高中数学 课时跟踪检测(十一)微积分基本定理 新人教A版选修22

课时跟踪检测（十一） 微积分基本定理层级一 学业水平达标1．下列各式中，正确的是( ) A.⎠⎛a bF ′(x )d x ＝F ′(b )－F ′(a ) B.⎠⎛a bF ′(x )d x ＝F ′(a )－F ′(b ) C.⎠⎛a bF ′(x )d x ＝F (b )－F (a ) D.⎠⎛a bF ′(x )d x ＝F (a )－F (b )解析：选C 由牛顿－莱布尼茨公式知，C 正确． 2.⎠⎛0π(cos x ＋1)d x 等于( ) A ．1 B ．0 C ．π＋1D ．π解析：选D ⎠⎛0π(cos x ＋1)d x ＝(sin x ＋x ) ⎪⎪⎪π＝sin π＋π－0＝π.3．已知积分⎠⎛01(kx ＋1)d x ＝k ，则实数k ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．1D ．－1解析：选A 因为⎠⎛01(kx ＋1)d x ＝k ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x ⎪⎪⎪1＝k .所以12k ＋1＝k ，所以k ＝2.4. ⎠⎛－a a|56x |d x ≤2 016，则正数a 的最大值为( ) A ．6 B ．56 C ．36D ．2 016解析：选A ⎠⎛－a a|56x |d x ＝2⎠⎛0a56x d x ＝2×562x 2⎪⎪⎪a＝56a 2≤2 016，故a 2≤36，即0<a ≤6.5.⎠⎛03|x 2－4|d x ＝( )A.213B.223C.233D.253解析：选C ∵|x 2－4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，2≤x ≤3，4－x 2，0≤x ≤2，∴⎠⎛03|x 2－4|d x ＝⎠⎛23(x 2－4)d x ＋⎠⎛02(4－x 2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－4x ⎪⎪⎪32＋⎝⎛⎭⎪⎫4x －13x 3⎪⎪⎪2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－－⎝ ⎛⎭⎪⎫83－8＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫8－83－0 ＝－3－83＋8＋8－83＝233.6.⎠⎛02(x 2－x )d x ＝__________.解析：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－12x 2′＝x 2－x ，∴原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－12x 220＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83－2－0＝23.答案：237. 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0，cos x －1，x >0.则⎠⎛1－1f (x )d x ＝_________. 解析：⎠⎛－11f (x )d x ＝⎠⎛－11x 2d x ＋⎠⎛01(cos x －1)d x＝13x 3⎪⎪⎪－1＋(sin x －x ) ⎪⎪⎪1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13×03－13－3＋[(sin 1－1)－(sin 0－0)] ＝sin 1－23.答案：sin 1－238．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝⎠⎛03(1＋2x )d x ，则a 5＋a 6＝__________.解析：S 10＝⎠⎛03(1＋2x )d x ＝(x ＋x 2)30＝3＋9＝12.因为{a n }是等差数列， 所以S 10＝a 5＋a 62＝5(a 5＋a 6)＝12，所以a 5＋a 6＝125.答案：1259．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，求a ，b ，c 的值．解：由f (－1)＝2得a －b ＋c ＝2， ① 又f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0, ②而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12bx 2＋cx 10＝13a ＋12b ＋c ，∴13a ＋12b ＋c ＝－2, ③ 由①②③式得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.法二：设f (x )＝|2x ＋3|＋|3－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ，－3≤x ＜－32，6，－32≤x ≤32，4x ，32＜x ≤3.如图，所求积分等于阴影部分面积，即⎠⎛3－3(|2x ＋3|＋|3－2x |)d x ＝S ＝2×12×(6＋12)×32＋3×6＝45.层级二 应试能力达标1．函数F (x )＝⎠⎛0x cos t d t 的导数是( )A ．F ′(x )＝cos xB ．F ′(x )＝sin xC ．F ′(x )＝－c o s xD ．F ′(x )＝－sin x解析：选A F (x )＝⎠⎛0xcos t d t ＝sin t ⎪⎪⎪x＝sin x －sin 0＝sin x .所以F ′(x )＝cos x ，故应选A.2．若函数f (x )＝x m＋nx 的导函数是f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎛12f (－x )d x ＝( )A.56B.12C.23D.16解析：选A ∵f (x )＝x m＋nx 的导函数是f ′(x )＝2x ＋1，∴f (x )＝x 2＋x ，∴⎠⎛12f (－x )d x＝⎠⎛12(x 2－x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－12x 2⎪⎪⎪21＝56. 3．若⎠⎛1a⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( )A ．6B ．4C ．3D ．2解析：选 D ⎠⎛1a⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )a 1＝(a 2＋ln a )－(1＋ln 1)＝(a 2－1)＋ln a ＝3＋ln 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝3，a ＞1，a ＝2，∴a ＝2.4．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C.13D ．1解析：选B 设⎠⎛01f (x )d x ＝c ，则c ＝⎠⎛01(x 2＋2c )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2cx ⎪⎪⎪10＝13＋2c ，解得c ＝－13.5．函数y ＝x 2与y ＝kx (k >0)的图象所围成的阴影部分的面积为92，则k ＝________________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2.由题意得，⎠⎛0k (kx －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2－13x 3⎪⎪⎪k＝12k 3－13k 3＝16k 3＝92，∴k ＝3. 答案：36.从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________解析：长方形的面积为S 1＝3，S 阴＝⎠⎛013x 2d x ＝x 3⎪⎪⎪1＝1，则P ＝S 阴S 1＝13. 答案：137. 已知S 1为直线x ＝0，y ＝4－t 2及y ＝4－x 2所围成图形的面积，S 2为直线x ＝2，y ＝4－t 2及y ＝4－x 2所围成图形的面积(t 为常数)．(1)若t ＝2时，求S 2.(2)若t ∈(0,2)，求S 1＋S 2的最小值． 解：(1)当t ＝2时，S 2＝([2－(4－x 2)]d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－2x ＝43(2－1)． (2)t ∈(0,2)，S 1＝⎠⎛0t[(4－x 2)－(4－t 2)]d x＝⎝⎛⎭⎪⎫t 2x －13x 3⎪⎪⎪t0＝23t 3， S 2＝⎠⎛t2[(4－t 2)－(4－x 2)]d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－t 2x ⎪⎪⎪2t＝83－2t 2＋23t 3， 所以S ＝S 1＋S 2＝43t 3－2t 2＋83，S ′＝4t 2－4t ＝4t (t －1)，令S ′＝0得t ＝0(舍去)或t ＝1， 当0<t <1时，S ′<0，S 单调递减， 当1<t <2时，S ′>0，S 单调递增，所以当t ＝1时，S min ＝2.8.如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两部分，求k的值．解：抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x 33⎪⎪⎪1＝12－13＝16. 抛物线y ＝x －x 2与直线y ＝kx 两交点的横坐标为x ′1＝0，x ′2＝1－k ，所以S2＝(x －x 2－kx )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－x 33＝16(1－k )3，又知S ＝16，所以(1－k )3＝12. 于是k ＝1－312＝1－342.。