24.1《圆的有关性质》(第2课时)
24.1.4 .2圆内接四边形课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册
证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，
∴∠FGD＝∠ACD.
又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，
∴AB垂直平分CD，∴AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴∠FGD＝∠ADC.
随堂练习
8. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点.若∠B=110°，
求∠ADE的度数.
随堂练习
5. 如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且
∠A=55°，∠E=30°，则∠F=
解析：∵∠A=55°，∠E=30°，
∴∠EBF=∠A+∠E=85°，
∵∠A+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°﹣55°=125°，
∵∠BCD=∠F+∠CBF，
∴∠F=125°﹣85°=40°．
解析：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠B＋∠ADC＝180°.
∵四边形OABC为平行四边形，
∴∠AOC＝∠B.
知识讲解
知识点 圆内接四边形的性质
【例 1】如图，点A，B，C，D在⊙O上，点O在∠D的内部，四边形
OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD＝________度．
又由题意可知∠AOC＝2∠ADC.
∵∠BAE=∠CBD，
∴∠1=∠2．
随堂练习
10. 如图，四边形ABCD的顶点都在⊙O上，BD平分∠ADC，且BC=CD.
求证：AB=CD.
证明：∵BD平分∠ADC，
∴∠ABD=∠CDB，
∴ AB = BC
∴AB=BC，
∵BC=CD，
∴AB=CD.
课后小结
圆内接多边形
定义
多边形外接圆
【人教版九年级数学上册教案】24.1圆的有关性质(第2课时)
24.1 圆的有关性质第 2课时教课内容1．圆心角的看法．2．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．3．定理的推论：在同圆或等圆中，假如两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中，假如两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．教课目标认识圆心角的看法：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其他两个量的相对应的两个值就相等，及其他们在解题中的应用．经过复习旋转的知识，产生圆心角的看法，而后用圆心角和旋转的知识探究在同圆或等圆中，假如两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其他各组量都分别相等，最后应用它解决一些详尽问题．重难点、要点1．要点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对弦也相等及其两个推论和它们的应用．2．难点与要点：探究定理和推导及其应用．教课过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下题．已知△ OAB，以以下图，作出绕O 点旋转 30°、 45°、 60°的图形．ABO老师评论：绕O 点旋转， O 点就是固定点，旋转30°，就是旋转角∠BOB′ =30°．二、探究新知以以下图，∠AOB 的极点在圆心，像这样极点在圆心的角叫做圆心角．BAO（学生活动）请同学们按以下要求作图并回答以下问题：以以下图的⊙ O 中，分别作相等的圆心角∠ AOB 和∠ A ′ OB ′将圆心角∠ AOB 绕圆心 O 旋转到∠ A ′ OB ′的地址，你能发现哪些等量关系？为何？ BAA 'B 'OAB = A'B' ，AB=A ′B ′原由：∵半径 OA 与 O ′ A ′重合，且∠ AOB=∠ A ′ OB ′∴半径 OB 与 OB ′重合 ∵点 A 与点 A ′重合，点B 与点 B ′重合∴ AB 与 A'B ' 重合，弦 AB 与弦 A ′B ′重合∴ AB = A'B' ，AB=A ′ B ′所以，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 在等圆中， 相等的圆心角能否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？请同学们此刻着手作一作．（学生活动） 老师评论：如图 1，在⊙ O 和⊙ O ′中，分别作相等的圆心角∠ AOB 和∠ A ′O ′ B ′获取如图 2，转动一个圆， 使 O 与 O ′重合， 固定圆心， 将此中的一个圆旋转一个角度，使得 OA 与 O ′ A ′重合．BB 'BAO(O ' )AOA ''A 'OO 'O(O ')OB '(1)(2)你能发现哪些等量关系？说一说你的原由？/ /．我能发现： AB = A' B'，AB=AB此刻它的证明方法就转变成前方的说了然， 这就是又回到了我们的数学思想上去呢──化归思想，化未知为已知，所以，我们可以获取下边的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．相同，还可以获取：在同圆或等圆中，假如两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，假如两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．（学生活动）请同学们此刻恩赐说明一下．请三位同学到黑板板书，老师评论．例 1．如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为EF．（ 1）假如∠ AOB=∠COD，那么 OE 与 OF的大小有什么关系？为何？（ 2）假如 OE=OF，那么AB与CD的大小有什么关系？AB 与 CD的大小有什么关系？为何？∠ AOB 与∠ COD呢？CAFEO DB解析：（ 1）要说明 OE=OF，只要在直角三角形 AOE 和直角三角形 COF中说明 AE=CF，即说明 AB=CD，所以，只要运用前方所讲的定理即可．（2）∵ OE=OF，∴在 Rt△ AOE和 Rt△ COF中，又有 AO=CO是半径，∴ Rt△ AOE≌ Rt△COF，∴ AE=CF，∴ AB=CD，又可运用上边的定理获取AB =CD解：（1 ）假如∠ AOB=∠ COD，那么 OE=OF原由是：∵∠AOB=∠ COD∴AB=CD∵OE⊥ AB， OF⊥ CD11∴AE= AB， CF= CD22∴AE=CF又∵ OA=OC∴Rt△ OAE≌Rt△ OCF∴OE=OF（2）假如 OE=OF，那么 AB=CD，AB =CD，∠ AOB=∠ COD原由是：∵OA=OC， OE=OF∴Rt△ OAE≌Rt△ OCF∴AE=CF又∵ OE⊥ AB， OF⊥CD11∴AE= AB， CF= CD22∴AB=2AE， CD=2CF∴AB=CD∴AB =CD，∠AOB=∠COD三、牢固练习教材练习 1教材练习2．四、应用拓展例 2．如图3和图4，MN是⊙O的直径，弦AB、CD订交于MN上的一点P，∠APM=∠CPM．（1）由以上条件，你以为 AB 和 CD 大小关系是什么，请说明原由．（2）若交点 P 在⊙ O 的外面，上述结论能否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明原由．AMCPF EEADOBB NMPNDF C(3)(4)解析：（ 1）要说明 AB=CD，只要证明 AB、CD 所对的圆心角相等，只要说明它们的一半相等．上述结论依旧成立，它的证明思路与上边的题目是一模一样的．解：（1 ）AB=CD原由：过 O 作 OE、 OF 分别垂直于 AB、 CD，垂足分别为 E、 F∵∠ APM=∠ CPM∴∠ 1=∠ 2OE=OF连接 OD、OB 且 OB=OD∴Rt△ OFD≌ Rt△ OEB∴DF=BE依据垂径定理可得：AB=CD（2）作 OE⊥ AB， OF⊥ CD，垂足为 E、 F∵∠ APM=∠ CPN且 OP=OP，∠ PEO=∠ PFO=90°∴Rt△ OPE≌ Rt△ OPF∴OE=OF连接 OA、 OB、 OC、 OD易证 Rt△ OBE≌ Rt△ ODF， Rt△ OAE≌ Rt△ OCF∴∠ 1+∠ 2=∠ 3+∠4∴AB=CD五、归纳总结（学生归纳，老师评论）本节课应掌握：1．圆心角看法．2．在同圆或等圆中，假如两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其他各组量都部分相等，及其他们的应用．六、部署作业1．教材复习牢固4、 5、 6、7、 8．2．采纳课时作业设计．第二课时作业设计一、选择题．1．假如两个圆心角相等，那么（）A．这两个圆心角所对的弦相等;B．这两个圆心角所对的弧相等C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;D．以上说法都不对2．在同圆中，圆心角∠ AOB=2∠ COD，则两条弧 AB 与 CD 关系是（）A．AB =2 CD B．AB >CD C．AB <2 CD D．不可以确立3．如图 5，⊙ O 中，假如AB =2 AC，那么（）．A． AB=AC B． AB=AC C． AB<2AC D． AB>2ACCA EC A BO OB D(5)(6)二、填空题1．交通工具上的轮子都是做圆的，这是运用了圆的性质中的_________．2．一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________．3．如图 6， AB 和 DE是⊙ O 的直径，弦AC∥ DE，若弦 BE=3，则弦 CE=________．三、解答题1．如图，在⊙O 中， C、 D 是直径AB 上两点，且AC=BD， MC⊥ AB，ND⊥ AB，M 、 N 在⊙O上．（ 1）求证：AM =BN；（ 2）若 C、 D 分别为 OA、OB 中点，则AM MN NB 成立吗？2．如图，以ABCD的极点A 为圆心，AB 为半径作圆，分别交BC、AD 于 E、F，若∠D=50°，求BE 的度数和EF的度数．3．如图，∠ AOB=90°， C、 D 是 AB 三均分点， AB 分别交 OC、 OD 于点 E、 F，求证：AE=BF=CD．答案 :一、 1．D 2．A 3．C二、 1．圆的旋转不变形152．或3． 3 33三、 1．（1）连接 OM 、 ON，在 Rt△ OCM 和 Rt△ ODN 中 OM=ON， OA=OB，∵AC=DB，∴ OC=OD，∴ Rt△ OCM≌Rt△ ODN，∴∠ AOM=∠ BON，∴AM NB（2）AM MN NB2． BE 的度数为80°， EF的度数为50°．3．连接 AC、 BD，∵ C、D 是AB三均分点，1∴AC=CD=DB，且∠ AOC= × 90°=30°，3∵OA=OC，∴∠ OAC=∠OCA=75°，又∠ AEC=∠ OAE+∠ AOE=45°+30° =75°，∴AE=AC，同理可证BF=BD，∴ AE=BF=CD。
人教版九年级数学上册 24.1.圆的有关性质 课件
动态：在一个平面内，线段OA绕它固定 的一个端点O旋转一周，另一个端点A所 形成的图形叫做圆．
z x xk
静态：圆心为O、半径为r的圆可以看成 是所有到定点O的距离等于定长r 的点组 成的图形．
同心圆
等圆
圆心相同，半径不同
DC E
(×)
(√)
注意：定理中的两个条件
（直径，垂直于弦）缺一不可！
DC
O D
A
(√)
2.如图，在圆O中，直径MN⊥AB，垂足
是C，则下列结论中错误的D是（ ）
A.A⌒N=⌒BN B. AC=BC
M
C.A⌒M=⌒BM D.OC=CN
O
C
A
B
N
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，（1）求⊙O的半径． 变式训练：
(2) 若弦AB长为8cm， ⊙O半径为5cm，求圆心O到AB距离 （3）若圆心O到AB距离为3cm，⊙O半径为5cm求弦AB长
解： 作 OE⊥AB，连接OA
A
E
B
OE AB
AE 1 AB 1 8 4
O·
22
在Rt△ABC中 AO2 OE2 AE2
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm
“我国圆古人”很早指对
“圆周” 圆就有这样的认 识了，战国时的 《墨经》就有 “圆，一中同长 也”的记载．它 的意思是圆上各 点到圆心的距离 都等于半径．
提问：根据圆的定义，”圆“指的是”圆周 “还是”圆面“？
从画圆的过程可以看出：
（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长 （半径r）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
24.1.2垂直于弦的直径
O
A
E D
B
证明：连结OA、OB，则OA＝ OB．∵ 垂直于弦AB的直径CD所在 的直线 既是等腰三角形OAB的对称轴又 是⊙ O的对称轴． ∴ 当把圆沿着直径CD折叠时， CD两侧的两个半圆重合， A点和B点重合， ⌒ ⌒ AE和BE重合， ⌒ ⌒ AC、AD分别和BC、BD重合． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴ AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD
A E B
解：连结OA．过O作OE⊥AB， ． O 垂足为E， 则OE＝3cm，AE＝BE． ∵AB＝8cm ∴AE＝4cm 在Rt△AOE中，根据勾股定理有OA＝5cm ∴⊙O的半径为5cm．
2． 在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦， OD⊥AB于D，OE⊥AC于E， 求证：四边形ADOE是 正方形．
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
（4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的 直径过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．
③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
证明： Q O E A C O D A B A B A C
O EA 90
o
EAD 90
o
O D A 90
C E A
o
∴四边形ADOE为矩形， 1 1 AE AC，AD AB 2 2 又∵AC=AB ∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形．
· O
D B
24.1
24.1.2
圆的有关性质
垂直与弦的直径
轴 中心 圆心
人教版九年级数学上册第24章24.1圆的有关性质考点与题型归纳
人教版九年级数学上册第二十四章圆24.1 圆的有关性质一：考点归纳考点一、圆在一个平面内，一条线段O A绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆. 圆心：固定的端点叫作圆心.半径：线段OA的长度叫作这个圆的半径.（1）圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“ ⊙O ”，读作“圆O”. 同圆的第二定义：所有到定点的距离等于定长的点组成的图形叫作圆.考点二、垂直于弦的直径（1）圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴.（2）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.考点三、弧、弦、圆心角（1）顶点在圆心的角叫做圆心角 .（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.（3）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等.考点四、圆周角（1）圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角. 特征：①角的顶点在圆上；②角的两边都与圆相交.（2）同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.（3）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.（4）半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.（5）如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.圆内接四边形的对角互补.二：【题型归纳】【题型一】圆1．下列说法正确的是（）①弦是圆上两点间的部分；②直径是弦；③经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；A．0个B．1个C．2个D．3个2．下列说法：①直径是弦；②长度相等的两条弧是等弧；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④圆的对称轴是直径；⑤外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，正确的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【题型二】垂直于弦的直径3．如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点F，连接BC，BD，则错误结论为（）A．OF=CF B．AF=BF C．AD BDD．∠DBC=90°4．如图，在⊙O中，半径OC垂直弦AB于D，点E在⊙O上，∠E＝22.5º，AB＝2，则半径OB等（）A ．1B ．22C ．2D ．2【题型三】弧、弦、圆心角5．给出下列命题：①弦是直径；②圆上两点间的距离叫弧；③长度相等的两段弧是等弧；④圆心角的度数与它所对的弧的度数相等；⑤圆是轴对称图形，不是中心对称图形；⑥直径是弦．其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，AB 为O 的直径，点D 是弧AC 的中点，过点D 作DE AB ⊥于点E ，延长DE 交O 于点F ，若12AC =，3AE =，则O 的直径长为（ ）A ．10B ．13C ．15D ．16．7．O 是四边形ABCD 的外接圆，AC 平分BAD ∠，则正确结论是（ ）A ．AB AD = B ．BC CD = C ．AB BD = D ．ACB ACD ∠=∠【题型四】圆周角8．如图，O 是ABC 的外接圆，CD 是O 的直径，35B ∠=︒，则ACD ∠的度数是（ ）A ．45︒B ．50︒C ．55︒D ．60︒9．如图，AB 为⊙O 的直径，CD 为⊙O 的弦，∠ACD=40°，则∠BAD 的大小为（）A ．60ºB ．30ºC ．45ºD ．50º三：基础巩固和培优一、单选题1．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，CO 的延长线交AB 于点D ，∠A ＝50°，∠B ＝30°，∠ACD 的度数为（ ）A ．10°B ．15°C ．20°D ．30°2．如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A ，B ，C 三点，那么这条弧所在圆的半径是（ ）A ．2B ．5C ．22D ．33．如图是我市环北路改造后一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB 宽为4m ，水面最深地方的高度为1m ，则该输水管的半径为（ ）A ．2mB ．2.5mC ．4mD ．5m4．如图，在⊙O 中，半径OC 垂直弦AB 于D ，点E 在⊙O 上，∠E ＝22.5º，AB ＝2，则半径OB 等（ ）A ．1B ．22C ．2D ．25．下列说法中，正确的是（ ）A ．直径所对的弧是半圆B ．相等的圆周角所对的弦相等C ．两个半圆是等弧D ．一条弧所对的圆心角等于它对的圆周角的一半6．如图，已知抛物线()()31916y x x =---与x 轴交于,A B 两点，对称轴与抛物线交于点C ，与x 轴交于点D ，C 的半径为2，G 为C 上一动点，P 为AG 的中点，则DP 的最大值为（ ）A ．412B ．23C ．72D ．57．如图，AB 是O 的直径，弦CD 交AB 于点P ，4AP =，8BP =，45APC ∠=︒，则CD 的长为（ ）A ．34B ．62C ．234D ．128．已知，AB 为圆O 的一条弦，∠AOB=80°，则弦AB 所对的圆周角的度数为（ ）A ．40︒B ．140︒C ．70︒D ．40︒或140︒9．下列说法：①直径是弦；②长度相等的两条弧是等弧；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④圆的对称轴是直径；⑤外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，正确的命题有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，已知100BOC ∠=︒，则A ∠的度数为（ ）A ．50︒B ．80︒C ．100︒D ．130︒二、填空题 11．圆弧形蔬菜大棚的剖面如图，已知AB =16m ，半径OA =10m ，OC ⊥AB ，则中柱CD 的高度为_________m ．12．若圆的半径为6cm ，圆中一条弦长为3cm ，则此弦中点到此弦所对弧的中点的距离为_______cm.13．如图，在⊙O中，CA DB，∠1=30°，则∠2=_________°．14．如图，⊙O的半径为10，弦AB的长为12，OD⊥AB，交AB于点D，交⊙O于点C，则CD=______．15．如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，∠ACB=40°，则∠OAB=______．三、解答题16．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，联结AO并延长交⊙O于点E，联结EC．已知AB＝8，CD＝2．（1）求OA的长度；（2）求CE的长度．17．如图，已知，AB是O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠ACD=30°，AE=3cm，求BD的长度．18．如图，D 是O 弦BC 的中点，A 是BC 上一点，OA 与BC 交于点E ，已知8AO =，12BC =． （1）求线段OD 的长．（2）当2EO BE =时，求ED ，EO 的长．19．已知P 是O 上一点，过点P 作不过圆心的弦PQ ，在劣弧PQ 和优弧PQ 上分别有动点A B 、 (不与P ，Q 重合)，连接AP 、BP 若=APQ BPQ ∠∠．（1）如图1，当=45APQ ∠︒，=1AP ，=22BP O 的半径；（2）如图2，选接AB ，交PQ 于点M ，点N 在线段PM 上(不与P M 、重合)，连接ON OP 、，若+2=90NOP OPN ∠∠︒，探究直线AB 与ON 的位置关系，并证明．20．如图，90BCD ∠=︒，BC DC =，直线PQ 经过点D ．设PDC α∠=（45135α︒<<︒），BA PQ ⊥于点A ，将射线CA 绕点C 按逆时针方向旋转90︒，与直线PQ 交于点E ．（1）判断：ABC ∠________PDC ∠（填“>”或“=”或“<”）；（2）猜想ACE △的形状，并说明理由；（3）若ABC的外心在其内部（不含边界），直接写出 的取值范围．参考答案题型归纳【解析】：1【详解】①弦是连接圆上两点间线段，故不正确；②直径是最长的弦，故正确；③经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，故正确；故选C．2．【详解】解：①直径是弦，是真命题；②在同圆与等圆中，长度相等的两条弧是等弧，原命题是假命题；③半圆是弧，但弧不一定是半圆，是真命题；④圆的对称轴是直径所在的直线，原命题是假命题；⑤外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，是真命题；故选：C．【解析】3．【详解】解：∵DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于点F，∴AF=BF，AD BD，∠DBC=90°，∴B、C、D正确；∵点F不一定是OC的中点，∴A错误．故选：A．4．【详解】解：∵半径OC⊥弦AB于点D，∴=AC BC，∴∠E=12∠BOC=22.5°，∴∠BOD=45°，∴△ODB是等腰直角三角形，∵AB=2，10∴DB=OD=1，则半径OB．故选：D．【解析】：5【详解】解：①弦不一定是直径，原命题是假命题；②圆上任意两点间的部分叫弧，原命题是假命题；③在同圆或等圆中，长度相等的两段弧是等弧，原命题是假命题；④圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，是真命题；⑤圆是轴对称图形，也是中心对称图形，原命题是假命题；⑥直径是弦，是真命题．故选：B．6【详解】解：连接OD交AC于点G，∵AB⊥DF，∴AD AF=，DE=EF．又点D是弧AC的中点，∴AD CD AF==，OD⊥AC，∴AC DF=，∴AC=DF=12，∴DE=6．设O的半径为r，∴OE=AO-AE=r-3，在Rt△ODE中，根据勾股定理得，OE2+DE2=OD2，∴(r-3)2+62=r2，解得r=152．∴O的直径为15．故选：C．7．【详解】解：ACB ∠与ACD ∠的大小关系不确定，AB ∴与AD 不一定相等，故选项A 错误； AC 平分BAD ∠，BAC DAC ∴∠=∠，BC CD ∴=，故选项B 正确；ACB ∠与ACD ∠的大小关系不确定，∴AB 与AD 不一定相等，选项C 错误；∵BCA ∠与DCA ∠的大小关系不确定，选项D 错误；故选B ．8．【详解】解：连接AD ，∵CD 是圆的直径，∴∠DAC=90°，∵∠B=∠D=35°，∴∠ACD=90°-∠D=90°-35°=55°，故选C ．9．【详解】连结BD ，∵同弧所对的圆周角相等，∴∠B=∠C=40º，∵AB 为直径，∴∠ADB=90º，∴∠DAB+∠B=90º，∴∠DAB=90º-40º=50º．故选择：Ｄ．二：基础巩固和培优1．C【详解】解：∵∠A=50°，∴∠BOC=2∠A=100°，∵∠B=30°，∠BOC=∠B+∠BDC，∴∠BDC=∠BOC-∠B=100°-30°=70°，∴∠ACD=70°-50°=20°；故选：C．2．B【详解】解：如图线段AB的垂直平分线和线段BC的垂直平分线的交点M，即点M为圆心，22+125故选：B．3．B【详解】过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，设OA=x，则OD=x-1，在Rt△AOD中， x2=（x-1）2+22，解得x=2.5m．故选B．4．D【详解】解：∵半径OC⊥弦AB于点D，∴=AC BC，∴∠E=12∠BOC=22.5°，∴∠BOD=45°，∴△ODB是等腰直角三角形，∵AB=2，∴DB=OD=1，则半径OB2211=2．故选：D．5．A【详解】解：A、直径所对的弧是半圆，正确，符合题意；B、同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，故原命题错误，不符合题意；C、半径相等的两个半圆是等弧，故原命题错误，不符合题意；D、同圆或等圆中，一条弧所对的圆心角等于它对的圆周角的一半，故原命题错误，不符合题意，故选：A．6．C【详解】如图，连接BG，由题意可得：A(1,0)，B(9,0)，D是AB的中点，∴AB=8，∴BD=4， 3y=(1)(9)16x x ---=23(5)316x --+， ∴C(5,3)，∴CD=3，由D 、P 分别是AB 、AG 的中点可得：DP 是ABG 的中位线， ∴DP=12BG ，要求DP 的最大值，即要求BG 的最大值，当G 、C 、B 三点共线时，BG 最大，BC=22345+=，BG=5+2=7，DP=12BG=72．故选：C ．7．C【详解】解：∵4AP =，8BP =，∴AB=12，AO=6，∴PO=2，作OM ⊥CD ，连接OC ，∵45DPB APC ∠=∠=︒，∴∠AOM=45°，△MOP 为等腰直角三角形，∴222MO OP ，在Rt △OCM 中根据勾股定理22226(2)34CMCO OM ， ∴2234CD CM ．故选：C ．8．D【详解】解：如图，弦AB 所对的圆周角为C D ∠∠，，80AOB ∠=︒，40D ∴∠=︒，四边形ADBC 为O 的内接四边形，180C D ∴∠+∠=︒，=140C ∴∠︒．故选D ．9．C【详解】解：①直径是弦，是真命题；②在同圆与等圆中，长度相等的两条弧是等弧，原命题是假命题； ③半圆是弧，但弧不一定是半圆，是真命题；④圆的对称轴是直径所在的直线，原命题是假命题；⑤外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，是真命题； 故选：C ．10．A【详解】解：∵100BOC ∠=︒，∴A ∠=1250BOC ∠=︒，故选A ．11．4【详解】解：∵CD 垂直平分AB ，∴AD ＝8．∴OD ＝22108-＝6m ，∴CD ＝OC−OD ＝10−6＝4（m ）．故答案是：412．3或9【详解】在⊙O 中，弦AB=63cm ，半径6R =；过圆心O 作直径MN ，且MN ⊥AB 于点C ，连接OB ；则AC=BC=12AB=33，OB=6， 由勾股定理得：()22226333OB BC -=-=，∴CM=6+3=9，CN=6-3=3；∵MN ⊥AB ，且MN 为⊙O 的直径，∴点M 、N 分别为AMB 、ANB 的中点， ∴AB 弦中点到弦所对应的弧的中点的距离分别为3或9． 故答案为：3或9．13．30【详解】解：CA DB =，BC BC =，∴AB CD =，∴∠1=∠2，∠1=30°，∴∠2=30°；故答案为30．14．2【详解】∵OD ⊥AB ，OD 过圆心O ， ∴162AD BD AB ===，由勾股定理可得：8OD ===， ∴1082CD CO OD =-=-=； 故答案是2．15．50°【详解】解：根据圆周角定理得：∠AOB=2∠ACB ，∵∠ACB=40°，∴∠AOB=2×40°=80°，∵OA=OB ，∴∠OAB=∠OBA ，∴∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°， ∴∠OAB=50°．故答案为： 50°．16．（1）5；（2）【详解】解：（1）∵在⊙O 中，OD ⊥弦AB ， ∴AC ＝BC ＝12AB ＝4，设OA 为x ，则OD ＝OA ＝x ，∵CD ＝2，∴OC＝x﹣2在Rt△ACO中，AC2+OC2＝AO2∴42+（x﹣2）2＝x2，解得x＝5，∴OA＝5；（2）连接BE，∵OA＝OE，AC＝BC，∴OC∥BE且OC＝12 BE，∴∠EBA＝∠OCA＝90°，∵OC＝OD﹣CD＝5﹣2＝3，∴BE＝6，在Rt△ECB中，BC2+EB2＝EC2∴42+62＝EC2，∴CE＝213．17．63BD cm=【详解】连接OC、OD，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=DE，∠AEC=∠DEB=90°，AC AD=，∴30ACD ∠=︒，∴260COA DOA ACD ∠=∠=∠=︒， OC =OA ，∴AOC △是等边三角形，∴AE =EO =3cm ，∴AO =DO =OB =6cm ，∴BE =9cm ，DE =22226333OD OE -=-=cm ， ∴BD =22229(33)63BE DE +=+=cm ． ∴DB 的长为63cm ．18．（1）线段OD 的长为27；（2）ED 2=，EO=42【详解】解：（1）连接OB ．∵OD 过圆心，且D 是弦BC 中点， ∴OD ⊥BC ，BD=12BC ， 在Rt △BOD 中，OD 2+BD 2=BO 2． ∵BO=AO=8，BD=6．∴22228627BO BD --= （2）在Rt △EOD 中，OD 2+ED 2=EO 2． 设BE=x ，则2x ，DE=6x -， (())222762x x +-＝， 整理得：212640x x +-=，解得：12416x x ==-，(舍去)．∴BE=4，ED=642-=，EO=42．19．（1） ☉O 的半径是32；（2）A B ∥ON ，证明见解析 【详解】解：（1）连接AB ，在☉o 中，o APQ BPQ 45∠=∠=，o APB APQ BPQ 90∴∠=∠+∠=AB ∴是☉0的直径．Rt APB ∴∆在中，22AB AP BP =+AB=3∴∴☉0的半径是32（2）AB//ON证明：连接OA ， OB ， OQ ，在☉0中， AQ AQ =， BQ BQ =，Q 2APQ,B0Q 2BPO AO ∴∠=∠∠=∠．又APQ BPQ ∠=∠，AOQ BOQ ∴∠=∠．在AOB ∆中，OA OB =， AOQ BOQ ∠=∠，OC AB ∴⊥，即o OCA 90∠=连接OQ ，交AB 于点C在☉0中，OP OQ =OPN OQP.∴∠=∠延长PO 交☉0于点R ，则有2OPN QOR ∠=∠o NOP 2OPN 90∴∠+∠=，又:o NOP NOQ QOR 180∠+∠+∠=，NOQ 90O ∴∠=NOQ OCA 180O ∴∠+∠= ．AB//ON ∴20．（1）=；（2）ACE △是等腰直角三角形；理由见解析；（3）4590α︒<<︒．【详解】解：（1） 90AB AD DCB ⊥∠=︒，，3609090180CDA ABC ∴∠+∠=︒-︒-︒=︒，180CDA CDE ∠+∠=︒，.EDC ABC ∴∠=∠故答案为：=．（2）ACE △是等腰直角三角形．理由如下：由旋转可得：90ACE BCD ∠=∠=︒，90ECD DCA DCA BCA ∴∠+∠=︒=∠+∠，ECD BCA ∴∠=∠，在ECD 与ACB △中，ECD BCA CD CBEDC ABC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ECD ACB ASA ∴≌EC AC ∴=，又90ACE ∠=︒ACE ∴是等腰直角三角形．（3）当∠ABC=α=90°时， ABC 的外心在其斜边上，∠ABC=α＞90°时，ABC 的外心在其外部，由PDC ∠＞45EAC ∠=︒，PDC DCA EAC ∠=∠+∠＜135︒， ∴ 45°＜α＜135°，故：4590α︒<<︒．。
人教版九年级数学上第24章圆24.1圆的有关性质弧、弦、圆心角讲义
合作探究探究点1 圆的定义情景激疑在准备好的一张纸上以点〇为圆心、3 cm为半径画一个圆，观察画图过程.由此你会得出什么结论？知识讲解定义1:在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的圆形叫做圆.其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫倣半径.以O点为圆心的圆，记作O,读作“圆O〞.定义2：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的间隔等于定长r的点的集合.注意〔1)圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.(2) 确定一个圆首先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可.(3) 定点是圆心，定长是半径.(4) “圆〞指的是“圆周〞，而不是“圆平面〞.典例剖析例1 以下说法错误的有 ( )(1) 经过P点的圆有无数个；(2) 以P点为圆心的圆有无数个；(3) 半径为3cm且经过P点的圆有无数个。
(4) 以P点为圆心、3cm为半径的圆有无数个.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个解析确定一个圆必须满足两个条件，即圆心和半径，只满足一个条件或不满足任何一个条件的圆都有无数个，故(1)(2)正确，(3)虽然半径,但P点不是圆心，实际上也只是一个条件，能作无数个圆，故(3)正确;(4)满足两个条件，只能作一个圆，所以(4)错误.综上所述，错误的说法有1个，应选A答案 A错因分析导致此题错误的主要原因是对于确定一个圆的两个要素(圆心和半径)理解不够准确。
类题打破1 以O点为圆心画圆，可以画______ 个圆;以4 cm为半径画圆.可以面_____个圆.答案无数无数点拨确定圆的条件:一是圆心，二是半径.探究点2 与圆有关的概念知识讲解连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。
圆上任意两点间的局部AB.读作“圆弧AB〞或“弧AB〞，圆的任意一条直径的两个端点把图分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
注意 (1)弦和弧是有区别的，弦是线段，而弧是曲线。
(2)直径是圆中最长的弦，而弦不都是直径。
24-1 圆的有关性质 课件(共60张PPT)
知识梳理
知识点4：垂径定理的应用。
将垂径定理和勾股定理有机结合，化圆中问题为三角形问题。
“圆弧AB”或“弧AB”。圆的任意一条直径
的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做
半圆（semi-circle）。
圆
能够重合的两个圆叫做等圆，容易
看出：半径相等的两个圆是等圆；
反过来，同圆或等圆的半径相等。
在同圆或等圆中，能够互相重合的
弧叫做等弧。
圆
概念辨析
直径是弦，弦是直径。这句话正确吗？
2
2
1
∠DOB。
2
圆周角
探究结论
分别测量图中所对的圆周角∠ACB和
圆心角∠AOB的度数，可以发现两角的
度数相同。
同弧所对的圆周角的度数等于这条弧所
对的圆心角的度数的一半。
圆周角
则有圆周角定理：一条弧所对的圆周角等
于它所对的圆心角的一半。
我们还可以得到推论：（1）同弧或等弧
进一步，我们还可以得到推论：平分弦（
不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦
所对的两条弧。
垂直于弦的直径
问题二
赵州桥（图右）是我国隋代建造的石拱桥，距
今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳
与智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形，它的跨
度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的
中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱
8（）。∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，
∴∠AOD=∠BOD，∴AD=BD。又在Rt∆ABD中，
2
2
2
2
2
AD +BD =AB ，∴AD=BD= AB= ×10=5
人教版九年级上册数学第24章 圆 目标一 垂径定理
∵CD 为⊙O 的直径，CD⊥AB，∴AC＝BC.∴AC＝BC. ︵︵
又 AO⊥BC，∴AC＝AB.∴AC＝AB.∴AB＝BC＝2 3.
(2)求⊙O的半径．
解：由(1)知 AB＝BC＝AC，∴△ABC 为等边三角形． ∴∠B＝60°.∴∠OAF＝30°. ∵CD⊥AB，∴AF＝BF＝ 3，OF＝12AO. 在 Rt△OAF 中，AO2＝AF2＋FO2，即 AO2＝( 3)2＋12AO2， ∴OA＝2，即⊙O 的半径为 2.
6．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的一条弦，CD⊥AB 于 ︵
点 E，则下列结论：①∠COE＝∠DOE；②CE＝DE；③BC＝ ︵ BD；④OE＝BE，其中，一定正确的有( C ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
错解：D
诊断：根据垂径定理，可知①②③一定正确；因为 CD不一定平分OB，所以④不一定正确．本题的易 错之处是对垂径定理理解不透，并且图形画得比较 特殊，因而误认为CD平分OB.
解 ： 如 图 ， 连 接 OA ， OC ， 由 (1) 可 知，OE⊥AB， ∵圆心O到直线AB的距离为6，
∴OE＝6. ∴CE＝ OC2－OE2＝ 82－62＝2 7， AE＝ OA2－OE2＝ 102－62＝8. ∴AC＝AE－CE＝8－2 7.
8．如图，CD 为⊙O 的直径，CD⊥AB，垂足为 F，AO⊥BC， 垂足为 E，BC＝2 3. (1)求 AB 的长；
7．【中考·湖州】已知在以点O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图)．
(1)求证：AC＝BD；
证明：如图，过点O作OE⊥AB于 点E，则CE＝DE，AE＝BE. ∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.
最新人教版初中数学九年级上册《24.1.1 圆》精品教学课件
D BC
【结论】等弧仅仅存在于同圆或者等圆中.
探究新知
(
(
( (
( ( (( ((
素养考点 1 圆的有关概念的识别 例1 如图. (1)请写出以点A为端点的优弧及劣弧;
劣弧：AF, AD, AC, AE.
D
B
优弧：AFE,AFC, ADE, ADC.
F
O
E
(2)请写出以点A为端点的弦及直径；
分析：作辅助线构造△OCE和△ODF,然后证明两 三角形全等,最后根据全等的性质得出结论. 解：连接OC,OD,∵OC=OD,∴∠C=∠D,
∵CE=DF. ∴△OCE≌△ODF（SAS）, ∴OE=OF, ∴△OEF是等腰三角形.
探究新知
知识点 2 圆的有关概念
弦:
A
连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做弦.
探究新知
素养考点 2 圆的有关概念的应用
例2 如图，MN是半圆O的直径，正方形ABCD的顶点A、D
在半圆上，顶点B、C在直径MN上.（1）求证：OB=OC.
（2）设⊙O的半径为10，则正方形ABCD的边长为 4 5 .
A
D
Ⅱ
2x 10 ？
M
xB O
C
N
图4
连OA,OD即可，
同圆的半径相等.
解：（1）连接OA，OD， 证明Rt∆ABO≌Rt∆DCO.
例 矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O. 求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC，OB=OD.
A
D
O
又∵AC=BD，
B
C
九年级数学上册 第24章 圆 24.1 圆的有关性质(第2课时)垂直于弦的直径
Image
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第十九页，共十九页。
• 学习重点： 垂径定理及其推论．
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第二页，共十九页。
【知识链接，复习(fùxí)准备】
1.在下图中，弦有__________________；
直径(zhíjìng)是_______,半径是__________； 其中，弦AB所对的弧是_____________； 在图中作出
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拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥 拱的半径（精确到 0.1 m）．
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【典例精析，经典(jīngdiǎn)同行】
C
A
D
B
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O
第十三页，共十九页。
【反思(fǎn sī)总结 ，归纳方法】
内容： 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两
_________
变式2：已知⊙O的半径为5cm，圆心 O到AB的距离为3cm，则弦AB的长为
______cm.
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【利用(lìyòng)新知，解决问题】
学案(xuéàn)题组一第4题
4．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直(chuízhí)且相等的
两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边 形 ADOE是正方形．
学案(xuéàn)题组一第5 题
5.如图，已知在两同心圆⊙O 中，大圆(dàyuán)弦 AB 交小圆 于 C，D，则 AC 与 BD 间可能存在什么关系？
A C DB O
圆周角定理推论和圆内接多边形 第二课时
2．教师引导学生观察下图，BC是⊙O的直径．请问：BC所对的 圆周角∠BAC是锐角、直角还是钝角？
让学生交流、讨论，得出结论：∠BAC是直角．教师追问理由．
3．如图，若圆周角∠BAC＝90°，那么它所对的弦BC经过圆心 吗？为什么？由此能得出数等于它所对的弧的度数；( ) (2)圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．( ) 答案：1.略；2.100°，50°；3.120°，60°；4.略
活动2 探索圆周角定理的“推论” 1．请同学们在练习本上画一个⊙O.想一想，以A，C为端点的弧所 对的圆周角有多少个？试着画几个．然后教师引导学生：观察下图， ∠ABC，∠ADC，∠AEC的大小关系如何？为什么？
4．课件展示练习： (1) 如 图 ， 四 边 形 ABCD 内 接 于 ⊙ O ， 则 ∠ A ＋ ∠ C ＝ ________ ， ∠B＋∠ADC＝________；若∠B＝80°，则∠ADC＝________， ∠CDE＝________；
(2) 如 图 ， 四 边 形 ABCD 内 接 于 ⊙ O ， ∠ AOC ＝ 100° ， 则 ∠ D ＝ ________，∠B＝________；
24．1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角 第2课时 圆周角定理推论和圆内接多边形
1．能推导和理解圆周角定理的两个推论，并能利用这两个推论 解决相关的计算和证明．
2．知道圆内接多边形和多边形外接圆的概念，明确不是所有多 边形都有外接圆．
3．能证明圆内接四边形的性质，并能应用这个性质解决简单的 计算和证明等问题．
活动4 巩固练习 1．教材第88页 练习第5题． 2．圆的内接梯形一定是________梯形． 3．若ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立( ) A．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶4 B．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝2∶1∶3∶4 C．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝3∶2∶1∶4 D．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝4∶3∶2∶1 答案：1.略；2.等腰；3.B.
24.1.4 第2课时 圆内接四边形 初中数学人教版数学九年级上册课件
∴ ∠C = 180°- ∠CBD - ∠BDC = 130°；
O
∴ ∠A = 180°- ∠C = 50°；
B
D
（圆内接四边形对角互补）
C
学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
课堂总结
5. 已知 ∠OAB = 40°，求 ∠C 的度数.
解：延长 AO 至 D，交圆心于点 D，连接 BD；
D
O
∵ ∠OAB = 40°且 AD 是直径，
O B
( (
( (
∵ BCD 和BAD 所对的圆心角之和为 360°，
C
D
又 ∠BCD 和 ∠BAD 分别为 BCD 和BAD 所对的圆周角，
∴ ∠BCD + ∠BAD = 180°； 同理，∠ABC + ∠ADC = 180°.
总结：圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.
学习目标
概念剖析
典型例题
形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
A 如图：
四边形 ABCD 为 ⊙ O 的内接四边形；
B
O
⊙ O 为四边形 ABCD 的外接圆.
C
D
学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
课堂总结
问题 1：如图，圆内接四边形的四个角之间有什么关系？
A
猜想：∠A + ∠C = 1＿80＿°＿，∠B + ∠D = ＿1＿80＿°． B
当堂检测
课堂总结
（一）圆内接四边形的性质
例 1：如图所示，已知四边形 ABCD 为 ☉O 的内接四边形，∠ADE 为四
边形 ABCD 的一个外角. 求证：∠ABC = ∠ADE.
2022九年级数学上册 第24章 圆 24.1圆的有关性 4圆周角第2课时 圆内接四边形习题课件 (
12.(2021․盐城)如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，且 那么∠E＋∠C＝_1_5_5_____°.
的度数为50°，
考查角度 利用圆内接四边形的性质求角度
13.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，DB平分∠ADC，连接OC， OC⊥BD. (1)求证：AB＝CD； (2)假设∠A＝66°，求∠ADB的度数.
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质 24.1.4 圆周角
第2课时 圆内接四边形
知识点 圆内接四边形的性质
1.(2021․兰州)如图，四边形ABCD内接于⊙O，假设∠A＝40°，那么∠C等
于 D
( )
A.110°
B.120° C.135° D.140°
2.如图，点A，B，C，D在⊙O上，假设∠B＝100°， C
＝∠F＋∠BCF，∴∠ADC＝∠ABC.
(2) 解 ： 由 (1) 知 ∠ADC ＝ ∠ABC ， ∵ 四 边 形 ABCD 内 接 于 ⊙O ， ∴ ∠ ADC ＋
∠ABC ＝ 180 ° ， ∴ ∠ ADC ＝ 90 ° . 在 Rt △ ADF 中 ， ∠ A ＝ 90 ° － ∠F ＝ 90 ° －
5.(2021․镇江)如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，＝.假 设∠C＝110°，那么∠ABC的度数等于A ( ) A.55° B.60° C.65° D.70°
6.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD是直径，∠ABC＝120°，CD＝3， 那么弦AC＝______.
7.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝ 65°，求证：
那么∠ADE的度数是( ) A.30° B.50° C.100° D.130°
第2课时 垂直于弦的直径
1.实验发现
实验： 用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径
对折，重复做几次，你发现了什么？由此你 能得到什么结论？
结论： 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条
过圆心的直线.
2.探索
请按要求回答以下问题： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使
CD⊥AB，垂足为M.
(1)右图是轴对称图形吗？ 如果是，其对称轴是什么？
巩固练习
1.如图，在⊙O中，弦AB的长为8 cm，圆心O
到AB的距离为3 cm，求⊙O的半径．
解： OE AB，
A
E
B
AE 1 AB 1 8 （ 4 cm）.
2
2
在Rt △ AOE 中，
O·
AO2 OE2 AE2，
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5（cm）.
推论
① CD是直径 ③ AM=BM
③AM=BM
④ AC BC ⑤ AD BD
② CD⊥AB ④ AC BC
⑤ AD=BD
例题评析
完成情境引入的问题. 如图，用 AB 表示主桥拱，设 AB 所在圆
的圆心为O，半பைடு நூலகம்为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D， 根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是 AB 的中点，CD 就是拱高．
例题评析
解：如图，AB=37，CD=7.23,所以
C
AD 1 AB 1 37 18.5,
2
2
OD=OC－CD=R－7.23.
A
D
B
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
R O
OA2 = AD2+OD2.
人教版九年级上册数学课件：24.圆的有关性质——弧、弦、圆心角
O·
又 ∠ACB=60°
B
C
∴△ABC是等边三角形，
AB=BC=CA
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC
弧等 弦等 弦等 圆心角等
2、如图，AB是⊙O的直径，B⌒C=C⌒D=D⌒E，
∠COD=35°，求∠AOE的度数。
证明： ∵ BC⌒=C⌒D=⌒DE
∴∠COB=∠COD=∠DOE =35A° ∴∠AOE=180°-3∠COD =75°
7．提升
如图，CD为⊙O的弦，在CD上取 CE=DF，连结OE、OF，并延长交⊙O 于点A、B.
（（12））试求判证断：△A⌒CO=EB⌒FD的形状，并说明理由；
O
C EF D
A
B
ED C B
O
弧等
圆心角等
3、如图，AD=BC，请比较AB与CD的大小.
解： ∵ AD=BC
A
C
∴ AD⌒=BC⌒
∴ AD⌒+A⌒C=B⌒C+⌒AC D
O
B
即 CD⌒=A⌒B
∴ CD=AB
弦等
弧等
6．小结
1.请回顾本节课我们学习同圆或 等圆中，圆心角及其所对的弧、弦之 间的关系的学习过程.
2.怎样记忆圆心角定理呢？ 要注意什么？
B
圆心角、所对弦、所对弧 2、三个相等关系：
α
Oα
A
(1) 圆心角相等 知
(2) 弧相等
一 得
A1 B1
圆心角等
(3) 弦相等
二 弧等
弦等
5．练习
1、如图3，AB、CD 是⊙O 的两条弦。
（14）如果 AB=CD，那 OE么⊥AB于E，，OF⊥CD于F，。
（2）O如E果与A⌒OBF=相C⌒D等，吗那？么为A什B=么CD？，
圆的有关性质-经典教学教辅文档
24.1 圆的有关性质初中数学人教2011课标版1教学目标1.知识与技能(D理解圆的定义和圆的有关概念;(2)理解圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系,并能运用它们之间的关系解决有关成绩;(3)理解垂径定理及其运用。
(4)理解圆周角和圆心角的关系。
2.过程与方法(D帮助先生掌握本单元知识内容,并对各个知识点进行纵横向联系和比较,构建知识网络;(2)培养先生分析成绩、解决成绩的能力,加强对探求性成绩的顺应性。
3.情感、态度与价值观(1)经过解题的过程,鼓励先生自主找寻方法解决成绩,加强先生的自决心,培养先生自动探求和独立解决成绩的性情;(2)经过解题后的归纳小结,培养先生育成反思的学习习气,使不同层次的先生都能学有所获。
2重点难点(1) 复习重点：圆的有关性质的运用。
(2) 复习难点：能灵活综合运用圆的有关性质解决相关成绩。
3教学过程 3.1 第一学时教学活动活动1【活动】教学过程1.课前预习提早一天布置先生复习本节课的相关知识点,并对知识进行梳理。
2.知识回顾(1)先生对照课本的章节目录，和教师一同画出全章的知识框架图。
(2)先生以小组竟赛的方式回顾知识点,重点回顾圆的基本性质这一部分的知识点,教师根据先生的回顾将次要知识点罗列在框架图后。
①圆的有关概念：圆的定义、弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、圆心角、圆周角。
②圆的对称性：轴对称性―――垂径定理及推论。
旋转不变性――圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。
③圆心角与圆周角的性质：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等；半圆(或直径)所对的圆周角是苴角；90°圆周角所对的弦是直径。
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3．获得新知
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所 对的两条弧. A
O C E
D
B
4．新知强化
下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？
A 图1 O A E A E O D B
C B
E
O D D图2C 图4 B来自图3A E C
O
B
5．利用新知 问题回解
C A D B
O
6．利用新知 解决问题
1．创设情境，导入新知
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥 主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m， 拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥 拱的半径（精确到 0.1 m）．
2．探究新知
请拿出准备好的圆形纸片，沿着它的直径翻折，重 复做几次，你发现了什么？由此你能猜想哪些线段相等？ 哪些弧相等？
九年级
上册
24.1 圆的有关性质（第2课时）
课件说明
• 本课是在学生已经学习了圆的有关概念的基础上开始 研究圆的性质，包括圆的轴对称性以及垂径定理，并 应用垂径定理及其推论解决问题．
课件说明
• 学习目标： 1．理解圆的轴对称性，会运用垂径定理解决有关的 证明、计算和作图问题； 2．感受类比、转化、数形结合、方程等数学思想和 方法，在实验、观察、猜想、抽象、概括、推理 的过程中发展逻辑思维能力和识图能力． • 学习重点： 垂径定理及其推论．
8．布置作业
教科书习题 24.1
第89页 2，7，9，10，11题．
O
A
C
D
B
6．利用新知 解决问题
变式3 连接 OC，OD，设 OC=OD， 求证：AC=BD．
O A
C
D
B
7．归纳小结
内容： 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所 对的两条弧． ①构造直角三角形，垂径定理和勾股定理有机结合 是计算弦长、半径和弦心距等问题的方法． ②技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线． 重要思路：（由）垂径定理—构造直角三角形— （结合）勾股定理—建立方程．
如图，已知在两同心圆⊙O 中，大圆弦 AB 交小圆 于 C，D，则 AC 与 BD 间可能存在什么关系？
C O
A
D
B
6．利用新知 解决问题
变式1 如图，若将 AB 向下平移，当移到过圆心时，结论 AC=BD 还成立吗？
A C
D O
B
6．利用新知 解决问题
变式2 如图，连接 OA，OB，设 AO=BO， 求证：AC=BD．