线性规划教师版

E4 简单的一元高次不等式的解法
1．E4[2013·湖南卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋2y≤8，0≤x≤4，0≤y≤3，则x ＋y 的最大值_____．
1．6 [解析] 根据题意，画出x ，y 满足的可行域，如图，可知在点B(4，2)处x ＋y
取最大值为6.
2．E4[2013·新课标全国卷Ⅰ] 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧1≤x≤3，
－1≤x －y≤0，
则z ＝2x －y 的最
大值为________．
2．3 [解析] 点(x ，y)是平面内平行线x ＝1，x ＝3与平行线x －y ＝－1，x －y ＝0围成的平行四边形区域，区域的四个顶点坐标分别为(1，2)，(1，1)，(3，4)，(3，3)，分别代入得z ＝0，1，2，3，所以z ＝2x －y 的最大值为3.
E5 简单的线性规划问题 3．E5[2013·天津卷] 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x
的最小值为( )
A ．－7
B ．－4
C ．1
D ．2
3．A [解析] 可行域如图：联立⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝3，
x －y －2＝0，得A(5，3)，当目标函数线过可行域内
A 点时，目标函数有最小值z ＝3－2×5＝－7.
4．E5[2013·四川卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤8，
2y －x≤4，
x≥0，y≥0，且z ＝5y －x 的最大值为
a ，最小值为
b ，则a －b 的值是( )
A ．48
B ．30
C ．24
D ．16
4．C [解析] 画出约束条件表示的可行域，如图，由于目标函数z ＝5y －x 的斜率为1
5
，
可知在点A(8，0)处，z 取得最小值b ＝－8，在点B(4，4)处，z 取得最大值a ＝16.故a －b ＝24. 5．E5[2013·陕西卷] 若点(x ，y)位于曲线y ＝|x|与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值是( )
A ．－6
B ．－2
C ．0
D ．2 5．A [解析] 结合题目可以作出y ＝∣x ∣与y ＝2所表示的平面区域，令2x －y ＝z ，即y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，在封闭区域内平移直线y ＝2x ，当经过点A(－2，2)时，z 取最小值，为2×(－2)－2＝－6. 6．E5[2013·山东卷] 在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y≥0所表示的
区域上一动点，则|OM|的最小值是________．
6.可行域如图，当OM 垂直于直线x ＋y －2＝0时，|OM|最小，故|OM|＝|0＋0－2|
1＋1
＝
2.
7．E5[2013·新课标全国卷Ⅱ] 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x≤3，则z ＝2x －3y 的最小值是( )
A ．－7
B ．－6
C ．－5
D ．－3
7．B [解析] 画出可行域如图△ABC ，易得A(3，－2)，B(3，4)，C(0，1)，作出直线y ＝2
3x ，平移易知直线过B
点时直线在y 轴上的截距最大，此时z 最小．故选B. 8．E5[2013·江苏卷] 抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界)．若点P(x ，y)是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是________．
8.⎣
⎡⎦⎤－2，1
2 [解析] 由y ＝x 2得y′＝2x ，则在点x ＝1处的切线斜率k ＝2×1＝2，切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x
－y －1＝0.在平面直角坐标系中作出可行域，如图阴影部分所示，则A(0，－1)，B ⎝⎛⎭⎫12，0.作直线l 0：x ＋2y ＝0.当平移直线l 0至点A 时，z min ＝0＋2(－1)＝－2；当平移直线l 0至点B 时，z max ＝12＋2×0＝1
2
.故x ＋2y 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－2，12. 9．E5[2013·湖北卷] 某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两
种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )
A ．31 200元
B ．36 000元
C ．36 800元
D ．38 400元
9．C [解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪
⎧36A ＋60B≥900，A ＋B≤21，B －A≤7，其可行域如图中阴影部分，令z ＝1 600A
＋＝－23A ＋z 2 400
，过点M(5，12)时，z min ＝1 600×5＋2 400×12＝36 800.
10．E5[2013·广东卷] 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x －y ＋3≥0，－1≤x≤1，y≥1，则z ＝x ＋y 的最大值是________．
10．5 [解析] 根据图知，线性目标函数z ＝x ＋y 在点C 处取得最大值，易求点C (1，4)，故z max ＝5.
11．E5[2013·福建卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y≤2，x≥1，y≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值和最小
值分别为( )
A ．4和3
B ．4和2
C ．3和2
D ．2和0
11．B [解析] 可行域如图所示，直线z ＝2x ＋y 过点A(1，0)时，z min ＝2，过点B(2，0)时，z max ＝4，故选B.
12．E52013·北京卷设D 为不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧x≥0，2x －y≤0，x ＋y －3≤0表示的平面区域，区域D 上的点与点(1，0)之间的距离的最小值__．
12. [解析] 在平面直角坐标系中画出可行域，如图所示．根据可行域可知，区域D 内的点到点(1，0)的距离最小
值为点(1，0)到直线2x －y ＝0的距离，即d ＝|2－0|5
＝2 5
5.
13．E5[2013·安徽卷] 若非负变量x ，y 满足约束条件⎩
⎪⎨⎪⎧x －y≥－1，
x ＋2y≤4，则x ＋y 的最大值为
________．
13．4 [解析] 已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分，设z ＝x ＋y ，则z 的几何意义是直线y ＝－x ＋z 在y 轴上的截距，结合图形，可知当直线y ＝－x ＋z 通过点A(4，0)时z 最大，此时z ＝4.
14．E5[2013·浙江卷] 设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧x≥2，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝________．
14．2 [解析] 不等式组表示的可行区域为如图所示的三角形ABC 及其内部，A(2，0)，B(4，4)，C(2，3)，要使z
的最大值为12，只能经过B 点，此时12＝4k ＋4，k ＝2.
2012 E5 简单的线性规划问题
1．E5[2012·天津卷] 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，
x －1≤0，
则目标函数z ＝3x －2y 的最小值为( )
A ．－5
B ．－4
C ．－2
D ．3
1．B [解析] 概括题意画出可行域如图．当目标函数线过可行域内点A(0,2)时，目标函数有最小值z ＝0×3－2×2＝－4.
2．E5[2012·四川卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧
x －y≥－3，
x
＋2y≤12，
2x ＋y≤12，
x≥0，y≥0，
则z ＝3x ＋4y 的最大
值是( )
A ．12
B ．26
C ．28
D ．33
2．C [解析] 由已知，画出可行域如图，可知当x ＝4，y ＝4时，z ＝3x ＋4y 取得最大值，最大值为28.
3．E5[2012·辽宁卷] 设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y≤10，0≤x ＋y≤20，
0≤y≤15，
则2x ＋3y 的最大值为( )
A ．20
B ．35
C ．45
D ．55
3．D[解析] 本小题主要考查线性规划．解题的突破口为作出可行域，借助目标函数的几何意义求目标函数的最值．不
等式组表示的区域如图1－1所示，令z ＝2x ＋3y ，目标函数变为y ＝－23x ＋z
3
，故而当截距越大，z 的取值越大，故
当直线z ＝2x ＋3y 经过点A 时，z 最大，由于⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝20，y ＝15⇒⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝5，
y ＝15，故而A 的坐标为(5,15)，代人z ＝2x ＋3y ，
得到z max ＝55，即2x ＋3y 的最大值为55.
4．E5[2012·广东卷] 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y≤1，x －y≤1，
x ＋1≥0，
则z ＝x ＋2y 的最小值为( )
A ．3
B ．1
C ．－5
D ．－6
4．C [解析] 作出可行域，如图所示．目标函数变形为：y ＝－12x ＋1
2
z ，平移目标函数线，
显然当直线经过图中A 点时，z 最小，由⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－1，
x －y ＝1 得A(－1，－2)，所以z min ＝－1－4
＝－5.所以选择C.
5．E5[2012·福建卷] 若直线y ＝2x 上存在点(x ，y)满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，
x≥m ，
则实数m 的最大值为( )
A ．－1
B ．1 C.3
2
D ．2
5．B [解析] 根据约束条件画出可行域如下图所示，根据题意，显然当直线y ＝2x 与直
线y ＝－x ＋3相交，交点的横坐标即为m 的最大值，解方程组：⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝2x ，
y ＝－x ＋3，解得x
＝1.所以当m≤1时，直线y ＝2x 上存在点(x ，y)满足约束条件，所以m 的最大值为1.
⎧
x －y ＋1≥0，
6.解析 本小题主要考查线性规划最优解的应用，解题的突破口是正确作出可行域和平移目标函数曲线．利用不等式组，作出可行域，则目标函数直线过(0,1)时，z 取最小值－1. 7．E5[2012·安徽卷] 若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x≥0，x ＋2y≥3，
2x ＋y≤3，则z ＝x －y 的最小值是( )
A ．－3
B ．0 C.3
2 D ．3
7,作出不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x≥0，x ＋2y≥3，
2x ＋y≤3
表示的可行域(如图所示的△ABC 的边界及内部平移直线z ＝x
－y ，易知当直线z ＝x －y 经过点C(0,3)时，目标函数z ＝x －y 取得最小值，即z min ＝－3. 8．E5[2012·浙江卷] 设z ＝x ＋2y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧
x －y ＋1≥0，
x ＋y －2≤0，
x≥0，
y≥0，
则z 的取值范围是____．
8．约束条件得到的可行域为下图中的四边形ABCO 及其内部，由目标函数z ＝x ＋2y 可
得y ＝－12x ＋z 2，直线x ＋2y －z ＝0平移通过可行域时，截距z
2
在B 点取得最大值，在O 点
取得最小值，B 点坐标为⎝⎛⎭⎫12，32， 故z ∈⎣⎡⎦⎤0，72. 9．E5[2012·湖北卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y≥－1，x ＋y≥1，
3x －y≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最
小值是________．
9．[答] 2[解析] 作出不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y≥－1，x ＋y≥1，
3x －y≤3
所表示的可行域，如下图阴影部分所示
(含边界)．可知当直线z ＝2x ＋3y 经过直线x ＋y ＝1与直线3x －y ＝3的交点M(1,0)
时，z ＝2x ＋3y 取得最小值，且z min ＝2.
10．E5[2012·山东卷] 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y≥2，
2x ＋y≤4，
4x －y≥－1，
则目标函数z ＝3x －y
的取值范围是( )
A.⎣⎡⎦⎤－32，6
B.⎣⎡⎦⎤－32，－1 C ．[－1,6] D.⎣
⎡⎦⎤－6，32 10．A [解析]
所示阴影部分．当目标函数线l 移至可行域中的A 点(2,0)时，目标函数有最大值z ＝3×2－0＝6；当目标函数线l 移
至可行域中的B 点⎝⎛⎭⎫12，3时，目标函数有最小值z ＝3×12－3＝－32
.
2011
1.课标文数6.E5[2011·安徽卷] 设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y≤1，x －y≤1，
x≥0，
则x ＋2y 的最大值和最小值分别为( )
A ．1，－1
B ．2，－2
C ．1，－2
D ．2，－1
1.B 【解析】 画出可行域(如图所示阴影部分)．可知当直线u ＝x ＋2y 经过A(0,1)， C(0，－1)时分别对应u 的最大值和最小值．故u max ＝2，u min ＝－
2. 2.大纲文数4.E5[2011·全国卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y≤6，x －3y≤－2，
x≥1，
则z ＝2x ＋3y 的
最小值为( )
A ．17
B ．14
C ．5
D ．3
2. C 【解析】 通过约束条件画出可行域，可知z 的最小值为5，故选C.
3.课标文数8.E5[2011·湖北卷] 直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x≥0，
y≥0，
x －y≥－2，
4x ＋3y≤20
表示的平
面区域的公共点有( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．无数个 3. B 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x≥0，y≥0，
x －y≥－2，
4x ＋3y≤20
表示的可行域，如图阴影部分所示(含边界)．因为
直线2x ＋y －10＝0过点A ()5，0，且其斜率为－2，小于直线4x ＋3y ＝20的斜率－4
3
，故只有一个公共点()5，0.
4.课标文数14.E5[2011·课标全国卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩
⎪⎨⎪⎧
3≤2x ＋y≤9，
6≤x －y≤9，则z ＝x ＋2y 的最小值为_________．
4.【解析】 作出可行域如图阴影部分所示，由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝－2x ＋3，
y ＝x －9 解得A(4，－5)．当直线z ＝x ＋2y 过A 点时z 取最
小值，将A(4，－5)代入，得z ＝4＋2×(－5)＝－6.
5.课标文数2.E5[2011·天津卷] 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x≥1，x ＋y －4≤0，
x －3y ＋4≤0，
则目标函数z ＝3x －y 的最大值为( )
A ．－4
B ．0 C.4
3
D ．4
5. 作出可行域，如图联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2，
y ＝2.当目标函数z ＝3x －y 移至(2,2)时z ＝3x －y 有最大值
4.
6.课标文数3.E5[2011·浙江卷] 若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y －5≥0，2x ＋y －7≥0，
x≥0，y≥0，
则3x ＋4y 的最小值是( )
A ．13
B ．15
C ．20
D ．28
6.可行域如图阴影部分所示．联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －5＝0，2x ＋y －7＝0，解之得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3，y ＝1.∴当z ＝3x ＋4y 过点(3,1)时，有最小值13.。