
( r1
a2 r2
)2
1
0,
2
当且仅当r时1 ，r2
cos 0, [0, ]. 2
注：熟练掌握椭圆定义及性质并且其解决相应问题，在求离心率 e 时，除已知等式 还需一个关于 a、b、 c 的等式，即可求得 e 。
a2 b2
y2 y2
上时，其标准方程为 + =1(a>b>0)；
a2 b2
x2 y2
（2）当已知椭圆的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为 + =1(m>0,n>0,m≠n)，这
mn
样可避免讨论和复杂的计算；也可设为 Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)这种形式,在解题时更简便.
求椭圆的标准方程主要有定义、待定系数法，有时还可根据条件用代入法。用待定系数法求椭圆方
程的一般步骤是：
（1）作判断：根据条件判断椭圆的焦点在 x 轴上，还是在 y 轴上，还是两个坐标轴都有可能。
（2）设方程：根据上述判断设方程
x2 a2
y2 b2
1(a
b
x2 0)或 b2
y2 a2
1(a
b
0) 。
（3）找关系：根据已知条件，建立关于 a、、 b 或c 、m n 的方程组。
（4）得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求。
※ 例题解析※
※ 〖例 1〗中心在原点，一个焦点为 F1（0， 50 ）的椭圆截直线 y 3x 2 所得弦的中点横坐标
1
为 ，求椭圆的方程
2
思路解析：根据题意，可设椭圆的标准方程，与直线方程联立解方程组，利用韦达定理及中点坐标
公式，求出中点的横坐标，再由 F1（0， 50 ）知，c= 50 ， a 2 b2 50 ，最后解关于 a、b 的方程
A、B 两点，M 为线段 AB 中点，设 O 为椭圆的中心，射线 OM 交椭圆于 N 点
（1）是否存在 k，使对任意 m >0,总有 OA OB ON 成立？若存在，求出所有 k 的值；
（2）若
OAOB
1
(m3
4m)
，求实数
k
的取值范围。
2
思路解析：第（1）问为存在性问题，可先假设存在，然后由 OA OB ON 可知 M 点为 ON 中点，
x1 x2
12b 2 a 2 9b2
1
，又 AB 的中点横坐标为
2
， x1
x2 2
6b 2 a 2 9b2
1 2
a 2 3b2 ，与方程 a 2 b2 50 联立可解出 a 2 75, b2 25
x2
故所求椭圆的方程为：
y2
1。
75 25
〖例 2 〗已知椭圆： x 2 y 2 1 ，过左焦点 F 作倾斜角为 的直线交椭圆于 A、B 两点，求弦 AB 的
椭圆的几何性质涉及一些不等关系，例如对椭圆 x2 y2 1，有 a x a, b y b, 0 e 1等， a2 b2
在求与椭圆有关的一些量的范围，或者求这些量的最大值时，经常用到这些不等关系。 2.利用椭圆几何性质应注意的问题 求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭
2014 年高考一轮复习热点难点精讲精析：8.4 椭 圆
（一）椭圆的定义以及标准方程 ※相关链接※ 1.椭圆定义的应用 利用椭圆的定义解题时，一方面要注意常数 2a>|F1F2|这一条件；另一方面要 注意由椭圆上任意一点 与两个焦点所组成的“焦点三角形”中的数量关系.
2.椭圆的标准方程
x2 y2
（1）当已知椭圆的焦点在 x 轴上时，其标准方程为 + =1 (a>b>0)；当已知椭圆的焦点在 y 轴
a2 b2
b2 a2
由已知条件得
2a 5 3 (2c)2 52
32
,
a
4, c
2, b2
12
故所求方程为 x2 y2 1或 y2 x2 1 16 12 16 12
方法指导：1.在解决椭圆上的点到焦点的距离问题时，经常联想到椭圆的定义，即利用椭圆上的点
到两焦点距离之和等于 2a 求解；
消去 y 得
(10k 2 6)x2 20k 2mx 10k 2m2 15m2 0
设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，则
6
x1
x2
20k 2m 10k 2 6
,
x1x2
10k 2m2 15m2 10k 2 6
,
则 xM
x1 x2 2
10k 10k 2
2m 6
,
yM
k(xM
7
（1）本题第（1）问是一是否存在性问题，实质上是探索结论的开放性问题。相对于其他的开放性 问题来说，由于这类问题的结论较 少（只有存在、不存在两个结论有时候需讨论），因此，思考途径较为 单一，难度易于控制，受到各类考试命题者 的青睐。解答这一类问题，往往从承认结论、变结论为条件 出发，然后通过特例归纳，或由演绎推理证明其合理性。探索过程要充分挖掘已知条件，注意条件的完 备性，不要忽略任何可能的因素。
（三）直线与椭圆的位置关系
外，
※相关链接※
1．直线与椭圆位置关系的判定
把椭圆方程
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 与直线方程
y=kx+b
联立消去
y，整理成形如
Ax2
Bx C
0的
形式，对此一元二次方程有 ：
（1）⊿>0,直线与椭圆相交，有两个公共点；
（2）⊿=0，直线与椭圆相切，有一个公共点；
（3）⊿<0，直线与椭圆相离，无公共点。
（2）第（2）问是参数范围的问题，内容涉及代数和几何的多个方面，综合考查学生应用数学知识 解决问题的能力。在历年高考中占有较稳定的比重。
8
9
6
长
解答：a=3,b=1,c=2 2 ，则 F（-2 2 ，0）。
由题意知： l : y 1 (x 2 2) 与 x 2 y 2 1联立消去 y 得： 4x 2 12 2x 15 0 。
3
9
5
设 A（ x1, y1 ) 、B（ x2 , y2 ) ，则 x1, x2 是上面方程的二实根，由违达定理， x1 x2 3 2 ，
m) 6km . 10k 2 6
若存在 k,使 OA OB ON 总成立，M 为线段 AB 的中点，∴M 为 ON 的中点，
∴
∴
即 N 点的坐标为
。
由 N 点在椭圆上，则
即 即 故存在 k=±1,使对任意 m>0，总有 （2）
成立。
由
得
即 注：探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点， 将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成 的，要求学生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和 方法解决问题，它能很好地考查数学思维能力以及科学的探索精神。因此越来越受到高考命题者的青睐。
注：当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设 x2 y2 1(m 0, n 0, m n) ，可 mn
以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为 Ax2 By2 1( A 0, B 0且A B) ，这种形式在解题时更简便。
※例题解析※
x2 y2 〖例 1〗已知 F1、F2 为椭圆 25 + 9 =1 的两个焦点，过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点，若
| AB | （1 k 2 )[(x1 x2 )2 4x1x2 ]
(1
1 k2
)[(y1
y2 )2
4y1y 2
](k为直线斜率).
注：解决直线与椭圆的位置关系问题时常利用数形结合法、设而不求法、弦长公式及根与系数的关
系去解决。
3.直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法
4
注：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的 ，不要忽略判别式.
故直线与椭圆位置关系判断的步骤： 第一步：联立直线方程与椭圆方程； 第二步：消元得出关于 x（或 y）的一元二次方程； 第三步：当 Δ＞0 时，直线与椭圆相交；当 Δ=0 时，直线与椭圆相切；当 Δ＜0 时，直线与椭圆相 离.
2．直线被椭圆截得的张长公式，设直线与椭圆交于 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) 两点，则
〖例 2〗已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且 P 到两焦点的距离分别 为 5、3，过 P 且长轴垂
直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程。
x2ຫໍສະໝຸດ Baidu
方法诠释：设椭圆方程为
a2
y2 b2
1(a
b
0)或
x b
2 2
y2 a2
1(a b 0) →根据题意求 a、b →得
方程。
解析：设所求的椭圆方程为 x2 y2 1(a b 0)或 x2 y2 1(a b 0) ，
方）向 x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点 F1 ，向量 AB 与 OM 是共线向量。
（1） 求椭圆的离心率 e ；
（2） 设 Q 是椭圆上任意一点， F1 、 F2 分别是左、右焦点，求∠ F1 Q F2 的取值范围。
思路解析：由 AB 与 OM 是共线向量可知 AB∥OM，从而可得关于 a、b、 c 的等量关系，从而求得离
用坐标表示相关量可求。 第（2）问用坐标表示向量数量积，列式求解即可。
解答：椭圆 C：
x2 5m2
y2 3m2
1, c2
5m2 2
3m2 2
m2 , c m, F (m, 0) ，直线 AB 的方程为：
22
y=k(x-m).
y k(x m)
由 x2
5
y2 3
m2 2
, (m 0)
2
圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系. 3.求椭圆的离心率问题的 一般思路 求椭圆的离心率时，一般是依据题设得出一个关于 a、b、c 的等式（或不等式），利用 a2=b2+c2 消去
b，即可求得离心率或离心率的范围.或者是： 应先将 e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于 e 的等式或不等式，从而求
|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=____；
1
方法诠释：注意|AF1|+|AF2|=10，|BF1|+|BF2|=10,且|AF1|+|F1B|=|AB|，再结合题设即可得出结 论；
解析：由椭圆的定义及椭圆的标准方程得：
|AF1|+|AF2|=10,|BF1|+|BF2|=10,
又已知|F2A|+ |F2B|=12， 所以|AB|=|AF1|+|BF1|=8. 答案：8
x1 x2
15 4
，
xM
x1 x2 2
3 2 2
又因为 A、B、F 都是直线 l 上的点，
所以|AB|=
1
1 3
|
x1
x2
|
2 3
(x1 x2 )2 4x1x2
2 3
18 15 2
（四）与椭圆有关的综合问题
〖例〗如图，
已知椭圆 C：
x2 y2 m2 (m 0) 经过椭圆 C 的右焦点 F 且斜率为 k(k≠0)有直线 l 交椭圆 C 于 53 2
心率 e ；若求∠ F1 Q F2 的取值范围，即需求 cos∠ F1 Q F2 的范围，用余弦定理即可。
解答：（1）设 F1 （-c,0）,则 xM
c, yM
b2 a
, kOM
b2 . ac
k AB
b a
, OM 与是AB共线向量，
b2 b ,b c故e 2
ac a
2
（3） 设| F1 Q |= r1 ，| F2 Q |= r2 ，∠ F1 Q F2 = ，∴ r1 + r2 =2 a ，| F1 F2 |=2 c
出 e 的值或范围。离心率 e 与 a、b 的关系：
e2 c2 a2 b2 1 b2 b 1 e2 .
a2
a2
a2 a
注：椭圆离心率的范围:0<e<1.
※例题解析※
〖例〗已知椭圆 x2 y2 1(a b 0) 的长轴、短轴端点分别为 A、B，从椭圆上一点 M（在 x 轴上 a2 b2