第2章静电场与恒定电场

( A) = A)
∫ E dl
A
P
参考点的选定最好使电位函数的表达式比较简单，通常电荷分布在有限区域时， 最好选无穷远点为参考点；如果电荷分布到无穷远处，则不能选无穷远点为参 考点，而必须将参考点选在有限远处。 R P 对于点电荷的电位： q q dR q 1 1 q
( R) = ∫
4πε 0 R 2 A R dl =
R
图2.2.10
∫ E dl 的计算
c
当积分路径是闭合路径时，点A和点B重合，因此
∫ E dl
c
=0
c s
利用斯托克斯定理 斯托克斯定理，上式可写成： ∫ E dl = ∫ × E dS = 0 斯托克斯定理 因此：静电场是一种无旋场，或者说是一种发散场。 静电场是一种无旋场，或者说是一种发散场。 静电场是一种无旋场 从力场的角度来看，又可以把静电场说成是一种保守场。
第二章 静 电 场与恒定电场
2.1 电荷与电流的分布及表示法
2.1.1 电荷与电荷分布
电荷可以连续地分布在一个宏观的体积中，可以连续地分布在一个宏观的 面上，或连续地分布在一条宏观的线上。当然，电荷也可以集中在空间某 点上。如图2.1.1所示。
图2.1.1 电荷的体分布、面分布和线分布
电荷的分布用电荷密度来描述。当电荷在某空间体积内连续分布时，电荷体密 度定义为空间某点单位体积的电荷量，即
ρ ( r ) = lim
τ → 0
q τ
第二章 静 电 场与恒定电场
若在电荷分布的空间内任取一个微小体积τ ，则该体积元的电荷量为 q = ρ(r )τ 计算某一体积内的电荷总量，可应用体积分的方法求得：
q =
∫ τ
ρ ( r )d τ
q
ρ lim 定义面电荷密度为空间某点单位面积上的电荷量： s (r ) = s→0 s
第二章 静 电 场与恒定电场
2.3.2 泊松方程 拉普拉斯方程
E =
拉普拉斯算符
拉普拉 斯方程
2 =
E =
ρ ε0
ρ = ε0
= 2
ρ ε 0无
源 区 ρ =0 域
泊松 方程 在直角坐标系中，拉普拉斯算符可以写成：
2 2 2 = = 2 + 2 + 2 x y z
2
2 = 0
第二章 静 电 场与恒定电场
第二章 静 电 场与恒定电场
2.1 电荷与电流的分布与表示法 电荷与电流的分布与表示法 2.2 静电场的基本方程 静电场的基本方程 2.3 泊松方程 拉普拉斯方程 拉普拉斯方程 2.4 介质中的高斯定律 电位移矢量 2.5 介质分界面上的边界条件 介质分界面上的边界条件 2.6 导体系统的电容 导体系统的电容 2.7 电场的能量和能量密度 电场的能量和能量密度 2.8 恒定电场的基本方程 恒定电场的基本方程 2.9 恒定电场与静电场的比拟
同理，面电荷和线电荷产生的电场强度分别为
E (r ) = 1 4 πε
1 4 πε
0
∫
0 s
r r r r
' ' 3
ρ s ( r ' ) ds
'
E (r ) =
∫
l
r r r r
'
' 3
ρ l ( r ' ) dl
'
第二章 静 电 场与恒定电场
图2.2.4 点电荷电场的叠加
第二章 静 电 场与恒定电场
空间某点静电场的电场强度在数值上等于静电 场对放置在该点的单位电荷的作用力的大小， 场对放置在该点的单位电荷的作用力的大小， 它的方向与正电荷在该点所受电场力的方向一 致，它表征了静电场对放置在该点的电荷的作 用能力。 用能力。若在电场强度为 E 的空间某点放置点 电荷q ，则 q受到的静电力为 qE
E (r ) = 1 4πε 0
∑ Qi (
i =1
n
1 1 )= Ri 4πε 0
∑ Q ( r r
i =1 i
n
1
'
)
i
第二章 静 电 场与恒定电场 对于体分布的电荷，可将其视为一系列点电荷的叠加，从而 得出r点的电场强度为
E (r ) =
1 4πε 0
∫
V
r r' r r
' 3
ρ ( r ' ) dτ '
第二章 静 电 场与恒定电场 静电场基本方程的积分形式
∫E dS = ε ∑q
s 0 i=1
1
n
i
∫ E dl
c
= 0
静电场基本方程的微分形式
ρ E = ε0
×E=0
第二章 静 电 场与恒定电场
第二章 静 电 场与恒定电场
第二章 静 电 场与恒定电场
2.3 泊松方程 拉普拉斯方程
2.3.1 电位函数
图2.2.9 闭合面对定点的立体角
第二章 静 电 场与恒定电场
验证高斯定理
先研究一个点电荷的情况:
在点电荷q的电场中任选一闭合面S ，电场强度在S面上的通量为：
q R0 dS q E dS = ∫ = d ∫ 4πε0 R2 4πε0 ∫ s s s
上式中
R 0 dS R2
是面元对点电荷q所张的立体角
J = J 0 lim I dI = J0 s →0 S dS
图2.1.3 体电流示意图
第二章 静 电 场与恒定电场
在电流密度为J (r ) 的电流场中任取一个矢量面元d S ，穿过矢量面元S的电流为 J (r ) dS 如图2.1.4所示。若在电流场中任取一个曲面S，则穿过曲面的电流为
I = ∫ J (r ) dS
而且 ∫ ρ (r )dτ ' = ∫ qδ (r r ' )dτ ' = q 0
τ τ
τ包含r '点 τ不包含r '点
图2.1.2 点电荷分布
第二章 静 电 场与恒定电场
2.1.2 电流与电流密度
i( lim 如果 t 时间内穿过S的电荷量为q，则定义电荷穿过S的电流强度为：t) = t→0 t = dt q dq
× A= 0
× Φ = 0
A = Φ
静电场是无旋的矢量场，它可以用一个标量函数的梯度表示， 此标量函数称为静电场的电位函数 电位函数或简称电位 电位。 电位函数 电位 静电场中，电位函数 的定义为： E = 在直角坐标系中： 在直角坐标系中：
ay az x y z d l = a x dx + a y dy + a z dz E = ax E dl = ( dx + dy + dz) = d x y z
图2.2.5 圆盘电荷对点电荷的作用力计算
第二章 静 电 场与恒定电场
第二章 静 电 场与恒定电场
2.2.2 真空中静电场的基本方程
由亥姆霍兹定理可知:静电场在空间中的分布特征和场源关系由静电 场的环流和旋度、通量和散度来决定。 空间某一面元 dS 对一定点O所张的立体角 d 定义：以O为球心，以 点O到面元 dS 的距离R 为半径作一球面，如图2.2.8所示，则立体角 2 d为 dS 在球面上的投影 dS a r 与 R 的比，即
J s = lim I dI = l →0 l dl⊥ ⊥
I =
l
穿过线段l 的电流为
∫J
s
(r )dl ⊥
图2.1.5 面电流密度与面电流
电荷在一根很细的导线中流过,或电荷通过的横截面 积很小时，可将电流视为在一根无限细的线上流动， 这样的电流称为线电流 线电流。 线电流
第二章 静 电 场与恒定电场
τ
则：
∫ E dS = ε ∫ ρ(r)dτ τ
s 0
1
高斯定律的积分形式
根据高斯散度定理 高斯散度定理有： ∫ Edτ = ε ∫ ρ (r )dτ 高斯散度定理
τ
0 τ
1
因为闭合面是任取的，所包围的体积也是任意的，于是有
ρ (r ) E = ε0
高斯定律的微分形式
第二章 静 电 场与恒定电场
2.2 静电场的基本方程
2.2.1 电场强度 库仑定律
电荷间的相互作用规律由库仑定律描述。真空 中静止的电荷 q1 对q2 的相互作用力 F12 为
F12 = 1 q1q2 0 1 q1q2 R = R 2 3 4πε0 R 4πε 0 R
图2.2.1电荷与电荷的相互作用
第二章 静 电 场与恒定电场
0
4πε 0
∫R
R
P
2
=
= R R 4πε R + C 4πε0 P 0
若选取无穷远点为参考点，则 C = 0 ，于是
(R) =
q 4πε0 R
第二章 静 电 场与恒定电场
体电荷、面电荷和线电荷分布的电位函数表达式为：
(r ) =
4πε0 ∫ r r τ
1
1
ρ(r ' )
dτ ' + C '
s
图2.1.4 体电流密度
即电流是电流密度的通量 电流是电流密度的通量
当电荷在很薄的导体片上流动时，我们可以将其抽象地视为在一数学面上流动， 并称为面电流。如图2.1.5所示。过表面电流场中一点，取一线元 l ⊥ 垂直于电 过表面电流场中一点， 过表面电流场中一点 荷运动的方向， 荷运动的方向，如果穿过此线元l ⊥ 的电流为 I，定义该点表面电流密度的值为
导电媒质中的电流分布是随时间变化的，这样的电流称为时变电流 时变电流；若导电媒质 时变电流 中电荷流动的速度不随时间改变，则有
q dq = =I t → 0 t dt lim
这样的电流称为恒定电流 恒定电流
定义电流密度矢量 J ：导电媒质中某点的电流密度的方向为该点正电荷运动的方 导电媒质中某点的电流密度的方向为该点正电荷运动的方 它的数值等于在该点通过垂直于电荷运动方向的单位面积上的电流强度。 向，它的数值等于在该点通过垂直于电荷运动方向的单位面积上的电流强度。 如图2.1.3所示。