六年级数学培优之整除和位值原理
数的整除与位值原理
第五讲 数的整除与位值原理性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b 与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果 b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么bd也能被ac整除．如果 b｜a ，且d｜c ，那么ac｜bd。
每周一测【例1】（难度等级 ※）一个四位数能被9整除，去掉末位数字后所得到的三位数恰是4的倍数，这样的四位数中最大一个的末位数字是_______？【例2】（难度等级 ※）如果六位数4228a b是99的倍数，那么这个数除以99，得到的商是（）【例3】（难度等级 ※※）有一种四位数，这种四位数能被7整除，把它前后分成两部分，前两位数可以被3整除，后两位可以被5整除。
这种四位数最小的是_______？【例4】（难度等级 ※※）从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字中选出五个不同的数字组成一个五位数，使它能被3、5、7、13整除，这个数最大是多少？【例5】（难度等级 ※※※）有7张卡片，上面分别写着1，2,3,4,5,6,7这七个数字，从这7张卡片中选出若干张，排成一个尽可能大的多位数，并且使这个多位数能被组成它的所有数整除，这个多位数是？【例6】（难度等级 ※※※）从0、1、2、4、7五个数中选出三个组成三位数，其中能被3整除的有_____个？【例7】（难度等级 ※※※※）将数字4，5，6，7，8，9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么，这个6位数除以667的结果是多少？【例8】（难度等级 ※※※※）在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个？。
小学数学整除知识点总结
小学数学整除知识点总结整除是小学数学中非常重要的一个概念，它是学习数学的基础，对于理解数学概念和解决数学问题都有很大的帮助。
在小学阶段，学生需要掌握整除的概念和相关知识，以便能够进行数学运算和解决实际问题。
1. 整除的概念整除是指一个数能够被另一个数整除，即这个数能够被另一个数整除而没有余数。
例如，6能够被3整除，因为6÷3=2，没有余数。
而8不能被3整除，因为8÷3=2余2。
因此，能够整除的数叫做倍数，被整除的数叫做约数。
2. 整数的奇偶性在整除的概念中，奇数和偶数是一个重要的概念。
奇数是指除以2有余数的整数，而偶数是指能够被2整除的整数。
奇数的特点是个位数字为1、3、5、7、9，而偶数的特点是个位数字为0、2、4、6、8。
例如，3是奇数，因为3÷2=1余1；而4是偶数，因为4÷2=2没有余数。
3. 分解质因数分解质因数是指将一个数分解为几个质数的乘积。
质数是指只能被1和自身整除的数，如2、3、5、7、11等。
分解质因数的方法是先找到能够整除这个数的最小质数，然后继续分解，直到无法分解为止。
例如，24=2×2×2×3。
4. 最大公约数最大公约数是指两个或多个数最大的共同约数。
求最大公约数的方法有两种，一种是列出这些数的所有约数，然后找出其中的最大数；另一种是利用质因数分解的方法求最大公约数。
例如，求12和18的最大公约数，可以先分解质因数，得到12=2×2×3，18=2×3×3，然后找出它们的公共质因数，即3，所以最大公约数是3。
5. 最小公倍数最小公倍数是指两个或多个数最小的公倍数。
和最大公约数类似，求最小公倍数的方法也有两种，一种是列出这些数的所有倍数，然后找出其中的最小数；另一种是利用质因数分解的方法求最小公倍数。
例如，求12和18的最小公倍数，可以先分解质因数，得到12=2×2×3，18=2×3×3，然后找出它们的公共质因数和非公共质因数，即2、3和2，所以最小公倍数是2×2×3×3=36。
小学数学竞赛：位值原理.教师版解题技巧 培优 易错 难
1. 利用位值原理的定义进行拆分2. 巧用方程解位值原理的题位值原理 当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十。
我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算。
这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同。
既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。
例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。
最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十。
但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们。
希望同学们在做题中认真体会。
1.位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。
也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。
例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
2.位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef =a ×100000+b ×10000+c ×1000+d ×100+e ×10+f 。
3.解位值一共有三大法宝：（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式（2）利用十进制的展开形式，列等式解答（3）把整个数字整体的考虑设为x ，列方程解答模块一、简单的位值原理拆分【例 1】 一个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100。
这个两位数的各位数字的和是 。
【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，初赛，7题，六年级，初赛，第8题，5分【解析】 这个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100，也就是说，十位数字的10倍加上个位数字的10倍等于100，所以十位数字加个位数字等于100÷10＝10。
六年级奥数优胜教育第9讲：整除和位值原理含答案
第九讲 整除和位值原理例1：证明：当a c >时，abc cba -必是9的倍数。
例2：有一个两位数，把数码1加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位数相差666。
求原来的两位数。
例3： a ，b ，c 是1～9中的三个不同的数码，用它们组成的六个没有重复数字的三位数之和是（a+b+c ）的多少倍？例4：用2，8，7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？例5：一个两位数，各位数字的和的5倍比原数大6，求这个两位数。
例6：将一个三位数的数字重新排列，在所得到的三位数中，用最大的减去最小的，正好等于原来的三位数，求原来的三位数。
A1.一个自然数与13的和是5的倍数，与13的差是6的倍数，则满足条件的最小自然数是 ．2.有三个正整数a 、b 、c 其中a 与b 互质且b 与c 也互质，给出下面四个判断：①(a+c)2不能被b 整除，②a 2+c 2不能被b 整除：③(a+b)2不能被c 整除；④a 2+b 2不能被c 整除，其中，不正确的判断有( )．A ．4个B ．3个C 2个D ．1个3.已知7位数61287xy 是72的倍数，求出所有的符合条件的7位数．4.(1)一个自然数N 被10除余9，被9除余8，被8除余7，被7除余6，被6除余5，被5除余4，被3除余2，被2除余1，则N 的最小值是 ．(北京市竞赛题)(2)若1059、1417、2312分别被自然数x 除时，所得的余数都是y ，则x —y 的值等于( )．A ．15B ．1C ．164D ．174(“五羊杯”竞赛题)(3)设N=个1990111，试问N 被7除余几?并证明你的结论． (安徽省竞赛题)5.盒中原有7个球，一位魔术师从中任取几个球，把每一个小球都变成了7个小球，将其放回盒中，他又从盒中任取一些小球，把每一个小球又都变成了7个小球后放回盒中，如此进行，到某一时刻魔术师停止取球变魔术时，盒中球的总数可能是( )A ．1990个B ．1991个C 1992个D ．1993个B6.在100以内同时被2、3、5整除的正整数有多少个?7.某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从0001到9999号，如果号码的前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这张购物券为“幸运券”．证明：这个商场所发放的购物券中，所有的幸运券的号码之和能被101整除．8.写出都是合数的13个连续自然数．9.已知定由“若大于3的三个质数a 、b 、c 满足关系式20+5b=c ，则a+b+c 是整数n 的倍数”．试问：这个定理中的整数n 的最大可能值是多少?请证明你的结论．10.一个正整数N 的各位数字不全相等，如果将N 的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N ，则称N 为“新生数”，试求所有的三位“新生数”．11.设N 是所求的三位“新生数”，它的各位数字分别为a 、b 、c (a 、b 、c 不全相等)，将其各位数字重新排列后，连同原数共得6个三位数：cba cab bca bac acb abc ,,,,,，不妨设其中的最大数为abc ，则最小数为cba ．由“新生数”的定义，得N=abc —cba =(100a+l0b+c)一(100c+l0b+d)=99(a —c)．C12.从左向右将编号为1至2002号的2002个同学排成一行，从左向右从1到11报数，报到11的同学原地不动，其余同学出列；然后，留下的同学再从左向右从1到11报数，报到11的同学留下，其余同学出列；留下的同学再从左向左从1到11地报数，报到11的同学留下，其余同学出列．问最后留下的同学有多少?他们的编号是几号?13.在一种游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数cba cab bca bac abc、、、、的和N ，把N 告诉魔术师，于是魔术师就能说出这个人所想的数abc ．现在设N=3194，请你做魔术师，求出数abc 来．14.某公园门票价格对达到一定人数的团队按团队票优惠．现有A 、B 、C 三个旅游团共72人，如果各团单独购票，门票费依次为360元、384元、480元；如果三个团合起来购票，总共可少花72元．(1)这三个旅游团各有多少人?(2)在下面填写一种票价方案，使其与上述购票情况相符．15.在下边的加法算式中，每个口表示一个数字，任意两个数字都不同：试求A 和B 乘积的最大值．16.任给一个自然数N ，把N 的各位数字按相反的顺序写出来，得到一个新的自然数N ′，试证明：N N '-能被9整数．17.证明：111111+112112十113113能被10整除．1.在下列数中，哪些能被4整除？哪些能被9整除？哪些能被3整除？28、96、120、225、540、768、423、224、2922.（1）五位数A1A72能被12整除；（2）五位数4B97B 能被12整除，求这两个五位数。
六年级上册数的整除
六年级上册数的整除在六年级上册的数学学习中，“数的整除”是一个非常重要的知识点。
它不仅是数学学习的基础，也在我们的日常生活中有着广泛的应用。
数的整除，简单来说，就是一个整数除以另一个整数，如果得到的商是整数且没有余数，我们就说前者能被后者整除。
比如 6÷3 ＝ 2，因为商 2 是整数且没有余数，所以我们说 6 能被 3 整除。
首先，我们来认识一下整除中的一些基本概念。
因数和倍数是两个重要的概念。
如果整数 a 除以整数 b（b≠0）所得的商是整数且没有余数，我们就说 b 是 a 的因数，a 是 b 的倍数。
例如，12÷3 ＝ 4，那么 3 是 12 的因数，12 是 3 的倍数。
一个数的因数是有限的，其中最大的因数是它本身；而一个数的倍数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
2、3、5 的倍数特征也很有特点。
2 的倍数的特征是个位上是 0、2、4、6、8 的数。
比如 12、34、56 等都是 2 的倍数。
5 的倍数的特征是个位上是 0 或 5 的数，像 10、15、20 等等。
3 的倍数的特征则比较特别，一个数各位上的数字之和是3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。
比如 12，1 ＋ 2 ＝ 3，3 是 3 的倍数，所以 12是 3 的倍数。
在数的整除中，还有两个特殊的数，那就是质数和合数。
质数是指一个大于 1 的自然数，除了 1 和它自身外，不能被其他自然数整除的数。
例如 2、3、5、7 等都是质数。
合数则是指自然数中除了能被 1 和本身整除外，还能被其他数（0 除外）整除的数。
比如 4、6、8、9 等都是合数。
1 既不是质数也不是合数，它是一个比较特殊的存在。
接下来，我们说一说公因数和最大公因数。
几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。
其中最大的一个公因数，叫做这几个数的最大公因数。
求最大公因数的方法有很多种，比如列举法、分解质因数法和短除法。
列举法就是分别列出几个数的因数，然后找出它们共有的因数，其中最大的就是最大公因数。
六年级奥数试题-整除和位值原理(学生版)
第九讲整除和位值原理整除问题1.整除的概念2.整除的基本性质3.数的整除特征4.位值原理5.位值原理的表达形式1.理解整除的概念，会用整除的性质解决有关问题。
2.理解位值原理的含义，能区分位值原理与字母乘法的区别。
3.掌握整除的性质，并熟练应用被2、3、4、5、8、9、11整除的数的特征。
例1：证明：当a c >时，abc cba -必是9的倍数。
例2：有一个两位数，把数码1加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位数相差666。
求原来的两位数。
例3： a ，b ，c 是1～9中的三个不同的数码，用它们组成的六个没有重复数字的三位数之和是（a+b+c ）的多少倍？例4：用2，8，7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？例5：一个两位数，各位数字的和的5倍比原数大6，求这个两位数。
例6：将一个三位数的数字重新排列，在所得到的三位数中，用最大的减去最小的，正好等于原来的三位数，求原来的三位数。
A1.一个自然数与13的和是5的倍数，与13的差是6的倍数，则满足条件的最小自然数是 ．2.有三个正整数a 、b 、c 其中a 与b 互质且b 与c 也互质，给出下面四个判断：①(a+c)2不能被b 整除，②a 2+c 2不能被b 整除：③(a+b)2不能被c 整除；④a 2+b 2不能被c 整除，其中，不正确的判断有( )．A ．4个B ．3个C 2个D ．1个3.已知7位数61287xy 是72的倍数，求出所有的符合条件的7位数．4.(1)一个自然数N 被10除余9，被9除余8，被8除余7，被7除余6，被6除余5，被5除余4，被3除余2，被2除余1，则N 的最小值是 ．(北京市竞赛题)(2)若1059、1417、2312分别被自然数x 除时，所得的余数都是y ，则x —y 的值等于( )．A ．15B ．1C ．164D ．174(“五羊杯”竞赛题)(3)设N=321Λ个1990111，试问N 被7除余几?并证明你的结论． (安徽省竞赛题)5.盒中原有7个球，一位魔术师从中任取几个球，把每一个小球都变成了7个小球，将其放回盒中，他又从盒中任取一些小球，把每一个小球又都变成了7个小球后放回盒中，如此进行，到某一时刻魔术师停止取球变魔术时，盒中球的总数可能是( )A ．1990个B ．1991个C 1992个D ．1993个B6.在100以内同时被2、3、5整除的正整数有多少个?7.某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从0001到9999号，如果号码的前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这张购物券为“幸运券”．证明：这个商场所发放的购物券中，所有的幸运券的号码之和能被101整除．8.写出都是合数的13个连续自然数．9.已知定由“若大于3的三个质数a 、b 、c 满足关系式20+5b=c ，则a+b+c 是整数n 的倍数”．试问：这个定理中的整数n 的最大可能值是多少?请证明你的结论．10.一个正整数N 的各位数字不全相等，如果将N 的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N ，则称N 为“新生数”，试求所有的三位“新生数”．11.设N 是所求的三位“新生数”，它的各位数字分别为a 、b 、c (a 、b 、c 不全相等)，将其各位数字重新排列后，连同原数共得6个三位数：cba cab bca bac acb abc ,,,,,，不妨设其中的最大数为abc ，则最小数为cba ．由“新生数”的定义，得N=abc —cba =(100a+l0b+c)一(100c+l0b+d)=99(a —c)．C12.从左向右将编号为1至2002号的2002个同学排成一行，从左向右从1到11报数，报到11的同学原地不动，其余同学出列；然后，留下的同学再从左向右从1到11报数，报到11的同学留下，其余同学出列；留下的同学再从左向左从1到11地报数，报到11的同学留下，其余同学出列．问最后留下的同学有多少?他们的编号是几号?13.在一种游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数cba cab bca bac abc、、、、的和N ，把N告诉魔术师，于是魔术师就能说出这个人所想的数abc ．现在设N=3194，请你做魔术师，求出数abc 来．14.某公园门票价格对达到一定人数的团队按团队票优惠．现有A 、B 、C 三个旅游团共72人，如果各团单独购票，门票费依次为360元、384元、480元；如果三个团合起来购票，总共可少花72元．(1)这三个旅游团各有多少人?(2)在下面填写一种票价方案，使其与上述购票情况相符．15.在下边的加法算式中，每个口表示一个数字，任意两个数字都不同：试求A 和B 乘积的最大值．16.任给一个自然数N ，把N 的各位数字按相反的顺序写出来，得到一个新的自然数N ′，试证明：N N '-能被9整数．17.证明：111111+112112十113113能被10整除．1.在下列数中，哪些能被4整除？哪些能被9整除？哪些能被3整除？28、96、120、225、540、768、423、224、2922.（1）五位数A1A72能被12整除；（2）五位数4B97B 能被12整除，求这两个五位数。
小学六年级整除知识点
小学六年级整除知识点在小学六年级的数学学习中，整除是一个重要的知识点。
了解和掌握整除的规则和特点，将有助于学生在解决数学问题时更加得心应手。
本文将介绍小学六年级整除的相关知识点。
一、整除的概念和特点整数a能被整数b整除，即a÷b的商为整数，我们就说a能被b整除，记作b|a。
在整除的运算中，有以下几个重要的特点需要注意：1. 整数a能被1整除，即1|a，任何一个整数都能被1整除。
2. 任何一个整数a都能被自身整除，即a|a。
3. 整数0不能被任何数整除（因为任何数除以0都是没有意义的）。
4. 如果整数a能被整数b整除，那么b也能够整出a的倍数。
即如果b|a，则对任意的整数k，都有b|ka。
二、整除的判断方法在小学六年级，判断一个整数能否被另一个整数整除，可以通过以下几种方法来进行判断：1. 因数分解法：将被除数和除数进行因数分解，如果被除数中含有除数的所有因数，则说明被除数能够被除数整除。
例如，判断24能否被3整除，我们可以将24和3进行因数分解：24=2×2×2×3，3=3×1，则3是24的因数，所以24能被3整除。
2. 除法法则：如果被除数能够整除除数，那么被除数除以除数的商必然是整数。
例如，判断36能否被4整除，我们可以用36除以4，得到商为9，由于商是整数，所以36能被4整除。
3. 余数法：如果被除数除以除数的余数为0，那么被除数能被除数整除。
例如，判断56能否被7整除，我们用56除以7，得到商为8，余数为0，由于余数为0，所以56能被7整除。
三、整除与倍数的关系整除与倍数是密切相关的概念。
如果一个整数a能被另一个整数b整除，那么a就是b的倍数。
例如，12能够被3整除，那么12就是3的倍数。
同样地，如果一个整数a是另一个整数b的倍数，那么a能够被b整除。
例如，24是6的倍数，那么24能被6整除。
四、整除的应用举例整除在日常生活和数学问题中有着广泛的应用。
六年级数的整除知识点
六年级数的整除知识点“同学们，今天我们来好好讲讲六年级数的整除知识点啊。
”那什么是数的整除呢？简单来说，就是一个整数除以另一个整数，得到的商也是整数，而没有余数，这就叫整除。
比如说，12 除以 3 等于 4，没有余数，我们就说 12 能被 3 整除，或者说 3 能整除 12。
整除有一些重要的性质呢。
比如，任何整数都能被 1 整除，这很好理解吧。
还有，如果一个数能同时被几个数整除，那它也一定能被这几个数的最小公倍数整除。
就像 12 既能被 3 整除，又能被 4 整除，而 3 和 4 的最小公倍数是 12，那 12 当然也能被 12 整除啦。
在实际做题中，我们经常会用到这些性质。
比如说，判断一个数能不能被 9 整除，我们只要把这个数的各个数位上的数字相加，如果和能被 9 整除，那么这个数就能被 9 整除。
举个例子，279，2+7+9=18，18 能被 9 整除，所以 279 能被 9 整除。
还有整除中的一些特殊情况。
像能被 2 整除的数，个位上一定是 0、2、4、6、8 中的一个。
能被 5 整除的数，个位上一定是 0 或 5。
能被 4 整除的数，只要看最后两位能不能被 4 整除就行啦。
再来说说常见的整除特征。
能被 3 整除的数，它的各个数位上的数字之和能被 3 整除。
比如说 369，3+6+9=18，18 能被 3 整除，所以 369 能被 3 整除。
同学们，咱们来做几道题巩固一下啊。
判断 456 能不能被 3 整除，大家算一下。
对啦，4+5+6=15，15 能被 3 整除，所以 456 能被 3 整除。
那 780 能不能被 2 和 5 同时整除呢？个位是 0，所以能被 2 和 5 整除。
数的整除知识点在我们生活中也有很多应用呢。
比如说，分东西的时候，我们就会用到整除的知识，要保证能平均分。
同学们，一定要好好掌握这些知识点啊，以后做题会经常用到的。
大家还有什么不明白的地方，随时问老师哦。
第2讲整除性与位值原理
第2讲整除性与位值原理重点摘要1、位值原理位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。
也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。
例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
位值原理的表达形式：以六位数为例，abcdef＝a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。
2、数的整除我们学习过的常见整除判定方法有：（1）能被2、4、8整除的数，根据这个数的末一位、两位、三位判断；（2）能被5、25、125整除的数，根据这个数的末一位、两位、三位判断；（3）能被3、9整除的数，根据这个数各个数位上的数字和判断；（4）能被7、11、13整除的数，将这个数三位分段相减求差后判断。
精讲精练例题1、一个四位数能被9整除，去掉末位数字后所得到的三位数恰是4的倍数，这样的四位数中最大一个的末位数字是几？练习1、有一种四位数，这种四位数能被7整除，把它前后分成两部分，前两位数可以被3整除，后两位可以被5整除。
这种四位数最小的是几？例题2、证明：当a c>时，abc cba-必能被9整除？练习2、证明：一个三位数减去它的各个数位的数字之和后，必能被9整除。
例题3、三位数abc比三位数cba小99，若a、b、c互不相同，则abc最大是几？练习3、一个两位数，其十位与个位上的数字交换以后，所得的两位数比原来小27，则满足条件的两位数共有多少个？例题4、在一个两位数的两个数字中间加一个0，那么所得的三位数是原数的9倍，求这个两位数。
练习4、在两位自然数的十位与个位中间插入0～9中的一个数码，这个两位数就变成了三位数，有些两位数中间插入某个数码后变成的三位数，恰好是原来两位数的9倍。
这样的三位数有多少个？例题5、用2，8，7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？练习5、a，b，c是1～9中的三个不同数码，用它们组成的六个没有重复数字的三位数之和是(a＋b＋c)的多少倍？例题6、已知一个四位数加上它的各位数字之和后等于2008，则所有这样的四位数之和为多少。
小学奥数位值原理
小学奥数位值原理在小学奥数学习中，位值原理是一个非常重要的概念。
它是指一个数字在一个数中所处的位置所代表的值，这个位置与值的关系是按照10的幂次来确定的。
在我们的十进制计数系统中，每个数字的位值是以10的幂次递增的，从右向左依次是个位、十位、百位、千位等。
这个概念对于小学生来说可能有些抽象，但是通过生动的例子和实际操作，他们可以很快地理解并掌握这个概念。
首先，我们可以通过一些日常生活中的例子来帮助孩子理解位值原理。
比如我们可以拿一些数字卡片，让孩子们按照位值排列，然后通过这些数字卡片进行加减乘除的运算，让他们感受到不同位值的数字在运算中所起到的作用。
另外，我们还可以通过一些有趣的游戏来帮助孩子巩固这个概念，比如让他们玩“数字拼图”游戏，通过拼图的方式来加深对位值的理解。
其次，我们可以通过一些简单的算术题来让孩子们在实际操作中掌握位值原理。
比如让他们计算一些多位数的加减法，通过这些计算，他们可以更加直观地感受到不同位值的数字在运算中的作用。
另外，我们还可以通过一些有趣的问题来激发孩子们对位值原理的兴趣，比如让他们思考一个数字中某一位上的数字变化会对整个数的大小产生怎样的影响。
最后，我们可以通过一些综合性的题目来帮助孩子们巩固位值原理的知识。
比如让他们解决一些复杂的应用题，通过这些题目，他们可以将位值原理与实际问题相结合，更好地理解和应用这个概念。
另外，我们还可以通过一些小组讨论和展示的形式来促进孩子们之间的交流和合作，让他们在交流中相互学习，相互进步。
总之，位值原理是小学奥数学习中的一个重要概念，通过生动的例子、实际操作和有趣的游戏，我们可以帮助孩子们更好地理解和掌握这个概念。
同时，我们也可以通过一些简单的算术题和综合性的题目来帮助他们巩固和应用这个知识。
希望通过我们的努力，孩子们可以在轻松愉快的氛围中学好奥数，掌握位值原理这一重要的数学概念。
小六数学第9讲：整除和位值原理
第九讲整除和位值原理整除问题整除是我们很早接触的一个概念，对于它的性质我们也比较熟悉，不过它在题目表现出来的很大的灵活性和很强的技巧性，仍然是值得我们不断学习和思考的．下面我们先回顾一下相关知识：1.整除的概念a，b，c为整数，且，如果a÷b=c，即整数a除以整数b，得到的商是整数c且没有余数，那么称作n能被b整除，或者是说b能整除a，记作；否则，称为a不能被b整除，或是说b不能整除n．如果整数a能够被整数b整除，则a叫做b的倍数，b叫做a的约数．2.整除的基本性质①如果a，b都能够被c整除，那么它们的和与差也能够被c整除．即：如果，那么②如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a．即：如果，那么③如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a．即：如果④如果b，c都能够整除，且b与c互质，那么b与c的乘积能整除a．即：3.数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0，2，4，6，8；②能被3(或9)整除的数的特征：各位的数字之和能够被3(或9)整除；③能被4(或25)整除的数的特征：末两位数能够被4(或25)整除；④能被5整除的数的特征：个位数字是0或5；⑤能被7(或11、13)整除的数的特征：一个整数的末三位与末三位以前的数字所组成的数之⑥差能够被7(或1、11、13)整除；⑦能被8(或125)整除的数的特征：末三位数能够被8(或125)整除；⑧能被11整除的数的特征：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能够被11整除．4.位值原理同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数也不同。
也就是说，每一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。
例如“5”，写在个位上，就表示5个一；写在十位上，就表示5个十；写在百位上，就表示5个百；等等。
这种把数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
用阿拉伯数字和位值原理，可以表示出一切整数。
例如，926表示9个百，2个十，6个一，即926=9×100+2×10+6。
数的整除六年级知识点
数的整除六年级知识点整数是数学中的一种基本概念，它包括正整数、负整数和零。
在六年级的数学学习中，数的整除是一个重要的知识点。
在本文中，我们将详细介绍数的整除的概念、性质以及相应的解题方法。
概念:在数学中，将一个整数a除以另一个整数b，如果结果恰好为整数且余数为0，那么我们说a可以被b整除，或者说b是a的因数。
我们用符号"|"来表示"整除"的关系。
例如，如果a可以被b整除，我们可以写作a|b。
性质:1. 如果a能被b整除，那么a肯定也能被b的倍数整除。
2. 如果a能被b整除，b能被c整除，那么a也能被c整除。
3. 如果a能被b整除，那么a+b、a-b也能被b整除。
解题方法:1. 整除的判断：在判断一个数是否能被另一个数整除时，可以通过试除法进行验证。
即用这个数去除以可能的因数，如果余数为0，则可以确定它能被整除。
2. 整除的求解：要求解一个数的所有因数，可以通过列举法进行求解。
逐个尝试可能的因数，看是否能整除给定的数。
例如，我们来看一个具体的例子：问题：找出100以内能被7整除的所有数。
解析：我们可以通过列举法逐个尝试并验证每个数是否能被7整除。
首先我们可以观察到7 x 1 = 7，7 x 2 = 14，7 x 3 = 21，可以确定7是100以内能被7整除的数之一。
接下来我们逐渐增加7的倍数，即 7 x 4 = 28, 7 x 5 = 35, ...，一直到 7 x 14 = 98。
可以得出结论：100以内能被7整除的数为7、14、21、28、35、42、49、56、63、70、77、84、91、98。
通过上述例子，我们可以看出，在解决整除问题时，我们可以通过试除法或者列举法来判断和求解整除的数，这是六年级数学学习中的重要技巧之一。
综上所述，数的整除是六年级数学学习中的重要知识点。
了解整除的概念、性质以及相应的解题方法，能够帮助我们更好地理解和应用整除的概念，同时也提升了我们解决数学问题的能力。
六年级数学培优之整除和位值原理
整除和位值原理是数学中的基本概念之一，它们在解题中起着重要的作用。
接下来，我将详细介绍整除和位值原理，包括相关定义、性质以及解题方法。
一、整除与倍数在数学中，如果一个数能够被另一个数整除，那么我们称这个数为整除数，另一个数为除数。
具体地说，如果一个数a能够整除另一个数b，那么b就是a的倍数，而a是b的约数。
1.整除的定义：对于两个整数a和b，如果存在一个整数c，使得b=ac，我们就说a能够整除b，记作a，b。
2.整除的性质：①若a，b且b，c，则a，c（传递性）② 若a，b，b，c，则a，（dx+ey），其中d、e为任意整数。
3.整除的判定：① 对于整数a和b，如果存在整数x，使得b=ax，则a能够整除b。
例如，4能够整除12，因为12=4*3②对于不为0的整数a和b，如果a能够整除b，则b/a的余数为0。
4.整除与素数：整除与素数的关系密切。
素数是指除了1和自身之外没有其他的因数的数。
任何一个整数都可以分解为素数的乘积。
这个分解的过程叫做素因数分解。
例如，12=2*2*35.整除与公约数：对于两个数a和b，如果同时整除a和b的数中最大的那个数为d，我们称d为a和b的最大公约数，记作gcd(a,b)。
例如，gcd(8,12)=4二、位值原理位值原理又称作辗转相除法、短除法等。
它是帮助我们进行大数除法的一种方法，通过重复进行整除与余数的计算，逐步得到商和余数。
1.位值原理的定义：对于两个整数a和b，如果a>b，并且存在一个整数q和r，满足a=q*b+r，并且0≤r<b，则可以说a和b满足位值原理。
2.位值原理的步骤：当进行位值运算时①将a进行标记，拆分成a=n*（q*b+r）；②再将q*b进行拆分，直到无法再次进行拆分；③进行计算，得到最终结果。
3.位值原理的应用：位值原理在解题中非常常用，可以帮助我们进行大数除法、求最大公约数等。
结语整除和位值原理是六年级数学中的重要内容，通过理解和掌握它们的定义、性质和应用，我们可以更好地解决相关问题。
六年级奥数-整除和位值原理(教师版)
第九讲整除和位值原理整除问题整除是我们很早接触的一个概念，对于它的性质我们也比较熟悉，不过它在题目表现出来的很大的灵活性和很强的技巧性，仍然是值得我们不断学习和思考的．下面我们先回顾一下相关知识：1.整除的概念b ，如果a÷b=c，即整数a除以整数b，得到的商是整数c且a，b，c为整数，且0没有余数，那么称作n能被b整除，或者是说b能整除a，记作；否则，称为a不能被b整除，或是说b不能整除n．如果整数a能够被整数b整除，则a叫做b的倍数，b叫做a 的约数．2.整除的基本性质①如果a，b都能够被c整除，那么它们的和与差也能够被c整除．即：如果，那么②如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a．即：如果，那么③如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a．即：如果④如果b，c都能够整除，且b与c互质，那么b与c的乘积能整除a．即：3.数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0，2，4，6，8；②能被3(或9)整除的数的特征：各位的数字之和能够被3(或9)整除；③能被4(或25)整除的数的特征：末两位数能够被4(或25)整除；④能被5整除的数的特征：个位数字是0或5；⑤能被7(或11、13)整除的数的特征：一个整数的末三位与末三位以前的数字所组成的数之⑥差能够被7(或1、11、13)整除；⑦能被8(或125)整除的数的特征：末三位数能够被8(或125)整除；⑧能被11整除的数的特征：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能够被11整除．4.位值原理同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数也不同。
也就是说，每一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。
例如“5”，写在个位上，就表示5个一；写在十位上，就表示5个十；写在百位上，就表示5个百；等等。
这种把数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
用阿拉伯数字和位值原理，可以表示出一切整数。
例如，926表示9个百，2个十，6个一，即926=9×100+2×10+6。
小学数学竞赛：位值原理.学生版解题技巧 培优 易错 难
【例 32】9000名同学参加一次数学竞赛，他们的考号分别是1000,1001,1002,…9999．小明发现他的考号是8210，而他的朋友小强的考号是2180．他们两人的考号由相同的数字组成（顺序不一样），差为2010的倍数．那么，这样的考号（由相同的数字组成并且差为2010的倍数）共有对．
【例 29】有一个两位数，如果把数码3加写在它的前面，则可得到一个三位数，如果把数码3加写在它的后面，则可得到一个三位数，如果在它前后各加写一个数码3，则可得到一个四位数．将这两个三位数和一个四位数相加等于 ．求原来的两位数．
【例 30】将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数( )．将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被4整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000～4000之间．求这24个四位数中最大的那个．
1.利用位值原理的定义进行拆分
2.巧用方程பைடு நூலகம்位值原理的题
位值原理
当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十。我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算。这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同。既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十。但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们。希望同学们在做题中认真体会。
整除的规律总结
整除的规律总结
整除的规律是数学中的一个基本概念，它涉及到数的性质和运算规则。
在整数范围内，当一个数a能够被另一个数b整除而不留余数时，我们称a能被b整除。
下面，我将对整除的规律进行详细的总结。
首先，整除具有传递性。
如果a能被b整除，b能被c整除，那么a也能被c整除。
这一性质在数论和代数中都有广泛应用。
其次，整除与因数和倍数密切相关。
如果一个数a能被另一个数b整除，那么b就是a 的因数，同时a是b的倍数。
因此，整除是研究因数和倍数关系的基础。
此外，整除还涉及到一些特殊的数。
例如，质数是指只能被1和它本身整除的大于1的自然数。
合数则是指除了1和它本身外，还有其他因数的自然数。
1既不是质数也不是合数，因为它没有除1以外的因数。
在实际应用中，整除的规律常常用于判断一个数是否能被另一个数整除。
例如，在编程中，我们经常需要判断一个数是否为另一个数的倍数，以便进行相应的处理。
此外，整除的规律还在密码学、信号处理、计算机科学等领域有广泛应用。
总之，整除的规律是数学中的一个基本概念，它具有传递性，与因数和倍数密切相关，并涉及到一些特殊的数。
通过深入研究和应用这些规律，我们可以更好地理解数的性质，提高数学素养，解决实际问题。
整除法则的原理及应用
整除法则的原理及应用1. 原理介绍整除法则是数学中的一个重要概念，用于判断一个数能否整除另一个数，或者得到余数。
以下是整除法则的原理：1.余数概念：对于两个整数a和b，如果存在一个整数q使得a=q*b+r，其中r是小于b的非负整数，则称b能够整除a，a被b整除，q是商，r是余数。
2.整除符号：如果b能够整除a，则可以表示为b|a。
3.整除性质：–如果a能够整除b，而b能够整除c，则a能够整除c；–如果a能够整除b，且b能够整除a，则a等于b或者a等于-b；–如果a能够整除b，且a能够整除c，则a能够整除b+c和b-c；–如果a能够整除b和c，则a能够整除b+c和b-c。
2. 应用案例整除法则在数学和实际生活中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用案例：2.1 判断能否整除整除法则可以用于判断一个数能否整除另一个数。
通过计算余数，我们可以判断两个数之间是否存在整除关系。
例如，我们可以使用整除法则来判断一个数是否是偶数或者奇数，因为偶数能够被2整除，而奇数不能。
2.2 素数判断素数是只能被1和自身整除的正整数。
整除法则可以用于判断一个数是否是素数。
如果一个数只能被1和自身整除，那么它一定是素数。
通过这个原理，我们可以编写一个程序来判断一个数是否是素数。
2.3 最大公约数和最小公倍数计算整除法则可以用于计算两个数的最大公约数和最小公倍数。
最大公约数是能够整除两个数的最大正整数，最小公倍数是能够被两个数整除的最小正整数。
通过应用整除法则，我们可以快速计算出最大公约数和最小公倍数。
2.4 分解质因数整除法则是分解质因数的基础原理之一。
分解质因数是将一个数表示为几个质数的乘积的过程。
通过多次使用整除法则，我们可以将一个数逐步分解为一组质因数的乘积。
2.5 约分和化简分数在分数运算中，整除法则可以用于约分和化简分数。
通过将分子和分母同时除以它们的最大公约数，我们可以将一个分数化简为最简形式。
这可以简化分数的计算和比较。
数学除法运算原理
数学除法运算原理数学中的除法运算是一种基本运算，用于将一个数（被除数）平均地分成几份，每份的大小由另一个数（除数）确定。
通过除法运算，我们可以计算商和余数。
1. 除法运算的基本概念除法运算的核心概念是平均分配。
当我们将一个数a除以另一个数b时，我们想要找到一个数x，使得bx等于或尽可能接近于a。
商x就是结果，余数r则是a与bx之差。
2. 整除和余数在除法运算中，我们有两种可能的结果：整除和带余数。
如果除法的结果可以整除，即r等于0，则称为整除。
否则，如果r不等于0，则称为带余数。
3. 除法运算的表示方法为了表示除法运算的过程，我们通常使用除号（÷）和斜杠（/）。
例如，将 a 除以 b 的除法运算可以表示为 a ÷ b 或 a / b。
4. 除法的符号表示除法有两个符号：除号（÷）和斜杠（/）。
这两个符号在数学中是等效的，表示同样的除法运算。
符号的选择通常根据不同的数学教材和地区习惯而定。
5. 除法运算的步骤及原理进行除法运算时，我们按照以下步骤来找到商和余数：a) 确定被除数（a）和除数（b）。
b) 将除数（b）与a的第一个数字进行比较，确定第一位的商。
将这个商写在结果的第一位上。
c) 将商乘以除数（b），得到一个中间结果。
d) 将这个中间结果与a相减，得到当前的余数（r）。
e) 如果余数（r）大于等于除数（b），则重复步骤b-d，直到余数小于除数。
f) 将最后得到的余数写在结果的末尾，即为最终的余数。
6. 数学除法运算的例子让我们通过一个例子来演示除法运算的步骤：例：计算37 ÷ 5a) 被除数（37）和除数（5）已知。
b) 将除数（5）与被除数（37）的第一个数字（3）进行比较，得到第一位的商（0）。
c) 将商（0）乘以除数（5），得到中间结果（0）。
d) 将中间结果（0）与被除数（37）相减，得到余数（37）。
e) 由于余数（37）大于除数（5），我们继续这个步骤。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第九讲 整除和位值原理
例1：证明：当a c >时，abc cba -必是9的倍数。
例2：有一个两位数，把数码1加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位数相差666。
求原来的两位数。
例3： a ，b ，c 是1～9中的三个不同的数码，用它们组成的六个没有重复数字的三位数之和是（a+b+c ）的多少倍？
例4：用2，8，7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？
例5：一个两位数，各位数字的和的5倍比原数大6，求这个两位数。
例6：将一个三位数的数字重新排列，在所得到的三位数中，用最大的减去最小的，正好等于原来的三位数，求原来的三位数。
A
1.一个自然数与13的和是5的倍数，与13的差是6的倍数，则满足条件的最小自然数是 ．
2.有三个正整数a 、b 、c 其中a 与b 互质且b 与c 也互质，给出下面四个判断：①(a+c)
2不能被b 整除，②a 2+c 2不能被b 整除：③(a+b)2不能被c 整除；④a 2+b 2不能被c 整除，其
中，不正确的判断有( )．
A ．4个
B ．3个
C 2个
D ．1个
3.已知7位数61287xy 是72的倍数，求出所有的符合条件的7位数．
4.(1)一个自然数N 被10除余9，被9除余8，被8除余7，被7除余6，被6除余5，被5除余4，被3除余2，被2除余1，则N 的最小值是 ．
(北京市竞赛题)
(2)若1059、1417、2312分别被自然数x 除时，所得的余数都是y ，则x —y 的值等于( )．
A ．15
B ．1
C ．164
D ．174
(“五羊杯”竞赛题)
(3)设N=
个
1990111，试问N 被7除余几?并证明你的结论． (安徽省竞赛题)
5.盒中原有7个球，一位魔术师从中任取几个球，把每一个小球都变成了7个小球，将其放回盒中，他又从盒中任取一些小球，把每一个小球又都变成了7个小球后放回盒中，如此进行，到某一时刻魔术师停止取球变魔术时，盒中球的总数可能是( )
A ．1990个
B ．1991个
C 1992个
D ．1993个
B
6.在100以内同时被2、3、5整除的正整数有多少个?
7.某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从0001到9999号，如果号码的前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这张购物券为“幸运券”．证明：这个商场所发放的购物券中，所有的幸运券的号码之和能被101整除．
8.写出都是合数的13个连续自然数．
9.已知定由“若大于3的三个质数a 、b 、c 满足关系式20+5b=c ，则a+b+c 是整数n 的倍数”．试问：这个定理中的整数n 的最大可能值是多少?请证明你的结论．
10.一个正整数N 的各位数字不全相等，如果将N 的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N ，则称N 为“新生数”，试求所有的三位“新生数”．
11.设N 是所求的三位“新生数”，它的各位数字分别为a 、b 、c (a 、b 、c 不全相等)，将其各位数字重新排列后，连同原数共得6个三位数：cba cab bca bac acb abc ,,,,,，不妨设其中的最大数为abc ，则最小数为cba ．由“新生数”的定义，得N=abc —cba =(100a+l0b+c)一(100c+l0b+d)=99(a —c)．
C
12.从左向右将编号为1至2002号的2002个同学排成一行，从左向右从1到11报数，报到11的同学原地不动，其余同学出列；然后，留下的同学再从左向右从1到11报数，报到11的同学留下，其余同学出列；留下的同学再从左向左从1到11地报数，报到11的同学留下，其余同学出列．问最后留下的同学有多少?他们的编号是几号?
13.在一种游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数cba cab bca bac abc 、、、、的和N ，把N 告诉魔术师，于是魔术师就能说出这个人所想的数abc ．现在设N=3194，请你做魔术师，
求出数abc 来．
14.某公园门票价格对达到一定人数的团队按团队票优惠．现有A 、B 、C 三个旅游团共72人，如果各团单独购票，门票费依次为360元、384元、480元；如果三个团合起来购票，总共可少花72元．
(1)这三个旅游团各有多少人?
(2)在下面填写一种票价方案，使其与上述购票情况相符．
15.在下边的加法算式中，每个口表示一个数字，任意两个数字都不同：试求A 和B 乘积的最大值．
16.任给一个自然数N ，把N 的各位数字按相反的顺序写出来，得到一个新的自然数N ′，试证明：N N '-能被9整数．
17.证明：111111+112112十113113能被10整除．
1.在下列数中，哪些能被4整除？哪些能被9整除？哪些能被3整除？
28、96、120、225、540、768、423、224、292
2.（1）五位数A1A72能被12整除；（2）五位数4B97B 能被12整除，求这两个五位数。
3.有一个四位整数16□□，如果要让这个四位数同时能被2、3、4、5整除，那么这个四位数的末两位上应是什么数？
4.要使六位数能被36整除，而且所得的商最小，问这个六位数是多少？
5.已知2002年的1月l 日是星期二，那么
（1）2002年的12月5日是星期几？
618ABC
（2）20年后的1月l日将是星期几？
6.检验下面的算式是否正确：
（l）65343+35892+38462=139587
（2）2708×358=968464。
7.已知两个整数相除商是13，余数是8，并且被除数与除数的差是308，求这两个整数。
8.有一列数字：l，2，9，4，7，1，2，9，4，7…（1）第307个数是多少？（2）这307个数相加的和是多少？
1.在□内填上适当的数字，使（1）34□□能同时被2、3、4、5、9整除；（2）7□36□能被24整除；（3）□1996□□能同时被8、9、25整除．
2.把915连续写多少次，所组成的数就能被9整除，并且这个数最小．
3.希希买了九支铅笔，两支圆珠笔，三个练习本和五块橡皮．她看到圆珠笔每支3角9分，橡皮每块6分，其余她没注意．售货员要她付3元8角，希希马上说：“阿姨你算错了．”请问售货员的帐算错了没有？为什么？
4.三个数分别是346，734，983，请再写一个比996大的三位数，使这四个数的平均数是一个整数．
5.甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数的商是11，余数是32，求甲、乙两的数值。
6.小雨有一盒糖，每7颗一数还余4颗，每5颗一数又少3颗，每3颗，每3颗一数恰好数完，这盒糖至少有多少颗？
7.今年国庆节是星期三，10月17日是星期几？
8.节日的街上挂起了一串串的彩灯，从第一盏开始，按照5盏红灯，4盏黄灯，3盏绿灯，2盏蓝灯的顺序重复地排下去，问第1996盏灯是什么颜色？
课程顾问签字： 教学主管签字：。