七年级上《勾股定理》测试题
初中数学鲁教版(五四制)七年级上册第三章 勾股定理本章综合与测试-章节测试习题
章节测试题1.【答题】设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，已知b=12，c=13，则a＝（）A. 1B. 5C. 10D. 25【答案】B【分析】【解答】2.【答题】在△ABC中，已知下列条件：①∠B=∠C-∠A；②a2＝（b+c）（b-c）；③∠A：∠B：∠C=3：4：5；④a：b：c=5：4：3；⑤a2：b2：c2=1：2：3．其中能判断△ABC为直角三角形的条件有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】C【分析】【解答】3.【答题】如图，网格中小正方形的边长为1，点A，B为网格线的交点，则AB的长为（）A. 3B. 5C. 7D. 12【分析】【解答】4.【答题】如图①，分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别为S1，S2，S3；如图②，分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别为S1，S2，S3；如图③，分别以Rt△ABC三边为边向外作三个等边三角形，其面积分别为S1，S2，S3，其中满足S1＝S2+S3的是（）A. ①B. ②C. ①②D. ①②③【答案】D【分析】【解答】5.【答题】如图，一只蚂蚁从长为2cm、宽为2cm、高是3cm的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（）A. 3cmB. 2cmC. 5cmD. 7cm【分析】【解答】6.【答题】我国古代算书《九章算术》中第九章第六题是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深葭长各几何？你读懂题意了吗？请回答水深几尺，葭长几尺．根据题意，可设水深OB=x尺，则葭长OA′＝（x+1）尺．下列方程正确的是（）A. x2+52＝（x+1）2B. x2+52＝（x-1）2C. x2+（x+1）2=102D. x2+（x-1）2＝52【答案】A【分析】【解答】7.【答题】底边长为10cm、底边上的高为12cm的等腰三角形的腰长为（）A. 12cmB. 13cmC. 8cmD. 9cm【答案】B【分析】8.【答题】已知a，b，c是三角形的三边长，如果a，b，c满足（a-b）2+（b-8）2+|c-10|=0，那么三角形的形状是（）A. 底与边不相等的等腰三角形B. 等边三角形C. 钝角三角形D. 直角三角形【答案】D【分析】【解答】9.【答题】《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长．如果设AC=x，则可列方程为______．【答案】x2+32=（10-x）2【分析】10.【答题】小明将四个全等的直角三角形拼成如图所示的五边形，添加适当的辅助线后，用等面积法建立等式证明勾股定理．小明在证明过程中用两种方法表示五边形的面积，分别记为S1＝______，S2＝______．【答案】c2+ab,【分析】【解答】11.【答题】我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三边长分别为5里、12里、13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里＝0.5km，则该沙田的面积为______km2．【答案】7.5【分析】【解答】12.【答题】已知一个三角形的三边之比为5：12：13，它的周长为60，则它的面积是______．【答案】120【分析】【解答】13.【题文】（10分）为整治城市街道汽车超速现象，交警大队在某街道旁进行流动测速．如图，一辆小汽车在该城市街道上向西直行，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A 正北方向60m的C处，过了4s后，小汽车到达离车速检测仪A100m的B处．已知该段城市街道的限速为60km/h，请问这辆小汽车是否超速？【答案】【分析】【解答】超速．理由如下：在Rt△ABC中，AC=60m，AB=100m．由勾股定理可得BC2=AB2-AC2=1002-602=802．∴BC=80m，∴汽车速度为80÷4=20m/s=72km/h．∵72＞60，∴这辆小汽车超速了．14.【题文】（12分）在一平直河岸l的同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离AM，BN 分别是5km，3km，且MN为6km．现计划在河岸上建一座抽水站P，用输水管向两个村庄A，B供水，求水管长度最少为多少．【答案】【分析】【解答】如图，延长AM到A'，使MA'=AM，连接A'B交l于P，过A'作A'C垂直于BN的延长线于点C．∴AM⊥l，∴PA=PA'．∵A'M⊥l，CN⊥l，A'C⊥BC，∴四边形MA'CN是长方形，∴CN=A'M=5km，A'C=MN=6km．∴BC=3+5=8（km）．∵A'C2+BC2=A'B2．∴A'B=10．∴AP+BP=A'P+PB=A'B=10km．答：水管长度最少为10km．15.【题文】（12分）某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，那么能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？【答案】【分析】【解答】根据题意得PQ=16×1.5=24（海里），PR=12×1.5=18（海里），QR=30（海里）．∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，∴∠QPR=90°．由“远洋号”沿东北方向航行可知∠QPS=45°，则∠SPR=45°，即“海天”号沿西北方向航行．16.【题文】（14分）在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=AC．由于某种原因，由C到A的路现在已经不通．为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB=3km，CH=2.4km，HB=1.8km．（1）CH是否为从村庄C到河边的最近路（即CH与AB是否垂直）？请通过计算加以说明．（2）求原来的路线AC的长．【答案】【分析】【解答】（1）是．理由是：在△CHB中，∵CH2+BH2=（2.4）2+（1.8）2=9．BC2=9．∴CH2+BH2=BC2．∴CH⊥AB，∴CH是从村庄C到河边的最近路．（2）设AC=x km．在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-1.8，CH=2.4．由勾股定理得AC2=AH2+CH2，∴x2=（x-1.8）2+（2.4）2．解这个方程，得x=2.5，答：原来的路线AC的长为2.5 km．17.【答题】下列四组数中不是勾股数的一组是（）A. a=15，b=8，c=17B. a=9，b=12，c=15C. a=7，b=24，c=25D. a=3，b＝5，c=7【答案】D【分析】【解答】18.【答题】如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4．将矩形沿AC折叠，点D落在点E 处，且CE与AB交于F，那么△ACF的面积为（）A. 12B. 15C. 6D. 10【答案】D【分析】【解答】19.【答题】已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2＝a4-b4，则△ABC是（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】C【分析】【解答】20.【答题】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【分析】【解答】。
鲁教版七年级上第三章勾股定理单元测试含答案解析
单元评价检测第三章（45分钟 100分）一、选择题(每小题4分，共28分)1.在Rt△ABC中，斜边AB=2，则AB2+BC2+AC2的值是( )(A)4 (B)6 (C)8 (D)92.下列各组数是勾股数的为( )(A)2，4，5 (B)8，15，17 (C)11，13，15 (D)4，5，63.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足(a-17)2+|b-15|+(c-8)2=0，则△ABC是( )(A)以a为斜边的直角三角形(B)以b为斜边的直角三角形(C)以c为斜边的直角三角形(D)不是直角三角形4.下列说法：①如果a，b，c为一组勾股数，那么4a，4b，4c仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3，4，那么斜边必是5；③如果一个三角形的三边是12，25，21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a，b，c(a>b=c)，那么a2∶b2∶c2=2∶1∶1.其中正确的是( )(A)①②(B)①③(C)①④(D)②④5.在△ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长为( )(A)14 (B)14或4 (C)8 (D)4或86.折纸是一种传统的手工艺术，也是每一个人从小就经历的事，它是一种培养手指灵活性、协调能力的游戏，更是培养智力的一种手段.在折纸中，蕴含许多数学知识，我们还可以通过折纸验证数学猜想.把一张直角三角形纸片按照图①～④的过程折叠后展开，请选择所得到的数学结论( )(A)角的平分线上的点到角的两边的距离相等(B)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半(C)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(D)如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形7.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a，b，那么(a+b)2的值是( )(A)12 (B)16 (C)20 (D)25二、填空题(每小题5分，共25分)8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=3，AC=4，则AB的长是________.9.如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸(单位：mm)，计算两圆孔中心A 和B 的距离为________mm.10.如图(1)所示，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC →CD →DA 运动至点A 停止，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图(2)所示，那么△ABC 的面积是________.11.已知：如图，在四边形中ABCD 中，AB=1，BC=34，CD=134，AD=3，且AB ⊥BC ，则四边形ABCD 的面积为________.12.如图所示，在△ABC中，AB∶BC∶CA=3∶4∶5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，△BPQ的面积为________cm2.三、解答题(共47分)13.(10分)“道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图，一辆小汽车在一条城街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？(参考数据转换：1m/s=3.6km/h)14. (12分)如图，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F 点处，已知CE=3cm，AB=8cm，求图中阴影部分的面积.15.(12分)如图，已知长方体的长AC=2cm，宽BC=1cm，高AA′=4cm.一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近？最短路程是多少？16.(13分)如图，等腰三角形ABC的底边BC长为8cm，腰AB，AC的长为5cm，一动点P在底边上从B向C以0.25cm/s的速度移动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，求点P运动的时间.答案解析1.【解析】选 C.因为斜边AB=2，所以AB2=BC2+AC2=4，所以AB2+BC2+AC2=4+4=8.2.【解析】选B.A中22+42=20≠52，故不是；B中82+152=289=172，故是勾股数；C中112+132=290≠152，故不是；D中42+52=41≠62，故不是.3.【解析】选A.因为(a-17)2≥0，|b-15|≥0，(c-8)2≥0.又因为(a-17)2+|b-15|+(c-8)2=0，所以a-17=0，b-15=0，c-8=0，所以a=17，b=15，c=8.又因为172=152+82，所以△ABC是以a为斜边的直角三角形.4.【解析】选C.①正确，因为a2+b2=c2，所以(4a)2+(4b)2=(4c)2；②错误，直角三角形两边为3，4，则斜边可能是4或5；③错误，因为122+212≠252，所以不是直角三角形；④正确，因为b=c，c2+b2=2b2=a2，所以a2∶b2∶c2=2∶1∶1.5.【解析】选B.当高AD在△ABC内部时得：CD2=152-122=81，所以CD=9，又BD2=132-122=25，所以BD=5，所以BC=14；当AD在△ABC外部时，易得BC=9-5=4.所以BC的长为14或4.6.【解析】选C.如图，由第一步得△ADE≌△CDE，由全等性质得AD=DC，由第二步得△BDF≌△CDF，由全等的性质得BD=DC，故AD=DC=BD，即DC为直角三角形斜边上的中线，且长度为斜边的一半.7.【解析】选D.每个直角三角形的面积是：(13-1)÷4=3，即12ab=3，则ab=6.又因(a-b)2=1，所以(a+b)2=(a-b)2+4ab=1+4×6=25.8.【解析】在Rt △ABC 中，∠C=90°，因为BC=3，AC=4，所以AB 2=BC 2+AC 2=25=52，则AB 的长是5.答案：59.【解析】如图构造直角△ABC ，因为AC=150-60=90(mm)，BC=180-60=120(mm)，所以AB 2=AC 2+BC 2=902+1202=1502.故AB=150mm.答案：15010.【解析】由图(2)可知，矩形的宽BC=4，长CD=9-4=5，所以△ABC 的面积为12×5×4=10. 答案：1011.【解析】连接AC ，因为AB ⊥BC ，所以△ABC 是直角三角形，所以AC 2=AB 2+BC 2=12+(34)2 =(54)2，所以AC=54.S △ABC =12AB ·BC=12×1×34=38. 因为在△ACD 中，AC 2+AD 2=(54)2+32=(134)2=CD 2，所以△ACD 是直角三角形.所以S △ACD =12AC ·AD=12×54×3=158.所以四边形ABCD 的面积为S △ABC +S △ACD =38+158=94. 答案：9412.【解析】设AB 为3xcm ，BC 为4xcm ，AC 为5xcm ，因为周长为36cm ，则AB+BC+AC=36cm ，所以3x+4x+5x=36，得x=3，所以AB=9cm ，BC=12cm ，AC=15cm ，因为AB 2+BC 2=AC 2，所以△ABC 是直角三角形，过3秒时，BP=9-3×1=6(cm)，BQ=2×3=6(cm)，所以S △PBQ =12BP ·BQ=12×6×6=18(cm 2). 答案：1813.【解析】在Rt △ABC 中，AC=30m ，AB=50m ；据勾股定理可得：BC 2=AB 2-AC 2=502-302=402，所以BC=40(m)，所以小汽车的速度为v=40÷2=20(m/s)=20×3.6(km/h)=72(km/h).因为72km/h>70km/h ，所以这辆小汽车超速了.14.【解析】由折叠可知△ADE 和△AFE 关于AE 成轴对称，故AF=AD ，EF=DE=DC-CE=8-3=5(cm)，所以CF=4cm.设BF=xcm ，则AF=AD=BC=(x+4)cm.在Rt △ABF 中，由勾股定理，得82+x 2=(x+4)2.解得x=6，故BC=10cm. 所以阴影部分的面积为：10×8-2S △ADE =80-50=30cm 2.15.【解析】根据题意，如图所示，可能最短路径有三种情况：(1)沿AA ′，A ′C ′，C ′B ′，B ′B ，BC ，CA 剪开，得图(1)AB ′2=AB 2+BB ′2=(2+1)2+42=25；(2)沿AC ，CC ′，C ′B ′，B ′D ′，D ′A ′，A ′A 剪开，得图(2)AB ′2=AC 2+B ′C 2=22+(4+1)2=4+25=29；(3)沿AD ，DD ′，B ′D ′，C ′B ′，C ′A ′，AA ′剪开，得图(3)AB ′2=AD 2+B ′D 2=12+(4+2)2=1+36=37；综上所述，最短路径应为图(1)所示，且最短路程为5cm.16.【解析】如图，当点P 运动到PA 与腰AC垂直时，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则BD=4.在Rt △ABD 中，易知AD=3cm ，设PD=xcm ，在Rt △APD 中，PA 2=x 2+9，在Rt △PAC 中，PC 2=x 2+9+25，PC=x+4，所以x=94，所以BP=BD-PD=4-94=74(cm)，所以740.25=7(s).所以此时点P 运动的时间为7秒.当P 点运动到PA 与腰AB 垂直时，同理可得BP=254cm ，此时点P 运动的时间为25s.故当点P 运动到PA 与腰垂直的位置时，点P运动的时间应为7s或25s.。
初中数学鲁教版(五四制)七年级上册第三章 勾股定理2 一定是直角三角形吗-章节测试习题(2)
章节测试题1.【答题】已知下列几组数：①6，8，10；②7，24，25；③9，12，15；④n2-1，2n，n2+1（n是大于1的整数）．其中是勾股数的有（）A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组【答案】D【分析】【解答】2.【答题】有五根小木棒，其长度分别为7，15，20，25，24．现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【分析】【解答】3.【答题】在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则下列说法中错误的是（）A. 如果∠C-∠B=∠A，那么△ABC是直角三角形，且∠C=90°B. 如果c2=a2-b2，那么△ABC是直角三角形，且∠C=90°C. 如果（c+a）（c-a）＝b2，那么△ABC是直角三角形，且∠C=90°D. 如果∠A：∠B：∠C=3：2：5，那么△ABC是直角三角形，且∠C=90°【答案】B【分析】【解答】4.【题文】例1 如图，已知等腰三角形ABC的底边BC=20cm，D是腰AB上一点，且CD=16cm，BD=12cm．（1）求证：CD⊥AB；（2）求该三角形的腰的长度．【答案】见解答.【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．（1）依据勾股定理的逆定理可得到∠BDC=90°，从而得到CD⊥AB．（2）设腰长为x，则AD＝x-12．由（1）可知AD2+CD2=AC2，解方程（x-12）2+162＝x2，即可得到腰长．【解答】（1）∵BC=20cm，CD=16cm，BD=12cm，∴BD2+CD2＝BC2．根据勾股定理的逆定理可知∠BDC=90°，即CD⊥AB．（2）设腰长为x，则AD＝x-12．由（1）可知AD2+CD2=AC2，即（x-12）2+162=x2，解得．∴腰长为cm．5.【题文】例2 如图，△ABC中，D是BC上的一点，已知AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求△ABC的面积．【答案】84.【分析】此题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理，关键是利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形，根据AB=10，BD=6，AD=8，利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形，再利用勾股定理求出CD的长，然后利用三角形面积公式即可得出答案．【解答】∵BD2+AD2=62+82＝102=AB2，∴△ABD是直角三角形，∴AD⊥BC．在Rt△ACD中，CD2=AC2-AD2=172-82=152，∴CD=15，∴．因此△ABC的面积为84．6.【答题】若△ABC的三边长分别为5，12，13，则△ABC的面积是（）A. 30B. 40C. 50D. 60【答案】A【分析】【解答】7.【答题】某住宅小区有一块草坪，形状如图所示．已知AB=3m，BC=4m，CD=12m，DA=13m，且AB⊥BC，则这块草坪的面积是（）A. 24m2B. 36m2C. 48m2D. 72m2【答案】B【分析】【解答】8.【答题】下列四组数中，不是勾股数的是（）A. a=15，b=8，c=17B. a=9，b=12，c=15C. a＝7，b=24，c=25D. a=3，b=5，c=7【答案】D【分析】【解答】9.【答题】如图，已知∠ADC=90°，AD=8m，CD=6m，BC=24m，AB=26m，则图中阴影部分的面积为______m2．【答案】96【分析】【解答】10.【答题】已知△ABC中∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b和c．下面给出了五组条件：①∠A：∠B：∠C=1：2：3；②a：b：c=3：4：5；③2∠A＝∠B+∠C；④a2-b2=c2；⑤a=6，b=8，c＝13．其中能独立判定△ABC是直角三角形的是______．（请写出所有正确的序号）【答案】①②④【分析】【解答】11.【题文】如图，在△ABC中，AB=9，AC=12，BC=15，求BC边上的高AD．【答案】【分析】【解答】∵AB2+AC2=225=BC2，∴△ABC是直角三角形．∴AB×AC=BC×AD，∴AD=7.2．12.【题文】如图，在△ABC中，AB=17cm，AC=8cm，BC=15cm．将AC沿AE折叠，使得点C与AB上的点D重合．（1）证明：△ABC是直角三角形；（2）求△AEB的面积．【答案】【分析】【解答】（1）∵AC2+BC2=82+152=289，AB2=289．∴AC2+BC2=AB2．∴△ABC是直角三角形．（2）由翻折的性质可知EC=DE，AC=AD=8cm，∠ADE=∠C=∠BDE=90°．设EC=DE=x cm，在Rt△BDE中，∵DE2+BD2=BE2，∴x2+92=（15-x）2，解得．∴，∴．13.【题文】如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，DE是BC的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，AF⊥BC于点F．（1）若∠BAC=90°，求AE的长；（2）若DF=1.4，求证：△ABC为直角三角形．【答案】【分析】【解答】（1）如图，连接CE．设AE=x，∵AB=8．∴BE=8-x．∵DE是BC的垂直平分线，∴CE=BE=8-x．∵∠BAC=90°，AC=6．∴x2+62=（8-x）2，∴，即．（2）证明：设BD=y，则CD=y．∵DF=1.4，∴BF=y+1.4，CF=y-1.4．∵AF⊥BC，∴AB2-BF2=AC2-CF2=AF2．∴82-（y+1.4）2=62-（y-1.4）2，∴y=5，∴BC=10．∵62+82=102．∴△ABC为直角三角形．14.【题文】如图，在△ABC中，D是BC的中点，点M，N分别在AB，AC上，且∠MDN＝90°，延长MD到点E，使MD=DE，连接CE，EN，已知BM2+CN2＝DM2+DN2．（1）求证：MN=EN；（2）求证：△ABC为直角三角形．【答案】【分析】【解答】（1）∵MD=DE，∠MDN=90°，∴ND垂直平分ME，∴MN=NE（2）∵D是BC的中点，∴BD=CD．在△BDM和△CDE中，∴△BDM≌△CDE，∴BM=CE，∠B=∠DCE．∵BM2+CN2=DM2+DN2，DM2+DN2=MN2=NE2，∴CE2+CN2=EN2，∴∠NCE=90°．∴∠B+∠ACB=∠ACB+∠BCE=90°．∴∠A=90°，∴△ABC为直角三角形．15.【答题】如果三角形的三边长a，b，c满足______，那么这个三角形是直角三角形．其中，边长为______的边所对的角是直角．【答案】【解答】16.【答题】满足a2+b2=c2的三个正整数，称为______数．请在下面的横线上任意写出四组勾股数：______．【答案】【分析】【解答】17.【答题】下列条件中，不能判断一个三角形为直角三角形的是（）A. 三个角的比是1：2：3B. 三条边满足关系a2=c2-b2C. 三条边的比是2：3：4D. 三个角满足关系∠B+∠C=∠A【答案】C【分析】【解答】18.【答题】三角形的两边长为5和4，要使它成为直角三角形，则第三边长的平方为______．【答案】9或41【分析】19.【答题】小白兔每跳一次为1m，先沿直线跳12次后左拐，再沿直线向前跳5次后左拐，最后沿直线向前跳13次正好回到原来的地方，则小白兔第一次左拐的角度是______．【答案】90°【分析】【解答】20.【题文】如图，正方形网格中有△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识判断△ABC是什么形状，并说明理由．【答案】【分析】【解答】如图，在Rt△ABF中，AB2=33+22=13．在Rt△AEC中，AC2=82+12=65．在Rt△BDC中，BC2=62+4=52，所以AB2+BC2=AC2，所以△ABC是直角三角形．。
勾股定理测试题及答案
勾股定理测试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 直角三角形的两直角边长分别为3和4，斜边长为______。
A. 5B. 6C. 7D. 82. 如果一个三角形的三边长分别为3，4，5，那么这个三角形是______。
A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 不是三角形3. 一个三角形的两边长分别为5和12，斜边长为13，那么这个三角形是______。
A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 其他三角形4. 直角三角形的斜边长为10，一条直角边长为6，另一条直角边长为______。
A. 4B. 6C. 8D. 105. 如果一个三角形的三边长满足勾股定理，那么这个三角形一定是______。
A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 锐角三角形二、填空题（每题2分，共10分）6. 若直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则a² + b²= ______。
7. 已知直角三角形的一条直角边长为9，斜边长为10，另一条直角边长为 ______。
8. 如果一个三角形的三边长分别为6，8和10，那么这个三角形是______ 。
9. 直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为 ______ 。
10. 如果一个三角形的三边长分别为7，24和25，那么这个三角形是______ 。
三、解答题（每题5分，共10分）11. 已知直角三角形的两条直角边分别为5和12，求斜边的长度。
12. 一个三角形的三边长分别为7，24和25，判断这个三角形是否为直角三角形，并说明理由。
四、证明题（每题10分，共20分）13. 证明：如果一个三角形的三边长分别为a，b和c，且满足a² + b² = c²，那么这个三角形是直角三角形。
14. 证明：在一个直角三角形中，斜边是最长边。
答案：1. A2. A3. A4. C5. A6. c²7. 78. 直角三角形9. 510. 直角三角形11. 斜边长度为1312. 是直角三角形，因为7² + 24² = 25²13. 证明略14. 证明略。
鲁教版七年级数学上册《第三章勾股定理》单元检测卷(附带答案)
鲁教版七年级数学上册《第三章勾股定理》单元检测卷(附带答案)一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分) 1．已知12x y x=-，则232x xy y y xy x --=--（ ） A ．13- B ．-7 C ．73- D ．-52．随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速60km /h ，动车提速后行驶480km 与提速前行驶360km 所用的时间相同．设动车提速后的平均速度为x km /h ，则下列方程正确的是（ ）A ．36048060x x =+ B ．36048060x x =- C ．36048060x x =- D ．36048060x x=+ 3．如果把分式232x y x y +-中的x ，y 都扩大2倍，那么分式的值（ ） A ．不变 B ．扩大2倍 C ．缩小12 D ．扩大4倍4．下列由三条线段a 、b 和c 构成的三角形：①1a =，3b =和10c =；①3a k =，4b k =和5(0)c k k =>；①::1:3:2a b c =；①21a m =+，21b m =-和2c m =（m 为大于1的整数）；其中能构成直角三角形的是（ ）A ．①①B ．①①①C ．①①①D ．①①①5．下列三个数中，能组成一组勾股数的是（ ） A ．3和4，5 B ．32，42，52 C ．13和14，15 D ．12，15，96．如图，已知点D 是等边三角形ABC 中BC 的中点，BC ＝2，点E 是AC 边上的动点，则BE ＋ED 的和最小值为（ ）A ．5B ．7C ．3D ．31+7．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10，后又向东北方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多少？设甲、乙二人从出发到相遇的时间为x，根据题意，可列方程正确的是（）9．如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，大正方形面积为S1，小正方形面积为S2，则（a+b）2可以表示为（）A．S1﹣S2B．S1+S2C．2S1﹣S2D．S1+2S210．如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一些蜂蜜，此时一只蚂蚁正好也在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，那么蚂蚁要吃到甜甜的蜂蜜所爬行的最短距离是（）A．13B．14C．15D．1611．如图，一棵大树在离地面6米高的B处断裂，树顶A落在离树底部C的8米处，则大树数断裂之前的高度为（）A．16米B．15米C．24米D．21米12．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Min{a，b}表示a、b中的较小的值，如Min{2，4}＝2，按照这个规定，方程Min{1x，2x}＝3x－1的解为（）A．1B．2C．1或2D．1或－2二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分)13．如图，B船位于A船正东方向5 km处．现在A船以2 km/h的速度朝正北方向行驶，同时B船以1 km/h的速度朝正西方向行驶，当两船相距最近时，行驶了h．14．一个长方体的盒子长为4cm，宽为3cm，高为12cm，在里面放一根木条，那么木条最长可以是cm．15．云南省是我国乃至世界公认的竹类种质资源大省如图，有一根由于受虫伤而被风吹折断的竹子正好顶端着地，折断处离地面的高度为3米竹子的顶端落在离竹子根部距离4米处，则这根竹子原来的高度为米．2且ABC的面积等于2三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分)21．先化简，再求值：22441(1)1-+÷---x xx x x；其中2x=．22．阳光小区计划对面积为21200m的区域进行停车位改造，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成改造的面积是乙队每天能完成改造面积的2倍，如果两队各自独立完成面积为2400m区域的改造时，甲队比乙队少用4天．（1）求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的改造；（2）若甲队每天改造费用是1.2万元，乙队每天改造费用为0.5万元，社区要使这次改造的总费用不超过13万元，则至少应安排乙工程队改造多少天？23．在我市开展“五城联创”活动中，某工程队承担了某小区900米长的污水管道改造任务．工程队在改造完360米管道后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了20%，结果共用27天完成了任务，问引进新设备前工程队每天改造管道多少米？24．（1）112 326a ba b ab++-．（2）111aa-++．（3）2224411121x x xx x x x-++⋅+---．25．请用两种方法证明；①ABC中，若①C＝90°，则a2+b2＝c2．参考答案：。
初中数学鲁教版七年级上册第三章勾股定理测试题-普通用卷
初中数学鲁教版七年级上册第三章勾股定理测试题一、选择题1. 已知三角形三边的长分别为3、2、√5，则该三角形的形状是( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法确定2. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( )A. 5，11，12B. 3，4，5C. 4，6，8D. 6，12，133. 已知△ABC 的三边为a ，b ，c ，下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的是( )A. a =7，b =24，c =25B. a =√41，b =4，c =5C. a =54，b =1，c =34D. a =40，b =50，c =60；4. 如图，已知圆柱的底面直径BC =6π，高AB =3，小虫在圆柱表面爬行，从C 点爬到A 点，然后再沿另一面爬回C 点，则小虫爬行的最短路程为( )A. 3√2B. 3√5C. 6√5D. 6√25. 如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块(可重复选取)按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是( )A. 1，4，5B. 2，3，5C. 3，4，5D. 2，2，46. 下列各组数据不是勾股数的是( )A. 2，3，4B. 3，4，5C. 5，12，13D. 6，8，107. 如图，正方体的棱长为4cm ，A 是正方体的一个顶点，B 是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A 爬到点B 的最短路径是( )A. 9B. 3√2+6C. 2√10D. 128. 如图，一个长方体的长宽高分别是6米、3米、2米，一只蚂蚁沿长方体的表面从点A 到点C′所经过的最短路线长为( )A. √85B. √73C. √61D. 以上都不对9.《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读kǔn，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺=10寸)，则AB的长是()A. 50.5寸B. 52C. 101寸D. 104寸10.如图，一根长5米的竹竿AB斜靠在竖直的墙上，这时AO为4米，若竹竿的顶端A沿墙下滑2米至C处，则竹竿底端B外移的距离BD()A. 小于2米B. 等于2米C. 大于2米D. 以上都不对11.一根长18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中且靠杯底放置，若牙刷露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是()A. 5<ℎ≤6B. 6<ℎ≤7C. 5≤ℎ≤6D. 5≤ℎ≤612.如图，高速公路上有A、B两点相距10km，C、D为两村庄，已知DA=4km，CB=6km.DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则EA的长是()kmA. 4B. 5C. 6D. √2013.如图所示，已知圆柱的底面周长为12，高AB=3，P点位于圆周顶面1处，小虫在圆柱侧面爬行，从A点爬到P点，然后再爬3回C点，则小虫爬行的最短路程为()A. 6√2B. 10C. 5+√13D. 5+√7314.如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面30cm.突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为60cm，则水深是()cm．A. 35B. 40C. 50D. 45二、填空题15.如图，以△ABC的三边为斜边，向外作等腰直角三角形，其面积分别是S1，S2，S3，且S1=25，S2=16，当S3=______时，∠ACB=90°．16.与5、13组成勾股数的第三个数有______个．17.如图，长方体的长为15厘米，宽为10厘米，高为20厘米，点B到点C的距离是5厘米．一只小虫在长方体表面从A爬到B的最短路程是______．18.如图，将一根长为8cm(AB=8cm)的橡皮筋水平放置在桌面上，固定两端A和B，然后把中点C竖直地向上拉升3cm至D点，则拉长后橡皮筋的长度为______cm．19.“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为______尺．三、计算题20.张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：n2345…a22−132−142−152−1…b46810…c22+132+142+152+1…(1)请你分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含自然数n(n>1)的代数式表示；(2)猜想：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？请证明你的猜想．21.如图所示，某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道a上确定点D，使CD⊥a，测得CD=42米，在a上点D的同侧取点A、B，使∠CAD=30°，∠CBD=45°．(1)求AB的长(结果保留根号)；(2)已知本路段对汽车限速为60千米/小时，若测得某汽车从A到B用时2秒，这辆汽车是否超速？说明理由．(参考数据：√3=1.73)22.“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时．一辆“小汽车”在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方50米C处，过了6秒后，测得“小汽车”位置B与“车速检测仪A”之间的距离为130米，这辆“小汽车”超速了吗？请说明理由．四、解答题23.如图，一架2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直墙AO上，这时AO为2.4m．(1)求OB的长度；(2)如果梯子底端B沿地面向外移动0.8m到达点C，那么梯子顶端A下移多少m？24.如图，杂技团演员在圆柱形场地表演荡秋千节目，小丑甲在A处坐上秋千，小丑乙在离秋千5m的B处保护(即BD=5m)．(1)当甲荡至乙处时，乙发现甲升高了1m，于是他就算出了秋千绳索的长度，你知道他是怎么算的吗？请你试一试．(2)为了保证表演的安全性，要求秋千最大幅度的张角不能超过45°(张角指的是秋千绳索和铅垂方向的夹角)，在(1)小题绳索长度不变的情况下，那么圆柱形场地的底面直径至少应该是多少米？答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵22+(√5)2=32， ∴该三角形是直角三角形， 故选：B ．两小边的平方和等于最长边的平方，即可由勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形． 本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．2.【答案】B【解析】 【分析】此题考查勾股定理逆定理的运用，属于基础题．根据勾股定理的逆定理进行判断，如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形． 【解答】解：A 、因为52+112≠122，所以三条线段不能组成直角三角形； B 、因为32+42=52，所以三条线段能组成直角三角形； C 、因为42+62≠82，所以三条线段不能组成直角三角形； D 、因为62+122≠132，所以三条线段不能组成直角三角形． 故选B ．3.【答案】D【解析】解：A 、∵72+242=252，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故选项不符合题意；B 、∵42+52=(√41)2，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故选项不符合题意；C 、∵(34)2+12=(54)2，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故选项不符合题意；D、∵402+502≠602，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故选项符合题意；故选：D．根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．4.【答案】D【解析】解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A、C的最短距离为线段AC的长．在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD为底面半圆弧长，AD=3，所以AC=3√2，∴从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为2AC=6√2，故选：D．要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．本题考查了平面展开−最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答．5.【答案】B【解析】解：当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，围成的直角三角形的面积是√1×√42=√42，当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的直角三角形的面积是√2×√32=√62；当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形；当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，围成的直角三角形的面积是√2×√22=√42，∵√62>√42，∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2，3，5，故选：B．根据题意可知，三块三角形的面积中，两个较小的面积之和等于最大的面积，再根据三角形的面积，分别计算出各个选项中围成的直角三角形的面积，比较大小，即可解答本题．本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．6.【答案】A【解析】解：A、12+32≠42 ，不能构成直角三角形，所以不是勾股数，故符合题意；B、32+42=52，能构成直角三角形，所以是勾股数，故不符合题意；C、52+122=132，能构成直角三角形，所以是勾股数，故不符合题意；D、62+82=102，能构成直角三角形，所以是勾股数，故不符合题意；故选：A．欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2= c2，则△ABC是直角三角形．7.【答案】C【解析】解：如图，AB=√(2+4)2+22=2√10，故选：C．将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可．本题考查了最短路径问题，勾股定理，解题的关键是将平面展开，组成一个直角三角形．8.【答案】C【解析】【分析】此题考查平面的最短路径问题，关键是把长方体拉平后用了勾股定理求出对角线的长度．蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视(或正视和侧视，或俯视和侧视)二个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短的途径．【解答】解：如图所示，路径一：AC′=√92+22=√85；路径二：AC′=√62+52=√61；路径三：AC′=√32+82=√73；∵61<73<85，∴√61为最短路径．故选：C．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：过D作DE⊥AB于E，如图2所示：由题意得：OA=OB=AD=BC，设OA=OB=AD=BC=r，CD=1，AE=r−1，则AB=2r，DE=10，OE=12在Rt△ADE中，AE2+DE2=AD2，即(r−1)2+102=r2，解得：r=50.5，∴2r=101(寸)，∴AB=101寸，故选：C．10.【答案】A【解析】解：由题意得：在Rt△AOB中，OA=4米，AB=5米，∴OB=√AB2−OA2=3米，在Rt△COD中，OC=2米，CD=5米，∴OD=√CD2−OC2=√21米，∴BD=OD−OB=(√21−3)≈1.58(米)．故选：A．要求下滑的距离，显然需要分别放到两个直角三角形中，运用勾股定理求得BO和DO 的长即可．本题考查了勾股定理的应用，注意此题中竹竿的长度是不变的．熟练运用勾股定理是解题的关键．11.【答案】C【解析】解：∵将一根长为18cm的牙刷，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，∴在杯子中牙刷最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度，∴当杯子中牙刷最短是等于杯子的高时，x=12，最长时等于牙刷斜边长度是：x=√122+52=13，∴ℎ的取值范围是：18−13≤ℎ≤18−12，即5≤ℎ≤6．故选：C．根据杯子内牙刷的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案．此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内牙刷的取值范围是解决问题的关键．12.【答案】C【解析】解：设BE=x，则AE=(10−x)km，由勾股定理得：在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2=42+(10−x)2，在Rt△BCE中，CE2=BC2+BE2=62+x2，由题意可知：DE=CE，所以：62+x2=42+(10−x)2，解得：x=4km．所以，EB的长是4km．所以，EA=10−4=6(km)．故选：C．根据题意设出BE的长为xkm，再由勾股定理列出方程求解即可．本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是本题的关键．13.【答案】C【解析】解：如图，小虫爬行的最短路程=AP+PC=√32+42+√22+32=5+√13，故选：C．先将图形展开，再根据两点之间线段最短，由勾股定理可得出．此题主要考查了平面展开图最短路径问题，此矩形的长等于圆柱底面周长，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．14.【答案】D【解析】解：红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即AC为红莲的长．设水深h尺，由题意得：Rt△ABC中，AB=ℎ，AC=ℎ+30，BC=60，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2，即(ℎ+30)2=ℎ2+602，解得：ℎ=45．故选：D．仔细分析该题，可画出草图，关键是水深、红莲移动的水平距离及红莲的高度构成一直角三角形，解此直角三角形即可．本题考查正确运用勾股定理，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．15.【答案】9【解析】解：当∠ACB=90°时，以△ABC的三边为斜边，向外作等腰直角三角形，可得：S3+S2=S1，∴S3=25−16=9，故答案为：9根据勾股定理的逆定理解答即可．本题主要考查了等腰直角三角形及勾股定理，解题的关键是求出S1，S2，S3式子．16.【答案】1【解析】解：当5，13为两条直角边时，则斜边为：√52+132=√194，∵√194不是整数，故5，13，√194不是勾股数；当13为斜边时，则另一条直角边是：√132−52=12，故5，12，13是勾股数，故答案为：1．根据勾股定理和勾股数的定义，可以得到第三个数，然后即可得到与5、13组成勾股数的第三个数有几个．本题考查勾股数，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理解答．17.【答案】25厘米【解析】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图：∵长方体的宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=10+5=15cm，AD=20cm，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB=√AD2+BD2=√152+202=25cm；只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：∵长方体的宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=20+5=25cm，AD=10cm，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB=√AD2+BD2=√102+252=5√29cm；只要把长方体的右侧表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：∵长方体的宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离是5cm，∴AC=CD+AD=20+10=30cm，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：∴AB=√AC2+BC2=√302+52=5√37cm；∵25<5√29<5√37，∴自A至B在长方体表面的连线距离最短是25cm．故答案为：25厘米求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．此题主要考查平面展开图的最短距离，注意长方体展开图的不同情况，正确利用勾股定理解决问题．18.【答案】10AB=4cm，CD=3cm；【解析】解：Rt△ACD中，AC=12根据勾股定理，得：AD=√AC2+CD2=5cm；同理可得BD=5cm，∴AD+BD=10cm；故拉长后橡皮筋的长度为10cm．故答案为：10．根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD即为橡皮筋拉长后的距离．此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用．在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．19.【答案】4.2【解析】解：设折断处离地面的高度OA是x尺，根据题意可得：x2+42=(10−x)2，解得：x=4.2，答：折断处离地面的高度OA是4.2尺．故答案为：4.2．根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可．此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．20.【答案】解：(1)由图表可以得出：∵n=2时，a=22−1，b=4，c=22+1，n=3时，a=32−1，b=2×3，c=32+1，n=4时，a=42−1，b=2×4，c=42+1，…∴a=n2−1，b=2n，c=n2+1．(2)a、b、c为边的三角形时：∵a2+b2=(n2−1)2+4n2=n4+2n2+1，c2=(n2+1)2=n4+2n2+1，∴a2+b2=c2，∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形．【解析】(1)利用图表可以发现a，b，c与n的关系，a与c正好是n2，加减1，即可得出答案；(2)利用完全平方公式计算出a2+b2的值，以及c2的值，再利用勾股定理逆定理即可求出．此题主要考查了勾股定理逆定理与数字的变化规律等知识，利用图表之间的变化得出a、b、c与n之间的关系是解决问题的关键．21.【答案】解：(1)在Rt△ACD中，CD=42米，∠CAD=30°，∴AD=CDcot∠CAD=42√3米，在在Rt△BCD中，CD=42米，∠CBD=45°，∴AD=CDcot∠CBD=42米，∴AB=AD−BD=42(√3−1)米；(2)汽车行驶车速=42(√3−1)2=21(√3−1)m/s≈55.19km/ℎ，∵55.19<60，∴这辆车没有超速．【解析】(1)在Rt△ACD中求出AD，在Rt△BCD中求出BD，继而可得出AB的长度；(2)根据速度=路程÷时间，求出速度，继而比较可判断是否超速．本题考查了勾股定理的应用及直角三角形的应用，解答本题的关键是仔细审题，熟练掌握锐角三角函数的定义．22.【答案】解：由题意知，AB=130米，AC=50米，且在Rt△ABC中，AB是斜边，根据勾股定理AB2=BC2+AC2，可以求得：BC=120米=0.12千米，且6秒=63600时，所以速度为0.1263600=72千米/时，故该小汽车超速．答：该小汽车超速了，平均速度大于70千米/时．【解析】由题意知，△ABC为直角三角形，且AB是斜边，已知AB，AC根据勾股定理可以求BC，根据BC的长度和时间可以求小汽车在BC路程中的速度，若速度大于70千米/时，则小汽车超速；若速度小于70千米/时，则小汽车没有超速．本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中准确的求出BC的长度，并计算小汽车的行驶速度是解题的关键．23.【答案】解：(1)在Rt△AOB中，OB=√AB2−AO2=√(52)2−(125)2=0.7(m)； (2)设梯子的A 端下滑到D ，如图，∵OC =0.7+0.8=1.5，∴在Rt △OCD 中，OD =√CD 2−OC 2=√(52)2−(32)2=2(m)， ∴AD =OA −OD =125−2=0.4，∴梯子顶端A 下移0.4m ．【解析】(1)根据勾股定理即可得到结论；(2)设梯子的A 端下滑到D ，如图，求得OC =0.7+0.8=1.5，根据勾股定理即可得到结论．本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是两次运用勾股定理，注意掌握勾股定理的表达式．24.【答案】解：(1)如图，连接AB.设OA =OB =xm ．在Rt △ODB 中，∵OB 2=OD 2+BD 2，∴x 2=(x −1)2+52，∴x =13，答：秋千绳索的长度为13m ．(2)由题意，在Rt △OBD 中，∠ODB =90°，OB =13，∠DOB =45°，∴∠DOB =∠DBO =45°，∴BD =OD =OB√2=13√22(m)， ∵OC =OB ，OD ⊥AB ，∴CD =DB ，∴BC =13√2(m)，答：圆柱形场地的底面直径至少应该是13√2m.【解析】(1)如图，连接AB.设OA =OB =xm.在Rt △ODB 中，根据OB 2=OD 2+BD 2，构建方程即可解决问题．(2)由题意，△ODB 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，求出BD 即可解决问题．本题考查勾股定理的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．。
勾股定理测试题
第十七章 勾股定理17.1 勾股定理一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．一个直角三角形有两条边长分别为6和8，则它的第三条边长可能是 A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】C2．Rt △ABC 中，斜边BC =2，则AB 2+AC 2+BC 2的值为 A ．8B ．4C ．6D ．无法计算【答案】A【解析】利用勾股定理，由Rt △ABC 中，BC 为斜边，可得AB 2+AC 2=BC 2，代入数据可得 AB 2+AC 2+BC 2=2BC 2=2×22=8．故选A ．3．如图，在四边形ABCD 中，∠BAD =90°，∠DBC =90°，AD =4，AB =3，BC =12，则CD 为A ．5B ．13C ．17D ．18【答案】B【解析】∵∠BAD =90°，∴△ADB 是直角三角形，∴BD =22AD AB +=2234+=5，∵∠DBC =90°，∴△DBC 是直角三角形，∴CD =22BD BC +=22512+=13，故选B ．4．如图的三角形纸片中，AB =8，BC =6，AC =5，沿过点B 的直线折叠这个三角形，使点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为BD ，则△AED 的周长是A ．7B ．8C ．11D ．14【答案】A5．如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为2和10，则b 的面积为A ．8B ．10+2 C ．23D ．12【答案】D【解析】如图，∵a 、b 、c 都为正方形，∴BC =BF ，∠CBF =90°，AC 2=2，DF 2=10，∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，在△ABC 和△DFB 中， 13BAC FDBBC BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DFB ，∴AB =DF ，在△ABC 中，BC2=AC 2+AB 2=AC 2+DF 2=2+10=12，∴b 的面积为12．故选D ．6．如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面8 m ，树的顶端离树根6 m ，则这棵树在折断之前的高度是A ．18 mB ．10 mC ．14 mD ．24 m【答案】A【解析】∵BC=8 m，AC=6 m，∠C=90º，∴AB=22228610BC AC+=+=m，∴树高10+8=18 m．故选A．7．如图，盒内长、宽、高分别是6 cm、3 cm、2 cm，盒内可放木棒最长的长度是A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm【答案】B8．如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为A．45B．85C．165D．245【答案】C【解析】S△ABC=12×BC×AE=12×BD×AC，∵AE=4，AC=2243+=5，BC=4，即12×4×4=12×5×BD，解得BD=165．故选C．二、填空题：请将答案填在题中横线上．9．已知在△ABC中，AB=9，AC=10，BC=17，那么边AB上的高等于__________．【答案】8【解析】如图，作CD⊥AB交AB的延长线于D点，设CD=x，AD=y，在直角△ADC中，AC2=x2+y2，在直角△BDC中，BC2=x2+（y+AB）2，解方程得y=6，x=8，即CD=8，∵CD即AB边上的高，∴AB边上的高等于8．故答案为：8．10．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，现分别以A、B为圆心，大于12AB长为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，分别交AB、BC于点D、E，则CE的长为__________．【答案】7 411．如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，点M、N在边BC上，且∠MAN=60°．若BM=2，CN=4，则MN的长为__________．【答案】23【解析】∵∠BAC =120°，AB =AC ，∴△ABM 绕点A 逆时针旋转120°至△APC ，如图，连接PN ，∴△ABM ≌△ACP ，∴∠B =∠ACP =30°，PC =BM =2，∠BAM =∠CAP ，∴∠NCP =60°，∴∠CPD =30°． ∵∠MAN =60°，∴∠BAM +∠NAC =∠NAC +∠CAP=60°=∠MAN ，∵AM =AP ，AN =AN ，∴△MAN ≌△PAN ， ∴MN =PN ，过点P 作BC 的垂线，垂足为D ，∴CD =12PC =1，DN =CN -CD =4-1=3，∴PD =3， ∴PN =22PD DN +=22(3)3+=23，∴MN =PN =23．故答案为：23．12．如图，△ABC 中，∠A =90°，AB =3，AC =6，点D 是AC 边的中点，点P 是BC 边上一点，若△BDP 为等腰三角形，则线段BP 的长度等于__________．【答案】32或5在△BDC 中，设BH =x 2222(32)3(35)x x =-，解得：5x =在△BDH 中，229(32)()55DH =-=， 在△PDH 中，设PH =y ，则BP =PD =5y -，由勾股定理得222()()55y y -+=，解得：5y =． ③当BP 为底时，则BD =PD =32，而当P 点与C 点重合时，PD =3，且点P 是BC 边上一点，不是延上长线上的，所以不存在．故答案为：32或5． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13．已知：四边形ABCD 中，BD 、AC 相交于O ，且BD 垂直AC ，求证：2222AB CD AD BC +=+．14．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米？若楼梯宽2米，地毯每平方米30元，那么这块地毯需花多少元？【解析】在Rt ABC △中，224AC AB BC =-=米，故可得地毯长度=AC +BC =7米， ∵楼梯宽2米，∴地毯的面积=14平方米，故这块地毯需花14×30=420元．答：地毯的长度需要7米，需要花费420元．15．如图，在一棵树（AD）的10 m高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20m的池塘C处，而另一只则爬到树顶D后直扑池塘，如果两只猴子经过的路程相等，那么这棵树有多高？16．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320 km的B处，以每小时40 km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200 km的范围内是受台风影响的区域．（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？【解析】（1）如图，由A点向BF作垂线，垂足为C，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=320 km，则AC=160 km，因为160<200，所以A城要受台风影响．人教版七年级上册期末测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．某天的最高气温是8℃，最低气温是－3℃，那么这天的温差是() A．－3℃B．8℃C．－8℃D．11℃2．下列立体图形中，从上面看能得到正方形的是()3．下列方程是一元一次方程的是()A．x－y＝6 B．x－2＝xC．x2＋3x＝1 D．1＋x＝34．今年某市约有108 000名应届初中毕业生参加中考，108 000用科学记数法表示为()A．0.108×106B．10.8×104C．1.08×106D．1.08×105 5．下列计算正确的是()A．3x2－x2＝3 B．3a2＋2a3＝5a5C．3＋x＝3x D．－0.25ab＋14ba＝06．已知ax＝ay，下列各式中一定成立的是()A．x＝y B．ax＋1＝ay－1C．ax＝－ay D．3－ax＝3－ay7．某商品每件标价为150元，若按标价打8折后，再降价10元销售，仍获利10%，则该商品每件的进价为()A．100元B．105元C．110元D．120元8．如果一个角的余角是50°，那么这个角的补角的度数是()A．130°B．40°C．90°D．140°9．如图，C，D是线段AB上的两点，点E是AC的中点，点F是BD的中点，EF＝m，CD ＝n，则AB的长是()A．m－n B．m＋nC．2m－n D．2m＋n10．下列结论：①若a＋b＋c＝0，且abc≠0，则a＋c2b＝－12；②若a＋b＋c＝0，且a≠0，则x＝1一定是方程ax＋b＋c＝0的解；③若a＋b＋c＝0，且abc≠0，则abc＞0；④若|a|>|b|，则a－ba＋b>0.其中正确的结论是()A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④二、填空题(每题3分，共24分)11．－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23的相反数是________，－15的倒数的绝对值是________．12．若－13xy 3与2x m －2y n ＋5是同类项，则n m ＝________.13．若关于x 的方程2x ＋a ＝1与方程3x －1＝2x ＋2的解相同，则a 的值为________． 14．一个角的余角为70°28′47″，那么这个角等于____________．15．下列说法：①两点确定一条直线；②两点之间，线段最短；③若∠AOC ＝12∠AOB ，则射线OC 是∠AOB 的平分线；④连接两点之间的线段叫做这两点间的距离；⑤学校在小明家南偏东25°方向上，则小明家在学校北偏西25°方向上，其中正确的有________个． 16．在某月的月历上，用一个正方形圈出2×2个数，若所圈4个数的和为44，则这4个日期中左上角的日期数值为________．17．规定一种新运算：a △b ＝a ·b －2a －b ＋1，如3△4＝3×4－2×3－4＋1＝3.请比较大小：(－3)△4________4△(－3)(填“>”“＝”或“<”)．18．如图是小明用火柴棒搭的1条“金鱼”、2条“金鱼”、3条“金鱼”……则搭n 条“金鱼”需要火柴棒__________根．三、解答题(19，20题每题8分，21～23题每题6分，26题12分，其余每题10分，共66分) 19．计算：(1)－4＋2×|－3|－(－5)；(2)－3×(－4)＋(－2)3÷(－2)2－(－1)2 018.20．解方程： (1)4－3(2－x )＝5x ；(2)x－22－1＝x＋13－x＋86.21．先化简，再求值：2(x2y＋xy)－3(x2y－xy)－4x2y，其中x＝1，y＝－1.22．有理数b在数轴上对应点的位置如图所示，试化简|1－3b|＋2|2＋b|－|3b－2|.23．如图①是一些小正方体所搭立体图形从上面看得到的图形，方格中的数字表示该位置的小正方体的个数．请在如图②所示的方格纸中分别画出这个立体图形从正面看和从左面看得到的图形．24．已知点O是直线AB上的一点，∠COE＝90°，OF是∠AOE的平分线．(1)当点C，E，F在直线AB的同侧时(如图①所示)，试说明∠BOE＝2∠COF.(2)当点C与点E，F在直线AB的两侧时(如图②所示)，(1)中的结论是否仍然成立？请给出你的结论，并说明理由．25．为鼓励居民节约用电，某市电力公司规定了电费分段计算的方法：每月用电不超过100度，按每度电0.50元计算；每月用电超过100度，超出部分按每度电0.65元计算．设每月用电x度．(1)当0≤x≤100时，电费为________元；当x>100时，电费为____________元．(用含x的整式表示)(2)某用户为了解日用电量，记录了9月前几天的电表读数．日期9月1日9月2日9月3日9月4日9月5日9月6日9月7日电表读123130137145153159165 数/度该用户9月的电费约为多少元？(3)该用户采取了节电措施后，10月平均每度电费0.55元，那么该用户10月用电多少度？26．如图，O为数轴的原点，A，B为数轴上的两点，点A表示的数为－30，点B表示的数为100.(1)A，B两点间的距离是________．(2)若点C也是数轴上的点，点C到点B的距离是点C到原点O的距离的3倍，求点C表示的数．(3)若电子蚂蚁P从点B出发，以6个单位长度/s的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发，以4个单位长度/s的速度向左运动，设两只电子蚂蚁同时运动到了数轴上的点D，那么点D表示的数是多少？(4)若电子蚂蚁P从点B出发，以8个单位长度/s的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发，以4个单位长度/s的速度向右运动．设数轴上的点N到原点O的距离等于点P到原点O的距离的一半(点N在原点右侧)，有下面两个结论：①ON＋AQ的值不变；②ON－AQ的值不变，请判断哪个结论正确，并求出正确结论的值．(第26题)答案一、1.D 2.A 3.D 4.D 5.D 6.D7．A8.D9.C10.B二、11.23；512.－813.－514．19°31′13″15.316.717．>18.(6n＋2)三、19.解：(1)原式＝－4＋2×3＋5＝－4＋6＋5＝7；(2)原式＝12＋(－8)÷4－1＝12－2－1＝9.20．解：(1)去括号，得4－6＋3x＝5x.移项、合并同类项，得－2x＝2.系数化为1，得x＝－1.(2)去分母，得3(x－2)－6＝2(x＋1)－(x＋8)．去括号，得3x－6－6＝2x＋2－x－8.移项、合并同类项，得2x＝6.系数化为1，得x＝3.21．解：原式＝2x2y＋2xy－3x2y＋3xy－4x2y＝(2x2y－3x2y－4x2y)＋(2xy＋3xy)＝－5x2y＋5xy.当x＝1，y＝－1时，原式＝－5x2y＋5xy＝－5×12×(－1)＋5×1×(－1)＝5－5＝0.22．解：由题图可知－3<b<－2.所以1－3b>0，2＋b<0，3b－2<0.所以原式＝1－3b－2(2＋b)＋(3b－2)＝1－3b－4－2b＋3b－2＝－2b－5.23．解：如图所示．24．解：(1)设∠COF＝α，则∠EOF＝90°－α.因为OF 是∠AOE 的平分线，所以∠AOE ＝2∠EOF ＝2(90°－α)＝180°－2α. 所以∠BOE ＝180°－∠AOE ＝180°－(180°－2α)＝2α. 所以∠BOE ＝2∠COF . (2)∠BOE ＝2∠COF 仍成立． 理由：设∠AOC ＝β， 则∠AOE ＝90°－β，又因为OF 是∠AOE 的平分线， 所以∠AOF ＝90°－β2.所以∠BOE ＝180°－∠AOE ＝180°－(90°－β)＝90°＋β，∠COF ＝∠AOF ＋∠AOC ＝90°－β2＋β＝12(90°＋β)． 所以∠BOE ＝2∠COF . 25．解：(1)0.5x ；(0.65x －15) (2)(165－123)÷6×30＝210(度)， 210×0.65－15＝121.5(元)．答：该用户9月的电费约为121.5元． (3)设10月的用电量为a 度． 根据题意，得0.65a －15＝0.55a ， 解得a ＝150.答：该用户10月用电150度． 26．解：(1)130(2)若点C 在原点右边，则点C 表示的数为100÷(3＋1)＝25； 若点C 在原点左边，则点C 表示的数为－[100÷(3－1)]＝－50. 故点C 表示的数为－50或25.(3)设从出发到同时运动到点D 经过的时间为t s ，则6t －4t ＝130， 解得t ＝65.65×4＝260，260＋30＝290， 所以点D 表示的数为－290. (4)ON －AQ 的值不变．设运动时间为m s，则PO＝100＋8m，AQ＝4m. 由题意知N为PO的中点，得ON＝12PO＝50＋4m，所以ON＋AQ＝50＋4m＋4m＝50＋8m，ON－AQ＝50＋4m－4m＝50.故ON－AQ的值不变，这个值为50.。
鲁教版数学七年级上第三章《勾股定理》(含答案及解析)
勾股定理时间：100分钟总分：100题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）1.直角三角形的斜边为20cm，两直角边比为3：4，那这个直角三角形的周长为()A. 27cmB. 30cmC. 40cmD. 48cm2.如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为()A. 8B. 9C. 10D. 113.适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为()①a=3，b=4，c=5；②a=6，∠A=45∘；③a=2，b=2，c=2√2；④∠A=38∘，∠B=52∘．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4.以下列各组数为一个三角形的三边长，能构成直角三角形的是()A. 2，3，4B. 4，6，5C. 14，13，12D. 7，25，245.在直线L上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+2S2+2S3+S4=( )A. 5B. 4C. 6D. 、106.在△ABC中，已知AB=15，AC=13，BC边上的高AD=12，则△ABC的周长为()A. 14B. 42C. 32D. 42或327.△ABC的三边为a、b、c且满足a2(a−b)+b2(a−b)=c2(a−b)，则△ABC是()A. 等腰三角形或直角三角形B. 等腰直角三角形C. 等腰三角形D. 直角三角形8.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90∘，E是AB上一点，且DE⊥CE.若AD=1，BC=2，CD=3，则CE与DE的数量关系正确的是()A. CE=√3DEB. CE=√2DEC. CE=3DED. CE=2DE二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）9.如图，有一块田地的形状和尺寸如图所示，则它的面积为______ ．10.如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要______ 元钱．11.在Rt△ABC中，已知两边长为5、12，则第三边的长为______ ．12.如图，有一个长为50cm，宽为30cm，高为40cm的长方体木箱，一根长70cm的木棍______放入(填“能”或“不能”)．13.如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5cm，BC=6cm，则AD=______cm．14.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD⊥AB于D，若AC=4，BC=3，则AD=______ ．15.如图，在△ABC中，∠A=30∘，∠B=45∘，AC=2，则BC=______ ．三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）16.已知如图，四边形ABCD中，∠B=90∘，AB=4，BC=3，CD=12，AD=13，求这个四边形的面积．17.如图所示，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，求BC的长．18.公园里有一块形如四边形ABCD的草地，测得BC=CD=20米，∠A=45∘，∠B=∠C=120∘，请求出这块草地面积．19.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60∘，∠C=45∘．(1)求∠BAC的度数．(2)若AC=2，求AB的长．四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）20.如图，等腰直角△ABC中，∠ABC=90∘，点P在AC上，将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90∘后得到△CBQ．(1)求∠PCQ的度数；(2)当AB=4，AP：PC=1：3时，求PQ的大小；(3)当点P在线段AC上运动时(P不与A重合)，请写出一个反映PA2，PC2，PB2之间关系的等式，并加以证明．21.如图，Rt△ABC中，∠B=90∘，AB=3cm，BC=4cm.点D在AC上，AD=1cm，点P从点A出发，沿AB匀速运动；点Q从点C出发，沿C→B→A→C的路径匀速运动.两点同时出发，在B点处首次相遇后，点P的运动速度每秒提高了2cm，并沿B→C→A的路径匀速运动；点Q保持速度不变，并继续沿原路径匀速运动，两点在D点处再次相遇后停止运动，设点P原来的速度为xcm/s．(1)点Q的速度为______cm/s(用含x的代数式表示)．(2)求点P原来的速度．答案和解析【答案】1. D2. C3. C4. D5. C6. D7. A8. B9. 2410. 61211. 13或√11912. 能13. 414. 16515. √216. 解：连接AC，如图所示：∵∠B=90∘，∴△ABC为直角三角形，又AB=4，BC=3，∴根据勾股定理得：AC=√AB2+BC2=5，又AD=13，CD=12，∴AD2=132=169，CD2+AC2=122+52=144+25=169，∴CD2+AC2=AD2，∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90∘，则S四边形ABCD =S△ABC+S△ACD=12AB⋅BC+12AC⋅CD=12×3×4+12×12×5=36．17. 解：延长AD到E使AD=DE，连接CE，在△ABD和△ECD中{AD=DE∠ADB=∠EDC BD=DC，∴△ABD≌△ECD，∴AB=CE=5，AD=DE=6，AE=12，在△AEC中，AC=13，AE=12，CE=5，∴AC2=AE2+CE2，∴∠E=90∘，由勾股定理得：CD=√DE2+CE2=√61，∴BC=2CD=2√61，答：BC的长是2√61．18. 解：连接BD，过C作CE⊥BD于E，如图所示：∵BC=DC=20，∠ABC=∠BCD=120∘，∴∠1=∠2=30∘，∴∠ABD=90∘．∴CE=12CD=10，∴BE=10√3，∵∠A=45∘，∴AB=BD=2BE=20√3，∴S四边形ABCD =S△ABD+S△BCD=12AB⋅BD+12BD⋅CE =12×20√3×20√3+12×20√3×10=(600+100√3)m2．19. 解：(1)∠BAC=180∘−60∘−45∘=75∘．(2)∵AC=2，∴AD=AC⋅sin∠C=2×sin45∘=√2；∴AB=ADsin∠B =√2sin60∘=2√63．20. 解：(1)由题意知，△ABP≌△CQB，∴∠A=∠ACB=∠BCQ=45∘，∠ABP=∠CPQ，AP=CQ，PB=BQ，∴∠PCQ=∠ACB+∠BCQ=90∘，∠ABP+∠PBC=∠CPQ+∠PBC=90∘，∴△BPQ是等腰直角三角形，△PCQ是直角三角形．(2)当AB=4，AP：PC=1：3时，有AC=4√2，AP=√2，PC=3√2，∴PQ=√PC2+CQ2=2√5．(3)存在2PB2=PA2+PC2，由于△BPQ是等腰直角三角形，∴PQ=√2PB，∵AP=CQ，∴PQ2=PC2+CQ2=PA2+PC2，故有2PB2=PA2+PC2．21. 43x【解析】1. 解：根据题意设直角边分别为3xcm与4xcm，由斜边为20cm，根据勾股定理得：(3x)2+(4x)2=202，整理得：x2=16，解得：x=4，∴两直角边分别为12cm，16cm，则这个直角三角形的周长为12+16+20=48cm．故选D根据两直角边之比，设出两直角边，再由已知的斜边，利用勾股定理求出两直角边，即可得到三角形的周长．此题考查了勾股定理，利用了方程的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．2. 解：由于a、b、c都是正方形，所以AC=CD，∠ACD=90∘；∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90∘，即∠BAC=∠DCE，在△ABC和△CED中，{∠ABC=∠DEC=90∘∠ACB=∠CDEAC=DC，∴△ACB≌△DCE(AAS)，∴AB=CE，BC=DE；在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，即S b=S a+S c=1+9=10，∴b的面积为10，故选C．运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠BAC=∠DCE，然后证明△ACB≌△DCE，再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，关键是证明△ACB≌△DCE．3. 解：①a=3，b=4，c=5，∵32+42=25=52，∴满足①的三角形为直角三角形；②a=6，∠A=45∘，只此两个条件不能断定三角形为直角三角形；③a=2，b=2，c=2√2，∵22+22=8=(2√2)2，∴满足③的三角形为直角三角形；④∵∠A=38∘，∠B=52∘，∴∠C=180∘−∠A−∠B=90∘，∴满足④的三角形为直角三角形．综上可知：满足①③④的三角形均为直角三角形．故选C．根据勾股定理的逆定理以及直角三角形的定义，验证四组条件中数据是否满足“较小两边平方的和等于最大边的平方”或“有一个角是直角”，由此即可得出结论．本题考查了勾股定理的逆定理以及直角三角形的定义，解题的关键是根据勾股定理的逆定理和直角三角形的定义验证四组条件.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，套入数据验证“较小两边平方的和是否等于最大边的平方(或寻找三角形中是否有一个角为直角)”是关键．4. 解：∵72+242=49+576=625=252．∴如果这组数为一个三角形的三边长，能构成直角三角形．故选：D．根据勾股定理的逆定理，对四个选项中的各组数据分别进行计算，如果三角形的三条边符合a2+b2=c2，则可判断是直角三角形，否则就不是直角三角形．此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握.此题难度不大，属于基础题．5. 解：如图，∵图中的四边形为正方形，∴∠ABD=90∘，AB=DB，∴∠ABC+∠DBE=90∘，∵∠ABC+∠CAB=90∘，∴∠CAB=∠DBE，∵在△ABC和△BDE中，{∠ACB=∠BED ∠CAB=∠EBD AB=BD，∴△ABC≌△BDE(AAS)，∴AC=BE，∵DE2+BE2=BD2，∴ED2+AC2=BD2，∵S1=AC2，S2=DE2，BD2=1，∴S1+S2=1，同理可得S2+S3=2，S3+S4=3，∴S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6．故选C．先根据正方形的性质得到∠ABD=90∘，AB=DB，再根据等角的余角相等得到∠CAB=∠DBE，则可根据“AAS”判断△ABC≌△BDE，于是有AC=BE，然后利用勾股定理得到DE2+BE2=BD2，代换后有ED2+AC2=BD2，根据正方形的面积公式得到S1= AC2，S2=DE2，BD2=1，所以S1+S2=1，利用同样方法可得到S2+S3=2，S3+S4= 3，通过计算可得到S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6．本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等.也考查了勾股定理和正方形的性质．6. 解：此题应分两种情况说明：(1)当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，BD=√AB2−AD2=√152−122=9，在Rt△ACD中，CD=√AC2−AD2=√132−122=5，∴BC=5+9=14．∴△ABC的周长为：15+13+14=42；(2)当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD中，BD=√AB2−AD2=√152−122=9，在Rt△ACD中，CD=√AC2−AD2=√132−122=5，∴BC=9−5=4．∴△ABC的周长为：15+13+4=32∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32．故选D．本题应分两种情况进行讨论：(1)当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD 的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出；(2)当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD 的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出．此题考查了勾股定理及解直角三角形的知识，在解本题时应分两种情况进行讨论，易错点在于漏解，同学们思考问题一定要全面，有一定难度．7. 解：∵a2(a−b)+b2(a−b)=c2(a−b)，∴(a−b)(a2+b2−c2)=0，∴a=b或a2+b2=c2．当只有a−b=0成立时，是等腰三角形．当只有a2+b2−c2=0成立时，是直角三角形．当两个条件同时成立时：是等腰直角三角形．故选：A．因为a，b，c为三边，根据a2(a−b)+b2(a−b)=c2(a−b)，可找到这三边的数量关系．本题考查勾股定理的逆定理的应用，以及对三角形形状的掌握．8. 解：过点D作DH⊥BC，∵AD=1，BC=2，∴CH=1，DH=AB=√CD2−CH2=√32−12=2√2，∵AD//BC，∠ABC=90∘，∴∠A=90∘，∵DE⊥CE，∴∠AED+∠BEC=90∘，∵∠AED+∠ADE=90∘，∴∠ADE=∠BEC，∴△ADE∽△BEC，∴ADBE =AEBC=DECE，设BE=x，则AE=2√2−x，即1x =2√2−x2，解得x=√2，∴ADBE =DECE=1√2，∴CE=√2DE，故选：B．过点D作DH⊥BC，利用勾股定理可得AB的长，利用相似三角形的判定定理可得△ADE∽△BEC，设BE=x，由相似三角形的性质可解得x，易得CE，DE的关系．本题主要考查了相似三角形的性质及判定，构建直角三角形，利用方程思想是解答此题的关键．9. 解：作辅助线：连接AB，因为△ABD是直角三角形，所以AB=√AD2+BD2=√32+42=5，因为52+122=132，所以△ABC是直角三角形，则要求的面积即是两个直角三角形的面积差，即12×12×5−12×3×4=30−6=24．先连接AB，求出AB的长，再判断出△ABC的形状即可解答．巧妙构造辅助线，问题即迎刃而解.综合运用勾股定理及其逆定理．10. 解：由勾股定理，AC=√AB2−BC2=√132−52=12(m)．则地毯总长为12+5=17(m)，则地毯的总面积为17×2=34(平方米)，所以铺完这个楼道至少需要34×18=612元．故答案为：612．地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即AC与BC的和，在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得BC的长，地毯的长与宽的积就是面积．本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键．11. 解：①若12为直角边，可得5为直角边，第三边为斜边，根据勾股定理得第三边为√52+122=13；②若12为斜边，5和第三边都为直角边，根据勾股定理得第三边为√122−52=√119，则第三边长为13或√119；故答案为：13或√119．分两种情况考虑：若12为直角边，可得出5也为直角边，第三边为斜边，利用勾股定理求出斜边，即为第三边；若12为斜边，可得5和第三边都为直角边，利用勾股定理即可求出第三边．此题主要考查了勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．12. 解：可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm，根据题意，得x2=502+402+302=5000，702=4900，因为4900<5000，所以能放进去．故答案是：能．在长方体的盒子中，一角的顶点与斜对的不共面的顶点的距离最大，根据木箱的长，宽，高可求出最大距离，然后和木棒的长度进行比较．本题考查了勾股定理的应用.解题的关键是求出木箱内木棒的最大长度．13. 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理.关键要熟知等腰三角形的三线合一可得.先根据等腰三角形的性质求出BD的长，再根据勾股定理解答即可．【解答】解：根据等腰三角形的三线合一可得：BD=12BC=12×6=3cm，在直角△ABD中，由勾股定理得：AB2=BD2+AD2，所以，AD=√AB2−BD2=√52−32=4cm．故答案为4．14. 解：∵AC=4，BC=3，∴AB=5，∵S△ABC=12×3×4=12×5×CD，∴CD=125．∴AD=√AC2−CD2=√16−14425=165，故答案为：165．根据勾股定理求得AB的长，再根据三角形的面积公式求得CD，然后再利用勾股定理计算出AD长即可．此题主要考查了直角三角形面积及勾股定理，关键是掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．15. 解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，∵AC=2，∠A=30∘，∴CD=12AC=1，∵在Rt△BCD中，∠B=45∘，∴CD=BD=1，则BC=√CD2+BD2=√2，故答案为：√2．作CD⊥AB，由AC=2、∠A=30∘知CD=1，由∠B=45∘知CD=BD=1，最后由勾股定理可得答案．本题主要考查勾股定理、直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键．16. 连接AC，在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积=直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积．此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握定理及逆定理是解本题的关键．17. 延长AD到E使AD=DE，连接CE，证△ABD≌△ECD，求出AE和CE的长，根据勾股定理的逆定理求出∠E=90∘，根据勾股定理求出CD即可．本题综合考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、全等三角形的性质和判定、三角形的中线等知识点的应用，关键是正确地作辅助线，把已知条件转化成一个直角三角形，题型较好．18. 易得∠CDB的度数，连接BD可得一个等腰三角形和一个直角三角形，作出等腰三角形底边上的高，利用∠CDB的正弦值可得等腰三角形底边上的高，进而求得两个三角形的面积，让它们相加即可．本题考查解直角三角形在实际生活中的应用；把四边形问题整理为三角形问题是解决本题的突破点，作等腰三角形底边上的高，是常用的辅助性方法．19. (1)根据三角形的内角和是180∘，用180∘减去∠B、∠C的度数，求出∠BAC的度数是多少即可．(2)首先根据AC=2，AD=AC⋅sin∠C，求出AD的长度是多少；然后在Rt△ABD中，求出AB的长是多少即可．此题主要考查了勾股定理的应用，以及直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．20. (1)由于∠PCB=∠BCQ=45∘，故有∠PCQ=90∘．(2)由等腰直角三角形的性质知，AC=4√2，根据已知条件，可求得AP，PC的值，再由勾股定理求得PQ的值．(3)由于△PBQ也是等腰直角三角形，故有PQ2=2PB2=PA2+PC2．本题利用了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理求解．21. 解：(1)设点Q的速度为ycm/s，由题意得3÷x=4÷y，∴y=43x，故答案为：43x；(2)AC=√AB2+BC2=√32+42=5，CD=5−1=4，在B点处首次相遇后，点P的运动速度为(x+2)cm/s，由题意得3+14x3=4+4x+2，解得：x=65(cm/s)，答：点P原来的速度为65cm/s．(1)设点Q的速度为ycm/s，根据题意得方程即可得到结论；(2)根据勾股定理得到AC=√AB2+BC2=√32+42=5，求得CD=5−1=4，列方程即可得到结论．本题考查了分式方程的应用，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．。
cz初中数学鲁教版七年级上册第三章3勾股定理的应用举例练习题-普通用卷
初中数学鲁教版七年级上册第三章3勾股定理的应用举例练习题一、选择题1.如图，在水塔O的东北方向5m处有一抽水站A，在水塔的东南方12m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为()A. 10mB. 13mC. 14mD. 8m2.如图，圆柱形容器的高为0.9m，底面周长为1.2m，在容器内壁离容器底部0.3m处的点B处有一蚊子．此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.2m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为()A. 1mB. 1.1mC. 1.2mD. 1.3m3.一个带盖的长方形盒子的长，宽，高分别是8cm，8cm，12cm，已知蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，则蚂蚁要爬行的最短行程是()A. 28cmB. 4√29C. 4√17D. 20cm4.如图，高速公路上有A、B两点相距10m，C、D为两村庄，已知DA=4km，CB=6km.DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则EB的长是()km．A. 4B. 5C. 6D. √205.如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距()A. 20海里B. 40海里C. 35海里D. 30海里6.一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2米，∠B=90°，AB=8米，BC=6米．当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE=()米时，有DC2=AE2+BC2．A. 2B. 2.5C. 3.4D. 3.67.如图所示，有一个高18cm，底面周长为24cm的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一只苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是()A. 16cmB. 18cmC. 20cmD. 24cm8.如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为()尺．A. 10B. 12C. 13D. 149.我国古代数学家赵爽的《勾股方圆图》是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图)，如果大正方形的面积是16，小正方形的面积是3，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，那么(a+b)2的值为A. 29B. 16C. 19D. 4810.如图所示，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺.突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面.若知道红莲移动的水平距离为6尺，则此处的水深是()A. 3.5尺B. 4尺C. 4.5尺D. 5尺二、填空题11.如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处(三条棱长如图所示)，问最短路线长为______．12.如图，长方体的底面是边长为1cm的正方形，高为3cm.如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，那么所用细线最短需要______cm．13.两艘海警船在某小岛附近进行巡航，其中一艘以12海里/时的速度离开该岛向北偏西45°方向航行，另一艘同时以16海里/时的速度离开该岛向东北方向航行，经过1.5小时它们相距____海里．14.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开4米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为__________．三、计算题15.如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B离地面0.6m，荡秋千到AB的位置时，下端B距静止位置的水平距离EB等于2.4m，距地面1.4m，求秋千AB的长．16.如图，已知A、B两艘船同时从港口Q出发，船A以40km/ℎ的速度向东航行；船B以30km/ℎ的速度向北航行，它们离开港口2h后相距多远？四、解答题17.如图，某工厂C前面有一条笔直的公路，原来有两条路AC、BC可以从工厂C到达公路，经测量AC=600m，BC=800m，AB=1000m，现需要修建一条公路，使工厂C到公路的距离最短．请你帮工厂C设计一种方案，并求出新建的路的长．18.一架云梯长13m，如图所示斜靠在一面墙上，梯子底端C离墙5m．(1)这个梯子AC的顶端A距地面有多高？(2)如果梯子的顶端下滑了3m，如图到达DE位置，那么梯子的底部在水平方向滑动的距离CE是多少米？答案和解析1.【答案】B【解析】解：已知东北方向和东南方向刚好是一直角，∴∠AOB=90°，又∵OA=5m，OB=12m，∴AB=√OA2+OB2=√52+122=13(m)．故选：B．由题意可知东北方向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理解图中直角三角形即可．本题考查的知识点是勾股定理的应用，正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．2.【答案】A【解析】解：如图：∵高为0.9m，底面周长为1.2m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.2m与蚊子相对的点A处，∴A′D=0.6m，BD=0.8m，∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B=√A′D2+BD2=√0．62+0．82=1(m)．故选：A．将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．本题考查了平面展开−最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．3.【答案】D【解析】解：有两种情形：如图1所示：AB=√162+122=20(cm)，如图2所示：AB=√82+202=4√29(cm)．∵20<4√29故爬行的最短路程是20cm．故选：D．把立体图形转化为平面图形，利用勾股定理解决问题即可．此题考查了两点之间线段最短，解答时要进行分类讨论，利用勾股定理是解题的关键．4.【答案】A【解析】解：设BE=x，则AE=(10−x)km，由勾股定理得：在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2=42+(10−x)2，在Rt△BCE中，CE2=BC2+BE2=62+x2，由题意可知：DE=CE，所以：62+x2=42+(10−x)2，解得：x=4km．所以，EB的长是4km．故选：A．根据题意设出BE的长为xkm，再由勾股定理列出方程求解即可．本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是本题的关键．5.【答案】B【解析】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，∴∠BAC=90°，两小时后，两艘船分别行驶了16×2=32，12×2=24海里，根据勾股定理得：√322+242=40(海里)．故选B．根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了32，24.再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单．6.【答案】C【解析】解：如图，连接CD，∵∠B=90°，AB=8，BC=6，∴AC=10，假设AE=x，可得EC=10−x．∵正方形DEFH的边长为2，即DE=2，∴DC2=DE2+EC2=22+(10−x)2，AE2+BC2=x2+36，∵DC2=AE2+BC2，∴4+(10−x)2=x2+36，解得：x=3.4，所以，当AE=3.4米时，有DC2=AE2+BC2．故选：C．根据已知得出假设AE=x，可得EC=10−x，利用勾股定理得出DC2=DE2+EC2= 4+(10−x)2，AE2+BC2=x2+36，即可求出x的值．此题主要考查了勾股定理的应用以及一元二次方程的应用，根据已知表示出CE，AE的长度是解决问题的关键．7.【答案】C【解析】解：如图展开后连接SF，求出SF的长就是捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径，过S作SE⊥CD于E，×24=12cm，则SE=BC=12EF=18−1−1=16cm，在Rt△FES中，由勾股定理得：SF=√SE2+EF2=√122+162=20(cm)，答：捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是20cm．故选：C．展开后连接SF，求出SF的长就是捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径，过S作SE⊥CD 于E，求出SE、EF，根据勾股定理求出SF即可．本题考查了勾股定理、平面展开−最大路线问题，关键是构造直角三角形，题目比较典型，难度适中．8.【答案】C【解析】解：设水深为x尺，则芦苇长为(x+1)尺，)2=(x+1)2，根据勾股定理得：x2+(102解得：x=12，芦苇的长度=x+1=12+1=13(尺)，答：芦苇长13尺．故选：C．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．9.【答案】A【解析】【分析】本题考查了完全平方公式的应用，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中求得2ab的值是解题的关键．易求得2ab的值和a2+b2的值，根据完全平方公式即可求得(a+ b)2的值，即可解题．【解答】解：∵大正方形的面积是16，小正方形的面积是3，ab=13，∴四个直角三角形面积和为16−3=13，即4×12∴2ab=13，又a2+b2=16，∴(a+b)2=a2+b2+2ab=16+13=29．答：(a+b)2的值为29，故选A．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查正确运用勾股定理，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．仔细分析该题，可画出草图，关键是水深、红莲移动的水平距离及红莲的高度构成一直角三角形，解此直角三角形即可．【解答】解：红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即AC为红莲的长．设水深h尺，由题意得：Rt△ABC中，AB=ℎ，AC=ℎ+3，BC=6，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2，即(ℎ+3)2=ℎ2+62，解得：ℎ=4.5．故选C．11.【答案】5【解析】解：如图1，AC1=√62+12=√37，如图2，AC1=√42+33=5，如图3，AC1=√22+52=√29，故沿长方体的表面爬到对面顶点C处，只有图2最短，其最短路线长为：5，故答案为：5．分别利用从不同的表面得出其路径长，进而得出答案．此题主要考查了平面展开图最短路径问题，利用分类讨论得出是解题关键．12.【答案】√73【解析】解：如图所示，∵从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，∴展开后AC=1cm×8=8cm，BC=3cm，由勾股定理得：AB=√AC2+BC2=√73cm．故答案为：√73．根据绕两圈到B，则展开后相当于求出直角三角形ACB的斜边长，并且AC=8cm，BC= 3cm，根据勾股定理求出即可．本题考查了平面展开−最短路线问题和勾股定理的应用，能正确画出图形是解此题的关键，用了数形结合思想．13.【答案】30【解析】【分析】此题主要考查勾股定理的应用.根据题意画出图形，根据题目中AB、AC的夹角可知ΔABC 为直角三角形，然后根据勾股定理解答．【解答】解：如图，∵由图可知AC=16×1.5=24海里，AB=12×1.5=18海里，∠BAC=90°在Rt△ABC中，BC=√AC2+AB2=√242+182=30(海里)．故答案为30．m14.【答案】152【解析】【分析】此题考查了学生利用勾股定理解决实际问题的能力.根据题意设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为(x+1)m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．【解答】解：设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为(x+1)m，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，∴x2+42=(x+1)2，，解得x=152∴AB=15，2m.∴旗杆的高152m.故答案为15215.【答案】解：设AB=AB′=x，由题意可得出：B′E=1.4−0.6=0.8(m)，则AE=AB−0.8，在Rt△AEB中，∵AE2+BE2=AB2，∴(x−0.8)2+2.42=x2解得：x=4，答：秋千AB的长为4m．【解析】设AB=x，在Rt△AEB中，利用勾股定理，构建方程即可解决问题本题考查勾股定理的应用，解题的关键是学会利用勾股定理构建方程解决问题，属于中考常考题型．16.【答案】解：∵A、B两艘船同时从港口O出发，船A以40km/ℎ的速度向东航行；船B以30km/ℎ的速度向北航行，∴∠AOB=90°，它们离开港口2h后，AO=40×2=80km，BO=30×2=60km，∴AB=√802+602=100km，答：它们离开港口2h后相距100km．【解析】由题意知：两条船的航向构成了直角．再根据路程=速度×时间，再根据勾股定理求解即可．此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角问题，得出AO，BO的长是解题关键．17.【答案】解：过A作CD⊥AB，垂足为D，∵6002+8002=10002，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，S△ACB=12AB⋅CD=12AC⋅BC，1 2×600×800=12×1000×DB，解得：BD=480，∴新建的路的长为480m．【解析】过A作CD⊥AB.修建公路CD，则工厂C到公路的距离最短，首先证明△ABC 是直角三角形，然后根据三角形的面积公式求得CD的长．此题主要考查了勾股定理逆定理以及三角形的面积公式，关键是证明△ABC是直角三角形．18.【答案】解：(1)由题意可知△ABC是直角三角形，∵BC=6m AC=10m．∴由勾股定理得：AB=√132−52=12(m)，∴梯子的高为12米；(2)由题意可知DE=AC=13m，∵AD=3m，∴BD=12−3=9(m)，在Rt△DBE中，由勾股定理得：BE=√BE2−BD2=√132−92=2√22(m)，∴CE=BE−BC=(2√22−5)(m)．【解析】(1)直接根据勾股定理求出AB的长即可；(2)先根据梯子的顶端下滑了3米求出AD的长，再根据勾股定理求出BE的长，进而可得出结论．此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．。
鲁教版七年级数学上册《第三章勾股定理》单元检测题-带参考答案
鲁教版七年级数学上册《第三章勾股定理》单元检测题-带参考答案一、单选题(共10小题，满分40分)1．直角三角形的两直角边的长分别为3，5，第三边长为（ ） A ．4 B ．34 C ．4或34 D ．4和342．如图，一个长为5m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端离地面的垂直距离为4m ，则梯子的底端离墙的距离是（ ）A ．3mB ．4mC ．5mD ．41m3．下列四组数：（1）0.6，0.8，1；（2）9，40，41；（3）7，24，25；（4）4，5，6．其中勾股数的组数为（ ） A ．4组 B ．3组 C ．2组 D ．1组4．已知下列四组线段：①5，12，13 ； ①15，8，17 ； ①1.5，2，2.5 ； ①．其中能构成直角三角形的有（ ）组A ．四B ．三C ．二D ．一5．已知直角三角形的斜边长为15，一直角边长为12，则另一条直角边长为（ ）A ．369B ．3C ．27D ．96．如图，学校B 前面有一条笔直的公路，学生放学后走AB 、BC 两条路可到达公路，经测量BC ＝6km ，BA ＝8km ，AC ＝10km ，现需修建一条公路从学校B 到公路，则学校B 到公路的最短距离为（ ）A ．4.8kmB ．9.6kmC ．2.4kmD ．5km7．下列各组线段中，能构成直角三角形的一组是 （ ）A ．5,9,12B ．7,12,13C ．0.30.40.5,,D ．346，，8．已知：在①ABC 中，①A 、①B 、①C 的对边分别是a 、b 、c ，满足a 2+b 2+c 2+338=10a +24b +26c ．试判断①ABC 的形状（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形9．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC 边上有10个不同的点P 1，P 2，……，P 10， 记2·i i i iM AP PB PC =+（i ＝ 1，2，……，10），那么M1+M2+……+M10的值为（）A．4 B．14 C．40D．不能确定S，图2中空白部10．意大利著名画家达·芬奇用下图所示的方法证明了勾股定理．若设图1中空白部分的面积为11二、填空题（共8小题，满分32分）11．工厂的传送带把物体从地面送到离地面5 米高的地方，如果传送带与地面所成的斜坡的坡度i=1: 2.4 ，那么物体所经过的路程为米．∠=．12．如图，点A、B、C分别在边长为1的正方形网格图顶点，则ABC13．如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该方法运用了祖冲之的出入相补原理．若图中空白部分的面积是14，整个图形(连同空白部分)的面积是36，则大正方形ABCD的边长是．14．如图，一只蚂蚁从长宽高分别是3，2，6的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是 ．15．如图，四边形ABCD 中，AD ①BC ，①D ＝90°，AD ＝4，BC ＝3．分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 长为半径作弧，两弧交于点E ，射线BE 交AD 于点F ，交AC 于点O ．若点O 恰好是AC 的中点，则CD 的长为 ．16．已知三角形的三边长分别是2n +1，2n 2+2n ，2n 2+2n +1，则最大角是 度．17．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m 处，发现此时绳子末端离地面2m ，则旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）为 m ．18．如图，在ABC 中90C ∠=︒，8BC =和6AC =，点D 为边AC 的中点，点P 为边BC 上任意一点，若将CDP △沿DP 折叠得EDP △，若点E 在ABC 的中位线上，则CP 的长度为 ．三、解答题（共6小题，每题8分，满分48分）19．如图，折叠长方形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边上的点F 处10cm AD ＝，AB=8cm ．求：(1)FC的长；(2)EF的长．20．如图，一架云梯AB长25m，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端A距地面24m．（1）这个梯子底端B离墙有多少米？（2）如果梯子的顶端下滑的距离AD＝4m，求梯子的底部B在水平方向滑动的距离BE的长．21．如图1所示，有四个同样大小的直角三角形，两条直角边分别为a、b，斜边为c，拼成一个正方形，中间留有一个小正方形．（1）利用它们之间的面积关系，探索出关于a、b、c的等式；（2）利用（1）中发现的直角三角形中两直角边a，b和斜边c之间的关系，完成问题：如图2，在直角①ABC中，①C＝90°，且c＝6，a+b＝8，则①ABC的面积为；（3）如图3所示，CD是直角①ABC中斜边上的高，试证明CD2＝AD•BD．22．在边长为8的等边ABC中，点D是边AB上的一动点，点E在边AC上，且CE = 2AD，射线DE绕点D顺时针旋转60°交BC边于F．（1）如图1，求证：①AED = ①BDF；（2）如图2，在射线DF上取DP=DE，连接BP①求①DBP的度数；①取边BC的中点M，当PM取最小值时，求AD的长.23．“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪距离130米．(1)求小汽车6秒走的路程；(2)求小汽车每小时所走的路程，并判定小汽车是否超速？24．如图，△ABC中，①C＝90°，AB＝10 cm，BC＝6 cm，动点P从点C出发，以每秒2 cm的速度按C→A的路径运动，设运动时间为t秒．（1）出发2秒时，△ABP的面积为cm2；（2）当t为何值时，BP恰好平分①ABC？参考答案：1．B2．A3．C4．A5．D6．A7．C8．A9．C10．C11．1312．45°13．514．6115．2216．9017．1718．32或3．19．(1)4cm(2)5cm20．（1）7米；（2）8m21．（1）c2＝a2+b2；（2）7；（3）略．22．（1）11；（2）①30°；①2 23．(1)120米(2)72千米/小时，小汽车超速了24．（1）12；(2)32.答案第1页，共1页。
2021-2022学年鲁教版七年级数学上册《第3章勾股定理》期末复习自主提升训练(附答案)
2021-2022学年鲁教版七年级数学上册《第3章勾股定理》期末复习自主提升训练（附答案）1．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（）A．统计思想B．分类思想C．数形结合思想D．函数思想2．已知a、b、c为△ABC的三边，且满足（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，则△ABC是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形3．一个圆桶底面直径为7cm，高24cm，则桶内所能容下的最长木棒为（）A．20cm B．25cm C．26cm D．30cm4．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．5．在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（）A．a＝15，b＝8，c＝17B．a＝9，b＝12，c＝15C．a＝7，b＝24，c＝25D．a＝3，b＝4，c＝76．如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（）A．16B．25C．144D．1697．如图，一根长25m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底端7m．如果梯子的顶端下滑4m，那么梯子的底端将向右滑动（）A．15m B．9m C．7m D．8m8．阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即m＝a2+b2，那么称m为广义勾股数，则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是（）A．②④B．①②④C．①②D．①④9．如图，分别以直角△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，若S2＝7，S3＝2，那么S1＝（）A．9B．5C．53D．4510．如图Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”；当AC＝3，BC＝4时，计算阴影部分的面积为（）A．6B．6πC．10πD．1211．已知等腰三角形的一条腰长是15，底边长是18，则它底边上的高为（）A．9B．12C．15D．1812．一根旗杆在离地面3米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部4米处，旗杆折断之前的高度是（）A．5米B．7米C．8米D．9米13．小明想知道学校旗杆的高度，她发现旗杆上的绳子刚好垂到地面，当她把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端距离地面1米，则旗杆的高是（）A．8米B．10米C．12米D．13米14．三角形的三边分别为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（）A．B．a2﹣b2＝c2C．a2＝（b+c）（b﹣c）D．a：b：c＝13：5：1215．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（）A．4米B．5米C．6米D．7米16．若直角三角形两边分别是3和4，则第三边是．17．在△ABC中，AB＝15，AC＝20，D是BC边所在直线上的点，AD＝12，BD＝9，则BC ＝．18．如图，一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面的部分BC为1尺．如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'，则这根芦苇的长度是尺．19．如图，已知正方形ABCD的面积为4，正方形FHIJ的面积为3，点D、C、G、J、I在同一水平面上，则正方形BEFG的面积为．20．如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，则AF的长是．21．如图，一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B 点，那么它所走的最短路线的长是cm．22．如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为9cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则蚂蚁爬行的最短路程是cm．23．若△ABC为直角三角形，AC＝BC＝4，以BC为直径画半圆如图所示，则阴影部分的面积为．24．如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为．25．如图，把一块直角三角形（△ABC，∠ACB＝90°）土地划出一个三角形（△ADC）后，测得CD＝3米，AD＝4米，BC＝12米，AB＝13米．（1）求证：∠ADC＝90°；（2）求图中阴影部分土地的面积．26．拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m 和200m，又AB＝250m，拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域．（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？（2）若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？27．如图所示，一架梯子AB斜靠在墙面上，且AB的长为2.5米．（1）若梯子底端离墙角的距离OB为1.5米，求这个梯子的顶端A距地面有多高？（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A下滑0.5米到点A'，那么梯子的底端B在水平方向滑动的距离BB'为多少米？28．甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以30海里/时的速度沿北偏东35°方向航行，乙船沿南偏东55°向航行，2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距100海里，问乙船的速度是每小时多少海里？29．如图，在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝6cm，现有两点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次回到点B时，点M、N同时停止运动，设运动时间为ts．（1）当t为何值时，M、N两点重合；（2）当点M、N分别在AC、BA边上运动，△AMN的形状会不断发生变化．①当t为何值时，△AMN是等边三角形；②当t为何值时，△AMN是直角三角形；（3）若点M、N都在BC边上运动，当存在以MN为底边的等腰△AMN时，求t的值．30．如图，已知等腰△ABC的底边BC＝13cm，D是腰AB上一点，且CD＝12cm，BD＝5cm．（1）求证：△BDC是直角三角形；（2）求△ABC的周长．参考答案1．解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想，故选：C．2．解：∵（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，∴a﹣b＝0，或a2+b2﹣c2＝0，即a＝b或a2+b2＝c2，∴△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．故选：D．3．解：如图，AC为圆桶底面直径，CB是桶高，∴AC＝7cm，CB＝24cm，∴线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，∴AB＝＝＝25（cm）．故桶内所能容下的最长木棒的长度为25cm．故选：B．4．解：A、∵ab+c2+ab＝（a+b）（a+b），∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、∵4×ab+c2＝（a+b）2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C、∵4×ab+（b﹣a）2＝c2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；故选：D．5．解：A、82+152＝172，是勾股数，不符合题意；B、92+122＝152，是勾股数，不符合题意；C、72+242＝252，是勾股数，不符合题意；D、32+42≠72，不是勾股数，符合题意．故选：D．6．解：根据勾股定理得出：AB＝，∴EF＝AB＝5，∴阴影部分面积是25，故选：B．7．解；梯子顶端距离墙角地距离为＝24（m），顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为＝15（m），15﹣7＝8（m）．故选：D．8．解：①∵7不能表示为两个正整数的平方和，∴7不是广义勾股数，故①结论正确；②∵13＝22+32，∴13是广义勾股数，故②结论正确；③两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数，如5和10是广义勾股数，但是它们的和不是广义勾股数，故③结论错误；④设，，则＝a2c2+a2d2+b2c2+b2d2＝（a2c2+b2d2+2abcd）+（a2d2+b2c2﹣2abcd）＝（ac+bd）2+（ad﹣bc）2，当a＝c，b＝d时，ad﹣bc＝0，∴两个广义勾股数的积不一定是广义勾股数，如2和2都是广义勾股数，但2×2＝4，4不是广义勾股数，故④结论错误，∴依次正确的是①②．故选：C．9．解：在Rt△ABC中，AB2＝BC2+AC2，∵S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝AC2，∴S1＝S2+S3．∵S2＝7，S3＝2，∴S1＝7+2＝9．故选：A．10．解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得：AB＝＝＝5，所以阴影部分的面积S＝×π×（）2+×（）2+﹣×π×（）2＝6，故选：A．11．解：过点A作AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD＝BC＝18＝9，∴AD＝＝12（cm），∴它底边上的高为12cm；故选：B．12．解：如图，由题意，AC⊥BC，AC＝3米，BC＝4米，旗杆折断之前的高度高度就是AC+AB．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3米，BC＝4米，∴AB＝（米），∴旗杆折断之前的高度高度＝AC+AB＝3+5＝8（米），故选：C．13．解：如图，已知AB＝AC，CD⊥BD，CH⊥AB，CD＝1米，CH＝5米，设AB＝AC＝x 米．在Rt△ACH中，∵AC2＝AH2+CH2，∴x2＝52+（x﹣1）2，∴x＝13，∴AB＝13（米），故选：D．14．解：A、∵，b＝，c＝，∴b2+c2≠a2，即此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；B、∵a2﹣b2＝c2，∴b2+c2＝a2，即此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；C、∵a2＝（b+c）（b﹣c）＝b2﹣c2，∴a2+c2＝b2，即此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；D、∵a：b：c＝13：5：12，∴b2+c2＝a2，即此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：A．15．解：在Rt△ABC中，AC＝＝4米，故可得地毯长度＝AC+BC＝7米，故选：D．16．解：设第三边为x，（1）若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：32+42＝x2，∴x＝5；（2）若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得：32+x2＝42，∴x＝；∴第三边的长为5或．故答案为：5或．17．解：如图1所示，当点D在线段BC上时，∵AD＝12，BD＝9，AB＝15，∴AD2+BD2＝AB2，∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°，∴∠ADC＝90°，∴DC＝＝＝16，∴BC＝BD+CD＝9+16＝25；如图2所示，当点D在CB的延长线上时，同理可得，DC＝16，∴BC＝CD﹣BD＝16﹣9＝7；由于AC＞AB，所以点D不在BC的延长线上．综上所述，BC的长度为25或7．故答案为：25或7．18．解：设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，因为边长为10尺的正方形，所以B'C＝5尺在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2，解之得x＝13，即芦苇长13尺．故答案是：13．19．解：∵四边形ABCD、四边形FHIJ和四边形BEFG都是正方形，∴∠BCG＝∠BGF＝∠GJF＝90°，BG＝GF，∴∠CBG+∠BGC＝90°，∠JGF+∠BGC＝90°，∴∠CBG＝∠JGF，在△BCG和△GJF中，，∴△BCG≌△GJF（AAS），∴BC＝GJ，∵正方形ABCD的面积为4，正方形FHIJ的面积为3，∴BC2＝4，FJ2＝3，∴GJ2＝4，在Rt△GJF中，由勾股定理得：FG2＝GJ2+FJ2＝4+3＝7，∴正方形BEFG的面积为7．故答案为：7．20．解：过F作FM⊥AB交AB的延长线于点M，则AM＝AB+DC+EF＝8，FM＝BC+DE＝6，在Rt△AMF中，∵AF2＝AM2+FM2，∴AF＝10．故答案为：10．21．解：由题意可得，当展开前面和右面时，最短路线长是：＝＝15（cm）；当展开前面和上面时，最短路线长是：＝＝7（cm）；当展开左面和上面时，最短路线长是：＝（cm）；∵15＜7＜，∴一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是15cm，故答案为：15．22．解：如图所示：由于圆柱体的底面周长为24cm，则AD＝24×＝12cm．又因为CD＝AB＝9cm，所以AC＝＝15cm．故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是15cm．故答案为：15．23．解：设AB交半圆于点D，连接CD．∵BC是直径，∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB；又∵△ABC为等腰直角三角形，∴CD垂直平分斜边AB，∴CD＝BD＝AD，∴＝，∴S弓形BD＝S弓形CD，∴S阴影＝S Rt△ABC﹣S Rt△BCD；∵△ABC为等腰直角三角形，CD是斜边AB的垂直平分线，∴S Rt△ABC＝2S Rt△BCD；又S Rt△ABC＝×4×4＝8，∴S阴影＝4；故答案为：4．24．解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方＝36，一直角边的平方＝64，则斜边的平方＝36+64＝100．故答案为100．25．（1）证明：∵∠ACB＝90°，BC＝12米，AB＝13米，∴AC＝＝＝5（米），∵CD＝3米，AD＝4米，∴AD2+CD2＝AC2＝25，∴∠ADC＝90°；（2）解：图中阴影部分土地的面积＝A×BC﹣AD×CD＝×5×12﹣×4×3＝24（平方米）．26．解：（1）学校C会受噪声影响．理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．∴AC×BC＝CD×AB，∴150×200＝250×CD，∴CD＝＝120（m），∵拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域，∴学校C会受噪声影响．（2）当EC＝130m，FC＝130m时，正好影响C学校，∵ED＝（m），∴EF＝100（m），∵拖拉机的行驶速度为每分钟50米，∴100÷50＝2（分钟），即拖拉机噪声影响该学校持续的时间有2分钟．27．解：（1）根据勾股定理：所以梯子距离地面的高度为：AO＝（米）；（2）梯子下滑了0.5米即梯子距离地面的高度为OA′＝（2﹣0.5）＝1.5（米），根据勾股定理：OB′＝＝2（米），所以当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了2﹣1.5＝0.5（米），答：当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了0.5米．28．解：∵甲的速度是30海里/时，时间是2小时，∴AC＝60海里．∵∠EAC＝35°，∠F AB＝55°，∴∠CAB＝90°．∵BC＝100海里，∴AB＝海里．∵乙船也用2小时，∴乙船的速度是40海里/时．29．解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，x×1+6＝2x，解得：x＝6，即当M、N运动6秒时，点N追上点M；（2）①设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图1，AM＝t，AN＝6﹣2t，∵∠A＝60°，当AM＝AN时，△AMN是等边三角形∴t＝6﹣2t，解得t＝2，∴点M、N运动2秒后，可得到等边三角形△AMN．②当点N在AB上运动时，如图2，若∠AMN＝90°，∵BN＝2t，AM＝t，∴AN＝6﹣2t，∵∠A＝60°，∴2AM＝AN，即2t＝6﹣2t，解得t＝；如图3，若∠ANM＝90°，由2AN＝AM得2（6﹣2t）＝t，解得t＝．综上所述，当t为或s时，△AMN是直角三角形；（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由（1）知6秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图4，假设△AMN是等腰三角形，∴AN＝AM，∴∠AMN＝∠ANM，∴∠AMC＝∠ANB，∵AB＝BC＝AC，∴△ACB是等边三角形，∴∠C＝∠B，在△ACM和△ABN中，∵∠AMC＝∠ANB，∠C＝∠B，AC＝AB，∴△ACM≌△ABN（AAS），∴CM＝BN，∴t﹣6＝18﹣2t，解得t＝8，符合题意．所以假设成立，当M、N运动8秒时，能得到以MN为底的等腰三角形．30．（1）证明：∵BC＝13cm，CD＝12cm，BD＝5cm，∴BC2＝BD2+CD2∴△BDC为直角三角形；（2）解：设AB＝x，∵△ABC是等腰三角形，∴AB＝AC＝x，∵AC2＝AD2+CD2x2＝（x﹣5）2+122，解得：x＝，∴△ABC的周长＝2AB+BC＝2×+13＝．。
专题12 勾股定理重难点题型分类(原卷版)-初中数学七年级上学期重难点题型分类高分必刷题(人教版)
专题12 勾股定理重难点题型分类-高分必刷题（原卷版） 专题简介：本份资料包含《勾股定理》这一章的全部重要题型，所选题目源自各名校期中、期末试题中的典型考题，具体包含八类题型：已知两边求第三边、已知一边和一特殊角求其它边长、折叠模型、最短爬行路径问题、勾股定理与图形面积关系、勾股定理的逆定理、勾股定理的应用题、勾股定理与其它章节的综合题。
适合于培训机构的老师给学生作复习培训时使用或者学生考前刷题时使用。
题型一 已知两边，求第三边⎪⎩⎪⎨⎧-=+=2222bc a b a c 1. （广益）直角三角形斜边上的中线长是5.6，一条直角边是5，则另一直角边长等于（ ）A. 13B. 12C. 10D. 52. （长郡）如图，矩形ABCD 中，AB=3，AD=1，AB 在数轴上，若以点A 为圆心，对角线AC 的长为半径作弧交数轴的正半轴于M ，则点M 的表示的数为 ．3.（长郡）如图，平面直角坐标系中，△OAB 的边OB 落在x 轴上，顶点A 落在第一象限．若5OA AB ==，8OB =，则点A 的坐标是 。
4.（周南）一架方梯长25m ，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7m ，求：（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4m ，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？题型二 已知一边和一特殊角求其它边长⎪⎩⎪⎨⎧∆∆211453:2:13000：：三边之比角的三边之比角的Rt Rt 5.（博才）如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥，垂足为D ，已知4,3,45AB BD C ==∠=︒，则AC 的长为（ ）A. 14B. 15C. 4D. 236.（广益）将一个含30°角的三角板和一个含45°角的三角板如图摆放，∠ACB 与∠DCE 完全重合，∠C=90°，∠A=45°，∠EDC=60°，AB=4，DE=6，则EB= ．7.（师大）小明将一幅三角板如图所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长，若已知2CD =，求AC 的长。
初中数学题库七年级勾股定理习题
DCB A勾股定理试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1.直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为( ).（A ）30（B ）28 （C ）56 （D ）不能确定2. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另一直角边长为6 cm ，则它的斜边长（A ）4 cm（B ）8 cm（C ）10 cm（D ）12 cm3. 已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）（A ）25（B ）14（C ）7 （D ）7或25 4.等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( ) （A ）13（B ）8（C ）25（D ）645.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)6.将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( ) （A ）钝角三角形（B ）锐角三角形（C ）直角三角形（D ）等腰三角形.7. 如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是( )（A ）25（B ）12.5（C ）9（D ）8.58.三角形的三边长为ab cb a 2)(22,则这个三角形是( )（A ）等边三角形（B ）钝角三角形（C ）直角三角形（D ）锐角三角形.9.△ABC 是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a 元计算，那么共需要资金（）.（A ）50a 元（B ）600a 元（C ）1200a 元（D ）1500a 元10.如图，A B ⊥CD 于B ，△ABD 和△BCE 都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC 的长为（）.（A ）12（B ）7（C ）5（D ）135米3米（第10题）（第11题）（第14题）二、填空题（每小题3分，24分）11.如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要____________米. 12.在直角三角形ABC 中，斜边AB =2，则222ABACBC =______.13. 直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为.EABCD14.如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4.以斜边AB 为直径作半圆，则这个半圆的面积是____________.（第15题）（第16题）（第17题）15.如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米.16. 如图，△ABC 中，∠C=90°，AB 垂直平分线交BC 于D 若BC=8，AD =5，则AC 等于______________.17.如图，四边形ABCD 是正方形，AE 垂直于BE ，且AE =3，BE =4，阴影部分的面积是______.18.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D的面积之和为___________cm 2.三、解答题（每小题8分，共40分）19. 11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：“小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望.一棵树高是30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺.每棵树的树顶上都停着一只鸟.忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标.问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树跟有多远？20.如图，已知一等腰三角形的周长是16，底边上的高是 4.求这个三角形各边的长.ABDCE ABCD第18题图7cm21.如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？22.如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m ，CD=9m ，AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积。
初中七年级上册数学勾股定理练习题及答案
勾股定理课时练（1）1. 在直角三角形ABC 中，斜边AB=1，则AB 222AC BC ++的值是（ ） A.2 B.4 C.6 D.82.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD ，AD ∥BC ，斜腰DC 的长为10 cm ，∠D=120°，则该零件另一腰AB 的长是______ cm （结果不取近似值）.3. 直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．4.一根旗杆于离地面12m 处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16m ，旗杆在断裂之前高多少m ？5.如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是 米.6. 飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米?7. 如图所示，无盖玻璃容器，高18cm ，底面周长为60cm ，在外侧距下底1cm 的点C 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm 的F 处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度.8. 一个零件的形状如图所示，已知AC=3cm ，AB=4cm ，BD=12cm 。
求CD 的长.9. 如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB 的长.10. 如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？11如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m ，宽2m 的楼道上铺地毯,已知地毯平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱?“路”4m3m第2题图第5题图第7题图 第9题图第8题图 5m 13m 第11题12. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？第一课时答案：1.A ，提示：根据勾股定理得122=+AC BC ，所以AB 222AC BC ++=1+1=2； 2.4，提示：由勾股定理可得斜边的长为5m ，而3+4-5=2m ，所以他们少走了4步.3. 1360，提示：设斜边的高为x ，根据勾股定理求斜边为1316951222==+ ，再利用面积法得，1360,132112521=⨯⨯=⨯⨯x x ； 4. 解：依题意，AB=16m ，AC=12m ，在直角三角形ABC 中,由勾股定理,222222201216=+=+=AC AB BC , 所以BC=20m ,20+12=32(m ), 故旗杆在断裂之前有32m 高.5.86. 解:如图,由题意得,AC=4000米,∠C=90°,AB=5000米,由勾股定理得BC=30004000500022=-(米),所以飞机飞行的速度为5403600203=(千米/小时) 7. 解：将曲线沿AB 展开，如图所示，过点C 作CE ⊥AB 于E. 在R90,=∠∆CEF CEF t ，EF=18-1-1=16（cm ）， CE=)(3060.21cm =⨯，由勾股定理，得CF=)(3416302222cm EF CE =+=+ 8. 解：在直角三角形ABC 中，根据勾股定理，得254322222=+=+=AB AC BC在直角三角形CBD 中，根据勾股定理，得CD 2=BC 2+BD 2=25+122=169，所以CD=13.9. 解：延长BC 、AD 交于点E.（如图所示） ∵∠B=90°，∠A=60°，∴∠E=30°又∵CD=3，∴CE=6，∴BE=8， 设AB=x ，则AE=2x ，由勾股定理。
七上勾股定理测试题
第3章勾股定理测试题一、选择题（每题4分共48分）1、下列以a、b、c为边的三角形中，能确定是直角三角形的是().A、a=2,b=4,c=5B、a=8,b=15,c=17C、a=11,b=13,c=15D、a=4,b=5,c=62、在Rt△ABC中，斜边AB=2，则AB2+BC2+AC2的值是()(A)4(B)6(C)8(D)93.若△ABC中,AB=c,AC=b,BC=a,下列不能判定△ABC为直角三角形的是()A.a=32,b=42,c=52B.a∶b∶c=5∶12∶13C.(c+b)(c-b)=a2D.∠A+∠B=∠C4.如图,做一个宽80厘米,高60厘米的长方形木框,需在相对角顶点加一根加固木条,则木条长为()A.90厘米B.100厘米C.105厘米D.110厘米5．若一个直角三角形的两边长分别为4和5，则第三条边长的平方为（）A．9B．41C．9或41D．不确定6.如图，以R△A为直径分别向外作半圆，若1=10，3=8，则2=()A.2B.6C.2D.67．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB＝10，AH＝6，那么EF等于（）A．8B．6C．4D．28.如图，一个圆柱高8cm，底面半径为，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短距离是（）A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm9．如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（）A．16B．25C．144D．16910.如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为()A.8B.9C.10D.1111.已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足−32+−4+−5=0，则三角形的形状是()A.底与边不相等的等腰三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.直角三角形ABFCED 12.如图，校园内有两棵树，相距8米，一棵树树高13米，另一棵树高7米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞()A.8米B.9米C.10米D.11米二填空题（每题6分共36分）13.如图,将一根长20cm 的铅笔放入底面直径为9cm,高为12cm 的圆柱形笔筒中,设铅笔露在笔筒外面的长度为xcm,则x 的最小值是_________．14．如图，某会展中心在会展期间准备将高5m ，长13m ，宽2m 的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要______元钱．第13题图第14题图第15题图第16题15．如图，台风过后，琼岛小学的旗杆在B 处折断，旗杆顶部A 落在离旗杆底部8米处，已知旗杆长16米，则旗杆是在离底部__________米处断裂．16如图，一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB 生长在它的中央，高出水面的部分BC 为1尺．如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶部B 恰好碰到岸边的B '，则这根芦苇的长度是尺．17如图，AD=13，BD=12，∠C=90°，AC=3，BC=4．则阴影部分的面积=．18.如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上F 点处，已知CE＝3cm，AB ＝8cm，则BF=_________第17题图第18题图三、解答题19.(10分）如图，等腰三角形腰长为5cm ，底边长为6cm ，求三角形的面积．20.（10分）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm.现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？21.（12分）如图，一架2.5长的梯子AB斜靠在一竖直墙AO上，这时AO为2.4m．(1)求OB的长度；(2)如果梯子底端B沿地面向外移动0.8m到达点C，那么梯子顶端A下移多少m？22（10分）如图所示，在△A中，A=5，B=13，BC边上的中线A=6，求BD2的长．23（12分）为迎接十四运，西安某区强力推进“三改一通一落地”，加速城市更新步伐．某小区将对广场一块三角形空地进行绿化，如图，等腰三角形ABC的底边BC长为10，点D是AC上的一点，BD＝8，CD＝6．（1）求证：BD⊥AC；（2）求线段AB的长．24．（12分）如右图，一块四边形花圃ABCD中，已知∠B＝90°，AB＝4m，BC＝3m，CD＝12m，AD＝13m．（1）连接AC，判断△ACD的形状，并说明理由；（2）求四边形花圃ABCD的面积．25.(12分)如图,在△ABC中,AB=AC,E是AC上的一点,CE=5,BC=13,BE=12.(1)判断△ABE的形状,并说明理由;(2)求线段AB的长.。
初中数学鲁教版(五四制)七年级上册第三章 勾股定理2 一定是直角三角形吗-章节测试习题(1)
章节测试题1.【答题】已知三角形的三边长分别为3,5，，则该三角形最长边上的高为______．【答案】【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，先根据题意判断出三角形的形状是解答此题的关键．【解答】解：∵，∴此三角形是直角三角形，且直角边为3，5，∴此三角形的最长边上的高==．故答案为：．2.【答题】△ABC的两边分别为5，12，另一边c为奇数，且a+b+c是3的倍数，则c应为______，此三角形为______三角形。
【答案】13 直角【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可．【解答】由三角形三边间的关系可得：，即，又∵为奇数，∴的值可能是9、11、13、15，又∵是3的倍数，∴，∵，∴此三角形是直角三角形.3.【答题】如图是一块地的平面示意图，已知AD＝4 m，CD＝3 m，AB＝13 m，BC＝12 m，∠ADC＝90°，则这块地的面积为______m2.【答案】24【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可．【解答】解：连接AC，∵AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，∴AC===5，∵AB=13m，BC=12m，∴AB2=BC2+CD2，即△ABC为直角三角形，∴这块地的面积为S△ABC-S△ACD=AC•BC-AD•CD=×5×12-×3×4=24．4.【答题】如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13,，∠B=90°，则四边形的面积是______.【答案】36【分析】链接AC，先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，最后利用三角形的面积公式求解即可．【解答】解：连接AC，在Rt△ABC中，有AC2=AB2+BC2=42+32=25，又AC>0，∴AC=5∵AC2+CD2=52+122=169=132=AD2∴∠ACD=90°，S四边形ABCD=AB×BC+AC×CD=36。
鲁教版五四学制数学七年级上册练习 第三章 勾股定理 2 一定是直角三角形吗 同步测试(解析版)
知能提升作业（十七）2 一定是直角三角形吗（30分钟 50分）一、选择题(每小题4分，共12分)1.三角形的三边长为(a+b)2=c2+2ab，则这个三角形是( )(A)等边三角形(B)钝角三角形(C)直角三角形(D)锐角三角形2.如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的一组线段是( )(A)CD，EF，GH(B)AB，EF，GH(C)AB，CF，EF(D)GH，AB，CD3.满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是( )(A)b2=c2-a2(B)a∶b∶c=3∶4∶5(C)∠C=∠A-∠B(D)∠A∶∠B∶∠C=12∶13∶15二、填空题(每小题4分，共12分)4.以下列各组数为边长的三角形中，是直角三角形的有______个.①3，4，5；②14，48，50；③15，20，25；④，，1；⑤72，82，152；⑥1，2，2.5.木工师傅做了一个长方形桌面，量得桌面的长是60cm，宽是35cm，对角线是70cm，那么你认为这个桌面__________.(填“合格”或“不合格”)6.测得一块三角形稻田的三边长分别是30m，40m，50m，则这块稻田的面积为______.三、解答题(共26分)7.(8分)设一个直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边上的高为h，斜边长为c，试判断以c+h，a+b，h为边的三角形的形状.8.(8分)如图，供电所李师傅要安装电线杆，按要求，电线杆要与地面垂直，从离地面6m的C处向地面拉一条长6.5m的钢绳，现测得地面钢绳固定点A到电线杆底部B的距离为2.5m，请问：李师傅的安装方法是否符合要求？请说明理由.【拓展延伸】9.(10分)已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.求四边形ABCD的面积.答案解析1.【解析】选C.(a+b)2=c2+2ab，化简得a2+b2=c2，所以此三角形是直角三角形.2.【解析】选B.AB2=22+22=8，CD2=42+22=20，EF2=12+22=5，GH2=32+22=13，所以AB2+EF2=GH2.3.【解析】选D.A选项，由b2=c2-a2得a2+b2=c2，所以三角形是直角三角形；B选项，设a=3x，则b=4x，c=5x，经计算知a2+b2=c2，所以三角形是直角三角形；C选项，由∠C=∠A-∠B知∠C+∠B=∠A，又∠A+∠B+∠C=180°，所以2∠A=180°，即∠A=90°，所以三角形是直角三角形；只有D选项，三角形不是直角三角形.4.【解析】经过计算得①②③④都满足a2+b2=c2，而⑤⑥不满足.故是直角三角形的共4个.答案：45.【解析】因为602+352≠702，所以长，宽，对角线不能组成直角三角形.故这个桌面不是长方形的，不合格.答案：不合格6.【解析】因为302+402=2500=502，所以该三角形为直角三角形.所以其面积为×30×40=600(m2).答案：600m27.【解析】根据勾股定理得，a2+b2=c2.根据三角形的面积得，ab=ch，所以2ab=2ch所以(a+b)2=a2+2ab+b2=a2+2ch+b2因为(c+h)2=c2+2ch+h2=a2+b2+2ch+h2=(a+b)2+h2，即(a+b)2+h2=(c+h)2，所以，以c+h，a+b，h为边的三角形是直角三角形.8.【解析】符合要求.理由：62+2.52=6.52，即AB2+BC2=AC2.所以△ABC是直角三角形，即∠ABC=90°，所以BC⊥AB，即电线杆与地面垂直.9.【解析】作DE∥AB交BC于点E，连接BD，则∠ABD=∠EDB，∠ADB=∠EBD，又因为BD=DB，所以△ABD≌△EDB，所以ED=AB=4，EB=AD=3.因为BC=6，所以EC=EB=3.因为DE2+CE2=42+32=25=CD2，所以△DEC为直角三角形.又因为EC=EB=3，所以△DBC为等腰三角形，DB=DC=5.在△BDA中AD2+AB2=32+42=25=BD2，所以△BDA是直角三角形.它们的面积分别为S△BDA=×3×4=6；S△DBC=×6×4=12.所以S四边形ABCD=S△BDA+S△DBC=6+12=18.。
鲁教版五四制七年级数学上册第三章勾股定理1探索勾股定理第1课时同步测试(解析版).docx
知能提升作业（十五）第三章勾股定理1 探索勾股定理第1课时（30分钟 50分）一、选择题(每小题4分，共12分)1.如图，现有一长方形公园ABCD，如果游人要从景点A走到景点C，则至少走( )(A)200米(B)250米(C)600米(D)800米2.如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=( )(A)2 (B)4(C)9 (D)163.如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直.如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为( )(A)600m (B)500m (C)400m (D)300m二、填空题(每小题4分，共12分)4.在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=12，AC=9，则AB=________.5.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，沿AD折叠，使点B落在斜边AC上，若AB=3，BC=4，则BD=________.6.图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.在Rt△ABC中，若直角边AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长(图乙中的实线)是________.三、解答题(共26分)7. (8分)李大叔承包了一个长方形的养鱼池，已知其面积为48m2，其不相邻的两个顶点的连线AC长为10m，如图，为建起栅栏，要计算出这个长方形养鱼池的周长，你能帮他算一算吗？8. (8分)如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.【拓展延伸】9.(10分)已知△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上的高AD=12，求BC的长.答案解析1.【解析】选B.从景点A走到景点C的最短距离为AC，在直角△ACD中，因为AC2=AD2+CD2=2002+1502=62500，所以AC=250米.2.【解析】选A.由勾股定理得AE2=DE2+AD2=DE2+CD2+AC2=DE2+CD2+BC2+AB2=1+1+1+1=4=22，故AE=2.3.【解析】选B.小明去书店共有三种走法：(1)A→C→书店；(2)A→B→书店；(3)A→B→D→书店.因为曙光路与环城路垂直，所以△BDE为直角三角形，所以BD>BE，所以(3)的路程大于(2)的路程，因此只比较(1)、(2)的路程即可.在△ABC和△EDB中，因为∠CAB=∠BED=90°，AC∥BD，∠ACB=∠EBD，AB=ED，所以△ABC≌△EDB，所以BE=AC=300m，由勾股定理得BC=500m，所以EC=500-300=200(m)，所以(1)的路程为：300+200=500(m)；(2)的路程为：400+300=700(m)，所以(1)的路程最短，为500m，故选B.4.【解析】在直角三角形ABC中，由勾股定理可得AB=15.答案：155.【解析】设B点的对应点为B′，连接DB′，由勾股定理得AC=5，又AB′=AB，所以B′C=5-3=2，设DB=DB′=x，则DC=4-x.在Rt△DB′C中，利用勾股定理得x2+22=(4-x)2，解得x=，即BD=.答案：6.【解析】因为BD2=122+52=132，BE=6，所以风车的外围周长=4×(13+6)=76.答案：767.【解析】设长方形中，BC=x ，AB=y ，根据题意得222xy=48x +y =10⎧⎨⎩①②由②可得(x+y)2-2xy=100 ③将①代入③得x+y=±14(负值舍去)，所以2(x+y)=2×14=28(m)，所以长方形养鱼池的周长为28m.8.【解析】设EC=xcm ，则DE=(8-x)cm ，由折叠可知，EF=DE ，AD=AF ， 在直角△ABF 中，由勾股定理得AB 2+BF 2=AF 2，即82+BF 2=102，所以BF=6cm ，所以FC=10-6=4(cm).在直角△EFC 中，由勾股定理得FC 2+CE 2=EF 2，即42+x 2=(8-x)2，解之得x=3，即EC 的长度为3cm.9.【解析】本题应分两种情况：①当AD 在三角形内部时，如图(1)在直角△ADB 和直角△ADC 中，由勾股定理得BD 2=AB 2-AD 2=152-122=81，CD 2=AC 2-AD 2=202-122=256，所以BD=9，CD=16，所以BC=BD+CD=9+16=25.②当AD 在三角形外部时，如图(2)由勾股定理得CD2=AC2-AD2=202-122=256，BD2=AB2-AD2=152-122=81，所以CD=16，BD=9，所以BC=CD-BD=16-9=7.综上所述，BC的长为25或7.初中数学试卷马鸣风萧萧。
七年级数学上册第三章勾股定理达标检测卷鲁教版五四制
第三章达标检测卷一、选择题(本大题共12道小题,每小题3分,共36分)1．下面的每组数分别是一个三角形的三边长：①6,8,10；②12,13,5；③17,8,15；④4,11,9.其中能构成直角三角形的有( ) A ．4组 B ．3组 C ．2组 D ．1组2．在△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别是a ,b ,c ,若∠A ＋∠C ＝90°,则下列等式中成立的是( )A ．a 2＋b 2＝2c 2B ．b 2＋c 2＝a 2C ．a 2＋c 2＝b 2 D ．c 2－a 2＝b 23．如图,阴影部分是一个正方形,此正方形的面积是( )A ．16B ．8C ．4D ．24．东海上一艘快艇欲驶向正东方向24 km 远的A 处,速度为50 km/h ,由于水流原因,半小时后快艇到达位于A 处正南方向的B 处,则此时快艇距离A 处( ) A ．25 km B ．24 km C ．7 km D ．1 km 5．满足下列条件的△ABC ,不是直角三角形的是( ) A ．∠A ＝∠B ＋∠C B ．∠A ：∠B ：∠C ＝1：1：2 C ．b 2＝a 2＋c 2D ．a ：b ：c ＝1：1：26．如图,直线l 上有三个正方形a ,b ,c ,若a ,b 的面积分别为5和13,则c 的面积为( )A ．4B ．8C ．12D ．187．如图,在△ABC 中,∠ACB ＝90°,AC ＝6,BC ＝8,点D 在边AB 上,AD ＝AC ,AE ⊥CD ,垂足为F ,与BC 交于点E ,则BE 的长是( ) A ．3 B ．5 C.163D ．68．如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,AC＝17,BC＝16,AD＝15,则△ABC的面积为( )A．128 B．136 C．120 D．2409．如图是台阶的示意图,已知每个台阶的宽度都是30 cm,每个台阶的高度都是15 cm,则A,B两点之间的距离等于( )A．195 cm B．200 cm C．205 cm D．210 cm10．如图是一个圆柱形的饮料罐,底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔,则一根到达底部的直吸管在罐内部分的长度a(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)的范围是( )A．12≤a≤13 B．12≤a≤15 C．5≤a≤12 D．5≤a≤1311．如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A,B,C,D的面积分别为4,5,3,4,则最大的正方形E的面积是( ) A．14 B．15 C．16 D．1812．如图,已知∠C＝90°,AB＝12,BC＝3,CD＝4,AD＝13,则∠ABD的度数是( ) A．70° B．80° C．90° D．100°二、填空题(本大题共6道小题,每小题3分,共18分)13．小明向东走80 m后,沿另一方向又走了60 m,再沿第三个方向走100 m回到原地,小明向东走80 m后是向________方向走的．14．飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩正上方4 000 m处,过了10 s,飞机距离这个男孩头顶5 000 m,则飞机平均每小时飞行__________．15．某直角三角形中一直角边的长为9,另两边的长为连续自然数,则该直角三角形的周长为____________．16．如图,在一根长90 cm的灯管上缠满了彩色丝带,已知可近似地将灯管看成圆柱体,且底面周长为 4 cm,彩色丝带均匀地缠绕了30圈,则彩色丝带的总长度为________．17．图①是第七届国际数学教育大会(ICME－7)的会徽图案,它是由一串有公共顶点O的直角三角形(如图②所示)演化而成的．如果图②中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…A7A8＝1,那么OA82的长为________．18．如图,在Rt△ABC中,∠ABC＝90°,DE垂直平分AC,垂足为O,AD∥BC,且AB＝5,BC ＝12,则AD的长为________．三、解答题(本大题共7道小题,19－21题每题8分,22－24题每题10分,25题12分,共66分)19．如图,在四边形ABFC中,∠ABC＝90°,CD⊥AD,AD2＝2AB2－CD2.试说明：AB＝BC.20．小颖用四块完全一样的长方形地砖,恰好拼成如图①所示图案,如图②,连接对角线后,她发现该图案中可以用“面积法”采用不同方案去说明勾股定理．设AE＝a,DE ＝b,AD＝c,请你找到其中一种方案说明：a2＋b2＝c2.21．如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,BC＝6,AC＝8,AB＝10.求CD的长．22．如图所示的一块草地,已知AD＝12 m,CD＝9 m,∠ADC＝90°,AB＝39 m,BC＝36 m,求这块草地的面积．23．如图,某港口O位于南北延伸的海岸线上,东面是大海．“远洋”号、“长峰”号两艘轮船同时离开港口O,各自沿固定方向航行,“远洋”号每小时航行12海里,“长峰”号每小时航行16海里,它们离开港口1小时后,分别到达A,B两个位置,且AB ＝20海里,已知“远洋”号沿着北偏东60°方向航行,请判断“长峰”号航行的方向,并说明理由．24．如图所示的圆柱形容器的高为1.2 m,底面周长为1 m．在容器内壁离容器底部0.3 m的点B处有一只蚊子,此时一只壁虎正好在容器外壁的点A处,且距离容器上沿0.3 m(点A,B在同一个经过圆柱中心轴的截面上),则壁虎捕捉蚊子的最短距离为多少(容器厚度忽略不计)?25．如图甲是一个直角三角形ABC,它的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形,放在边长为a＋b的大正方形内．(1)由图乙、图丙,可知①是以________为边长的正方形,②是以________为边长的正方形,③的四条边的长都是________,且每个角都是直角,所以③是以________为边长的正方形．(2)图乙中①的面积为________,②的面积为________,图丙中③的面积为________．(3)图乙中①②的面积之和为________．(4)图乙中①②的面积之和与图丙中③的面积有什么关系？为什么？由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？答案一、1.B 2.C 3.B 4.C 5.D 6.B 7．B 8.C 9.A 10.A 11.C 12.C 二、13.北或南 14．1 080 km 15．90 16．150 cm17．8 【点拨】由题意可得OA 22＝12＋12＝2,OA 32＝12＋2＝3,…,所以OA n 2＝n ,所以OA 82＝8. 18.16924三、19.解：因为在△ABC 中,∠ABC ＝90°, 所以AB 2＋BC 2＝AC 2. 因为在△ACD 中,CD ⊥AD , 所以AD 2＋CD 2＝AC 2. 所以AB 2＋BC 2＝AD 2＋CD 2. 又因为AD 2＝2AB 2－CD 2, 所以AB 2＋BC 2＝2AB 2－CD 2＋CD 2. 所以AB 2＝BC 2. 所以AB ＝BC .20．解：(答案不唯一)因为AE ＝a ,DE ＝b ,AD ＝c , 所以S 正方形EFGH ＝EH 2＝(a ＋b )2,S 正方形EFGH ＝4S △AED ＋S 正方形ABCD＝4×12ab ＋c 2＝2ab ＋c 2,所以(a ＋b )2＝2ab ＋c 2. 所以a 2＋b 2＝c 2.21．解：因为在△ABC 中,BC ＝6,AC ＝8,AB ＝10, 所以BC 2＋AC 2＝AB 2. 所以∠ACB ＝90°.因为12AC ×BC ＝12AB ×CD ,所以12×6×8＝12×10×CD ,解得CD ＝4.8. 22．解：连接AC . 因为∠ADC ＝90°,所以AC 2＝CD 2＋AD 2＝92＋122＝225, 所以AC ＝15 m .在△ABC 中,AB 2＝1 521,AC 2＋BC 2＝152＋362＝1 521. 所以AB 2＝AC 2＋BC 2, 所以∠ACB ＝90°,所以S △ABC －S △ACD ＝12AC ·BC －12AD ·CD ＝12×15×36－12×12×9＝216(m 2)．所以这块草地的面积是216 m 2.【点拨】求解不规则图形的面积时,常通过作辅助线构造直角三角形,进而利用勾股定理求出各边的长,然后由直角三角形的判定方法判定出直角三角形,再结合三角形的面积公式进行求解．23．解：由题意得OA ＝12海里,OB ＝16海里,AB ＝20海里． 因为122＋162＝202, 所以OA 2＋OB 2＝AB 2.所以△OAB 是直角三角形,∠AOB ＝90°. 因为∠DOA ＝60°,所以∠COB ＝180°－90°－60°＝30°. 所以“长峰”号航行的方向是南偏东30°. 24．解：圆柱形容器的侧面展开图如图所示,作点A 关于直线EF 的对称点A ′,连接A ′B ,交EF 于点P ,连接AP , 则AP ＋PB 的值为壁虎捕捉蚊子的最短距离． 过点B 作BM ⊥AA ′于点M .易知在Rt △A ′MB 中,A ′M ＝1.2 m ,BM ＝0.5 m , 根据勾股定理可得A ′B ＝1.3 m . 因为A ′B ＝AP ＋PB ,所以壁虎捕捉蚊子的最短距离为1.3 m .25．解：(1)a ；b ；c ；c (2)a 2；b 2；c 2(3)a 2＋b 2(4)图乙中①②的面积之和与图丙中③的面积相等．理由：由大正方形的边长为a ＋b ,得大正方形的面积为(a ＋b )2,图乙中可把大正方形分成四部分,分别是边长为a 的正方形,边长为b 的正方形,还有两个长为a ,宽为b 的长方形,根据面积相等得(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab .由图丙可得(a ＋b )2＝c 2＋4×12ab .所以a 2＋b 2＝c 2.所以图乙中①②的面积之和与图丙中③的面积相等．由此能得到关于直角三角形三边长的关系：两直角边的平方和等于斜边的平方．。
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《勾股定理》单元测试题
一、选择题：
1．若梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（）
A．12米 B．13米 C．14米 D．15米
2，1 ．其中能构成直角三角形的有（）组
A．2 B．3 C．4 D．5
3．在△ABC中，∠C＝90°，周长为60，斜边与一直角边比是13∶5，则这个三角形三边长分别是（）A．5，4，3 B．13，12，5 C．10，8，6 D．26，24，10
4．在△ABC中，已知AB=12cm，AC=9cm，BC=15cm，则△ABC的面积等于（）
A．108cm²B．90cm²C．180cm²D．54cm²
5．将直角三角形三条边的长度都扩大同样的倍数后得到的三角形（）
A．仍是直角三角形 B．可能是锐角三角形
C．可能是钝角三角形 D．不可能是直角三角形
B
(第6.如图，分别以直角△ABC的三边AB，BC，CA为直径向外作半圆．设直线AB左边阴影部分的
面积为S1，右边阴影部分的面积和为S2，则（）
A．S1＝S2 B．S1＜S2
C．S1＞S2 D．无法确定
7．如图3所示，AB＝BC＝CD＝DE＝1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE＝（）
8．2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，
它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形
的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，那么
（a+b）²的值为（）
A. 13
B. 19
C. 25
D. 169
10．直角三角形有一条直角边长为13，另外两条边长是连续自然数，则周长为（）
A．182 B．183 C．184 D．185
二、填空题：
9．正方形ABCD 中，AC=4，则正方形ABCD 面积为_______． 10．在Rt △ABC 中，斜边AB ＝2，则AB 2+BC 2+CA 2＝________． 11．一直角三角形的两边长分别为5和4，则第三边的长是_______． 12．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______． 13．如图，在等腰△ABC 中，AB=AC=10，BC=12，则高AD=________． 14．等腰△ABC 的面积为12cm 2，底上的高AD ＝3cm ，则它的周长为________．
15．有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了________米．
16．如图，今年第8号台风“桑美”是50多年以来登陆我国大陆地区最大的一次台风，
一棵大树受“桑美”袭击于离地面9米处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为12米，则这棵大树折断前有__________米。
17.一只蚂蚁从长为4cm 、宽为3 cm,高是5 cm 的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点,那么它所行的最短路线的长是________．
（第12题）
30
7米
5米
D
C
B
A N O
M
A
M O
N B
三、解答题：
18.在A 岛上有一个观测站，上午8时观测站发现在A 岛正北方7海里处有一艘船向正东方向航行，上午10时，该船到达距A 岛25海里的B 岛，求该船的航行速度．
19.如图，一架长为5米的梯子AB 斜靠在与地面OM 垂直的墙ON 上，梯子底端距离墙ON 有3米。
①求梯子顶端与地面的距离OA 的长。
②若梯子顶点A 下滑1米到C 点， 求梯子的底端向右滑到D 的距离。
20.印度数学家什迦逻曾提出过“荷花问题”：
“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅”
请用学过的数学知识回答这个问题．
21.如图3-2，在△ABD中，∠A是直角，AB=3，AD=4，BC=12，DC=13，求四边形ABCD的面积.
22.如图，ABC ∆中，3590,12,,22
C C
D BD ∠=︒∠=∠==，求AC 的长。
23.如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？
A B
C
D
L。