从新课程高考看《坐标系与参数方程》教学与复习
2024届高考二轮复习文科数学课件：坐标系与参数方程
误区警示将曲线的参数方程化为普通方程时,要注意x,y的取值范围,即在
消去参数的过程中要保证普通方程与参数方程的等价性.
6.参数方程中参数 t 的几何意义
= 0 + cos,
过定点 P0(x0,y0),倾斜角为 α 的直线参数方程的标准形式为 = + sin (t
0
为参数),t 的几何意义是直线上的点 P 到点 P0(x0,y0)的向量,即|t|=|0 |,t 可正
19
19
19
5
2
∵-2≤y≤2,∴- 3 ≤3y -2y-6≤10,∴- 3 ≤4m≤10,即-12≤m≤2.
∴m 的取值范围为
19 5
- 12 , 2
.
3.(2020 全国Ⅰ,文 22)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为
= cos ,
(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲
半径之差为 2- 2,显然 3-2 2<2- 2,所以两圆没有公共点.
知识精要
1.极坐标与直角坐标的互化
(1)互化的前提:①直角坐标系的原点与极点重合;②x轴的正半轴与极轴重
合;③在两种坐标系中取相同的长度单位.
(2)互化公式:设M是平面内任一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),则
极坐标与直角
例1(2021全国乙,理22)在直角坐标系xOy中,☉C的圆心为C(2,1),半径为1.
(1)写出☉C的一个参数方程;
(2)过点F(4,1)作☉C的两条切线,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立
极坐标系,求这两条切线的极坐标方程.
= 2 + cos,
解 (1)☉C 的参数方程为
高考讲坐标系与参数方程课件理
考点三：运用坐标系解决实际问题
01
02
总结词：能够运用坐标 系解决简单的实际问题 ，提高解决实际问题的 能力。
详细描述
03
04
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1. 能够运用坐标系解决 简单的实际问题，如位 移、速度、加速度等物 理量的表示和计算。
2. 能够运用坐标系解决 一些简单的几何问题， 如求两点之间的距离、 三角形面积等。
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考点二：参数方程的转化与求解
详细描述
2. 能够将普通方程转化为参数方 程，将参数方程转化为普通方程 ，并了解参数的物理意义。
总结词：了解和掌握参数方程的 基本概念和转化方法，能够求解 简单的参数方程。
1. 了解参数方程的基本概念和特 点，掌握参数方程与普通方程的 转化方法。
3. 掌握求解参数方程的方法，如 代入法、消元法等，能够求解简 单的参数方程。
它由一个原点和一组有序的坐标轴组成。
坐标系的分类
02 坐标系可分为直角坐标系、极坐标系和球面坐标系等
。
坐标系的表示方法
03
坐标系可以用图形、符号和公式等方式来表示。
坐标系的种类
直角坐标系
直角坐标系是二维平面上最常用的坐标系， 它由一个原点和两组互相垂直的坐标轴组成 。
极坐标系
极坐标系是用来描述在平面上的点和其到原点的距 离以及其与极轴的夹角的坐标系。
坐标系与参数方程的应用场景
坐标系广泛应用于各种科学领域，如物理学、化学、生物学、地理学等。在物理学中，坐标系可以描 述物体的位置和运动状态；在化学中，它可以描述分子的空间构型和原子间的相互作用；在地理学中 ，它可以描述地球上物体的位置和形态。
参数方程也被广泛应用于各种科学领域。例如，在物理学中，参数方程可以描述物体的运动轨迹和速 度变化；在化学中，它可以描述化学反应的进程和速率；在生物学中，它可以描述生物体的生长过程 和形态变化。
高中课标课程选修4-4《坐标系与参数方程》教学参考一 《坐标系与参数方程》概观
比如“声响定位”，教材创设的情景是要学生确定 声响的位置，学生在思考如何解决这个情景问题时， 发 现要确定一 个点的位置， 必须借助于 数量关系， 此 时教师可引 导学生进一步 思考要用什 么数量关系 来 表示它？要 怎样找到数量 关系？最后 让学生体会 用坐标法解决问题的过程.
又如“参数方程的引入”，教材创设了飞机向灾区 投 放物资的情 景，教师应引 导学生思考 ；如果建立 了适当的直角坐标系，物资离开飞机后的空中位置， 可 以用坐标系 的坐标来表示 ，而表示物 资位置的坐 标，可以用物质离开飞机的时间来确定. 于是学生在 这 样一个问题情 景中，感受 到物资在某 一时刻的位 置 可以用函数来 刻画它，从 而在意识上 产生引入参 数方程的必要性.
坐 标系是坐标 法思想得 以实现的平 台，是解析 几 何的基 础. 参数方 程是以 参变量 为中介来 表示曲 线 上点的坐标 的方程，是曲 线在同一坐 标系下的又 一种表示形式. 2.坐标系与参数方程的作 用
通 过极坐标系 、柱坐标 系、球坐标 系等不同的 坐 标系的学习 ，可以丰富对 坐标系的认 识，体会不 同 坐标系在刻 画几何图形或 描述自然现 象的特点， 从 而可以根据 不同几何图形 的特点选择 适当坐标系 使建立的方程更加简单，研究更方便. 通过参数方程 的 学习，可以发 现某些曲线 用参数方程 表示比用普 通 方程表示更方 便，而且有 助于进一步 体会解决问 题中数学方法的灵活多变. 3.教材地位分析
近十年来 ，本专题的 教学内容在 中学数学课 程 中经历了三 个不同时期． 一是以一章 的形式出现 在 解析几何中；二是在“两省一市”(山西、江西、天津) 的教科书里 面把它分解到 各个章节中 ；三是在课 标 课程中，又 重新把它集中 为一个专题 即《坐标系 与 参数方程》．本专题是以《平面解析几何初步》、《平 面向量》、《三角函数》 等模块的知识 为基础，是 平 面解析几何 初步、平面向 量、三角函 数等内容的 综 合应用和进一步深化. 4.本专题 知识网络图
坐标系与参数方程高考知识点 2024数学
坐标系与参数方程高考知识点 2024数学2024年的高考数学考试中，坐标系与参数方程是一个重要的知识点。
本文将对坐标系和参数方程的概念、性质以及应用进行详细的论述。
一、坐标系的概念与性质坐标系是一种用来确定平面或空间中点位置的方法。
在平面上，常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系；在空间中，常用的坐标系有直角坐标系和球坐标系。
1. 直角坐标系：直角坐标系是平面上最常用的一种坐标系，使用两个数值来确定平面上的点的位置。
我们用横坐标x和纵坐标y来表示一个点的位置，记作P(x, y)。
直角坐标系具有以下性质：- 原点：坐标系的交叉点称为原点，表示为O(0, 0)。
- 坐标轴：直角坐标系由两条相互垂直的直线组成，分别称为x轴和y轴。
- 单位长度：直角坐标系中x轴和y轴的单位长度相等。
2. 极坐标系：极坐标系是另一种表示点位置的方法，它使用距离和角度来确定点的位置。
对于平面上的点P，极坐标系表示为(r, θ)，其中r为点P到原点的距离，θ为点P与正半轴的夹角。
极坐标系具有以下性质：- 极轴：极坐标系有一条特殊的直线称为极轴，通常与x轴重合。
- 极角：极坐标系中，与极轴正向的夹角称为极角，通常用θ表示。
- 极径：点P到原点的距离称为极径，用r表示。
二、参数方程的概念与性质参数方程是用参数的变化规律来确定点的位置的方法。
它通常由一组含有参数的方程组成，通过给参数赋值，可以确定出点的坐标。
在坐标系中，参数方程可以用来表示一条曲线或曲面。
常见的参数方程有平面曲线的参数方程和空间曲线的参数方程。
1. 平面曲线的参数方程：平面曲线的参数方程通常用两个参数t、u来表示。
例如，曲线C可以由参数方程表示为：x = f(t)y = g(t)其中t的取值范围确定了曲线上点的位置。
平面曲线的参数方程具有以下性质：- 曲线上的点的坐标是参数t的函数，参数t的值域决定了曲线的范围。
- 在参数方程中，可以通过改变参数的取值来绘制不同部分的曲线。
“坐标系与参数方程”的教学启示
线． 用计 算 机 展 示 心脏 线 、 线 、 摆 线 、 开 应 螺 平 渐
线 、 瑰 线 、 形线 等． 些 主题 动 画展 现 了一 个 玫 星 这
个 动 态 变 化 的 情 景 ， 我 们 在 感 受 到 数 学 曲 线 的 使 美 和数学 曲线世 界绚 丽 多 彩 的 同时 ， 们 “ ” 我 看 到
１ 数 学 体 验 的 获 得 与 生 成 是 数 学 选 修 课
程 的一 个不 可 缺 失 的教 学 目标
数学 选修课 程教学 的表 现性 目标 区别 于必修 课程 教学 的行 为性 目标 的关 键 之处 在 于 ， 仅仅 不
是要让学 生具有 掌握 数 学 “ 基 ” 基 础 学力 ， 双 的 更
方 程 ． 学 目标 是 通 过 本 专 题 的 学 习 ， 生 掌 握 极 教 学
动瓶 盖并且 在边 界 上 画 一条 竖 直 的 红 色短 线 ， 当
活动 瓶盖 紧靠 着 固定 瓶 盖并 且 绕 它 滚动 一 周 时 ，
会看 到滚动 瓶盖 的边 界上 的红 色短 线 的下端点 会
画 出一 条心 形 曲线 即心脏 线 ； 等． 等 由此 可 见 ， 我 们是 在一 种 轻 松 愉 快 的 情 境 中体 验 数 学 是 好 玩
可 缺 少 的 教 学 目标 ． ２ ．１ 学 生 的 学 习 总 结 报 告 １ 绚 丽 多 彩 的 曲线 世 ： 界 — — 数 学 原 来 也 有 趣 看 “ 学 ” 看 动 画 演 示 ， 个 人 的 自行 车 的 车 数 ． 一
课程教 学 的唯一 目标 ， 等． 等 针对 数学选 修课 程实 施 中出现 的问题 ， 了达 到 数 学选 修 课 程 的最 初 为
高中数学高考二轮复习坐标系与参数方程教案
第二讲 坐标系与参数方程(选修4－4)命题全解密 MINGTIQUANJIEMI1.命题点 极坐标方程，极坐标与直角坐标的互化，参数方程及参数方程化为普通方程．2.交汇点 常与轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系，曲线的交点，弦长问题，最值问题等知识交汇考查．3.常用方法 求轨迹方程的方法，求曲线交点的方法，求弦长的方法，求函数最值的方法．对应学生用书P091[必记公式]直角坐标与极坐标的互化公式把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎨⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).[重要结论]1．圆的极坐标方程(1)若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.(2)几个特殊位置的圆的极坐标方程 ①当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；②当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝2a cos θ； ③当圆心位于M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，π2，半径为a ：ρ＝2a sin θ. 2．直线的极坐标方程(1)若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．(2)几个特殊位置的直线的极坐标方程 ①直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；②直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； ③直线过M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b .3．几种常见曲线的参数方程 (1)圆①以O ′(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α，其中α是参数． ②当圆心在(0,0)时，方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α，其中α是参数．(2)椭圆①椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，其中φ是参数．②椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b cos φ，y ＝a sin φ，其中φ是参数．(3)直线经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α，其中t 是参数．对应学生用书P092热点一 极坐标方程及其应用例1 (1)[2015·山西四校联考]在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φy ＝sin φ(φ为参数)．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．①求圆C 的极坐标方程；②直线l 的极坐标方程是2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝33，射线OM ：θ＝π3与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．[解] ①圆C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.②设P (ρ1，θ1)，则由⎩⎨⎧ρ＝2cos θθ＝π3解得ρ1＝1，θ1＝π3.设Q (ρ2，θ2)，则由⎩⎨⎧ρ(sin θ＋3cos θ)＝33θ＝π3解得ρ2＝3，θ2＝π3.所以|PQ |＝2.(2)[2015·郑州第二次质量预测]在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22.(ρ≥0,0≤θ＜2π) ①求圆O 和直线l 的直角坐标方程；②当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标．[解] ①圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 故圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2－x －y ＝0， 直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为：x －y ＋1＝0. ②由①知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝1，即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0,1)，将(0,1)转化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，即为所求．求解极坐标方程的题应注意两点(1)曲线的极坐标方程化为直角坐标方程时，如果不容易直接转化，要先变形．(2)已知两曲线的极坐标方程，求交点时可首先化为直角坐标方程，求出直角坐标交点再化为极坐标．1．[2015·江苏高考]已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径．解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ －4＝0.则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6， 所以圆C 的半径为 6.2．[2015·课标全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．解 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0， 得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2. 由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.热点二 参数方程及其应用例2 (1)[2015·唐山一模]已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋3t y ＝23＋t(t 为参数)． ①写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程；②设A (1,0)，若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与其到直线l 的距离相等，求点P 的坐标．[解] ①椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ(θ为参数)，直线l ：x －3y ＋9＝0.②设P (2cos θ，3sin θ)，则|AP |＝(2cos θ－1)2＋(3sin θ)2＝2－cos θ，点P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ－3sin θ＋9|2＝2cos θ－3sin θ＋92.。
2020版新高考复习理科数学教学案：坐标系与参数方程 含答案
将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程整理.得t2＋(2 sinα＋2cosα)t－5＝0.
因为Δ＝(2 sinα＋2cosα)2＋20>0.所以可设该方程的两个根分别为t1.t2.
则t1＋t2＝－(2 sinα＋2cosα).t1t2＝－5.
【例2】[20xx·全国卷Ⅱ]在极坐标系中.O为极点.点M(ρ0.θ0)(ρ0＞0)在曲线C：ρ＝4sinθ上.直线l过点A(4,0)且与OM垂直.垂足为P.
(1)当θ0＝ 时.求ρ0及l的极坐标方程；
(2)当M在C上运动且P在线段OM上时.求P点轨迹的极坐标方程．
解：(1)因为M(ρ0.θ0)在C上.当θ0＝ 时.
(1)求A.B两点间的距离；
(2)求点B到直线l的距离．
解：(1)设极点为O.在△OAB中.A .B .由余弦定理.得
AB＝ ＝ .
(2)因为直线l的方程为ρsin ＝3.
则直线l过点 .倾斜角为 .
又B .所以点B到直线l的距离为
(3 － )×sin ＝2.
■模拟演练——————————————
1．[20xx·南昌二模]已知在平面直角坐标系xOy中.直线l的参数方程为 (t为参数).以坐标原点为极点.x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－2＝0.点P的极坐标是 .
所以点P的直角坐标为(1,1)．
(2)解法一：将 代入 ＋y2＝1.并整理得41t2＋110t＋25＝0.
Δ＝1102－4×41×25＝8 000＞0.
故可设方程的两根为t1.t2.
则t1.t2为A.B对应的参数.且t1＋t2＝－ .
依题意.点M对应的参数为 .
高考数学 《坐标系与参数方程》
坐标系与参数方程主标题：坐标系与参数方程副标题：为学生详细的分析坐标系与参数方程的高考考点、命题方向以及规律总结。
关键词：极坐标，参数方程难度：3重要程度：5考点剖析：1．理解坐标系的作用．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．2．会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．3．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程.4．了解参数方程，了解参数的意义．5．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．6．掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题.命题方向：高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用．以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识．规律总结：1．主要题型有极坐标方程、参数方程和普通方程的互化，在极坐标方程或参数方程背景下的直线与圆的相关问题．2．规律方法方程解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是化归与转化思想的应用．在涉及圆、椭圆的有关最值问题时，若能将动点的坐标用参数表示出来，借助相应的参数方程，可以有效地简化运算，从而提高解题的速度．3．极坐标方程与普通方程互化核心公式⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝y x (x ≠0).4．过点A (ρ0，θ0) 倾斜角为α的直线方程为ρ＝ρ0sin (θ0－α)sin (θ－α).特别地，①过点A (a,0)，垂直于极轴的直线l 的极坐标方程为ρcos θ＝a .②平行于极轴且过点A (b ，π2)的直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝b .5．圆心在点A (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为r 2＝ρ2＋ρ20－2ρρ0cos(θ－θ0)．6．重点掌握直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos θy ＝y 0＋t sin θ(t 为参数)，理解参数t 的几何意义.知 识 梳 理1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝y x (x ≠0). 2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过点M (b ，π2)且平行于极轴：ρsin θ＝b . 3．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (r,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ；(3)当圆心位于M (r ，π2)，半径为r ：ρ＝2r sin θ. 4．直线的参数方程过定点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．5．圆的参数方程圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)． 6．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)． (2)抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)．。
“坐标系与参数方程”高考考查分析
“坐标系与参数方程”高考考查分析坐标系与参数方程是数学中的重要概念，在高考中经常被考查。
本文将从简单介绍坐标系和参数方程的基本概念开始，然后分析高考中可能会涉及到的相关考题，并给出解题方法和思路。
一、坐标系的概念坐标系是指由直角坐标轴和原点组成的平面或空间上的一个几何结构。
一般来说，二维坐标系由x轴和y轴组成，原点为坐标系的起点，x轴和y轴互相垂直。
三维坐标系由x 轴、y轴和z轴组成，原点为坐标系的起点，x轴和y轴在平面上互相垂直，z轴与平面垂直。
二、参数方程的概念参数方程是一种用参数表示的的函数方程。
通常将一个二元函数的两个自变量分别用两个参数表示，并用参数方程将它们联系起来。
在空间曲线方程中，我们常常用参数方程来表示曲线上的各个点的坐标。
对于平面上的一条直线，我们可以通过两个参数t和s来表示各个点的坐标。
三、高考考点与命题思路1. 坐标系的性质和计算高考中，常常会考察学生对坐标系性质的理解和计算能力。
考生可能需要根据已知条件绘制坐标系，并计算平面上的点的坐标。
此类题目主要要求考生对坐标系的性质有清晰的认识，能够正确运用计算方法。
2. 转动曲线方程和参数方程之间的转换高考中，经常会涉及到参数方程和曲线方程之间的转换。
考生可能会被给出一个曲线方程，然后要求将其转化为参数方程，或者反过来。
此类题目要求考生对参数方程和曲线方程之间的关系有较深入的理解，并能够找到相应的转换方法。
四、解题方法与思路1. 掌握基本知识考生需要牢固掌握坐标系和参数方程的基本概念和性质。
只有对基本知识有清晰的认识，才能够灵活运用。
2. 熟练计算能力在解决与坐标系和参数方程有关的题目时，熟练的计算能力是必不可少的。
考生需熟悉坐标系的性质，能够准确计算各个点的坐标。
3. 深入理解思考在解答参数方程和曲线方程之间的转换题目时，考生需要深入理解参数方程和曲线方程之间的关系，找到相应的转换方法。
可以通过观察坐标的变化规律，或者利用变量之间的相关关系来解决。
对选修内容《坐标系与参数方程》中坐标系教学的思考
何 的进 一 步 延 伸 ．解 析 几 何 的基 本 思 想
是 引进 “ 标 ” 即 对 一 个 几 何对 象 附 上 坐 ．
培 养适 应 急 剧 变 化 的 社 会 所 需 求 的新 型 人 才 ， 师 必 须 对 所 教 授 内 容 进 行 认 教
投稿邮 ｓｋ ｖ ３ ｏ 箱： ｊ ｉ１ ｒ ｘ ＠ ｐ ６ ｃｎ
数 学教 学通讯 （ 师版 ） 教
教 究＞ 学研 教学反 思
对选修内容《 坐标系与参数方程》 中 坐标系教学的思考
有～ 步一 一 助 于 生 进 岫 士 一 应 考 用 积思 等 选 修 容 ～ 一 方 面 内 坐 疰 觚 究 探 对 选 修 容 系 微 一 录 与 适 当
设 想 逐 渐 形 成 数 学 课 堂 教 学 模 式 ： 设 创 问 题 情 境 一 师 生 共 同探 究 一 揭 示 问 题 本 质一 总结 引 申反 思．
１ ．创设 问题 情 境 第 一 个 层 次 。 师 精 心 设 计 难 度 适 教
通、 紧密 相 连 的 ， 中培 养 、 高 学 生 的 从 提
应 用 意识 ， 进 学 生 对 数 学 知 识 的 认 识 促 和对 数 学本 质 的理 解．
有 序 实 数 组 确 定 点 的 位 置 ． 而 用 方 程 进 刻 画几 何 图形 ．为 便 于 用 代 数 的 方 法 刻
画几 何 图 形 或 描 述 自然 现 象 ， 要 建 立 需 不 同 的坐 标 系．极 坐 标 系 、 坐 标 系 、 柱 球
数学 ２ 平 面 解 析 空 间直 角 几 何 初 步 坐 标 系 数学 ４
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坐 标 系 等 是 与 直 角 坐 标 系 不 同 的 坐 标
从高考题型谈《极坐标系与参数方程选讲》的学习
从高考题型谈《极坐标系与参数方程选讲》的学习作者：胡彦红来源：《新课程·上旬》2013年第11期坐标系是联系几何与代数的桥梁，是数形结合的有力工具，利用它可以使数与形相互转化。
解析几何的基本思想就是在平面上引进“坐标”的概念，建立平面上的点和坐标之间的一一对应，从而建立曲线的方程，并通过方程研究曲线的性质。
参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标方程的，是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式。
某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更加方便，参数法思想也成为解决数学问题的一种重要方法。
由于受我国几次高中数学课程改革对课程内容设置的影响，坐标系和参数方程这两部分内容在历年高考数学中的地位几经变化。
目前实施新课程的省市，都将本专题作为高考必考或选考的内容，分值占5到10分。
那么，对于选修课程如何教与学？如何在繁忙的学习中快速地掌握这章的基础知识？我想谈谈自己对这部分知识点的考查与复习的建议。
一、高考数学考试大纲分析（1）了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；（2）了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；（3）能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程；（4）了解参数方程，了解参数的意义；（5）能选择恰当的参数写出直线，圆和椭圆的参数方程。
二、剖析新课标全国卷历年坐标系与参数方程题目三、几点感想纵观近五年对坐标系与参数方程的分析，我们对这一块的复习抓住以下几点：（1）明确课标要求把握教学难度。
如，对球坐标系和柱坐标系只要求学生通过实例了解，对双曲线和抛物线的参数方程由于三角函数难度的降低也应随之降低要求；（2）在坐标系的教学中可以引导学生自己尝试建立坐标系，说明建立坐标系的原则，激励学生的发散思维和创新思维，并通过具体事例说明这样建立坐标系有哪些方便之处；（3）可以通过对具体物理现象的分析引入参数方程，使学生了解参数的作用；（4）应鼓励学生应用已有的平面向量，三角函数知识选择恰当的参数建立参数方程；（5）充分应用现代教育技术，利用计算机展现曲线的美，让学生感受数学的无穷魅力！（作者单位甘肃省会宁一中）编辑张珍珍。
超实用高考数学重难点专题复习：专题九 坐标系与参数方程
极坐标是 ( , ) ，则
x cos
y sin
2 x2 y 2
y
tan
( x 0)
x
2．圆的极坐标方程
(1)若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－
函数专题；平面向量与解析几何专题；空间向量与立体几何专题；概率与统
计专题；数列与不等式专题等；通过这几个版块的复习目标在于提高学生解
答高考解答题的能力。此阶段学生不应沉迷于套卷演练，而应以典型例题为
载体，以数学思想方法的灵活运用为线索，讲求解题策略，使自己在第一轮
复习的基础上，数学素质得以明显提升。值得注意的是在这个阶段当年的《
卷和地方卷，其次最好能找到近5年以来各区的统考试题，在做题的过程中来巩
固前面复习过的考点。同时最后的复习别忘了课本，特别是在考前应该再次翻
开课本把里面公式和定理再看看，把典型的例题再做做，因为书上的例题毕竟
比较简单，在考前做例题一是防止手生，便于高考正常发挥，一是有助于提高
我们的自信心。
在高考复习的整个过程中，我们最好能建立一个积错本。就是要求我们在
每次在做题时能善始善终，才能提高我们运算的准确度，避免计算失误！对于
第二种审题失误，比如在有一年的高考中让你求的是极值，而我们很多同学求
的是最值，画蛇添足，浪费了时间还要扣分，对于这种情况，我想在考试时一
定要先把题仔细阅读一遍，甚至可以把试卷上关键字做上记号来提示你充分而
准确地利用已知条件，这是一个不错的办法，同学们不妨可以试试！对于第三
研究；
高考数学复习 知识讲解_《坐标系与参数方程》全章复习与巩固
高考数学复习 《坐标系与参数方程》全章复习与巩固编稿：孙永钊 审稿：王静伟【学习目标】1. 理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2. 了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3. 能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.4. 了解参数方程，了解参数的意义.5. 能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程. 【知识网络】【要点梳理】要点一：向量的有关概念 1．极坐标系平面内的一条规定有单位长度的射线Ox ，O 为极点，Ox 为极轴，选定一个长度单位和角的正方向（通常取逆时针方向），这就构成了极坐标系。
2．极坐标系内一点P 的极坐标平面上一点P 到极点O 的距离||OP 称为极径ρ，OP 与Ox 轴的夹角θ称为极角，有序实数对(,)P ρθ就叫做点P 的极坐标。
（1）一般情况下，不特别加以说明时ρ表示非负数； 当0ρ=时表示极点；当0ρ<时，点(,)P ρθ的位置这样确定：作射线OP ，使xOP θ∠=，在OP 的反向延长线上取一点P '，使得||OP ρ'=，点P '即为所求的点。
（2）点(,)P ρθ与点(,2)k ρπθ+（k Z ∈）所表示的是同一个点，即角θ与2k πθ+的终边是相同的。
综上所述，在极坐标系中，点与其点的极坐标之间不是一一对应而是一对多的对应，即(,)ρθ，(,2)k ρπθ+, (,(21))k ρπθ-++均表示同一个点.3. 极坐标与直角坐标的互化当极坐标系与直角坐标系在特定条件下（①极点与原点重合；②极轴与x 轴正半轴重合；③长度单位相同），平面上一个点P 的极坐标(,)ρθ和直角坐标(,)x y 有如下关系：直角坐标化极坐标：cos ,sin x y ρθρθ==； 极坐标化直角坐标：222,tan (0)yx y x xρθ=+=≠. 此即在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系. 4. 直线的极坐标方程：（1）过极点倾斜角为α的直线：()R θαρ=∈或写成θα=及θαπ=+. （2）过(,)A a α垂直于极轴的直线：cos cos a ρθα⋅= 5. 圆的极坐标方程：（1）以极点O 为圆心，a (0)a >为半径的圆：a ρ=.（2）若(0,0)O ，(2,0)A a (0)a >，以OA 为直径的圆：2cos a ρθ= 要点二：参数方程1. 概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数：()()x f t y g t =⎧⎨=⎩，并且对于t 的每一个允许值，方程所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系y x ,间的关系的变数t 叫做参变数（简称参数）.相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程(,)0F x y =，叫做曲线的普通方程。
高考数学一轮复习 坐标系与参数方程教学案 理 新人教A版选修4
选修4—4 坐标系与参数方程考纲要求1．理解坐标系的作用．2．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．3．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标与直角坐标的互化．4．能在极坐标系中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标系与直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义．5．了解参数方程，了解参数的含义．6．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．1．极坐标系在平面内取一个定点O ，叫做____；自极点O 引一条射线Ox ，叫做____；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的____，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作________．极坐标系的四要素：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可．由极径的意义知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立________关系，约定极点的极坐标是极径______，极角可取任意角．2．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；也可化为关系式ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x(x ≠0)． 3．直线的参数方程(1)过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，通常称该方程为直线l 的参数方程的标准形式，其中t 表示P 0(x 0，y 0)到l 上一点P (x ，y )的有向线段P 0P →的数量．t ＞0时，P 0P →的方向向上；t ＜0时，P 0P →的方向向下；t ＝0时，P 与P 0重合．(2)直线l 的参数方程的一般形式是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)，该直线倾斜角α的正切为tan α＝b a(α＝0°或α＝90°时例外)．当且仅当a 2＋b 2＝1且b ＞0时，上式中的t 才具有(1)中的t 所具有的几何意义．4．圆的参数方程圆心在M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为______________________．5．椭圆的参数方程椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为__________________． 1．若直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－2t ，y ＝2＋3t(t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，求常数k 的值．2．已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝－1－2t (t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4. (1)求圆心C 到直线l 的距离；(2)若直线l 被圆C 截得的弦长为655，求a 的值． 3．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2. (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．一、平面直角坐标系下的伸缩变换【例1】 在同一直角坐标系中，将直线x －2y ＝2变成直线2x ′－y ′＝4，求满足图象变换的伸缩变换．方法提炼求满足图象变换的伸缩变换，可先求出变换公式，分清新旧坐标，代入对应的曲线方程，然后比较系数可得变换规则．请做演练巩固提升1二、如何求曲线的极坐标方程【例2】过原点的一动直线交圆x2＋(y－1)2＝1于点Q，在直线OQ上取一点P，使P到直线y＝2的距离等于|PQ|.用极坐标法求动直线绕原点一周时P点的轨迹方程．方法提炼求曲线极坐标方程的基本步骤是：(1)建立适当的极坐标系；(2)在曲线上任取一点P(ρ，θ)；(3)根据曲线上的点所满足的条件写出等式；(4)用极坐标ρ，θ表示上述等式，并化简得极坐标方程；(5)证明所得的方程是曲线的极坐标方程．请做演练巩固提升2三、极坐标方程的应用【例3】已知极坐标系的极点是直角坐标系的原点，极轴与直角坐标系中x轴的正半轴重合．曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ－2sin θ，曲线l的极坐标方程是ρ(cos θ－2sin θ)＝2.(1)求曲线C和l的直角坐标方程并画出草图；(2)设曲线C和l相交于A，B两点，求|AB|.方法提炼1．极坐标与直角坐标互化公式：x＝ρcos θ，y＝ρsin θ成立的条件是直角坐标的原点为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．2．用极坐标法可使几何中的一些问题得出更直接、简单的解法，但解题的关键是选取适当极坐标系，这样可以简化运算过程，转化为直角坐标时也容易一些．特别提醒：极坐标与直角坐标的区别有：多值性：在直角坐标系中，点与直角坐标是“一对一”的关系．在极坐标系中，由于终边相同的角有无数个，即点的极角不唯一，因此点与极坐标是“一对多”的关系．但不同的极坐标可以写出统一的表达式．如果(ρ，θ)是点M的极坐标，那么(ρ，θ＋2kπ)或(－ρ，θ＋(2k＋1)π)(k∈Z)都可以作为点M的极坐标．请做演练巩固提升3四、参数方程及其应用【例4】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋45t ，y ＝－1－35t (t 为参数)，若以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，求直线l 被曲线C 所截得的弦长．方法提炼1．直线的参数方程的应用非常广泛，主要用来解决直线与圆锥曲线的位置关系问题．在解决这类问题时，充分利用直线参数方程中参数t 的几何意义，可以避免通过解方程组找交点等繁琐的运算，使问题得到简化．直线的参数方程有多种形式，只有标准式中的参数才具有明确的几何意义．2．把参数方程化为普通方程，消参数的方法有：代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法等．普通方程化为参数方程：关键是如何引入参数．若动点坐标x ，y 与旋转角有关时，通常选择角为参数；与运动有关的问题，通常选择时间为参数等．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致． 提醒：将曲线的参数方程化为普通方程主要消去参数，简称为“消参”．把参数方程化为普通方程后，很容易改变变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性．请做演练巩固提升4极坐标与参数方程的综合应用【典例】 (10分)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝1，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t 2，y ＝2＋32t (t 为参数)．(1)写出直线l 与曲线C 的直角坐标方程；(2)若将曲线C 上任意一点保持纵坐标不变，横坐标缩为原来的12后，得到曲线C ′，设曲线C ′上任一点为M (x ，y )，求x ＋2y的最小值．规范解答：(1)直线l 的直角坐标方程为3x －y －3＋2＝0，曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝1.(4分)(2)曲线C ′的普通方程为4x 2＋y 2＝1.令x ＝12cos θ，y ＝sin θ， ∴x ＋2y ＝12cos θ＋2sin θ＝172sin(θ＋φ)．(8分) ∴x ＋2y 的最小值为－172.(10分) 答题指导：1.研究含有极坐标方程和参数方程的题目时，可先将它们同时化为直角坐标方程，再借助于直角坐标方程研究它们的性质．2．本题第(2)问还可利用线性规划及直线与椭圆相切等知识来解决．1．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝12x ，y ′＝3y ，求在这一坐标变换下正弦曲线y ＝sin x 的方程．2．将极坐标系的极轴与直角坐标系的x 轴的非负半轴重合，并取相同的单位长度和角度，求过曲线ρcos θ＋ρsin θ＝1和曲线⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝t ＋1，x ＝t (t 为参数)的交点且与极轴平行的直线的极坐标方程．3．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合，且两个坐标系的单位长度相同，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)若直线l 的斜率为－1，求直线l 与曲线C 交点的极坐标；(2)若直线l 与曲线C 相交弦长为23，求直线l 的参数方程．4．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ＝sin θ1－sin 2θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，M 点坐标为(0,2)，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．(1)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)线段MA ，MB 长度分别记|MA |，|MB |，求|MA |·|MB |的值．参考答案基础梳理自测知识梳理1．极点 极轴 极径 M (ρ，θ) 一一对应 ρ＝0 4.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数) 5.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)基础自测1．解：将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－2t ，y ＝2＋3t 化为普通方程y ＝－32x ＋72，该直线的斜率为k 1＝－32； 当k ≠0时，直线4x ＋ky ＝1的斜率为k 2＝－4k，由k 1·k 2＝－1，得k ＝－6.当k ＝0时，显然不成立．2．解：(1)把⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a ＋4t ，y ＝－1－2t 化为普通方程为x ＋2y ＋2－a ＝0，把ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4化为普通方程为x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0， ∴圆心到直线的距离为5|1－a |5. (2)由已知，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫352＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫|a －1|52＝(2)2， ∴a 2－2a ＝0，a ＝0或a ＝2.3．解：(1)∵ρ＝2，∴ρ2＝4，即x 2＋y 2＝4.∵ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2， ∴ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2. ∴x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1.化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 22. 考点探究突破【例1】 解：设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝λ·x ，λ>0，y ′＝μ·y ，μ>0，可将其代入第二个方程，得2λx －μy ＝4，把x －2y ＝2化为2x －4y ＝4，比较系数得λ＝1，μ＝4.此时，⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x ，y ′＝4y ，即把直线x －2y ＝2图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的4倍可得到直线2x ′－y ′＝4.【例2】 解：以O 为极点，Ox 为极轴，建立极坐标系，如图所示，过P 作PR 垂直直线y ＝2，则|PQ |＝|PR |.设P (ρ，θ)，Q (ρ0，θ)，则有ρ0＝2sin θ.∵|PR |＝|PQ |，∴|2－ρsin θ|＝|ρ－2sin θ|.∴ρ＝±2或sin θ＝±1.即为点P 的轨迹的极坐标方程，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝4或x ＝0.【例3】 解：(1)由ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，得曲线C 直角坐标方程(x －1)2＋(y ＋1)2＝2，l 的直角坐标方程x －2y －2＝0.(2)设圆C 的圆心C (1，－1)到直线l 的距离为d ，则d ＝|1－2×(－1)－2|5＝55， 所以|AB |＝2(2)2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫552＝655. 【例4】 解：将方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋45t ，y ＝－1－35t(t 为参数)化为普通方程3x ＋4y ＋1＝0，将方程ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4化为普通方程x 2＋y 2－x ＋y ＝0，此圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，半径为22，则圆心到直线的距离d ＝110，弦长＝2r 2－d 2＝212－1100＝75. 演练巩固提升1．解：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝12x ，y ′＝3y ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2x ′，y ＝13y ′.将其代入y ＝sin x ，得13y ′＝sin 2x ′， 即y ′＝3sin 2x ′.2．解：曲线ρcos θ＋ρsin θ＝1在直角坐标系下的方程为x ＋y ＝1，曲线⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝t ＋1，x ＝t的普通方程为y ＝x ＋1，两直线的交点坐标为⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1，y ＝－x ＋1，即得(0,1)，与极轴平行的方程为y ＝1，则该直线的极坐标方程为ρsin θ＝1.3．解：(1)直线l 的方程：y －1＝－1(x ＋1)，即y ＝－x ， C ：ρ＝4cos θ，即x 2＋y 2－4x ＝0，联立方程得2x 2－4x ＝0，∴A (0,0)，B (2，－2)；极坐标为A (0,0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫22，7π4. (2)d ＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2322＝1， C ：(x －2)2＋y 2＝4，设直线l 的方程为kx －y ＋k ＋1＝0，∴|2k ＋k ＋1|k 2＋1＝1. ∴k ＝0或k ＝－34.∴l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋t ，y ＝1(t 为参数)或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1－45t ，y ＝1＋35t (t为参数)．4．解：(1)直线l 的普通方程为3x －y ＋2＝0.∵ρcos 2θ＝sin θ，∴ρ2cos 2θ＝ρsin θ.∴曲线C 的直角坐标方程为y ＝x 2.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12t ，y ＝2＋32t 代入y ＝x 2得t 2－23t －8＝0， 由参数t 的几何意义知|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝8.。
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从新课程高考看《坐标系与参数方程》的教学与复习
选修4-4《坐标系与参数方程》是解析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合应用和进一步深化。
通过对专题的学习,学生将掌握极坐标和参数方程的基本概念,了解曲线的多种表现形式,体会从实际问题中抽象出数学问题的过程,培养探究数学问题的兴趣和能力,体会数学在实际中的应用价值,提高应用意识和实践能力。
基于这样的目标和要求,目前实施新课程的省市,都将本专题作为高考必考或选考的内容,分值占5到10分。
那么对于选修课程如何教与学?如何在繁忙的复习备考中快速地掌握这章的基础知识?经过深入剖析2010年实验省市的高考题,我想谈谈自己对这部分知识点的考查与复习的建议。
一、高考数学考试大纲分析
(1)极坐标系
①理解坐标系的作用。
②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变换情况。
③能在极坐标系下用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化。
④能在极坐标系中给出简单的图形(如过极点的直线,过极点或圆心在极点的圆的方程),通过比较极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义
⑤了解柱坐标系,球坐标系中表示空间中点的位置的方法,并与
空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较,了解他们的区别。
(2)参数方程
①了解参数方程,了解参数的意义。
②能选择适当的参数写出直线,圆和圆锥曲线的参数方程。
③了解平摆线,渐开线的生成过程,并能推导他们的参数方程。
④了解其他摆线的生成过程,了解摆线在实际中的应用,了解摆
线在表示行星运动轨道中的作用。
二、实例分析
以上是全国高中新课程考试说明,各省市结合自己的情况都制定了相应的标准。
从试题分析来看,目前的考点极坐标系主要集中在第③条和第④条,而第②条和第⑤条基本不涉及。
参数方程集中在第②条,第③条和第④条基本不涉及,大大降低了选修这门课程的
难度。
且看下面的例子:
1.在极坐标系下认识简单的图形
例1:(北京卷理科第5题)极坐标方程 (ρ-1)(θ-π)=0(ρ≥0)表示的图形是()
a.两个圆
b.两条直线
c.一个圆和一条射线
d.一条直线和一条射线
解析:方程(ρ-1)(θ-π)=0(ρ≥0)等价于ρ=1或θ=π(ρ≥0),该方程表示的是一个圆和一条射线,选择c.
例2:(湖南卷第3题)极坐标方程ρ=cosθ和参数方程
x=-1-ty=2+3t,(t为参数)所表示的图形分别是
a.圆,直线
b.直线,圆
c.圆,圆
d.直线,直线
解析:根据直角坐标和极坐标互化公式,ρ=cosθ可以化
成:(x-)2+y2=,表示圆心在(,0)半径为的圆。
再根据参数方程与普通方程的互化知该参数方程为直线的方程,选a.
点拨:(1)在极坐标系中要识别方程所表示的图形,一方面能识记简单的曲线方程,如果记不住,可以采用极坐标化成直角坐标,参数方程化普通方程的方式来判断。
(2)要深刻理解点的极坐标的定义。
比如当ρ<0时点的极坐标是怎么定义的?
2.掌握两种转化:直角坐标和极坐标的互化,参数方程和普通方程的互化
例3:(广东卷15题)在极坐标系(ρ,0)(0≤θ<2π)中,曲线ρ
=2sinθ与ρcosθ=-1的交点的极坐标为。
解析:根据交点的含义:将ρ=2sinθ带入ρcosθ=-1得到:2sin θcosθ=-1,从而sin2θ=-1, θ=π,ρ=从而交点极坐标为(, π).
例4:(陕西卷15题)已知圆c的参数方程为x=cosαy=1+sin α,(α为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为ρsinθ=1,则直线l与圆c的交点的直角坐标
为
解析:将圆的参数方程化成普通方程为x2+(y-1)2=1,直线的直角坐标方程为y=1,联立两个方程即可解得交点的直角坐标为
(1,1),(-1,1).
点拨:两个省市的题目如出一辙,对于求交点这样的题目,一方面可以利用交点的含义直接做,另一方面就是转化为平面直角坐标系,用熟悉的解析几何知识求解。
3.体会直线的参数方程,了解参数的几何意义
例5:(福建卷21题)在直角坐标系xoy中,直线l的参数方程为
x=3-ty=+t,(t为参数),在极坐标系(与直角坐标系xoy 取相同的单位长度,且以原点o为极点,以 x轴正半轴为极轴,圆c的方程为ρ=2sinθ:①求圆c的直角坐标方程;②设圆c与直线l交于点a,b,若点p的坐标为(3,),求pa+pb.
解析:①圆的直角坐标方程为:x2+(y-)2=5.
②解法一:将直线参数方程化成普通方程为x+y-3-=0,与圆的直
角坐标方程联立,得交点坐标为(1,2+),(2,1+),再带入两点间距离公式可得:pa+pb=3.
解法二:直线经过定点p,将直线的参数方程带入圆的直角坐标方程,可得:
(3-t)2+(t)2=5,即t2-3t+4=0,再根据图形及参数t的几何意义知pa+pb=t1+t2=3.
4.知识的综合应用
例6:(江苏21题四选二)在极坐标系中,已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切,求实数a的值.
解析:将直线和圆的极坐标方程化成直角坐标方程,分别
是:3x+4y+a=0,(x-1)2+y2=1,再根据直线和圆相切,知d==1可得a=2或-8.
例7:(安徽卷第7题)设曲线c的参数方程为x=2+3cosθ
y=-1+3sinθ,(θ为参数),直线的方程为x-3y+2=0,则曲线c上到直线距离为的点的个数为
a.1
b.2
c.3
d.4
解析:将曲线c的参数方程转化为普通方程为(x-2)2+(y+1)2=9,则曲线c为圆心在(2,-1),半径为3的圆,它与直线相交,且圆心到直线的距离为,3-<,故过圆心且与l平行的直线与圆相交的两点即为满足题意的点,选b.
例8:(新课标全国卷23题)已知直线c1:x=1+tcosαy=tsinα(t 为参数),圆c2:x=cosθy=sinθ(θ为参数)(1)当α=时,求c1与c2的交点坐标;(2)过坐标原点o做c1的垂线,垂足为a,p为oa的中点,当α变化时,求p点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线. (1)解法一:
当α=时,直线方程变成x=1+y=由曲线交点的含义知:1+=cosθ
=sinθ,再由 sin2θ+cos2θ=1可解得t=0或t=-1,带入直线的参数方程得交点坐标为(1,0)或(,-).
解法二:当α=时,直线c1的普通方程为:y=(x-1),c2的普通方程为x2+y2=1。
联立方程组y=(x-1)x2+y2=1,得c1与c2的交点坐标为(1,0)或(,-)
(2)c1的普通方程为xsinα-ycosα-sinα=0
a点坐标为(sin2α,-cosαsinα)
故当α变化时,p点轨迹的参数方程为
x=sin2αy=-sinαcosα
所以p点轨迹的普通方程为(x-)2+y2=.
故p点轨迹是圆心为(,0),半径为的圆.
点拨:对于与极坐标系、参数方程与解析几何相关的综合性题目,重在夯实基础,学好解析几何是关键,转化的思想是解决的法宝,要用好转化这个数学思想.
三、具体的复习建议
从以上的高考题目中可以看出:新课程将选修部分题目的难度降得很低,其目的一方面是为了实现从旧课程到新课程的平稳过渡,另一方面是为了让学生立足基础,让各层次的学生都有合适的方法解答,思维更发散。
在命题的知识点上,对直线和圆交点的问题,相切的问题考得比较多,所以在教学的过程中我有如下的建议与思考:
(1)在教学中,一定要紧扣教材,以教材上的题目为基准,不宜深挖洞,做难题偏题。
实际上,很多题目就是教材后面习题的变题,所以平时的学习中我们要注重课本,注重基础。
(2)在学习中要不断地渗透转化的思想,知识无论新旧,重要的是理解和转化。
在本书的学习中,两种转化是做好题目的关键:点的极坐标与直角坐标的互化,曲线的参数方程和普通方程的互化,所以,对于转化公式,消参的方法要多加练习。
(3)要重视直线的参数方程中参数的几何意义。
四、高考展望
对比2008、2009、2010年实验省市的高考题,随着加入省份的增加,新课程在选修部分的命题难度会在平稳中增加,陆陆续续地有很多省份已经开始将其纳入必考题目,在难度上,只要学生掌握了两种转化的方法,基本属于送分题,只是在未来的命题形式上,极坐标的考查会更具体直接一些。
比如新课标全国卷已经触及到在极坐标系下解决动点间的曲线的轨迹方程问题,辽宁卷让学生学会自己选择参数,建立直线的参数方程。
从平面解析几何到极坐标系,更加突出了对类比的思想方法和灵活运用知识能力的考查。
所以届时,新课程的“新”会体现地更具体,要求我们在不断地总结学习中,切实领会新课程的新思想、新理念。
作者单位:西安高新唐南中学高中部。